高考数学小题狂练

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高考数学小题专项训练(共40套)

高考小题训练集三基小题训练一一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.函数y =2x +1的图象是（）2.△ABC 中，cos A =135，sin B =53,则cos C 的值为（）A.6556 B.－6556 C.－6516 D. 65163.过点（1，3）作直线l ，若l 经过点（a ,0）和(0,b )，且a ,b ∈N *，则可作出的l 的条数为（）A.1B.2C.3D.多于34.函数f (x )=log a x (a ＞0且a ≠1)对任意正实数x ,y 都有（）A.f (x ·y )=f (x )·f (y )B.f (x ·y )=f (x )+f (y )C.f (x +y )=f (x )·f (y )D.f (x +y )=f (x )+f (y )5.已知二面角α—l —β的大小为60°，b 和c 是两条异面直线，则在下列四个条件中，能使b和c 所成的角为60°的是（）A.b ∥α,c ∥βB.b ∥α,c ⊥βC.b ⊥α,c ⊥βD.b ⊥α,c ∥β6.一个等差数列共n 项，其和为90，这个数列的前10项的和为25，后10项的和为75，则项数n 为（）A.14B.16C.18D.207.某城市的街道如图，某人要从A 地前往B 地，则路程最短的走法有（）A.8种B.10种C.12种D.32种8.若a ,b 是异面直线，a ⊂α,b ⊂β,α∩β=l ，则下列命题中是真命题的为（）A.l 与a 、b 分别相交B.l 与a 、b 都不相交C.l 至多与a 、b 中的一条相交D.l 至少与a 、b 中的一条相交9.设F 1，F 2是双曲线42x －y 2=1的两个焦点，点P 在双曲线上，且1PF ·2PF =0，则|1PF |·|2PF |的值等于（） A.2B.22C.4D.810.f (x )=(1+2x )m +(1+3x )n (m ,n ∈N *)的展开式中x 的系数为13，则x 2的系数为（）A.31B.40C.31或40D.71或8011.从装有4粒大小、形状相同，颜色不同的玻璃球的瓶中，随意一次倒出若干粒玻璃球（至少一粒），则倒出奇数粒玻璃球的概率比倒出偶数粒玻璃球的概率（）A.小B.大C.相等D.大小不能确定12.如右图，A、B、C、D是某煤矿的四个采煤点，l是公路，图中所标线段为道路，ABQP、BCRQ、CDSR近似于正方形.已知A、B、C、D四个采煤点每天的采煤量之比约为5∶1∶2∶3，运煤的费用与运煤的路程、所运煤的重量都成正比.现要从P、Q、R、S中选出一处设立一个运煤中转站，使四个采煤点的煤运到中转站的费用最少，则地点应选在（）A.P点B.Q点C.R点D.S点二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上）13.抛物线y2=2x上到直线x－y+3=0距离最短的点的坐标为_________.14.一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2，3，6，这个长方体对角线的长是_________.15.设定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)+f(x)=1,且当x∈［1,2］时，f(x)=2－x,则f(8.5)=_________.16.某校要从甲、乙两名优秀短跑选手中选一名选手参加全市中学生田径百米比赛，该校预先对这两名选手测试了8次，测试成绩如下：根据测试成绩，派_________（填甲或乙）选手参赛更好，理由是____________________. 答案：一、1.A 2.D 3.B 4.B 5.C 6.C 7.B 8.D 9.A 10.C 11.B 12.B 二、13.（21，1） 14.6 15. 21三基小题训练二一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如图，点O 是正六边形ABCDEF 的中心，则以图中点 A 、B 、C 、D 、E 、F 、O 中的任意一点为始点，与始点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量外，与向量共线的向量共有（）A ．2个B ． 3个C ．6个D ． 7个2．已知曲线C ：y 2=2px 上一点P 的横坐标为4,P 到焦点的距离为5,则曲线C 的焦点到准线的距离为 ( )A ． 21B ． 1C ． 2D ． 4EFDOC BA,.3．若(3a 2 －312a ) n 展开式中含有常数项，则正整数n 的最小值是（）A ．4B ．5C ． 6D ． 84．从5名演员中选3人参加表演，其中甲在乙前表演的概率为（）A ． 203B ． 103C ． 201D ． 1015．抛物线y 2=a(x+1)的准线方程是x=－3，则这条抛物线的焦点坐标是（） A.（3，0） B.（2，0） C.（1，0） D.（-1，0）6．已知向量ｍ＝（a ，b ），向量ｎ⊥ｍ，且｜ｎ｜＝｜ｍ｜，则ｎ的坐标可以为（） A.（a ，－b ） B.（－a ，b ） C.（b ，－a ） D.（－b ，－a ）7. 如果S =｛x ｜x =2n +1,n ∈Z ｝,T =｛x ｜x =4n ±1,n ∈Z ｝,那么A.S TB.T SC.S=TD.S ≠T8．有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有（）A ．36种B ．48种C ．72种D ．96种9．已知直线l 、m ，平面α、β，且l ⊥α,m β.给出四个命题：（1）若α∥β,则l ⊥m ; (2)若l ⊥m ,则α∥β;(3)若α⊥β,则l ∥m ;(4)若l ∥m ,则α⊥β,其中正确的命题个数是( )A.4B.1C.3D.210．已知函数f(x)＝log 2(x 2－ax ＋3a)在区间[2，＋∞)上递增，则实数a 的取值范围是（）A.(－∞，4)B.(－4，4]C.(－∞，－4)∪[2，＋∞)D.[－4，2)11．4只笔与5本书的价格之和小于22元，而6只笔与3本书的价格之和大于24元，则2只笔与3本书的价格比较（）A ．2只笔贵B ．3本书贵C ．二者相同D ．无法确定12．若α是锐角，sin(α－6π)=31,则cos α的值等于 A.6162- B. 6162+ C. 4132+ D. 3132-二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．答案填在题中横线上． 13．在等差数列｛a n ｝中，a 1=251,第10项开始比1大，则公差d 的取值范围是___________.14．已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1，底面边长与侧棱长的比为2∶1，则直线AB 1与CA 1所成的角为。

【小题狂练】高考数学20

满分练20姓名：______________班级：______________选择题（请用2B 铅笔填涂）填空题（请在各试题的答题区内作答）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的．1．已知集合()(),{|210},{|03}U R A x x x B x x ==-+≤=≤<，则()U C A B ⋃= （）A. ()1,3-B. ][(),13,-∞-⋃+∞ C. []1,3- D. ()[),13,-∞-⋃+∞2．已知复数31iz i+=-，其中i 为虚数单位，则复数所对应的点在（） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3．已知p:∃x >0,e x −ax <1成立, q:函数f(x)=−(a −1)x 是减函数, 则p 是q 的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4．如图所示，在边长为1的正方形OABC 内任取一点P ，用A 表示事件“点P 恰好取自由曲线y =1x =及x 轴所围成的曲边梯形内”， B 表示事件“点P 恰好取自阴影部分内”，则(|)P B A =( )A.B.29 C. 78 D. 795．已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回.则他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为（）A.310 B. 29 C. 78 D. 796．在ABC △中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 对边的长，若423aBC bCA cAB ++=0u u u ru u u ru u u r，则=B cos （） A ．2411-B ．2411C ．3629D ．3629- 7．已知0ω>，将函数()cos f x x ω=的图像向右平移2π个单位后得到函数()sin 4g x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，则ω的最小值是（）A. 3B.43 C. 23 D. 328．设正项等差数列{a n } 的前n 项和为S n ，若S 2017=4034 ,则1a 9+9a2009的最小值为（）A. 32 B. 94 C. 2 D. 49．若实数,x y 满足不等式220{10x y x y y m++≥+-≤≥，且x y -的最大值为5，则实数m 的值为（）A. 0B. -1C. -2D. -510．某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为A.883π+ B. 1683π+ C. 8163π+ D. 16163π+ 11．已知直线l 1是抛物线C:y 2=8x 的准线，P 是C上的一动点，则P 到直线l 1与直线l 2:3x −4y +24=0的距离之和的最小值为（） A.245B. 265C. 6D. 32512．设函数f(x)在R 上存在导数f′(x)，∀x ∈R ，有f(−x)+f(x)=x 2，在(0,+∞)上f′(x)<x ，若f(4−m)−f(m)≥8−4m ，则实数m 的取值范围为（）A. [2,+∞)B. [−2,2]C. [0,+∞)D. (−∞,−2]∪[2,+∞)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知22142(0,0)x y xy x y =+-<<，则2x y +的取值范围为__________．14．已知在三棱锥P −ABC 中，V P−ABC =4√33，∠APC =π4，∠BPC =π3，PA ⊥AC ，PB ⊥BC，且平面PAC ⊥平面PBC ，那么三棱锥P −ABC 外接球的体积为__________．15．高三某班要安排6名同学值日（周日休息），每天安排一人，每人值日一天，要求甲必须安排在周一到周四的某一天，乙必须安排在周五或周六的某一天，则不同的值日生表有种．16．已知a b ，为正实数，直线y x a =-与曲线ln()y x b =+相切，则22a b+的取值范围___________.参考答案1．D【解析】因为{|12},{|03}A x x B x x =-≤≤=≤<，则{|13}A B x x ⋃=-≤<，为(){|1U C A B x x ⋃=<-或3}x ≥，应选答案D 。

2022届新高考版数学小题狂练24(含解析)

A. B.2C.4D.4或
7.(考点:样本的数字特征,★★★)一张白纸上曾经写有x1,x2,…,x16等16个数据,由于时间长了,除了数据9.22比较清楚外,剩下的15个数据模糊不清,但是这15个数据的平均数为10.02,16个数据的标准差s= ≈0.212,其中i=1,2,…,16,则 =().(结果保留小数点后三位数字)
C.f(x)的最小值为3
D.f >f >f
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.(考点:平面向量,★)已知向量a=(2,y),b=(1,-1),若|a-b|=|a+b|,则y的值为.
