2018年北京东城区高三二模数学(理)试题(含答案)
高三数学 （理科）
本试卷共 4 页， 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考 试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分 （选择题 共 40 分）
一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （ 1）若集合 A { x | 1 x 2} ， B { x | x 2 或 x 1} ，则 A B
（Ⅱ） 若 O 为 BC 中点， P 为线段 CD 上一点， OP // 平面 ADE ，
求 CP 的值； CD
（Ⅲ）求二面角 A DE B 的的大小 ;
（ 18）（本小题 13 分）
每个点的横、纵坐标分别表示该工人一天中生产的 II 型零件数，则下列说法错误．．的是
I 型、
（ A）四个工人中， D 的日生产零件总数最大
（ B）A， B 日生产零件总数之和小于 C， D 日生产零件
总数之和
（ C）A， B 日生产 I 型零件总数之和小于 II 型零件总数之和
（ D） A，B， C， D 日生产 I 型零件总数之和小于 II 型零件总数之和
（ A ）充分而不必要条件 （ C）充分必要条件
（B ）必要而不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件
（ 6）某公司为了解用户对其产品的满意度，从甲、乙两地区分别随机调查了 品
100 个用户，根据用户对产
的
满
意 度
评 分
高三数学（理） （东城） 第 1 页（共 11 页）
，分别得到甲地区和乙地区用户满意度评分的频率分布直方图
在 △ ABC 中，角 A, B , C 所对的边分别为 a, b, c , b = 2 , b cosC c cos B ．
（Ⅰ）求 c的值．
（Ⅱ）若 a = 3 ．求 sin 2 A 的值．
（ 16）（本小题 13 分） 某银行的工作人员记录了 如图所示：
3 月 1 号到 3 月 15 日上午 10:00 在该银行取号后等待办理业务的人数，
.
若甲地区和乙地区用户满意度评分的中位数分别为
ห้องสมุดไป่ตู้
m1, m2 ；平均数分别为 s1, s2 ，则下面正确的是
（ A） m1 > m2, s1 > s2 （ B）m1 > m2, s1 < s2
（ C）m1 < m2, s1 < s2 （ D ）m1 < m2, s1 > s2
（ 7）已知函数 f ( x)
第二部分 （非选择题 共 110 分）
二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
（ 9 ）执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为 _______．
（ 10）设等比数列
an 的公比 q
2 ，前 n 项和为 Sn，则 S4 =_______ ． a2
（ 11）在极坐标系中，点
A 1, π , B 2, 2π ,O 是极点，则
（A） 1 （ 4）已知双曲线
1
（B）
2
C：
x2 a2－
y2 b2＝
1
的一条渐近线的倾斜角为
（C）1
（D） 2
60o，且与椭圆 x52+y2＝1 有相等的焦距，则
C 的方程为 （ A ） x32－y2＝ 1
（B ） x92－ y32＝1
（ C） x2－y32＝1
（ D） x32－y92＝ 1
（ 5）设 a， b 是非零向量，则“ |a＋ b|＝ |a|－ |b|”是“ a // b ”的
log 2 x,
g(x)
2x a ，若存在 x1, x2
[ 1 , 2] ，使得 f ( x1 ) 2
g( x2 ) ，则 a 的取值
范围是
（ A） [- 5,0]
（ B） (- ? , 5] ? [0, ? ) （C） (- 5,0)
（D ） (- ? , 5) ? (0, ? )
（ 8） A，B， C， D 四名工人一天中生产零件的情况如图所示，
从这 15 天中，随机选取一天，随机变量 X 表示当天上午 10:00 在该银行取号后等待办理业务的人数 . 高三数学（理） （东城） 第 3 页（共 11 页）
（Ⅰ）请把 X 的分布列补充完整；
（Ⅱ）令 m 为 X 的数学期望，若 P (m- n ＃ X m+ n) > 0.5, 求正整数 n 的最小值；
（ A ） { x | x 2 或 x 1}
（B ） { x | x 2 或 x 1}
（ C） { x | 2 x 2}
（D ） { x |1 x 2}
（ 2）复数 (1+i)(2-i) =
（ A ） 3+i
（B ） 1+i
（ C） 3-i
（ D） 1-i
5
（ 3）在 x a 展开式中， x3 的系数为 10 ，则实数 a 等于 x
3
3
AOB 的面积等于
_______．
高三数学（理） （东城） 第 2 页（共 11 页）
（ 12）如图，已知正方体 ABCD A B C D 的边长为 1，若过直线 BD 的 平面与该正方体的面相交，交线围城一个菱 形，则该菱形的面积为 ___________.
（ 13）直线 x y 1 0 被圆 C 所截的弦长为 2 ，
（Ⅲ）由图判断， 从哪天开始的连续五天上午 10:00 在该银行取号后等待办理业务的人数的均值最大？ （结论不要求证明）
（ 17）（本小题 14 分）
如图，在四棱锥 A - BCDE 中，平面 ABC 平面 BCDE ,
AB AC CD 2 BE 2 , BE // CD ， CD CB , AB AC . （Ⅰ）求证： 平面 ACD 平面 ABC ；
则 圆 C 的方 程可 以
为
．（写出一个即可）
（ 14）某种物质在时刻 t (min) 的浓度 M (mg/L) 与 t 的函数关系为 M (t) = ar t + 24 （ a , r 为常数） .
在 t = 0 min 和 t = 1 min 测得该物质的浓度分别为 124 mg/L 和 64 mg/L ，那么在 t = 4 min 时，该物 质的浓度为 ______ mg/L ；若该物质的浓度小于 24.001 mg/L ，则最小的整数 t 的值为 _________. （参考数据： lg 2 0.3010 ） 三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （ 15）（本小题 13 分）
东城区2018-2019学年度第二学期高三综合练习二数学理科终稿
高三数学（理）（东城） 第 1 页（共 5 页）北京市东城区2018-2019学年度第二学期高三综合练习（二）2019.5数学 （理科）本试卷共4页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将答题卡交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合2{2,1,0,1,2},{20}A B x x x =--=--≤，则AB =R ð(A){2}- (B) {01}， (C) {2,1,2}-- (D) {1,0,1,2}- （2）执行如图所示的程序框图，输入2,5a b ==，那么输出的,a b 的值分别为（A ）7，3- （B ）3-，3- （C ）5，3- （D ）5， 2（3）已知向量a 与b 不共线，且AB m =+a b (1)m ≠，.AC n =+a b 若,,A B C 三点共线，则实数,m n 满足的条件为 (A)1m n +=(B) 1m n +=-(C) 1mn = (D)1mn =-（4）鲁班锁起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，相传由春 秋时代鲁国工匠鲁班所作. 右图是某个经典的六柱鲁班锁及其六个构件的图片，下图是其中一个构件的三视图（单位：mm ），则此构件的体积为（A ）334000mm （B ） 333000mm （C ） 332000mm （D ）330000mm高三数学（理）（东城） 第 2 页（共 5 页）（5）已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，则“n n S na >对2n ≥恒成立”是“34a a >”的 (A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件（6）教室的图书角摆放了一些阅读书目，其中有3本相同的论语、6本互不相同的近代文学名著，现从这9本书中选出3本，则不同的选法种数为(A) 84 (B) 42 (C) 41 (D)35（7）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，P 是底面ABCD 上的动点，1PA PC ≥，则满足条件的点P 构成的图形的面积等于(A) 12 (B) 4π (C) 44π- (D) 72（8）在交通工程学中，常作如下定义：交通流量Q （辆/小时）：单位时间内通过某一道路横断面的车辆数； 车流速度V （千米/小时）：单位时间内车流平均行驶的距离；车流密度K （辆/千米）：单位长度道路上某一瞬间所存在的车辆数. 一般的， V 和K 满足一个线性关系：00=(1)KV v k -（其中00,v k 是正数），则以下说法正确的是 (A) 随着车流密度的增大，车流速度在逐渐增大 (B) 随着车流密度的增大，交通流量在逐渐增大(C) 随着车流速度的增大，交通流量先减小、后增大 (D) 随着车流速度的增大，交通流量先增大、后减小第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2018届北京市东城区高三第二学期综合练习(一)数学理
2018届北京市东城区高三第二学期综合练习(一)数学理D③()f n (1)f n + ④()f n (2)f n 2()f n ≤其中正确结论的序号为 ．（注：请写出所有正确结论的序号）三、解答题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
