地图投影第三章方位投影
长半径和纬线方向一致，短半径与经线方 向一致，且等于微圆半径r，又因自投影中 心，纬线扩大程度越来越大，所以变形 椭圆的长半径也越来越长，椭圆越来越扁。 常用来做两极的投影。
横轴方位投影 ——等距
经纬线形状
中央经线为直线，其它经线是对 称于中央经线的曲线。中央纬线 为直线，其它纬线是对称于中央 纬线的曲线。在中央经线上纬线 间隔相等。在中央纬线上经线间 隔相等。
从区域所在的地理位置来说，两极地区和南、北半球图采 用正轴方位投影；赤道附近地区和东、西半球图采用横轴 方位投影；其他地区和水、陆半球图采用斜轴方位投影。
横轴、斜轴方位投影变形分布规律
投影面在p点与地球面相切，过新极点p可做许多大圆， 命名为垂直圈，再作垂直于垂直圈的各圈，命名为等高圈。 这样垂直圈相当于地理坐标系的经线圈，等高圈相当于纬 线圈，等高圈和垂直圈投影后的形式和变形分布规律和正 轴方位投影时，情况完全一致。
3 21ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
七. 球心投影（日晷投影）
4 3
21
八. 方位投影的分析和应用
方位投影的差别是取决于纬圈或等高圈投影半径p
的形式，而ρ的具体形式是取决于变形性质或透
视条件。
4
根据方位头因的长度比、面积比和角度最大变形的
公式来看，在正轴投影中，它们是纬度3 φ的函数， 在斜轴和横轴投影中，它们是天顶距Z的函数1
方位投影变形性质的图形判别
方位投影经纬线形式具有共同的特征，判别时先看构成形 式（经纬线网），判别是正轴、横轴、斜轴方位投影。
正轴投影，纬线为以投影中心为圆心的同心圆，经线为放 射状直线，夹角相等。横轴投影，赤道与中央经线为垂直 的直线，其他经纬线为曲线。斜轴投影，除中央经线为直 线外，其余的经纬线均为曲线。
4
3 21
最大角度变形公式为:
五. 正射投影
对于正射投影而言,D=∞，因此
直角坐标公式为 投影变形公式为:
4
3 21
六. 球面投影（等角方位投影）
对于等角方位投影而言,D=R,L=2R,因此有:
4
3 21
七. 球心投影（日晷投影）
对于等角方位投影而言,D=0,L=R,因此有:
投影变形公式为:
4
二. 等面积方位投影
等面积方位投影为兰勃特于1772年所创, 故又称为兰勃特等面积方位投影.
横轴方位投影 ——等积
经纬线形式
中央经线为直线，其它经线是对称 于中央经线的凹向曲线；中央纬线 为直线，其它纬线是对称于中央纬 线的凸向曲线。在中央经线上纬线 间隔自投影中心向外逐渐减小。在 中央纬线上经线间隔自投影中心向 东、向西方向逐渐减小。
第三章 方位投影
3.1 方位投影的种类和基本原理 3.2 等面积方位投影 3.3 等距离方位投影 3.4 透视方位投影的种类和一般公式 3.5 正射投影 3.6 球面投影（等角方位投影） 3.7 球心投影（日晷投影） 3.8 方位投影的分析和应用
第三章 方位投影
一、方位投影的种类和基本原理
正轴、横轴、斜轴方位投影的误差分布规律是一致的。等 变形线都是以投影中心为圆心的同心圆，不同的是在横轴 和斜轴方位投影中，主方向和等高圈垂直圈一致，而经纬 线方向不是主方向。
横轴、斜轴方位投影变形分布规律
横轴和斜轴方位投影的变形大小和分布规律与正轴投影完 全一致，横轴、斜轴投影由于投影面中心不在地理坐标极 点上，如果仍用地理坐标决定地面点的位置，而将这一点 投影到平面上，就变得复杂了。但是如果我们在地球表面 上重新建立一种新的坐标系，使新坐标系的极点在投影面 的中心点上，这样对于横轴和斜轴投影来说，投影面与新 极点的关系，也就和正轴投影的投影面与地理极的关系一 样了，这样问题就简单多了，正轴的公式就可以应用到横 轴和斜轴投影中去，而只是地面上点的位置用不同的坐标 系表示而以。
根据中央经线上经纬线图的间隔变化，判别变形性质。等 角投影，中央经线上，纬线间隔从投影中心向外逐渐增大； 等积投影，逐渐缩小；等距投影，间隔相等。
方位投影总结
特点：投影平面上，由投影中心（平面与球面的切点）向 各方向的方位角与实地相等，其等变形线是以投影中心为 圆心的同心圆。
绘制地图时，总是希望地图上的变形尽可能小，且分布较 均匀。一般要求等变形线最好与制图区域轮廓一致。因此， 方位投影适合绘制区域轮廓大致为圆形的地图。
按地图主比例尺将地球半径缩小，并按一定的纬差 计算某一方位投影的ρ
3.展绘经纬网 以90°的ρ绘制一个圆，过圆心做两个相互垂直的
直径， 按相应的x，y值展绘
轴等距离投影) 按地图主比例尺将地球半径缩小，并按一定的纬
差计算某一方位投影的ρ
ρ=RZ
x=ρcosZ y=ρsinZ 3.展绘经纬网 中心点以南的x坐标是负值，可以考虑将原点南移