14.(考点:二项式定理,★★)若(ax+1)(x-1)5的展开式中,x3的系数是20,则a=.
15.(考点:古典概型,★★)定义个位数字比十位数字大,千位数字是偶数,百位数字为奇数的四位数为“特征数”.从由数字1,2,3,4组成的没有重复数字的四位数中任取一个,则这个四位数是“特征数”的概率为.
11.(考点:三角函数的图象和性质,★★★)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ) 在区间上单调,若f(x)的图象经过点(0,-1),且f(x)的图象向左平移π个单位长度之后与原图象重合,则下列说法正确的是().
A.f(x)的周期为π
B. 是f(x)的一个极值点
C.f(x)在[-π,π]上有4个零点
A. B.2C.4D.4或
【解析】由已知得tan∠CF2F1= = ,
又b2=c2-a2,∴64a2-60ac+11c2=0,
∴11e2-60e+6ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ=0,解得e=4或e= .
又∵c-2a>0,∴e>2,
∴e=4.

(整理版)高考数学小题狂做冲刺训练(详细解析)

高考数学小题狂做冲刺训练〔详细解析〕、选择题〔本大题共10小题，每题5分，共50分。

在每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的〕 1.点P 在曲线323+-=x x y 上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，那么角α的取值范围是( )A.［0，2π］B.［0，2π〕∪［43π,π) C.［43π,π) D.(2π,43π］解析:∵y′＝3x 2-1,故导函数的值域为［-1，+∞). ∴切线的斜率的取值范围为［-1,+∞〕. 设倾斜角为α,那么tanα≥-1. ∵α∈［0,π),∴α∈［0,2π)∪［43π,π).答案:B2.假设方程x 2+ax+b ＝0有不小于2的实根,那么a 2+b 2的最小值为( )A.3B.516 C.517 D.518 解析:将方程x 2+ax+b ＝0看作以(a,b)为动点的直线l:xa+b+x 2＝0的方程,那么a 2+b 2的几何意义为l 上的点(a,b)到原点O(0,0)的距离的平方,由点到直线的距离d 的最小性知a 2+b 2≥d 2＝211)1(1)100(2224222-+++=+=+++x x x x x x (x ≥2), 令u ＝x 2+1,易知21)(-+=u u u f (u ≥5)在［5,+∞)上单调递增,那么f(u)≥f(5)＝516, ∴a 2+b 2的最小值为516.应选B. 答案:B3.国际上通常用恩格尔系数来衡量一个国家或地区人民生活水平的状况,它的计算公式为yxn =(x:人均食品支出总额,y:人均个人消费支出总额),且y ＝2x+475.各种类型家庭情相同的情况下人均少支出75元，那么该家庭属于( )解析:设1998年人均食品消费x 元，那么人均食品支出：x(1-7.5%)＝92.5%x,人均消费支出：2×92.5%x+475，由题意,有2×92.5%x+475+75＝2x+475,∴x＝500. 此时，14005.462475%5.922%5.92=+⨯=x x x ≈0.3304＝33.04%,应选D.答案:D4.(海南、宁夏高考,文4)设f(x)＝xlnx,假设f′(x 0)＝2,那么x 0等于( )2B.eC.22ln 解析:f′(x)＝lnx+1,令f′(x 0)＝2, ∴lnx 0+1＝2.∴lnx 0＝1.∴x 0＝e. 答案:B5.n ＝log n+1 (n+2)(n∈N *).定义使a 1·a 2·a 3·…·a k 为整数的实数k 为奥运桔祥数,那么在区间［1,2 008］内的所有奥运桔祥数之和为( )A.1 004B.2 026C.4 072D.2 044解析:a n ＝log n+1 (n+2)＝)1lg()2lg(++n n ,a 1·a 2·a 3·…·a k ＝2lg )2lg()1lg()2lg(4lg 5lg 3lg 4lg 2lg 3lg +=++••k k k . 由题意知k+2＝22,23,…,210,∴k＝22-2,23-2,…,210-2.∴S＝(22+23+…+210)-2×9＝20261821)21(49=---. 答案：B6.从2 004名学生中选取50名组成参观团,假设采用下面的方法选取,先用简单随机抽样法从2 004人中剔除4人,剩下的 2 000人再按系统抽样的方法进行,那么每人入选的概率〔〕A ．不全相等B ．均不相等C ．都相等且为002125D ．都相等且为401解析：抽样的原那么是每个个体被抽到的概率都相等,所以每人入选的概率为002125. 答案：C7.将数字1,2,3,4,5,6拼成一列，记第i 个数为a i 〔i ＝1,2,…,6〕,假设a 1≠1,a 3≠3,5≠5,a 1＜a 3＜a 5,那么不同的排列方法种数为〔〕A ．18B ．30C ．36D ．48 解析：∵a 1≠1且a 1＜a 3＜a 5,∴〔1〕当a 1＝2时，a 3为4或5,a 5为6，此时有12种；〔2〕当a 1＝3时，a 3仍为4或5，a 5为6，此时有12种；〔3〕当a 1＝4时，a 3为5，a 5为6，此时有6种. ∴共30种. 答案：B8.在某地的奥运火炬传递活动中,有编号为1,2,3,…,18的18名火炬手.假设从中任选3人,那么选出的火炬手的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为〔〕A ．511 B ．681 C ．3061 D ．4081 解析：属于古典概型问题,根本领件总数为318C ＝17×16×3,选出火炬手编号为a n ＝a 1＋3〔n －1〕〔1≤n ≤6〕,a 1＝1时,由1,4,7,10,13,16可得4种选法; a 1＝2时,由2,5,8,11,14,17可得4种选法; a 1＝3时,由3,6,9,12,15,18可得4种选法. 故所求概率68131617444444318=⨯⨯++=++=C P . 答案：B9.复数i 3(1+i)2等于( )A.2B.-2 C解析：i 3(1+i)2=-i(2i)=-2i 2=2. 答案：A 10.(全国高考卷Ⅱ,4)函数x xx f -=1)(的图象关于( ) A.y 轴对称 B.直线y ＝-x 对称 C.坐标原点对称 D.直线y ＝x 对称解析: x xx f -=1)(是奇函数,所以图象关于原点对称. 答案:C、填空题〔本大题共5小题，每题5分，共25分〕11.垂直于直线2x-6y+1=0且与曲线y=x 3+3x 2-5相切的直线方程为___________________.解析：与直线2x-6y+1=0垂直的直线的斜率为k=-3,曲线y=x 3+3x 2-5的切线斜率为y ′=3x 2+6x.依题意,有y ′=-3,即3x 2+6x=-3,得x=-1.当x=-1时，y=(-1)3+3·(-1)2-5=-3.故所求直线过点(-1，-3)，且斜率为-3,即直线方程为y+3=-3(x+1), 即3x+y+6=0. 答案：3x+y+6=0 12.函数13)(--=a axx f (a≠1).假设f(x)在区间(0,1］上是减函数，那么实数a 的取值范围是______________. 解析：由03)1(2)('<--=axa a x f ,⎪⎩⎪⎨⎧<->-②,0)1(2①,03a aax由①,得a ＜x3≤3. 由②,得a ＜0或a ＞1,∴当a ＝3时,f(x)在x∈(0,1)上恒大于0,且f(1)＝0,有f(x)＞f(1). ∴a 的取值范围是(-∞,0)∪(1,3］. 答案:(-∞,0)∪(1,3］ 13.平面上三点A 、B 、C满足3||=AB ,5||=CA ,4||=BC ,那么AB CA CA BC BC AB •+•+•的值等于________________.解析：由于0=++CA BC AB ，∴)(2||||||)(2222AB CA CA BC BC AB CA BC AB CA BC AB •+•+•+++=++0)(225169=•+•+•+++=AB CA CA BC BC AB ,即可求值.答案：-2514.设一次试验成功的概率为p,进行100次独立重复试验，当p=_________________时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为___________________________________.解析：4)2(2n q p n npq D =+≤=ξ,等号在21==q p 时成立，此时Dξ＝25，σξ＝5. 答案：215 15.设z 1是复数,112z i z z -=(其中1z 表示z 1的共轭复数),z 2的实部是-1,那么z 2的虚部为___________________.解析：设z 1=x+yi(x,y ∈R),那么yi x z -=1. ∴z 2=x+yi-i(x-yi)=x-y+(y-x)i. ∵x-y=-1, ∴y-x=1. 答案：1。

2022届新高考版数学小题狂练03(含解析)

小题专练03三角函数、平面向量与解三角形(A)一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(考点:三角函数的定义,★)若角α的终边过点(-sin 45°,cos 30°),则sin α=( ). A .√32 B .√155C .-√155D .-√322.(考点:三角恒等变换,★)已知tan α=-4,则cos(π-2α)=( ). A .35 B .310 C .1517 D .3√10103.(考点:平面向量与三角函数的综合,★★)已知向量a=(sin α,3),b=(-1,cos α),且a ⊥b ,则sin2αsinαcosα+cos 2α=( ).A .23 B .32 C .1 D .524.(考点:三角函数的图象与性质,★★)若函数y=3sin(3x+φ)的图象关于点(5π4,0)中心对称,则|φ|的最小值为( ). A .π3 B .π6 C .π4 D .π125.(考点:平面向量的数量积,★★)设向量a ,b 满足|a+b|=3,|a-b|=2,则a ·b=( ). A .1 B .54 C .32 D .746.(考点:三角函数的图象变换,★★)函数f (x )=A sin(ωx+φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示,为了得到y=sin (2x -π3)的图象,只需将f (x )的图象上( ).A .各点的横坐标变为原来的2倍,再向右平移π6个单位长度 B .各点的横坐标变为原来的12,再向右平移π3个单位长度C .各点的横坐标变为原来的2倍,再向左平移π6个单位长度 D .各点的横坐标变为原来的12,再向左平移π3个单位长度7.(考点:正、余弦定理的综合应用,★★★)已知在△ABC 中,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 所对的边,且a=2,c cosA+a cos C=-2√33b cos B ,△ABC 的面积S=√3,则b=( ). A .√13B .√14C .2√7D .√218.(考点:三角恒等变换及函数的性质,★★★)已知函数f (x )=√3sin 2(2π-ωx )+sin ωx cos ωx+√32,且f (α)=√3+1,f (β)=√3,若|α-β|的最小值是π,则下列结论正确的是( ). A .ω=1,函数f (x )的最大值为1 B .ω=12,函数f (x )的最大值为√3+1 C .ω=14,函数f (x )的最大值为√3+1 D .ω=12,函数f (x )的最大值为1二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分. 9.(考点:三角恒等变换,★★)下列各式中,值为12的有( ). A .2√33sin 30°cos 30° B .cos 230°-sin 230° C .1-2cos 230° D .sin 230°+cos 230°10.(考点:平面向量的坐标运算,★★)已知向量a+b=(5,3),a-b=(-3,1),c=(-2,1),设a ,b 的夹角为θ,则( ). A .