2020版高考数学(文)全程训练计划 小题狂练 (25)
(第30天)——《小题训练计划》【高考真题】2020年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标Ⅲ)
《2021年高考最后三十天训练计划》第三十天——高考真题——找感觉卷 《小题训练计划》（三）高考真题2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{1A =，2，3，5，7，11}，{|315}B x x =<<，则AB 中元素的个数为() A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 2．若(1)1z i i ⋅+=-，则(z = )A ．1i -B ．1i +C ．i -D ．i3．设一组样本数据1x ，2x ，⋯，n x 的方差为0.01，则数据110x ，210x ，⋯，10n x 的方差为( ) A ．0.01B ．0.1C ．1D ．104．Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数()(I t t 的单位：天）的Logistic 模型：0.23(53)()1t KI t e --=+，其中K 为最大确诊病例数．当*()0.95I t K =时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为( ) (193)ln ≈A ．60B ．63C ．66D ．695．已知sin sin()13πθθ++=，则sin()(6πθ+= )A ．12B 3C ．23D 26．在平面内，A ，B 是两个定点，C 是动点．若1AC BC =，则点C 的轨迹为( ) A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．直线7．设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线2:2(0)C y px p =>交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为( )A ．1(4，0)B ．1(2，0) C ．(1,0)D ．(2,0)8．点(0,1)-到直线(1)y k x =+距离的最大值为( ) A ．1 B 2C 3D ．29．右图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是( )A ．62+B ．442+C ．623+D ．43+10．设3log 2a =，5log 3b =，23c =，则( ) A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b <<11．在ABC ∆中，2cos 3C =，4AC =，3BC =，则tan (B = ) AB．C．D．12．已知函数1()sin sin f x x x=+，则( )A ．()f x 的最小值为2B ．()f x 的图象关于y 轴对称C ．()f x 的图象关于直线x π=对称D ．()f x 的图象关于直线2x π=对称二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020版高考数学(文)全程训练计划 小题狂练 (3)
天天练3 函数的概念及表示小题狂练③一、选择题1．[2019·惠州二调]已知函数f (x )＝x ＋1x －1，f (a )＝2，则f (－a )＝( )A ．2B ．－2C ．4D ．－4 答案：D解析：解法一 由已知得f (a )＝a ＋1a －1＝2，即a ＋1a ＝3，所以f (－a )＝－a －1a －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a －1＝－3－1＝－4.解法二 因为f (x )＋1＝x ＋1x ，设g (x )＝f (x )＋1＝x ＋1x ，易判断g (x )＝x ＋1x 为奇函数，故g (x )＋g (－x )＝x ＋1x －x －1x ＝0，即f (x )＋1＋f (－x )＋1＝0，故f (x )＋f (－x )＝－2，所以f (a )＋f (－a )＝－2，故f (－a )＝－4.2．下列所给图象是函数图象的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：B解析：①中当x >0时，每一个x 的值对应两个不同的y 值，因此不是函数图象；②中当x ＝x 0时，y 的值有两个，因此不是函数图象，③④中每一个x 的值对应唯一的y 值，因此是函数图象．故选B.3．[2019·河南豫东、豫北十所名校段测]设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，0＜x ≤9，f (x －4)，x ＞9，则f (13)＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的值为()A ．1B ．0C ．－2D ．2 答案：B解析：因为f (13)＝f (13－4)＝f (9)＝log 39＝2，2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝2log 313＝－2，所以f (13)＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝2－2＝0.故选B.4．[2019·山东潍坊青州段测]函数f (x )＝ln(x －1)＋12－x的定义域为( )A ．(1,2)B ．[1,2)C ．(1,2]D ．[1,2] 答案：A解析：函数f (x )＝ln(x －1)＋12－x 的定义域为⎩⎨⎧x －1＞0，2－x ＞0的解集，解得1＜x ＜2，所以函数f (x )的定义域为(1,2)．故选A. 5．[2019·福建省六校联考]下列函数中，满足f (x 2)＝[f (x )]2的是( )A ．f (x )＝ln xB ．f (x )＝|x ＋1|C ．f (x )＝x 3D ．f (x )＝e x 答案：C解析：解法一 对于函数f (x )＝x 3，有f (x 2)＝(x 2)3＝x 6，[f (x )]2＝(x 3)2＝x 6，所以f (x 2)＝[f (x )]2，故选C.解法二 因为f (x 2)＝[f (x )]2，对选项A ，f (22)＝ln4，[f (2)]2＝(ln2)2，排除A ；对选项B ，则有f (12)＝|12＋1|＝2，[f (1)]2＝|1＋1|2＝4，排除B ；对选项D ，则有f (12)＝e ，[f (1)]2＝e 2，排除D.故选C.6．[2019·重庆二诊]如图所示，对应关系f 是从A 到B 的映射的是( )答案：D解析：A 到B 的映射为对于A 中的每一个元素在B 中都有唯一的元素与之对应，所以不能出现一对多的情况，因此D 表示A 到B 的映射．7．已知函数y ＝f (x ＋2)的定义域是[－2,5)，则y ＝f (3x －1)的定义域为( )A ．[－7,14)B ．(－7,14] C.⎝ ⎛⎦⎥⎤13，83 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，83 答案：D解析：因为函数y ＝f (x ＋2)的定义域是[－2,5)，所以－2≤x ＜5，所以0≤x ＋2＜7，所以函数f (x )的定义域为[0,7)，对于函数y ＝f (3x －1)，0≤3x －1＜7，解得13≤x ＜83，故y ＝f (3x －1)的定义域是⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，83，故选D.8．[2019·山东德州模拟]设函数y ＝9－x 2的定义域为A ，函数y ＝ln(3－x )的定义域为B ，则A ∩∁R B ＝( )A ．(－∞，3)B ．(－∞，－3)C ．{3}D ．[－3,3) 答案：C解析：由9－x 2≥0解得－3≤x ≤3，可得A ＝[－3,3]，由3－x >0解得x <3，可得B ＝(－∞，3)，因此∁R B ＝[3，＋∞)．∴A ∩(∁R B )＝[－3,3]∩[3，＋∞)＝{3}．故选C.二、非选择题9．[2018·全国卷Ⅰ]已知函数f (x )＝log2(x 2＋a )．若f (3)＝1，则a ＝________.答案：－7解析：∵ f (x )＝log2(x 2＋a )且f (3)＝1，∴ 1＝log2(9＋a )，∴9＋a ＝2，∴ a ＝－7.10．[2019·南阳模拟]已知函数y ＝f (x )满足f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋3x ，则f (x )的解析式为________．答案：f (x )＝－x －2x (x ≠0)解析：由题意知函数y ＝f (x )满足f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋3x ，即f (x )－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ，用1x 代换上式中的x ，可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －2f (x )＝3x ，联立得，⎩⎨⎧f (x )－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －2f (x )＝3x ，解得f (x )＝－x －2x (x ≠0)．11．[2019·河南开封模拟]f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1，x <2，log 3(x 2－1)，x ≥2，则f (f (2))的值为________．答案：2解析：∵当x ≥2时，f (x )＝log 3(x 2－1)，∴f (2)＝log 3(22－1)＝1<2，∴f (f (2))＝f (1)＝2e 1－1＝2.12．[2019·湖北黄冈浠水县实验高中模拟]已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12解析：∵函数f (x )的定义域为(－1,0)，∴由－1<2x ＋1<0，解得－1<x <－12.∴函数f (2x ＋1)的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12.课时测评③一、选择题1．下列各组函数中表示同一函数的是( )A ．f (x )＝x 2，g (x )＝(x )2B ．f (x )＝1，g (x )＝x 2C ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，g (t )＝|t |D ．f (x )＝x ＋1，g (x )＝x 2－1x －1答案：C解析：选项A 中，f (x )＝x 2的定义域是R ，g (x )＝(x )2的定义域是{x |x ≥0}，故f (x )与g (x )不表示同一函数，排除A ；选项B 中，f (x )与g (x )定义域相同，但对应关系和值域不同，故f (x )与g (x )不表示同一函数，排除B ；选项D 中，f (x )＝x ＋1的定义域为R ，g (x )＝x 2－1x －1的定义域为{x |x ≠1}，故f (x )与g (x )不表示同一函数，排除D ；选项C 中，f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，－x ，x <0可化为f (x )＝|x |，所以其与g (t )＝|t |表示同一函数．故选C.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2，x >0，x ，x ≤0，若f (a )＋f (3)＝5，则实数a ＝( )A ．2B ．－1C ．－1或0D ．0 答案：B解析：解法一 因为f (a )＋f (3)＝5，又f (3)＝23－2＝6，所以f (a )＝－1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a －2＝－1，a >0或⎩⎨⎧a ＝－1，a ≤0，解得a ＝－1，故选B.解法二 因为f (3)＝23－2＝6，f (2)＝22－2＝2，所以f (2)＋f (3)＝2＋6＝8≠5，所以a ≠2，排除A ；因为f (0)＝0，所以f (0)＋f (3)＝0＋6＝6≠5，所以a ≠0，排除C ，D.故选B.3．函数f (x )＝(x －2)0＋23x ＋1的定义域是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13 C ．R D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，2∪(2，＋∞)答案：D解析：要使函数f (x )有意义，只需⎩⎨⎧x ≠2，3x ＋1>0，所以x >－13且x ≠2，所以函数f (x )的定义域是⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，2∪(2，＋∞)，故选D.4．[2019·湖南邵阳模拟]设函数f (x )＝log 2(x －1)＋2－x ，则函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2的定义域为( )A ．[1,2]B ．(2,4]C ．[1,2)D ．[2,4) 答案：B解析：∵函数f (x )＝log 2(x －1)＋2－x 有意义，∴⎩⎨⎧x －1>0，2－x ≥0，解得1<x ≤2，∴函数的f (x )定义域为(1,2]，∴1<x2≤2，解得x ∈(2,4]，则函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2的定义域为(2,4]．故选B.5．[2019·陕西西安长安区质量检测大联考]已知函数f (x )＝－x 2＋4x ，x ∈[m,5]的值域是[－5,4]，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,2]C ．[－1,2]D ．[2,5] 答案：C解析：∵f (x )＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4，∴当x ＝2时，f (2)＝4，由f (x )＝－x 2＋4x ＝－5，解得x ＝5或x ＝－1，∴结合图象可知，要使函数在[m,5]上的值域是[－5,4]，则－1≤m ≤2.故选C.6．[2019·新疆乌鲁木齐一诊]函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x <2，－log 3(x －1)，x ≥2，则不等式f (x )>1的解集为( )A ．(1,2) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，43C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，43 D ．[2，＋∞) 答案：A解析：当x <2时，不等式f (x )>1即e x －1>1， ∴x －1>0，∴x >1，则1<x <2；当x ≥2时，不等式f (x )>1即－log 3(x －1)>1，∴0<x －1<13，∴1<x <43，此时不等式无解． 综上可得，不等式的解集为(1,2)．故选A. 7．[2019·定州模拟]设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x 2，x <0，－e x ，x ≥0，若f (f (t ))≤2，则实数t 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[0，ln2] B ．[ln2，＋∞)C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12 D ．[－2，＋∞) 答案：A解析：令m ＝f (t )，则f (m )≤2，则⎩⎪⎨⎪⎧m <0，log 2m 2≤2或⎩⎨⎧ m ≥0，－e m≤2，即－2≤m <0或m ≥0，所以m ≥－2，则f (t )≥－2，即⎩⎨⎧t <0，log 2t 2≥－2或⎩⎨⎧t ≥0，－e t ≥－2，即t ≤－12或0≤t ≤ln2，所以实数t 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[0，ln2]．故选A.8．[2019·福建福清校际联盟模拟]定义函数f (x )，g (x )如下表：则满足f (g (x ))>A ．0或1 B ．0或2 C ．1或7 D ．2或7 答案：D解析：由表格可以看出，当x ＝0时，g (0)＝2，f (g (0))＝f (2)＝0，同理g (f (0))＝g (1)＝1，不满足f (g (x ))>g (f (x ))，排除A ，B.当x ＝1时，f (g (1))＝f (1)＝2，g (f (1))＝g (2)＝7，不满足f (g (x ))>g (f (x ))，排除C.当x ＝2时，f (2)＝0，g (2)＝7，f (g (2))＝f (7)＝7，同理g (f (2))＝g (0)＝2，满足f (g (x ))>g (f (x ))．当x ＝7时，f (g (7))＝f (0)＝1，g (f (7))＝g (7)＝0，满足f (g (x ))>g (f (x ))．故选D.二、非选择题9．[2019·唐山五校联考]函数y ＝110x－2的定义域为________．答案：(lg2，＋∞)解析：依题意，10x >2，解得x >lg2，所以函数的定义域为(lg2，＋∞)．10．已知函数f (3x ＋2)＝x 2－3x ＋1，则函数f (x )的解析式为________．答案：f (x )＝19x 2－13x 9＋319解析：设t ＝3x ＋2，则x ＝t －23，所以f (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫t －232－3·t －23＋1＝19t 2－13t 9＋319，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝19x 2－13x 9＋319.11．对于每个实数x ，设f (x )取y ＝4x ＋1，y ＝x ＋2，y ＝－2x ＋4三个函数中的最小值，用分段函数写出f (x )的解析式，并求f (x )的最大值．解析：由直线y ＝4x ＋1与y ＝x ＋2求得交点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，73；由直线y ＝x ＋2与y ＝－2x ＋4，求出交点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，83.由图象可看出：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋4⎝⎛⎭⎪⎫x ≥23x ＋2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<x <234x ＋1 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≤13f (x )的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝83.。
2020版高考数学(文)全程训练计划 小题狂练 (1)
