2020届高三数学(理)“小题精练”8
2020届高三数学(理)“小题精练”4
2020届高三数学（理）“小题速练”413. 14. 15. 16.一、单选题1．若全集U =R ，集合2{|16}A x Z x =∈<，{|10}B x x =-≤，则()U A B ⋂=ð（ ）A ．{|14}x x <„B ．{|14}x x <<C ．{1,2,3}D ．{2,3}2．下列说法错误的是（ ）A ．命题“若2430x x -+=，则3x =”的逆否命题为“若3x ≠，则2430x x -+≠”B ．命题“(0,)x ∀∈+∞，23x x <”是假命题C ．若命题p 、q ⌝均为假命题，则命题p q ⌝∧为真命题D ．若()f x 是定义在R 上的函数，则“(0)0f =”是“()f x 是奇函数”的必要不允分条件 3．已知函数()x x f x e e -=-（e 为自然对数的底数），若0.50.7a -=，0.5log 0.7b =，0.7log 5c =，则（ ）A ．()()()f b f a f c <<B ．()()()f c f b f a <<C ．()()()f c f a f b <<D ．()()()f a f b f c <<4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，422S =，330n S =，4176n S -=，则n =（ ） A ．14 B ．15C ．16D ．175．函数2sin 2xy x =-的图象大致是 A ． B ．C ．D ．6．已知向量b =r ，问量a r为单位向量，且1a b ⋅=r r ，则2a b -r r 与2a r 的夹角余弦值为（ ）A ．12B C ．12-D ．7．平面直角坐标系xOy 中，若角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆O 交于点00(,)P x y ，且(,0)2απ∈-，3cos()65πα+=，则0x 的值为（ ）A B C D 8．关于函数()ln(1)ln(3)f x x x =+--有下述四个结论：①()f x 在(1,3)-单调递增 ②()y f x =的图像关于直线1x =对称 ③()y f x =的图像关于点(1,0)对称 ④()f x 的值域为R 其中正确结论的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．39．阿波罗尼斯是古希腊数学家，他与阿基米德、欧几里得被称为亚历山人时期的“数学三巨匠”，以他名字命名的阿波罗尼斯圆是指平面内到两定点距离比值为定值(0,1)λλλ>≠的动点的轨迹.已知在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin 2sin A B =，cos cos 2a B b A +=，则ABC ∆面积的最大值为（ ）ABC ．43D ．53 10．在ABC ∆中，60BAC ︒∠=，BAC ∠的平分线AD 交BC 于D ，且有23AD AC t AB =+u u u r u u u r u u u r.若||6AB =uuu r ，则||BC =u u u r（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知函数2()sin 2cos1(0)2xf x x ωωω=-+>在区间(1,2)上单调，则ω的取值范围是（ ） A ．30,8π⎛⎤⎥⎝⎦B ．30,4π⎛⎤⎥⎝⎦C ．3370,,848πππ⎛⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦U D ．330,,84πππ⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦U 12．已知()(ln 1)(ln 1)f x ax x x x =++++与2()g x x =的图像至少有三个不同的公共点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．122⎛- ⎝⎭B ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D ．二、填空题13．曲线2()cos2f x x x =-在点(0,(0))f 处的切线方程为___________.14．n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，32a =，2106a a =，则6S =____________.15．函数()4sin 3cos f x x x =-，且对任意实数x 都有()(2)()f x f x R αα=-∈，则cos2=α________.16．已知实数α，β满足3e e αα=，4(ln 1)e ββ-=，其中e 是自然对数的底数，则αβ=___________.2020届高三数学（理）“小题速练”4（答案解析）一、单选题1．若全集U =R ，集合2{|16}A x Z x =∈<，{|10}B x x =-≤，则()U A B ⋂=ð（ ）A ．{|14}x x <„B ．{|14}x x <<C ．{1,2,3}D ．{2,3}【答案】D【解析】{|44}{3,2,1,0,1,2,3}A x x =∈-<<=---Z ，{|1}U B x x =>ð，(){2,3}U A B =I ð.2．下列说法错误的是（ ）A ．命题“若2430x x -+=，则3x =”的逆否命题为“若3x ≠，则2430x x -+≠”B ．命题“(0,)x ∀∈+∞，23x x <”是假命题C ．若命题p 、q ⌝均为假命题，则命题p q ⌝∧为真命题D ．若()f x 是定义在R 上的函数，则“(0)0f =”是“()f x 是奇函数”的必要不允分条件 【答案】B【解析】选项A: 命题“若2430x x -+=，则3x =”的 逆否命题为“若3x ≠，则2430x x -+≠”，故正确；选项B: (0,)x ∀∈+∞， 022()()13233x x x <==，而0,323xxx>∴<，命题“(0,)x ∀∈+∞，23x x <” 为真，判断错误；选项C: 若命题p 、q ⌝均为假命题， 则命题p ⌝、q 均为真命题， 故命题p q ⌝∧为真命题，判断正确； 选项D: ()f x 是定义在R 上的函数， 若“()f x 是奇函数”则“(0)0f =”正确； 而“(0)0f =”，()f x 不一定是奇函数， 如2()f x x =，选项D 判断正确.3．已知函数()x x f x e e -=-（e 为自然对数的底数），若0.50.7a -=，0.5log 0.7b =，0.7log 5c =，则（ ）A ．()()()f b f a f c <<B ．()()()f c f b f a <<C ．()()()f c f a f b <<D ．()()()f a f b f c <<【答案】D【解析】因为0.50.71a -=>，01b <<，0c <，∴a b c >> 又()f x 在R 上是单调递减函数，故()()()f a f b f c <<.4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，422S =，330n S =，4176n S -=，则n =（ ） A ．14 B ．15C ．16D ．17【答案】B【解析】∴123422a a a a +++=，4123154n n n n n n S S a a a a -----=+++= ∴14()176n a a +=，∴144n a a +=∴由1()2n n n a a S +=得443302n ⨯=，∴15n =. 5．函数2sin 2xy x =-的图象大致是A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】当0x =时，0200y sin =-= 故函数图像过原点，排除A 又12cos 2y x =-'Q ，令0y '= 则可以有无数解，所以函数的极值点有很多个，故排除B D ， 故函数在无穷域的单调区间呈周期性变化 结合四个选项，只有C 符合要求6．已知向量b =r ，问量a r为单位向量，且1a b ⋅=r r ，则2a b -r r 与2a r 的夹角余弦值为（ ）A ．12B C ．12-D ．【答案】A【解析】记OA a =u u u r r ，2OC a =u u u r r ，OB b =u u u r r，由||1a =r ，||2b =r ，且1a b ⋅=r r 知60AOB ︒∠=，∴2a b BC -=r r u u u r，||||2OC OB ==u u u r u u u r，60BOC ︒∠=，∴OBC ∆为正三角形，60C ︒∠=，∴2,260a b a ︒<->=r r r，7．平面直角坐标系xOy 中，若角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆O 交于点00(,)P x y ，且(,0)2απ∈-，3cos()65πα+=，则0x 的值为（ ）A B C D 【答案】A【解析】因为(,0)2απ∈-，3cos()65πα+=，所以(,)636πππα+∈-，若(0,)66ππα+∈，3cos()65πα+>>，所以不符合， 所以(,0)63ππα+∈-，4sin()65πα+=-所以03414cos cos ()66525210x ππαα-⎡⎤==+-=⨯-⨯=⎢⎥⎣⎦. 8．关于函数()ln(1)ln(3)f x x x =+--有下述四个结论：①()f x 在(1,3)-单调递增 ②()y f x =的图像关于直线1x =对称 ③()y f x =的图像关于点(1,0)对称 ④()f x 的值域为R 其中正确结论的个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】()f x 的定义域是(1,3)-，1()ln 3x f x x+=-， 令14()1(0,)33x t x x x +-==-∈+∞-- 所以()t x 在(1,3)-单调递增，()ln ()f x t x =在(1,3)-单调递增，且值域为R又因为2(1)ln2x f x x ++=-，2(1)ln2xf x x--=+ 所以(1)(1)f x f x +=--，(1)(1)f x f x +≠- 所以①③④正确，②是错误的.9．阿波罗尼斯是古希腊数学家，他与阿基米德、欧几里得被称为亚历山人时期的“数学三巨匠”，以他名字命名的阿波罗尼斯圆是指平面内到两定点距离比值为定值(0,1)λλλ>≠的动点的轨迹.已知在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin 2sin A B =，cos cos 2a B b A +=，则ABC ∆面积的最大值为（ ）A BC ．43D ．53【答案】C【解析】依题意，sin 2sin A B =，得2BC AC =，222222cos cos 222a c b b c a a B b A c c c+-+-+=+==即2AB =，以AB 边所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴 建立直角坐标系，则(1,0),(1,0)A B -，设(,),0C x y x ¹， 由2BC AC =，则C 的轨迹为阿波罗尼斯圆，其方程为22516(),039x y x -+=?，边AB 高的最大值为43，∴max 4()3ABC S ∆=.10．在ABC ∆中，60BAC ︒∠=，BAC ∠的平分线AD 交BC 于D ，且有23AD AC t AB =+u u u r u u u r u u u r.若||6AB =uuu r ，则||BC =u u u r（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由B 、C 、D 三点共线知13t =，2133AD AC AB =+u u ur u u u r u u u r ,2BD DC =u u u r u u u r，即2,2ABD ACD BD DC S S ∆∆=∴=，0011sin 30,sin 3022ABD ACD S AB AD S AC AD ∆∆∴=⨯⨯=⨯⨯， 26AB AC ∴==，所以3AC =，由余弦定理得BC =11．已知函数2()sin 2cos 1(0)2xf x x ωωω=-+>在区间(1,2)上单调，则ω的取值范围是（ ） A ．30,8π⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．30,4π⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．3370,,848πππ⎛⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦UD ．330,,84πππ⎛⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦U 【答案】C【解析】化简得2()sin 2cos 1sin cos )24xf x x x x x ωπωωωω=-+=-=-因为()f x 在区间(1,2)上单调，所以212T πω=-…即0ωπ<„ 令7(,2)(,)44444t x πππππωωω=-∈--⊆- 所以0242ωπππω<⎧⎪⎨-⎪⎩„„或0423242ωπππωππω⎧⎪<⎪⎪-⎨⎪⎪-⎪⎩„…„或03427244ωπππωππω⎧⎪<⎪⎪-⎨⎪⎪-⎪⎩„…„ 所以ω的取值范围是3370,,848πππ⎛⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦U . 12．已知()(ln 1)(ln 1)f x ax x x x =++++与2()g x x =的图像至少有三个不同的公共点，则实数a 的取值范围是（ ）A．122⎛- ⎝⎭B ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭C．2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D．【答案】B【解析】方程ln 1ln 1()()()(1)1x x f x g x a x x++=⇔++=至少有三个不等的实根令ln 1()x t x x +=得2()(1)1(1)10a t t t a t a ++=⇔+++-=① 冈为2ln ()x t x x -'=，所以ln 1()x t x x+=在(0,1)上单调递增， 在(1,)+∞上单调递减且()t x 的最大值(1)1t =，x 轴是()t x 的渐近线. 所以方程①的两个根1t ，2t 的情况是：（∴）若12,(0,1)t t ∈且12t t ≠，则()f x 与()g x 的图像有四个不同的公共点则12121212000(1)(1)0(1)(1)0t t t t t t t t ∆>⎧⎪+>⎪⎪>⎨⎪-+-<⎪-->⎪⎩a ⇔无解 （∴）若1(0,1)t ∈且21t =或20t =，则()f x 与()g x 的图像有三个不同的公共点，则a 无解（∴）若1(0,1)t ∈且20t <，则()f x 与()g x 的图像有三个不同的公共点 令2()(1)1h t t a t a =+++-则(0)01011(1)02102h a a h a ⎧<-<⎧⇔⇔-<<⎨⎨>+>⎩⎩.二、填空题13．曲线2()cos2f x x x =-在点(0,(0))f 处的切线方程为___________. 【答案】1y =-【解析】()22sin 2f x x x '=+，∴(0)0f '=，又(0)1f =- 故()f x 在(0,(0))f 处的切线方程为1y =-.14．n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，32a =，2106a a =，则6S =____________.【答案】632【解析】因为{}n a 为等比数列，所以2106210a a a a =⋅=，即21,2a q ==，∴112a =∴66161(1)63(1)12a q S a q q -==-=-. 15．函数()4sin 3cos f x x x =-，且对任意实数x 都有()(2)()f x f x R αα=-∈，则cos2=α________.【答案】725-【解析】依题意α为()f x 极值点，()0f α'=，∴4cos 3sin 0αα+=∴4tan 3α=-，∴221tan 7cos21tan 25ααα-==-+. 16．已知实数α，β满足3e e αα=，4(ln 1)e ββ-=，其中e 是自然对数的底数，则αβ=___________. 【答案】4e【解析】因为3e e αα=，4(ln 1)e ββ-=所以ln 3αα+=，ln ln(ln 1)4ββ+-=即ln 30αα+-=，ln 1ln(ln 1)30ββ-+--=所以α，ln 1β-均为方程ln 30x x +-=的根， 又因为方程ln 30x x +-=的根唯一，所以4ln 13ln ln 1ln ln 4e αβαβαβαβ=-⇔-=-⇔+=⇔=.。
2020届高考冲刺数学(理)“小题精练”(11)含详细解答
2020届高三数学（理）“小题速练”1113. 14. 15. 16.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设复数z 满足1＋2z1－z ＝i ，则z ＝( )A.15＋35i B ．15－35iC ．－15＋35iD ．－15－35i2．已知集合A ＝{x |x 2－x －2<0}，B ＝{x |x 2＋3x <0}，则A ∩B ＝( ) A ．(0，2)B ．(－1，0)C ．(－3，2)D ．(－1，3)3．为了得到函数y ＝sin 2x 的图象，可以将y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象( ) A ．向右平移π6个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π3个单位长度4．已知两个平面相互垂直，下列命题①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线； ②一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线； ③一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面；④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面． 其中正确命题个数是( ) A ．3 B ．2 C ．1D ．05．中国古代数学著作《张丘建算经》中记载：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里．”其意思是：“现有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的里数是前一天的一半，连续行走7天，共走了700里．”若该匹马按此规律继续行走7天，则它这14天内所走的总路程为( )A.17532里 B ．1 050里 C.22 57532里D ．2 100里6．已知a >0且a ≠1，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ，x ≥1ax ＋a －2，x <1在R 上单调递增，那么实数a 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(0，1)C ．(1，2)D ．(1，2]7．大学生小明与另外3名大学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙3个村小学进行支教，若每个村小学至少分配1名大学生，则小明恰好分配到甲村小学的概率为( )A.112 B ．12C.13D ．168．为了了解现在互联网行业的就业情况，某高校教授组织学生对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图(如图1)和90后从事互联网行业者岗位分布图(如图2)，则下列结论中不一定正确的是(注：80后是指在1980～1989年(包含1980年与1989年)之间出生，90后是指在1990～1999年(包含1990年与1999年)之间出生，80前是指1979年及以前出生( )A ．互联网行业从业人员中80后的人数不超过一半B ．互联网行业中90后从事技术岗位的人数超过所有年龄从业者总人数的20%C ．互联网行业中90后从事市场岗位的人数不足所有年龄从业者总人数的10%D ．互联网行业中从事职能岗位的人数90后比80后多9．过点P (4，2)作一直线AB 与双曲线C ：x 22－y 2＝1相交于A ，B 两点，若P 为AB 的中点，则|AB |＝( )A ．2 2B ．2 3C ．3 3D ．4310．已知向量a ，b 满足|a |＝4，b 在a 方向上的投影为－2，则|a －3b |的最小值为( ) A ．12 B ．10 C.10D ．211．设曲线C ：y ＝3x 4－2x 3－9x 2＋4，在曲线C 上一点M (1，－4)处的切线记为l ，则切线l 与曲线C 的公共点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．412．设函数f (x )的定义域为R ，满足f (x ＋1)＝2f (x )，且当x ∈(0，1]时，f (x )＝x (x －1)．若对任意x ∈(－∞，m ]，都有f (x )≥－89，则m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤－∞，94 B ．⎝⎛⎦⎤－∞，73 C.⎝⎛⎦⎤－∞，52 D ．⎝⎛⎦⎤－∞，83 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝3S n －1＋2n －3(n ≥2)，a 1＝－1，则a 4＝________． 14．将一个表面积为100π的木质球削成一个体积最大的圆柱，则该圆柱的高为________． 15．已知点M (0，2)，过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线AB 交抛物线于A ，B 两点，若∠AMF ＝π2，则点B 的坐标为________．16．李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.(1)当x ＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付________元；(2)在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为________．2020届高三数学（理）“小题速练”11（答案解析）1．解析：选C.解法一：因为1＋2z 1－z ＝i ，所以1＋2z ＝i －i z ，所以z ＝i －12＋i ＝（i －1）（2－i ）5＝－15＋35i ，故选C.解法二：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，因为1＋2z1－z ＝i ，所以1＋2(a ＋b i)＝i －i(a ＋b i)，所以2a＋1＋2b i ＝b ＋(1－a )i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1＝b 2b ＝1－a，解得⎩⎨⎧a ＝－15b ＝35，所以z ＝－15＋35i ，故选C.2．解析：选B.由x 2－x －2<0得－1<x <2，即A ＝(－1，2)，由x 2＋3x <0得－3<x <0，即B ＝(－3，0)，所以A ∩B ＝(－1，0)，故选B.3．解析：选A.y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移π6个单位长度后得函数y ＝sin 2x 的图象，故选A.4.解析：选C.构造正方体ABCD A 1B 1C 1D 1，如图，(1)在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，平面ADD 1A 1⊥平面ABCD ，A 1D ⊂平面ADD 1A 1，BD ⊂平面ABCD ，但A 1D 与BD 不垂直，故①错；(2)在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，平面ADD 1A 1⊥平面ABCD ，l 是平面ADD 1A 1内的任意一条直线，l 与平面ABCD 内同AB 平行的所有直线垂直，故②正确；(3)在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，平面ADD 1A 1⊥平面ABCD ，A 1D ⊂平面ADD 1A 1，但A 1D 与平面ABCD 不垂直，故③错；(4)当过交线上一点时，④不一定正确．故正确命题个数是1个．5．解析：选C.由题意可知，马每天行走的路程组成一个等比数列，设该数列为{a n }，则该匹马首日行走的路程为a 1，公比为12，则有a 1⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫1271－12＝700，则a 1＝350×128127，则马14天走的总路程为a 1⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12141－12＝22 57532(里)．故选C.6．解析：选D.依题意，⎩⎪⎨⎪⎧a >1a ＋a －2≤a ，解得1<a ≤2，故实数a 的取值范围为(1，2]，故选D.7．解析：选C.依题意，小明与另外3名大学生分配到某乡镇甲、乙、丙3个村小学的分配方法是1个学校2人，另外2个学校各1人，共有C 24A 33＝36(种)分配方法，若小明必分配到甲村小学，有C 23A 22＋C 13A 22＝12(种)分配方法，根据古典概型的概率计算公式得所求的概率为1236＝13，故选C.8．