|a|=|b| B .a ⊥cC .b ∥cD .cos θ=6√858511.(考点:三角函数的基本性质,★★)已知函数f (x )=sin x+|cos x|,则下列命题正确的是( ). A .该函数为奇函数B .该函数的最小正周期为2πC .该函数的图象关于直线x=π2对称D .该函数的单调递增区间为[-π2+2kπ,π2+2kπ],k ∈Z12.(考点:解三角形,★★★)已知△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,则下列四个命题中正确的是( ). A .若a 2+b 2-c 2<0,则△ABC 一定是钝角三角形 B .若acosA =bcosB =ccosC ,则△ABC 一定是等边三角形 C .若a cos A=b cos B ,则△ABC 一定是等腰三角形D .若b cos C=c cos B ,则△ABC 一定是等腰三角形三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(考点:向量共线的条件,★★)已知a=(3,2),b=(k ,5),若(a+2b )∥(4a-3b ),则k= .14.(考点:两角和与差的正、余弦公式,★★)已知α,β为锐角,cos α=35,sin(α+β)=1213,则cos β= . 15.(考点:平面向量的数量积,★★)已知等边△ABC 的边长为6,平面内一点P 满足CP⃗⃗⃗⃗⃗ =12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则PA⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ = . 16.(考点:三角恒等变换及函数的性质,★★★)已知函数f (x )=sin 2x-sin 2(x -π6),x ∈R,则f (x )的最小值为 ;单调递增区间为 .答案解析：一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(考点:三角函数的定义,★)若角α的终边过点(-sin 45°,cos 30°),则sin α=( ). A .√32 B .√155C .-√155D .-√32【解析】由题意可知角α的终边过点(-√22,√32), 故sin α=√32√(-√22)+(√32)=√155. 【答案】B2.(考点:三角恒等变换,★)已知tan α=-4,则cos(π-2α)=( ). A .35 B .310 C .1517 D .3√1010【解析】由题意得,cos(π-2α)=-cos 2α=-cos 2α+sin 2α=-cos 2α+sin 2αsin α+cos α=-1+tan 2αtan α+1=-1+1616+1=1517.【答案】C3.(考点:平面向量与三角函数的综合,★★)已知向量a=(sin α,3),b=(-1,cos α),且a ⊥b ,则sin2αsinαcosα+cos 2α=( ).A .23 B .32 C .1 D .52【解析】因为a ⊥b ,所以a ·b=-sin α+3cos α=0,即sin α=3cos α,所以tan α=3, 故sin2αsinαcosα+cos 2α=2tanαtanα+1=32.【答案】B4.(考点:三角函数的图象与性质,★★)若函数y=3sin(3x+φ)的图象关于点(5π4,0)中心对称,则|φ|的最小值为( ). A .π3 B .π6 C .π4 D .π12【解析】由题意可得3sin (3×5π4+φ)=0,故3×5π4+φ=k π,k ∈Z,解得φ=k π-15π4,k ∈Z,令k=4,可得|φ|的最小值为π4. 【答案】C5.(考点:平面向量的数量积,★★)设向量a ,b 满足|a+b|=3,|a-b|=2,则a ·b=( ). A .1 B .54 C .32 D .74【解析】由题意可得,a 2+2a ·b+b 2=9,a 2-2a ·b+b 2=4, 两式相减,得4a ·b=9-4=5, 即a ·b=54. 【答案】B6.(考点:三角函数的图象变换,★★)函数f (x )=A sin(ωx+φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示,为了得到y=sin (2x -π3)的图象,只需将f (x )的图象上( ).A .各点的横坐标变为原来的2倍,再向右平移π6个单位长度B .各点的横坐标变为原来的12,再向右平移π3个单位长度 C .各点的横坐标变为原来的2倍,再向左平移π6个单位长度 D .各点的横坐标变为原来的12,再向左平移π3个单位长度【解析】根据函数f (x )=A sin(ωx+φ)(A >0,ω>0,φ<π2)的部分图象,可得A=1,34T=7π6-(-π3)=3π2,解得T=2π, 所以ω=2πT =1.再根据五点作图法可得7π6+φ=3π2,则φ=π3,故f (x )=sin (x +π3).则将函数y=f (x )的图象上各点的横坐标变为原来的12,得到y=sin (2x +π3)的图象,再向右平移π3个单位长度,得到y=sin (2x -π3)的图象. 故选B.【答案】B7.(考点:正、余弦定理的综合应用,★★★)已知在△ABC 中,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 所对的边,且a=2,c cosA+a cos C=-2√33b cos B ,△ABC 的面积S=√3,则b=( ). A .√13B .√14C .2√7D .√21【解析】由正弦定理可得sin C cos A+sin A cos C=-2√33sin B cos B ,即sin(A+C )=-2√33sin B cos B , 所以sin B=-2√33sin B cos B , 又sin B ≠0,所以cos B=-√32,则B=150°. 因为a=2,△ABC 的面积S=√3, 所以S=12ac sin B=12×2×c ×12=√3,解得c=2√3,所以b=√a 2+c 2-2accosB =2√7. 【答案】C8.(考点:三角恒等变换及函数的性质,★★★)已知函数f (x )=√3sin 2(2π-ωx )+sin ωx cos ωx+√32,且f (α)=√3+1,f (β)=√3,若|α-β|的最小值是π,则下列结论正确的是( ). A .ω=1,函数f (x )的最大值为1 B .ω=12,函数f (x )的最大值为√3+1 C .ω=14,函数f (x )的最大值为√3+1 D .ω=12,函数f (x )的最大值为1【解析】f (x )=√3sin 2(2π-ωx )+sin ωx cos ωx+√32=√3sin 2ωx+12sin 2ωx+√32=12sin 2ωx-√32cos 2ωx+√3=sin (2ωx -π3)+√3,由题意可得该函数的周期为π×4=4π,则2π2ω=4π,所以ω=14,则f (x )=sin (12x -π3)+√3,故f (x )的最大值为√3+1. 【答案】C二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分. 9.(考点:三角恒等变换,★★)下列各式中,值为12的有( ). A .2√33sin 30°cos 30° B .cos 230°-sin 230° C .1-2cos 230° D .sin 230°+cos 230° 【解析】A 符合,2√33sin 30°cos 30°=√33sin 60°=12; B 符合,cos 230°-sin 230°=cos 60°=12; C 不符合,1-2cos 230°=-cos 60°=-12; D 不符合,sin 230°+cos 230°=1. 故选AB . 【答案】AB10.(考点:平面向量的坐标运算,★★)已知向量a+b=(5,3),a-b=(-3,1),c=(-2,1),设a ,b 的夹角为θ,则( ). A .|a|=|b| B .a ⊥cC .b ∥cD .cos θ=6√8585【解析】根据题意,a+b=(5,3),a-b=(-3,1),则a=(1,2),b=(4,1), 对于A 项,|a|=√5,|b|=√17,则|a|=|b|不成立,A 错误; 对于B 项,a=(1,2),c=(-2,1),则a ·c=0,即a ⊥c ,B 正确; 对于C 项,b=(4,1),c=(-2,1),b ∥c 不成立,C 错误;对于D 项,a=(1,2),b=(4,1),则a ·b=6,|a|=√5,|b|=√17,则cos θ=a ·b|a ||b |=6√8585,D 正确.故选BD . 【答案】BD11.(考点:三角函数的基本性质,★★)已知函数f (x )=sin x+|cos x|,则下列命题正确的是( ).A .该函数为奇函数B .该函数的最小正周期为2πC .该函数的图象关于直线x=π2对称D .该函数的单调递增区间为[-π2+2kπ,π2+2kπ],k ∈Z【解析】当cos x ≥0时,f (x )=sin x+cos x=√2sin (x +π4),当cos x<0时,f (x )=sin x-cos x=√2sin (x -π4), 画出函数图象,如图所示.根据图象知,函数不是奇函数,A 错误;f (x+2π)=sin(x+2π)+|cos(x+2π)|=sin x+|cos x|=f (x ),故该函数的最小正周期为2π,B 正确; f (π-x )=sin(π-x )+|cos(π-x )|=sin x+|cos x|=f (x ),故该函数的图象关于直线x=π2对称,C 正确;由图象可知,在[-π2,π2]上,函数f (x )不单调,所以f (x )的单调递增区间不为[-π2+2kπ,π2+2kπ],k ∈Z,D 错误. 故选BC . 【答案】BC12.(考点:解三角形,★★★)已知△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,则下列四个命题中正确的是( ). A .若a 2+b 2-c 2<0,则△ABC 一定是钝角三角形 B .若acosA =bcosB =c cosC ,则△ABC 一定是等边三角形 C .若a cos A=b cos B ,则△ABC 一定是等腰三角形 D .若b cos C=c cos B ,则△ABC 一定是等腰三角形【解析】对于A,若a 2+b 2-c 2<0,由余弦定理可知cos C=a 2+b 2-c 22ab<0,角C 为钝角,故A 正确;对于B,因为acosA =bcosB =ccosC ,由正弦定理得a=2R sin A ,b=2R sin B ,c=2R sin C ,所以tan A=tan B=tan C ,所以A=B=C ,所以△ABC 一定是等边三角形,故B 正确;对于C,若a cos A=b cos B ,由正弦定理得sin 2A=sin 2B ,所以A=B 或A+B=π2,所以△ABC 是等腰三角形或直角三角形,故C 错误;对于D,若b cos C=c cos B ,由正弦定理得sin B cos C=sin C cos B ,则sin B cos C-sin C cos B=0,所以sin(B-C )=0,得B=C ,所以△ABC 一定是等腰三角形,故D 正确. 故选ABD . 【答案】ABD三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(考点:向量共线的条件,★★)已知a=(3,2),b=(k ,5),若(a+2b )∥(4a-3b ),则k= . 【解析】由题意得a+2b=(3+2k ,12),4a-3b=(12-3k ,-7), 因为(a+2b )∥(4a-3b ), 所以(3+2k )·(-7)=12·(12-3k ), 解得k=152.【答案】15214.(考点:两角和与差的正、余弦公式,★★)已知α,β为锐角,cos α=35,sin(α+β)=1213,则cos β= . 【解析】由题意得sin α=2α=45,cos(α+β)=±√1-sin 2(α+β)=±513.当cos(α+β)=513时,cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=513×35+1213×45=6365; 当cos(α+β)=-513时,cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=-513×35+1213×45=3365. 