(15)（本小题13分） 已知函数f(x)=sin2x+2sin xcos x-cos2x. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期； (Ⅱ)求()f x 在[0,]2π上的最大值和最小值． (16)（本小题13分）从高一年级随机选取100名学生，对他们期中考试的数学和语文成绩进行分析，成绩如图所示．(Ⅰ)从这100名学生中随机选取一人，求该生数学和语文成绩均低于60分的概率；(II ）从语文成绩大于80分的学生中随机选取两人，记这两人中数学成绩高于80分的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望E(ξ);(Ill ）试判断这100名学生数学成绩的方差a 与语文成绩的方差b 的大小．（只需写出结论）(17)（本小题14分）如图1，在边长为2的正方形ABCD 中，P 为CD 中点，分别将△PAD, △PBC 沿 PA,PB 所在直线折叠，使点C 与点D 重合于点O ，如图2．在三棱锥P-OAB 中，E 为 PB 中点． (Ⅰ)求证：PO ⊥AB;(II ）求直线BP 与平面POA 所成角的正弦值； (Ⅲ）求二面角P-AO-E 的大小．(18)（本小题13分） 已知椭圆C ：22221x y a b+=（0ab ）的离心率为32，且过点A(2,0).（Ⅰ）求椭圆C 的方程；(II ）设M,N 是椭圆C 上不同于点A 的两点，且直线 AM ，AN 斜率之积等于14-，试问直线MN 是否过定点？若是，求出该点的坐标；若不是，请说明理由．(19)（本小题14分） 已知函数()(1)xf x e a x =-+.若曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线斜率为0，求a 的值；(Ⅱ）若()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围； (Ⅲ）求证：当a 0a =时，曲线()y f x = (x>0)总在曲线2ln y x =+的上方． (20)（本小题13分）在nXn(n ≥2)个实数组成的n 行n 列的数表中，,i ja 表示第i 行第j 列的数，记12(1)i i i in r a a a i n =+++≤≤．12(1)j j j nj c a a a j n =+++≤≤若,i j a ∈｛-1,0,1}((1,)i j n ≤≤)，且r 1,r 2,…,r n ,c 1,c 2,..,c n ，两两不等，则称此表为“n 阶H 表”，记H={ r 1,r 2,…,r n ,c 1,c 2,..,c n }.(I ）请写出一个“2阶H 表”;(II ）对任意一个“n 阶H 表”，若整数[,]n n λ∈-，且nH λ∉，求证：λ为偶数；(Ⅲ）求证：不存在“5阶H 表”.北京市东城区2017-2018学年度第二学期高三综合练习（一）数学（理科）本试卷共4页,共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1.【答案】B【解析】由题易知，{|31}.A B x x =-<<-故选B2.【答案】B 【解析】(1)1111(1)(1i)222i i i i z i i i +-====-+--+,所以z 在复平面上对应的点为11(,)22-，在第二象限,故选B3.【答案】D【解析】,,a b a b >∴-<-由x y e =在R 上单调递增可知,,0,a b a b e e e e ----<∴-<故选D4.【答案】A【解析】由正切函数定义可知: 44 5tan335yxθ===，4tan()tan3πθθ+==，故选A5.【答案】C【解析】在抛物线中, 24.y x=焦点(1,0),F准线1.x=-|||||| 1.PF PH PM==+P点到y轴的距离为2.|| 2.PM∴=即||||||1 3.PF PH PM==+=故选C6.【答案】C【解析】法一：224210A A-=种法二：1122222210A A A A⨯⨯+=种.故选C7.【答案】D【解析】充分条件的反例，当14a=-，1d=时，114S a==-，2127S a a =+=-，充分不成立.必要条件的反例，例n S n =，11n n n S S a --==，0d =，必要不成立. 故选D.8.【答案】D【解析】由题意可知每位“学习能手”最多做错1道题，5位“学习能手”则最多做错5道题.而至少有3个“学习能手”做错的题目才能称之为“难题”，所以难题最多1道.故选D.第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.【答案】3π【解析】2221cos 222a cb ac B ac ac +-===,3B π∴=10.【答案】1【解析】即求2220x y x +-=圆心到直线1y =的距离，()2211x y ∴-+=的圆心为()1,0.距离为1.11.【答案】6【解析】可行域如右图所示：设2+z x y =即2y z x =-，当2y z x =-过(2,2)B 时，z 取最大值，所以6z =.12.【答案】23+12 【解析】该几何体如图所示：可知2AB AC BC ===,ABC 为等边三角形, 所以12332ABCS =⨯⨯=,所以四边形11ACC A 的面积为 11224ACC A S=⨯=,所以11232312ABCACC A S SS=+=+表.13.【答案】(1,1)a =，(1,2)b =，(2,1)c =（答案不唯一） 【解析】设(1,1)a =，(1,2)b =，(2,1)c =,则3⋅a b =，3⋅a c =，所以⋅⋅a b =a c 但≠b c ，所以若⋅⋅a b =a c ，则b =c 为假命题。
2018年北京市东城高三一模理科数学试题
北京市东城区2017-2018学年度第二学期高三综合练习（一）数学（理科）本试卷共4页,共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.若集合{|31}A x x =-<<，{1B x x =<-或2}>x ，则=I A BA.{|32}x x -<<B.{|31}x x -<<-C.{|11}x x -<<D.{|12}x x <<2.复数1iz i=-在复平面上对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知,a b R ∈，且a b >，则下列不等式一定成立的是A.220a b ->B.cos cos 0a b ->C.110ab-<D.0a b e e ---<4.在平面直角坐标系xOy 中,角θ以Ox 为始边,终边与单位圆交于点34(,)55，则tan()πθ+的值为 A.43B.34C.43-D.34-5.设抛物线24=上一点P到y轴的距离是2,则P到该抛物线焦点的y x距离是A.1B.2C.3D.46.故宫博物院五一期间同时举办“戏曲文化展”、“明代御窖瓷器展”、“历代青绿山水画展”、“赵孟頫书画展”四个展览。
某同学决定在五一当天的上、下午各参观其中的一个，且至少参观一个画展，则不同的参观方案共有A.6种B.8种C.10种D.12种7.设{}n a是公差为d的等差数列，n S为其前n项和，则“0d>”是“{}n S为递增数列”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8.某次数学测试共有4道题目，若某考生答对的题大于全部题的一半，则称他为“学习能手”，对于某个题目，如果答对该题的“学习能手”不到全部“学习能手”的一半，则称该题为“难题”，已知这次测试共有5个“学习能手”，则难题的个数最多为A.4B.3C.2D.1第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若222a c b ac +=+,则B =____________.10.在极坐标系中，圆2cos ρθ=的圆心到直线sin 1ρθ=的距离为_____.11.若,x y 满足041x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2x y +的最大值为_____.12.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为_____.13.设平面向量a,b,c 为非零向量，能够说明若“⋅⋅a b =a c ，则b =c ”是假命题的一组向量a,b,c 的坐标依次为______.14.单位圆的内接正n (3n ≥)边形的面积记为()f n ，则(3)=f ________； 下面是关于()f n 的描述： ①2()=sin2nf n nπ； ②()f n 的最大值为π；③()(1)f n f n <+；④()(2)2()f n f n f n <≤.其中正确结论的序号为________（注：请写出所有正确结论的序号）三、解答题共6小题,共80分.解答应写出文字说明，验算步骤或证明.15.(本题满分13分)已知函数22()sin 2sin cos cos f x x x x x =+- (Ⅰ)求()f x 的最小正周期;(Ⅱ)求()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.16.（本小题满分13分）从高一年级随机选取100名学生，对他们期中考试的数学和语文成绩进行分析，成绩如图所示.（Ⅰ）从这100名学生中随机选取一人，求该生数学和语文成绩均低于60分的概率;（Ⅱ）从语文成绩大于80分的学生中随机选取两人，记这两人中数Eξ;学成绩高于80分的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望()（Ⅲ）试判断这100名学生数学成绩的方差a与语文成绩的方差b的大小.（只需写出结论）17.（本小题14分）如图1，在边长为2的正方形ABCD 中，P 为CD 中点，分别 将,PAD PBC ∆∆沿,PA PB 所在直线折叠，使点C 与点D 重合 于点O ,如图2. 在三棱锥P OAB -中，E 为PB 中点. （Ⅰ）求证：PO AB ⊥；（Ⅱ）求直线BP 与平面POA 所成角的正弦值； （Ⅲ）求二面角P AO E --的大小.18．（本小题13分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>3，且过点()2,0A ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设M ，N 是椭圆C 上不同于点A 的两点，且直线AM ，AN 的斜率之积等于14-，试问直线MN 是否过定点？