第3章- 第2讲地图投影基本理论汇总

由于这类投影可以保持面积大小不 变，故可在图上进行面积的比较。有关 的专题地图用到此投影。
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（3）等距离投影条件
等距离投影：只在某个特定方向上长度没有变形。 规定经线长度比为1。
m 1
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等距离投影只在某些特定方向上没有 变形。多用于对投影变形没有特殊要求的 地图，如教学地图。
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课堂小结
地图投影方程：地图投影的基础 变形：长度、角度、面积
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（1）等角投影条件
在投影平面上任何一处两方向所夹之 角都无变形， 即最大角度变形为零，长度 比相等。
0
sin a b
2 ab
ab
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等角投影在微小区域内，图上的图形与实 地是相似的，又叫相似投影或正形投影，其 面积变形比别的投影大。
等角投影在图上量测方向和距离比较方便，世 界各国地形图多用此投影。
dS
dS
ds2 dx2 dy2 dx xBdB xLdL,
x f1B, L y f2B, L
dy y BdB yLdL
ds 2 M 2dB 2 L2dL2
2
EdB2 2FdBdL GdL2 M 2dB 2 L2dL2
tg DC
AD
2 E cos2 F sin 2 G sin 2
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3、角度变形
u
u
角度变形公式：
角度变形也是一个变量，它随点位的变化而变化。
变形越小越好 局部点、线不变形
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投影平面切在某点，该点在球面上，也在投影 平面上，这样的点投影后不产生任何变形。
圆锥与地球某纬线圈相切，圆柱在赤道上与地 球相切，这些相切的纬线投影后均无变形。在地 图投影中不变形的纬线称之为标准纬线。
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2.2 地图投影变形
由球面向平面投影时引起的点、线、面的变化。
长度变形 角度变形 面积变形
9
1、长度比与长度变形
原面与投影面微分关系
长度比公式：
dS
dS
长度变形公式： 1
10
dS
dS
1
0 投影后长度增加了；
0 投影后长度缩短了；
0 无长度变形。
长度比是一个变量，随点位不同而变化，在 同一点上随方向变化而变化。
变形无时不在！ 地图投影变形条件：为建立适宜的 地图投影提供理论基础。
x f1(B, L) y f2(B, L)
地图投影的标准纬线 15
2.3 主方向和变形椭圆
（1）主方向
C
A
O
B
D
正交方向
C′
A′
O′
B′ D′
不正交方向
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总有一组互相正交的方向投影后仍
然正交，称此二方向为主方向。
C
A
O
B
D
C′
A′
O′
B′
D′
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（2）变形椭圆
ξ
D
C
1
AB
η
球面
ξ′
D ′ C′
A ′ B′
η′
投影面
地球面上一无穷小的圆投影在平面上一般为无穷 小的椭圆。
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2.1 地图投影一般方程
实质：将地球椭球面上的点映射到平面上点.
B , L x，y
地图投影
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地图投影的一般方程：
x f1B, L y f2B, L
或
x f1, y f2 ,
椭球体 球体
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一般方程
x f1B, L y f2B, L
地球椭球面上的点映射到平面上点：
一一对应
f1，f2 ： 取决于不同的投影条件
经纬线夹角计算公式：
tg H
F
sin H
EG 经纬线夹角变形：
2
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最大角度变形计算公式：
sin a b
2 ab
tgΒιβλιοθήκη ab2 2 abtg(
)
a
44 b
tg( ) b
44 a
a, b极值长度比
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2.5 地图投影条件
（1）等角投影条件 （2）等面积投影条件 （3）等距离投影条件
南京师范大学地理科学学院GIS系
地图学
Cartography
第三章 地图投影原理及方位投影
第2讲 地图投影基本理论
回顾 地图投影
实质：将地球椭球面上点投影到平面上点。
地球椭球面
B,L
x，y
地图平面
地图投影
2
内容
2 地图投影的基本理论
2.1 地图投影一般方程 2.2 地图投影变形 2.3 主方向和变形椭圆 2.4 投影变形计算 2.5 地图投影条件
椭圆是由投影变形而产生：变形椭圆。
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（3）沿主方向变形椭圆
x
C
1
A
y
x′
a C′
A′ b
y′
主方向具有两个重要性质： • 投影后仍然保持正交
• 主方向具有最大长度比a和最小长度比b
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（4）变形椭圆的应用
• 表示一点的
变形
• 扁平程度反
映角度变形大 小
• 一组变形椭
圆反映全区域 变形情况
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2.4 地图投影变形计算
（1）长度比计算公式 （2）面积比计算公式 （3）角度变形的计算
21
22
投影一般方程： x f1B, L y f2B, L
第一基本量：
E
x
2
y
2
B B
F x x y y B L B L
G
x
2
y
2
L L
H x y y x B L B L
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（1）长度比计算公式
任何一种投影都存在长度变形。
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2、面积比与面积变形
dF
面积变形公式：
dF
面积比公式：
P dF dF
面积变形公式： p P 1
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P dF dF
p P 1
p 0 ，表示投影后面积增大； p 0 ，表示投影后面积缩小； p 0 ，表示面积无变形。
面积比或面积变形也是一个变量，随点 位的变化而变化。
单值、连续、有界
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特殊情况
若经度为常数L0，则经线投影方程为：
x f1B, L0 y f2 B, L0
若纬度为常数B0，则纬线投影方程为：
x f1B0 , L y f2 B0 , L
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若消去纬度B, 经线族投影方程：
F1( x, y, L) 0
若消去经度L, 纬线族投影方程：
F2 ( x, y, B) 0
M2
Mr
r2
24
0，沿经线方向长度比计算公式：
m E M
900 ，沿纬线方向长度比计算公式：
n G r
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（2）面积比计算公式
P dF dF
dF AD • AB MrdBdL
dF AD • AB • sin m nM r sin dBdL P m n sin
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（3）角度变形的计算
我国大中比例尺地形图上所采用的高斯—克吕 格投影就是等角横切椭圆柱投影。
小比例尺地形图和航空图则采用等角圆锥投影。
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（2）等面积投影条件
等面积投影：在投影平面上保持面积大小 与椭球面上相应的面积一致，即面积变形为零。
P 1 ab 1 H Mr
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等面积投影改变原来的形状，破坏 了图形的相似性，其角度变形一般比别 的投影大。