综上所述,cos β的值为6365或3365. 【答案】6365或336515.(考点:平面向量的数量积,★★)已知等边△ABC 的边长为6,平面内一点P 满足CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则PA⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ = . 【解析】由CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,可得PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =23CA ⃗⃗⃗⃗⃗ -12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ -CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ -13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ , 故PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(23CA ⃗⃗⃗⃗⃗ -12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ -13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ -29CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2-14CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2 =12×18-29×36-14×36=-8. 【答案】-816.(考点:三角恒等变换及函数的性质,★★★)已知函数f (x )=sin 2x-sin 2(x -π6),x ∈R,则f (x )的最小值为 ;单调递增区间为 .【解析】由题意,f (x )=sin 2 x-sin 2(x -π6)=12(1-cos 2x )-12[1-cos (2x -π3)]=-14cos 2x+√34sin 2x=12sin (2x -π6),所以函数f (x )的最小值为-12;令-π2+2k π≤2x-π6≤π2+2k π,k ∈Z,则-π6+k π≤x ≤π3+k π,k ∈Z, 即f (x )的单调递增区间为[-π6+kπ,π3+kπ],k ∈Z .【答案】-12 [-π6+kπ,π3+kπ],k ∈Z。

高考数学小题专项训练及答案解析

小题专项训练小题专项训练1 集合与简易逻辑一、选择题1．(2019年河南模拟)已知集合A ＝{x |x 2<4}，B ＝{x |x <2－x }，则A ∪B ＝( )A ．{x |－2<x <2}B ．{x |x <2}C ．{x |x >－1}D ．{x |x >－2}【答案】B【解析】由x 2<4得－2<x <2，则A ＝{x |－2<x <2}．由x <2－x 得x <1，则B ＝{x |x <1}．所以A ∪B ＝{x |x <2}．故选B ．2．命题p ：“∀x ∈N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤12”的否定为( )A ．∀x ∈N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >12B ．∀x ∉N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >12C ．∃x 0∉N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0>12D ．∃x 0∈N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0>12【答案】D【解析】命题p 的否定是把“∀”改成“∃”，再把“⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤12”改为“⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0>12”即可． 3．若集合A ＝{2,3,4}，B ＝{x |x ＝n ·m ，m ，n ∈A ，m ≠n }，则集合B 中元素个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A【解析】由题意，B 中的元素有：2×3＝6,2×4＝8,3×4＝12，所以B ＝{6,8,12}．故选A ．4．(2019年浙江模拟)设a ，b 是两个平面向量，则“a ＝b ”是“|a|＝|b|”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】相等向量的模一定相等，模相等的向量不一定相等(因为方向可能不同)，所以“a＝b”是“|a|＝|b|”的充分不必要条件．故选A．5．(2018年山东济宁模拟)设全集U＝A∪B，定义A－B＝{x|x∈A，且x∉B}，集合A，B分别用圆表示，则下列图中阴影部分表示A －B的是()A BC D【答案】C【解析】A－B＝{x|x∈A，且x∉B}，即A－B表示集合A中的元素去掉集合A∩B中的元素．故选C．6．下列命题正确的是()A．“x<1”是“x2－3x＋2>0”的必要不充分条件B．若给定命题p：∃x∈R，x2＋x－1<0，则¬p：∀x∈R，x2＋x －1≥0C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题D．命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝2”的否命题为“若x2－3x＋2＝0，则x≠2”【答案】B【解析】由x<1，可得x2－3x＋2>0，而由x2－3x＋2>0，可得x<1或x>2，所以“x<1”是“x2－3x＋2>0”的充分不必要条件，A错误；易知B正确；C中还有可能p与q一真一假，C错误；D中条件“若x2－3x＋2＝0”也应该否定．故选B．7．设集合A＝{x|y＝lg(－x2＋x＋2)}，B＝{x|x－a>0}，若A⊆B，则实数a的取值范围是()A．(－∞，2)B．(－∞，2]C．(－∞，－1)D．(－∞，－1]【答案】D【解析】A＝{x|y＝lg(－x2＋x＋2)}＝{x|－1<x<2}，B＝{x|x>a}．因为A⊆B，所以a≤－1.8．(2019年四川成都模拟)命题p：∀x∈R，x2＋1＞0，命题q：∃θ∈R，sin2θ＋cos2θ＝1.5，则下列命题中是真命题的是() A．p∧q B．(¬p)∧qC．(¬p)∨q D．p∨(¬q)【答案】D【解析】x∈R时，x2＋1＞0恒成立，故p是真命题．对任意θ∈R，sin2θ＋cos2θ＝1，不可能等于1.5，故q是假命题．所以p∧q，(¬p)∧q，(¬p)∨q都是假命题，p∨(¬q)是真命题．故选D．9．(2019年浙江模拟)设a>0，b>0，则“lg(ab)>0”是“lg(a＋b)>0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当lg(ab)>0时，ab>1，结合a>0，b>0可知a，b中至少有一个大于1，则a＋b>1，可以推出lg(a＋b)>0.当lg(a＋b)>0时，a＋b>1，则ab>1不一定成立，如a＝b＝23时，a＋b>1但ab<1，所以推不出lg(ab)>0.综上所述，“lg(ab)>0”是“lg(a＋b)>0”的充分不必要条件．10．(2018年山东师大附中模拟)已知函数f(x)＝x2－2x＋3，g(x)＝kx－1，则“|k|≤1”是“f(x)≥g(x)在R上恒成立”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若f(x)≥g(x)，则x2－(2＋k)x＋4≥0，所以f(x)≥g(x)在R上恒成立⇔(2＋k)2－16≤0⇔－6≤k≤2；而|k|≤1⇔－1≤k≤1.所以“|k|≤1”是“f(x)≥g(x)在R上恒成立”的充分不必要条件．故选A．11．设集合S＝{A0，A1，A2，A3}，在S上定义运算⊕：A i⊕A j ＝A k，k为i＋j除以4的余数(i，j＝0,1,2,3)，则满足关系式(x⊕x)⊕A2＝A0的x(x∈S)的个数为()A．4B．3C．2D．1【答案】C【解析】因为x∈S＝{A0，A1，A2，A3}，故x的取值有四种情况．若x＝A0，根据定义得(x⊕x)⊕A2＝A0⊕A2＝A2，不符合题意，同理可以验证x＝A1，x＝A2，x＝A3三种情况，其中x＝A1，x＝A3符合题意．故选C．12．在下列结论中，正确的是()①命题p：“∃x0∈R，x20－2≥0”的否定形式为¬p：“∀x∈R，x2－2<0”；②O 是△ABC 所在平面上一点，若OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，则O 是△ABC 的垂心；③“M >N ”是“⎝ ⎛⎭⎪⎫23M >⎝ ⎛⎭⎪⎫23N ”的充分不必要条件；④命题“若x 2－3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题为“若x ≠4，则x 2－3x －4≠0”．A ．①③B ．②④C ．①②③D ．①②④【答案】D【解析】由特称(存在性)命题与全称命题的关系可知①正确；∵OA→·OB →＝OB →·OC →，∴OB →·(OA →－OC →)＝0，即OB →·CA →＝0，∴OB →⊥CA →，同理可知OA→⊥BC →，OC →⊥BA →，故点O 是△ABC 的垂心，②正确；∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 是减函数，∴当M >N 时，⎝ ⎛⎭⎪⎫23M <⎝ ⎛⎭⎪⎫23N ，当⎝ ⎛⎭⎪⎫23M >⎝ ⎛⎭⎪⎫23N 时，M <N ，∴“M >N ”是“⎝ ⎛⎭⎪⎫23M >⎝ ⎛⎭⎪⎫23N”的既不充分也不必要条件，③错误；由逆否命题的写法可知④正确．综上，正确的结论是①②④.二、填空题13．已知A ＝{y |y ＝10x －1}，B ＝{x |y ＝lg(4－x 2)}，则(∁R A )∩B ＝________.【答案】(－2，－1]【解析】∵A ＝{y |y ＝10x －1}＝{y |y >－1}， ∴∁R A ＝{y |y ≤－1}．又B ＝{x |－2<x <2}， ∴(∁R A )∩B ＝(－2，－1]．14．(2018年广西防城港期末)若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，m ≥2tan x ”是真命题，则实数m 的最小值为________．【答案】23【解析】当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3时，2tan x 的最大值为2tan π3＝23，∴m ≥23，实数m 的最小值为2 3.15．已知集合A ＝{x |1≤x <5}，C ＝{x |－a <x ≤a ＋3}，若C ∩A ＝C ，则a 的取值范围是________．【答案】(－∞，－1]【解析】由C ∩A ＝C ，可得C ⊆A .①当C ＝∅时，满足C ⊆A ，此时－a ≥a ＋3，解得a ≤－32；②当C ≠∅时，要使C ⊆A ，需满足⎩⎪⎨⎪⎧－a ＜a ＋3，－a ≥1，a ＋3＜5，解得－32<a ≤－1.由①②得a ≤－1.16．设命题p ：2x －1x －1<0；命题q ：关于x 的不等式x 2－(2a ＋1)x＋a (a ＋1)≤0.若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．【答案】⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12【解析】由2x －1x －1<0，得(2x －1)(x －1)<0，解得12<x <1.由x 2－(2a＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，解得a ≤x ≤a ＋1.