若是，求出该点的坐标；若不是，请说明理由．19. （本小题满分14分）已知函数()(1)x f x e a x =-+.（Ⅰ）若曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线斜率为0，求a 的值; （Ⅱ）若()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围（Ⅲ）求证：当0a =时，曲线()(0)y f x x =>总在曲线2ln y x =+的上方.20.（本小题13分）在(2)n n n ⨯≥个实数组成的n 行n 列的表中，ij a 表示第i 行第j 列的数，记12(1)i i i in r a a a i n =++⋅⋅⋅+≤≤,12(1)j j j nj c a a a j n =++⋅⋅⋅+≤≤.若{}1,0,1(1,)ij a i j n ∈-≤≤，且1212,,,,,n n r r r c c c ⋅⋅⋅⋅⋅⋅两两不等，则称此表为 “n 阶H 表”，记{}1212,,,,,,,n n n H r r r c c c =⋅⋅⋅⋅⋅⋅. （Ⅰ）请写出一个“2阶H 表”；（Ⅱ）对任意一个“n 阶H 表”，若整数[,]n n λ∈-，且n H λ∉， 求证：λ为偶数；（Ⅲ）求证：不存在“5阶H 表”.北京市东城区2017-2018学年度第二学期高三综合练习（一）数学（理科）本试卷共4页,共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1.【答案】B【解析】由题易知，{|31}.A B x x =-<<-I 故选B2.【答案】B 【解析】(1)1111(1)(1i)222i i i i z i i i +-====-+--+,所以z 在复平面上对应的点为11(,)22-，在第二象限,故选B3.【答案】D【解析】,,a b a b >∴-<-Q 由x y e =在R 上单调递增可知,,0,a b a b e e e e ----<∴-<故选D4.【答案】A【解析】由正切函数定义可知:445tan335yxθ===，4tan()tan3πθθ+==，故选A5.【答案】C【解析】在抛物线中, 24.y x=焦点(1,0),F准线1.x=-|||||| 1.PF PH PM==+P点到y轴的距离为2.|| 2.PM∴=即||||||1 3.PF PH PM==+=故选C6.【答案】C【解析】法一：224210A A-=种法二：1122222210A A A A⨯⨯+=种.故选C7.【答案】D【解析】充分条件的反例，当14a=-，1d=时，114S a==-，2127S a a =+=-，充分不成立.必要条件的反例，例n S n =，11n n n S S a --==，0d =，必要不成立. 故选D.8.【答案】D【解析】由题意可知每位“学习能手”最多做错1道题，5位“学习能手”则最多做错5道题.而至少有3个“学习能手”做错的题目才能称之为“难题”，所以难题最多1道.故选D.第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9.【答案】3π【解析】2221cos 222a cb ac B ac ac +-===,3B π∴=10.【答案】1【解析】即求2220x y x +-=圆心到直线1y =的距离，()2211x y ∴-+=的圆心为()1,0.距离为1.11.【答案】6【解析】可行域如右图所示：设2+z x y =即2y z x =-，当2y z x =-过(2,2)B 时，z 取最大值，所以6z =.12.【答案】23+12 【解析】该几何体如图所示：可知2AB AC BC ===,ABC V 为等边三角形, 所以12332ABCS =⨯⨯=V 所以四边形11ACC A 的面积为 11224ACC A S =⨯=Y ,所以11232312ABC ACC A S S S =+=+V Y 表.13.【答案】(1,1)a =，(1,2)b =，(2,1)c =（答案不唯一） 【解析】设(1,1)a =，(1,2)b =，(2,1)c =,则3⋅a b =，3⋅a c =，所以⋅⋅a b =a c 但≠b c ，所以若⋅⋅a b =a c ，则b =c 为假命题。
【高三数学试题精选】2018东城区高三数学理科3月质量调研试题(附答案)
2018东城区高三数学理科3月质量调研试题（附答案）
5 东城区2”是“直线l1ax＋2－1＝0与
直线l2x＋(a＋1)＋4＝0平行”的
A．充分不必要条 B．必要不充分条
c．充分必要条 D．既不充分也不必要条
4．将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能取值为
A B c D
5．设a，b是两个非零向量．则下列命题为真命题的是
A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥b
B．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|
c．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得a＝λb
D．若存在实数λ，使得a＝λb，则|a＋b|＝|a|－|b|
6．某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为
的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为和的线段，则的最大值为
A B c D
7 已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线交于第一象限的点 ,若在点处的切线平行于的一条渐近线，则
A B c D
8．设a＞0，b＞0．[
A．若，则a＞b
B．若，则a＜b
c．若，则a＞b
D．若，则a＜b
非选择题部分（共110分）。
2018年北京市东城高三一模理科数学试题
北京市东城区2017-2018学年度第二学期高三综合练习（一）数学（理科）本试卷共4页,共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试终止后,将试卷和答题卡一并交回.第一部份（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题,每题5分,共40分.在每题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.假设集合{|31}A x x =-<<，{1B x x =<-或2}>x ，那么=A BA.{|32}x x -<<B.{|31}x x -<<-C.{|11}x x -<<D.{|12}x x << 2.复数1i z i=-在复平面上对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知,a b R ∈，且a b >，那么以下不等式必然成立的是A.220a b ->B.cos cos 0a b ->C.110a b -<D.0a b e e ---< 4.在平面直角坐标系xOy 中,角θ以Ox 为始边,终边与单位圆交于点34(,)55，那么tan()πθ+的值为 A.43 B.34 C.43- D.34- 5.设抛物线24y x =上一点P 到y 轴的距离是2,则P 到该抛物线核心的距离是A.1B.2C.3D.46.故宫博物院五一期间同时举行“戏曲文化展”、“明代御窖磁器展”、“历代青绿山水画展”、“赵孟頫书画展”四个展览。
某同窗决定在五一当天的上、下午各参观其中的一个，且至少参观一个画展，那么不同的参观方案共有A.6种B.8种C.10种D.12种7.设{}n a是公差为d的等差数列，n S为其前n项和，那么“0d>”是“{}n S为递增数列”的A.充分而没必要要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8.某次数学测试共有4道题目，假设某考生答对的题大于全数题的一半，那么称他为“学习能手”，关于某个题目，假设是答对该题的“学习能手”不到全数“学习能手”的一半，那么称该题为“难题”，已知这次测试共有5个“学习能手”，那么难题的个数最多为A.4B.3C.2D.1第二部份（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题,每题5分,共30分.9.在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边别离为,,a b c ，假设222a c b ac +=+,则B =____________.10.在极坐标系中，圆2cos ρθ=的圆心到直线sin 1ρθ=的距离为_____.11.假设,x y 知足041x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2x y +的最大值为_____.12.某几何体的三视图如下图，那么该几何体的表面积为_____.13.设平面向量a,b,c 为非零向量，能够说明假设“⋅⋅a b =a c ，那么b =c ”是假命题的一组向量a,b,c 的坐标依次为______.14.单位圆的内接正n (3n ≥)边形的面积记为()f n ，则(3)=f ________；下面是关于()f n 的描述：①2()=sin 2n f n n π； ②()f n 的最大值为π； ③()(1)f n f n <+；④()(2)2()f n f n f n <≤. 其中正确结论的序号为________（注：请写出所有正确结论的序号）三、解答题共6小题,共80分.解许诺写出文字说明，验算步骤或证明.15. (此题总分值13分)已知函数22()sin 2sin cos cos f x x x x x =+-(Ⅰ)求()f x 的最小正周期;(Ⅱ)求()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.16.（本小题总分值13分）从高一年级随机选取100名学生，对他们期中考试的数学和语文成绩进行分析，成绩如下图.