相关变化率一阶高阶导数
导数的基本公式及运算法则
导数的基本公式及运算法则导数是微积分中的一个重要概念，描述了函数在其中一点的变化率。
导数的基本公式和运算法则可以帮助我们求解各种函数的导数，进而解决相关的求导问题。
下面将详细介绍导数的基本公式和运算法则。
1.基本公式：-常数函数：如果f(x)=c是一个常数函数，那么它的导数为0，即f'(x)=0。
- 幂函数：对于幂函数f(x) = x^n，其中n是实数，那么它的导数为f'(x) = nx^(n-1)。
- 指数函数：对于指数函数f(x) = a^x，其中a是正实数且不等于1，那么它的导数为f'(x) = a^x * ln(a)。
- 对数函数：对于对数函数f(x) = log_a(x)，其中a是正实数且不等于1，那么它的导数为f'(x) = 1 / (x * ln(a))。
- 三角函数：对于三角函数sin(x)、cos(x)、tan(x)，它们的导数分别为cos(x)、-sin(x)、sec^2(x)。
- 反三角函数：对于反三角函数asin(x)、acos(x)、atan(x)，它们的导数分别为1 / sqrt(1 - x^2)、-1 / sqrt(1 - x^2)、1 / (1 +x^2)。
2.运算法则：-常数法则：如果f(x)=c是一个常数函数，那么对于任何x，有f'(x)=0。
-基本运算法则：a.和法则：对于函数f(x)=u(x)+v(x)，其中u(x)和v(x)是可导函数，那么它的导数为f'(x)=u'(x)+v'(x)。
b.差法则：对于函数f(x)=u(x)-v(x)，其中u(x)和v(x)是可导函数，那么它的导数为f'(x)=u'(x)-v'(x)。
c.乘法法则：对于函数f(x)=u(x)*v(x)，其中u(x)和v(x)是可导函数，那么它的导数为f'(x)=u'(x)*v(x)+u(x)*v'(x)。
一高阶导数及其运算法则
一高阶导数及其运算法则高阶导数指的是对函数进行多次求导得到的导数。
一阶导数是函数变化率的度量，而高阶导数则度量了一阶导数的变化率。
在数学中，高阶导数的运算法则是对求导过程的规律化总结，下面将详细介绍一阶导数、高阶导数的定义及其运算法则。
一、一阶导数设函数y=f(x)，如果极限$$\lim_{{\Deltax}\to{0}}{\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}}$$存在，且与$\Delta x$无关，那么称f(x)在点x处可导，这个极限值称为f(x)在点x处的导数，记作f'(x)或$\frac{{dy}}{{dx}}$，即$$f'(x)=\frac{{dy}}{{dx}}=\lim_{{\Deltax}\to{0}}{\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}}, \Delta y=f'(x)\Delta x$$二、高阶导数函数f的$n$阶导数$f^{(n)}(x)$和它的导数$f^{(n-1)}(x)$的导数有关。
当f(x)的导数$f'(x)$存在时，可进一步求二阶导数$f''(x)$，即求$f'(x)$的导数；当$f''(x)$存在时，可求三阶导数$f'''(x)$，即求$f''(x)$的导数；以此类推，可求取任意阶数的导数$f^{(n)}(x)$，其中$n$为正整数。
如果$f^{(n)}(x)$存在，称f(x)在点$x$处$n$阶可导。
三、高阶导数的运算法则1.加法与减法法则若函数$u(x)$和$v(x)$都在$x$处n阶可导，则$[u(x)\pm{v(x)}]^{(n)}=u^{(n)}(x)\pm{v^{(n)}(x)}$2.乘法法则若函数$u(x)$和$v(x)$都在$x$处n阶可导，则$[u(x)v(x)]^{(n)}=\sum_{k=0}^{n}{C_n^ku^{(k)}(x)v^{(n-k)}(x)}$3.链式法则设函数$y=f(u)$和$u=g(x)$，其中$u$是自变量，$y$是因变量，则$$y'=f'(u)g'(x)$$$$y''=f''(u)(g'(x))^2+f'(u)g''(x)$$$$y'''=f'''(u)(g'(x))^3+3f''(u)g'(x)g''(x)+f'(u)g'''(x)$$以此类推。
常见高阶导数8个公式
常见高阶导数8个公式高阶导数是指对函数进行多次求导的操作，它可以提供更多关于函数的信息，包括函数的曲率、凹凸性、拐点等特征。
在这里，我们将介绍常见的8个高阶导数公式，并对每个公式进行详细的解释。
1.一阶导数的公式：\(f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}\)一阶导数（也称为导函数）表示函数在特定点的斜率，表示函数在该点的瞬时变化率。