由题意得⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1[a ，a ＋1]，故⎩⎨⎧a ≤12，a ＋1≥1，解得0≤a ≤12. 小题专项训练2 函数的图象与性质一、选择题1．函数f (x )＝1x －1＋x 的定义域为( )A ．[0，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．[0,1)∪(1，＋∞)D ．[0,1)【答案】C【解析】由题意知x ≥0且x ≠1.故选C ．2．(2019年福建厦门模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥3，f (x ＋1)，x <3，则f (log 26)的值为( )A ．3B ．6C ．8D ．12【答案】D【解析】因为log 24<log 26<log 28，即2<log 26<3，所以f (log 26)＝f (log 26＋1)＝2log 26＋1＝2log 212＝12.故选D ．3．(2019年北京)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m 2－m 1＝52lg E 1E 2，其中星等为m k的星的亮度为E k (k ＝1,2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为A ．1010.1B ．10.1C ．lg 10.1D ．10－10.1【答案】A【解析】设太阳的星等是m 1＝－26.7，天狼星的星等是m 2＝－1.45，由题意可得－1.45－(－26.7)＝52lg E 1E 2，所以lg E 1E 2＝10.1，则E 1E 2＝1010.1.故选A ．4．(2019年上海)已知ω∈R ，函数f (x )＝(x －6)2·sin ωx ，存在常数a ∈R ，使得f (x ＋a )为偶函数，则ω可能的值为( )A ．π2B ．π3 C ．π4D ．π5【答案】C【解析】若f (x ＋a )为偶函数，则f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．又y ＝(x －6)2关于x ＝6对称，所以a ＝6且y ＝sin ωx 也关于x ＝6对称．所以6ω＝π2＋k π，k ∈Z .当k ＝1时，得ω＝π4.故选C ．5．(2019年浙江)在同一直角坐标系中，函数y ＝1a x ，y ＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12(a ＞0且a ≠1)的图象可能是( )A B C D【答案】D【解析】当0＜a ＜1时，y ＝1a x 是增函数，图象恒过(0,1)，y ＝log a⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12是减函数，图象恒过⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，排除A ，B ；当a ＞1时，y ＝1a x 是减函数，图象恒过(0,1)，y ＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12是增函数，图象恒过⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，排除C ．故选D ．6．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －3，x ＞0，g (x )，x ＜0，是奇函数，则f (g (－2))的值为( )A ．1B ．－1C ．52 D ．－25【答案】A【解析】因为f (x )是奇函数，所以当x ＜0时，g (x )＝－12x ＋3.所以g (－2)＝－1，f (g (－2))＝f (－1)＝g (－1)＝1.7．函数y ＝f (x )在区间[0,2]上单调递增，且函数f (x ＋2)是偶函数，则下列结论成立的是( )A ．f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (1)D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72【答案】B【解析】∵f (x ＋2)是偶函数，∴f (x ＋2)＝f (－x ＋2)，即f (x )的图象关于x ＝2对称．又∵y ＝f (x )在区间[0,2]上单调递增，∴y ＝f (x )在区间[2,4]上单调递减．∵f (1)＝f (3)，72>3>52，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (3)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52.8．如图，动点P 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体对角线BD 1上，过点P 作垂直于平面BB 1D 1D 的直线，与正方体的表面相交于M ，N 两点，设BP ＝x ，MN ＝y ，则函数y ＝f (x )的图象大致是( )ABC D【答案】B【解析】设正方体的棱长为1，当P 移动到体对角线BD 1的中点O 时，函数y ＝MN ＝AC ＝2取得唯一的最大值，排除A ，C ；当P 在BO 上时，分别过M ，N ，P 作底面的垂线，垂足分别为M 1，N 1，P 1，则y ＝MN ＝M 1N 1＝2BP 1＝2x cos ∠D 1BD ＝263x ，是一次函数，排除D ．故选B ．9．若函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g (x )＝f (x )x 在区间(1，＋∞)上一定( )A ．有最大值B ．有最小值C ．是增函数D ．是减函数【答案】C【解析】∵f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，图象开口向上，对称轴为x ＝a ，∴a <1.g (x )＝f (x )x ＝x ＋ax －2a .若a ≤0，则g (x )＝x ＋ax －2a 在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增；若0<a <1，则g (x )＝x ＋ax －2a 在(a ，＋∞)上单调递增，故g (x )在(1，＋∞)上单调递增．综上可得g (x )＝x ＋ax －2a 在(1，＋∞)上一定是增函数．10．(2018年湖南名校高三联考)已知函数f (x )＝(e x －e －x )x 2，若实数m 满足f (log 3m )－f (log 13m )≤2f (1)，则实数m 的取值范围为( )A ．(0,3]B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3 C ．(0,9] D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13∪(3，＋∞) 【答案】A【解析】由题意得函数的定义域为R ，∵f (－x )＝(e －x －e x )(－x )2＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．又当x ≥0时，f ′(x )＝(e x ＋e －x )x 2＋(e x －e－x)·2x ≥0，∴f (x )在[0，＋∞)上单调递增，则在R 上奇函数f (x )为增函数，∴f (log 3m )－f (log 13m )＝f (log 3m )－f (－log 3m )＝2f (log 3m )≤2f (1)，即f (log 3m )≤f (1)，∴log 3m ≤1，解得0<m ≤3.故选A ．11．已知定义在D ＝[－4,4]上的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x 2＋5x ＋4|，－4≤x ≤0，2|x －2|，0<x ≤4，若存在x 1，x 2∈D ，对任意x ∈D ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最大值与最小值之和为( )A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】C【解析】作出f (x )的图象如图所示，由任意x ∈D ，f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，知f (x 1)，f (x 2)分别为f (x )的最小值和最大值，由图可知|x 1－x 2|max ＝8，|x 1－x 2|min ＝1，所以|x 1－x 2|的最大值与最小值之和为9.12．(2019年新课标Ⅱ)设函数f (x )的定义域为R ，满足f (x ＋1)＝2f (x )，且当x ∈(0,1]时，f (x )＝x (x －1)．若对任意x ∈(－∞，m ]，都有f (x )≥－89，则m 的取值范围是A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，94 B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，73 C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，52 D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，83 【答案】B【解析】因为f (x ＋1)＝2f (x )，所以f (x )＝2f (x －1)．因为x ∈(0,1]时，f (x )＝x (x －1)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0，所以x ∈(1,2]时，x －1∈(0,1]，f (x )＝2f (x－1)＝2(x －1)(x －2)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，0，所以x ∈(2,3]时，x －1∈(1,2]，f (x )＝2f (x －1)＝4(x －2)(x －3)∈[－1,0]．f (x )的大致图象如图所示．由4(x －2)(x －3)＝－89，解得x ＝73或x ＝83.若对任意x ∈(－∞，m ]，都有f (x )≥－89，则由图象可知m ≤73.二、填空题13．已知函数f (x )＝x 2＋ax (a ＞0)在(2，＋∞)上为单调递增函数，则实数a 的取值范围为________．【答案】(0,4]【解析】f (x )＝x ＋a x ，则f ′(x )＝1－ax 2.由题意知在(2，＋∞)上f ′(x )≥0，所以a ≤x 2，则0＜a ≤4.14．已知函数f (x )是定义在R 上且周期为4的偶函数，当x ∈[2,4]时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪log 4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的值为________．【答案】12【解析】∵f (x )是定义在R 上且周期为4的偶函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎪⎫4－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72.又当x ∈[2,4]时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪log 4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪log 4⎝ ⎛⎭⎪⎫72－32＝|log 42|＝12.15．(2018年新课标Ⅲ)已知函数f (x )＝ln(1＋x 2－x )＋1，f (a )＝4，则f (－a )＝________.【答案】－2【解析】f (a )＋f (－a )＝ln(1＋a 2－a )＋ln(1＋a 2＋a )＋2＝2，则f (－a )＝2－f (a )＝2－4＝－2.16．