§4.4 变化率与相关变化率
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高等数学---隐函数
3. 参数方程求导法 转化 极坐标方程求导
求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式
4. 相关变化率问题 列出依赖于 t 的相关变量关系式
对 t 求导
相关变化率之间的关系式
再求速度方向 (即轨迹的切线方向):
设 为切线倾角, 则
抛射体轨迹的参数方程
速度的水平分量 速度的方向
垂直分量
在刚射出 (即 t = 0 )时, 倾角为
达到最高点的时刻
高度
落地时刻
抛射最远距离
例6. 设由方程
确定函数
求
解: 方程组两边对 t 求导 , 得
故
三、相关变化率
为两可导函数
之间有联系
之间也有联系
可用对数求导法求导 :
注意: 按指数函数求导公式 按幂函数求导公式
2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 . 例如,
两边取对数
两边对 x 求导
又如,
两边取对数 对 x 求导
二、由参数方程确定的函数的导数
若参数方程
可确定一个 y 与 x 之间的函数
关系,
可导, 且
则
时, 有
时, 有
(此时看成 x 是 y 的函数 )
若上述参数方程中 则由它确定的函数
利用新的参数方程
二阶可导, 且
可求二阶导数 .
,可得
注意 : 已知
?
例4. 设
,且
求
解: 练习: P109 题8(1) 解:
例5. 抛射体运动轨迹的参数方程为
求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向. 解: 先求速 度大小:
速度的水平分量为
Байду номын сангаас垂直分量为
故抛射体速度大小
求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式
4. 相关变化率问题 列出依赖于 t 的相关变量关系式
对 t 求导
相关变化率之间的关系式
再求速度方向 (即轨迹的切线方向):
设 为切线倾角, 则
抛射体轨迹的参数方程
速度的水平分量 速度的方向
垂直分量
在刚射出 (即 t = 0 )时, 倾角为
达到最高点的时刻
高度
落地时刻
抛射最远距离
例6. 设由方程
确定函数
求
解: 方程组两边对 t 求导 , 得
故
三、相关变化率
为两可导函数
之间有联系
之间也有联系
可用对数求导法求导 :
注意: 按指数函数求导公式 按幂函数求导公式
2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 . 例如,
两边取对数
两边对 x 求导
又如,
两边取对数 对 x 求导
二、由参数方程确定的函数的导数
若参数方程
可确定一个 y 与 x 之间的函数
关系,
可导, 且
则
时, 有
时, 有
(此时看成 x 是 y 的函数 )
若上述参数方程中 则由它确定的函数
利用新的参数方程
二阶可导, 且
可求二阶导数 .
,可得
注意 : 已知
?
例4. 设
,且
求
解: 练习: P109 题8(1) 解:
例5. 抛射体运动轨迹的参数方程为
求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向. 解: 先求速 度大小:
速度的水平分量为
Байду номын сангаас垂直分量为
故抛射体速度大小
参数方程的导数及相关变化率问题
x (t) ,
dy f (t ) ,
dx (t )
t I.