解析：选D.对于A 选项，由饼状图可知80后人数占了41%，故A 正确；对于B 选项，90后从事技术岗位的人数所占比例为39.6%，由饼状图知90后人数占了56%，56%×39.6%＝22.176%>20%，故B 正确；对于C 选项，由饼状图知90后人数占了56%，56%×13.2%＝7.392%<10%，故C 正确；对于D 选项，因为80后从事职能岗位的人数所占比例不清楚，所以无法判断，故D 错误．故选D.9．解析：选D.由已知可得点P 的位置如图所示，且直线AB 的斜率存在，设AB 的斜率为k ，则AB 的方程为y －2＝k (x －4)，即y ＝k (x －4)＋2， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －4）＋2x 22－y 2＝1，消去y 得(1－2k 2)x 2＋(16k 2－8k )x －32k 2＋32k －10＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－16k 2＋8k 1－2k 2，x 1x 2＝－32k 2＋32k －101－2k 2，因为P (4，2)为AB 的中点，所以－16k 2＋8k1－2k 2＝8，解得k ＝1，满足Δ>0，所以x 1＋x 2＝8，x 1x 2＝10，所以|AB |＝1＋k 2×（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝1＋12×82－4×10＝43，故选D. 10．解析：选B.由题意得：a ·b ＝－2×4＝－8， ∴|a －3b |＝|a |2－6a ·b ＋9|b |2＝9|b |2＋64. ∵b 在a 上投影为－2， ∴|b |min ＝2，∴|a －3b |2＝9|b |2＋64≥9×22＋64＝100， ∴|a －3b |＝|a －3b |2≥100＝10(－10舍去)， 即|a －3b |min ＝10.11．解析：选C.y ′＝12x 3－6x 2－18x ，所以切线l 的斜率k ＝y ′|x ＝1＝－12，所以切线l 的方程为12x ＋y －8＝0.联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋y －8＝0y ＝3x 4－2x 3－9x 2＋4，消去y ，得3x 4－2x 3－9x 2＋12x －4＝0，所以(x ＋2)(3x －2)(x －1)2＝0，所以x 1＝－2，x 2＝23，x 3＝1，所以切线l 与曲线C 有3个公共点．故选C.12．解析：选B.当－1<x ≤0时，0<x ＋1≤1，则f (x )＝12f (x ＋1)＝12(x ＋1)x ；当1<x ≤2时，0<x －1≤1，则f (x )＝2f (x －1)＝2(x －1)(x －2)；当2<x ≤3时，0<x －2≤1，则f (x )＝2f (x －1)＝22f (x －2)＝22(x －2)(x －3)，……由此可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧…12（x ＋1）x ，－1<x ≤0，x （x －1），0<x ≤1，2（x －1）（x －2），1<x ≤2，22（x －2）（x －3），2<x ≤3，…由此作出函数f (x )的图象，如图所示．由图可知当2<x ≤3时，令22(x －2)(x －3)＝－89，整理，得(3x －7)(3x －8)＝0，解得x ＝73或x ＝83，将这两个值标注在图中．要使对任意x ∈(－∞，m ]都有f (x )≥－89，必有m ≤73，即实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，73，故选B.13．解析：解法一：由S n ＝3S n －1＋2n －3(n ≥2)可得S 2＝3S 1＋1＝3a 1＋1，即a 2＝2a 1＋1＝－1.根据S n ＝3S n －1＋2n －3(n ≥2) ①，知S n ＋1＝3S n ＋2n ＋1－3 ②，②－①可得，a n ＋1＝3a n ＋2n (n ≥2)．两边同时除以2n＋1可得a n ＋12n ＋1＝32·a n 2n ＋12(n ≥2)，令b n ＝a n 2n ，可得b n ＋1＝32·b n ＋12(n ≥2)．∴b n＋1＋1＝32(b n ＋1)(n ≥2)，数列{b n ＋1}是以b 2＋1＝34为首项，32为公比的等比数列．∴b n ＋1＝⎝⎛⎭⎫32n －2·34(n ≥2)，∴b n ＝12·⎝⎛⎭⎫32n －1－1(n ≥2)． 又b 1＝－12也满足上式，∴b n ＝⎝⎛⎭⎫32n －1·12－1(n ∈N *)，又b n ＝a n 2n ，∴a n ＝2n b n ，即a n ＝3n －1－2n . ∴a 4＝33－24＝11.解法二：由S n ＝3S n －1＋2n －3(n ≥2)，a 1＝－1，知S 2＝3S 1＋4－3，∴a 2＝－1.S 3＝3S 2＋8－3，∴a 3＝1.S 4＝3S 3＋16－3，∴a 4＝11.答案：1114．解析：解法一：如图，设球的球心为O ，半径为R ，则4πR 2＝100π，解得R ＝5.由题意知圆柱为球O 的内接圆柱，设圆柱底面圆的圆心为O 1，半径为r ，高为h ，A 是圆柱底面圆周上一点，连接OO 1，OA ，O 1A ，则OO 1＝OA 2－O 1A 2＝R 2－r 2＝25－r 2(0<r <5)，则圆柱的高h ＝225－r 2，所以圆柱的体积V ＝πr 2h ＝2πr 225－r 2＝2π25r 4－r 6.令y ＝f (r )＝25r 4－r 6(0<r <5)，再令t ＝r 2，则y ＝g (t )＝25t 2－t 3(0<t <25)，则g ′(t )＝50t －3t 2＝t (50－3t )，易知g (t )在⎝⎛⎭⎫0，503上单调递增，在⎝⎛⎭⎫503，25上单调递减，所以当t ＝503时，函数g (t )取得最大值，即f (r )取得最大值，也即是圆柱的体积取得最大值，此时r 2＝503，h ＝225－503＝1033.解法二：如图，设球的球心为O ，半径为R ，则4πR 2＝100π，解得R ＝5.设圆柱的高为x (0<x <10)，圆柱底面圆的圆心为O 1，A 是圆柱底面圆周上一点，连接OO 1，OA ，O 1A ，则OO 1＝x2，圆柱底面圆的半径O 1A ＝R 2－OO 21＝ 25－x 24，所以圆柱的体积V ＝π⎝⎛⎭⎫25－x 24·x＝π⎝⎛⎭⎫25x －x 34(0<x <10)，则V ′＝π⎝⎛⎭⎫25－3x 24，易知函数V ＝π⎝⎛⎭⎫25x －x 34(0<x <10)在⎝⎛⎭⎫0，1033上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1033，10上单调递减，所以当x ＝1033时，圆柱的体积V 取得最大值．答案：103315．解析：解法一：由抛物线方程y 2＝4x 知焦点F (1，0)．如图易知点A 是第一象限的点，点B 是第四象限的点，因此设A ⎝⎛⎭⎫y 24，y 0(y 0>0)，所以MA →＝⎝⎛⎭⎫y 204，y 0－2，MF →＝(1，－2)．因为∠AMF ＝π2，所以MA →⊥MF →，则MA →·MF →＝0，所以y 204×1＋(y 0－2)×(－2)＝0，整理，得y 20－8y 0＋16＝0，解得y 0＝4，所以A (4，4)，所以直线AB 的方程为y＝4－04－1(x －1)，即x ＝34y ＋1，代入抛物线方程，得y 2＝4⎝⎛⎭⎫34y ＋1，解得y ＝4(舍去)或y ＝－1，所以x ＝14，故点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫14，－1. 解法二：由抛物线方程y 2＝4x 知焦点F (1，0)，所以k MF ＝2－00－1＝－2.因为∠AMF ＝π2，所以MA ⊥MF ，所以直线MA 的斜率为12，所以直线MA 的方程为y ＝12x ＋2，与抛物线方程y 2＝4x联立，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝4，所以直线AB 的方程为y ＝4－04－1(x －1)，即x ＝34y ＋1，代入抛物线方程，得y 2＝4⎝⎛⎭⎫34y ＋1，解得y ＝4(舍去)或y ＝－1，所以x ＝14，故点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫14，－1. 答案：⎝⎛⎭⎫14，－116．解析：(1)顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，总价为60＋80＝140(元)，又140>120，所以优惠10元，顾客实际需要付款130元．(2)设顾客一次购买的水果总价为m 元．由题意易知，当0<m <120时，x ＝0，当m ≥120时，(m －x )×80%≥m ×70%，得x ≤m 8对任意m ≥120恒成立，又m8≥15，所以x 的最大值为15.答案：(1)130 (2)15。
2020届高三数学(理)“小题精练”13
2020 届高三数学（理）“小题速练” 13题号123456789101112答案一、选择题：本题共 12小题，每小题 5分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的．4．随着我国经济实力的不断提升， 居民收入也在不断增加． 某家庭 2019 年全年的收入与 2015 年全年的收入相比增加了一倍，实现翻番．同时该家庭的消费结构随之也发生了变 化，现统计了该家庭这两年不同品类的消费额占全年总收入的比例，得到了如下折线图：则下列结论中正确的是 （ ）A ．该家庭 2019年食品的消费额是 2015 年食品的消费额的一半B ．该家庭 2019 年教育医疗的消费额与 2015 年教育医疗的消费额相当C ．该家庭 2019 年休闲旅游的消费额是 2015 年休闲旅游的消费额的五倍D ．该家庭 2019 年生活用品的消费额是 2015 年生活用品的消费额的两倍5．某学校制订奖励条例，对在教育教学中取得优异成绩的教职工实行奖励，其中有一个奖励项目是针对学生高考成绩的高低对任课教师进行奖励的，奖励 （单位：元 ）的计算公式1．已知复数 z ＝ 1＋2i2＋i （其中 i 为虚数单位 ），则 z 在复平面内对应的点位于A ．第一象限 C ．第三象限B ．第二象限D ．第四象限2．已知全集 U ＝ { x||x|<2} ，集合 P ＝{x|log 2x<1} ，则 ?U P ＝( )A ． （－2，0]B ．（－2，1]C ．(0，1] D ．[1，2)3． 已知 {a n } 为等比数列，若 a 3＝2， a 5＝8，则 a 7＝（ ） A ． 64 B ．32 C ． ± 64D ．± 32为f(n)＝k(n)(n－10)(其中n 是指任课教师所任学科成绩的平均分与本省该科成绩平均分之0(n≤1)0 ，100( 10<n≤1)5 ，差)，而k(n)＝200( 15< n≤2)0 ，现有甲、乙两位数学任课教师，300( 20<n≤2)5 ，400( n>25)，甲所教的学生高考数学成绩的平均分超出本省高考数学成绩平均分18 分，乙所教的学生高考数学成绩平均分超出本省高考数学成绩平均分21 分，则乙所得奖励比甲所得奖励多()A ．600 元B ．900 元C．1 600元D．1 700 元6．2019年 1 月1日，向阳轨道交通 1 号线试运行，向阳轨道交通集团面向广大市民开展“参观体验，征求意见”活动．市民可以通过向阳地铁APP 抢票，小陈抢到了三张体验票，王和小李至多一人被选中的概率为( )B．D．准备从四位朋友小王、小张、小刘、小李中随机选择两位与自己一起去参加体验活动，则小7.一个正方体的展开图如图所示，则在原来的正方体中( )A．AB∥CDC．AB⊥CD A，B，C，D 为原正方体的顶点，B ．AB 与CD 相交D ．AB 与CD 所成的角为608.函数f(x)的部分图象如图所示，则A ．f(x)＝x2(x2－π2)C．f(x)＝xsin x f(x)的解析式可以是( ) B ．f(x)＝xcos x＋πD ．f(x)＝x2＋cos x－19．若log2x＝log3y＝log5z<－1，则( )A．2x<3y<5z C．3y<2x<5zB．5z<3y<2xD ．5z<2x<3yπ10．若函数f(x)＝sin ωx－6 (ω>0)在［0，π上］的值1－12， 1 ，则ω的最小值为(2A.3 B．D．11．设F1，F2分别是椭圆E：a2＋b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，过F2的直线交椭圆于A，A.6B 两点，且 A →F 1·A →F 2＝0，A →F 2＝2F →2B ，则椭圆 E 的离心率为 （ ）2 A.3 D ．12.我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算体积的祖暅原理： “幂势既同， 则积不容异． ”意思是： 两个等高的几何体若在所有等高处的水 平截面的面积相等， 则这两个几何体的体积相等． 