2.二阶导数的公式：\(f''(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f'(x+h) - f'(x)}{h}\)二阶导数表示函数的一阶导数的变化率，也称为函数的曲率。
如果二阶导数大于0，则函数在该点处为凸函数；如果二阶导数小于0，则函数在该点处为凹函数。
3.高阶导数的迭代公式：\(f^{(n)}(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f^{(n-1)}(x+h) - f^{(n-1)}(x)}{h}\)高阶导数的迭代公式可以用来计算任意阶数的导数。
其中，\(f^{(n)}(x)\)表示函数\(f(x)\)的第n阶导数。
4.复合函数的高阶导数公式：如果\(y=f(g(x))\)，其中f和g都是可导函数，则复合函数的n阶导数可以通过链式法则来计算：\(f^{(n)}(x) = \sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k} f^{(k)}(g(x)) g^{(n-k)}(x)\)其中，\(C_{n}^{k}\)表示二项式系数。
这个公式可以通过逐步计算每个f和g的导数来求解。
5.多项式函数的高阶导数公式：对于多项式函数\(f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0\)，其中a为常数，多项式的n阶导数为：\(f^{(n)}(x)=n!a_n\)这个公式可以通过对多项式进行多次求导并应用一阶导数公式来进行证明。
6.指数函数的高阶导数公式：对于指数函数\(f(x)=e^x\)，其任意阶导数都为自身：\(f^{(n)}(x)=e^x\)这个公式可以通过数学归纳法来证明。
数列和函数的导数
数列和函数的导数导数是微积分中的重要概念之一，它描述了函数在某一点的变化率。
在数学中，我们经常使用导数来研究数列和函数的性质。
本文将深入探讨数列和函数的导数，并介绍一些相关的概念和方法。
一、数列的导数数列是由一系列有序的数按照规律排列而成的序列。
对于数列中的每一个元素，我们可以计算其相邻两项之差，称为差分。
差分表示了数列的递推关系和变化趋势。
对于数列{an}，如果其相邻两项之差始终趋近于一个常数，即存在一个常数k，使得an+1 - an = k，那么我们称数列{an}是等差数列。
等差数列的导数为常数k。
同样地，如果数列{an}的差分an+1 - an 的极限存在，那么我们称这个极限为数列{an}的导数，并用an'表示。
数列的导数表示了数列的变化率和变化趋势。
二、函数的导数函数是一种将自变量映射到因变量的关系。
对于函数f(x)，我们可以通过求取其导数来描述函数在某一点的变化率。
函数的导数可以用以下两种方式表示：一阶导数和高阶导数。
一阶导数表示了函数在某一点的切线斜率，表示为f'(x)或df/dx。
高阶导数表示了函数的变化率变化率，表示为f''(x)、f'''(x)等。
使用导数的定义来计算函数的导数是一种常见的方法。
根据导数的定义，函数f(x)在点x处的导数可以表示为极限lim(x->a)[f(x) - f(a)]/(x- a)，其中a为x的一个邻近点。
另一个常用的方法是使用导数的性质和求导法则来计算函数的导数。
一些常见的求导法则包括：常数规则、幂函数规则、和差规则、乘积规则和商规则等。
通过运用这些规则，我们可以更便捷地计算函数的导数。
函数的导数在数学中具有广泛的应用。
它可以用来求解函数的极值、判断函数的增减性、研究函数的曲线形状等。
导数在物理学、经济学等领域也有着重要的应用价值。
三、数列和函数的关系数列和函数之间存在着密切的联系。
实际上，数列可以看作是一种特殊的函数，即定义域为自然数集的函数。
高阶导数
①
e y y 1 xe
②
y
在① 两边再对 x 求导 , 得 (1 x e y ) y 2 e y y x e y ( y ) 2
2 e y y xe y ( y ) 2 y y 1 xe y y 2y e 2e xe y y y 2 1 xe 1 xe (1 xe )
y
(n)
n! , n3 n 1 (1 x )
1 (3) y 预习P177有理函数的分解 2 x 3x 2 1 A B 提示: 令 ( x 2)( x 1) x 2 x 1
A ( x y x 2 x 1
y
(n) n
x2 x 1
1 1
1 1 ( 1) n ! n 1 n 1 ( x 1) ( x 2)
(4)
解:
y sin 6 x cos 6 x
sin 4 x sin 2 x cos 2 x cos 4 x
3 2 1 sin 2 x 4
若上述参数方程中 则由它确定的函数
二阶可导,
且
可求二阶导数 .