（Ⅰ）从这100名学生中随机选取一人，求该生数学和语文成绩均低于60分的概率; （Ⅱ）从语文成绩大于80分的学生中随机选取两人，记这两人中数学成绩高于80Eξ;分的人数为ξ，求ξ的散布列和数学期望()（Ⅲ）试判定这100名学生数学成绩的方差a与语文成绩的方差b的大小.（只需写出结论）17.（本小题14分）如图1，在边长为2的正方形ABCD 中，P 为CD 中点，别离将,PAD PBC ∆∆沿,PA PB 所在直线折叠，使点C 与点D 重合于点O ,如图2. 在三棱锥P OAB -中，E 为PB 中点.（Ⅰ）求证：PO AB ⊥；（Ⅱ）求直线BP 与平面POA 所成角的正弦值；（Ⅲ）求二面角P AO E --的大小.18．（本小题13分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>3()2,0A ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设M ，N 是椭圆C 上不同于点A 的两点，且直线AM ，AN 的斜率之积等于14-，试问直线MN 是不是过定点？假设是，求出该点的坐标；假设不是，请说明理由．19. （本小题满分14分）已知函数()(1)x f x e a x =-+.（Ⅰ）假设曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线斜率为0，求a 的值;（Ⅱ）若()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围（Ⅲ）求证：当0a =时，曲线()(0)y f x x =>总在曲线2ln y x =+的上方.20.（本小题13分）在(2)n n n ⨯≥个实数组成的n 行n 列的表中，ij a 表示第i 行第j 列的数， 记12(1)i i i in r a a a i n =++⋅⋅⋅+≤≤,12(1)j j j nj c a a a j n =++⋅⋅⋅+≤≤.若{}1,0,1(1,)ij a i j n ∈-≤≤，且1212,,,,,n n r r r c c c ⋅⋅⋅⋅⋅⋅两两不等，那么称此表为“n 阶H 表”，记{}1212,,,,,,,n n n H r r r c c c =⋅⋅⋅⋅⋅⋅.（Ⅰ）请写出一个“2阶H 表”；（Ⅱ）对任意一个“n 阶H 表”，假设整数[,]n n λ∈-，且n H λ∉，求证：λ为偶数；（Ⅲ）求证：不存在“5阶H 表”.北京市东城区2017-2018学年度第二学期高三综合练习（一）数学（理科）本试卷共4页,共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试终止后,将试卷和答题卡一并交回.第一部份（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题,每题5分,共40分.在每题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.【答案】B【解析】由题易知，{|31}.A B x x =-<<-应选B2.【答案】B 【解析】(1)1111(1)(1i)222i i i i z i i i +-====-+--+,因此z 在复平面上对应的点为11(,)22-，在第二象限,应选B3.【答案】D【解析】,,a b a b >∴-<-由x y e =在R 上单调递增可知,,0,a b a b e e e e ----<∴-<应选D4.【答案】A【解析】由正切函数概念可知: 445tan 335y x θ===，4tan()tan 3πθθ+==， 应选A5.【答案】C【解析】在抛物线中, 24.y x =核心(1,0),F 准线 1.x =-|||||| 1.PF PH PM ==+P 点到y 轴的距离为2.|| 2.PM ∴=即||||||1 3.PF PH PM ==+=应选C6.【答案】C【解析】法一：224210A A -=种法二：1122222210A A A A ⨯⨯+=种.应选C7.【答案】D【解析】充分条件的反例，当14a =-，1d =时，114S a ==-，2127S a a =+=-，充分不成立.必要条件的反例，例n S n =，11n n n S S a --==，0d =，必要不成立. 应选D.8.【答案】D【解析】由题意可知每位“学习能手”最多做错1道题，5位“学习能手”那么最多做错5道题.而至少有3个“学习能手”做错的题目才能称之为“难题”，因此难题最多1道.应选D.第二部份（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题,每题5分,共30分.9.【答案】3π【解析】2221cos222a cb acBac ac+-===,3Bπ∴=10.【答案】1【解析】即求2220x y x+-=圆心到直线1y=的距离，()2211x y∴-+=的圆心为()1,0.距离为1.11.【答案】6【解析】可行域如右图所示：设2+z x y =即2y z x =-，当2y z x =-过(2,2)B 时，z 取最大值，因此6z =.12.【答案】23+12 【解析】该几何体如下图：可知2AB AC BC ===,ABC 为等边三角形, 因此12332ABCS=⨯⨯=,因此四边形11ACC A 的面积为 11224ACC A S=⨯=,因此11232312ABCACC A S SS=+=表.13.【答案】(1,1)a =，(1,2)b =，(2,1)c =（答案不唯一） 【解析】设(1,1)a =，(1,2)b =，(2,1)c =,那么3⋅a b =，3⋅a c =，因此⋅⋅a b =a c 但≠b c ，因此假设⋅⋅a b =a c ，那么b =c 为假命题。
北京东城区2018-2019届高三第二次统练数学试卷及答案(理科)
北京市东城区2018-2019学年度第二学期高三综合练习（二）数学 （理科）本试卷共4页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将答题卡交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合2{2,1,0,1,2},{20}A B x x x =--=--≤，则AB =R(A){2}- (B) {01}， (C) {2,1,2}-- (D) {1,0,1,2}- （2）执行如图所示的程序框图，输入2,5a b ==，那么输出的,a b 的值分别为（A ）7，3- （B ）3-，3- （C ）5，3- （D ）5， 2（3）已知向量a 与b 不共线，且AB m =+a b (1)m ≠，.AC n =+a b 若,,A B C 三点共线，则实数,m n 满足的条件为 (A)1m n +=(B) 1m n +=-(C) 1mn = (D)1mn =-（4）鲁班锁起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，相传由春 秋时代鲁国工匠鲁班所作. 右图是某个经典的六柱鲁班锁及其六个构件的图片，下图是其中一个构件的三视图（单位：mm ）， 则此构件的体积为（A ）334000mm （B ） 333000mm （C ） 332000mm （D ）330000mm （5）已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，则“n n S na >对2n ≥恒成立”是“34a a >”的(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件（6）教室的图书角摆放了一些阅读书目，其中有3本相同的论语、6本互不相同的近代文学名著，现从这9本书中选出3本，则不同的选法种数为(A) 84 (B) 42 (C) 41 (D)35（7）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，P 是底面ABCD 上的动点，1PA PC ≥，则满足条件的点P 构成的图形的面积等于(A) 12 (B) 4π (C) 44π- (D) 72（8）在交通工程学中，常作如下定义：交通流量Q （辆/小时）：单位时间内通过某一道路横断面的车辆数； 车流速度V （千米/小时）：单位时间内车流平均行驶的距离； 车流密度K （辆/千米）：单位长度道路上某一瞬间所存在的车辆数. 一般的， V 和K 满足一个线性关系：00=(1)KV v k -（其中00,v k 是正数），则以下说法正确的是 (A) 随着车流密度的增大，车流速度在逐渐增大 (B) 随着车流密度的增大，交通流量在逐渐增大 (C) 随着车流速度的增大，交通流量先减小、后增大 (D) 随着车流速度的增大，交通流量先增大、后减小第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2018届北京市东城区普通高中示范校高三3月联考综合练