天天练1 集合的概念与运算小题狂练①一、选择题1．[2018·全国卷Ⅱ]已知集合A＝{1,3,5,7}，B＝{2,3,4,5}，则A∩B＝()A．{3} B．{5}C．{3,5} D．{1,2,3,4,5,7}答案：C解析：A∩B＝{1,3,5,7}∩{2,3,4,5}＝{3,5}．故选C.2．[2018·全国卷Ⅰ]已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，则∁R A＝()A．{x|－1<x<2}B．{x|－1≤x≤2}C．{x|x<－1}∪{x|x>2}D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}答案：B解析：∵x2－x－2>0，∴ (x－2)(x＋1)>0，∴x>2或x<－1，即A＝{x|x>2或x<－1}．在数轴上表示出集合A，如图所示．由图可得∁R A＝{x|－1≤x≤2}．故选B.3．[2019·河南中原名校质检]已知全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合A＝{1,2,4}，B＝{2,4,6}，则A∩(∁U B)＝()A．{1} B．{2}C．{4} D．{1,2}答案：A解析：因为∁U B＝{1,3,5}，所以A∩(∁U B)＝{1}．故选A.4．[2019·河北衡水武邑中学调研]已知全集U＝R，集合A ＝{x|0<x<9，x∈R}和B＝{x|－4<x<4，x∈Z}关系的Venn图如图所示，则阴影部分所表示集合中的元素共有( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．无穷多个答案：B 解析：因为A ＝{x |0<x <9，x ∈R }，所以∁U A ＝{x |x ≤0或x ≥9}．题图中阴影部分表示的集合为(∁U A )∩B ＝{x |－4<x ≤0，x ∈Z }＝{－3，－2，－1，0}，故该集合中共有4个元素．故选B.5．[2019·惠州一调]已知集合U ＝{－1,0,1}，A ＝{x |x ＝m 2，m ∈U }，则∁U A ＝( )A ．{0,1}B ．{－1,0,1}C ．∅D ．{－1}答案：D解析：∵A ＝{x |x ＝m 2，m ∈U }＝{0,1}，∴∁U A ＝{－1}，故选D.6．[2019·河北省五校联考(二)]已知集合A ＝{x |x <1}，B ＝{x |x 2－x －6<0}，则( )A ．A ∩B ＝{x |x <1} B ．A ∪B ＝RC ．A ∪B ＝{x |x <2}D ．A ∩B ＝{x |－2<x <1}答案：D解析：∵x 2－x －6<0，∴－2<x <3，∴B ＝{x |－2<x <3}，∴A ∪B ＝{x |x <3}，A ∩B ＝{x |－2<x <1}，故选D.7．[2019·江西赣州模拟]已知集合A ＝{x |－1≤lg x ≤1}，B ＝{x |2x <4}，则A ∩B ＝( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪110≤x <2 B ．{x |0<x <2} C ．{x |2<x ≤10} D ．{x |0<x ≤10}答案：A解析：∵－1≤lg x ≤1，∴110≤x ≤10，∴A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 110≤x ≤10.由2x <4知x <2，∴B ＝{x |x <2}，∴A ∩B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪110≤x <2.故选A. 8．[2019·广西桂林、百色、梧州、崇左、北海五市联合模拟]已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |(x －1)(x ＋2)≥0}，N ＝{x |－1≤x ≤2}，则(∁U M )∩N ＝( )A ．[－2，－1]B ．[－1,2]C ．[－1,1)D ．[1,2]答案：C解析：因为全集U ＝R ，集合M ＝{x |(x －1)(x ＋2)≥0}＝{x |x ≤－2或x ≥1}，所以∁U M ＝{x |－2<x <1}．又N ＝{x |－1≤x ≤2}，所以(∁U M )∩N ＝[－1,1)．故选C.二、非选择题9．[2018·江苏卷]已知集合A ＝{0,1,2,8}，B ＝{－1,1,6,8}，那么A ∩B ＝________.答案：{1,8}解析：A ∩B ＝{0,1,2,8}∩{－1,1,6,8}＝{1,8}．10．[2019·南昌模拟]已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x ＋y ∈A }，则集合B 的子集的个数为________．答案：8解析：∵集合A ＝{1,2,3}，集合B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x ＋y ∈A }，∴B ＝{(1,1)，(1,2)，(2,1)}，∴集合B 有3个元素，∴集合B 的子集个数为23＝8.11．[2019·石家庄质检]已知集合A ＝{x |－2<x <4}，B ＝{x |y ＝lg(x －2)}，则A ∩(∁R B )＝________.答案：(－2,2]解析：由题意得B ＝{x |y ＝lg(x －2)}＝(2，＋∞)，∴∁R B ＝(－∞，2]，∴A ∩(∁R B )＝(－2,2]．12．[2019·辽宁省五校联考]已知集合P ＝{x |x 2－2x －8>0}，Q ＝{x |x ≥a }，P ∪Q ＝R ，则a 的取值范围是________．答案：(－∞，－2]解析：集合P＝{x|x2－2x－8>0}＝{x|x<－2或x>4}，Q＝{x|x≥a}，若P∪Q＝R，则a≤－2，即a的取值范围是(－∞，－2]．课时测评①一、选择题1．[2018·全国卷Ⅱ]已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为()A．9 B．8C．5 D．4答案：A解析：将满足x2＋y2≤3的整数x，y全部列举出来，即(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，共有9个．故选A.2．[2019·湖南省名校联考]已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－3x≥0}，B＝{x|1<x≤3}，则如图所示的阴影部分表示的集合为()A ．[0,1)B ．(0,3]C ．(0,1]D ．[1,3]答案：C解析：因为A ＝{x |x 2－3x ≥0}＝{x |x ≤0或x ≥3}，B ＝{x |1<x ≤3}，所以A ∪B ＝{x |x >1或x ≤0}，所以图中阴影部分表示的集合为∁U (A ∪B )＝(0,1]，故选C.3．设集合A ＝{x |－3≤x ≤3，x ∈Z }，B ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈A }，则集合B 中元素的个数是( )A ．3B ．4C ．5D ．无数个答案：B解析：∵A ＝{x |－3≤x ≤3，x ∈Z }，∴A ＝{－3，－2，－1,0,1,2,3}，∵B ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈A }，∴B ＝{1,2,5,10}，故集合B 中元素的个数是4，选B.4．[2019·四川广元第三次高考适应性统考(三诊)]已知集合A ＝{x |x 2－4x ＜0}，B ＝{x |x ＜a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,4]B ．(－∞，4)C ．[4，＋∞)D ．(4，＋∞)答案：C解析：由已知可得A ＝{x |0＜x ＜4}．若A ⊆B ，则a ≥4.故选C.5．[2019·贵州遵义南白中学联考]已知集合A ＝{x |x 2＋x －2＜0}，B ＝{x |log 12x ＞1}，则A ∩B ＝( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B ．(0,1) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 答案：A解析：由题意，得A ＝{x |－2＜x ＜1}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 0＜x ＜12，所以A ∩B ＝⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫0＜x ＜12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.故选A.6．[2019·河北唐山模拟]已知集合A ＝{x ∈N |x <3}，B ＝{x |x ＝a －b ，a ∈A ，b ∈A }，则A ∩B ＝( )A ．{1,2}B ．{－2，－1,1,2}C ．{1}D ．{0,1,2}答案：D解析：A ＝{x ∈N |x <3}＝{0,1,2}，B ＝{x |x ＝a －b ，a ∈A ，b ∈A }．由题意知，当a ＝0，b ＝0时，x ＝a －b ＝0；当a ＝0，b ＝1时，x ＝a －b ＝－1；当a ＝0，b ＝2时，x ＝a －b ＝－2；当a ＝1，b ＝0时，x ＝a －b ＝1；当a ＝1，b ＝1时，x ＝a －b ＝0；当a ＝1，b ＝2时，x ＝a －b ＝－1；当a ＝2，b ＝0时，x ＝a －b ＝2；当a ＝2，b ＝1时，x ＝a －b ＝1；当a ＝2，b ＝2时，x ＝a －b ＝0，根据集合中元素的互异性，B ＝{－2，－1,0,1,2}，∴A ∩B ＝{0,1,2}．故选D.7．[2019·浙江教育绿色评价联盟模拟]已知集合P ＝{x ∈R |－2<x ≤3}，Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R ⎪⎪⎪⎪ 1＋x x －3≤0，则( )A ．P ∩Q ＝{x ∈R |－1<x <3}B ．P ∪Q ＝{x ∈R |－2<x <3}C ．P ∩Q ＝{x ∈R |－1≤x ≤3}D ．P ∪Q ＝{x ∈R |－2<x ≤3}答案：D解析：由1＋x x －3≤0，得(1＋x )(x －3)≤0且x ≠3，解得－1≤x <3，故P ∩Q ＝{x ∈R |－1≤x <3}，P ∪Q ＝{x ∈R |－2<x ≤3}．故选D.8．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－2x ≤0}，B ＝{y |y ＝sin x ，x ∈R }，则图中阴影部分表示的集合为( )A ．[－1,2]B ．[－1,0)∪(1,2]C ．[0,1]D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)答案：B解析：由题意可知阴影部分对应的集合为[∁U (A ∩B )]∩(A ∪B )，A ＝{x |x 2－2x ≤0}＝{x |0≤x ≤2}＝[0,2]，B ＝{y |y ＝sin x ，x ∈R }＝{y |－1≤y ≤1}＝[－1,1]，∴A ∩B ＝[0,1]，A ∪B ＝[－1,2]，∴[∁U (A ∩B )]∩(A ∪B )＝[－1,0)∪(1,2]，故选B.二、非选择题9．[2019·无锡五校联考(一)]已知集合A ＝{x |(x －1)(x －a )≥0}，B ＝{x |x ≥a －1}，若A ∪B ＝R ，则实数a 的最大值为________．答案：2解析：当a >1时，A ＝(－∞，1]∪[a ，＋∞)，B ＝[a －1，＋∞)，若A ∪B ＝R ，则a －1≤1，∴1<a ≤2；当a ＝1时，易得A ＝R ，此时A ∪B ＝R ；当a <1时，A ＝(－∞，a ]∪[1，＋∞)，B ＝[a －1，＋∞)，若A ∪B ＝R ，则a －1≤a ，显然成立，∴a <1.综上，实数a 的取值范围是(－∞，2]，则实数a 的最大值为2.10．[2019·内蒙古呼和浩特质量普查调研]已知集合A ＝{x |0<x <2}，集合B ＝{x |－1<x <1}，集合C ＝{x |mx ＋1>0}，若A ∪B ⊆C ，则实数m 的取值范围是________．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1 解析：由A ＝{x |0<x <2}，B ＝{x |－1<x <1}，得A ∪B ＝{x |－1<x <2}，∵集合C ＝{x |mx ＋1>0}，A ∪B ⊆C ，①当m <0时，x <－1m ，∴－1m ≥2，∴m ≥－12，∴－12≤m <0；②当m ＝0时，成立；③当m >0时，x >－1m ，∴－1m ≤－1，∴m ≤1，∴0<m ≤1，综上所述，－12≤m≤1.11．[2019·江西玉山一中月考(二)]已知集合A＝{x|3≤3x≤27}，B＝{x|log2x>1}．(1)分别求A∩B，(∁R B)∪A；(2)已知集合C＝{x|1<x<a}，若C⊆A，求实数a的取值范围．解析：(1)∵3≤3x≤27，即31≤3x≤33，∴1≤x≤3，∴A＝{x|1≤x≤3}．∵log2x>1，即log2x>log22，∴x>2，∴B＝{x|x>2}．∴A∩B＝{x|2<x≤3}．∵∁R B＝{x|x≤2}，∴(∁R B)∪A＝{x|x≤3}．(2)由(1)知A＝{x|1≤x≤3}，C⊆A.当C为空集时，满足C⊆A，a≤1；当C为非空集合时，可得1<a≤3.综上所述，a的取值范围为(－∞，3]．实数a的取值范围为(－∞，3]．。
2020版高考数学(文)全程训练计划 小题狂练 (12)
天天练12 三角函数的图象与变换小题狂练⑫一、选择题1．[2019·陕西质检]为了得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，只需把函数y ＝sin2x 的图象( )A ．向左平移π3个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向右平移π6个单位长度 答案：D解析：函数y ＝sin2x 的图象向右平移π6个单位长度，可得到函数y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象．故选D.2．[2019·四川绵阳二诊]如图是函数f (x )＝cos(πx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<π2的部分图象，则f (3x 0)＝( )A.12 B ．－12C.32 D ．－32 答案：D解析：∵f (x )＝cos(πx ＋φ)的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，∴32＝cos φ，结合0<φ<π2，可得φ＝π6.∴由图象可得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 0＋π6＝32，πx 0＋π6＝2π－π6，解得x 0＝53.∴f (3x 0)＝f (5)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π＋π6＝－32.故选D.3．[2019·石家庄一检]若ω>0，函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的图象向右平移π3个单位长度后与函数y ＝sin ωx 的图象重合，则ω的最小值为( )A.112B.52C.12D.32 答案：B解析：函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的图象向右平移π3个单位长度后，所得函数图象对应的解析式为y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －ωπ3＋π3，其图象与函数y ＝sin ωx ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2＋2k π，k ∈Z 的图象重合，∴－π2＋2k π＝－ωπ3＋π3，k ∈Z ，∴ω＝－6k ＋52，k ∈Z ，又ω>0，∴ω的最小值为52，故选B.4．[2019·安徽合肥第一次教学质量检测]将函数y ＝cos x －sin x 的图象先向右平移φ(φ>0)个单位长度，再将所得的图象上每个点的横坐标变为原来的a 倍，得到函数y ＝cos2x ＋sin2x 的图象，则φ，a 的可能取值为( )A ．φ＝π2，a ＝2B ．φ＝3π8，a ＝2C ．φ＝3π8，a ＝12D ．φ＝π2，a ＝12 答案：D解析：y ＝cos x －sin x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4.∵将函数y ＝cos x －sin x 的图象先向右平移φ(φ>0)个单位长度，所得图象对应的函数解析式为y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －φ＋π4，再将所得的图象上每个点的横坐标变为原来的a 倍，得到函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x －φ＋π4的图象，即y ＝cos2x＋sin2x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的图象，∴当a ＝12，φ＝π2时两个函数解析式相同．故选D.5．[2019·福建莆田二十四中模拟]已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG 是边长为2的等边三角形，则f (1)的值为( )A ．－32B ．－22 C.3 D ．－ 3 答案：D解析：∵f (x )＝A cos(ωx ＋φ)为奇函数，∴f (0)＝A cos φ＝0.∵A >0,0<φ<π，∴φ＝π2，∴f (x )＝A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π2＝－A sin ωx . ∵△EFG 是边长为2的等边三角形，∴y E ＝3＝A .又∵函数f (x )的最小正周期T ＝2FG ＝4，∴ω＝2π4＝π2.∴f (x )＝－3sin π2x .∴f (1)＝－ 3.故选D.6．[2019·贵阳监测]函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)ω>0，－π2<φ<π2的部分图象如图所示，则φ的值为( )A ．－π6 B.π6 C ．－π3 D.π3 答案：D解析：根据图象可知，函数f (x )的最小正周期T ＝2πω＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π6＝π，则ω＝2，当x ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋π3＝π12时，函数取得最大值，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＋φ＝1⇒π6＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ⇒φ＝π3＋2k π，k ∈Z ，又－π2<φ<π2，所以φ＝π3.7．[2019·合肥模拟]已知f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的最小正周期为π，若其图象向左平移π3个单位长度后关于y 轴对称，则( )A ．ω＝2，φ＝π3B ．ω＝2，φ＝π6C ．ω＝4，φ＝π6D ．ω＝2，ω＝－π6 答案：D解析：由已知条件得，π＝2πω，因而ω＝2，所以f (x )＝sin(2x＋φ)，将f (x )的图象向左平移π3个单位长度后得到函数g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＋φ的图象，由题意知g (x )为偶函数，则2π3＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，即φ＝k π－π6，k ∈Z ，又|φ|<π2，所以φ＝－π6.8．[2019·安徽蚌埠教学质量检测]已知ω>0，顺次连接函数y ＝sin ωx 与y ＝cos ωx 的任意三个相邻的交点都构成一个等边三角形，则ω＝( )A ．π B.6π2 C.4π3 D.3π 答案：B解析：当正弦值等于余弦值时，正弦值为±22.由题意，得等边三角形的高为2，边长为2×33×2＝263，且边长为函数y＝sin ωx 的最小正周期，故2πω＝263，解得ω＝6π2.二、非选择题9．如果将函数f (x )＝sin(3x ＋φ)(－π<φ<0)的图象向左平移π12个单位长度得到函数g (x )的图象，且g (x )为奇函数，则φ＝________.答案：－π4解析：将函数f (x )＝sin(3x ＋φ)(－π<φ<0)的图象向左平移π12个单位长度得到函数g (x )＝sin3x ＋π4＋φ(－π<φ<0)的图象，因为g (x )为奇函数，所以π4＋φ＝k π(k ∈Z )，又－π<φ<0，所以φ＝－π4.10．已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为π3的交点，则φ＝________.答案：π6解析：两图象交点的横坐标为π3，有等式cos π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ成立，由φ的条件可知φ＝π6.11．[2019·保定模拟]已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)和g (x )＝3cos(2x ＋φ)的图象的对称中心完全相同，若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (x )的取值范围是________．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3解析：由两个三角函数的图象的对称中心完全相同，可知两函数的周期相同，故ω＝2，所以f (x )＝3sin2x －π6，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－π6≤2x －π6≤5π6，所以－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1，故f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3.12．[2019·江苏盐城模拟]设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中A ，ω，φ为常数且A >0，ω>0，－π2<φ<π2的部分图象如图所示．若f (α)＝65⎝ ⎛⎭⎪⎫0<α<π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6的值为________．答案：4＋335解析：由函数f (x )的图象知，A ＝2，最小正周期T ＝2×⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝2π，∴ω＝2πT ＝1，∴f (x )＝2sin(x ＋φ)． 又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝2，且－π2<φ<π2，∴φ＝－π6， ∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6. 由f (α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝65，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝35.又∵0<α<π2，∴－π6<α－π6<π3，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝45. ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝2sin α＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋π6＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫35×32＋45×12＝4＋335.课时测评⑫一、选择题 1．将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移π6个单位长度，则所得函数图象的解析式为( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－5π24B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－5π12D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －7π12答案：B解析：函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的图象经伸长变换得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的图象，再将所得图象作平移变换得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3的图象，故选B.2．