x (t ) 利用新的参数方程 d y (t ) ,可得 dx (t ) d d y dx d 2 y d (d y ) ( ) 2 dx dx d t dx d t dx (t ) (t ) (t ) (t ) (t ) 2 (t )
n 2m ( m 0 , 1, 2 , ) (0) m m, n 2 m 1 ( 1) ((2 m 1) ! ( 2 m ) ! y ( 0 )
1) y ( 2 m ( 00 ) ,
高等数学高阶导数及相关变化率
5 ( x 2)1 1 ( x 1)1
例4 计算下列函数的n阶导数：
(1) y
x2 sin 3x(2) y
sin6
x
cos6
x(3) y
2x 1 x2 x
2
解 (1) y(n) ( x2 sin 3x)(n)
vu
莱布尼兹公式
(sin 3x)(n) x2 n(sin 3x)(n1) ( x2 )
n(n 1) (sin 3x)(n2) ( x2 ) 2!
.
解
d2x dy2
d dy
( dx ) dy
d dy
1 y
d ( 1 ) dx dx y dy
1 ( y)2
d dx
( y)
1 y
y ( y)2
1 y
(
y y)3
2)间接法 ★ 高阶导数的运算法则
设函数u和v具有n阶导数, 则
(1) (u v)(n) u(n) v(n)
(2) (Cu)(n) Cu(n)
解 (1)(e x )(n) e x 一般：(ax )(n) ax (ln a)n
(2) y (sinx) cos x sin(x )
2
y cos(x ) sin(x ) sin(x 2 )
2
22
2
y cos(x 2 ) sin(x 3 )
2
2
y(n) (sinx)(n) sin(x n )
(3) (u v)(n) u(n)v nu(n1)v n(n 1) u(n2)v 2!
n(n 1)(n k 1) u(nk)v(k) uv(n) k!
n
Cnku(nk )v(k )
莱布尼兹公式
k0
高阶导数及其应用
高阶导数及其应用1. 引言微积分是数学中重要的分支之一，研究的是函数的变化率和积累效应。
导数是微积分的核心概念之一，它描述了函数在某一点的变化率。
常见的导数求解方法是一次导数，但在某些情况下，我们需要考虑更高阶的导数。
高阶导数是导数的推广，它表示了函数变化率变化的变化率。
它在数学和物理学中有广泛的应用。
本文将介绍高阶导数的概念、计算方法和几个重要的应用领域。
2. 高阶导数的概念与计算2.1 高阶导数的定义高阶导数是指对一个函数连续求导多次得到的导数。
一阶导数表示函数的变化率，二阶导数表示变化率的变化率，以此类推。
形式上，函数f的n阶导数可以表示为f(n)(x)。
2.2 高阶导数的计算方法计算高阶导数可以利用导数的性质和公式。
一阶导数的计算方法是通过函数的极限定义求导，即求导函数f的极限$\\lim_{h \\to 0} \\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$。
通过逐次求导，可以得到高阶导数的计算方法。
对于常见的函数，高阶导数的计算可以通过递推公式简化。
例如，对于多项式函数f(x)=a n x n+a n−1x n−1+...+a0，它的n阶导数可以通过n!和幂函数的系数得到。
3. 高阶导数的应用3.1 物理学中的应用高阶导数在物理学中有广泛的应用，特别是在描述物体运动和力学系统中的作用。
例如，加速度是速度的一阶导数，表示物体单位时间内速度的变化率。
而 jerk 则是加速度的一阶导数，表示变加速的变化率。
理解这些高阶导数可以帮助我们更好地理解物体运动的特性和相互作用。
3.2 经济学中的应用经济学中的许多模型和理论是基于函数的变化率来构建的。
高阶导数在经济学中有着重要的应用。
例如，边际收益是生产函数的一阶导数，表示单位生产量增加一个单位产出时的额外收益。
而边际成本则是边际收益的一阶导数，表示单位产量增加时的额外成本。