东城区普通高中示范校高三综合练习(二)高三数学（理）2018.3一、选择题：本大题共8小题．每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合2{40}A x x =->，1{2}4x B x =<，则A B = （ ）A ．{}2x x > B. {}2x x <- C. {}22或x x x <-> D. 12x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭2．已知复数2(1)(2)z a a i =-+-(a R ∈),则“1a =”是“z 为纯虚数”的（ ）A ．充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 非充分非必要条件3．在极坐标系中，过点(3,)3π且垂直于极轴的直线方程（ ）A ．3sin 2=ρθ B. 3cos 2=ρθ C. 3sin 2=ρθ D.3cos 2=ρθ 4．如果执行右面的程序框图，那么输出的t =（ ）A.96B. 120C.144D. 3005．已知2,,z x y x y =+满足2y xx y x m ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，且z 的最大值是最小值的4倍，则m 的值是（ ）A ．14B ．15C ．16D ．176．已知底面为正方形的四棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的（ ） [ZA ． B. C. D.7．已知数列{}n a 满足*7(13)10,6(),6--+≤⎧=∈⎨>⎩N n n a n a n a n a n ，若{}n a 是递减数列，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12C. ⎝ ⎛⎭⎪⎫58，1 D. ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，58 8．已知函数2342013()12342013x x x x f x x =+-+-++ 则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 在(0,1)上恰有一个零点 B. ()f x 在(0,1)上恰有两个零点C. ()f x 在(1,0)-上恰有一个零点D. ()f x 在(1,0)-上恰有两个零点二.填空题（每题5分,共6小题）9．已知随机变量X 的分布列如下，则EX 的值等于10．若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与直线y =无交点，则离心率e 的取值范围是 .11.如图，是圆O 的切线，切点为A ，D 点在圆内，DB 与圆相交于C ，若3BC DC ==，2=OD ，6AB =，则圆O的半径为 .12．在ABC ∆中，D 为BC 中点，若120BAC ∠=︒，1AB AC ⋅=-，则AD的最小值是 .13．有6名同学参加两项课外活动，每位同学必须参加一项活动且不能同时参加两项，每项活动最多安排4人，则不同的安排方法有________种．（用数字作答）14．已知直线:1(R)l y ax a a =+-∈，若存在实数a 使得一条曲线与直线l 有两个不同的交点，且以这两个交点为端点的线段的长度恰好等于a ，则称此曲线为直线l 的“绝对曲线”．下面给出的三条曲线方程：①21y x =--；②22(1)(1)1x y -+-=；③2234x y +=．其中直线l 的“绝对曲线”有＿＿＿＿＿．（填写全部正确选项的序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.(本小题满分13分) 已知函数,2cos26sin 6sin )(2x x x x f ωπωπω-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+= 其中 R x ∈,0>ω.（1）求函数)(x f 的值域；（2）若函数)(x f 的图象与直线1-=y 的两个相邻交点间的距离为2π，求函数)(x f 的单调增区间.16．(本小题满分13分) 某地区举办了一次数学知识应用竞赛．有近万名学生参加，为了分析竞赛情况，在参赛学生中随机抽取了40名学生的成绩，并根据他们的成绩制作了频率分布直方图（如图所示）． (1) 试估计这40名学生成绩的众数；(2) 试估计这40名学生的成绩在(]84 72,之间的人数；(3) 从参加活动的学生中任取5人，求这5人中恰有2人的成绩在(]09 80, 之间的概率．17. (本小题满分13分) 在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为矩形，ABCD PD 底面⊥，1=AB ，2=BC ，3=PD ，F G 、分别为CD AP 、的中点．（1）求证：PC AD ⊥； （2）求证：//FG 平面BCP ；（3）线段AD 上是否存在一点R ，使得平面⊥BPR 平面PCB ，若存在，求出AR的长；若不存在，请说明理由．18. (本小题满分13分) 设ax x x x f 22131)(23++-=（1）若)(x f 在),32(+∞上存在单调递增区间，求a 的取值范围； （2）当20<<a 时，)(x f 在]4,1[上的最小值为316-，求)(x f 在该区 间上的最大值.19．(本小题满分14分) 已知平面内一动点P到点)1,0(F的距离与点P到x轴的距离的差等于1．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线,l l，设1l与轨迹C相交于点12,A B，2l与轨迹C相交于点,D E，求 的最小值．20．(本小题满分14分) 已知数集{}),(,,,302121≥<<<≤=n a a a a a a A n n 具有性质P ：对)(,n j i j i ≤≤≤∀1 ，i j a a +与i j a a -两数中至少有一个属于A ． (1) 分别判断数集{}310,,与数集{}6420,,,是否具有性质P ，说明理由； (2) 求证：n n a na a a 221=+++ ；(3) 已知数集{}821a a a A ,,, =具有性质P ．证明：数列821a a a ,,, 是等差数列．东城区普通高中示范校高三综合练习(二)高三数学（理）参考答案2018.3一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.已知函数2cos26sin 6sin )(2x x x x f ωπωπω-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=其中 R x ∈,0>ω. （1）求函数)(x f 的值域；（2）若函数)(x f 的图象与直线1-=y 的两个相邻交点间的距离为2π，求函数)(x f 的单调增区间.解：（1）)cos 1(21cos 23sin 21cos 23sin )(x x x x x x f ωωωωω+-⋅-⋅+⋅+⋅= =1)6sin(21cos sin 3--=--πωωωx x x …………………………………5分所以函数)(x f 的值域为[]1,3- …………………………………………………7分（2）由2221πωπ=⋅得2=ω …………………………………………………9分所以1)62sin(2)(--=πx x f由πππππk x k 226222+≤-≤+-………………………………………11分得ππππk x k +≤≤+-36所以函数)(x f 的单调增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-ππππk k 3,6)(Z k ∈. ………13分16．某地区举办了一次数学知识应用竞赛．有近万名学生参加，为了分析竞赛情况，在参赛学生中随机抽取了40名学生的成绩，并根据他们的成绩制作了频率分布直方图（如图所示）． (1) 试估计这40名学生成绩的众数；(2) 试估计这40名学生的成绩在(]8472,之间的人数；(3) 从参加活动的学生中任取5人，求这5人中恰有2人的成绩在(]0980,之间的概率．解：(1) 77.5；………………………………………3分(2) 所求为：直线72⨯，=x之间的直方图的面积40x与直线84=因此，6(=..⨯.+⨯ (7)+⨯)⨯0403.194400450355分答：这40名学生的成绩在(]8472,之间的有20人．（答19人也算对）……………8分(3) 设这5人中恰有2人的成绩在(]0980,之间为事件A，因为3.05)02.004.0(=⨯+ ……………………………………10分所以308701071033225.)(=⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=C A P ……………………………………12分答：这5人中恰有2人的成绩在(]09 80,之间的概率为0．3087． ………13分17. 在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为矩形，ABCD PD 底面⊥，1=AB ，2=BC ，3=PD ，FG 、分别为CD AP 、的中点．（1）求证：PC AD ⊥； （2）求证：//FG 平面BCP ；（3）线段AD 上是否存在一点R ，使得平面⊥BPR 平面PCB ， 若存在，求出AR 的长；若不存在，请说明理由．（1）证明： 底面ABCD 为矩形 CD AD ⊥∴ ABCD AD ABCD PD 平面底面⊂⊥ ,PD AD ⊥∴D PD CD = PDC AD 平面⊥∴ABCDPC 平面⊂PC AD ⊥∴ …………………………………4分（2）证明：取H BP 中点，连接CH GH , 中点分别为DC AP F G ,,GH ∴=//AB 21,FC =//AB 21 GH ∴=//FC GFCH 四边形∴是平行四边形，FG ∴//CH ，BCP CH 平面⊂，BCP FG 平面⊄FG∴//BCP 平面 ……………………………………8分(3) ABCD PD 平面⊥ ，以D 为坐标原点，以DP DC DA ,,所在的直线分别为x轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，假设在线段AD 上存在一点R ，使得平面⊥BPR 平面PCB ， 设),,(00m R ，)3,0,0(),0,1,2(),0,1,0(P B C )0,0,2(= )3,1,2(-= )0,1,2(m RB -= )3,0,(m RP -= 设平面BCP 的法向量为),,(1111z y x n =⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅011n n ， ⎩⎨⎧=-+=032021111z y x x ， 令 31=y ),,(1301=n设平面BPR 的法向量为),,(2222z y x n =⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0022n n RB ⎩⎨⎧=+-=+-030)2(2222z m x y x m 令12=x ),,(3212m m n -= 021=⋅n n 0323=+-∴m m )( ，解得 23=m ∴线段AD 上存在点R ，且当21=AR 时，使得平面⊥BPR 平面PCB . ……………13分18.设ax x x x f 22131)(23++-=（1）若)(x f 在),32(+∞上存在单调递增区间，求a 的取值范围； （2）当20<<a 时，)(x f 在]4,1[上的最小值为316-，求)(x f 在该区间上的最大值.