赤道与中央经线的交点
横轴方位经纬网构成
1.确定制图区域和投影中心点 经纬网点—Z，α 2.确定具体投影、地图比例尺和计算直角坐标 斜轴等距离投影
1
A' D ' AD
d RdZ
面积变形为 最大角度变形为:
m和n分别是经纬线长度比
二. 等面积方位投影
等面积投影的条件为: 因此有:
对0 上式积分得:
0
因为当Z=0时 因此有: 开方得:
二. 等面积方位投影
因此长度比公式为:
面0 积比为:P=1
0
由于secZ＞cosZ,因此
最大角度变形值为:
因为Z=0时ρ=0,
最大角度变形值为:
三. 等距方位投影
此投影为波斯托于1581年所创.又称波斯托投影。
三. 等距方位投影
等距方位投影属于任意投影，它既不等积也不等角。投影后经 线保持正长，经线上纬距保持相等。
纬线投影后为同心圆，经线投影为交于纬线圆心的直线束，经 线投影后保持正长，所以投影后的纬线间距相等。经纬线投影 后正交，经纬线方向为主方向。
概念：方位投影是以平面作为投影面，使平面与地球 表面相切或相割，将球面上的经纬线投影到平面上所 得到的图形。
投影平面上，由投影中心（平面与球面相切的点，或 平面与球面相割的割线圆心点）向各个方向的方位角 与实地相等，等变形线是以投影中心为圆心的同心圆， 切点或相割的割线无变形。适合制作形状大致为圆形 区域的地图。
斜轴方位投影
投影面切于两极和赤道间的任意一点上。中央经线投影为 直线，其他经线投影为对称于中央经线的曲线，纬线投影 为曲线。
斜轴方位投影
斜轴等距方位投影：中央经线上 的纬线间隔相等。
斜轴等积方位投影：中央经线上 自投影中心向上、向下纬线间隔 是逐渐缩小的。
斜轴等角方位投影：中央经线上 投影中心向上、向下纬线间隔逐 渐增大。
透视方位投影可以分为 (1)正射投影 (2)外心投影 (3)球面投影 (4)球心投影
4
3 21
并根据投影面与地球面的不同关系可以分成: 正轴、斜轴和横轴投影。
四. 透视方位投影
LR sin Z D R cos Z
带入上式:
A′ 4
P
Z
3 21
四. 透视方位投影
由此得到直角坐标公式为: 变形公式为:
变形分布规律 投影中心无变形，离开投影中心愈远 角度、长度变形增大 。
斜轴方位投影——等积
经纬线形式
中央经线为直线，其它 经纬线均是曲线。在中 央经线上纬线间隔自投 影中心向外逐渐减小 。 变形分布规律 投影中心无变形，离开投影中心愈远角度、长度变 形增大 。
三. 等距方位投影
等距离条件为: 因此有:
横轴方位投影
平面与球面相切，其切点位于赤道上的任意点。特点：通 过投影中心的中央经线和赤道投影为直线，其他经纬线都 是对称于中央经线和赤道的曲线。
横轴方位投影
横轴等距方位投影：中央经线上 从中心向南北，纬线间隔相等； 赤道上，自投影中心向东西， 经线间隔逐渐扩大。
横轴等积方位投影：中央经线上 从中心向南北，纬线间隔逐渐 缩小；赤道上，自投影中心向 东西，经线间隔也是逐渐缩小 的。
1. 方位投影分类
根据投影面和地球球体相切位置不同 当投影面切于地球极点时，为正轴投影。 当投影面切于赤道时，为横轴方位投影。 当投影面切于既不在极点也不在赤道时，斜轴方位投影。
2、正轴方位投影
投影中心为极点，纬线为同心 圆，经线为同心圆的半径，两 条经线间的夹角与实地相等。
等变形线都是以投影中心为圆 心的同心圆。 包括等角、等积、 等距三种变形性质，主要用于 制作两极地区图。
经纬网的构成
正轴方位经纬网构成 斜轴、横轴方位投影经纬网
正轴方位经纬网构成
纬圈投影半径法 以90°-φ取代方位投影中的投影半径公式中的Z 按地图主比例尺将地球半径缩小，并按一定的纬差
计算某一方位投影的ρ 以ρ值为半径画同心圆即为纬线的投影 于最外一圈纬线投影上按于纬差相等的经差等分此
纬线圈的投影
过纬圈的共同中心连接外圈上的对应点，汇成直线 即为经线
最后注上经纬度。
斜轴、横轴方位投影经纬网
地理坐标转换为球面极坐标 确定制图区域和投影中心点 经纬网点—Z，α 确定具体投影、地图比例尺和计算直角坐标 展绘经纬网
斜轴方位经纬网构成
1.确定制图区域和投影中心点 经纬网点—Z，α 2.确定具体投影、地图比例尺和计算直角坐标(斜
变形分布规律 投影中心无变形，离开投影中心愈远角度、长度变形增 大 ，面积变形、角度变形都不大。
斜轴方位投影 ——等距
经纬线形式
中央经线为直线，其它 经纬线均是曲线。在中 央经线上纬线间隔相等 。
变形分布规律 投影中心无变形，离开投影中心愈远角度、长 度变形增大，面积变形、角度变形都不大 。
四. 透视方位投影
第四节常见的地图投影