3
1.2 导数的计算
例
1．设
x y
t ln(1 arctant
t2)
，求
dy dx
，
dx dy
。
例
2．求摆线
x y
a(t a(1
sin t ) cos t)
在
t
2
处的切线方程。
x y a(2 ) 0
2 例 3．求三叶玫瑰线 r a sin 3 (a 为正常数) 在对应
解：设经 t 小时后甲船与乙船的距离为 s km ，甲船 行驶了 x km ，乙船行驶了 y km ，
则 s2 (t ) x2(t) (16 y(t))2 ，
所建立的方程不是 s 与 t 的直接函数关系，但所求的是
v ds ，且已知 dx 6 ， dy 8 ，故借助相关变化率来求。
dt
dt
1.2 参数方程的求导法则 及相关变化率问题
1.2 导数的计算
5. 参数方程确定的函数的求导法则
一般地参数方程
x y
f
(t) (t)
,tI
确定了 y 与 x
之间的函数关系。
如果函数 x (t) 存在反函数 t 1( x) ，则 y 可以看作 x 的复合函数，即 y f [ 1( x)] ，它由 y f (t) ， t 1( x) 复合而成。
匀速度从西向东飞越观察者的头顶，观察者的视线
与地面夹角 为 。求当 时， 对 t 的变化率。
3
x
解：以直升飞机飞过观察者头顶
时算起的距离为 x，显然 x ,
500
均为 t 的函数，已知飞机的速度
相关变化率
例.求下列曲线的渐近线
（1） y 1 ； 1 x2
解：（1）∵
lim
x
1
1 x
2
0，
∴直线
y
0
是曲线
y
1
1 x
2
的水平渐近线。
∵ lim 1 ， lim 1 ，
x 11 x 2
x11 x2
∴直线 x 1 和x 1 是曲线y 1 的垂直渐近线。 1 x2
（2） y x2 . x 1
( x)
2
(
x
a)
1 3
2
1
,x a
3
3 3 xa
易知f (x)没有驻点,只有一个不可导点 x a. 列表讨论如下:
x
a
f (x)
f (x)
无
极小值
f (a) 2 a
y a
结论:Ox源自(1)当f (a) 2 a 0即a 2时,由零点定理知:
f (x)有二个零点(如右图);
(2)当f (a) 2 a 0即a 2时, f (x)仅有一个零点x a(如右图);
(3)当f (a) 2 a 0即a 2时, f (x)没有零点(如右图).
综上可得:
y
Oa x y
Oa x
(1)当a 2时, (2)当a 2时, (3)当a 2时,
原方程有二个实根; 原方程仅有一个实根; 原方程没有实根.
渐近线
定义：若曲线 y f (x) 上的
y
动点 P(x, y) 沿着曲线无限
则底半径的膨胀速率如何? 解:
(1)V 1 r2h 1 r3, dV r 2 , dV 25
3
3
dr
dr r5
(2) dV r2 dr ,
相关变化率一阶高阶导数
解：如图 ，设在任一时刻 t 甲船航行
x
的距离为 x (t)，乙船航行的距离为 y(t) ，
两船的距离为 z(t) , 则
z2 ( 40 x )2 y2
40
z
上式两边对 t 求导 ，得
2z dz 2( 40 x ) dx 2 y dy
y
dt
dt
dt
已知 : 当 x 20 时 ,
dx 15 dt
2
4 1 x2 1
8.x y－2x y 0 ，求y( x)
9.
设2
x arctant y ty2 et
5
求 dy dx
高阶导数问题 1. e xy2 ex y ，求y(0) 2.xe f ( y) e y ( f ( y) 1).求y( x) 3.x y y , 求 d 2 y
4 .设对x, y R,有 f (x y) f (x) f ( y) 2xy，f (0) 2
求f (x).
5.