了解这些高阶导数可以帮助经济学家优化生产和决策。
3.3 工程学中的应用高阶导数在工程学中也具有重要的应用。
常见高阶导数公式
常见高阶导数公式高阶导数是微积分中的重要概念，它可以描述函数在其中一点处的变化率。
在求解微分方程、极值、弧长等问题时，高阶导数的求解是不可或缺的。
下面将介绍一些常见的高阶导数公式。
一、一阶导数的求导法则1.常数的导数为零：(c)'=0，其中c为常数。
2. 幂函数的一阶导数：(x^n)' = nx^(n-1)，其中n为实数。
3.指数函数的一阶导数：(e^x)'=e^x。
4.反函数的一阶导数：如果y=f(x)在一点x处可导，且f'(x)≠0，则它的反函数在相应点y处也可导，且有(f^(-1))'(y)=1/f'(x)。
二、二阶导数的求导法则1.一阶导数的导数：如果函数y=f(x)的一阶导数f'(x)在特定点处存在，则函数f(x)的二阶导数f''(x)为f'(x)的导数。
(f')'(x)=f''(x)。
2.幂函数的二阶导数：(x^n)''=n(n-1)x^(n-2)。
3.指数函数的二阶导数：(e^x)''=e^x。
4.链式法则的应用：如果y=f(g(x))是由函数f(u)和g(x)复合而成的函数，且f(u)和g(x)都可导，则y的二阶导数为：(f(g(x)))''=f"(g(x))(g'(x))^2+f'(g(x))g''(x)。
三、高阶导数的求导法则1.可递推公式：如果函数y=f(x)的n阶导数f^n(x)在特定点处存在，则函数f(x)的（n+1）阶导数f^(n+1)(x)为f^n(x)的导数。
即(f^n(x))'=f^(n+1)(x)。
2.同时满足和、差、积、商的函数的高阶导数的求导法则可以类似地应用。
3.幂函数的n阶导数：(x^n)^(n)=n(n-1)(n-2)…(n-k+1)x^(n-k)，其中k为非负整数，且k≤n。
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解：如图 ，设在任一时刻 t 甲船航行
x
的距离为 x (t)，乙船航行的距离为 y(t) ，
两船的距离为 z(t) , 则
z2 ( 40 x )2 y2
40
z
上式两边对 t 求导 ，得
2z dz 2( 40 x ) dx 2 y dy
y
dt
dt
dt
已知 : 当 x 20 时 ,
dx 15 dt
2
4 1 x2 1
8.x y－2x y 0 ，求y( x)
9.
设2
x arctant y ty2 et
5
求 dy dx
高阶导数问题 1. e xy2 ex y ，求y(0) 2.xe f ( y) e y ( f ( y) 1).求y( x) 3.x y y , 求 d 2 y
4 .设对x, y R,有 f (x y) f (x) f ( y) 2xy，f (0) 2
求f (x).
5.
设 ( x) 在 x = a 处连续，讨论
① f ( x) ( x a) ( x)
② f ( x) | x a | ( x)
③ f ( x) ( x a) | ( x) | 在 x = a 处的可导性
; y 15 时 ,
dy 25 ; 此时 z 25 , 代入上式 , 得 dt
dz 20 15 15 25 3 ( km/h )
dt
25
因为 dz 3 0, 所以观测时两船相距 25 里 , 正以 dt
3 km/h 的速率彼此远离 。
求导问题
一阶导数问题
一.选择题
1.若f (x) e3 x sin 3x，则下列结论正确的是
因此要使 f ( x)连续 只须f ( x)在x 0处连续
即只须lim xn sin 1 0 f (0)
x0
x
② 要使 f (0) lim f ( x) f (0) x0 x 0
n0
xn sin 1 0
lim
x
x0
x
n1
lim xn1 sin 1
x0
x
此时 f (0) 0
存在
则 f (2) ____.