解答 （1）a x a x x x f 241)21(2)(22'++--=++-= ……………………………2分)(x f 在),(+∞32上存在单调递增区间∴存在),32(+∞的子区间),(n m ，使得),(n m x ∈时0>)('x f)('x f 在),(+∞32上单调递减032>∴)('f ，即0292)32('>+=a f 解得91->a∴当91->a 时，)(x f 在),(+∞32上存在单调递增区间 ………………………………6分（2）令0=)('x f 20<<a∴28111a x +-=；28112ax ++= ∴)(x f 在),(),,(+∞-∞21x x 上单调递减，在),(21x x 上单调递增20<<a 4121<<<∴x x∴)(x f 在),(21x 上单调递增，在),(42x 上单调递减 …………………………………8分 所以)(x f 的最大值为)(2x f0622714<+-=-a f f )()( ，31634084-=-=∴a f )( ………………………10分解得212==x a , 310)2()()(2==∴f x f x f 的最大值为 ……………………13分19．已知平面内一动点P 到点)1,0(F 的距离与点P 到x 轴的距离的差等于1． （I ）求动点P 的轨迹C 的方程；（II ）过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线12,l l ，设1l 与轨迹C 相交于点,A B ，2l 与轨迹C 相交于点,D E ，求AD EB ∙的最小值．解析：（1）设动点P 的坐标为(,)x y ，由题意得1)1(22=--+y y x ……………2分化简得y y x 222+=当0≥y 时y x 42=；当0<y 时0=x 所以动点P 的轨迹C 的方程为y x 42=和0=x （0<y ） ………………………5分（2）由题意知，直线1l 的斜率存在且不为0，设为k ，则1l 的方程为 1+=kx y ． 由 044x 4122=-⎩⎨⎧-=+=kx y x kx y 得 设1122(,),(,),A x y B x y 则4,42121-==+x x k x x ，1,2421221=+=+y y k y y (7)分因为12l l ⊥，所以2l 的斜率为1k-．设),(),,(4433y x E y x D ，则同理可得4,44343-=-=+x x k x x ，1,2443243=+=+y y ky y (8)分)1)(1()1)(1()()(2143+++++=+=⋅+⋅=⋅+⋅+⋅+⋅=+⋅+=∙y y y y FB FD FB AF EF FD EF AF1)(1)(21214343+++++++=y y y y y y y y …………………………………11分16248)1(484482222=⨯+≥++=++=k k k k ……………………………13分当且仅当221k k=即1k =±时，AD EB ∙ 取最小值16． …………………………14分20．已知数集{}),(,,,302121≥<<<≤=n a a a a a a A n n 具有性质P ：对)(,n j i j i ≤≤≤∀1 ，i j a a +与i j a a -两数中至少有一个属于A ．(1) 分别判断数集{}310,,与数集{}6420,,,是否具有性质P ，说明理由； (2) 求证：n n a na a a 221=+++ ；(3) 已知数集{}821a a a A ,,, =具有性质P ．证明：数列821a a a ,,, 是等差数列． 解： (1)由于13-和13+都不属于集合{}310,,，所以该集合不具有性质P ；由于02+、04+、06+、24+、26-、46-、00-、22-、44-、66-都属于集合{}6420,,,，所以该数集具有性质P ． …………………………………………4分(2){}n a a a A ,,, 21=具有性质P ，所以n n a a +与n n a a -中至少有一个属于A由n a a a <<<≤ 210，有n n n a a a >+，故A a a n n ∉+A a a n n ∈-=∴0，故01=a n a a a a <<<<= 3210n k n a a a >+∴，故),,,(n k A a a k n 32=∉+由A 具有性质P 知，),,,(n k A a a k n 32=∈-又121a a a a a a a a n n n n n n -<-<<-<-- ，1a a a n n =-∴，21a a a n n =--，…，12-=-n n a a a ，n n a a a =-1从而n n n n n n n a a a a a a a a a a a +++=-+-++-+-- 21121)()()()(故n n na a a a =+++)( 212n n a n a a a 221=+++∴ ……………………8分 (3)由(2)可知，),,,(n i a a a n i n i 211==+-+),,,(82189 ==+∴-i a a a i i …………………………① 由872a a a =+知，73a a +，74a a +，…，，77a a +均不属于A 由A 具有性质P ，37a a -，47a a -，…，，77-a a 均属于A 3837476777a a a a a a a a a a -<-<-<<-<-∴ 638a a a =-∴077=-∴a a ，267a a a =-，357a a a =-，…，537a a a =- 即),,,(72178 ==+-i a a a i i …………………………② 由①②可知),,,)((82117898 =--=-=--i a a a a a a i i i ),,,(821178 =-=-∴-i a a a a i i 故821a a a ,,, 构成等差数列． …………………………………13分。
2018届北京市东城区高三第二学期综合练习(一)数学理-(27660)
北京市东城区2017-2018学年度第二学期高三综合练习（一）数学（理科） 2018. 4本试卷共4页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
(1)若集合{}31A x x =-,{}12B x x x =-或，则A B =(A) {}32x x - (B) {}31x x --(C) {}11x x - (D) {}11x x -(2）复数1i z i=-在复平面上对应的点位于 (A)第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限(3)已知,a b R ∈，且a b ，则下列不等式一定成立的是(A) 220a b - (B) cos cos 0a b -(C) 110a b - (D) 0a be e ---(4)在平面直角坐标系xOy中，角θ以Ox 为始边，终边与单位圆交于点（35，45），则tan()θπ+的值为(A)43(B)34(C)43-(D) 34-(5)设抛物线24y x=上一点P到y轴的距离是2，则P到该抛物线焦点的距离是(A)1 (B) 2 (C)3 (D)4(6)故宫博物院五一期间同时举办“戏曲文化展”、“明代御窖瓷器展”、“历代青绿山水画展”、“赵孟頫书画展”四个展览．某同学决定在五一当天的上、下午各参观其中的一个，且至少参观一个画展，则不同的参观方案共有(A)6种（B) 8种（C) 10种（D) 12种(7)设{}na是公差为d的等差数列，n S为其前n项和，则“d>0”是“{}nS为递增数列”的(A）充分而不必要条件（B)必要而不充分条件(C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件(8)某次数学测试共有4道题目，若某考生答对的题大于全部题的一半，则称他为“学习能手”，对于某个题目，如果答对该题的“学习能手”不到全部“学习能手”的一半，则称该题为“难题”．已知这次测试共有5个“学习能手”，则“难题”的个数最多为(A)4 (B) 3 (C)2 (D)1第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2018北京市东城区高三综合练习{二}数 学(理)
2018北京市东城区高三综合练习{二}数学（理）本试卷共 4 页，共 150 分。
考试时长 120 分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分{选择题共 40 分)一、选择题共 8小题，每小题5分，共 40 分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的-项。
(1)若集合 A= {xl-1<x<2} ，B= {xlx<-2 或 x>l} ，则 AUB=A.{xlx<一2 或 x>l}B.{xlx<-2 或 x> 一 1}C.{xl-2<x<2}D.{xI1<x<2}(2)复数(1 +i)(2一i)=A.3+iB.1+iC.3-ID.1-i（3）在（x+）5的展开式&x3中的系数10,则实数 a 等于A.-1B.C.1D.2（4）已知双曲线 C: -=1 的一条渐近线的倾斜角为60°，且与椭圆+y²=1有相等的焦距，则 C 的方程为（A）- y²（B）-=1（C）x²-=1（D）-=1(5)设 a ，b 是非零向量，则是"a//b"的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D. 既不充分也不必要条件(6)某公司为了解用户对其产品的满意度，从甲、乙两地区分别随机调查了 100 个用户，根据用户对产品的满意度评分，分别得到甲地区和乙地区用户满意度评分的频率分布直方图.若甲地区和乙地区用户满意度评分的中位数分别为叫m1，m2 ;标准差分别为 S1 ,S2则下面正确的是则下面正确的是(A)m1>m2，S1>S2(C)m1<m2，S1<S2(B)m1>m2，S1<S2(D)m1 <m2，S1 >S2(7) 己知函数 f(x) =log2 x ，g(x) =2x+α，若存在x1,x2∈，使得f(x1) = g(X2) ，则 a的取值范围是A.B.（-∞，-50+∞）C.(- 5，0)D.（-∞，-5）（0，+∞）(8)A，B，C，D 四名工人一天中生产零件的情况如图所示，每个点的横、纵坐标分别表示该工人一天中生产的Ⅰ型、Ⅱ型零件数，则下列说法错误的是A.四个工人中，D 的日生产零件总数最大B.A，B 日生产零件总数之和小于 C ，D 日生产零件总数之和C.A，B 日生产Ⅰ型零件总数之和小于Ⅱ型零件总数之和(D)A，B，C，D 日生产Ⅰ型零件总数之和小于Ⅱ型零件总数之和第二部分(非选择题共 110 分)二、填空题共 6小题，每小题 5 分，共 30 分。