设 ( x) 在 x = a 处连续，讨论
① f ( x) ( x a) ( x)
② f ( x) | x a | ( x)
③ f ( x) ( x a) | ( x) | 在 x = a 处的可导性
; y 15 时 ,
dy 25 ; 此时 z 25 , 代入上式 , 得 dt
dz 20 15 15 25 3 ( km/h )
dt
25
因为 dz 3 0, 所以观测时两船相距 25 里 , 正以 dt
3 km/h 的速率彼此远离 。
求导问题
一阶导数问题
一.选择题
1.若f (x) e3 x sin 3x，则下列结论正确的是
因此要使 f ( x)连续 只须f ( x)在x 0处连续
隐函数和参数方程求导、相关变化率
#
x＝ t t－1 例 6 求曲线 在 t＝ 0 点处的切线方程. y 1＋t e y － dx 解： 令 t 0 得切点 (0 , 1) ， 2t 1 dt
y dy dy dy e 由隐函数求导法： e y te y 解得 dt dt dt 1 te y dy dy 斜率 dt e 1 dx t 0 dx dt t 0
证毕 #
记住方法！
参数方程求二阶导数的 方法：
ψ t 将一阶导函数视作复合 关系 y ＝ ， t＝ 1 x t
则
d2y d dt d y d ψ t 1 ＝ y ＝ ＝ ＝ 2 dx dx dt dx dt t t
解： 如图所示 dx 水平速度 v x ＝ ＝v0 cos θ dt dy 垂直速度 v y ＝ ＝v0 sin θ －g t dt
y
vy v0 θ
α
v vx x
2
0
2
则t 时刻炮弹速度的
2 2
v0 sin θ－gt ＝ 大小：v＝ v x ＋v y ＝ v0 cos θ ＋
dy dy dt v0 sin θ－ gt 方向： tan α ＝ ＝ ＝ dx dx v0 cos θ dt
证：
由条件 x＝ t 单调、可导，且 t 0 ，
则反函数 t＝ 1 x 存在且可导， dt 1 ＝ dx t
视
y＝ t ， t＝ 1 x ，
由复合函数求导法则有 dy dy dy dt 1 ＝ ＝ t ＝ dt dx dt dx t dx dt
例3
解：
设 x , y 满足方程 cos x ＝sin y ， 求 y .
x＝ t t－1 例 6 求曲线 在 t＝ 0 点处的切线方程. y 1＋t e y － dx 解： 令 t 0 得切点 (0 , 1) ， 2t 1 dt
y dy dy dy e 由隐函数求导法： e y te y 解得 dt dt dt 1 te y dy dy 斜率 dt e 1 dx t 0 dx dt t 0
证毕 #
记住方法！
参数方程求二阶导数的 方法：
ψ t 将一阶导函数视作复合 关系 y ＝ ， t＝ 1 x t
则
d2y d dt d y d ψ t 1 ＝ y ＝ ＝ ＝ 2 dx dx dt dx dt t t
解： 如图所示 dx 水平速度 v x ＝ ＝v0 cos θ dt dy 垂直速度 v y ＝ ＝v0 sin θ －g t dt
y
vy v0 θ
α
v vx x
2
0
2
则t 时刻炮弹速度的
2 2
v0 sin θ－gt ＝ 大小：v＝ v x ＋v y ＝ v0 cos θ ＋
dy dy dt v0 sin θ－ gt 方向： tan α ＝ ＝ ＝ dx dx v0 cos θ dt
证：
由条件 x＝ t 单调、可导，且 t 0 ，
则反函数 t＝ 1 x 存在且可导， dt 1 ＝ dx t
视
y＝ t ， t＝ 1 x ，
由复合函数求导法则有 dy dy dy dt 1 ＝ ＝ t ＝ dt dx dt dx t dx dt
例3
解：
设 x , y 满足方程 cos x ＝sin y ， 求 y .