（3）高斯-克吕格投影 ）高斯为了提高地图的精确度，数学家高 斯和地图学家克吕格设计了一套方案。 每次投影，只使用中央经线两侧3 每次投影，只使用中央经线两侧3º范 围内的图，即一次投影的宽度为6 围内的图，即一次投影的宽度为6°， 全球投影60次，形成60个投影带，东 全球投影60次，形成60个投影带，东 西半球各30个带，以赤道为轴线，把 西半球各30个带，以赤道为轴线，把 这些带连接在一起，形成一个类似西 瓜切开形态的分瓣投影，称为高斯瓜切开形态的分瓣投影，称为高斯-克 吕格投影。带的编号从本初子午线向 东，第一带的中央经线是3 东，第一带的中央经线是3°经线。
2、横轴圆柱投影 圆柱轴与地轴垂直，一个经 圈与圆柱内侧相切。
(1)经纬网形状 (1)经纬网形状 与圆柱相切的经线投影成直线，长度比为 1，称中央经线，其它经线为对称于中央经线 的曲线，所有经线交于极点。赤道投影成垂 直于中央经线的直线，其它纬线为对称于赤 道的曲线。
（2）变形规律
中央经线不变形，离中央经线越远 变形越大。 等高圈为平行于中央经线的直线， 即等变形线平行于中央经线，垂直圈 垂直于中央经线，即从中央经线向两 侧变形增大。与中央经线经差90º 侧变形增大。与中央经线经差90º的经 线变形为无穷大。 离中央经线越远的图形使用价值越 小。
（2）变形规律
纬线上的长度比n=1/cosφ 纬线上的长度比n=1/cosφ，等角性 质的投影n=m， 质的投影n=m，相同纬差的两纬线间的 间距向高纬增大。等积投影mn=1， 间距向高纬增大。等积投影mn=1，相 mn=1 同纬差的两纬线间距向高纬变小。等距 投影m=1， 投影m=1，纬线间距不变。 等高圈（等变形线）就是纬线，垂直 圈（变形增大的方向）就是经线。
再看平射方位投影，经线上的长度比m 再看平射方位投影，经线上的长度比m、 纬线上的长度比n 纬线上的长度比n都是纬度的函数，与经度 没关系。即纬度相等，长度比相等，等变 形线与纬线平行，也可以说等变形线就是 纬线。切点长度比为1 纬线。切点长度比为1，是不变形的点，向 外变形增大，经线是变形增大的方向。 球心投影，经线上的长度比m 球心投影，经线上的长度比m、纬线上 的长度比n 的长度比n也都只是纬度的函数，与经度无 关。同样，纬线就是等变形线，切点不变 形，经线是变形增大的方向。
地图投影的基本原理(1)
地图投影的实质： 建立地球面上点的坐标与地图平面上点的坐标之
间一一对应的函数关系。
地图投影基本概念
2、地图投影基本方法
1）几何透视法 将测图地区按一定比例缩小成一个地形模型，然后将其上的一些特
征点用垂直投影的方法投影到图纸上。 小区域范围可视地表为平面，采用垂直投影方式，可认为投影没有
sin( ') a b sin( ')
ab
显然当（a +a ′）= 90°时，右端取最大值，则最大方向变形：
sin( ') a b
ab
以ω表示角度最大变形： 令
2( ')
sin a b
2 ab
地图投影基本理论
五、地图投影条件
地图投影一般存在长度变形、面积变形和角度变形，一种投影可以同时 存在以上三种变形，但在某种条件下，可以使某一种变形不发生，如投影后 角度不变形，或投影后面积不变形，或使某一特定方向投影后不产生长度变 形。
E、F、G、H称为一阶基本量， 或称高斯系数。
地图投影基本理论
对角线A′C′与x轴之夹角Ψ的 表达式：
sin dy ds
cos dx
tg
dsddmαyxds dsdxysndd
y x
d dLeabharlann x D'x'
dy
C'
（x+dx,y+dy）
dx
ds'
dsm'
Ψ
B'
dsn'
A' （x,y）
O
y
地图投影基本理论
tan tan ' tan b tan (1 b) tan
方位投影
面积变形为零的投影。为满足这个条件，必须使变形椭圆的最大长度比a与最小长度比b互为倒数，即a=1/b 或b=1/a，这样才能使微分圆投影前后保持面积不变。因此，变形椭圆的长轴越长，其短轴就越小，与投影前的 圆形相比，其视觉变形就越大，即“非正形”。等积投影具有以下特点：①所有的面状要素投影前后面积保持不 变，因此可以直接在等积投影图上进行面积量算；②角度变形大，等积投影适用于对面积要求较高的自然地图和 社会经济地图，如行政区划图、土地利用类型图等。但不适用于制作航海、航空、军事等对方向精度要求较高的 地图。
用途