已知函数f (x )的定义域为A ，若x 1，x 2∈A 且f (x 1)＝f (x 2)时总有x 1＝x 2，则称f (x )为单函数，例如函数f (x )＝2x ＋1(x ∈R )是单函数．给出下列命题：①函数f(x)＝x2(x∈R)是单函数；②指数函数f(x)＝2x(x∈R)是单函数；③若f(x)为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f(x1)≠f(x2)；④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数．其中真命题的序号是________．【答案】②③④【解析】对于①，当x1＝2，x2＝－2时，f(x1)＝4＝f(x2)，①错误；对于②，f(x)＝2x为单调递增函数，②正确；③④显然正确．故真命题的是②③④.小题专项训练3不等式一、选择题1．(2019年山东临沂模拟)已知集合A＝{x|x2<x＋2}，B＝{x|x<a}，若A⊆B，则实数a的取值范围为()A．(－∞，－1]B．(－∞，2]C．[2，＋∞)D．[－1，＋∞)【答案】C【解析】解不等式x2<x＋2，得－1<x<2，则A＝{x|x2<x＋2}＝{x|－1<x<2}．又B＝{x|x<a}，要使A⊆B，则a≥2.故选C．2．(2018年山西运城模拟)若a>b>0，c<d<0，则一定有()A．ac>bd B．ac<bdC．ad<bc D．ad>bc【答案】B3．(2019年北京)若x，y满足|x|≤1－y，且y≥－1，则3x＋y的最大值为()A．－7B．1C ．5D ．7【答案】C【解析】由|x |≤1－y ，可得y －1≤x ≤1－y ，即x －y ＋1≥0且x ＋y －1≤0.作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －1≤0，y ≥－1表示的平面区域，解相应的方程组可得A (2，－1)，B (－2，－1)，C (0，1)．令z ＝3x ＋y ，化为y ＝－3x ＋z ，由图可知，当直线y ＝－3x ＋z 过点A (2，－1)时，z 有最大值为3×2－1＝5.故选C ．4．(2019年湖南模拟)周长为20的矩形绕其一边旋转形成一个圆柱，该圆柱的侧面积的最大值是( )A ．25πB ．50πC ．100πD ．200π【答案】B【解析】设矩形的两邻边长分别为x ，y 且y 为圆柱的高，则x＋y ＝10，圆柱的侧面积S ＝2πxy ≤2π⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝50π，当x ＝y ＝5时等号成立，所以该圆柱侧面积的最大值为50π.故选B ．5．若关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a 的值为( )A ．52 B ．72 C ．152 D ．172【答案】A【解析】由x 2－2ax －8a 2<0，得(x ＋2a )(x －4a )<0.因为a >0，所以不等式的解集为(－2a,4a )，即x 2＝4a ，x 1＝－2a .由x 2－x 1＝15，得4a －(－2a )＝15，解得a ＝52.6．若实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －2y ＋3≥0，y ≥x ，则z ＝yx ＋1的最小值为( )A ．1B ．34 C ．13 D ．12【答案】D【解析】作出实数x ，y 满足条件的平面区域如图．z ＝yx ＋1的几何意义是点P (x ，y )与点D (－1,0)连线的斜率．易求得A (1,1)，由图可知当P 经过A 时，z 取得最小值11＋1＝12.7．已知a >0，函数f (x )＝ax 2－(a 2＋1)x ＋a ，若f (x )<0在x ∈(1,2)时恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[2，＋∞)C ．(0,2]D ．[2，＋∞)【答案】B【解析】由题意知⎩⎪⎨⎪⎧f (1)≤0，f (2)≤0，解得0<a ≤12或a ≥2.8．已知正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则4x ＋2＋1y ＋1的最小值为( )A ．1B ．2C ．94 D ．92【答案】C【解析】令x ＋2＝a ，y ＋1＝b ，则a ＋b ＝4(a ＞2，b ＞1)，所以4x ＋2＋1y ＋1＝4a ＋1b ＝14(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋1b ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋4b a ＋a b ≥14(5＋4)＝94，当且仅当a ＝83，b ＝43，即x ＝23，y ＝13时取等号，所以4x ＋2＋1y ＋1的最小值为94.9．(2018年甘肃兰州诊断)设变量x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3，则x 2＋y 2的最小值是( )A ．92B ．25C ．322 D ．5【答案】A【解析】约束条件所表示的可行域为一个三角形，而目标函数可视为可行域内的点到原点的距离的平方，其距离的最小值为原点到直线x ＋y ＝3的距离．∵原点到直线x ＋y ＝3的距离为32，∴x 2＋y 2的最小值为92.10．某厂生产的甲、乙两种产品每件可获利润分别为30元、20元，生产甲产品每件需用A 原料2千克、B 原料4千克，生产乙产品每件需用A 原料3千克、B 原料2千克．A 原料每日供应量限额为60千克，B 原料每日供应量限额为80千克．要求每天生产的乙种产品不能比甲种产品多10件以上，则合理安排生产可使每日获得的最大利润为( )A ．500元B ．550元C ．600元D ．650元【答案】D【解析】设每日生产甲、乙两种产品分别为x ，y 件，则x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≤60，4x ＋2y ≤80，y －x ≤10，x ∈N ，y ∈N .设每日获得的利润z ＝30x ＋20y ，画出不等式组所表示的平面区域如图所示．根据目标函数z ＝30x ＋20y 的几何意义知，当目标函数对应的直线20y ＋30x －z ＝0，过B 点时z 取最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝60，4x ＋2y ＝80，解得B (15,10)，所以z max ＝30×15＋20×10＝650.故选D ．11．(2018年河北邢台检测)若a ，b 是正数，直线2ax ＋by －2＝0被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长为23，则t ＝a 1＋2b 2取得最大值时a 的值为( )A ．12B ．32 C ．34 D ．34【答案】C【解析】∵圆心到直线的距离d ＝24a 2＋b 2，则直线被圆截得的弦长L ＝2r 2－d 2＝24－44a 2＋b 2＝23，∴4a 2＋b 2＝4.t ＝a 1＋2b 2＝122×(22a )×1＋2b 2≤122×12×[](22a )2＋(1＋2b 2)2＝142 (8a 2＋1＋2b 2)＝942，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧8a 2＝1＋2b 2，4a 2＋b 2＝4时等号成立，此时a ＝34.12．(2018年江苏联考)已知对满足x ＋y ＋4＝2xy 的任意正实数x ，y ，都有x 2＋2xy ＋y 2－ax －ay ＋1≥0，则实数a 的取值范围为( )A ．(5,6)B ．(3,4)C ．(1,2)D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，174 【答案】D【解析】由x ＋y ＋4＝2xy ≤(x ＋y )22，得(x ＋y )2－2(x ＋y )－8≥0，又x ，y 是正实数，得x ＋y ≥4.由x 2＋2xy ＋y 2－ax －ay ＋1≥0，可得(x ＋y )2－a (x ＋y )＋1≥0，则a ≤x ＋y ＋1x ＋y.易得当x ＋y ＝4时，x ＋y＋1x ＋y取得最小值174，所以a ≤174.故选D ．二、填空题13．不等式x －12x ＋1≤0的解集为________．【答案】⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1【解析】原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)(2x ＋1)≤0，2x ＋1≠0，解得－12<x ≤1.14．(2018年广东惠州模拟)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＋5≥0，x ＋y －1≤0，x ＋a ≥0，若z ＝x ＋2y 的最小值为－4，则实数a 的值为________．【答案】2【解析】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，当直线z ＝x ＋2y 经过点C ⎝⎛⎭⎪⎫－a ，a －53时，z 取得最小值－4，所以－a ＋2×a －53＝－4，解得a ＝2.15．(2018年江苏扬州中学检测)已知二次函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z )，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )＞1的解集为________．【答案】(－1,0)【解析】因为f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ≠0)，Δ＝(a ＋2)2－4a ＝a 2＋4＞0，所以f (x )必有两个不同的零点．所以f (－2)f (－1)＜0，即(6a ＋5)(2a ＋3)＜0，解得－32＜ a ＜－56.又a ∈Z ，所以a ＝－1.不等式f (x )＞1，即－x 2－x ＞0，解得－1＜x ＜0.16．(2019年天津)设x >0，y >0，x ＋2y ＝5，则(x ＋1)(2y ＋1)xy 的最小值为________．【答案】43【解析】(x ＋1)(2y ＋1)xy ＝2xy ＋x ＋2y ＋1xy ＝2xy ＋6xy ＝2xy ＋6xy≥22xy ·6xy ＝43，当且仅当2xy ＝6xy ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1或⎩⎨⎧x ＝2，y ＝32时等号成立，所以(x ＋1)(2y ＋1)xy的最小值为4 3.小题专项训练4 函数与导数一、选择题1．(2019年天津模拟)下列求导运算正确的是( ) A ．(cos x )′＝sin x B ．(log 2x )′＝xln 2 C ．(2x )′＝12xD ．(3x )′＝3x log 3e【答案】C【解析】(cos x )′＝－sin x ，A 错误；(log 2x )′＝1x ln 2，B 错误；(2x )′＝2(x )′＝2×12·1x ＝12x ，C 正确；(3x )′＝3x ln 3，D 错误．故选C ．2．(2018年江西模拟)已知函数f (x )＝ln(ax －1)的导函数是f ′(x )，且f ′(2)＝2，则实数a 的值为( )A ．12 B ．1 C ．34 D ．23【答案】D【解析】因为f (x )＝ln(ax －1)，所以f ′(x )＝aax －1.所以f ′(2)＝a 2a －1＝2，解得a ＝23.3．(2019年福建宁德模拟)函数f (x )＝3＋x ln x 的单调递减区间是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，eB ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1eC ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1eD ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞【答案】B【解析】由f (x )＝3＋x ln x ，得定义域为(0，＋∞)且f ′(x )＝ln x ＋1，令ln x ＋1<0，解得0<x <1e .