相关变化率——精选推荐
2.4.3相关变化率相关变化率问题是指：在某一变化过程中变量 ,,y x ，它们都与变量t 有关，且它们之间有关系式0),,(= y x F ，知道了其中一些变量对t 的变化率，要求另外一些变量对t 的变化率。
求相关变化率的步骤：（1）建立变量 ,,y x 之间的关系式0),,(= y x F ；（2）将关系式0),,(= y x F 两边对t 求导（注意到 ,,y x 都是t 的函数），从而得各变量对t 的变化率之间的关系式；（3）将已知的变化率（包括一些已知数据）代入并求出所要求的变化率。
例1．一架直升飞机在m 500高空，以s m /50的均匀速度从西向东飞越观察者的头顶，观察者的视线与地面夹角θ 为。
求当3π=θ时，t 对θ的变化率。
解：以直升飞机飞过观察者头顶时算起的距离为x ， 显然x ，θ均为t 的函数，已知飞机的速度50=dt dx 米/秒，求3π=θ时的dtd θ。
θ=ctg x 500，dt d dt dx θθ-=)csc (5002， dtdx dt d θ-=θ2sin 5001， 当3π=θ时，23sin =θ，50=dt dx米/秒，代入上式得075.03-=θπ=θdtd 弧度/秒，负号表示θ随时间 t 增加而减少。
例2．某人以m 2/s 的速度通过一座桥，桥面高出水面m 20，在此人的正下方有一条小船以m 34/s 的速度在与桥垂直的方向航行，求经s 5后，人与小船相分离的速度。
解：设经t 秒钟后船与人的距离为m s ，人行走距离为m x ，船航行距离为m y ， 则222220)()()(++=t y t x t s ，所建立的方程并不是s 与t 的直接函数关系， 但因为所求的是dt ds v =，且已知2=dt dx，34=dt dy ，所以可借助于相关变化率来求。
dt dy ydt dx x dt ds s222+=， ∵当5=t 时，10=x ，320=y ， ∴37020)320(10222=++=s ， ∴)/(2126370343202105s m dt ds t =⋅+⋅==. §2.5高阶导数与高阶微分2．5．1显函数高阶导数定义 若函数)(x f y =的导数)(x f y '='在x 点可导，则称)(x f y '='在x 点的导数为)(x f y =在x 点处的二阶导数，记作)(x f ''，或y ''，或22dxy d ，即xx f x x f x f x ∆'-∆+'=''→∆)()(lim)(0，)(''=''y y ， ])([)(''=''x f x f ，)(22dxdy dx d dx y d =。
(2.6) 第六节 变化率问题举例及相关变化率(少学时简约型)
v( t )= 3t 2 - 12 t + 9 = 3( t 2 - 4 t + 3 )= 3( t - 1 )( t - 3 )= 0， 解得 t = 1 和 t = 3 是质点的静止不动点。
• 求质点沿数轴正向运动的时间段 质点沿数轴正向运动的时间段就是速度方向与数轴
方向一致的时间段，即 v( t )> 0 的情形，于是令 v( t )= 3t 2 - 12 t + 9 = 3( t - 1 )( t - 3 )> 0，
dm dx
1 2x
0.50kg m.
x1
(1) 相关变化率问题的一般概念
如果有一固定的条件联系着几个变量，这些变量又 都随着另一个变量的改变而改变，那么它们的变化率之
间必然也有一定的关系。具有这种连带关系的变化率就
叫做相关变化率。在这种相关变化率问题中，一个变化 率往往能由其它变化率计算出来。
xF y
t
dy dx
?
dx
dy
dt
dt
(2) 相关变化率问题分析
设已知变量 x，y 间的关系满足方程 F( x ,y )= 0 .
若变量 x、y 还和另一变量 t 之间存在函数关系：
x = ( t )，y = ( t )，
则三变量 x、y 、t 间的关系满足方程
F( x ,y )= F[( t ),( t )]= 0 .
解得 t < 1 和 t > 3 .
• 作质点运动草图 作质点运动的图形通常就是作质点运动的轨迹图，
而不是位移函数的二维图形。 由前几问的讨论知： 当 t < 1 和 t > 3 时，质点沿数轴正向运动， 当 1< t < 3 时，质点沿数轴反向运动。
• 求质点沿数轴正向运动的时间段 质点沿数轴正向运动的时间段就是速度方向与数轴
方向一致的时间段，即 v( t )> 0 的情形，于是令 v( t )= 3t 2 - 12 t + 9 = 3( t - 1 )( t - 3 )> 0，
dm dx
1 2x
0.50kg m.
x1
(1) 相关变化率问题的一般概念
如果有一固定的条件联系着几个变量，这些变量又 都随着另一个变量的改变而改变，那么它们的变化率之
间必然也有一定的关系。具有这种连带关系的变化率就
叫做相关变化率。在这种相关变化率问题中，一个变化 率往往能由其它变化率计算出来。
xF y
t
dy dx
?
dx
dy
dt
dt
(2) 相关变化率问题分析
设已知变量 x，y 间的关系满足方程 F( x ,y )= 0 .