将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π6的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移π4个单位长度，所得函数图象的一条对称轴是( )A ．x ＝π6B ．x ＝π3C ．x ＝5π12D ．x ＝－5π12 答案：D解析：将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π6的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象，再向左平移π4个单位长度，得函数y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，结合选项知，只有D 选项代入有y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π12＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝－1，因此x ＝－5π12是所得函数图象的一条对称轴．故选D. 3．[2019·福建厦门模拟]函数y ＝2cos x (0<x <π)和函数y ＝3tan x 的图象相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )A.3π2B.3π3C.2π2D.2π3 答案：A 解析：由2cos x ＝3tan x ，x ∈(0，π)，得2cos 2x ＝3sin x ，即2sin 2x＋3sin x －2＝0.解得sin x ＝12(sin x ＝－2舍去)．∵x ∈(0，π)，∴x ＝π6或x ＝5π6，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，－3，∴S △OAB ＝32π.故选A.4．[2019·昆明调研]已知函数f (x )＝sin ωx 的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0对称，且f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上为增函数，则ω＝( )A.32 B ．3 C.92 D ．6 答案：A解析：因为函数f (x )＝sin ωx 的图象关于⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0对称，所以2ω3π＝k π(k ∈Z )，即ω＝32k (k ∈Z ) ①，又函数f (x )＝sin ωx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上是增函数，所以π4≤π2ω且ω>0，所以0<ω≤2 ②由①②得ω＝32，故选A.5．[2019·河北张家口模拟]已知ω>0，在函数y ＝4sin ωx 与y ＝4cos ωx 的图象的交点中，距离最近的两个交点的距离为6，则ω的值为( )A.π6B.π4C.π3D.π2 答案：D解析：∵函数y ＝4sin ωx 与y ＝4cos ωx 的图象有交点，∴根据三角函数线可得出交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫k 1π＋π4ω，22或⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2π＋5π4ω，－22，k 1，k 2都为整数．∵距离最短的两个交点的距离为6，∴这两个交点在同一周期内，∴36＝1ω2⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4－π42＋(－22－22)2，解得ω＝π2.6．[2019·唐山摸底考试]把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象向左平移π6个单位长度后，所得函数图象的一条对称轴的方程为( )A ．x ＝0B ．x ＝π2C ．x ＝π6D ．x ＝－π12 答案：C解析：解法一 将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象向左平移π6个单位长度后得到y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象，令2x ＋π6＝π2＋k π(k ∈Z )，得x ＝π6＋k π2(k ∈Z )，令k ＝0，则x ＝π6，选择C.解法二 将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象向左平移π6个单位长度后得到y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象，然后把选项代入检验，易知x ＝π6符合题意，选择C.7．[2019·河南八市重点高中第三次测评]函数f (x )＝4x －3tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的图象大致为( )答案：D解析：因为函数f (x )＝4x －3tan x 是奇函数，排除B 、C ；通过特殊值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝π－3>0，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝4π3－33＝4π－933<0，故选D.8.[2019·河北武邑中学第五次调研]已知函数f (x )＝A sin π3x ＋φ⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，0<φ<π2，y ＝f (x )的部分图象如图所示，P ，Q 分别为该图象的最高点和最低点，作PR ⊥x 轴于点R ，点R 的坐标为(1,0)．若∠PRQ ＝2π3，则f (0)＝( )A.12B.32C.34D.24 答案：B 解析：过点Q 作QH ⊥x 轴于点H .设P (1，A )，Q (a ，－A )．由函数图象得2|a －1|＝2ππ3＝6，即|a －1|＝3.因为∠PRQ ＝2π3，所以∠HRQ ＝π6，则tan ∠QRH ＝A 3＝33，解得A ＝ 3.又P (1，3)是图象的最高点，所以π3×1＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z .又因为0<φ<π2，所以φ＝π6，所以f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋π6，f (0)＝3sin π6＝32.故选B. 二、非选择题9．已知函数y ＝5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k ＋13πx －π6(其中k ∈N )，对任意实数a ，在区间[a ，a ＋3]上要使函数值54出现不少于4次且不多于8次，则k 的值为________．答案：2或3解析：令y ＝5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2k ＋13πx －π6＝54，得cos 2k ＋13πx －π6＝14.因为函数y ＝cos x 在每个周期内出现函数值14的有2次，而区间[a ，a ＋3]的长度为3，所以为了使长度为3的区间内出现函数值14不少于4次且不多于8次，必须使长度3不小于2个周期长度且不大于4个周期长度，即2×2π2k ＋13π≤3且4×2π2k ＋13π≥3，解得32≤k ≤72，又k ∈N ，故k 的值为2或3.10．[2019·河北邯郸教学质量检测]已知函数f (x )＝－4cos (ωx ＋φ)e |x |(ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，则ωφ＝________.答案：2 解析：∵f (0)＝0，∴cos φ＝0.∵0<φ<π.∴φ＝π2.∵2πω＝2，∴ω＝π.∴ωφ＝2.11．[2019·安徽示范中学模拟]已知a ＝(sin x ，cos x )，b ＝(sin x ，sin x )，f (x )＝2a ·b .(1)求f (x )的最小正周期和最大值；(2)若g (x )＝f (x )，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，画出函数y ＝g (x )的图象，讨论y ＝g (x )－m (m ∈R )的零点个数．解析：(1)∵f (x )＝2a ·b ＝2sin 2x ＋2sin x cos x ＝sin2x －cos2x ＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋1， ∴函数f (x )的最小正周期T ＝π，最大值为f (x )max ＝2＋1.(2)g (x )＝f (x )，x ∈⎢⎡⎥⎤－π，π，利用“五点法”列表为：描点作图如下．函数y＝g(x)－m(m∈R)的零点个数，即函数y＝g(x)的图象与直线y＝m的交点个数．由图可知，当m<1－2或m>1＋2时，无零点；当m＝1－2或m＝1＋2时，有1个零点；当1－2<m<2或2<m<1＋2时，有2个零点；当m＝2时，有3个零点．。
2020版高考数学(文)全程训练计划 小题狂练 (21)
天天练21等比数列小题狂练○21一、选择题1．[2019·四川成都南充高中模拟]已知等比数列的前3项为x,3x＋3,6x＋6，则其第4项的值为()A．－24 B．－24或0C．12或0 D．24答案：A解析：由x,3x＋3,6x＋6成等比数列，得(3x＋3)2＝x(6x＋6)．解得x1＝－3或x2＝－1(此时a2＝a3＝0，不合题意，舍去)．故这个等比数列的首项为－3，公比为2，所以a n＝－3·2n－1，所以数列的第4项为a4＝－24.故选A.2．[2019·河北保定一中模拟]若项数为2m(m∈N*)的等比数列的中间两项正好是方程x2＋px＋q＝0的两个根，则此数列的各项积是()A．p m B．p2mC．q m D．q2m答案：C解析：由题意得a m a m＋1＝q，所以由等比数列的性质得此数列各项积为(a m a m＋1)m＝q m.3．设{a n}是由正数组成的等比数列，S n为其前n项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5等于()A.152 B.314C.334 D.172答案：B解析：显然公比q≠1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ·a 1q 3＝1，a 1(1－q 3)1－q＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，q ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，q ＝－13(舍去)，∴S 5＝a 1(1－q 5)1－q ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1251－12＝314. 4．[2019·福建闽侯模拟]已知数列{a n }为等比数列，且a 1a 13＋2a 27＝5π，则cos(a 2a 12)的值为( )A ．－12 B.22C.32D.12 答案：D解析：∵a 1a 13＋2a 27＝5π，∴a 2a 12＋2a 2a 12＝5π，∴a 2a 12＝5π3，∴cos(a 2a 12)＝cos 5π3＝12.故选D.5．[2019·合肥模拟]已知各项均为正数的等比数列{a n }满足a 1a 5＝16，a 2＝2，则公比q ＝( )A ．4 B.52C ．2 D.12 答案：C解析：由题意，得⎩⎨⎧ a 1·a 1q 4＝16，a 1q ＝2，解得⎩⎨⎧a 1＝1，q ＝2或⎩⎨⎧a 1＝－1，q ＝－2(舍去)，故选C. 6．[2019·新余调研]已知等比数列{a n }中，a 2＝2，a 6＝8，则a 3a 4a 5＝( )A ．±64B ．64C ．32D ．16 答案：B解析：由等比数列的性质可知，a 2a 6＝a 24＝16，而a 2，a 4，a 6同号，故a 4＝4，所以a 3a 4a 5＝a 34＝64.故选B.7．[2019·辽宁五校联考]各项为正数的等比数列{a n }中，a 4与a 14的等比中项为22，则log 2a 7＋log 2a 11的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案：C解析：由题意得a 4a 14＝(22)2＝8，由等比数列的性质，得a 4a 14＝a 7a 11＝8，∴log 2a 7＋log 2a 11＝log 2(a 7a 11)＝log 28＝3，故选C.8．已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2n ＝6，S 3n ＝14，则S 4n －S n 的值为( )A ．18B ．20C ．24D ．28 答案：D解析：由等比数列的性质知，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，S 4n －S 3n构成等比数列，设S n ＝x ，则x,6－x,14－6构成等比数列，得到(6－x )2＝8x ，即x 2－20x ＋36＝0，解得x ＝2或x ＝18(舍去)．从而S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，S 4n －S 3n 是以2为首项，S 2n －S n S n＝6－22＝2为公比的等比数列，则S 4n －S 3n ＝24＝16，故S 4n ＝30，S 4n －S n ＝30－2＝28，选D.二、非选择题9．[2019·石家庄模拟]在等比数列{a n }中，若a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝158，a 8a 9＝－98，则1a 7＋1a 8＋1a 9＋1a 10＝________.答案：－53解析：因为1a 7＋1a 10＝a 7＋a 10a 7a 10，1a 8＋1a 9＝a 8＋a 9a 8a 9，由等比数列的性质知a 7a 10＝a 8a 9，所以1a 7＋1a 8＋1a 9＋1a 10＝a 7＋a 8＋a 9＋a 10a 8a 9＝158÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－98＝－53. 10．已知数列{c n }，其中c n ＝2n ＋3n ，且数列{c n ＋1－pc n }为等比数列，则常数p ＝________.答案：2或3解析：由数列{c n ＋1－pc n }为等比数列，得(c 3－pc 2)2＝(c 2－pc 1)(c 4－pc 3)，即(35－13p )2＝(13－5p )·(97－35p )，解得p ＝2或p ＝3.11．在等比数列{a n }中，公比q >1，a 1＋a m ＝17，a 2a m －1＝16，且前m 项和S m ＝31，则项数m ＝________.答案：5解析：由等比数列的性质知a 1a m ＝a 2a m －1＝16，又a 1＋a m ＝17，q >1，所以a 1＝1，a m ＝16，S m ＝a 1(1－q m )1－q ＝a 1－a m q 1－q ＝1－16q1－q ＝31，解得q ＝2，a m ＝a 1q m －1＝2m －1＝16，所以m ＝5. 12．[2019·内蒙古包钢一中调研]在83和272之间插入三个正数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为________．答案：216解析：在83和272之间插入三个正数，使这五个数成等比数列，设插入的三个正数为a ，b ，c ，则b 2＝ac ＝83×272＝36，b ＝6，从而abc ＝b 3＝63＝216.课时测评○21一、选择题1．[2019·广州综合测试]已知数列{a n }为等比数列，若a 4＋a 6＝10，则a 7(a 1＋2a 3)＋a 3a 9的值为( )A ．10B ．20C ．100D ．200 答案：C解析：a 7(a 1＋2a 3)＋a 3a 9＝a 7a 1＋2a 7a 3＋a 3a 9＝a 24＋2a 4a 6＋a 26＝(a 4＋a 6)2＝102＝100.2．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝4n ＋b (b 是常数，n ∈N *)，若这个数列是等比数列，则b ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．4 答案：A解析：显然数列{a n }的公比不等于1， 所以S n ＝a 1·(q n －1)q －1＝a 1q －1·q n －a 1q －1＝4n ＋b ，∴b ＝－1.3．[2019·湖北重点中学联考]《九章算术》中：今有蒲生一日，长三尺．莞生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等．意思是蒲第一天长3尺，以后逐日减半；莞第一天长1尺，以后逐日增加一倍，则( )天后，蒲、莞长度相等？参考数据：lg2≈0.301 0，lg3≈0.477 1，结果精确到0.1( )A ．2.2B ．2.4C ．2.6D ．2.8 答案：C 解析：设蒲每天的长度构成等比数列{a n }，其首项a 1＝3，公比为12，其前n 项和为A n .设莞每天的长度构成等比数列{b n }，其首项b 1＝1，公比为2，其前n 项和为B n .则A n ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12，B n ＝1－2n1－2.设经过x 天后，蒲、莞长度相等，则3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12x 1－12＝1－2x 1－2，化简得2x ＋62x ＝7，计算得出2x ＝6,2x＝1(舍去)．所以x ＝lg6lg2＝1＋lg3lg2≈2.6.则估计2.6天后蒲、莞长度相等．故选C.4．[2019·重庆月考]在等比数列{a n }中，a 1和a 2 018是方程2x 2＋x －2 018＝0的两个根，则a 4·a 2 015＝( )A ．－2 018B ．2 018C ．1 009D ．－1 009 答案：D解析：由题意得a 1和a 2 018是方程2x 2＋x －2 018＝0的两个根，根据根与系数的关系得a 1·a 2 018＝－1 009.在等比数列{a n }中，a 4·a 2 015＝a 1·a 2 018＝－1 009.故选D.5．[2019·黑龙江齐齐哈尔模拟]已知S n 是公比为4的等比数列{a n }的前n 项和，若ma n －3S n ＝8，则m ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6 答案：B解析：∵ma n －3S n ＝8，∴ma n ＋1－3S n ＋1＝8，两式相减得ma n＋1－ma n －3a n ＋1＝0，(m －3)a n ＋1＝ma n .由条件知m ≠3，则a n ＋1＝m m －3a n .由已知可得mm －3＝4，∴m ＝4.故选B.6．在数列{a n }中，“a n ＝2a n －1，n ＝2,3,4，…”是“{a n }是公比为2的等比数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：B解析：当a n ＝0时，也有a n ＝2a n －1，n ＝2,3,4，…，但{a n }不是等比数列，因此充分性不成立；当{a n }是公比为2的等比数列时，有a na n －1＝2，n ＝2,3,4，…，即a n ＝2a n －1，n ＝2,3,4，…，所以必要性成立．故选B.7．已知等比数列{a n }共有10项，其中奇数项之积为2，偶数项之积为64，则其公比q 为( )A.32 B. 2 C ．2 D ．2 2 答案：C 解析：由奇数项之积为2，偶数项之积为64，得a 1·a 3·a 5·a 7·a 9＝2，a 2·a 4·a 6·a 8·a 10＝64，则q 5＝a 2·a 4·a 6·a 8·a 10a 1·a 3·a 5·a 7·a 9＝32，则q ＝2，故选C.8．[2019·贵阳模拟]已知数列{a n }满足a 1＝1，a n －1＝3a n (n ≥2，n ∈N *)，其前n 项和为S n ，则满足S n ≥12181的n 的最小值为( )A ．6B ．5C ．8D ．7 答案：B解析：由a n －1＝3a n (n ≥2)可得a n a n －1＝13(n ≥2)，可得数列{a n }是首项为a 1＝1，公比为q ＝13的等比数列，所以S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 1－13＝32⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n .由S n ≥12181可得32⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ≥12181，1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ≥242243，得n ≥5(n ∈N *)，故选B.二、非选择题9．[2019·衡水模拟]已知在数列{a n }中，a n ＝－4n ＋5，等比数列{b n }的公比q 满足q ＝a n －a n －1(n ≥2)，且b 1＝a 2，则|b 1|＋|b 2|＋…＋|b n |＝________.答案：4n －1解析：由题意知，q ＝a 2－a 1＝－4，b 1＝a 2＝－3，所以|b n |＝|－3×(－4)n －1|＝3·4n －1，所以|b 1|＋|b 2|＋…＋|b n |＝3＋3×4＋3×42＋…＋3×4n －1＝3×1－4n1－4＝4n －1.10．[2019·郑州一测]已知数列{a n }满足log 2a n ＋1＝1＋log 2a n (n ∈N *)，且a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10＝1，则log 2(a 101＋a 102＋…＋a 110)＝________.答案：100解析：因为log 2a n ＋1＝1＋log 2a n ，可得log 2a n ＋1＝log 22a n ，所以a n ＋1＝2a n ，所以数列{a n }是以a 1为首项，2为公比的等比数列，又a 1＋a 2＋…＋a 10＝1，所以a 101＋a 102＋…＋a 110＝(a 1＋a 2＋…＋a 10)×2100＝2100，所以log 2(a 101＋a 102＋…＋a 110)＝log 22100＝100. 11．[2019·广东深圳模拟]设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2(n ∈N *)．(1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明：数列{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．解析：(1)证明 由a 1＝1及S n ＋1＝4a n ＋2，有a 1＋a 2＝4a 1＋2，则a 2＝3a 1＋2＝5，∴b 1＝a 2－2a 1＝3.∵S n ＋1＝4a n ＋2，n ∈N *，① ∴S n ＝4a n －1＋2，n ≥2，n ∈N *，② ①－②得a n ＋1＝4a n －4a n －1， ∴a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1)． ∵b n ＝a n ＋1－2a n ，∴b n ＝2b n －1，n ≥2.∴数列{b n }是首项为3，公比为2的等比数列．(2)由(1)可得b n ＝3·2n －1，∴a n ＋1－2a n ＝3·2n －1，∴a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝34， 设c n ＝a n 2n ，则c n ＋1－c n ＝34，∴c 1＝a 12＝12.∴数列{c n }是以12为首项，34为公差的等差数列．∴c n ＝34n －14，∴a n ＝2n ·c n ＝(3n －1)·2n －2.。