以平面作为投影面，使平面与地球相切(或相割)，将地球面上的经纬线投影到平面上所得到的图形。由于投 影面与地球面的关系位置不同，又分为正轴方位投影、横轴方位投影和斜轴方位投影。正轴方位投影是投影平面 与地轴垂直(即投影平面切于极点，设以φ0表示切点的纬度，φ0=90°)；横轴方位投影是投影平面与地轴平行 (投影平面与地球面相切于赤道，φ0=0°)；斜轴方位投影是投影平面与地轴斜交(投影平面与地球面相切点的纬 度，小于90°，大于0°，0°<0<90°)。正轴投影的经纬线形状比较简单，称为标准。纬线为同心圆，经线为同 心圆的半径，经线间的夹角等于相应的经度差。纬线半径ρ随纬度φ的变化而变化，即ρ是纬度的函数，一般用 ρ=f(φ)式表达。故正轴方位投影的一般公式为：ρ=f(φ)，δ=λ，δ为投影平面上经线夹角，λ为地球面上 经线间的夹角。
方位投影
分为非透视方位投影和透视方位投影
01 概念
03 地图投影
目录
02 用途 04 分类
方位投影分为非透视方位投影和透视方位投影。前者按变形性质又分为等角、等积和任意（包括等距离）投 影；后者随视点位置不同又分为正射、外心、球面和球心投影。方位投影的特点是：在投影平面上由投影中心向 各方向的方位角与实地相等。这种投影适用于区域轮廓大致为圆形的地图。
3.3常用地图投影
摩尔维特投影常用来编制世界，大洋图，由于离中央 经线经差±900的经线是一个圆，且圆面积恰好等于半 球面积，因此，该投影也用来编制东、西半球地图。
4、分瓣伪圆柱投影
——古德投（Goode
•
Projection）
1923年美国地理学家古德（J.Paul Goode）提出了一种对伪圆柱投影进行分 瓣的投影方法，即古德投影。 • 全图被分成几瓣，各瓣通过赤道连接在 一起，地图上仍无面积变形，核心区域的 长度、角度变形和相应的伪圆柱投影相比 明显减小，但投影的图形却出现了明显的 裂缝，这种尽量减少投影变形，而不惜图 面的连续性是古德投影的重要特征
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3、伪圆柱投影
（1）桑逊投影（Sanson Projection）
•
桑逊投影是一种经线为正炫曲线的正轴等 积伪圆柱投影，又称桑逊-弗兰斯蒂德 （Sanson- Flamsteed）投影。该投影的纬线 为间隔相等的平行直线，经线为对称于中央经 线的正弦曲线（图2-27）。中央经线长度比为 1，即m0＝1，且n=1， p=1。桑逊投影为等面 积投影，赤道和中央经线是两条没有变形的线， 离开这两条线越远，长度、角度变形越大。因 此，该投影中心部分变形较小，除用于编制世 界地图外，更适合编制赤道附近南北延伸地区 的地图，如非洲、南美洲地图等。
• 彭纳投影 4、伪圆柱投影
3.3.3 中国地图常用投影
斜轴方位投影
正轴割圆锥投影
1、斜轴方位投影
（1）斜轴等积方位投影 全中国地图，亚洲地图，半球地图 （2）斜轴等角割方位投影 中国全图 （3）斜轴等距方位投影 行政区图，交通地图
2、正轴割圆锥投影
1）正轴等角割圆锥投影 全中国及各省或大区域的地势图、气象 图与气候图，专题图。 2）正轴等积割圆锥投影 行政区划图、土地利用图、土壤图。森 林分布图。 3）正轴等距割圆锥投影 交通图及要求距离不变形的图
方位投影的名词解释
方位投影的名词解释方位投影是地图制图中一种常用的技术，用于将三维地球表面的地理信息投射到二维地图上。
由于地球是一颗球体，而纸张是二维的，所以需要进行投影来将地球上的地理空间信息准确地表示在地图上。
方位投影是一种投影方法，可以将地球上的某个点投射到地图上的对应位置。
在方位投影中，地图上的某个点与地球上的某个点之间相对方位保持一致，即在两者之间的方向角保持不变。
这使得方位投影在航海、空中导航等领域中得到广泛应用。
方位投影具有很多种类，其中较为常见的有正射投影、斜方位投影和侧射投影等等。
这些投影方法各有特点，适用于不同的地图制图需求。
正射投影是方位投影中的一种常用投影方法。
在正射投影中，地球上的某个点被投射到地图上时，保持原点到该点的线段与地球表面的垂直。
这种投影方法使得地球上的大圆弧线在地图上相当于直线，方便了计算和测量。
斜方位投影是另一种常用的方位投影方法。
在斜方位投影中，地球上的某个点被投射到地图上时，保持原点到该点的线段与地球表面的某个角度α保持不变。
这样的投影方法可以使得地图上的某个方向与实际地球表面上的该方向保持一致，适用于在北极或南极地区进行地图制图。
侧射投影是方位投影中的一种特殊的投影方法，其特点是通过将地球切割成若干个类似扇形的区域，然后将这些扇形区域展开到一个平面上形成地图。
这种投影方法可用于绘制地图时需要考虑地球的曲率变化的情况。
除了这些常见的方位投影方法外，还存在许多其他的投影方法，如克鲁格投影、墨卡托投影等等。
每种投影方法都有其独特的优点和限制，地图制图者需要根据具体的需求来选择适合的投影方法。
总体来说，方位投影为地图制图提供了重要的技术支持。
通过合理选择和应用方位投影方法，可以使得地球上的地理空间信息准确、全面地再现在地图上，为人们的生活和工作提供了重要的参考和便利。