已知曲线 C ：y ＝x 2，直线 l 为曲线 C 在点 （1， 1）处的切线，如图所示，阴影部分为曲线 C 、直线 l 以及 x 轴所围成的平面图形，记该平面图形绕 y 轴旋转一周所得到的几何体为 T.给出以下四个几何体：图①是底面直径和高均为图②是将底面直径和高均为 1 的圆柱挖掉一个与圆柱同底等高的倒置圆锥得到的几何 体； 图③是底面边长和高均为 1 的正四棱锥；图④是将上底面直径为 2，下底面直径为 1，高为 1 的圆台挖掉一个底面直径为 2，高 为1 的倒置圆锥得到的几何体．根据祖暅原理，以上四个几何体中与 T 的体积相等的是 （ ）A ．①B ．②C ．③D ．④二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．13．已知平面向量 a ，b 满足 a ＝（1， 3），|b|＝3，a ⊥（a －b ），则 a 与 b 夹角的余弦值 为 ____ ．1 14. x 1－1 （ x ＋ 1）5的展开式中， x 的系数为 _____ （用数字作答 ）．xx 2－2ax ＋9， x ≤115．已知函数 f （x ）＝ 4，若 f （x ）的最小值为 f （1） ，则实数 a 的取值范围是x ＋x ＋a ，x >116．已知一族双曲线 E n ：x 2－y 2＝2 0n 19（n ∈N *，且 n ≤2 019，） 设直线 x ＝2与 E n 在第B ．C.的圆锥：1一象限内的交点为A n，点A n在E n的两条渐近线上的射影分别为B n，C n.记△ A n B n C n的面积为a n，则a1＋a2＋a3＋⋯＋a2 019 ＝________ ．＝602020 届高三数学（理）“小题速练” 13 （答案解析）1．解析： 选 D.z ＝12＋＋2i i ＝（（12＋＋2i i ））（（22－－i i ））＝54＋53i ，故 z ＝45－53i ，z 在复平面内对应的点为 54，－ 53 ，故在第四象限，故选 D.2．解析：选 A.U ＝｛x||x|<2｝＝｛x|－2<x<2｝ ，P ＝｛x||log 2x<1｝＝｛x|0<x<2｝，故?U P＝（－2， 0] ．故选 A.3．解析： 选 B.解法一：设 ｛a n ｝ 的公比为 q ，则4 ，a 1q 4＝81 a1＝ ，6 1 3 ∴ 2 ，故 a 7＝ a 1q 6＝2×43＝32.q 2＝ 42 解法二： ∵｛a n ｝为等比数列，∴ a 3，a 5，a 7 成等比数列，即 a 52＝a 3a 7，解得 a 7＝32.故选B.4．解析： 选 C.设该家庭 2015 年全年收入为 a ，则 2019 年全年收入为 2a.对于 A ，2019年食品消费额为 0.2 ×a 2＝ 0.4a ，2015年食品消费额为 0.4a ，故两者相等， A 不正确．对于 B ，2019年教育医疗消费额为 0.2 ×a 2＝0.4a ，2015年教育医疗消费额为 0.2a ，故 B 不正确．对 于C ，2019年休闲旅游消费额为 0.25×2a ＝0.5a ，2015年休闲旅游消费额为 0.1a ，故 C 正确．对于D ，2019年生活用品的消费额为 0.3×2a ＝0.6a ，2015年生活用品的消费额为 0.15a ，故 D 不正确．故选 C.5．解析：选 D.因为 k （18）＝200，所以 f （18）＝ 200 × （1－8 10）＝1 600.又 k （21）＝ 300，所以 f （21）＝300×（2－1 10）＝3 300，所以 f （21）－f （18）＝3 300－1 600＝1 700.故选 D.6．解析： 解法一：选 D.若小王和小李都没被选中，则有 C 22种方法，若小王和小李有一C 22＋ C 12C 21 5人被选中，则有 C 12C 12种方法，故所求概率 P ＝ 2＋C 242 2＝56.15解法二：若小王和小李都被选中，则有 1 种方法，故所求概率 P ＝ 1－ C 12＝ 56.故选 D.7． 解析： 选 D. 如图，把展开图中的各正方形按图 1 所示的方式分别作为正方体的前、后、左、右、上、下面还原，得到图 2所示的直观图，可见选项 A ，B ，C 不正确． ∴正确 选项为 D.图2中，BE ∥CD ，∠ABE 为AB 与CD 所成的角， △ABE 为等边三角形， ∴∠ABE8．解析： 选 C.对于选项 A.当 x ＝1 时， f （1） ＝ 1－π2<0 ，与函数图象不符，故排除a 1q 2＝2A；＝60对于选项B，由函数f（x）的部分图象关于y 轴对称可知，该函数是偶函数，故排除B（也可通过f（0）＝π≠0排除B）；对于选项D，当x＝π时，f（π＝）π2－2≠0，与函数图象不符，故排除 D.故选 C.9．解析：选 B.设log 2x＝log 3y＝log5z＝t，则t<－1，x＝2t，y＝3t，z＝5t，因此2x ＝2t 1，3y＝3t＋1，5z＝5t＋1，又t< －1，∴ t＋1<0 ，由幂函数y＝x t＋1的单调性可知5z<3y<2 x.故选 B.πππ1 10．解析：选 A.∵0≤x≤π，ω>0，∴－6≤ωx－6≤ωπ－6.又f（x）的值域为－2，1 ，∴ωπ－π≥ π，∴ω≥ 2，故选 A.6 2 311．解析：选 C.设|B→F2|＝m，则|A→F2|＝2m.连接BF1，由椭圆的定义可知|A→F1|＝2a －2m，|B→F1|＝2a－m.由A→F1·A→F2＝0知AF1⊥AF2，故在Rt△ABF1中，（2a－2m）2＋（3m）2＝（2a－m）2，整理可得m＝a3.故在Rt△AF1F2 中，|A→F 1|＝43a，|A→F 2|＝23a，故23a＋43a＝4c2，解得e＝35. 故选 C.12．解析：选 A. 由题意y＝x2，所以y′＝2x，故直线l 的方程为y＝2x－1. 设直线y ＝t（0≤t≤1）与曲线y＝x2、直线y＝2x－1 的交点分别为P，Q，P（x1，y1）（x1≥0），y＝2x－1 t＋ 1由，解得x2＝t＋1，所以高度为t 处的旋转体y＝t 2设高度为t 处的水平截面的半径为r，即HD＝t，HG＝r，2 r 1－t 1－t 1－t 2则1r＝1－1t，所以r＝1－2t，所以高度为t处的水平截面的面积为S′＝π1－2t，所以S＝2S′，所以旋转体T 的体积与上述圆锥的体积相同，故选 A.13．解析：由a⊥（ a－b）可知a·a（－b）＝a2－a·b＝4－2×3co〈s a，b〉＝0，故cos〈a，b〉2.3.2答案：232y＝xQ（x2，y2），由，解得x1＝t，y＝t21114．解析： x －1 （ x ＋ 1）5的展开式中，含 x 的项为 x 1C 15（ x ）4和－ 1×C 53（ x ）2，故x 的系 xx数为 C 15－C 53＝－ 5.答案： － 5a ≥115．解析： 由题意可知要保证 f （x ）的最小值为 f （1），需满足 f （2）≥f （1），解得 a ≥2.答案：[2，＋ ∞）16．解析： 因为双曲线的方程为 x 2－y 2＝2 0n 19（n ∈N *，且 n ≤2 019），所以其渐近线方程为 y ＝ ±x ，设点 A n （2，y n ），则 4－y n 2＝2 0n 19（n ∈N *，且 n ≤2 019）．1 12 019 × 2 018505 4×2 01×9 2 01＋9 4×2 01×92答案： 5025记 A n （2，y n ） 到两条渐近线的距离分别为d 1，d 2，则 S △ A n B n C n ＝21d 1d 2＝12 |4－ yn2|＝2 019＝ n ，故 an ＝ n ，4 ＝ 4 ＝4×2 019，故 n ＝4×2 01，9因此 {a n } 为等差数列， 故 a 1＋a 2＋a 3＋⋯＋a 2 019。
2020届高三数学(理)“小题精练”25
2020届高三数学（理）“小题速练”2513. 14. 15. 16.一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知集合A ＝{y |y ＝2x ，x >0}，B ＝{x |y ＝log 2(x －2)}，则A ∩(∁R B )＝( ) A ．[0，1) B.(1，2) C ．(1，2] D.[2，＋∞)2．已知复数z 满足(1＋3i)z ＝1＋i ，则复平面内与复数z 对应的点在( ) A ．第一象限 B.第二象限 C ．第三象限 D.第四象限3．已知函数f (x )＝sin 4x －cos 4x ，则下列说法正确的是( ) A ．f (x )的最小正周期为2π B ．f (x )的最大值为2 C ．f (x )的图象关于y 轴对称 D ．f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π4，π2上单调递减4．已知等比数列{a n }中，有a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，其前n 项和为S n ，且b 7＝a 7，则S 13＝( )A ．26 B.52 C ．78 D.1045．已知直线m ，n 和平面α，n ⊂α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的( ) A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C ．充要条件 D.既不充分也不必要条件6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x <2，log 3（x 2－1），x ≥2，若f (a )≥1，则a 的取值范围是( )A ．[1，2) B.[1，＋∞)C ．[2，＋∞) D.(－∞，－2]∪[1，＋∞)7．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥2，y －x ≤2，x －2≤0，则yx ＋2的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤－12，1 B.⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪[1，＋∞) C ．[0，1] D.⎣⎡⎦⎤12，18．已知数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n，利用下面程序框图计算该数列的项时，若输出的是2，则判断框内的条件不可能是( )A ．n ≤2 015 B.n ≤2 018 C ．n ≤2 020 D.n ≤2 0219.古希腊雅典学派算学家欧多克索斯提出了“黄金分割”的理论．利用尺规作图可画出已知线段的黄金分割点．具体方法如下：(1)取线段AB ＝2，过点B 作AB 的垂线，并用圆规在垂线上截取BC ＝12AB ，连接AC ；(2)以C 为圆心，BC 为半径画弧，交AC 于点D ；(3)以A 为圆心，以AD 为半径画弧，交AB 于点E .点E 即为线段AB 的黄金分割点．若在线段AB 上随机取一点F ，则使得BE ≤AF ≤AE 的概率约为(参考数据：5≈2.236)( )A ．0.236B.0.382C ．0.472 D.0.61810．已知△ABC 的内角A ＝π3，AB ＝6，AC ＝4，O 为△ABC 所在平面上一点，且满足OA ＝OB ＝OC .设AO ―→＝m AB ―→＋n AC ―→，则m ＋n 的值为( )A.1118B.1C.718D.211．已知P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上一点，且在x 轴上方，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，|F 1F 2|＝12，直线PF 2的斜率为－43，△PF 1F 2的面积为243，则双曲线的离心率为( )A ．3 B.2 C.3 D.212．已知A ，B ，C 为球O 的球面上的三个定点，∠ABC ＝60°，AC ＝2，P 为球O 的球面上的动点，记三棱锥P ABC 的体积为V 1，三棱锥O ABC 的体积为V 2.若V 1V 2的最大值为3，则球O 的表面积为( )A.16π9B.64π9C.3π2D.6π二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种．现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢．如果让三位同学选取的礼物都满意，则选法有________种．14．已知正数x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则当x ＝________时，1x ＋1y 取得最小值，最小值为________．15．已知函数f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的偶函数，且f (x －1)为奇函数，当x ∈[0，1]时，f (x )＝1－x 3，则f ⎝⎛⎭⎫292＝________．16．已知点E 在y 轴上，点F 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，直线EF 与抛物线交于M ，N 两点．若点M 为线段EF 的中点，且|NF |＝12，则p ＝________．