2020届高考数学二轮复习疯狂专练25模拟训练五理
模拟训练五疯狂专练25一、选择题22}x?S?{x|TS?0}?x?12?T?{x|x（）．集合1，，则(2,3][4,??)[3,??)(2,4]． C B．A．．D?x?[1,??)sinx?cosx?2?pp为（），为：，则2．若命题)?[1,???x2x?cossinx?sinx?cosx?2,1]???x?(，， B．A．000?x?(??,1]sinx?cosx?22x?sinx?cos)[1,???x?，C．，．D000????6)?0.6826PP(2?(?6)?N(4,4)（）服从正态分布，则 3．设随机变量，且0.15880.15870.15860.1585． B ．D CA．．23y?f(x)(1,f(1))x?f(?x)?x处的切线方程为（）．若函数，则曲线在点4y??5x?5y??x?1y?5x?5y?x?1 B ．DA．C．．△ABCCA?CBCA?CB?1C90?CD ABD得中，，绕点，为5．在按逆时针方向旋转的中点，将向量CMCMCA上的投影为（），则向量向量在向量11?1?1． C．A． B．D2222yx C541C:??的一个焦点到一条渐近线的距离为（）的焦距为，则6．若双曲线2m42191942．C． DA． B．32，则这个四棱锥外接球的表面积为（）．已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为7108π72π36π12π．D ．C ．B ．A．x?1xa?,?x)f(R a是8．若函数的取值范围是（）上的减函数，则实数?1x?x?1,(2?3a)?23223)((,],??(,1),1)[ C． B．DA．．334341?|z|)R,y?z?(x?1)?yi(xx?y的概率为（），若，则9．已知复数111?1111???? D C B．A．．．π2π4242ππ2．某校在高二年级开设选修课，选课结束后，有四名同学要求改选物理，现物理选修课开有三个班，102若每个班至多可再接收名同学，那么不同的接收方案共有（）18367254种种 D种 B．种C．A．．ππ11????)??))???tan(tan(tan(?，11．已知，则的值为（）24432 221．．A ．DB． C2?3x)x?fxf((x)lnx)f(x)(2,??3?(e)fx?(e)f，，则不等式上的函数，且是定义在区间的．已知12 解集是（）3(ln2,3)??(2,??))(3,,3)(e DB．C ．A．．二、填空题(0,4)(2,0)BAABO△O13．已知点，外接圆的标准方程是．，为坐标原点，则9?7aa{a}?5?a?qq 是等差数列，若．，构成公比为的等比数列，则，14．数列9n572x?f(1)g(fx)(x)x?x?g()?2)(fx 15为偶函数，且为奇函数，．已知，则．?42,x4???2x2???)??2,[??x()f?f(xx)d，则．16．若定义在上的函数?226?xx8,?x???2?与解析答案一、选择题D．【答案】1T??4}S(2,4]?{x|?3?xT．，故【解析】由已知得C2．【答案】2x?sinx?cos)?p:?x?[1,??，．【解析】000B．【答案】3?(4,4)N服从正态分布，【解析】因为11???6)??0.6826P(2?P(4???6)?0.3413，则22???6)?0.5??0.3413?0.1587P(??6)?0.5P(4．所以4．【答案】B32322?x23(x)??xf(xf(?)?x?xfx)??x?x?【解析】，，，∴∵?1?0f?(1)?f(1)，∵，1???xyfy?(x)(1,f(1))处的切线方程为在点∴曲线．C【答案】5．CBCA y x为轴建立平面直角坐标系，，【解析】如图，以，1111)CM)?(?,?CD(,(1,0)CA?则，，，得22221?1CMCA?2CACM??? C所以向量在向量上的投影为，故选．21|CA|6．【答案】B22yx451C:??，【解析】因为双曲线的焦距为24m2216?4?20mm?所以，即，x2y?5,0)(2，其中一条渐近线方程为，所以其中一个焦点坐标为|?d?4．所以焦点到渐近线的距离为5C．【答案】7OABC中，，则在直角三角形【解析】如图，设正四棱锥底面的中心为AC?2?AB?2?32?6AO?CO?3，，∴2222PAO?3??(32)?POPA3?AO，在直角三角形中，3，∴正四棱锥的各个顶点到它的底面的中心的距离都为r?3，∴正四棱锥外接球的球心在它的底面的中心,即球的半径22π36π?3?4S?πr?4．∴外接球的表面积，故选CC．【答案】8R上为减函数，需满足两个条件：【解析】要使此分段函数在每一段为减函数，临界点处左端图象应在右端图象上方．1?a0??32??a?0?2?3a．所以列出不等式有，解此不等式组得?43?1??3a)?a(2?A．【答案】922(1,0)i?yz?(x?1)1?1)?y?(||z?1?x为圆心，【解析】，这表示以，1半径为的圆及其内部，11π?1142??如下图所示，即可知所求概率为．π24π．B10．【答案】3236CA?12名，其余两个班各接收；【解析】分两种情况，（1）其中一个班接收名，共有34122ACC23418?2名，共有）其中一个班不接收，其余两个班各接收，（2254种．故不同的接收方案共有B．【答案】111π1????tan()?tan()???，【解析】根据题意，，234ππ????)??(???，∵4411π???)(??)?tan(tan(??)ππ234?????(tan[()]???1)?tan(??)?所以．1π144???)?(tan(??)1?tan(1??) 342D12．【答案】)(xf??2)x?(x)lnx?f(x)(xf0?f?(x)lnx，所以【解析】∵，x)f(x??(xf)lnx)xf(x??x()g0??g(x)，则设，2xlnxln))(2,??g(x是∴上的增函数，3xx)e)f(f(e)f(e3x3ee?3x?1g(e)??1??，∴，∴，∴，∵3x exlneln x2e?32?x?ln2?xln．，∴又∵，∴二、填空题225?2)??1)?(y(x．【答案】13(1,2)ABO△OA?OB AB【解析】由题知外接圆的圆心为，的中点，故1225|?|ABABO△?5?2)?(y?(x1)．，所以半径为外接圆的标准方程为21【答案】14．【解析】等差+等差=等差，依题意三项又构成等比，既是等差又是等比，所以公比为1．a??4a??6a??8；特殊值法，，，975a?7?1a?9?11a?5?，，，代入得975q?1的等比数列．∴该数列是3．【答案】154x2f(x)g(x)f(x)?g(x)?2?x，∵为奇函数，为偶函数，且有【解析】?x2)x()?2??f(?x)?g(?x，∴x?x1?13?222?2?2x x?x()?2?f(x)?g??f(1)?)f(x即，于是得到．，∴2424?2π．【答案】1632424422?????x8)d6xx?(x??d?x?(fx)dxf(x)d?(fx)dx4?x【解析】2??2222?11423242π|π2(38)??????x?x?x．2233。
2020版高考数学(文)全程训练计划 小题狂练 (8)
天天练8 导数的概念与几何意义、导数的运算小题狂练⑧一、选择题1．[2019·重庆巴蜀中学模拟]若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内可导，且x 0∈(a ，b )，则lim h →0 f (x 0＋h )－f (x 0－h )h的值为( ) A ．f ′(x 0) B ．2f ′(x 0) C ．－2f ′(x 0) D ．0 答案：B解析：lim h →0 f (x 0＋h )－f (x 0－h )h＝lim h →02⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤f (x 0＋h )－f (x 0－h )2h ＝2lim h →0 f (x 0＋h )－f (x 0－h )2h＝2f ′(x 0)．故选B. 2．[2019·河南平顶山调研]设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0＝( )A ．e 2B ．e C.ln22 D ．ln2 答案：B解析：f ′(x )＝ln x ＋1.因为f ′(x 0)＝2，所以ln x 0＋1＝2，解得x 0＝e.故选B.3．[2019·河南濮阳第一高级中学检测(二)]已知f ′(x )是f (x )＝sin x ＋a cos x 的导函数，且f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝24，则实数a 的值为( ) A.23 B.12 C.34 D ．1 答案：B解析：由题意可得f ′(x )＝cos x －a sin x ，由f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝24，得22－22a ＝24，解得a ＝12.故选B.4．[2019·山东枣庄三中质检]已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，则f ′(1)＝( )A ．－eB ．－1C ．1D ．e 答案：B解析：由题可得f ′(x )＝2f ′(1)＋1x ，则f ′(1)＝2f ′(1)＋1，解得f ′(1)＝－1，所以选B.5．[2019·湖南长沙长郡中学模拟]等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，则f ′(0)＝( )A ．26B ．29C ．212D ．215 答案：C解析：f ′(x )＝(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)＋x [(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]′，所以f ′(0)＝a 1a 2a 3…a 8＝(a 1a 8)4＝(2×4)4＝212.故选C.6．下列函数中，导函数在(0，＋∞)上是单调递增函数的是( )A ．y ＝3ln x －xB ．y ＝e x ＋xC ．y ＝3x ＋2D ．y ＝x 3－x 2＋2x 答案：B解析：对于A ，因为y ＝3ln x －x ，所以y ′＝3x －1在(0，＋∞)上是单调递减函数；对于B ，因为y ＝e x ＋x ，所以y ′＝e x ＋1在(0，＋∞)上是单调递增函数；对于C ，因为y ＝3x ＋2，所以y ′＝3在(0，＋∞)上是常函数；对于D ，因为y ＝x 3－x 2＋2x ，所以y ′＝3x 2－2x ＋2在(0，＋∞)上不单调．故选B.7.已知函数f (x )的图象如图所示，f ′(x )是f (x )的导函数，则下列选项正确的是( )A ．0<f ′(2)<f ′(3)<f (3)－f (2)B ．0<f ′(3)<f ′(2)<f (3)－f (2)C ．0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)D ．0<f (3)－f (2)<f ′(2)<f ′(3) 答案：C解析：由题意知，(2，f (2))，(3，f (3))两点连线的斜率为f (3)－f (2)3－2＝f (3)－f (2)，而f ′(2)、f ′(3)分别表示函数f (x )的图象在点(2，f (2))，(3，f (3))处切线的斜率，由图象可知0<f ′(3)<f (3)－f (2)3－2<f ′(2)，即0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)．8．[2019·宜昌调研]已知函数f (x )＝x ln x ，则f ′(1)＋f (4)的值为( )A ．1－8ln2B ．1＋8ln2C ．8ln2－1D ．－8ln2－1 答案：B解析：因为f ′(x )＝ln x ＋1，所以f ′(1)＝0＋1＝1，所以f ′(1)＋f (4)＝1＋4ln4＝1＋8ln2.故选B. 二、非选择题9．[2018·全国卷Ⅱ]曲线y ＝2ln x 在点(1,0)处的切线方程为________．答案：y ＝2x －2解析：∵y ′＝2x ，y ′|x ＝1＝2，∴切线方程为y －0＝2(x －1)，即y ＝2x －2.∴ 切线方程为y ＝2x －2.10．[2019·广西南宁三中模拟]曲线f (x )＝x ln x 在点(1，f (1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积是________．答案：12解析：因为f ′(x )＝1＋ln x ，且f (1)＝0，f ′(1)＝1，所以切线l 的斜率k ＝1，切线方程为y ＝x －1.令x ＝0，得y ＝－1，令y ＝0，得x ＝1，∴切线l 与两坐标轴的交点坐标分别为A (0，－1)，B (1,0)，则|OA |＝1，|OB |＝1，∴S △ABO ＝12×1×1＝12.11．[2019·重庆巴蜀中学模拟]曲线f (x )＝ln x ＋12x 2＋ax 存在与直线3x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是________．答案：(－∞，1]解析：由题意，得f ′(x )＝1x ＋x ＋a ，故存在切点P (t ，f (t ))，使得1t ＋t ＋a ＝3，所以3－a ＝1t ＋t 有解．因为t >0，所以3－a ≥2(当且仅当t ＝1时取等号)，即a ≤1.12．已知曲线y ＝13x 3上一点P 2，83，则过点P 的切线方程为________．答案：3x －3y ＋2＝0或12x －3y －16＝0解析：设切点坐标为x 0，13x 30，由y ′＝13x 3′＝x 2，得y ′|x ＝x 0＝x 20，即过点P 的切线的斜率为x 20，又切线过点P 2，83，若x 0≠2，则x 20＝13x 30－83x 0－2，解得x 0＝－1或2，若x 0＝－1，所以过点P 的切线的斜率为1；若x 0＝2，则过点P 的切线的斜率为4.故所求的切线方程是y －83＝x －2或y －83＝4(x －2)， 即3x －3y ＋2＝0或12x －3y －16＝0.课时测评⑧一、选择题1．[2019·安徽蚌埠四校联考]若f ′(x 0)＝－3，则lim h →0f (x 0＋h )－f (x 0－h )h＝( ) A ．－3 B ．－6 C ．－9 D ．－12 答案：B解析：f ′(x 0)＝－3，则lim h →0 f (x 0＋h )－f (x 0－h )h ＝lim h →0 f (x 0＋h )－f (x 0)＋f (x 0)－f (x 0－h )h ＝lim h →0 f (x 0＋h )－f (x 0)h ＋lim -h →0 f (x 0－h )－f (x 0)－h＝2f ′(x 0)＝－6.故选B. 2．已知函数f (x )＝x (2 017＋ln x )，f ′(x 0)＝2 018，则x 0＝( ) A ．e 2 B ．1 C ．ln2 D ．e 答案：B解析：由题意可知f ′(x )＝2 017＋ln x ＋x ·1x ＝2 018＋ln x .由f ′(x )＝2 018，得ln x 0＝0，解得x 0＝1.3．[2019·山东潍坊中学月考(一)]已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝3xf ′(1)＋2ln x ，则f ′(1)＝( )A ．－eB ．－1C ．1D ．e 答案：B解析：∵f ′(x )＝3f ′(1)＋2x ，∴f ′(1)＝3f ′(1)＋2，解得f ′(1)＝－1.故选B.4．[2019·广州调研]已知直线y ＝kx －2与曲线y ＝x ln x 相切，则实数k 的值为( )A ．ln2B ．1C ．1－ln2D ．1＋ln2 答案：D解析：由y ＝x ln x 知y ′＝ln x ＋1，设切点为(x 0，x 0ln x 0)，则切线方程为y －x 0ln x 0＝(ln x 0＋1)·(x －x 0)，因为切线y ＝kx －2过定点(0，－2)，所以－2－x 0ln x 0＝(ln x 0＋1)(0－x 0)，解得x 0＝2，故k ＝1＋ln2，选D.5．[2018·全国卷Ⅰ]设函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ，若f (x )为奇函数，则曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为( )A ．y ＝－2xB ．y ＝－xC ．y ＝2xD ．y ＝x 答案：D解析：方法1：∵ f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ， ∴ f ′(x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋a .又f (x )为奇函数，∴ f (－x )＝－f (x )恒成立， 即－x 3＋(a －1)x 2－ax ＝－x 3－(a －1)x 2－ax 恒成立， ∴ a ＝1，∴ f ′(x )＝3x 2＋1，∴ f ′(0)＝1， ∴ 曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为y ＝x . 故选D.方法2：∵ f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax 为奇函数， ∴ f ′(x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋a 为偶函数， ∴ a ＝1，即f ′(x )＝3x 2＋1，∴ f ′(0)＝1， ∴ 曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为y ＝x .故选D.6．[2019· 安徽宣城六校联考]过函数f (x )＝13x 3－x 2图象上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角的范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π4B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，πC.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，πD.⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4 答案：B 解析：设切线的倾斜角为α.由题意得k ＝f ′(x )＝x 2－2x ＝(x－1)2－1≥－1，即k ＝tan α≥－1，解得0≤α<π2或3π4≤α<π，则切线倾斜角的范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.故选B. 7．[2019·广东七校联考]已知函数f (x )＝x 2的图象在点(x 0，x 20)处的切线为l ，若l 也与函数y ＝ln x ，x ∈(0,1)的图象相切，则x 0必满足( )A ．0<x 0<12 B.12<x 0<1C.22<x 0< 2 D.2<x 0< 3 答案：D解析：由题意，得f ′(x )＝2x ，所以f ′(x 0)＝2x 0，f (x 0)＝x 20，所以切线l 的方程为y ＝2x 0(x －x 0)＋x 20＝2x 0x －x 20.因为l 也与函数y ＝ln x (0<x <1)的图象相切，设切点坐标为(x 1，ln x 1)，易知y ′＝1x ，则切线l 的方程为y ＝1x 1x ＋ln x 1－1，则有⎩⎪⎨⎪⎧2x 0＝1x 1，1－ln x 1＝x 20，又0<x 1<1，所以x 0>1，所以1＋ln2x 0＝x 20，x 0∈(1，＋∞)．令g (x )＝x 2－ln2x －1，x ∈(1，＋∞)，则g ′(x )＝2x －1x ＝2x 2－1x >0，所以g (x )在(1，＋∞)上单调递增，又g (1)＝－ln2<0，g (2)＝1－ln22<0，g (3)＝2－ln23>0，所以存在x 0∈(2，3)，使得g (x 0)＝0，故2<x 0<3，选D.8．[2019·安徽蚌埠质检]已知函数f (x )＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1e x ，曲线y ＝f (x )上存在两个不同点，使得曲线在这两点处的切线都与y 轴垂直，则实数a 的取值范围是( )A ．(－e 2，＋∞)B ．(－e 2,0) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e 2，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e 2，0 答案：D解析：∵曲线y ＝f (x )上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与y 轴垂直，∴f ′(x )＝a ＋(x －1)e －x ＝0有两个不同的解，即a ＝(1－x )e －x 有两个不同的解．设y ＝(1－x )e －x ，则y ′＝(x －2)e －x ，∴当x <2时，y ′<0，当x >2时，y ′>0，则y ＝(1－x )e －x 在(－∞，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，∴x ＝2时，函数y 取得极小值－e －2.又∵当x >2时总有y ＝(1－x )e －x<0且f (0)＝1>0，∴可得实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e 2，0.故选D.二、非选择题9．[2019·成都测试]已知函数f (x )＝x sin x ，则f (x )在x ＝π2处的导数为________．答案：1解析：∵f (x )＝x sin x ，∴f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，故f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝sin π2＋π2cos π2＝1.10．[2018·全国卷Ⅲ]曲线y ＝(ax ＋1)e x 在点(0,1)处的切线的斜率为－2，则a ＝________.答案：－3解析：∵ y ′＝(ax ＋a ＋1)e x ，∴ 当x ＝0时，y ′＝a ＋1， ∴ a ＋1＝－2，得a ＝－3.11．[2019·湖北孝感高中模拟]已知函数f(x)＝x3－x.(1)求曲线y＝f(x)在点M(1,0)处的切线方程；(2)如果过点(1，b)可作曲线y＝f(x)的三条切线，求实数b的取值范围．解析：(1)f′(x)＝3x2－1，∴f′(1)＝2.故切线方程为y－0＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.(2)设切点为(x0，x30－x0)，则切线方程为y－(x30－x0)＝f′(x0)(x－x0)．又切线过点(1，b)，所以(3x20－1)(1－x0)＋x30－x0＝b，即2x30－3x20＋b＋1＝0.由题意，上述关于x0的方程有三个不同的实数解．记g(x)＝2x3－3x2＋b＋1，则g(x)有三个不同的零点，而g′(x)＝6x(x－1)，令g′(x)＝0得x＝0或x＝1，则结合图象可知g(0)g(1)<0即可，可得b∈(－1,0)．。