若变量 x、y 还和另一变量 t 之间存在函数关系：
x = ( t )，y = ( t )，
则三变量 x、y 、t 间的关系满足方程
F( x ,y )= F[( t ),( t )]= 0 .
解得 t < 1 和 t > 3 .
• 作质点运动草图 作质点运动的图形通常就是作质点运动的轨迹图，
而不是位移函数的二维图形。 由前几问的讨论知： 当 t < 1 和 t > 3 时，质点沿数轴正向运动， 当 1< t < 3 时，质点沿数轴反向运动。
高阶导数
①
e y y 1 xe
②
y
在① 两边再对 x 求导 , 得 (1 x e y ) y 2 e y y x e y ( y ) 2
2 e y y xe y ( y ) 2 y y 1 xe y y 2y e 2e xe y y y 2 1 xe 1 xe (1 xe )
y
(n)
n! , n3 n 1 (1 x )
1 (3) y 预习P177有理函数的分解 2 x 3x 2 1 A B 提示: 令 ( x 2)( x 1) x 2 x 1
A ( x y x 2 x 1
y
(n) n
x2 x 1
1 1
1 1 ( 1) n ! n 1 n 1 ( x 1) ( x 2)
(4)
解:
y sin 6 x cos 6 x
sin 4 x sin 2 x cos 2 x cos 4 x
3 2 1 sin 2 x 4
若上述参数方程中 则由它确定的函数
二阶可导,
且
可求二阶导数 .
x (t ) 利用新的参数方程 d y (t ) ,可得 dx (t ) d d y dx d 2 y d (d y ) ( ) 2 dx dx d t dx d t dx (t ) (t ) (t ) (t ) (t ) 2 (t )
n 2m ( m 0 , 1, 2 , ) (0) m m, n 2 m 1 ( 1) ((2 m 1) ! ( 2 m ) ! y ( 0 )
1) y ( 2 m ( 00 ) ,
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．
，如图所示．
h/2
将方程两边关于时间 t 求导数，得 即
变化率与相关变化率 \\4.4.2 相关变化率
例7 有一深度为8米、上底直径为8 米的正圆锥容器， 现向该容器以每分钟4 立方米的速度注水．问：当容 器中水深为5米时，水面上升的速度为多少？ 解 将方程两边关于时间 t 求导数，得
．
h/2
即
变化率与相关变化率
§4.4 变化率与相关变化率
4.4.1 变化率 4.4.2 相关变化率 内容小结与作业
变化率与相关变化率
4.4.1 变化率
例1 当运动员从10 m 高台跳水时，运动员跳向空中到 进入水面的过程中，不同时刻的速度是不同的．假设 在 t s 时运动员相对水面高度为
问： (1)在2 s 时运动员的下降速度为多少？ (2)运动员跃起后何时上升的速度为0？ (3)运动员入水刹那的速度为多少？
时, C ( x ) 与 C
C C( x 1) C( x) C( x) C
7．01 9．01 11．01 13．01 15．01 -0．01 -0．01 -0．01 -0．01 -0．01
C( x)
7 9 11 13 15
变化率与相关变化率
4.4.2 相关变化率
例6 设直圆锥的底半径 r 、高 h 都是时间 t 的可微
变化率与相关变化率 \\4.4.1 变化率
解 （1）在 时刻的下降速度为
所以
即在2秒时运动员下降的速度为 表示运动员在下降．
2
，负号
19.6 H (t ) 4.9t t 10 3
变化率与相关变化率 \\4.4.1 变化率
解 （2）令 ，即
解得
．所以，在
时运动员上升的速度为0，
此时运动员跃上最高点， 随后开始下降．