2020届高三数学（理）“小题速练”25（答案解析）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知集合A ＝{y |y ＝2x ，x >0}，B ＝{x |y ＝log 2(x －2)}，则A ∩(∁R B )＝( ) A ．[0，1) B.(1，2) C ．(1，2]D.[2，＋∞)解析：选C 集合A ＝(1，＋∞)，B ＝(2，＋∞)，∴∁R B ＝(－∞，2]，则A ∩(∁R B )＝(1，2]．故选C.2．已知复数z 满足(1＋3i)z ＝1＋i ，则复平面内与复数z 对应的点在( ) A ．第一象限 B.第二象限 C ．第三象限D.第四象限解析：选D 复数z ＝1＋i 1＋3i ＝（1＋i ）（1－3i ）4＝1＋34＋1－34i 在复平面内对应的点⎝⎛⎭⎪⎫1＋34，1－34在第四象限．故选D.3．已知函数f (x )＝sin 4x －cos 4x ，则下列说法正确的是( ) A ．f (x )的最小正周期为2π B ．f (x )的最大值为2 C ．f (x )的图象关于y 轴对称 D ．f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π4，π2上单调递减解析：选C f (x )＝(sin 2x ＋cos 2x )(sin 2x －cos 2x )＝sin 2x －cos 2x ＝－cos 2x ，则f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π，A 错误；f (x )的最大值为1，B 错误；f (x )是偶函数，图象关于y 轴对称，C 正确；f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π4，π2上单调递增，D 错误．故选C.4．已知等比数列{a n }中，有a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，其前n 项和为S n ，且b 7＝a 7，则S 13＝( )A ．26 B.52 C ．78D.104解析：选B 因为{a n }是等比数列，所以a 3a 11＝a 27＝4a 7，所以a 7＝4，则b 7＝4.又{b n }是等差数列，则S 13＝13（b 1＋b 13）2＝13b 7＝52.故选B.5．已知直线m ，n 和平面α，n ⊂α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的( ) A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C ．充要条件D.既不充分也不必要条件解析：选D 若n ⊂α，m ∥n ，则m ∥α或m ⊂α；若n ⊂α，m ∥α，则m ∥n 或m ，n 是异面直线，所以“m ∥n ”是“m ∥α”的既不充分也不必要条件．故选D.6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x <2，log 3（x 2－1），x ≥2，若f (a )≥1，则a 的取值范围是( )A ．[1，2) B.[1，＋∞)C ．[2，＋∞)D.(－∞，－2]∪[1，＋∞)解析：选B f (a )≥1⇔⎩⎪⎨⎪⎧a <2，e a －1≥1或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2，log 3（a 2－1）≥1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a <2，a ≥1或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2，a 2≥4，则1≤a <2或a ≥2，即a 的取值范围是[1，＋∞)．故选B.7．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥2，y －x ≤2，x －2≤0，则yx ＋2的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤－12，1 B.⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪[1，＋∞) C ．[0，1]D.⎣⎡⎦⎤12，1解析：选A 约束条件对应的可行域如图中阴影部分所示，目标函数yx ＋2的几何意义是可行域内的点(x ，y )与点P (－2，0)连线的斜率k ，由图可得k P A ＝－2－02－（－2）＝－12，k PB ＝4－02－（－2）＝1，∴k P A ≤k ≤k PB ，即－12≤yx ＋2≤1.故选A.8．已知数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n，利用下面程序框图计算该数列的项时，若输出的是2，则判断框内的条件不可能是( )A ．n ≤2 015 B.n ≤2 018 C ．n ≤2 020D.n ≤2 021解析：选C 数列{a n }：12，－1，2，12，－1，2，…，以3为周期．当输出的是2时，n 为3的整数倍，当判断框内的条件是n ≤2 015时，输出时n ＝2 016，A 有可能；当判断框内的条件是n ≤2 018时，输出时n ＝2 019，B 有可能；当判断框内的条件是n ≤2 020时，输出时n ＝2 021，C 不可能；当判断框内的条件是n ≤2 021时，输出时n ＝2 022，D 有可能．故选C.9.古希腊雅典学派算学家欧多克索斯提出了“黄金分割”的理论．利用尺规作图可画出已知线段的黄金分割点．具体方法如下：(1)取线段AB ＝2，过点B 作AB 的垂线，并用圆规在垂线上截取BC ＝12AB ，连接AC ；(2)以C 为圆心，BC 为半径画弧，交AC 于点D ；(3)以A 为圆心，以AD 为半径画弧，交AB 于点E .点E 即为线段AB 的黄金分割点．若在线段AB 上随机取一点F ，则使得BE ≤AF ≤AE 的概率约为(参考数据：5≈2.236)( )A ．0.236 B.0.382 C ．0.472D.0.618解析：选A 由题意得，AB ＝2，BC ＝1，AC ＝5，AD ＝AE ＝5－1，BE ＝AB －AE ＝3－5，则BE ≤AF ≤AE 的概率P ＝AE －BE AB ＝（5－1）－（3－5）2＝5－2≈0.236.故选A.10．已知△ABC 的内角A ＝π3，AB ＝6，AC ＝4，O 为△ABC 所在平面上一点，且满足OA ＝OB ＝OC .设AO ―→＝m AB ―→＋n AC ―→，则m ＋n 的值为( )A.1118B.1C.718D.2解析：选A 以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立如图所示平面直角坐标系，则A (0，0)，B (6，0)，C (2，23)．因为OA ＝OB ＝OC ，所以点O 为△ABC 的外接圆的圆心，即各边垂直平分线的交点．AB 的垂直平分线为x ＝3，AC 的垂直平分线为y ＝－33x ＋433，解得O ⎝⎛⎭⎫3，33，则⎝⎛⎭⎫3，33＝m (6，0)＋n (2，2 3)，即⎩⎪⎨⎪⎧3＝6m ＋2n ，33＝23n ，解得⎩⎨⎧m ＝49，n ＝16，则m ＋n ＝1118.故选A. 11．已知P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上一点，且在x 轴上方，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，|F 1F 2|＝12，直线PF 2的斜率为－43，△PF 1F 2的面积为243，则双曲线的离心率为( )A ．3 B.2 C.3D.2解析：选B 设P (x ，y )，y >0，△PF 1F 2的面积S ＝12y |F 1F 2|＝6y ＝243，则y ＝4 3.又F 2(6，0)，直线PF 2的斜率43x －6＝－43，则x ＝5，所以P (5，43)．又F 1(－6，0)，由双曲线定义可得2a ＝|PF 1|－|PF 2|＝112＋（43）2－ （－1）2＋（43）2＝13－7＝6，则a＝3，所以双曲线的离心率e ＝ca＝2.故选B.12．已知A ，B ，C 为球O 的球面上的三个定点，∠ABC ＝60°，AC ＝2，P 为球O 的球面上的动点，记三棱锥P ABC 的体积为V 1，三棱锥O ABC 的体积为V 2.若V 1V 2的最大值为3，则球O 的表面积为( )A.16π9B.64π9C.3π2D.6π解析：选B 如图所示，设△ABC 的外接圆圆心为O 1，半径为r ，则OO 1⊥平面ABC .设球O 的半径为R ，OO 1＝d ，则2r ＝AC sin ∠ABC ＝2sin 60°＝433，即r ＝233.当P ，O ，O 1三点共线时，⎝⎛⎭⎫V 1V 2max＝R ＋d d ＝3，即R ＝2d .由R 2＝d 2＋r 2，得R 2＝169.所以球O 的表面积S ＝4πR 2＝64π9.故选B.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种．现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢．如果让三位同学选取的礼物都满意，则选法有________种．解析：先分类，若甲同学选了牛，则乙同学有2种选法，丙同学有10种选法，共有1×2×10＝20种选法；若甲同学选了马，则乙同学有3种选法，丙同学有10种选法，共有1×3×10＝30种选法．故三位同学的选法共有20＋30＝50(种)．答案：5014．(2019·陕西榆林一模改编)已知正数x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则当x ＝________时，1x ＋1y取得最小值，最小值为________． 解析：由基本不等式可得x 2＋y 2≥2xy ，当且仅当x ＝y 时等号成立．∵正数x ，y 满足x 2＋y 2＝1，∴xy ≤12，当且仅当x ＝y ＝22时等号成立．∴1x ＋1y≥21xy≥ 22，当且仅当x ＝y ＝22时等号成立，∴1x ＋1y的最小值为2 2. 答案：2222 15．已知函数f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的偶函数，且f (x －1)为奇函数，当x ∈[0，1]时，f (x )＝1－x 3，则f ⎝⎛⎭⎫292＝________．解析：由函数f (x －1)为奇函数，则函数f (x )关于点(1，0)对称，则有f (－x )＝－f (2＋x )，又由函数f (x )为偶函数，则f (x )＝f (－x )，所以f (x )＝－f (x ＋2)，变形可得f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以函数f (x )是以4为周期的周期函数，则f ⎝⎛⎭⎫292＝f ⎝⎛⎭⎫292－16＝f ⎝⎛⎭⎫－32.令x ＝12，得f ⎝⎛⎭⎫12－1＝－f ⎝⎛⎭⎫－12－1＝－f ⎝⎛⎭⎫32，则f ⎝⎛⎭⎫32＝－f ⎝⎛⎭⎫－12＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝－1＋⎝⎛⎭⎫123＝－78. 答案：－7816．已知点E 在y 轴上，点F 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，直线EF 与抛物线交于M ，N 两点．若点M 为线段EF 的中点，且|NF |＝12，则p ＝________．解析：由题意知，直线EF 的斜率存在且不为0，故设直线EF 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p2，与抛物线方程y 2＝2px 联立，得k 2x 2－p (k 2＋2)x ＋p 2k 24＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 24.又F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，点M 为线段EF 的中点，得x 1＝p 22＝p 4.由|NF |＝x 2＋p 2＝12，得x 2＝12－p2.由x 1x 2＝p 4⎝⎛⎭⎫12－p 2＝p 24，得p ＝8或p ＝0(舍去)．答案：8。
2020年高考数学(理)必刷试卷8(解析版)