2020版高考数学(文)全程训练计划 小题狂练 (14)
天天练14 三角恒等变换小题狂练⑭一、选择题1．[2018·全国卷Ⅲ]若sin α＝13，则cos2α＝( ) A.89 B.79C ．－79D ．－89 答案：B解析：∵sin α＝13，∴cos2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝79.故选B.2．[2019·成都一诊]已知α为第二象限角，且sin2α＝－2425，则cos α－sin α的值为( )A.75 B ．－75 C.15 D ．－15 答案：B解析：因为sin2α＝2sin αcos α＝－2425，即1－2sin αcos α＝4925，所以(cos α－sin α)2＝4925，又α为第二象限角，所以cos α<sin α，则cos α－sin α＝－75.故选B.3．化简2cos x ＋6sin x 等于( )A ．22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－xB ．22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－xC ．22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋xD ．22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x 答案：B解析：2cos x ＋6sin x ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3cos x ＋sin π3sin x＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x .故选B.4．cos12°cos18°－sin12°sin18°的值等于( ) A ．－32 B ．－12 C.12 D.32 答案：D解析：cos12°cos18°－sin12°sin18°＝cos(12°＋18°)＝cos30°＝32，故选D.5．若sin(π－α)＝13，且π2≤α≤π，则sin2α的值为( )A ．－429B ．－229 C.229 D.429 答案：A解析：∵sin(π－α)＝13，即sin α＝13，又π2≤α≤π，∴cos α＝－1－sin 2α＝－223，∴sin2α＝2sin αcos α＝－429.6．[2019·四川联考]已知角θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且cos2α＋cos 2α＝0，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )A ．－3－2 2B ．－1C ．3－2 2D ．3＋2 2 答案：A 解析：由题意结合二倍角公式可得2cos 2α－1＋cos 2α＝0，∴cos 2α＝13.∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos α＝33，∴sin α＝1－cos 2α＝63，∴tan α＝sin αcos α＝2，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝2＋11－2＝－3－2 2.故选A.7．[2019·山西省名校联考]若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝－33，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＋cos α＝( )A ．－223B ．±223C ．－1D ．±1 答案：C解析：由cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＋cos α＝12cos α＋32sin α＋cos α＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝－1，故选C. 8．[2019·广西桂林、贺州模拟]若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且3cos2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α，则sin2α的值为( ) A.118 B ．－1718 C.1718 D ．－118 答案：B解析：∵3cos2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α， ∴3(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝22(cos α－sin α)．∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos α－sin α≠0，∴cos α＋sin α＝26. 两边平方可得1＋sin2α＝118，解得sin2α＝－1718.故选B. 二、非选择题 9．[2019·荆州模拟]计算：sin46°·cos16°－cos314°·sin16°＝________.答案：12解析：sin46°·cos16°－cos314°·sin16°＝sin46°·cos16°－cos46°·sin16°＝sin(46°－16°)＝sin30°＝12.10．[2018·全国卷Ⅱ]已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－5π4＝15，则tan α＝________. 答案：32解析：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－5π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝15，解得tan α＝32.11．[2019·山西康杰中学月考]若sin α＋cos αsin α－cos α＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________.答案：43解析：∵sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝3，∴tan α＝2.∵tan(α－β)＝2，∴tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝－tan[(α－β)＋α]＝－tan (α－β)＋tan α1－tan (α－β)·tan α＝43.12．已知f (x )＝sin x －23sin 2x2，则当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3时，函数f (x )的最大值减去最小值等于________．答案：2解析：f (x )＝sin x －23sin 2x 2＝sin x －3(1－cos x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3时，x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π，则f (x )的最大值与最小值分别为2－3，－3，因而f (x )的最大值减去最小值等于2.课时测评⑭一、选择题1．[2019·贵阳监测]sin 415°－cos 415°＝( ) A.12 B ．－12C.32 D ．－32 答案：D解析：sin 415°－cos 415°＝(sin 215°－cos 215°)(sin 215°＋cos 215°)＝sin 215°－cos 215°＝－cos30°＝－32.故选D.2．[2019·福建莆田第九中学模拟]若tan α＋1tan α＝103，α∈π4，π2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4的值为( ) A ．－210 B.210 C.3210 D.7210 答案：A解析：∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，∴tan α>1.∴由tan α＋1tan α＝103，解得tan α＝ 3.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝22sin2α＋22cos2α＝22×2sin αcos α＋cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝22×2tan α＋1－tan 2α1＋tan 2α＝22×－21＋9＝－210.故选A.3．[2019·广州调研]已知α为锐角，cos α＝55，则tan α－π4＝( )A.13 B ．3C ．－13 D ．－3 答案：A解析：因为α是锐角，cos α＝55，所以sin α＝255，所以tan α＝sin αcos α＝2，所以tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－tan π41＋tan αtan π4＝13，故选A. 4．[2019·广东潮州模拟]若cos2αsin α－cos α＝－12，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值为( )A.12 B ．－12C.24 D ．－24 答案：C解析：∵cos2αsin α－cos α＝cos 2α－sin 2αsin α－cos α＝－(cos α＋sin α)＝－2·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－12，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝24.故选C. 5．已知在△ABC 中，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝－13，那么sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6＋cos A ＝( )A.33 B ．－33C.233 D.－233 答案：B解析：因为cos ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝－13，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3－π2＝－13，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3＝－13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6＋cos A ＝sin A cos π6＋cos A sin π6＋cos A ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3＝－33.故选B.6．[2019·河北沧州教学质量监测]若cos α＋2cos β＝2，sin α＝2sin β－3，则sin 2(α＋β)＝( )A ．1 B.12 C.14 D ．0 答案：A解析：由题意得(cos α＋2cos β)2＝cos 2α＋4cos 2β＋4cos αcos β＝2，(sin α－2sin β)2＝sin 2α＋4sin 2β－4sin αsin β＝3. 两式相加，得1＋4＋4(cos αcos β－sin αsin β)＝5，∴cos(α＋β)＝0，∴sin 2(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝1.7．[2019·丰台模拟]已知tan2α＝34，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，函数f (x )＝sin(x ＋α)－sin(x －α)－2sin α，且对任意的实数x ，不等式f (x )≥0恒成立，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4的值为( )A ．－255B ．－55C ．－235D ．－35 答案：A解析：由tan2α＝34，即2tan α1－tan 2α＝34，得tan α＝13或tan α＝－3.又f (x )＝sin(x ＋α)－sin(x －α)－2sin α＝2cos x sin α－2sin α≥0恒成立，所以sin α≤0，tan α＝－3，sin α＝－310，cos α＝110，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝sin αcos π4－cos αsin π4＝－255，故选A.8．[2019·嘉兴模拟]有四个关于三角函数的命题：①∃x 0∈R ，sin 2x 02＋cos 2x 02＝12；②∃x 0，y 0∈R ，sin(x 0－y 0)＝sin x 0－sin y 0；③∀x ∈[0，π], 1－cos2x2＝sin x ；④sin x ＝cos y⇒x ＋y ＝π2.其中假命题的序号为( ) A ．①④ B ．②④ C ．①③ D ．②③ 答案：A解析：因为sin 2x 2＋cos 2x 2＝1≠12，所以①为假命题；当x ＝y ＝0时，sin(x －y )＝sin x －sin y ，所以②为真命题；因为 1－cos2x2＝1－(1－2sin 2x )2＝|sin x |＝sin x ，x ∈[0，π]，所以③为真命题；当x ＝π2，y ＝2π时，sin x ＝cos y ，但x ＋y ≠π2，所以④为假命题．故选A.二、非选择题9．[2019·广西玉林陆川中学模拟]已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12π5＋θ＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π10－θ＝0，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π5＋θ＝________. 答案：2解析：∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12π5＋θ＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π10－θ＝0， ∴sin 2π5cos θ＋cos 2π5sin θ＋2sin 11π10cos θ－cos 11π10sin θ＝0，∴sin 2π5cos θ＋cos 2π5sin θ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π5sin θ－cos 2π5cos θ＝0.等式两边同时除以cos 2π5cos θ，得tan 2π5＋tan θ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫tan 2π5tan θ－1＝0，∴tan 2π5＋tan θ1－tan 2π5tan θ＝2，即tan 2π5＋θ＝2. 10．[2018·全国卷Ⅲ]函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6在[0，π]的零点个数为________．答案：3解析：由题意可知，当3x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )时，f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6＝0. ∵x ∈[0，π]，∴3x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，196π，∴当3x ＋π6取值为π2，3π2，5π2时，f (x )＝0，即函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6在[0，π]的零点个数为3.11．[2019·江苏如东模拟]已知α，β都是锐角，且sin α＝35，tan(α－β)＝－13.(1)求sin(α－β)的值； (2)求cos β的值．解析：(1)因为α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以－π2<α－β<π2.又因为tan(α－β)＝－13，所以－π2<α－β<0.由sin 2(α－β)＋cos 2(α－β)＝1和sin (α－β)cos (α－β)＝－13，解得sin(α－β)＝－1010. (2)由(1)可得，cos(α－β)＝1－sin 2(α－β)＝1－110＝31010.因为α为锐角，sin α＝35， 所以cos α＝1－sin 2α＝1－925＝45.所以cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝45×31010＋35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1010＝91050.。
小题狂练25分钟50个题
20．下列关于电磁实验装置的说法中错误的是( )
A. 图甲装置能探究电磁铁磁性强弱与线圈匝数多少和电流大小 的关系 B. 图乙装置当电流达到限定电流， 电磁铁将衔铁吸过来， 弾 簧拉力使开关断开， 自动切断电路 C. 图丙装置中， ab能运动，利用到磁场的基本性质 D. 图丁装置中， ab左右移动时，灵敏电流计的指针发生偏转
17．如图所示实验，下列对有关实验的解释正确的是
A. 甲图中的实验说明磁铁异名磁极相斥 B. 乙图中的奥斯特实验说明了电流周围存在磁场 C. 丙图中的实验说明电流越大，电磁铁的磁性越弱 D. 丁图中的测电笔接触零线氖管一定发光
18．关于光，下列说法中错误的是( ) A. 光发生漫反射时反射角等于入射角 B. 光是一种电磁波 C. 白光是由色光组成的 D. 光在真空中的传播速度为340m/s
33.如图所示，用铅笔尖顶着一个纸风车，置于一杯热水 上，风车就会转动。以下叙述正确的是（ d ）
A．风车静止时，只受到重力的作用 B．风车转动时，只受到热空气推力的作用 C．风车转动时，机械能转化为水的热能 D．移去热水，风车由于惯性不会立即停转
34．下列运用科学方法的实例中，正确的是（ c ） A．把固体分成晶体和非晶体，运用了类比法 B．研究平面镜成像时，用玻璃板代替平面镜，运用了放 大法 C．研究二力平衡条件时，把小车扭转一定角度后释放， 发现小车转动，运用了反证法 D．电流的热效应可能引发火灾，但据此原理可制成电热 器，运用了缺点列举法
27.下列说法正确的是( B ) A.初春,冰雪消融是汽化现象 B.深秋,草叶上的白霜是凝华现象 C.盛夏,地面温度升高,地面含有的热量增多 D.严冬,搓手取暖是利用了热传递增大内能
28.小宁乘坐校车时,观察到一些现象,下列解释正确的是 (D) A.向窗外看时感觉到路边的树木向后退,是以地面为参照物 B.看到车上窗帘往外飘,是因为车内比车外的空气流速大, 压强大 C.突然刹车时身体向前倾,是由于身体受到了惯性的作用 D.司机转动方向盘使校车转弯,是力改变了校车的运动状态
2020届高三数学小题狂练试题含答案(共40份)