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北京市东城区2018—2018学年度综合练习（一）高三数学（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷（选择题，共40分）注意事项： 1．答第一卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号、考试科目填写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
不能答在试卷上。
一、选择题：本大题共8小题. 每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．2)1(i i -⋅等于（ ）A ．i 22-B ．i 22+C ．－2D ．22．已知62)2(p x x-的展开式中，不含x 的项是2720，那么正数p 的值是 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．在△ABC 中，已知sin C =2sin （B+C ）cos B ，那么△ABC 一定是 （ ）A ．等腰直角三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等边三角形 4．已知直线x y 2=上一点P 的横坐标为a ，有两个点A （－1，1）、B （3，3），那么使向量与夹角为钝角的一个充分但不必要的条件是（ ）A ．－1<a <2B ．0<a <1C ．2222<<-aD ．0< a <25x则不等式0|)(|<x f的解集为（ ）A ．{ x |－1< x <1}B ．{ x | x <－1或x >1}C ．{ x |0< x <1}D ．{ x |－1< x <0或0< x <1}6．有一排7只发光二级管，每只二级管点亮时可发出红光或绿光，若每次恰有3只二级管 点亮，但相邻的两只二级管不能同时点亮，根据这三只点亮的二级管的不同位置或不同颜色来表示不同的信息，则这排二级管能表示的信息种数共有 （ ）A ．10B ．48C ．60D ．807．设f （x ）是定义在实数集R 上的函数，满中f （0）=1，且对任意实数a ，b 都有 )12()()(+-=--b a b b a f a f ，则f （x ）的解析式可以是 （ ）A ．1)(2++=x x x fB ．12)(2++=x x x fC ．1)(2+-=x x x fD ．12)(2+-=x x x f8．已知}{n a 是首项为1，公比为q 的等比数列，)2*,(123121>∈+++++=+n N n C a C a C a a P nn n n n n ，m nn n n n C C C C Q +++= 420，（其中m=2[2n]，[t]表示t 的最大整数，例如[2，5]=2）.如果数列 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n Q P 有极限，那么公比q 的取值范围是（ ）A ．0,11≠≤<-q q 且B ．0,11≠<<-q q 且C ．0,13≠≤<-q q 且D ．0,13≠<<-q q 且第Ⅱ卷（共110分）注意事项： 1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上. 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在题中横线上.9．某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2:3:4，现用分层抽样方 法抽出一个容量为n 的样本，样本中A 种型号产品有16件. 那么比样本的容量n = .10．若焦点在x 轴上的椭圆1222=+my x 的离心率为21，则m= .11．如果过点（0，1）斜率为k 的直线l 与圆0422=-+++my kx y x 交于M 、N 两点，且M 、N 关于直线x +y=0对称，那么直线l 的斜率k = ；不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-≥+-0,0,01y m y kx y kx 表示的平面区域的面积是 . 12．设函数⎩⎨⎧≤++>=,)0(),0(2)(2x cbx x x x f 若2)2(),0()4(-=-=-f f f ，则)(x f 的解析式为)(x f = ，关于x 的方程)(x f =x 的解的个数为 .13．已知过球面上三点A 、B 、C 的截面到球心的距离等于球半径的一半，且AC=BC=6，AB=4，则球的半径等于 ，球的表面积等于 .14．设函数)22,0()sin()(πϕπωϕω<<->+=x x f ，给出以下四个结论：①它的周期为π②它的图象关于直线12π=x 对称；③它的图象关于（0,3π）对称；④在区间（)0,6π-上是增函数. 以其中两个论断为条件，另两个论断作结论，写出你认为正确的一个命题： . （注：填上你认为是正确的一种答案即可）三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分） 学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，现从中选2人，设ξ为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且P （ξ>0）=.107（1）求文娱队的人数；（2）写出ξ的概率分布列关计算E ξ. 16．（本小题满分13分）已知函数c bx ax x x f +++=23)(，曲线)(x f y =在点x =1处的切线l 不过第四象限且斜率为3，又坐标原点到切线l 的距离为1010，若32=x 时，)(x f y =有极值.（1）求a 、b 、c 的值；（2）求)(x f y =在[－3，1]上的最大值和最小值.17．（本小题满分14分） 如图，三棱锥P —ABC 中，PC ⊥平面ABC ，PC=AC=2，AB=BC ，D 是PB 上一点，且CD ⊥平面PAB.（1）求证：AB ⊥平面PCB ；（2）求异面直线AP 与BC 所成角的大小； （3）求二面角C —PA —B 的大小.18．（本小题满分13分）设A ，B 分别是直线x y 552=和x y 552-=上的两个动点，并且20||=AB ，动点P 满足.OB OA OP +=记动点P 的轨迹为C. （1）求轨迹C 的方程；（2）若点D 的坐标为（0，16），M 、N 是曲线C 上的两个动点，且)1(≠=λλ， 求实数λ的取值范围.19．（本小题满分13分）已知),1(10)(,)1()(2-=-=x x g x x f 数列}{n a 满足)(,211n n a a a -=+ =+)()(n n a f a g).1)(2(109,0-+=n n a n b （1）求证：数列}1{-n a 是等比数列；（2）当n 取何值时，b n 取最大值，并求出最大值；（3）若11++<m m m m b t b t 对任意*N m ∈恒成立，求实数t 的取值范围. 20．（本小题满分14分）已知函数).0(|,11|)(>-=x xx f （1）当,0b a <<且)()(b f a f =时，求证：;1>ab（2）是否存在实数a ，b （a <b ），使得函数)(x f y =的定义域、值域都是[a ，b]，若存在， 则求出a ，b 的值，若不存在，请说明理由.（3）若存在实a ，b （a <b ），使得函数)(x f y =的定义域为[a ，b]时，值域为[m a ，mb] （0≠m ），求m 的取值范围.北京东城区高三数学（理科）参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．D 2．C 3．B 4．B 5．D 6．D 7．A 8．C 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9．72 10．23 11．1，41 12．⎩⎨⎧≤++>=)0(24)0(2)(2x x x x x f ，3 13．π54,263 14．①②⇒③④，①③⇒②④ 三、解答题（本大题6小题，共80分） 15．（本小题满分13分）解：设既会唱歌又会跳舞的有x 人，则文娱队中共有（7－x ）人，那么只会一项的人数是（7－2x ）人. （1）107)0(1)1()0(==-=≥=>ξξξP P P ，.103)0(==∴ξP …………3分 即.103)6)(7()26)(27(.10327227=----∴=--x x x x C C xx2=∴x ………………5分 故文娱队共有5人.……………………7分（2）ξ的概率分布列为P （ξ=1）=,52542=C ………………9分P （ξ=2）=,1012522=C C …………11分.110125311030=⨯+⨯+⨯=∴ξE …………………………13分 16．（本小题满分13分） 解：（1）由c bx ax x x f +++=23)(，得.23)(2b ax x x f ++='………………2分当x =1时，切线l 的斜率为3，可得2a +b=0. ① 当,32时=x )(x f y =有极值，则0)32(='f ，可得4a +3b+4=0. ②由①、②解得a =2，b=－4.………………5分 设切线l 的方程为y=3x +m.由原点到切线l 的距离为1010. 则101013||2=+m 解得m=±1. ∵切线l 不过第四象限，∴m=1.…6分由于切点的横坐标为x =1，∴f （1）=4. ∴1+a +b+c=4. ∴c=5. ………………7分（2）由（1）可得.443)(,542)(223-+='∴+-+=x x x f x x x x f …………8分令,0)(='x f 得x =－2，.32=x………………………………11分∴)(x f 在x =－2处取得极大值.13)2(=-f 在32=x 处取得极小值.2795)32(=f又,4)1(,8)3(==-f f ∴)(x f 在[3，1]上的最大值为13，最小值为2795.