故选B ．4．已知函数y ＝f (x )满足f (1)＝2，f ′(1)＝－1，则曲线g (x )＝e x f (x )在x ＝1处的切线斜率是( )A ．－eB ．eC ．2eD ．3e【答案】B【解析】∵g ′(x )＝e x f (x )＋e x f ′(x )，∴g ′(1)＝e f (1)＋e f ′(1)＝e.5．设x ＝－2与x ＝4是函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx 的两个极值点，则a －b 的值为( )A ．21B ．－21C ．27D ．－27【答案】A【解析】因为f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2＋4＝－2a 3，－2×4＝b3⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－24.所以a －b ＝－3＋24＝21. 6．(2019年内蒙古模拟)函数f (x )＝x sin x 的图象在点⎝⎛⎭⎪⎫3π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2处的切线的倾斜角为( )A ．π6B ．π4 C ．3π4 D ．5π6【答案】C【解析】由f (x )＝x sin x ，得f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，则f ′⎝⎛⎭⎪⎫3π2＝sin 3π2＋3π2cos 3π2＝－1.由导数的几何意义可得切线的斜率k ＝－1，则切线的倾斜角为3π4.故选C ．7．f (x )是一次函数，过点(2,3)，且⎠⎛01f (x )d x ＝0，则函数f (x )的图象与坐标轴围成的三角形的面积为( )A ．1B ．12 C ．14 D ．18【答案】C【解析】设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，由题意得2k ＋b ＝3，①⎠⎛01(kx ＋b )d x ＝0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12kx 2＋bx ⎪⎪⎪10＝0，即12k ＋b ＝0，②联立①②，解得k ＝2，b ＝－1，所以f (x )＝2x －1.直线y ＝f (x )与坐标轴的交点分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0与(0，－1)，所以所求的面积为12×12×1＝14.8．某银行准备设一种新的定期存款业务，经预测，存款额与存款利率的平方成正比，比例系数为k (k >0)，贷款的利率为4.8%，假设银行吸收的存款能全部放贷出去，若存款利率为x (x ∈(0,4.8%))，则使银行获得最大收益的存款利率为( )A ．3.1%B ．3.2%C ．3.4%D ．3.5%【答案】B【解析】依题意知存款额是kx 2，银行应支付的存款利息是kx 3，银行应获得的贷款利息是0.048kx 2，所以银行的收益是y ＝0.048kx 2－kx 3(0<x <0.048)，故y ′＝0.096kx －3kx 2.令y ′＝0，解得x ＝0.032或x ＝0(舍去)．当0<x <0.032时，y ′>0；当0.032<x <0.048时，y ′<0.∴当x ＝0.032时，y 取得极大值也是最大值，即当存款利率为3.2%时，银行可获得最大收益．9．(2018年宁夏银川二模)设f (x )是定义在非零实数集上的函数，f ′(x )为其导函数，且x ＞0时，xf ′(x )－f (x )＜0，记a ＝f (20.2)20.2，b ＝f (0.22)0.22，c ＝f (log 25)log 25，则( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜a ＜bC ．b ＜a ＜cD ．c ＜b ＜a【答案】B【解析】令g (x )＝f (x )x ，则g ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2.∵x ＞0时，xf ′(x )－f (x )＜0，∴g (x )在(0，＋∞)上单调递减．又log 25＞log 24＝2,1＜20.2＜2,0.22＝0.04，∴log 25＞20.2＞0.22，∴g (log 25)＜g (20.2)＜g (0.22)，∴c ＜a ＜b .10．已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图所示，则函数y ＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋23bx ＋c 3的单调递减区间为( )A ．⎝⎛⎭⎪⎫12，＋∞B ．(3，＋∞)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12D ．(－∞，－2)【答案】D【解析】∵f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d ，∴f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋23bx ＋c 3.由f (x )的图象，可得f ′(x )在(－∞，－2)上大于0且单调递减，故y ＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋23bx ＋c 3的单调递减区间为(－∞，－2)．故选D ．11．(2019年浙江)设a ，b ∈R ，函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ＜0，13x 3－12(a ＋1)x 2＋ax ，x ≥0，若函数y ＝f (x )－ax －b 恰有3个零点，则( )A ．a ＜－1，b ＜0B ．a ＜－1，b ＞0C ．a ＞－1，b ＜0D ．a ＞－1，b ＞0【答案】C【解析】当x ＜0时，由y ＝f (x )－ax －b ＝(1－a )x －b ＝0，得x ＝b 1－a，y ＝f (x )－ax －b 有一个零点；当x ≥0时，y ＝f (x )－ax －b ＝13x 3－12(a ＋1)x 2＋ax －ax －b ＝13x 3－12(a ＋1)x 2－b ，y ′＝x 2－(a ＋1)x ，当a ＋1≤0，即a ≤－1时，y ′≥0，y ＝f (x )－ax －b 在[0，＋∞)上递增，y ＝f (x )－ax －b 最多有一个零点，不合题意；当a ＋1＞0，即a ＞－1时，令y ′＝0，得x ＝a ＋1，易知函数在(a ＋1，＋∞)上递增，在(0，a ＋1)上递减，函数最多有2个零点．函数恰有3个零点，则y ＝f (x )－ax －b 在(－∞，0)上有一个零点，在(0，＋∞)上有2个零点．所以b1－a ＜0且⎩⎨⎧－b ＞0，13(a ＋1)3－12(a ＋1)(a ＋1)2－b ＜0，即⎩⎨⎧b <0，－16(a ＋1)3<b ，得b <0，－1<a <1.故选C ．12．(2019年天津)已知a ∈R .设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2ax ＋2a ，x ≤1，x －a ln x ，x ＞1.若关于x 的不等式f (x )≥0在R 上恒成立，则a 的取值范围为( )A ．[0,1]B ．[0,2]C ．[0，e]D ．[1，e]【答案】C【解析】当x ＝1时，f (1)＝1－2a ＋2a ＝1＞0恒成立；当x ＜1时，f (x )＝x 2－2ax ＋2a ≥0恒成立，等价于2a ≥x2x －1恒成立．令g (x )＝x 2x －1＝－x 21－x ＝－(1－x －1)21－x ＝－(1－x )2－2(1－x )＋11－x＝－⎝⎛⎭⎪⎫1－x ＋11－x －2≤－⎝ ⎛⎭⎪⎫2(1－x )·11－x －2＝0，∴2a ≥g (x )max ＝0，∴a ≥0.当x ＞1时，f (x )＝x －a ln x ≥0恒成立，等价于a ≤xln x 恒成立．令h (x )＝xln x ，则h ′(x )＝ln x －1(ln x )2.当x ＞e 时，h ′(x )＞0，h (x )递增；当1＜x ＜e 时，h ′(x )＜0，h (x )递减．∴x ＝e 时，h (x )取得最小值h (e)＝e.∴a ≤h (x )min ＝e.综上，a 的取值范围是[0，e]．二、填空题13．(2019年浙江台州模拟)已知函数f (x )＝13x 3－f ′(1)x 2＋2x ＋5，则f ′(1)＝__________，f ′(2)＝__________.【答案】1 2【解析】显然f ′(1)为常数，则f ′(x )＝x 2－2f ′(1)x ＋2，可得f ′(1)＝1－2f ′(1)＋2，解得f ′(1)＝1.所以f ′(x )＝x 2－2x ＋2，则f ′(2)＝2.14．(2018年云南昆明模拟)已知函数f (x )＝ax ln x ＋b (a ，b ∈R )，若f (x )的图象在x ＝1处的切线方程为2x －y ＝0，则a ＋b ＝________.【答案】4【解析】由题意得f ′(x )＝a ln x ＋a ，∴f ′(1)＝a .∵f (x )的图象在x ＝1处的切线方程为2x －y ＝0，∴a ＝2.又f (1)＝b ，∴2×1－b ＝0，解得b ＝2.故a ＋b ＝4.15．已知函数f (x )＝e x －ax (a ∈R )，若函数f (x )在区间[2,4]上是单调增函数，则实数a 的取值范围为________．【答案】[－e 2，＋∞)【解析】∵f (x )在区间[2,4]上是单调递增函数，∴f ′(x )≥0在区间[2,4]上恒成立，即(x －1)e x ＋a ≥0在区间[2,4]上恒成立．记g (x )＝(x －1)e x ＋a ，则g ′(x )＝x e x .∵x ∈[2,4]，∴g ′(x )＞0，故g (x )在[2,4]递增，∴g (x )min ＝g (2)＝e 2＋a ≥0，解得a ≥－e 2.16．(2018年东北三校联考)已知函数f (x )＝x ln x ＋12x 2，x 0是函数f (x )的极值点，给出以下几个命题：①0<x 0<1e ；②x 0>1e ；③f (x 0)＋x 0<0； ④f (x 0)＋x 0>0.其中正确的命题是________．(填出所有正确命题的序号) 【答案】①③【解析】由已知得f ′(x )＝ln x ＋x ＋1(x >0)，显然的f ′(x )在(0，＋∞)上单调递增，且f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝1e >0，x →0时，f ′(x )<0.x 0是f (x )的极值点，∴f ′(x 0)＝0，则0<x 0<1e ，①正确，②错误；∵ln x 0＋x 0＋1＝0，∴f (x 0)＋x 0＝x 0ln x 0＋12x 20＋x 0＝x 0(ln x 0＋x 0＋1)－12x 20＝－12x 20<0，③正确，④错误．综上，①③正确．小题专项训练5 三角函数与三角恒等变换一、选择题1．若点⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π6，cos 5π6在角α的终边上，则sin α的值为( ) A ．－12 B ．12 C ．32 D ．－32【答案】D【解析】因为点⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π6，cos 5π6在单位圆上，所以sin α＝cos 5π6＝－32.2．已知α为锐角，且sin α＝45，则cos(π＋α)＝( ) A ．35 B ．－35 C ．－45 D ．45【答案】B【解析】因为α为锐角，所以cos α＝1－sin 2α＝35，所以cos(π＋α)＝－cos α＝－35.3．函数y ＝4sin x cos x －1的最小正周期T 和最大值M 分别为( )A ．π，1B ．2π，1C ．π，2D ．