2020年高考必刷卷08数学（理）（本试卷满分150分，考试用时120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡的相应位置上。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题)一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{|22}A x x =∈-<<N ，{1,1,2,3}B =-，则A B =I （ ） A ．{}1 B ．{}0,1C ．{}0,1,2D ．{}0,1,2,3【答案】A 【解析】 【分析】求出集合A ，然后利用交集的定义可求出集合A B I . 【详解】{}{|22}0,1A x x =∈-<<=Q N ，因此，{}1A B ⋂=.故选：A. 【点睛】本题考查交集的计算，考查计算能力，属于基础题. 2．若61014log 3,log 5,log 7a b c ===,则( )A ．a b c >>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．c b a >>【答案】D 【解析】分析：三个对数的底数和真数的比值都是2，因此三者可化为()1f x xx=+的形式，该函数为()0,∞+上的单调增函数，从而得到三个对数的大小关系.详解：22log 31log 3a =+，22log 51log 5b =+，22log 71log 7c =+，令()11,011x f x x x x ==->++，则()f x 在()0,∞+上是单调增函数. 又2220log 3log 5log 7<<<，所以()()()222log 3log 5log 7f f f <<即a b c <<.故选D.点睛：对数的大小比较，要观察不同对数的底数和真数的关系，还要关注对数本身的底数与真数的关系，从而找到合适的函数并利用函数的单调性比较对数值的大小. 3．设有下面四个命题1p ：若复数z 满足1R z∈，则z R ∈； 2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z R ∈； 3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4p ：若复数z R ∈，则z ∈R .其中的真命题为 A ．13,p p B ．14,p p C ．23,p p D ．24,p p【答案】B 【解析】令i(,)z a b a b =+∈R ，则由2211i i a b R z a b a b-==∈++得0b =，所以z R ∈，故1p 正确； 当i z =时，因为22i 1z R ==-∈，而i z R =∉知，故2p 不正确；当12i z z ==时，满足121z z R ⋅=-∈，但12z z ≠，故3p 不正确； 对于4p ，因为实数的共轭复数是它本身，也属于实数，故4p 正确，故选B.点睛:分式形式的复数，分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简成i(,)z a b a b =+∈R 的形式进行判断，共轭复数只需实部不变，虚部变为原来的相反数即可.4．如图，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：有一根竹子原高一丈（一丈10=尺），现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高是（ ）A ．2.55尺B ．4.55尺C ．5.55尺D ．6.55尺【答案】B 【解析】 【分析】将问题三角形问题，设出另一直角边，则可求出斜边的长，最后利用勾股定理可求出另一直角边. 【详解】已知一直角边为3尺，另两边和为10尺，设另一直角边为x 尺，则斜边为10x -尺，由勾股定理可得：()222310x x +=-，可得 4.55x =尺. 故选：B【点睛】本题考查了数学阅读能力，考查了勾股定理的应用，考查了数学运算能力.5．函数22()11xf x x=-+在区间[4,4]-附近的图象大致形状是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】通过求特殊点的坐标，结合函数值的正负判断，即可得出结论. 【详解】22()11xf x x=-+过点()10，，可排除选项A ，D .又()20f <，排除C . 故选:B 【点睛】本题考查函数图像的识别，属于基础题.6．在普通高中新课程改革中，某地实施“3+1+2”选课方案．该方案中“2”指的是从政治、地理、化学、生物4门学科中任选2门，假设每门学科被选中的可能性相等，那么政治和地里至少有一门被选中的概率是（ ） A ．16B ．12C ．23D ．56【答案】D 【解析】 【分析】本题可从反面思考，两门至少有一门被选中的反面是两门都没有被选中，两门都没被选中包含1个基本事件，代入概率的公式，即可得到答案. 【详解】设{A =两门至少有一门被选中}，则{A =两门都没有选中}，A 包含1个基本事件，则2411()6P A C ==，所以15()166P A =-=，故选D. 【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，其中解答中合理应用对立事件和古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.7．若向量,a b r r 满足||1,||2a b ==r r ，且||3a b -=r r，则向量,a b r r 的夹角为（ ）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°【答案】B 【解析】 【分析】由||3a b -=r r ,平方求出a b ⋅r r,代入向量夹角公式,求出,a b r r 的夹角余弦值,即可得结果.【详解】设,a b r r的夹角为θ||3,a b -=r r 2222||()2523,a b a b a a b b a b -=-=-⋅+=-⋅=r r r r r r r r r r11,cos ,0,23a b a b ab πθθπθ⋅⋅=∴==≤≤∴=r rr r r r故选:B 【点睛】本题考查向量的模长和向量的夹角计算,着重考查计算能力,属于基础题.8．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十“的推论.主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题其规律是:偶数项是序号平方再除以2，奇数项是序号平方减1再除以2，其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，如图所示的程序框图是为了得到大衍数列的前100项而设计的，那么在两个判断框中，可以先后填入( )A ．n 是偶数?，100n ≥?B ．n 是奇数?，100n ≥?C ．n 是偶数?， 100n >?D ．n 是奇数?，100n >?【答案】D 【解析】根据偶数项是序号平方再除以2，奇数项是序号平方减1再除以2，可知第一个框应该是“奇数”，执行程序框图，1,0;2,2;3,4;n s n s n s ====== 22991100...;99,100,;22n s n s -====101100n =>结束，所以第二个框应该填100n >，故选D.9．以n S ?,?T n 分别表示等差数列{}{}n ,?b n a 的前n 项和，若S 73n n n T n =+，则55a b 的值为 A ．7 B ．214C ．378D ．23【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列前n 项和的性质，当n 为奇数时，12n n s na +=，即可把55a b 转化为99S T 求解.【详解】因为数列是等差数列，所以211(21)n n S n a ++=+，故55955997921==9934a a Sb b T ⨯==+,选B. 【点睛】本题主要考查了等差数列前n 项和的性质，属于中档题.10．已知椭圆C 的焦点为1(1,0)F -，2(1,0)F ，过2F 的直线与C 交于,A B 两点．若223AF BF =，125BF BF =，则C 的方程为（ ）.A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆的定义以及余弦定理列方程可解得2a =，1b =，可得椭圆的方程．【详解】解：22||3||AF BF =Q ，2||4||AB BF ∴=， 又125BF BF =，又12||||2BF BF a +=，23||aBF ∴=， 2||AF a ∴=，1||53BF a =，12||||2AF AF a +=Q ，1||AF a ∴=， 12||||AF AF ∴=，A ∴在y 轴上．在Rt △2AF O 中，21cos AF O a∠=， 在△12BF F 中，由余弦定理可得222154()()33cos 223a a BF F a +-∠=⨯⨯，根据221cos cos 0AF O BF F ∠+∠=，可得21320a a a-+=，解得22a =， 222211b a c =-=-=．所以椭圆C 的方程为：2212x y +=．故选：A ．【点睛】本题考查了椭圆的定义及余弦定理，属中档题．11．设函数431,0()log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩若关于x 的方程()()22()30f x a f x -++=恰好有六个不同的实数解，则实数a 的取值范围为 A ．(23－2，32⎤⎥⎦B ．(－23－2，23－2)C ．(32，＋∞) D ．(23－2，＋∞)【答案】A 【解析】 【分析】画出()f x 的图像，利用()f x 图像，利用换元法，将方程()()22()30fx a f x -++=恰好有六个不同的实数解的问题，转化为一元二次方程在给定区间内有两个不同的实数根，由此列不等式组，解不等式组求得a 的取值范围. 【详解】画出()f x 的图像如下图所示，令()f x t =，则方程()()22()30fx a f x -++=转化为()2230t a t -++=，由图可知，要使关于x 的将方程()()22()30f x a f x -++=恰好有六个不同的实数解，则方程()2230t a t -++=在(]1,2内有两个不同的实数根，所以()()()222212021221213022230a a a a ⎧∆=+->⎪+⎪<<⎪⎨⎪-+⨯+>⎪-+⨯+≥⎪⎩，解得32322a -<≤. 故选：A【点睛】本小题主要考查分段函数的图像与性质，考查二次函数根于判别式，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.12．过球O 表面上一点A 引三条长度相等的弦AB 、AC 、AD ，且AB 、AC 、AD 两两夹角都为60︒，若2BD =，则该球的体积为（ ）A ．32πB ．233π C ．34π D ．22π 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可分析四面体A BCD -是正四面体，各条棱长均为2，依据正四面体外接球半径的求法即可得解. 【详解】由题：在四面体A BCD -中，,60AB AC AD BAC BAD CAD ==∠=∠=∠=o，所以,,BAC BAD CAD ∆∆∆均为等边三角形，且边长均为2， 所以四面体A BCD -是正四面体，棱长为2，如图：根据正四面体特征，点A 在底面正投影1O 是底面正三角形的中心，外接球球心O 在线段1AO 上，设外接球半径为R ，取CD 中点E 过点,,B C D 的截面圆的半径1223623323r O B BE ===⨯⨯=， 在△1O AB 中，2211223233O A BA BO =-=-=， 则球心到截面BCD 的距离1233d OO R ==- 在△1O OB 中，22211O B OO OB +=，22262333R R ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-， 解得32R =， 所以球的体积3433322V ππ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭. 故选：A 【点睛】此题考查求正四面体外接球的体积，通过几何体的特征，确定一个截面，寻找球心，根据三角形关系求出半径即可求解，平常的学习中有必要积累常见几何体外接球半径的求法.第Ⅱ卷（非选择题)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2020届高考冲刺数学(理)“小题精练”(7)含详细解答
,k 6
+ ，k 3
z
B. k
,k
，k z
3
3
C. k
,k
，k z
3
6
D. k
,k
，k z
6
6
2
2
5. 双曲线
x a2
y b2
1(a 0,b 0) 的一个焦点为 F (c, 0) ，若 a 、 b 、 c 成等比数列，则该双
曲线的离率 e （ ）
A. 1 3 2
B. 1 5 2
C. 5 1 2
D. 2 1
PF 5 ，则 △MPF 的面积为 _____．
【答案】 10
【 解 析 】 由 抛 物 线 的 定 义 可 知 |PF|+|PM|=5, 并 且 点 P 到 准 线 的 距 离
5 尺，头部 1 尺，重 4 斤，尾部 1 尺，
重 2 斤”，若该金锤从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，该金锤共重多少斤？（
）
A. 6 斤
B. 7 斤
C. 9 斤
D. 15 斤
4. 函数 y 2sin( x )( 0,0
区间为（
）
) 的部分图象如图所示． 则函数 f x 的单调递增
轾
A.