2020届高三数学小题狂练一姓名 得分1．已知2{230}A x x x =--≤，{}B x x a =<，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是 .2．已知2()|log |f x x =，则=+)23()43(f f .3．若平面向量b 与向量a =(1,2)-的夹角是180o，且|b |=b = .4．已知α，β，γ是三个互不重合的平面，l 是一条直线，给出下列四个命题： ①若αβ⊥，l β⊥，则l ∥α； ②若l α⊥，l ∥β，则βα⊥； ③若l 上有两个点到α的距离相等，则α//l ； ④若αβ⊥，α∥γ，则βγ⊥. 其中正确命题的序号是 .5．设函数()24xf x x =--，0x 是()f x 的一个正数零点，且0(,1)x a a ∈+，其中a ∈N ，则a = .6．已知α为第二象限的角，且53sin =α，则=+)4cos(πα . 7．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3A π=，3=a ，1=b ，则=c .8．已知函数()cos f x x x =，则'()3f π=_________.9．已知等差数列{n a }中，0n a ≠，若m ∈N ，1m >，2110m m m a a a -+-+=，2138m S -=，则m = .10．若关于x 的方程10kx +=有两个不相等的实数解，则实数k 的取值范围是 .11．设周期函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，若)(x f 的最小正周期为3，且2)1(->f ，mm f 3)2(-=，则m 的取值范围是 . 12．分别在区间[1,6]和[2,4]内任取一实数，依次记为m 和n ，则m n >的概率为 .答案 1．(3,)+∞ 2．1 3．(3,6)- 4．②④ 5．26． 7．28．12 9．10 10．1[,0)2-11．)3,0()1,(⋃--∞ 12．352020届高三数学小题狂练二姓名 得分1．已知复数z 满足(2－i)z =5，则z = .2．已知向量24()，a =，11()，b =．若向量()λ⊥b a +b ，则实数λ的值是 . 3．若连续投掷两枚骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的坐标(,)m n ，则点P 落在圆1622=+y x 内的概率为_________.4．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，2()log f x x =，则方程()1f x =的解集是 .5．已知函数3()128f x x x =-+在区间[3,3]-上的最大值与最小值分别为M ，m ，则M m -= .6．若三条直线320x y -+=，230x y ++=，0mx y +=不能构成三角形，则m 的值构成的集合是 .7．由直线1y x =+上的一点向圆22(3)1x y -+=引切线，则切线长的最小值为 . 8．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x ，y ，10，11，9，已知这组数据的平均数为10，方差为2，则||x y -的值为 .9．已知(1)(1)()sin 33x x f x ππ++=，则(1)(2)(2015)f f f +++=L .10．数列{}n a 中，11a =，1411++=+n n n a a a = .11．已知点G 是ABC ∆的重心，若120A ∠=︒，2AB AC =-u u u r u u u rg ，则||AG u u u r 的最小值是 .12．双曲线221x y n-=（1n >）的两焦点为1F ，2F ，点P 在双曲线上，且满足12PF PF +=，则12PF F ∆的面积为 .答案1．2＋i 2．3- 3．294．{2,－12}5．326．{3-，1-，2} 7．7 8．4 9．010．1276411．23：1()3AG AB AC =+u u ur u u u r u u u r12．1：12PF PF +=1212S PF PF =g ，平方减2020届高三数学小题狂练三姓名 得分1．若12z a i =+，234z i =-，且12z z 为纯虚数，则实数a 的值是 . 2．抛物线2y ax =（a 为非零常数）的准线方程为 .3．设函数()log a f x x =（0a >，1a ≠）满足(9)2f =，则(9)af 的值是 . 4．曲线C ：()sin xf x x e =+在0x =处的切线方程为 .5．设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若3S ，9S ，6S 成等差数列，则数列{}n a 的公比q 为 .6．若a ，b≤m 的最小值是 .7．椭圆22143x y +=的右焦点为F ，点(1,1)A ，点M 是椭圆上的任意一点，则2MA MF +的最小值为 . 8．设x ，y 均为正实数，且312121=+++y x ，则xy 的最小值为 . 9．若直线l 与圆224x y +=相交于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，且12122x x y y +=，则AB = .10．小张、小李、小王三位同学在足球场上做传球训练，规定：持球的任何一人必须将球传给另两位同学中的一人．开始时球在小王脚下，传球4次后，则球仍然回到小王脚下的概率为 .11．已知()f x =||2x x a x -+，若()f x 在R 上恒为增函数，则a 的取值范围是 .12．已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在准线上，且12PF PF ⊥，124PF PF ab =g ，则该双曲线的离心率等于 .答案 1．38 2．14y a=- 3．64．210x y -+=5．2-67．38． 16（去分母）9．2（2OA OB ⋅=u u u r u u u r ，3AOB π∠=）10．38（树状图，616）11．[2,2]-（x a ≥：0x a ≤；x a <：0x a ≥）12（由射影公式得222()a m c c c =+2222c a =+，222()a n c c c=-22b =，代入222216m n a b =）或（2ab h c=，中线PO c =，2222()a h c c =-）2020届高三数学小题狂练四姓名 得分1．若集合2{5,log (3)}A a =+，集合{,}B a b =，{2}A B =I ，则A B U = . 2．若复数2(56)(3)i z m m m =-++-是纯虚数，则实数m = . 3．若10≤≤x ，且21y x -≥，则2z x y =+的最小值为 .4．若函数32()f x ax x x =-+在R 上单调递增，则a 的取值范围是 . 5．在等差数列{}n a 中，638a a a =+，则前9项之和9S = . 6．已知ABC ∆中，2a =，b =45A =︒，则B 等于 .7．曲线sin cos y t x x =+在0=x 处的切线方程为1+=x y ，则=t . 8．曲线C1+=上的点到原点的距离的最小值为_________.9．已知直线l 的倾斜角为︒120，与圆M ：0222=-+y y x 交于P ，Q 两点，若0OP OQ ⋅=u u u r u u u r（O 为原点），则l 在x 轴上的截距为 .10．如图，在ABC ∆中，1tan 22C =，0AH BC ⋅=u u u r u u ur ，0)(=+⋅CB CA AB ，则过点C 以A ，H 为两焦点的双曲线的离心率为 .11．在由正整数构成的无穷数列{}n a 中，对任意的正整数n ，都有1n n a a +≤，且对任意的正整数k ，该数列中恰有21k -个k ，则2015a 的值等于 .12．已知函数()f x 满足(2016)1f =，)1(-x f 为奇函数，)1(+x f 为偶函数，则(4)f 的值等于 .BACH答案1．{1，2，5} 2．2 3．1 4．1[,)3+∞ 5．0 6．60°或120° 7．1 8．429y b =+ 10．2 11．4512．1-：(1)(1)f x f x -=---，(1)(1)f x f x -=+，于是()(2)f x f x =---，(2)()f x f x -=，所以(2)(2)f x f x -=---，进而得周期为82020届高三数学小题狂练五姓名 得分1．已知向量(1,3)m →=，(2,1)n a a →=-，若→→⊥n m ，则a = .2．已知7-，1a ，2a ，1-四个实数成等差数列，4-，1b ，2b ，3b ，1-五个实数成等比数列，则212b a a -= . 3．正方体的内切球与其外接球的体积之比为 .4．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的横、纵坐标，则点P 在直线5x y +=下方的概率是 .5．若直线10x my ++=与线段AB 有公共点，其中(2,3)A -，(3,2)B ，则实数m 的取值范围是 .6．若椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为，则双曲线22221y x a b-=的离心率为 .7．设x ，y 为实数，且511213x y i i i+=---，则x y += .8．已知向量a r 与b r 的夹角为120o，||3a =r ，||a b +=r r ||b r = .9．在ABC ∆中，3sin 4cos 6A B +=，3cos 4sin 1A B +=，则C ∠等于 . 10．与直线20x y +-=和曲线221212540x y x y +--+=都相切的半径最小的圆的标准方程是 .11．函数()f x 对于任意x 满足()(2)1f x f x +=，且(1)5f =-，则((5))f f = . 12．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，定义在R 上的奇函数()g x 的图象过点(1,1)-且()(1)g x f x =-，则(2015)(2016)f f +=__________.答案 1．3 2．1-3．1∶ 4．165．1[2,]3-6 7．4 8．4 9．6π（若6A B π+=，1sin 2A <，4cos 4B ≤）10．22(2)(2)2x y -+-= 11．15-：1(1)5f -=-12．1-（由()(1)g x f x -=--得()(1)g x f x -=+，故(1)(1)f x f x --=+，于是(4)()f x f x +=，所以(1)(0)(0)(1)f f g g -+=+）2020届高三数学小题狂练六姓名 得分1．设集合{0,1,2}M =，{2,}N x x a a M ==∈，则集合=N M I . 2．已知∈x R ，[]x 表示不大于x 的最大整数，如[]π=3，[]-=-121，[]120=，则使[]x -=13成立的x 的取值范围是 .3．定义在R 上的奇函数)(x f 满足1)2(=f ，且)2()()2(f x f x f +=+，则(1)f = .4．已知ααcos sin 2=，则ααα2cos 12sin 2cos ++的值等于 . 5．若关于x 的不等式2260ax x a -+<的解集为(1,)m ，则实数m = .6．若向量a v ，b v满足||a =v ||1b =v ，()1a a b +=v v vg ，则向量a v ，b v 夹角大小为 .7．若cos 2sin()4απα=-，则cos sin αα+的值为 . 8．化简tan 70cos10tan 702cos 40-oo o o o= . 9．已知0a >且1a ≠，2()xf x x a =-，若当x ∈[1,1]-时均有1()2f x <，则实数a 的范围是 .10．已知正项数列{}n a 的首项11a =，前n 和为n S ，若以(,)n n a S 为坐标的点在曲线1(1)2y x x =+上，则数列{}n a 的通项公式为 . 11．已知02x π<<，且t 是大于0的常数，1()sin 1sin tf x x x=+-的最小值为9，则t = . 12．设()f x 是定义在R 上的函数，且满足(2)(1)()f x f x f x +=+-，如果3(1)lg2f =，(2)lg15f =，则(15)f = .答案 1．}2,0{ 2．[4,5) 3．21 4．3 5．2 6．135︒ 7．128．29．1(,1)(1,2)2U 讨论最大值 10．n a n = 11．412．1（(3)()f x f x +=-）2020届高三数学小题狂练七姓名 得分1．若集合{1,1}M =-，11{|242x N x x +=<<∈Z}，，则M N =I . 2．已知cos ,0,()(1)1,0,x x f x f x x π≤⎧=⎨-+>⎩则41()()33f f +-的值为 .3．已知()(1)(21)(31)(1)f x x x x x nx =+++⋅⋅⋅+，求=')0(f .4．设O 是ABC ∆内部一点，且2OA OC OB +=-u u u r u u u r u u u r，则AOB ∆与AOC ∆的面积之比为 .5．已知函数2()log 3f x x x =⋅+，直线l 与函数()f x 图象相切于点(1,)A m ，则直线l 的方程的一般式为 .6．扇形OAB 半径为2，圆心角60AOB ∠=︒，点D 是弧AB 的中点，点C 在线段OA 上，且3=OC ．则OB CD ⋅的值为 .7．已知0x >，0y >，且211x y+=，若222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是 .8．已知ABC ∆的面积等于3，1BC =，3π=∠B ，则tan C 的值为 .9．如果圆2244100x y x y +---=上至少有三个点到直线l ：0ax by +=的距离为l 的倾斜角的取值范围是 .10．若函数)(x f 是定义在（0,+∞）上的增函数，且对一切0x >，0y >满足)()()(y f x f xy f +=，则不等式)4(2)()6(f x f x f <++的解集为 .11．若直线6x π=是函数sin cos y a x b x =+图像的一条对称轴，则直线0ax by c ++=的倾斜角为 . 12．已知正实数x ，y 满足111x y +=，则9411y xx y +--的最小值为 .答案 1．{1}- 2．2 3．1 4．1∶25．(ln 2)3ln 210x y -+-=6．3（CD CO OD =+u u u r u u u r u u u r）7．(4,2)-8．- 9．5[,]1212ππ10．(0,2)11．150°（(0)()3f f π=）12．25：令10m x=>，10n y =>，则1m n +=，于是9411y x x y +--49449911m n m nm n n m++=+=+--25≥2020届高三数学小题狂练八姓名 得分1．复数z 满足方程(2)z z i =+，则z = .2．设集合{|}M x x m =≤，{|2}xN y y -==，若M N ⋂≠∅，则实数m 的取值范围是 .3．若函数2()2x x af x a+=-是奇函数，则a = .4．抛物线24x y =上一点A 的横坐标为2，则点A 与抛物线焦点的距离为 . 5．掷一个骰子的试验，事件A 表示“大于2的点数出现”，事件B 表示“大于2的奇数点出现”，则一次试验中，事件A B +发生概率为 .6．过点(1,4)A -作圆22(2)(3)1x y -+-=的切线l ，则l 的方程为 . 7．若ABC ∆的三条边长2a =，3b =，4c =，则C ab B ca A bc cos 2cos 2cos 2++的值为 .8．已知函数)(x f 的导数()(1)()f x a x x a '=+-，若()f x 在x a =处取到极大值，则常数a 的取值范围是 .9．已知二次函数2()f x ax bx c =++，且不等式()0f x <的解集为(,1)(3,)-∞+∞U ，若)(x f 的最大值小于2，则a 的取值范围是 .10．在OAB ∆中，M 为OB 的中点，N 为AB 的中点，ON ，AM 交于点P ，若AP mOA nOB =+u u u v u u u v u u u v（m ，n ∈R ），则n m -= .11．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项的和，n T 为等差数列{}n b 的前n 项的和，若n m S T =2(1)n m m +，则510a b =_________.12．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，它的图象关于直线2x =对称，当[02]x ∈,时，tan [01),()(1)[12],x x f x f x x ∈⎧=⎨-∈⎩,,,,则(5)6f π--=__________.答案 1．1i -+ 2．(0,)+∞ 3．1± 4．2 5．326．4y =或34130x y +-= 7．29 8．(1,0)- 9．(2,0)-10．1：连MN ，相似 11．920（59101921929a Sb T =） 12．3（()()f x f x -=，(2)(2)f x f x +=-+，∴()(4)f x f x =-+((4))f x =--+，周期为4，(5)(1)(1)()tan 66666f f f f πππππ--=--=+===）2020届高三数学小题狂练九姓名 得分1．函数()sin(2)f x x π=+的最小正周期是 .2．若直线210x ay +-=与01)1(=+--ay x a 平行，则a 的值为 . 3．抛物线22y x =-的焦点坐标是 .4．函数20.5()log (65)f x x x =-+的单调减区间是 .5．已知3sin 5α=，(,)2παπ∈，则tan()4πα+值为 . 6．某人有甲、乙两只电子密码箱，欲存放三份不同的重要文件，则此人使用同一密码箱存放这三份重要文件的概率是 . 7．函数sin()cos()66y x x ππ=++的图象离原点最近的对称轴方程为 .8．在等比数列{}n a 中，0n a >，且211a a =-，439a a =-，则45a a += .9．若3213()32f x x x ax =-+在[1,4]-上是减函数，则实数a 的取值范围是 .10．已知向量a r ，b r 满足||1a =r ，||b =r a b +=r r，则||a b -=r r .11．已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA AC =，SB BC =，三棱锥S ABC -的体积为9，则球O 的表面积为 .12．对于任意两个实数a ，b ，定义运算“⊗”如下：,,,.a a b a b b a b ≤⎧⊗=⎨>⎩则函数2()[(6)(215)]f x x x x =⊗-⊗+的最大值为_________.答案 1．22．123．1(0,)8-4．),5(+∞5．17 6．147．12x π=8．27 9．(,4]-∞- 10．2 11．36π 12．92020届高三数学小题狂练十姓名 得分1．方程2lg(1)1lg(1)x x ++=-的解是 . 2．已知复数i z24-=（i 为虚数单位），且复数2()z ai +在复平面上对应的点在第一象限，则实数a 的取值范围为 .3．曲线x x f ln )(=在e x =处的切线方程为 .4．随机向一个正三角形内丢一粒豆子，则豆子落在此三角形内切圆内的概率为 . 5．若双曲线122=-y x 右支上一点(,)A m n 到直线x y =的距离为2，则m n += .6．函数5x y x a+=-在(1,)-+∞上单调递减，则实数a 的取值范围是 . 7．ABC ∆中，AP 为BC 边上的中线，||3AB =u u u r ，2-=⋅，则||AC =u u u r.8．直线AB 过抛物线2y x =的焦点F ，与抛物线相交于A ，B 两点，且|AB |=3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为 .9．设数列{}n a 的通项为210n a n =-（n ∈N *），则=+++||...||||1521a a a . 10．已知函数()cos f x x =（(,3)2x ππ∈），若方程a x f =)(有三个不同的实根，且三根从小到大依次构成等比数列，则a 的值为 .11．若函数()f x 满足(2)()1f x f x +=-+，且(1)2007f =-，则(2015)f = . 12．对于任意实数x ，符号[]x 表示x 的整数部分，即[]x 是不超过x 的最大整数．那么]1024[log ]4[log ]3[log ]2[log ]1[log 22222+++++Λ= .答案1．11x = 2．(2,6) 3．0x ey -=4 5．126．(5,1]--7 8．549．130 10．21-（三根：α，2πα-，2πα+） 11．2008：(2)()1f x f x +=-+，(4)(2)1f x f x +=-++，4T =，(3)(1)1f f =-+ 12．8204：1+1+2(23-22)+3(24-23)+…+9(210-29)+10=1*21+2*22+3*23+…+9*29+102020届高三数学小题狂练十一姓名 得分1．设集合1{|0}2M x x =-<，{}210N x x =+>，则M N =I . 2．幂函数()y f x =的图象经过点1(2,)8--，则满足()27f x =的x 的值是 .3．过点(1,0)且倾斜角是直线210x y --=的倾斜角的两倍的直线方程是 . 4．若椭圆221x my +=（01m <<，则它的长轴长为 . 5．从分别写有1，2，3，4，5的五张卡片中任取两张，则这两张卡片上的数字和为偶数的概率为 .6．已知复数11z i =-，2||3z =，那么||21z z -的最大值是 . 7．若函数213ln1xy x x+=+-的最大值与最小值分别为M ，m ，则M m += . 8．设1232,2,()log (1),3,x e x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩则不等式()2f x >的解集为 . 9．若()sin()1f x A x ωϕ=++（0ω>，||<πϕ）对任意实数t ，都有ππ()()33f t f t +=-+．记()cos()1g x A x ωϕ=+-，则π()3g = .10．已知在同一平面上的三个单位向量a r ，b r ，c r，它们两两之间的夹角均为120o ，且 |1ka b c ++>r r r｜，则实数k 的取值范围是 .11．过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l 交抛物线于A 、B 两点，交准线于点C ．若2CB BF =uu r uu u r，则直线AB 的斜率为 .12．