变化率与相关变化率 \\4.4.1 变化率
例5 某企业生产件产品的成本为 （元）， 则边际成本函数为 （元/件）． 特别，当生产规模为500件时，边际成本为 （元/件）． 下表给出了当 的比较． 时, C ( x ) 与 C
变化率与相关变化率 \\4.4.1 变化率
下表给出了当
的比较．
产量 x 100 200 300 400 500
所以说在单位时间里企业甲比企业乙的平均治污率大． 因此在治理污染方面，企业甲比企业乙效果更明显．
变化率与相关变化率 \\4.4.1 变化率
例4 如图, W1(t)，W2(t) 分别是甲乙两家企业的排污量. 要局部考虑排 污量的减少程 度，我们同样
可以考虑下面
的极限
该值越大，说明减少得越快，污染治理越有成效．
变化率与相关变化率 \\4.4.1 变化率
导数在经济学中的应用 边际通常指经济变量的变化率．因此，边际成本、 边际收入和边际利润分别为成本函数、收益函数和利润 函数的导数，即 R( x )为边际收入， L( x )为边际利润． C ( x) 为边际成本， 由于需求或供给量多为离散的量，因此所谓的边际 成本通常定义为
当
米时，水面上升的速度为
（米/分钟）
变化率与相关变化率 \\4.4.2 相关变化率
例8 现有甲乙两条正在航行的船只，甲船向正南航 行，乙船向正东直线航行．开始时甲船恰在乙船正北 40 km处，后来在某一时刻测得甲船向南航行了 20 km， 此时速度为 15 km/h；乙船向东航行了15 km ，此时 速度为 25 km/h ．问这时两船是在分离还是在接近 ， 速度是多少 ？ 解 如图，设在时刻甲船航行的距离为 t ，
变化率与相关变化率 \\4.4.1 变化率
解（3）当运动员跃入水面时，
，
即
解得 的时间为 于是 ，即从起跳到入水
所以，运动员入水时的速度
为15.4494 m/s．
19.6 H (t ) 4.9t t 10 3
2
变化率与相关变化率 \\4.4.1 变化率
例2 设有一直细杆的质量分布为均匀，若该细杆的长度 为l (m)质量为m (kg) ，则该细杆的线密度（即单位长度 上的质量）为 ．今有一长度为l , 质量分布 ，
函数，则其体积 V 也是时间 t 的可微函数，试求 出变化率
、
和
的关系．
解 由圆锥的体积计算公式有
其中 都是 由函数的求导 的可微函数．于是，
法则有
变化率与相关变化率 \\4.4.2 相关变化率
例7 有一深度为8米、上底直径为8 米的正圆锥容器， 现向该容器以每分钟4 立方米的速度注水．问：当容 器中水深为5米时，水面上升的速度为多少？ 解 设 t 分钟时，容器中水面高度为 h ，此时容器中水 的体积为 4t 立方米，且水面圆半径为 所以，可以建立下面的方程 即
变化率与相关变化率
内容小结与作业
1. 变化率 变化率问题即导数问题
2. 相关变化率
变化率之间的关系
变化率与相关变化率
作业:教材 210-213页 2，4，6，12，14，15
非均匀的细杆，其质量分布函数为
求其在任一点处的线密度．
解 如图建立坐标，取小段
，则该
小段的平均密度为
变化率与相关变化率 \\4.4.1 变化率
小段的平均密度为
因此，在
处的线密度为
变化率与相关变化率 \\4.4.1 变化率
例3 我们知道，导体中电荷的定向流动产生电流， 电流 的大小就是单位时间内通过导体横截面的电量，如图. 如果流经导体横截面的电荷
随时发生变化， 设在t (s) 时通
则在 t 到 t +△t 时间内 过导体横截面的电量为Q(t) (C) ， 通过导体横界面的平均电流为
因此在时的电流为
变化率与相关变化率 \\4.4.1 变化率
例4 如图, W1(t)，W2(t) 分别是甲乙两家企业的排污量. 设达标的时间 为t0，两企业 同时达标，即 有W1(t)=W2(t) . 从图中可以看出