方位投影的发展将继续推动地图制图技术的进步和地理信息科学的发展，为我们更好地认识和理解地球提供了重要的工具。
正轴等角方位投影
应用：
正轴方位投影：两极地区和南北半球 图 等角方位投影：编制某些要求方向正 确的自然地图（气象图，洋流图，雷 达测距图和航空线图。） 正轴等角方位投影：两极地区的航空 图和航海图。
提问：
斜轴等角圆锥投影上下二等角轴测斜轴等面积方位投影轴测投影轴测投影图等角投影正轴等距离圆锥投影斜轴圆锥投影等角对等边等佳艳
正轴方位投影： 投影中心为地球的北极或南极，纬线为同 心圆，经线为同心圆的半径，两条经线间 夹角与实地相等。以等角和等距两种变形 性质的投影用于制作两极地区图。
正轴等角方位投影：投影后经线长度 比与纬线长度比相等（m=n），是以 等角条件决定ρ=f (φ)函数形式的一种 方位投影，ρ代表纬圈半径。
该投影的长度比和面积比随距投影中 心愈远而变形愈大。为使投影区域变 形能够得到改善，故多采用正轴等角 割方位投影。例如美国UPS投影、我 国设计的全球百万分一分幅地图，在 极地均才用正轴等角方位投影
地图学课件 地图投影
cos
伪方位投影
其 它 投 影 简 介
经纬线形状： 1.纬线为同心圆 圆弧； 2.中央经线为直 线，其它经线为对称 于中央直经线的曲线 。 因纬线相当于方 位投影，而经线又不 同于方位投影，故称 之。
伪方位投影经纬线图
伪圆柱投影
伪圆柱投影
纬线为平行直线，中央经线为直线， 其余的经线均为对称于中央经线的曲线
方法：假设将地球按比例缩小成一个透明的地球仪般的球 体，在球心、球面、或球外安置一个光源，将地球仪上的经纬 线、控制点、地物及地貌图形投影到球外的一个平面或可展曲 面上，即成为地图。
透视投影示意图
方位和圆柱投影
球心正轴方位投影的几何做图法
1）几何投影分类
根据几何面形状，分为： （1）方位投影：以平面 作为投影面 相 割
4、地图投影——投影概念
a b S c P’ 说明： P
●
C B A E ●
投影面P不一定是平面
点A与投影面P不必须是在S的两侧
● 在特殊情况下投影中心S点允许在 无穷远处
1.3、地图投影——实现的形象描述
投影原理：设想的地球是透明体，在球心有一 点光源S（投影中心），向四周辐射投影射线，通 过球表面（各点 A、B、C、D……）射到可展面（ 投影面）上，得到投影点a、b、c……，然后再将 投影面展开铺平，又将其比例尺缩小到可见程度 ，从而制成地图。
这种变形使得地理要素的几何特性受到破坏： 长度变形：地球仪上，纬线长度不等； 同一纬线上，经差相同，纬线长度相同； 同一经线上，纬差相同而经线长度不同； 所有经线长度相等。 面积变形：地球仪上，同一纬度带内， 经差相同的网格面积相等；同一经度带内， 纬度越高，面积越小。 角度变形：地球仪上，经线与纬线处处 呈直角相交。
方位投影的概念
方位投影的概念方位投影，这听起来是不是有点像一种神秘的魔法呢？其实啊，它就是地图投影的一种类型。
咱就把地球想象成一个大皮球，这皮球上有各种各样的图案和标记，就像地球表面有山川河流、城市乡村一样。
现在呢，我们想要把这个皮球上的图案平平整整地画在一张纸上，这可不容易啊，就好像要把一个鼓鼓囊囊的大包裹里的东西，一点不皱巴地铺在一个小盒子里一样难。
方位投影做的就是这个事儿，它是想办法把地球这个球面上的东西，投影到一个平面上。
方位投影有好多有趣的特点呢。
它有点像那种从一个固定的点去看整个地球的感觉。
比如说，你站在一个高塔上，然后向四周看，你看到的东西在你的视野里的样子，就有点像方位投影在平面上展现地球的样子。
这个固定的点就像是投影的中心，从这个中心往外，把地球表面的东西映射到平面上。
那它具体是怎么做到的呢？这就像是把地球表面的每一个小部分，都像是捏橡皮泥一样，按照一定的规则，把它们拉到平面上。
不过这个规则可不像我们捏橡皮泥那么随意。
有些方位投影会让靠近中心的地方变形比较小，越往边缘呢，变形就越大。
这就好比你在一个池塘里扔了一颗石子，涟漪从中心往外扩散，中心的水波很整齐，可是到了边缘就变得比较乱了。
再比如说，有一种方位投影就像是聚光灯打在地球上的某个点上，以这个点为中心进行投影。
在这种投影下，如果这个点是北极点，那北极附近的地区就会在平面上看起来比较准确，形状和实际的比例比较接近。
可是离北极越远的地方，就像那些靠近赤道的地方，就会被拉得变形比较厉害。
这就像你在拍照的时候，你把焦点对在一个近处的花朵上，那花朵很清晰，背后的风景就变得模糊而且变形了。
方位投影在很多地方都有用呢。
航海的时候就经常会用到。
你想啊，船员们在茫茫大海上，他们需要知道自己的位置，还需要知道周围的岛屿、大陆在哪里。
方位投影的地图就像是他们的指南针一样。