…………13分17．（本小题满分14分）解法一：（1）∵PC ⊥平 ABC ，AB ⊂平面ABC ， ∴PC ⊥AB.……………………2分 ∵CD ⊥平面PAB ，AC ⊂平面PAB ， ∴CD ⊥AB.……………………4分又PC ∩CD=C ， ∴AB ⊥平面PCB.…………5分 （2）过点A 作AF ∥BC ，且AF=BC ，连结PF ，CF.则∠PAF 为异面直线PA 与BC 所成的角.…………6分 由（1）可得AB ⊥BC ，∴CF ⊥AF.由三垂线定理，得PF ⊥AF. 则AF=CF=6,222=+=CF PC PF ，在Rt △PFA 中，326tan ===∠AFPF PAF ， ∴异面直线PA 与BC 所成的角为.3π………9分 （3）取AP 的中点E ，连结CE 、DE. ∵PC=AC=2，∴CE ⊥PA ，CE=2.∵CD ⊥平面PAB. 由三垂线定理的逆定理，得DE ⊥PA. ∴∠CED 为二面角C —PA —B 的平面角.………11分 由（1）AB ⊥平面PCB ，又∵AB=BC ，可求得BC=2.在Rt △PCB 中，622=+=BC PC PB ，.32622=⨯=⋅=PBBC PC CD在Rt △CDE 中，.36232sin ===∠CE CD CED ∴二面角C —PA —B 的大小为arcsin 36.………14分解法二：（1）同解法一. （2）由（1）AB ⊥平面PCB ，∵PC=AC=2， 又∵AB=BC ，可求得BC=2.以B 为原点，如图建立坐标系. 则A （0，2，0），B （0，0，0）.C （2，0，0），P （2，0，2），)2,2,2(-=，)0,0,2(=BC .………………………………6分 则.20022=++⨯=⋅.212222||||,cos =⨯=⋅>=<BC AP∴异面直线AP 与BC 所成的角为.3π………………9分 （3）设平面PAB 的法向量为m=(x ，y ，z).)0,2,0(-=，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅.0,0M AP m AB 即⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-.0222,02z y x y 解得⎩⎨⎧-==zx y 2,0 令1-=z ，得)1,0,2(-=m设平面PAC 的法向量为n =),,(z y x '''. ).0,2,2(),2,0,0(-=-=则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅.0,0n n 即⎩⎨⎧='-'='-.022,02y x z 解得⎩⎨⎧'='='y x z ,0 令1='x ，得n =（1，1，0）.……………………12分.33232||||,cos =⨯=⋅>=<n m n m n m ∴二面角C —PA —B 的大小为.33arccos ………14分18．（本小题满分13分）解：（1）设),(y x P ，因为A 、B 分别为直线x y 552=和x y 552-=上的点，故可设).552,(),552,(2211x x B x x A - += ， ⎪⎩⎪⎨⎧=-=+∴⎪⎩⎪⎨⎧-=+=∴.25,).(552,21212121y x x x x x x x y x x x …………………………4分 又20||=，.20)(54)(221221=++-∴x x x x ………………5分.20544522=+∴x y 即曲线C 的方程为.1162522=+y x ………………6分 （2）设N （s ，t ），M （x ，y ），则由DN DMλ=，可得 ).16,()16,(-=-t s y x λ故).16(16,-+==t y s xλλ…………………………8分M 、N 在曲线C 上， ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+=+∴.116)1616(25,1162522222λλλt s t S ……………………9分 消去s 得.116)1616(16)16(222=+-+-λλλt t由题意知0≠λ，且1≠λ， 解得.21517λλ-=t ……………………11分又.4|21517|,4||≤-∴≤λλt 解得 ).1(3553≠≤≤λλ 故实数λ的取值范围是).1(3553≠≤≤λλ……………………13分 19．（本小题满分13分）解：（1）)1(10)(,)1()(,0)()()(21-=-==+-+n n n n n n n n a a g a a f a f a g a a ，.0)1()1(10)(21=-+-⨯-∴+n n n n a a a a 即.0)1910)(1(1=---+n n n a a a又21=a ，可知对任何01,≠-∈*n a N n ， 所以.1011091+=+n n a a ……………2分 10911101109111=--+=--+n n n n a a a a ， }1{-∴n a 是以111=-a 为首项，公比为109的等比数列.……………………4分 （2）由（1）可知).()109(11*-∈=-N n a n n.)109)(2()1)(2(109n n n n a n b +=-+=∴ ).211(109)109)(2()109)(3(11++=++=++n n n bb nn nn ………5分 当n=7时，7878,1b b b b ==； 当7<n 时，n n nn b b b b>>++11,1；当7>n 时，.,111n n n n b b b b <<++ ∴当n=7或n=8时，b n 取最大值，最大值为7887109==b b ………………8分（3）由11++<m m m m b t b t ，得)(0])3(91021[*<+-+m tm t m 依题意（*）式对任意*∈N m 恒成立，①当t=0时，（*）式显然不成立，因此t=0不合题意. ……………………9分 ②当0<t时，由0)3(91021>+-+m tm ，可知).(0*∈<N m t m而当m 是偶数时0>mt ，因此0<t 不合题意.………………………………10分③当0>t时，由)(0*∈>N m t m ，0)3(91021<+-+∴m t m .)2(10)3(9++>∴m m t )(*∈N m ………………11分 设)()2(10)3(9)(*∈++=N m m m m h0)3)(2(1109)2(10)3(9)3(10)4(9)()1(<++⋅-=++-++=-+m m m m m m m h m h ，.)()1()2()1( >>->>>∴m h m h h h )(m h ∴的最大值为.56)1(=h所以实数t 的取值范围是.56>t ……………………………………13分 20．（本小题满分14分）解：（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-≥-=∴>.10,11,1,11)(,0x xx xx f x )(x f ∴在（0，1）上为减函数，在),1(+∞上是增函数.由b a <<0，且)()(b f a f =， 可得b a <<<10和.1111ba-=- 即.211=+ba .22ab b a ab >+=∴…………3分 故1>ab ，即.1>ab ………………4分（2）不存在满足条件的实数a ，b.若存在满足条件的实数a ，b ，使得函数|11|)(xx f y -==的定义域、值域都是[a ，b]，则.0>a⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-≥-=.10,11,1,11)(x xx x x f ①当)1,0(,∈b a 时，11)(-=xx f 在（0，1）上为减函数.故⎩⎨⎧==.)(,)(a b f b a f 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-.11,11a b b a 解得a =b. 故此时不存在适合条件的实数a ，b.………6分 ②当),1[,+∞∈b a 时，xx f 11)(-=在),1(+∞上是增函数. 故⎩⎨⎧==.)(,)(b b f a a f 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-.11,11b ba a此时a ，b 是方程012=+-x x 的根，此方程无实根. 故此时不存在适合条件的实数a ，b ………………8分 ③当),1[),1,0(+∞∈∈b a 时， 由于],[1b a ∈，而],[0)1(b a f ∉=故此时不存在适合条件的实数a ，b. 综上可知，不存在适合条件的实数a ，b.…………10分 （3）若存在实数)(,b a b a <，使得函数)(x f y =的定义域为[a ，b]时，值域为[m a ，mb].则.0,0>>m a①当)1,0(,∈b a 时，由于)(x f 在（0，1）上是减函数，值域为[m a ，mb]，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-.11,11m a bm b a 此时a 、b 异号，不合题意.所以a ，b 不存在. ②当)1,0(∈a 或),1(+∞∈b 时，由（2）知0在值域内，值域不可能是[m a ，mb]，所以a ，b 不存在 故只有).,1[,+∞∈b a|11|)(x x f -= 在),1(+∞上是增函数， ⎩⎨⎧==∴.)(,)(mb b f ma a f 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-.11,11m b bm a a a ，b 是方程012=+-x mx的两个根.即关于x 的方程012=+-x mx 有两个大于1的实根. ……………………12分设这两个根为.,21x x 则.1,12121mx x mx x =⋅=+ ⎪⎩⎪⎨⎧>-->-+->∆∴.0)1)(1(,0)1()1(,02121x x x x 即⎪⎩⎪⎨⎧>->-.021,041m m 解得.410<<m 故m 的取值范围是.410<<m …………………………14分。