C C ( x 1) C( x),
C 解释为“当 对边际收入和边际利润也是如此．这里， 产量为时，增加一个单位产量所需增加的成本”．由于 通常远大于1，所以由近似公式，有
C( x) C C ( x 1) C ( x), 因此，将 C ( x ) 和 C 同称为边际成本．
x
，乙船航行的距离为
两船的距离为 , 则
，
40
z
y
变化率与相关变化率 \\4.4.2 相关变化率
将上式两边对
求导 ，得
40
x
当
时，
．且有
y
z
因此， 所以观测时两船相距25 彼此远离 ．
, 它们正以3
dz 30 dt
的速度
变化率与相关变化率 \\4.4.2 相关变化率
解决相关变化率问题的一般步骤为： 1. 画出示意图，为各相关变量命名，并标注在示 意图中； 2. 用变量符号写出已知数据，并注意统一量纲； 3. 正确建立各变量之间的关系，这是非常重要 的一步； 4. 对所建立的关系式关于时间（或其它属性的 变量）求导数，得含有导数的关系式； 5. 根据已知条件，计算出要求的变化率．
，如图所示．
h/2
将方程两边关于时间 t 求导数，得 即
变化率与相关变化率 \\4.4.2 相关变化率
例7 有一深度为8米、上底直径为8 米的正圆锥容器， 现向该容器以每分钟4 立方米的速度注水．问：当容 器中水深为5米时，水面上升的速度为多少？ 解 将方程两边关于时间 t 求导数，得
．
h/2
即
变化率与相关变化率
§4.4 变化率与相关变化率
4.4.1 变化率 4.4.2 相关变化率 内容小结与作业
变化率与相关变化率
4.4.1 变化率
例1 当运动员从10 m 高台跳水时，运动员跳向空中到 进入水面的过程中，不同时刻的速度是不同的．假设 在 t s 时运动员相对水面高度为
问： (1)在2 s 时运动员的下降速度为多少？ (2)运动员跃起后何时上升的速度为0？ (3)运动员入水刹那的速度为多少？
时, C ( x ) 与 C
C C( x 1) C( x) C( x) C
7．01 9．01 11．01 13．01 15．01 -0．01 -0．01 -0．01 -0．01 -0．01
C( x)
7 9 11 13 15
变化率与相关变化率
4.4.2 相关变化率
例6 设直圆锥的底半径 r 、高 h 都是时间 t 的可微
变化率与相关变化率 \\4.4.1 变化率
解 （1）在 时刻的下降速度为
所以
即在2秒时运动员下降的速度为 表示运动员在下降．
2
，负号
19.6 H (t ) 4.9t t 10 3
变化率与相关变化率 \\4.4.1 变化率
解 （2）令 ，即
解得
．所以，在
时运动员上升的速度为0，
此时运动员跃上最高点， 随后开始下降．
变化率与相关变化率 \\4.4.1 变化率
例5 某企业生产件产品的成本为 （元）， 则边际成本函数为 （元/件）． 特别，当生产规模为500件时，边际成本为 （元/件）． 下表给出了当 的比较． 时, C ( x ) 与 C
变化率与相关变化率 \\4.4.1 变化率
下表给出了当
的比较．
产量 x 100 200 300 400 500
所以说在单位时间里企业甲比企业乙的平均治污率大． 因此在治理污染方面，企业甲比企业乙效果更明显．
变化率与相关变化率 \\4.4.1 变化率
例4 如图, W1(t)，W2(t) 分别是甲乙两家企业的排污量. 要局部考虑排 污量的减少程 度，我们同样
可以考虑下面
的极限
该值越大，说明减少得越快，污染治理越有成效．
变化率与相关变化率 \\4.4.1 变化率
导数在经济学中的应用 边际通常指经济变量的变化率．因此，边际成本、 边际收入和边际利润分别为成本函数、收益函数和利润 函数的导数，即 R( x )为边际收入， L( x )为边际利润． C ( x) 为边际成本， 由于需求或供给量多为离散的量，因此所谓的边际 成本通常定义为