虽然它可能有些变形，但是只要船员们知道这个投影的规则，他们就能根据地图找到自己要去的地方。
(整理)第三章 高斯投影及高斯平面直角坐标系
第三章高斯投影及高斯平面直角坐标系§3.1 地图投影概述3.1.1 地图投影的意义与实现由椭球面投影到平面,大地经纬度B,L,与平面坐标x,y的关系因椭球面是不可展曲面,要建立一一对应的关系,必然会产生投影变形,控制投影变形有各种不同的方法,对应于不同的投影.3.1.2 地图投影变形及其表述1,投影长度比,等量纬度及其表示式长度比:投影平面上微分长度与椭球面上相应微分长度之比.投影平面上微分长度:椭球面上微分长度:3.1.2 地图投影变形及其表述上式中q为等量纬度,计算公式为引入等量纬度后,使相同角度量的dq与dL所对应的椭球面上的弧长相同.3.1.2 地图投影变形及其表述上式中q为等量纬度,计算公式为引入等量纬度后,使相同角度量的dq与dL所对应的椭球面上的弧长相同.上式中q为等量纬度,计算公式为引入等量纬度后,使相同角度量的dq与dL所对应的椭球面上的弧长相同.3.1.2 地图投影变形及其表述引入等量纬度后,投影公式为:求微分,得:其中:l = L - L03.1.2 地图投影变形及其表述根据微分几何,其第一基本形式为:其中:3.1.2 地图投影变形及其表述则,长度比公式为:将代入上式,得:3.1.2 地图投影变形及其表述当A=0°或180 °,得经线方向长度比:当A = 90°或270 °,得纬线方向长度比:要使长度比与方向无关,只要:F = 0, E = G,则长度比可表示为:3.1.2 地图投影变形及其表述长度比与1之差,称为长度变形,即:vm>0,投影后长度变大,反之,投影后长度变短.2,主方向和变形椭圆主方向:在椭球面上正交的两个方向投影到平面上后仍然正交,则这两个方向称为主方向.性质:主方向投影后具有最大和最小尺度比.对照第一基本形式,得:且:3.1.2 地图投影变形及其表述代入长度比公式,得:若使:使长度比为极值的方向:由三角公式得:3.1.2 地图投影变形及其表述由此得,长度比极值为:将三角展开式代入得:因此,最大长度比a与最小长度比b可表示为:3.1.2 地图投影变形及其表述不难得出下列关系:3.1.2 地图投影变形及其表述若对应于最大和最小长度比方向在椭球面上为x轴和y轴方向,在投影面上为x1和y1方向,则有:椭球面上投影面上3.1.2 地图投影变形及其表述3,方向变形与角度变形某方向(以主方向起始) 投影后为1,则有:由三角公式,得:显然,当+ 1 = 90°或270 °时,方向变形最大3.1.2 地图投影变形及其表述若与1表示最大变形方向,则最大变形量可表示为:顾及:解得最大变形方向为:3.1.2 地图投影变形及其表述两方向, 所夹角的变形称为角度变形,用表示.即:显然,当+ 1 = 90°, + 1 = 270 °或+ 1 = 270°, + 1 = 90 °时,角度变形最大,最大角度变形可表示为:3.1.2 地图投影变形及其表述4,面积比与面积变形椭球面上单位圆面积为,投影后的面积为ab,则面积变形为:3.1.3 地图投影的分类1,按投影变形的性质分类(1). 等面积投影a b = 1(2). 等角投影a = b(3). 等距离投影某一方向的长度比为1.3.1.3 地图投影的分类2,按采用的投影面和投影方式分类(1). 方位投影投影面与椭球面相切,切点为投影中心,按一定条件将椭球面上的物投影到平面上.3.1.3 地图投影的分类(2). 正轴或斜,横轴圆柱投影正轴圆柱投影:投影圆柱面与某纬线相切(切圆柱投影),或相割(割圆柱投影)切圆柱投影:投影圆柱面与赤道相切,纬线投影成一组平行直线,经线投影成与纬线正交的另一组平行直线.割圆柱投影:投影圆柱面与两条对称纬线相割,纬线投影成一组平行直线,经线投影成与纬线正交的另一组平行直线.3.1.3 地图投影的分类横轴圆柱投影:投影圆柱面与某经线相切.斜轴圆柱投影:用于小比例尺投影,将地球视为圆球,投影圆柱体斜切于圆球进行投影.(3). 圆锥投影:圆锥面与椭球面相切或相割,将椭球面上物投影到圆锥面上,展开圆锥面得投影平面.根据圆锥顶点位置不同,分正圆锥投影,斜圆锥投影.3.1.3 地图投影的分类习题1. 给出等量纬度的定义,引入等量纬度有何作用.2. 投影变形与长度无关时应满足哪些条件并给出证明.3. 变形主方向有什么性质4. 最大方向变形与最大角度变形的方向满足什么条件5. 