犏犏臌k -
2
12. 已知函数 f (x)
log5(1 x) ( x 2)2 2
( x 1) ，则关于 x 的方程 f
( x 1)
x
1 x
2
a 的实根个
数不可能为（
）
A. 5 个
B. 6 个
C. 7 个
D. 8 个
【答案】 A
【解析】∵函数 f x
log 5 1 x , x 1
2020届高三理科数学 大题精练 14套 含答案
(2) 当 AB ⊥ CD 时，点 P，Q 在什么位置时， PQ 取得最小值？ 解： (1) 设 A( x1, y1 ) ， B ( x2, y2 ) ， P ( x0, −1) ，
则 x12 = 4 y1 ， x22 = 4 y2 ，
10 读万卷书 行万里路
抛物线的方程可变形为 y = 1 x2 ，则 y' = x ，
uuur
∴ CA = （1，﹣2，0）， CS = （0，﹣1，1）， CB = （1，0，0），
ur 设平面 ASC 的法向量 m = （x，y，z），
则
mv mv
⋅ ⋅
uuuv CuuAuv CS
= =
x −
− y
2 +
y z
= =
0 0
，取
y＝1，得
ur m
=
（2，1，1），
r 设平面 BSC 的法向量 n = （x，y，z），
解： (1) 由饼图得： a = 1− (6% + 9% + 27% +12% +14% + 3%) = 29% ． (2) 假设同一组中的每个数据可用给定区间的中点值代替，估计样本中的 100 名学生每天平
均使用手机的平均时间在第 4 组．
7 读万卷书 行万里路
旗开得胜
(3)Q样本是从高二年级抽取的，根据抽取的样本只能估计该校高二年级学生每天使用手机
旗开得胜
20．过抛物线外一点 M 作抛物线的两条切线，两切点的连线段称为点 M 对应的切点弦已
知抛物线为 x2 = 4 y ，点 P，Q 在直线 l：y = −1上，过 P，Q 两点对应的切点弦分别为 AB，
CD
2020届高三数学(理)“小题精练”12
2020届高三数学（理）“小题速练”1213. 14. 15. 16.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{x |y ＝ln(x －1)}，B ＝{0，1，2，3}，则A ∩B ＝( ) A ．{0} B ．{2，3} C ．{1，2，3}D ．{0，1，2，3}2．若z 为纯虚数，且满足(z －a )i ＝1＋2i(a ∈R )，则a ＝( ) A ．－2B ．－1C ．1D ．23．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 8－a 5＝9，S 8－S 5＝66，则a 33＝( ) A ．82B ．97C ．100D ．1154．已知双曲线C 的中心在坐标原点，一个焦点(5，0)到渐近线的距离等于2，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±12xB ．y ＝±23xC ．y ＝±32xD ．y ＝±2x5．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象向右平移π6个单位长度后，所得图象的一个对称中心为( )A.⎝⎛⎭⎫π12，0 B ．⎝⎛⎭⎫π4，0 C.⎝⎛⎭⎫π3，0D ．⎝⎛⎭⎫π2，06．已知a ＝0.50.8，b ＝0.80.5，c ＝0.80.8，则( ) A ．c <b <a B ．c <a <b C ．a <b <cD ．a <c <b7．已知直三棱柱ABC A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为( )A.3172B ．210C.132D ．3108．4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( )A.18 B ．38C.58D ．789．设椭圆E 的两焦点分别为F 1，F 2，以F 1为圆心，|F 1F 2|为半径的圆与E 交于P ，Q 两点．若△PF 1F 2为直角三角形，则E 的离心率为( )A.2－1 B ．5－12C.22D ．2＋110．如图，AB 是圆锥SO 的底面圆O 的直径，D 是圆O 上异于A ，B 的任意一点，以AO 为直径的圆与AD 的另一个交点为C ，P 为SD 的中点．现给出以下结论：①△SAC 为直角三角形； ②平面SAD ⊥平面SBD ；③平面P AB 必与圆锥SO 的某条母线平行． 其中正确结论的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．311．已知函数f (x )＝ln 1＋x 1－x ＋x ＋1，且f (a )＋f (a ＋1)＞2，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ B ．⎝⎛⎭⎫－1，－12 C.⎝⎛⎭⎫－12，0 D ．⎝⎛⎭⎫－12，1 12．在△ABC 中，B ＝30°，BC ＝3，AB ＝23，点D 在边BC 上(与B ，C 均不重合)，点B ，C 关于直线AD 的对称点分别为B ′，C ′，则△BB ′C ′的面积的最大值为( )A.9－332B ．637C.937D ．332二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a 与b 的夹角为π3，|a |＝|b |＝1，且a ⊥(a －λb )，则实数λ＝________．14．若⎝⎛⎭⎫2x 2－1x n展开式的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项是________． 15．某电子商务公司对10 000名网络购物者2018年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间[0.3，0.9]内，其频率分布直方图如图所示．(1)直方图中的a ＝________；(2)在这些购物者中，消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的人数为________． 16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x x ，x ≥1ax 2－a ，x ＜1，若函数g (x )＝f (x )－13恰有2个零点，则a 的取值范围为________．2020届高三数学（理）“小题速练”12（答案解析）1．解析：选B.因为A ＝{x |y ＝ln(x －1)}＝{x |x －1>0}＝{x |x >1}，所以A ∩B ＝{2，3}，故选B.2．解析：选A.由(z －a )i ＝1＋2i ，得z ＝1＋2i i ＋a ＝－i ＋2＋a ＝a ＋2－i ，根据题意，得a ＋2＝0，解得a ＝－2，故选A.3．解析：选 C.解法一：设等差数列{a n }的公差为d ，则由⎩⎪⎨⎪⎧a 8－a 5＝9S 8－S 5＝66，得⎩⎪⎨⎪⎧（a 1＋7d ）－（a 1＋4d ）＝9（8a 1＋28d ）－（5a 1＋10d ）＝66， 解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝3a 1＝4，所以a 33＝a 1＋32d ＝4＋32×3＝100，故选C.解法二：设等差数列{a n }的公差为d ，由a 8－a 5＝9，得3d ＝9，即d ＝3.由S 8－S 5＝66，得a 6＋a 7＋a 8＝66，结合等差数列的性质知3a 7＝66，即a 7＝22，所以a 33＝a 7＋(33－7)×d ＝22＋26×3＝100，故选C.4．解析：选D.设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则由题意，得c ＝ 5.双曲线C 的渐近线方程为y ＝±b a x ，即bx ±ay ＝0，所以5bb 2＋a2＝2，又c 2＝a 2＋b 2＝5，所以b ＝2，所以a ＝c 2－b 2＝1，所以双曲线C 的渐近线方程为y ＝±2x ，故选D.5．解析：选A.将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象向右平移π6个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为y ＝sin[2⎝⎛⎭⎫x －π6＋π6]＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，令2x －π6＝k π，k ∈Z ，得x ＝k π2＋π12，k ∈Z ，当k ＝0时，x ＝π12，故所得图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫π12，0，选A. 6．解析：选D.因为函数y ＝0.8x 在(－∞，＋∞)上为减函数，所以0.80.5>0.80.8，即b >c .因为函数y ＝x 0.8在(0，＋∞)上为增函数，所以0.50.8<0.80.8，即a <c ，所以a <c <b ，故选D.7.解析：选C.(补形法)如图，将直三棱柱ABC A 1B 1C 1的底面补成矩形，得到长方体ABDC A 1B 1D 1C 1.显然，直三棱柱ABC A 1B 1C 1的外接球就是长方体ABDC A 1B 1D 1C 1的外接球．而长方体ABDC A 1B 1D 1C 1的外接球的直径等于长方体的体对角线长，连接AD 1，则AD 1＝32＋42＋122＝13，所以直三棱柱外接球的半径为132.故选C.8．解析：选D.解法一：4位同学各自在周六、日任选一天参加公益活动共有24＝16(种)结果，而周六、日都有同学参加公益活动有两种情况：①一天一人，另一天三人，有C 14A 22＝8(种)；②每天二人，有C 24＝6(种)，所以P ＝8＋616＝78. 解法二：4位同学各自在周六、日任选一天参加公益活动，共有24＝16(种)结果，而4人都选周六或周日有2种结果，所以P ＝1－216＝78.9.解析：选A.不妨设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，如图所示，∵△PF 1F 2为直角三角形，∴PF 1⊥F 1F 2，又|PF 1|＝|F 1F 2|＝2c ，∴|PF 2|＝22c ，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2c ＋22c ＝2a ，∴椭圆E 的离心率e ＝2－1.故选A.10.解析：选C.如图，连接OC ，∵AO 为圆的直径，∴AC ⊥OC .∵SO 垂直于底面圆O ，AC ⊂底面圆O ，∴AC ⊥SO .∵SO ∩OC ＝O ，∴AC ⊥平面SOC .又SC ⊂平面SOC ，∴AC ⊥SC ，∴△SAC 为直角三角形，故①正确．由于点D 是圆O 上的动点，∴平面SAD 不能总垂直于平面SBD ，故②错误．连接DO 并延长交圆O 于E ，连接SE ，PO ，∵P 为SD 的中点，O 为DE 的中点，∴OP ∥SE .又OP ⊂平面P AB ，SE ⊄平面P AB ，∴SE ∥平面P AB ，故③正确，故选C.11．解析：选C.由题意知函数f (x )的定义域为(－1，1)，令g (x )＝ln 1＋x1－x ＋x ，则g (－x )＝ln1－x 1＋x －x ＝－ln 1＋x1－x－x ＝－g (x )，故函数g (x )为奇函数，并且g (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )＋x ，易得g (x )在(－1，1)上为增函数．f (a )＋f (a ＋1)>2，即g (a )＋g (a ＋1)>0，∴g (a ＋1)>－g (a )，∴g (a ＋1)>g (－a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1<－a <1－1<a ＋1<1a ＋1>－a，∴－12<a <0，故选C.12．解析：选D.由余弦定理得，AC 2＝BC 2＋AB 2－2BC ·AB cos B ＝9＋12－2×3×23×32＝3，∴AC ＝3，∴AC 2＋BC 2＝AB 2，∴AC ⊥BC .