已知ABC ∆三边a ，b ，c 的长都是整数，且a b c ≤≤，如果b m =（m ∈N *），则这样的三角形共有 个（用m 表示）．答案1．11{|}22x x -<<2．133．4340x y --= 4．4 5．526．3+ 7．68．),10()2,1(+∞Y 9．1-10．{|0k k <或2}k >11．BH l ⊥，抛物线定义得sin 0.5BCH =，故倾斜角为60︒或120︒） 12．(1)2m m +（a m c ≤≤，则m c a m ≤<+，1a =时1个，…，a m =时m 个）2020届高三数学小题狂练十二姓名 得分1．若复数z 满足方程1-=⋅i i z ，则z = .2．A ，B ，C 三种不同型号的产品的数量之比依次为2：3：5，现用分层抽样的方法抽出样本容量为n 的样本，样本中A 型产品有16件，那么样本容量n 为 .3．底面边长为2的正四棱锥的体积为 .4．若点P 是曲线x x y ln 2-=上任意一点，则点P 到直线2-=x y 的最小距离为 .5．袋中有红、黄、绿色球各一个，每次任取一个有放回地抽取三次，球的颜色全相同的概率是 .6．数列{}n a 中，12a =，21a =，11112-++=n n n a a a （2n ≥，n ∈N ），则其通项公式为n a = .7．已知双曲线C 与椭圆221925y x +=有相同的焦点，它们离心率之和为145，则C 的标准方程是 .8．已知二次函数f x ()满足f x f x ()()11+=-，且f f ()()0011==，，若f x ()在区间[,]m n 上的值域是[,]m n ，则m n +的值等于 .9．已知函数()cos f x x ω=（0ω>）在区间π[0]4, 上是单调函数，且3π()08f =，则ω= . 10．已知PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且△PAB ，△PAC ，△PBC 的面积分别为1.5cm 2，2cm 2，6cm 2，则过P ，A ，B ，C 四点的外接球的表面积为 cm2.11．设椭圆22221y x a b+=（0a b >>）的两个焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆上，且120PF PF ⋅=u u u r u u u u r，12tan 2PF F ∠=，则该椭圆的离心率等于 .12．在ABC ∆中，已知4AB =，3AC =，P 是边BC 的垂直平分线上的一点，则BC AP ⋅u u u r u u u r= .答案1．1i-2．803．4 345．1 96．2 n7．221 412y x-=8．1（1n≤）9．43或410．26π（补形）1112．7 2 -2020届高三数学小题狂练十三姓名 得分1．函数2()12sin f x x =-的最小正周期为 .2．若函数()log (01)a f x x a =<<在闭区间[,2]a a 上的最大值是最小值的3倍，则a = .3．函数x y sin =的定义域为],[b a ，值域为21,1[-]，则a b -的最大值和最小值之和为 .4．函数32()267f x x x =-+的单调减区间是 . 5．若2(3),6,()log ,6,f x x f x x x +<⎧=⎨≥⎩则(1)f -的值为 .6．设等差数列{}n a 的公差0d ≠，19a d =．若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k = .7．在直角坐标系xOy 中，i r ，j r分别是与x 轴，y 轴平行的单位向量，若直角ABC ∆中，AB i j =+u u u r r r ，2AC i m j =+u u u r r r，则实数m = .8．若函数2()x f x x a=+（0a >）在[1,)+∞上的最大值为3，则a 的值为 . 9．若不等式1,0ax x a >-⎧⎨+>⎩的解集是空集，则实数a 的取值范围是 .10．已知两圆1C ：22210240x y x y +-+-=，2C ：222280x y x y +++-=，则以两圆公共弦为直径的圆的方程是 .11．过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，交其准线于点C ，且2BC FB =u u u r u u u r，12AF =，则p 的值为 .12．从椭圆上一点A 看椭圆的两焦点1F ，2F 的视角为直角，1AF 的延长线交椭圆于B ，且2AF AB =，则椭圆的离心率为__________.答案 1．π2．43．2π 4．[0,2]5．3 6．4 7．0或2-81-讨论a 9．(,1]-∞-10．5)1()2(22=-++y x （圆心在公共弦上，3λ=-）11．6：作AH Ox ⊥，30AFH ∠=︒，12sin 30622A p px =+︒=+，12cos 30A y =︒=12269-不扣分）：2AF m =，2BF =，24m a +=，故(4m a =-，12AF a m =-，22212(2)AF AF c +=2020届高三数学小题狂练十四姓名 得分1．设集合{0,}P m =，2{|250,}Q x x x x Z =-<∈，若P Q ≠∅I ，则m 的值等于 .2．若函数sin3xy π=（0x t ≤≤）的值域为[1,1]-，则正整数t 的最小值是 .3．若函数23xy t =⨯+的图象不经过第二象限，则t 的取值范围是 .4．已知()y f x =是奇函数，当0x <时，2()f x x ax =+，且(2)6f =，则a = . 5．A 是圆O 上一定点，在圆O 上其它位置任取一点B ，连接AB ，则AB 的长度不小于圆O 半径长度的概率为 .6．若数列}{n a 满足12,01,1,1,n n n n n a a a a a +≤≤⎧=⎨->⎩且167a =，则2015a = .7．已知两点(2,0)A -，(0,2)B ，点C 是圆0222=-+x y x 上任意一点，则ABC ∆面积的最小值是 .8．已知1F ，2F 分别是双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，P 为双曲线上的一点，若︒=∠9021PF F ，且21PF F ∆的三边长成等差数列，则双曲线的离心率是 .9．已知函数()f x ，()g x 满足(5)5f =，3)5('=f ，(5)4g =，1)5('=g ，则函数()2()f x yg x +=的图象在5x =处的切线方程为 .10．若存在[1,3]a ∈，使得不等式2(2)20ax a x +-->成立，则实数x 的取值范围是 .11．若实数a ，b 满足410ab a b --+=（1a >），则(1)(2)a b ++的最小值为 . 12．已知a ，b 是两个互相垂直的单位向量，且1⋅=c a ，1⋅=c b，||=c 正实数t ，1||t t++c a b 的最小值为 .答案1．1或2 2．53．(,2]-∞- 4．55．23 6．377．3-8．59．51630x y -+= 10．{|x 1x <-或23x >}补 11．27（消a ）12．2020届高三数学小题狂练十五姓名 得分1．复数13i z =+，21i z =+，则复数12z z 在复平面内对应的点位于第___ ___象限. 2．函数224x x y -=的值域是 .3．等差数列{}n a 中，若18153120a a a ++=，则9102a a -= . 4．若不等式1420xx a +-->在[2,)+∞上恒成立，则实数a 的取值范围为 .5．函数3sin(2)([0,])6y x x ππ=+∈的单调减区间是 .6．若经过点(1,0)P -的直线与圆224230x y x y ++-+=相切，则这条直线在y 轴上的截距是 .7．若3()2f x x ax =--在区间(1,)+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是 . 8．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且sin cos cos A B Ca b c==，则A ∠= .9．实数x ，y 满足350x y --=，[1,3]x ∈，则2yx -的取值范围是 . 10．若33,0,()0,xx a x f x x a -+-<⎧=⎨≥⎩（0a >且1a ≠）是),(+∞-∞上的减函数，则a 的取值范围是 . 11．已知函数||sin 1()||1x x f x x -+=+的最大值为M ，最小值为m ，则M m += .12．已知点O 在ABC ∆内部，且有24OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r，则OAB ∆与OBC ∆的面积之比为 .答案1．四 2．(0,4] 3．24 4．(,8)-∞ 5．2[,]63ππ6．1 7．(,3]-∞ 8．90o9．(,2][4,)-∞+∞U 10．2(0,]311．212．4∶1（OA OB BA =+u u u r u u u r u u u r ，1477OC OB BC BO BA BC =+⇒=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，平行四边形，相似三角形）2020届高三数学小题狂练十六姓名 得分1．设复数112z i =-，2x x i =+（x ∈R ），若12z z 为实数，则x = . 2．双曲线过点P，且渐近线方程为y x =，则此双曲线的方程为 . 3．已知212cos2sin=+θθ，则cos 2θ= . 4．若关于x 的方程3sin 4cos 21x x m +=-有解，则实数m 的取值范围是 . 5．与圆22(3)(1)2x y -++=相切，且在两坐标轴上有相等截距的切线共有________条.6．已知向量a r ，b r ，c r 满足0a b c ++=r r r r，||1a =r ，||2b =r ，且a r ⊥c r ，则a r 与b r 的夹角大小是 .7．在数列}{n a 中，21=a ，其前n 项和为n S ，若数列{}nS n是公差为2的等差数列，则}{n a 的通项公式为 .8．若函数2()lg 22f x x a x =⋅-+在区间(1,2)内有且只有一个零点，那么实数a 的取值范围是 .9．已知()f x 是以2为周期的偶函数，且当[0,1]x ∈时，()f x x =．若在区间[1,3]-内，方程()1f x kx k =++有4个实数解，则实数k 的取值范围是 .10．已知(,)P x y 满足约束条件30,10,10,x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-≥⎩O 为坐标原点，(3,4)A ，则||cos OP AOP ⋅∠u u u r的最大值是 .11．抛物线C ：2y x =上两点M ，N 满足12MN MP =u u u u r u u u r，若(0,2)OP =-u u u r ，则||MN u u u u r = . 12．若0x y >>323xy y +-的最小值为 .答案 1．12-2．2212x y -=3．81-4．[2,3]- 5．3 6．120o7．42n a n =-8． 9．1(,0)3- 10．115：1(34)5x y +11(,)N m n ，(2,22)M m n +）12．10（4)(22x y x y y xy ≤-=-，3212()f x x≥+，再求导）2020届高三数学小题狂练十七姓名 得分1．集合{3,2}aA =，{,}B a b =，若{2}A B =I ，则A B =U .2．已知函数)1(log )(+=x x f a 的定义域和值域都是[0,1]，则实数a 的值是 . 3．若(1,1)a ∈-，则方程20x x a -+=有实根的概率等于 . 4．若函数m y x +=-|1|)21(的图象与x 轴有公共点，则m 的取值范围是 .5．若方程02)1(22=-+++a x a x 有一根比1大，另一根比1-小，则a 的取值范围是 .6．若函数()sin()f x x ωφ=+对任意的实数x 都有)3()3(x f x f -=+ππ，则)3(πf 的值等于 .7．若锐角α，β满足4)tan 31)(tan 31(=++βα，则βα+= . 8．设曲线3233+-=x x y 上任一点处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是 .9．已知1F ，2F 为椭圆2212x y +=的两个焦点，过1F 作倾斜角为4π的弦AB ，则2F AB ∆的面积为 .10．已知()f x 为奇函数，且(31)f x +是周期为3的周期函数，(3)2f =，则(60)f 的值等于 .11．已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线的右支上，若此双曲线的离心率为e ，且12||||PF e PF =，则e 的最大值为 . 12．已知数列{}n a 满足1111n n n n a a n a a +++-=-+（n 为正整数），且26a =，则数列{}n a 的通项公式为n a =__________.答案1．{1，2，3} 2．2 3．584．)0,1[- 5．)0,1(- 6．1±7．3π 8．),32[)2,0[πππY9．4310．()f x 周期为9，(60)(3)f f =- 11．21+（2em m a -=，2em m c +≥，相除得11e e e +≥-） 12．22n n -（由1111n n n n a a n a a +++-=-+得)2(11111≥---=++n n n a n a n n ，令na b n n =，则)2(1111≥---=+n n b n n b n n ，故)1(111---=+n n n b n b n n ，…，1211223⨯-=b b ，累加得)1)(12(1++=+n n a n ，)3(22≥-=n n n a n ．又11a =，26a =也满足n n a n -=22，故对n ∈N *都有n n a n -=22）2020届高三数学小题狂练十八姓名 得分1．已知全集2{2,4,1}U a a =-+，集合{1,2}A a =+，若}7{=A C U ，则实数a 的值等于 .2．已知双曲线2221x y a-=（0a >）的一条渐近线与直线032=+-y x 垂直，则该双曲线的准线方程是 .3．在数列{}n a 中，已知17a =-，25a =，且满足22n n a a +=+（n ∈N *），则12318a a a a ++++L = .4．已知θ是第三象限角，且95cos sin 44=+θθ，那么θ2sin = . 5．将3OM OA OB OC =--u u u u r u u u r u u u r u u u r写成AM xAB y AC =+u u u u r u u u r u u u r 时，x y += .6．当228x x -<时，函数252x x y x --=+的最小值是 .7．若直角三角形的三边成等比数列，则较小内角的正弦值是 .8．已知函数()y f x =满足(3)(3)f x f x -=+，且有n 个零点1x ，2x ，…，n x （n ∈N *），则12n x x x +++L = .9．过抛物线24y x =的焦点F 作斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点（点A 在x 轴上方），若AF FB λ=u u u r u u u r (1)λ>，则λ= .10．若{|2}xx kx >=R ，则实数k 的取值范围是 .11．已知函数2()1f x x =-，()g x x =-，令{}()max (),()F x f x g x =（max 表示最大值），则()F x 的最小值是 .12．已知00(,)x y 是直线2x y a +=-与圆2222x y a a +=++的公共点，则00x y 的取值范围是 .答案 1．32．x = 3．1264 5．2- 6．3-7．12- 8．3n9．3+21y y -） 10．[0,ln 2)e （21log ln 2e =）1112．(,1][16,)-∞+∞U （自编：由d r ≤得a 的取值范围是6a ≤-或0a ≥，再用222000000()2x y x y x y +=++得00252ax y -=）2020届高三数学小题狂练十九姓名 得分1．设a 是实数，且211ii a +++是纯虚数，则=a . 2．已知0a >，0b <，),(a b m ∈且0≠m ，则m1的取值范围是 .3．直线2(1)(3)750m x m y m ++-+-=与直线(3)250m x y -+-=垂直的充要条件是 .4．有一棱长为a 的正方体框架，其内放置一气球，使其充气且尽可能地膨胀（气球保持为球的形状），则气球表面积的最大值为 . 5．若函数1)(2++=mx mx x f 的定义域是R ，则m 的取值范围是 .6．已知α，β均为锐角，且cos()sin()αβαβ+=-，则tan α的值等于 . 7．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，13n n a S +=（n =1，2，3，…），则410log S = .8．已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足)()2(x f x f -=+，则)6(f 的值为 .9．设双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右顶点为E ，左准线与两渐近线的交点分别为A ，B 两点，若60AEB ∠=︒，则双曲线C 的离心率e 等于 . 10．函数)sin()(θ+=x x f （||2πθ<）满足对任意x ∈R 都有)6()6(x f x f --=+ππ，则θ= .11．在△ABC 中，AB =2BC =，CA =BC a =u u u r r ，CA b =u u u r r ，AB c =u u u r r，则a b b c c a ⋅+⋅+⋅=r r r r r r .12．过抛物线214y x =准线上任一点作该抛物线的两条切线，切点分别为M ，N ，则直线MN 过定点__________.答案 1．1-2．),1()1,(+∞⋃-∞ab 3．3m =或2m =-4．22a π 5．[0,4] 6．1 7．9 8．0 9．210．6π-11．6-12．(0,1)（解法1：(,1)a -，2240i i x ax --=，122x x a +=，2222121212()248x x x x x x a +=+-=+，于是MN中点为22(,)2a a +，21122122MN y y x x a k x x -+===-，直线MN ：12ay x =+，过定点(0,1)．解法2：(,1)a -，1111()2y y x x x -=-，1111122y x a y --=-，11220ax y -+=．同理可得22220ax y -+=．故直线MN 方程为220ax y -+=，过(0,1)）2020届高三数学小题狂练二十姓名 得分1．已知集合2{|log 1}M x x =<，{|1}N x x =<，则M N I = .2．双曲线2213x y -=的两条渐近线的夹角大小为 .3．设a 为常数，若函数1()2ax f x x +=+在(2,2)-上为增函数，则a 的取值范围是 . 4．函数)2(log log 2x x y x +=的值域是 .5．若函数()23f x ax a =++在区间)1,1(-上有零点，则a 的取值范围是 .6．若1(1)(1)2n na n+--<+对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是 .7．已知函数12||4)(-+=x x f 的定义域是[,]a b （a ，b 为整数），值域是[0,1]，则满足条件的整数数对),(b a 共有 个.8．设P ，Q 为ABC ∆内的两点，且2155AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，AQ uuu r 23AB =u u u r 14+AC u u ur ，则ABP ∆的面积与ABQ ∆的面积之比为 . 9．在等差数列{}n a 中，59750a a +=，且95a a >，则使数列前n 项和n S 取得最小值的n 等于 . 10．设x ，y ∈R +，312121=+++y x ，则xy 11．在正三棱锥A BCD -中，E ，F 分别是AB ，BC EF DE ⊥，1BC =，则正三棱锥A BCD -的体积是 .12．设()f x 是定义在R 上的偶函数，满足(1)()1f x f x ++=，且当[1,2]x ∈时，()2f x x =-，则(2016.5)f -=_________.DCQ BAP答案1．(0,1) 2．60︒ 3．),21(+∞4．),3[]1,(+∞--∞Y 5．(3,1)-- 6．)23,2[- 7．5（||[0,2]x ∈） 8．459．610．16（8xy x y =++，8xy ≥+16xy ≥）11．242（EF DE ⊥，EF ∥AC ，∴AC DE ⊥．又AC BD ⊥，∴AC ⊥平面ABD ．∵1BC =，∴2AB AC AD ===，3162V =24=）12．0.5（2T =，(0.5)(0.5)(1.5)0.5f f f =-==）2020届高三数学小题狂练二十一姓名 得分1．已知等比数列{}n a 的前三项依次为1a -，1a +，4a +，则n a = . 2．抛物线24y x =上一点M 到其焦点的距离为3，则点M 的横坐标x = . 3．已知函数)(x f y =（x ∈R ）满足)()2(x f x f =+，且]1,1[-∈x 时，2)(x x f =，则5()()log F x f x x =-的零点的个数为 .4．若(2,1)a =-v与(,2)b t =-v 的夹角为钝角，则实数t 的取值范围为 .5．函数2()lg(21)f x x ax a =-++在区间(1)-∞，上单调递减，则实数a 的取值范围是 . 6．设α为锐角，54)6sin(=+πα，则)32sin(πα+的值等于 . 7．已知0a >，且1a ≠，函数,0,()(14)2,0x a x f x a x a x ⎧<=⎨-+≥⎩满足对任意12x x ≠，都有1212()[()()]0x x f x f x --<成立，则a 的取值范围是 .8．已知a b >，1a b ⋅=，则22a b a b+-的最小值是 .9．已知数列{}n a ，{}n b 都是公差为1的等差数列，其首项分别为1a ，1b ，且115a b +=，1a ，1b ∈N *，则数列{}nb a （n ∈N *）前10项的和等于 .10．