地图投影按变形性质分哪几类按投影方式分哪几类§3.2 正形投影与高斯-克吕格投影3.2.1 正形投影的概念和投影方程长度比与方位角无关的投影称为正形投影,必须满足条件E = G, F = 0,即:由第二式解得:13.2.1 正形投影的概念和投影方程代入第一式,得:考虑到导数的方向,开方根得:再代入式,得:1233.2.1 正形投影的概念和投影方程2, 式称为Kauchi-Rimann方程,满足该方程的复变函数为解析函数,可展开成幂级数,即有:3其反函数也是复变函数,可以写成:3.2.2 高斯-克吕格投影的条件和性质高斯-克吕格投影的条件:1. 是正形投影2. 中央子午线不变形3.2.2 高斯-克吕格投影的条件和性质高斯投影的性质:1. 投影后角度不变2. 长度比与点位有关,与方向无关3. 离中央子午线越远变形越大为控制投影后的长度变形,采用分带投影的方法.常用3度带或6度带分带,城市或工程控制网坐标可采用不按3度带中央子午线的任意带.3.2.2 高斯-克吕格投影的条件和性质3.2.2 高斯-克吕格投影的条件和性质中央子午线在平面上的投影是x 轴,赤道的投影是y 轴,其交点是坐标原点.x 坐标是点至赤道的垂直距离;y 坐标是点至中央子午线的垂直距离,有正负.为了避免y 坐标出现负值,其名义坐标加上500 公里.为了区分不同投影带中的点,在点的Y坐标值上加带号N所以点的横坐标的名义值为y = N 1000000+500000+y§3.3 高斯投影坐标正算和反算公式3.2.1 高斯投影正算公式赤道因正形投影的导数与方向无关,将投影点坐标在H点展开,得:3.3.1 高斯投影正算公式因此,高斯投影级数展开式可表示为:其各阶导数为:3.3.1 高斯投影正算公式将导数代入展开式,虚实分开后,得到高斯投影正算公式如下:3.3.1 高斯投影正算公式为便于编程计算,可将正算公式改写成如下形式:3.3.2 高斯投影反算公式在中央子午线投影成的x轴上取点Xf = x,该点称为底点,用子午弧长反算公式求得底点的纬度Bf 和相应的等量纬度qf ,以底点为展开点进行级数展开,得:3.3.2 高斯投影反算公式相应的各阶导数为:3.3.2 高斯投影反算公式代入级数展开式,虚实分开得:43.3.2 高斯投影反算公式将大地纬度展开成等量纬度的级数式其中:53.3.2 高斯投影反算公式由式,得:4代入式,得:53.3.2 高斯投影反算公式将各系数代入上式,得纬度B 的反算公式:3.3.2 高斯投影反算公式为便于编程计算,可将反算公式改写成如下形式:3.3.2 高斯投影反算公式利用高斯投影的正反算公式,亦可进行不同投影带坐标的换带计算.其计算步骤如下:1. 根据高斯投影坐标x, y,反算得纬度B和经度差l;2. 由中央子午线的经度L0, 求得经度L = L0 +l;3. 根据换带后新的中央子午线经度L0' ,计算相应的经差:4. 由高斯投影正算,求得新的高斯投影坐标x',y'.习题1. 高斯投影的条件是什么2. 简述高斯投影投影正算公式的推导;3. 已知某点的坐标:B = 29 04 05.3373L = 121 10 33.2012计算:1). 该点的3 带和6 带带号;2). 该点的3 带高斯投影坐标并反算检核;§3.4 平面子午线收敛角和长度比3.4.1 平面子午线收敛角的计算公式平行圈子午线沿平行圈纬度不变,求微分得:3.4.1 平面子午线收敛角的计算公式对高斯投影公式求偏导数,得:3.4.1 平面子午线收敛角的计算公式代入上式,得:将展开成tg 的级数,得:3.4.1 平面子午线收敛角的计算公式由此可见, 是经差的奇函数,在x 轴为对称轴,东侧为正,西侧为负. 子午线收敛角在赤道为0,在两极等于经差l,其余点上均小于经差l .3.4.1 平面子午线收敛角的计算公式子午线收敛角也可以表示成高斯平面坐标的级数展开式.平行圈L =常数L+dl = 常数P点沿与y轴平行方问微分变动到P 点,子午线收敛角可表示为:沿y坐标的微分,得:3.4.1 平面子午线收敛角的计算公式代入子午线收敛角公式,得:由高斯投影反算公式求出偏导数,得:3.4.1 平面子午线收敛角的计算公式代入上式子午线收敛角计算公式,得:将展开成tg 的级数,得:3.4.2 长度比计算公式由高斯投影长度比的定义式,得:将前面的偏导数代入上式,得:开方后得出以大地坐标表示的长度比公式:3.4.2 长度比计算公式为给出由高斯投影坐标表示的长度比公式,反解高斯投影的y 坐标正算公式,得:对上式求平方和四次方,得:3.4.2 长度比计算公式代入用大地坐标表示的长度比公式,得:顾及:代入上式,得:可见,长度比是y坐标的偶函数,且只与y坐标有关.