∵CC ′∥BB ′，∴点C ′到直线B ′B 的距离等于点C 到直线BB ′的距离， ∴S △C ′B ′B ＝S △CBB ′.以C 为坐标原点，CB ，CA 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立如图所示平面直角坐标系，则C (0，0)，B (3，0)，A (0，3)． 设直线AD 的方程为y ＝kx ＋3⎝⎛⎭⎫k <－33，则点B 到直线AD 的距离d ＝|3k ＋3|k 2＋1，∴|BB ′|＝2d ＝23|3k ＋1|k 2＋1.∵BB ′⊥AD ，∴直线BB ′的方程为y ＝－1k (x －3)，即x ＋ky －3＝0，∴点C (0，0)到直线BB ′的距离d ′＝3k 2＋1， ∴S △C ′B ′B ＝S △CBB ′＝12×23|3k ＋1|k 2＋1×3k 2＋1＝33|3k ＋1|k 2＋1.令3k ＋1＝t ，则k ＝t －13，∵k <－33，∴3k ＋1<0，即t <0，∴S △C ′B ′B ＝33|t |t 2－2t ＋13＋1＝93|t |t 2－2t ＋4＝－93t t 2－2t ＋4＝93－t －4t ＋2≤332，当且仅当－t ＝－4t ，即t ＝－2时，S △C ′B ′B 取得最大值为332，故选D.13．解析：由题意，得a ·b ＝|a ||b |cos π3＝12，∵a ⊥(a －λb )，∴a ·(a －λb )＝|a |2－λa ·b ＝1－λ2＝0，∴λ＝2.答案：214．解析：∵⎝⎛⎭⎫2x 2－1x n展开式的二项式系数之和为2n ，∴2n ＝64，∴n ＝6，∴二项展开式的通项T r ＋1＝C r 6(2x 2)6－r⎝⎛⎭⎫－1x r＝C r 626－r(－1)r x 12－3r ，令12－3r ＝0，得r ＝4，∴展开式中的常数项为T 5＝C 4626－4(－1)4＝60. 答案：6015．解析：(1)由频率分布直方图，得(1.5＋2.5＋a ＋2.0＋0.8＋0.2)×0.1＝1，解得a ＝3； (2)消费金额在[0.5，0.9]的购物者的人数为：10 000×(1－1.5×0.1－2.5×0.1)＝10 000×0.6＝6 000.答案：(1)3 (2)6 00016．解析：当x ≥1时，g (x )＝f (x )－13＝ln x x －13，则g ′(x )＝1－ln x x 2，由g ′(x )＞0，得1≤x＜e ，由g ′(x )＜0，得x ＞e ，所以函数g (x )在[1，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减，所以g (x )在[1，＋∞)上有最大值，且g (x )max ＝g (e)＝1e －13＞0，又g (1)＝－13＜0，g (e 3)＝3e 3－13＜0，所以在[1，＋∞)上g (x )＝f (x )－13有2个不同的零点，则由题意知当x ＜1时，函数g (x )＝f (x )－13＝ax 2－a －13无零点．当a ＞0时，g (x )在 (－∞，1)上有最小值，且g (x )min ＝g (0)＝－a－13＜0，此时函数g (x )有零点，不满足题意；当a ＝0时，g (x )＝－13＜0，此时函数g (x )无零点，满足题意；当a ＜0时，g (x )在(－∞，1)上有最大值，且g (x )max ＝g (0)＝－a －13，由g (x )max＜0，得－13＜a ＜0.综上可知，实数a 的取值范围是(－13，0]．答案：(－13，0]。
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15．已知等比数列an 的前 n 项和为 Sn ，且 Sn
3 2
a 3n ，则
S6 S3
__________．
16．一只蚂蚁从一个正四面体 ABCD 的顶点 A 出发，每次从一个顶点爬行到另一个顶点， 则蚂蚁爬行五次还在点 A 的爬行方法种数是__________．
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2020 届高三数学（理）“小题速练”8
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
答案
13.
14.
15.
16.
一、单选题
1．设集合 A x y 1 x ， B x x 1x 2 0 ，则 A B （ ）
A．1, 2
B． 1,1
C． 1,1
D． 1, 2
2．计算
3 1
4i 2i
为（ ）
A． 3
B． 4
C． 5
D． 6
uuur r r uuur r r
7．已知 a,b 是不共线的向量，OA a b ，OB 2a b ，OC a 2b ，若 A、B、C
三点共线，则 、 满足（ ）
A． 3
B． 3
C． 2
D． 2
0 x 3
8．已知变量
x,
y
满足
x
y
0
，则 z 2x 3y 的最大值为（
）
x y 3 0
A． 9
B． 9
C． 12
D．12
9．已知函数 f x 2sin x 0 在 x a, 2a 0 上最大值为1且递增，则 2 a
的最大值为（
A． 6
） B． 7
C． 9
D． 8
10．已知 f x ln x2 1 x ，不等式 f a x2 1 f x2 2 0 对 x R 成立，
a2 (b2 c2 ) c2
，由于 x0
( 5 a, 4 a) ，所以 43
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25 a2 16
a2(b2 c2) c2
16 9
a2
，9 16
b2 c2
7 9
9
，
16
1
1 e2
7 9
2
，
9
1 e2
7 16
16
，
7
e2
9 2
，
4 7 e3 2.
7
2
12．已知对任意实数 x 都有 f x 3ex f x ， f 0 1，若不等式 f x a x 2
a, b 是不共线的向量，
t
1，
t
2
，
3
.
0 x 3
8．已知变量
x,
y
满足
x
y
0
，则 z 2x 3y 的最大值为（
）
x y 3 0
A． 9
B． 9
C． 12
D．12
【答案】A
0 x 3
【解析】画出
x
y
0
表示的可行域，如图，
x y 3 0
平移直线 y 2 x 1 z ，当直线经过点 (0, 3) 时，直线截距最小， z 最大， 33
3
根据图像，欲使解集中恰有两个整数，则比较点 2,0 与四个点 (1, 2e) ，(0, 1) ，(1, 4) ，
e
(2,
7 e2
)
连线的斜率，由
2e
7 4e2
4 3e
1 2
可得
a
[
7 4e2
, 4). 3e
二、填空题
13．若直线 2x cy 1 0 是抛物线 x2 y 的一条切线，则 c __________．
D．既不充分又不必要
条件
【答案】B
【解析】当 m 且 n m 时,我们可以得到 n / / 或 n （因为直线 n 与平面 的位置
关系不确定）,所以充分性不成立;当 n / / 时,过直线 n 可做平面 与平面 交于直线 a ,则
有 n / /a .又有 m ,则有 m a ,即 m n .所以必要性成立,故选 B .
客到达站台的时刻是随机的，则该乘客到达站台立即能乘上车的概率为（ ）
1
A．
7
1
B．
8
1
C．
9
1
D．
10
5．《张丘建算经》卷上有题为“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈”，
其意思为：现一善于织布的女子，从第 2 天开始，每天比前一天多织相同量的步（不变的常 量），第1天织了五尺，一个月（按 30 天计算）共织九匹三丈（一匹 四丈，一丈 十尺），
a
x2 x2
2 1
(
x2 1
1 )， x2 1
( x2 1
1 x2
1
)max
2 ，所以 a
2 .
11．在直角坐标系
xOy
中，
F1、F2
分别是双曲线
C
:
x2 a2
y2 b2
1
a 0,b 0
的左、右焦
点，点
P
x0
,
y0
是双曲线右支上的一点，满足
PF1
PF2
0
，若点
P
的横坐标取值范围是
x0
x0
5 4
a,
4 3
a
，则双曲线
C
的离心率取值范围为（
）
A．
5 4
,
4 3
B．
16 7
,
9 2
C．
4
7 7
,
3
2 2
D．
4
5
5
,
5
2 3
12．已知对任意实数 x 都有 f x 3ex f x ， f 0 1，若不等式 f x a x 2
（其中 a 1 ）的解集中恰有两个整数，则 a 的取值范围是（ ）
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【答案】 3 2 2
【解析】如图，过球心与圆柱体底面平行的平面截得该图形的平面图，
设球的半径为 R ，则圆柱体底面圆半径 r 1 ,正方形的边长为 2 ，由题意可得，
2020 届高三数学（理）“小题速练”8（答案解析）
一、单选题
1．设集合 A x y 1 x ， B x x 1x 2 0 ，则 A B （ ）
A．1, 2
B． 1,1
C． 1,1
D． 1, 2
【答案】B
【解析】由题意 A x 1 x 0 x x 1 ， B x 1 x 2 ，∴ A B (1,1] ．
A．
4 3e
,
1 2
B．
4 3e
,1
C．
7 4e2
,
4 3e
D．
7 4e2
,
1 2
二、填空题
13．若直线 2x cy 1 0 是抛物线 x2 y 的一条切线，则 c __________．
14．一个棱长为 2 的正方体中有一个实心圆柱体，圆柱的上、下底面在正方体的上、下底面
上，侧面与正方体的侧面相切，则在正方体与圆柱的空隙中能够放置的最大球的半径为 __________．
满足条件 n 28 ， MOD 28, 4 0 ， i 2, n 5 ；
满足条件 n 28 ， MOD 28,5 3 ， i 1, n 6 ；
…
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D． 6
28 N ，可得程序框图的功能是统计 28 大于1的约数的个数，由于约数有：2, 4, 7,14, 28 n
【答案】 1
2x cy 1 0
【解析】联立直线和抛物线得到
x
2
y
cx2 2x 1 0 0 c 1．
14．一个棱长为 2 的正方体中有一个实心圆柱体，圆柱的上、下底面在正方体的上、下底面
上，侧面与正方体的侧面相切，则在正方体与圆柱的空隙中能够放置的最大球的半径为
__________．
可得，该乘客到达站台立即能乘上车的概率为 0.5 1 . 4.5 9
5．《张丘建算经》卷上有题为“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈”，
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其意思为：现一善于织布的女子，从第 2 天开始，每天比前一天多织相同量的步（不变的常 量），第1天织了五尺，一个月（按 30 天计算）共织九匹三丈（一匹 四丈，一丈 十尺），
4．上海地铁 2 号线早高峰时每隔 4.5 分钟一班，其中含列车在车站停留的 0.5 分钟，假设乘
客到达站台的时刻是随机的，则该乘客到达站台立即能乘上车的概率为（ ）
1
A．
7
1
B．
8
1
C．
9
1
D．
10
【答案】C
【解析】 每 4.5 分钟一班列车，其中列车在车站停留 0.5 分钟，根据几何概型概率公式
所以， z 最大值为 z 2 0 3 3 9 ，
9．已知函数 f x 2sin x 0 在 x a, 2a 0 上最大值为1且递增，则 2 a
的最大值为（ ）
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A． 6
B． 7
C． 9
D． 8
【答案】D
【解析】由题意可知，[a, 2]
[
2
,
2
5 4
a,
4 3
a
，则双曲线
C
的离心率取值范围为（
）
A．
5 4
,
4 3
B．
16 7
,
9 2
C．
4
7 7
,
3
2 2
D．
4