设椭圆1C 和双曲线2C 具有公共焦点1F ，2F ，其离心率分别为1e ，2e ，P 为1C 和2C 的一个公共点，且满足021=⋅PF PF ，则2212221)(e e e e +的值为 . 11．设22log 1()log 1x f x x -=+，12()(2)1f x f x +=（12x >），则12()f x x 的最小值为_______.12．对于一切实数x ，令[]x 为不大于x 的最大整数，则函数()[]f x x =称为高斯函数或取整函数．若()3n na f =（n ∈N *），n S 为数列{}n a 的前n 项和，则3n S =________.答案 1．134()2n -⋅2．2 3．44．(1,4)(4,)-+∞U 5．[1,2]6．2524（若3cos()65πα+=-，cos [cos()]066ππαα=+-<；或45<3πα<）7．11(,]428．222()2a b a b +=-+）9．85（11n a a n =+-，11n b b n =+-，113n b n a a b n =+-=+）10．2（2224m n c +=，12m n a +=，2||2m n a -=，后二式平方相加得22122e e --+=）11．23（21222122log 1log (2)11log 1log (2)1x x x x --+=++，化简得22214log log 1x x =-．于是212212221214log ()log log log 5log 1x x x x x x =+=+≥-，所以21212212212log ()122()1log ()1log ()13x x f x x x x x x -==-≥++（12x >））12．232n n -（33(1)(1)(1)n n S S n n n --=-+-+，311S ⨯=，3n S =232n n-）2020届高三数学小题狂练二十二姓名 得分1．函数20.5log (2)y x x =-的单调减区间是 .2．已知函数()sin cos f x a x x =+，且()4f x π-()4f x π=+，则a 的值为 .3．设O 为坐标原点，F 为抛物线x y 42=的焦点，A 为抛物线上的一点，若4-=⋅，则点A 的坐标为 .4．从原点向圆0271222=+-+y y x 作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为 .5．若函数32()26f x x x m =-+（m 为常数）在[2,2]-上有最大值3，则()f x 在[2,2]-上的最小值为 .6．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项的和为n S ，若1n S +，n S ，2n S +成等差数列，则公比q 等于 . 7．规定一种运算：,,,,a a b a b b a b ≤⎧⊗=⎨>⎩则函数x x x f cos sin )(⊗=的值域为 .8．已知当x ∈R 时，函数)(x f y =满足1(2.1)(1.1)3f x f x +=++，且1)1(=f ，则)100(f 的值为 .9．设函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，1(1)2f =，)2()()2(f x f x f +=+，则=)5(f .10．双曲线222015x y -=的左、右顶点分别为1A ，2A ，P 为其右支上一点，且12124A PA PA A ∠=∠，则12PA A ∠的大小为 .11．已知3450a b c ++=r r r r ，且||||||1a b c ===r r r，则()a b c ⋅+=r r r .12．已知α，β均为锐角，且sin cos()sin ααββ+=，则tan α的最大值是 .答案1．(2,)+∞ 2．1（取4x π=）3．(1,2)± 4．2π 5．37- 6．2- 7．]22,1[- 8．349．2.5（(12)(1)(2)f f f -+=-+，故(2)1f =，(3) 1.5f =，(5)(3)1f f =+）10．12π（tan y x a α=+，tan 5y x a α=-，由222015x y -=得tan tan51αα=，于是得cos60α=）11．35-（534c a b -=+r r r ，435b a c -=+r r r ，两式分别平方得0a b =r r g，35a c =-r r g ）12αβ+也为锐角，tan()αβ+存在．由cos()sin sin[()]αββαββ+=+-展开得tan()2tan αββ+=．从而有tan tan[()]ααββ=+-2tan 41tan ββ=≤+）2020届高三数学小题狂练二十三姓名 得分1．若直线30x ay ++=的倾斜角为120︒，则a 的值是 .2．已知定义在R 上的函数()f x 的图象关于点3(,0)4-对称，且(1)1f -=，则1()2f -的值等于 .3．不等式02||2<--x x 的解集是 .4．在一个水平放置的底面半径为3的圆柱形量杯中装有适量的水，现放入一个半径为R 的实心铁球，球完全浸没于水中且无水溢出，若水面高度恰好上升R ，则R = . 5．函数xx y tan 31tan 3+-=的单调减区间是 .6．在坐标平面内，已知由不等式组|2|,||y x y x a≥-⎧⎨≤-+⎩所确定的区域的面积为52，则a 的值等于 .7．若函数3()log ()(0a f x x ax a =->且1)a ≠在区间1(,0)3-内单调递增，则实数a 的取值范围是 .8．已知数列{}n a 中，12a =，前n 项和n S ，若n n a n S 2=，则n a = .9．已知函数1,1,|1|()11,x x f x x ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩， 若关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=有3个不同的实数解1x ，2x ，3x ，则222123x x x ++的值等于 .10．已知函数()f x 在[2,)+∞单调递增，且对任意实数x 恒有(2)(2)f x f x +=-，若22(12)(12)f x f x x -<+-，则x 的取值范围是 .11．设非零向量a r ，b r 满足||1b =r ，a r 与b a -r r 的夹角为120︒，则||a r的最大值为 .12．已知)(x f y =是定义在R 上的函数，且对任意x ∈R ，都有1()(2)1()f x f x f x -+=+，又1(1)2f =，1(2)4f =，则(2015)(2016)f f += .答案1．32．1-3．(2,2)- 4．325．5(,)66k k ππππ-+（k ∈R ） 6．37．1[,1)38．)1(4+n n9．510．(2,0)-（12|2||2|X X -<-）11ABC ∆中，CA b =u u u r r ，CB a =u u u r r ，BA b a =-u u u r r r ，60ABC ∠=︒，||sin 601a ︒≤r ，||a ≤r ）12．1415（令1=x ，则1(1)1(3)1(1)3f f f -==+，令2=x ，则1(2)3(4)1(2)5f f f -==+，)(n f 以4为周期，所以1314(3)(4)3515f f +=+=）2020届高三数学小题狂练二十四姓名 得分1．设230.0310x y -==，则11xy ---的值为 .2．已知函数()f x 对任意的x ∈R 都有11()()222f x f x ++-=成立，则127()()()888f f f +++L 的值为 . 3．设直线0=++C By Ax 与圆422=+y x 相交于M ，N 两点，若222A B C +=，0C ≠，则OM ·ON （O 为坐标原点）的值等于 . 4．若222xy ax y ≤+对任意[1,2]x ∈及[2,3]y ∈恒成立，则实数a 的范围是 .5．设数列{}n a 的通项公式为3n a n n λ=+（n ∈N *），若123n a a a a <<<<<L L ，则实数λ的取值范围是 . 6．若()2sin()f x ax =在区间[,]34ππ-上的最小值为2-，则实数a 的范围是 .7．若等比数列{}n a 满足354321=++++a a a a a ，且122524232221=++++a a a a a ，则54321a a a a a +-+-的值等于 .8．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对边的长，若a ，b ，c 成等差数列，4sin 5B =，且ABC ∆的面积为32，则b = . 9．已知函数21,0,()(1),0,x x f x f x x -⎧-≤=⎨->⎩若方程()f x x a =+有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是 .10．已知1F ，2F 分别为双曲线C ：12222=-by a x 的左、右焦点，P 是C 左支上的一点，若2218||PF a PF =，则C 的离心率的取值范围是 .11．已知1()41()xf x f x +=-，正实数1x ，2x 满足12()()1f x f x +=，则12()f x x +的最小值为 .12．已知实数x ，y 满足x y ，则x y +的最大值为 .。
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天天练25空间几何体小题狂练○25一、选择题1．以下命题：①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．其中正确命题的个数为()A．0 B．1C．2 D．3答案：B解析：命题①错，因为这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥；命题②错，因为这条腰必须是垂直于两底的腰；命题③对；命题④错，必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才可以．故选B.2．[2019·江西临川二中、新余四中联考]用斜二测画法画出一个水平放置的平面图形的直观图，为如图所示的一个正方形，则原来的图形是()答案：A解析：由题意知直观图是边长为1的正方形，对角线长为2，所以原图形为平行四边形，且位于y轴上的对角线长为2 2.3．[2018·全国卷Ⅲ]中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()答案：A解析：由题意可知带卯眼的木构件的直观图如图所示，由直观图可知其俯视图应选A.4．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱BB1的中点(如右图所示)，用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的正视图为()答案：C解析：过点A，E，C1的平面与棱DD1，相交于点F，且F 是棱DD1的中点，截去正方体的上半部分，剩余几何体的直观图如下图所示，则其正视图应为选项C.5．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为()A ．3 B.113C ．7 D.233 答案：B解析：由三视图可知该几何体是由一个长方体切去一个三棱锥所得，长方体的长、宽、高分别为2,1,2，体积为2×1×2＝4，切去的三棱锥的体积为13×12×1×2×1＝13，所以该几何体的体积为4－13＝113.6．[2019·淮北月考]一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为( )A ．21＋ 3B ．18＋ 3C ．21D ．18 答案：A解析：由几何体的三视图可知，该几何体的直观图如图所示，因此该几何体的表面积为6×⎝ ⎛⎭⎪⎫4－12＋2×34×(2)2＝21＋ 3.故选A.7．[2018·北京卷]某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为()A．1 B．2C．3 D．4答案：C解析：由三视图得到空间几何体，如图所示，则P A⊥平面ABCD，平面ABCD为直角梯形，P A＝AB＝AD ＝2，BC＝1，所以P A⊥AD，P A⊥AB，P A⊥BC.又BC⊥AB，AB∩P A ＝A，所以BC⊥平面P AB，所以BC⊥PB.在△PCD中，PD＝22，PC＝3，CD＝5，所以△PCD为锐角三角形．所以侧面中的直角三角形为△P AB，△P AD，△PBC，共3个．故选C.8．[2019·四川成都七中二诊]一个棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的体积是()A ．9π B.9π2 C ．36π D ．18π 答案：B解析：由三视图可知，棱锥为三棱锥，放在长方体中，为如图所示的三棱锥A －BCD .该三棱锥的外接球就是长方体的外接球，外接球的直径等于长方体的体对角线的长，所以球的半径R＝12×22＋22＋12＝32，则外接球的体积V ＝43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝9π2.故选B.二、非选择题9．已知在梯形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2，将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体的表面积为________．答案：(5＋2)π解析：由题意得几何体如图所示，旋转体是底面半径为1，高为2的圆柱挖去一个底面半径为1，高为1的圆锥，所以几何体的表面积为一个圆柱底面与圆柱侧面、圆锥侧面之和，即π×12＋2π×1×2＋π×1×12＋12＝(5＋2)π.10．[2019·天津滨海新区七所重点学校联考]一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．答案：4＋6π解析：由三视图可知，几何体由半个圆柱和一个三棱锥的组合体，故体积为12π×22×3＋13×12×4×2×3＝4＋6π.11．如图是一个几何体的三视图，若其正视图的面积等于8 cm 2，俯视图是一个面积为4 3 cm 2的正三角形，则其侧视图的面积等于________．答案：4 3 cm 2解析：易知三视图所对应的几何体为正三棱柱，设其底面边长为a ，高为h ，则其正视图的长为a ，宽为h ，故其面积为S 1＝ah ＝8；①而俯视图是一个底面边长为a 的正三角形，其面积为S 2＝34a 2＝4 3.②由②得a ＝4，代入①得h ＝2.侧视图是一个长为32a ，宽为h 的矩形，其面积为S 3＝32ah ＝4 3 (cm 2)．12．[2019·贵州遵义模拟]已知边长为3的正三角形的三个顶点都在球O 的表面上，且球心O 到平面ABC 的距离为该球半径的一半，则该球的表面积为________．答案：16π3解析：如图，设OO ′⊥平面ABC ，垂足是点O ′.设球的半径为r .∵边长为3的正三角形ABC 的三个顶点都在球O 的表面上，且球心O 到平面ABC 的距离为该球半径的一半，∴AO ′＝23×3×32＝1，OA ＝r ，OO ′＝12r .∵OA 2＝O ′A ＋OO ′2，即r 2＝1＋r 24，解得r 2＝43，∴球O的表面积S ＝4πr 2＝16π3.课时测评○25一、选择题 1．[2019·四川资阳联考]给出下列几个命题，其中正确命题的个数是( )①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②底面为正多边形，且有相邻的两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱；③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等；④若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱．A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：B解析：①错误，只有这两点的连线平行于轴线时才是母线；②正确；③错误，棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等；④平行六面体的两个相对侧面也可能与底面垂直且互相平行，故④不正确．故选B.2．[2019·福州适应性测试]在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为()答案：D解析：由俯视图和正视图可知，该几何体可看成是由一个半圆锥和一个三棱锥组合而成的，且三棱锥的一个面恰为半圆锥的最大轴截面，故相应的侧视图可以为选项D.3．[2019·保定模拟]一只蚂蚁从正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到顶点C1的位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是()A．①②B．①③C．③④D．②④答案：D解析：蚂蚁由点A经正方体的表面，按最短路线爬行到顶点C1的位置，若把平面BCC1B1展开到与平面ABB1A1在同一个平面内，在矩形中连接AC1，会经过BB1的中点，故此时的正视图为②.若把平面ABCD展开到与平面CDD1C1在同一个平面内，在矩形中连接AC1，会经过CD的中点，此时正视图为④. 其他几种展形方式对应的正视图在题中没有出现或者已在②④中了．故选D.4．[2019·黑龙江哈尔滨三中模拟]如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该几何体的体积为( )A ．4B ．2 C.43 D.23 答案：D解析：由三视图可知，几何体为三棱锥，底面为腰长为2的等腰直角三角形，高为1，则该几何体的体积为13×12×2×2×1＝23.故选D.5．[2019·宁夏吴忠联考]某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是32，则正视图中的x 是( )A ．2B ．4.5C ．1.5D ．3 答案：C解析：由三视图可知，几何体为四棱锥，其底面为直角梯形，面积S ＝12×(1＋2)×2＝3.由该几何体的体积V ＝13×3x ＝32，解得x ＝1.5.故选C.6．[2018·全国卷Ⅲ]设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D -ABC 体积的最大值为( )A．12 3 B．18 3 C．24 3 D．54 3 答案：B解析：由等边△ABC的面积为93可得34AB2＝93，所以AB＝6，所以等边△ABC的外接圆的半径为r＝33AB＝2 3.设球的半径为R，球心到等边△ABC的外接圆圆心的距离为d，则d＝R2－r2＝16－12＝2.所以三棱锥D-ABC高的最大值为2＋4＝6，所以三棱锥D-ABC体积的最大值为13×93×6＝18 3.故选B.7．[2019·安徽马鞍山模拟]某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为()A．25π B．26πC．32π D．36π答案：C解析：由三视图可知，该几何体是以俯视图的图形为底面，一条侧棱与底面垂直的三棱锥．如图，三棱锥A－BCD即为该几何体，且AB＝BD＝4，CD＝2，BC＝23，则BD2＝BC2＋CD2，即∠BCD＝90°.故底面外接圆的直径2r＝BD＝4.易知AD 为三棱锥A －BCD 的外接球的直径．设球的半径为R ，则由勾股定理得4R 2＝AB 2＋4r 2＝32，故该几何体的外接球的表面积为4πR 2＝32π.故选C.8．[2019·长春质量监测(一)]《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何？刍甍：底面为矩形的屋脊状的几何体(网格纸中粗线部分为其三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1)，那么该刍甍的体积为( )A ．4B ．5C ．6D ．12答案：B解析：如图，由三视图可还原得几何体ABCDEF ，过E ，F 分别作垂直于底面的截面EGH 和FMN ，将原几何体拆分成两个底面积为3，高为1的四棱锥和一个底面积为32，高为2的三棱柱，所以V ABCDEF ＝2V 四棱锥E －ADHG ＋V 三棱柱EHG －FNM ＝2×13×3×1＋32×2＝5，故选B.二、非选择题9．[2019·福建莆田九中模拟]在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱长为23，在底面△ABC 中，C ＝60°，AB ＝3，则此直三棱柱的外接球的表面积为________．答案：16π解析：由题意可知，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面△ABC的外接圆的半径R ＝3sin60°×12＝1.两个底面中心的连线的中点与顶点的连线就是球的半径，外接球的半径为(3)2＋12＝2，外接球的表面积为4π×22＝16π.10．[2018·全国卷Ⅱ]已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为45°，若△SAB 的面积为515，则该圆锥的侧面积为________． 答案：402π解析：如图，∵SA 与底面成45°角，∴△SAO 为等腰直角三角形．设OA ＝r ，则SO ＝r ，SA ＝SB ＝2r .在△SAB 中，cos ∠ASB ＝78，∴sin ∠ASB ＝158，∴S △SAB ＝12SA ·SB ·sin ∠ASB＝12(2r )2·158＝515，解得r ＝210，∴SA ＝2r ＝45，即母线长l ＝45，∴S 圆锥侧＝πr ·l ＝π×210×45＝402π.11.如图所示，四边形A ′B ′C ′D ′是一平面图形的水平放置的斜二测画法的直观图，在斜二测直观图中，四边形A′B′C′D是一直角梯形，A′B′∥C′D′，A′D′⊥C′D′，且B′C′与y′轴平行，若A′B′＝6，D′C′＝4，A′D′＝2.求这个平面图形的实际面积．解析：根据斜二测直观图画法规则可知，该平面图形是直角梯形，且AB＝6，CD＝4保持不变．由于C′B′＝2A′D′＝2 2.所以CB＝4 2.故平面图形的实际面积为12×(6＋4)×42＝20 2.。