§3.5 高斯投影距离与方向改化以及坐标方位角3.5.1 高斯投影的距离改化椭球面上的大地线投影到高斯平面上为曲线,与平面上两点相连的直线相比, 其微分线段间的差异极小,可表示为:其中:3.5.1 高斯投影的距离改化此弧线与直线间的最大偏角即为方向投影改化,本为二次小项,故此相对长度差异仅为4次项,相对于距离测量的最高精度亦可忽略,因此可认为:用辛卜生公式数值积分得:3.5.1 高斯投影的距离改化将长度比公式代入上式,得:3.5.1 高斯投影的距离改化距离改化S可表示为:其中:在城市及工程应用中测边离中央子午线不会超过45公里,则距离改化公式可进一步简化为:3.5.2 高斯投影方向改化1,高斯投影曲线的形状高斯投影曲线的形状向x 轴弯曲,并向两极收敛.3.5.2 高斯投影方向改化2,高斯投影方向改化保角投影前后角度相同,即:3.5.2 高斯投影方向改化将球面角超计算公式代入上式,得:因方向值顺时针方向增加,考虑其正负号后,方向改化公式可表示如下: 上式具有0.1 的计算精度,适用于三,四等控制网的方向改化计算.改化公式中的曲率半径可足够近似地取6370km3.5.3 坐标方位角和大地方位角的关系式A12T12习题1. 已知某点的坐标:B = 29 04 05.3373L = 121 10 33.2012计算:1). 该点的3 带高斯投影后的中央子午线收敛角;2). 该点的3 带高斯投影的长度比.2. 已知起始点坐标:x3 = 3239387.624 my3 = 40446822.368m起始平面方位角T31=192 37 08.51 ,距离S31=7619.245m,各方向观测值如下:1~3:0 00 00.00 2~3:0 00 00.00 3~1: 0 00 00.001~2:257 17 47.71 2~1:39 51 12.50 3~2:37 26 36.65将上述边长和方向归算到高斯平面上.312§3.6 通用横轴墨卡托投影3.6.1 墨卡托投影墨卡托投影为等角割圆柱投影,圆柱与椭球面相割于B0的两条纬线,投影后不变形.特性:等角航线在投影平面上为直线.因此,该投影便于在航海中应用.3.6.2 通用横轴墨卡托投影简称为UTM,与高斯投影相比,仅仅是中央子午线的尺度比为0.9996,其投影公式如下:3.6.2 通用横轴墨卡托投影长度比和子午线收敛角计算公式.3.6.2 通用横轴墨卡托投影通用横轴墨卡托投影的反算步骤:1. 先由通用横轴墨卡托投影坐标计算高斯投影坐标;2. 再利用高斯投影反算公式,计算大地纬度和经度.3.6.2 通用横轴墨卡托投影与高斯投影的比较§3.7 局部区域中的高斯投影及其相应的区域性椭球局部区域中常采用地方独立坐标系,其高斯坐标以往并非由经纬度求得,而是直接将边长投影到边长归算的高程基准面(投影面), 再选定过测区中心附近的坐标纵轴,计算高斯投影边长和方向改正,在平面上由起始点坐标,起始方位角来平差计算各控制点坐标.§3.7 局部区域中的高斯投影及其相应的区域性椭球地方独立坐标系的参数:1. 投影面:一般采用区域的平均高程面;2. 中央子午线的经度或位置:一般取用过区域中心附近一控制点的经度,或采用整分或整度的经度.3. 起始坐标,起始方位角,起始边长.§3.7 局部区域中的高斯投影及相应的区域性椭球城市及工程控制网采用地方独立坐标系,边长的投影面是区域的边长归算的高程基准面而并不是国家参考椭球面.其高斯坐标所对应的椭球面应是与投影面相接近的区域性椭球面,而不是国家参考椭球面.习题1. 已知某点的坐标:B = 29 04 05.3373L = 121 10 33.2012计算:1). 该点的3 带UTM投影坐标;2). 该点UTM投影的长度变形.。
第3章地图投影的基本原理
α ds
m
ds
dsn
利用上式可以获得平面上经 纬线微分线段的表达式：
Ed dλ=0时， AD dsm
Gd dΦ=0时， AB dsn
q dsn'
B'
y
地图投影基本理论
将投影的一般表达式取x、y对Φ、λ的全微分：
x x d d y y dy= d d dx=
2 2 3 2
式中： a 椭球的长半径
e 第一偏心率
B
子午圈截面：包含子午圈的截面。 子午圈曲率半径通常用字母M表示，它是A点上所有法截 弧的曲率半径中的最小值
为纬度
地图投影基本理论
N
2
a (1 e sin B)
2 1 2
式中： a 椭球的长半径
e 第一偏心率
B
卯酉圈截面：垂直于子午圈的截面。 卯酉圈曲率半径是所有法截弧的曲率半径中的最大值， 以字母N表示：
地图投影基本理论
沿经线微分线段
x
x'
dy dx
AD Md
C'
D'
沿纬线微分线段
AB ds' rd
α ds
m
ds
dsn
对角线
dsm'
ds AC M 2 d 2 r 2 d 2
Ψ
A' C点对A点方位角α为：
rd sin O ds
q dsn'
B'
Md cos ds
P=1
由面积变形公式得： H=M*r 或 ab=1
地图投影基本理论
（三）等距离投影条件 使某一组特定方向投影后不产生长度变形，这种 投影叫做等距离投影。在经纬线正交的投影中，等距