当
米时，水面上升的速度为
（米/分钟）
变化率与相关变化率 \\4.4.2 相关变化率
例8 现有甲乙两条正在航行的船只，甲船向正南航 行，乙船向正东直线航行．开始时甲船恰在乙船正北 40 km处，后来在某一时刻测得甲船向南航行了 20 km， 此时速度为 15 km/h；乙船向东航行了15 km ，此时 速度为 25 km/h ．问这时两船是在分离还是在接近 ， 速度是多少 ？ 解 如图，设在时刻甲船航行的距离为 t ，
变化率与相关变化率 \\4.4.1 变化率
解（3）当运动员跃入水面时，
，
即
解得 的时间为 于是 ，即从起跳到入水
所以，运动员入水时的速度
为15.4494 m/s．
19.6 H (t ) 4.9t t 10 3
2
变化率与相关变化率 \\4.4.1 变化率
例2 设有一直细杆的质量分布为均匀，若该细杆的长度 为l (m)质量为m (kg) ，则该细杆的线密度（即单位长度 上的质量）为 ．今有一长度为l , 质量分布 ，
函数，则其体积 V 也是时间 t 的可微函数，试求 出变化率
、
和
的关系．
解 由圆锥的体积计算公式有
其中 都是 由函数的求导 的可微函数．于是，
法则有
变化率与相关变化率 \\4.4.2 相关变化率
例7 有一深度为8米、上底直径为8 米的正圆锥容器， 现向该容器以每分钟4 立方米的速度注水．问：当容 器中水深为5米时，水面上升的速度为多少？ 解 设 t 分钟时，容器中水面高度为 h ，此时容器中水 的体积为 4t 立方米，且水面圆半径为 所以，可以建立下面的方程 即
变化率与相关变化率
内容小结与作业
1. 变化率 变化率问题即导数问题
2. 相关变化率
变化率之间的关系
变化率与相关变化率
作业:教材 210-213页 2，4，6，12，14，15
非均匀的细杆，其质量分布函数为
求其在任一点处的线密度．
解 如图建立坐标，取小段
，则该
小段的平均密度为
变化率与相关变化率 \\4.4.1 变化率
小段的平均密度为
因此，在
处的线密度为
变化率与相关变化率 \\4.4.1 变化率
例3 我们知道，导体中电荷的定向流动产生电流， 电流 的大小就是单位时间内通过导体横截面的电量，如图. 如果流经导体横截面的电荷
随时发生变化， 设在t (s) 时通
则在 t 到 t +△t 时间内 过导体横截面的电量为Q(t) (C) ， 通过导体横界面的平均电流为
因此在时的电流为
变化率与相关变化率 \\4.4.1 变化率
例4 如图, W1(t)，W2(t) 分别是甲乙两家企业的排污量. 设达标的时间 为t0，两企业 同时达标，即 有W1(t)=W2(t) . 从图中可以看出
C C ( x 1) C( x),
C 解释为“当 对边际收入和边际利润也是如此．这里， 产量为时，增加一个单位产量所需增加的成本”．由于 通常远大于1，所以由近似公式，有
C( x) C C ( x 1) C ( x), 因此，将 C ( x ) 和 C 同称为边际成本．
x
，乙船航行的距离为
两船的距离为 , 则
，
40
z
y
变化率与相关变化率 \\4.4.2 相关变化率
将上式两边对
求导 ，得
40
x
当
时，
．且有
y
z
因此， 所以观测时两船相距25 彼此远离 ．
, 它们正以3
dz 30 dt
的速度
变化率与相关变化率 \\4.4.2 相关变化率
解决相关变化率问题的一般步骤为： 1. 画出示意图，为各相关变量命名，并标注在示 意图中； 2. 用变量符号写出已知数据，并注意统一量纲； 3. 正确建立各变量之间的关系，这是非常重要 的一步； 4. 对所建立的关系式关于时间（或其它属性的 变量）求导数，得含有导数的关系式； 5. 根据已知条件，计算出要求的变化率．