6.y lim x(t x)t ,则y ____________ t t x
三.1.已知 f (1) 0, f (1) 2, 求
lim f (sin2 x cos x)
x0
x tan x
2.设f (x)有一阶连续导数，f (1) 2,求 d
lim f (cos x) x0 dx 3 .设对x R,有 f (x 1) kf (x),当0 x 1时, f (x) x(1 x2),问在x 0处 f (x)是否可导？
④ 要使 f (0) lim f ( x) f (0) x0 x 0
nx n1 sin 1 xn2 cos 1
lim
x
x
x0
x
lim[nx n2 sin 1 xn3 cos 1 ] 存在
x0
x
x
n 3 此时 f (0) 0
7. y 1 arctan
1 x2 1 ln
1 x2 1,求 y.
( A). f (0) 3 (C). f (0) 1
(B). f (0) 1 3
(D). f (0)不存在
2.设f (x) x x3 x ，则f (x)
( A).处处可导
(B).有且仅有一个不可导点
(C).有且仅有两个不可导点 (D).有三个不可导点
二.填空题：
1.当x 0时, f (x x) f (x) 3x为比x高阶的 无穷小,则f (x) ____.
2.设f
(x)
b
ax 1
2cos
2
x
则a
x 1在x 1处可导， x 1
x2
3.设f
(x) 2x33x 1，则f (x) _____ x 1
4. y f (3x 2), f (x) arcsin x4 , dy ____.
3x 2
dx x0
5.设f (x)是g(x)的反函数，且g(1) 2, g(1) 3 ， 3
③ 当x 0时 f ( x) nx n1 sin 1 xn2 cos 1
x
x
f (0) 0
要使 f ( x)连续 只须f ( x)在x 0处连续
即只须lim f ( x) f (0) 0
x0
lim[nx n1 sin 1 xn2 cos 1 ] 0 n 2
x0
x
x
注：若f ( 0 ) 0
解：设气球上升 t 秒后其高度为 h ，
观察员的仰角 为 , 则
tg h ,
500
其中 , h 都是时间 t 的函数。
h
500
上式两边对 t 求导，得 ：
sec2 d 1 dh
dt 500 dt
已知 dh 140m / min ,又当h 500m 时 , dt
tg 1, sec2 2 代入上式得
. 相关变化率
设x x( t ) , y y( t ) 都是可导函数 , 变量 x 和 y 之间存
在某种对应关系 , 如果已知 x (或 y )对 t 的变化率 ,要求
y (或 x )对 t 的变化率,这种问题称为相关变化率问题 。
例1. 一气球从离开观察员 500米处离地面铅直上升 其速率为 140 米/秒 。当气球高度为 500 米时 ，观察员 视线的仰角增加率是多少 ？
dx2
x
4.
y
t t
1
t 1
,求
dx dy
d2x , dy2
t
5.
yx（（31t2l2nlnt） t）,求
d2 dy
x
2
t
3
t
5. y
1
5 x－6 x 2
,求y( 100
6. 在什么条件下，函数
f
(
x
)
x
n
sin
1 x
x0
0
x0
① f ( x)连续 ② f (0)存在
③ f ( x)连续
解 首先注意到
当 0时 lim x sin 1 不存在
x0
x
当 0时 lim x sin 1 0
x0
x
① 当x 0时，f ( x) xn sin 1 是初等函数，连续 x
h
500
d 70 0.14 度/秒
dt 500
即观察员视线的仰角增加率是 0.143 弧度/秒 。
例 2. 甲船向正南乙船向正东直线航行 , 开始时甲 船恰在乙船正北 40 km处 , 后来在某一时刻测得甲船 向南航行了 20 km , 此时速率为 15km/h ;乙船向东航行 了15 km , 此时速率为 25km/h 。问这时两船是在分离 还是在接近 ，速率是多少 ？