2π，2【答案】A【解析】y ＝4sin x cos x －1＝2sin 2x －1，故其最小正周期T ＝2π2＝π，最大值M ＝2－1＝1.4．(2019年河南模拟)若sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＝－3cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6，则tan 2α＝( )A ．－43B ．－32 C ．43 D ．32【答案】A【解析】由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6，可得12sin α－32cos α＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos α＋12sin α，则2sin α＝－3cos α，所以tan α＝－32.所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－4 3.故选A ．5．(2018年四川泸州模拟)已知函数y ＝sin(2x ＋φ)在x ＝π6处取得最大值，则函数y ＝cos(2x ＋φ)的图象( )A ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称 B ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称 C ．关于直线x ＝π6对称 D ．关于直线x ＝π3对称【答案】A【解析】∵y ＝sin(2x ＋φ)在x ＝π6处取得最大值，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝0.∴y ＝cos(2x ＋φ)的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，则关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称．故选A ．6．已知sin β＝35⎝ ⎛⎭⎪⎫π2<β<π，且sin(α＋β)＝cos α，则tan(α＋β)＝( )A ．－12 B ．12 C ．－2 D ．2【答案】C【解析】∵sin β＝35，且π2<β<π，∴cos β＝－45，tan β＝－34.∵sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝cos α，∴tan α＝－12，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－2.7．若函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω＞0)满足f (α)＝－2，f (β)＝0，且|α－β|的最小值为π2，则函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6B ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6C ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3D ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3 【答案】D【解析】f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3.因为f (α)＝－2，f (β)＝0，且|α－β|min ＝π2，所以T 4＝π2，得T ＝2π.故ω＝2πT ＝1，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3.8．(2018年山西太原模拟)已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 3＋φ的一个对称中心是(2,0)，且f (1)＞f (3)，要得到函数f (x )的图象，可将函数y ＝2cos πx3的图象( )A ．向左平移12个单位长度B ．向左平移π6个单位长度 C ．向右平移12个单位长度 D ．向右平移π6个单位长度【答案】C【解析】∵f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 3＋φ的一个对称中心是(2,0)，∴2π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，故可取φ＝－π6，f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 3－π6＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，满足f (1)＞f (3)．故选C ．9．若θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，sin 2θ＝378，则sin θ＝( )A ．74 B ．34 C ．35 D ．45【答案】B【解析】由已知得(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝1＋378，于是sin θ＋cos θ＝3＋74.又(sin θ－cos θ)2＝1－sin 2θ＝1－378，所以sin θ－cos θ＝3－74.可得sin θ＝34.10．已知f (x )＝2sin ωx (cos ωx ＋sin ωx )(ω＞0)的图象在x ∈[0,1]上恰有一条对称轴和一个对称中心，则实数ω的取值范围为( )A ．⎝⎛⎭⎪⎫3π8，5π8B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π8，5π8C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤3π8，5π8D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8，5π8【答案】B【解析】f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋2sin 2 ωx ＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π4＋1.设g (x )＝2ωx －π4，g (0)＝－π4，g (1)＝2ω－π4，f (x )的图象在x ∈[0,1]上恰有一条对称轴和一个对称中心，∴π2≤2ω－π4<π，解得3π8≤ω<5π8.故选B ．11．已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0)的部分图象如图所示，若AB→·BC →＝－|AB →|2，则ω等于( )A ．π2B ．π3 C ．π4 D ．π6 【答案】A【解析】由三角函数的对称性知AB→·BC →＝AB →·2BD →＝2AB →·BD →＝2|AB →|2cos(π－∠ABD )＝－|AB →|2，所以cos ∠ABD ＝12，即∠ABD ＝π3.|AD |＝23tan π6＝2，所以f (x )的最小正周期T ＝4.所以ω＝2π4＝π2.故选A ．12．已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|≤π2的部分图象如图所示，A ，B 两点之间的距离为10，且f (2)＝0.若将函数f (x )的图象向右平移t (t ＞0)个单位长度后所得函数图象关于y 轴对称，则t 的最小值为( )A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C【解析】由题图可设A (x 1,3)，B (x 2，－3)，∴|AB |＝(x 1－x 2)2＋62＝10，得|x 1－x 2|＝8.∴T ＝2|x 1－x 2|＝16.∴2πω＝16，ω＝π8，则f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋φ.由f (2)＝0，得3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝0.又－π2≤φ≤π2，∴φ＝－π4，f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －π4.将f (x )的图象向右平移t (t ＞0)个单位长度，得对应的函数g (x )＝f (x －t )＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8x －⎝ ⎛⎭⎪⎫π8t ＋π4.由题意得g (x )的图象关于y 轴对称，∴π8t ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )，解得t ＝8k ＋2(k ∈Z )，故正数t 的最小值为2.二、填空题13．(2018年山东日照二模)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝14，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 的值为________．【答案】116【解析】cos 2⎝⎛⎭⎪⎫π3－x ＝cos 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝116.14．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意的x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝________.【答案】±2【解析】由题意可得f (x )的图象的对称轴为x ＝π6，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝±2.15．(2019年广东中山模拟)函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 的单调递增区间为________．【答案】⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12(k ∈Z ) 【解析】y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，令2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12(k ∈Z )，即函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12(k ∈Z )． 16．(2019年山西运城模拟)给出下列四个语句： ①函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π4上为增函数；②函数y ＝cos 2x 的最小正周期为2π；③函数y ＝tan x 的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0对称；④若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－π4，则x 1－x 2＝k π，其中k ∈Z .以上四个语句中正确的有________(填写正确语句前面的序号)．【答案】①③【解析】x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π4时，x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，故①正确．y ＝cos 2x＝cos 2x ＋12的最小正周期为π，故②不正确．由正切函数y ＝tan x 的图象可得③正确．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－π4，则⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1－π4－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－π4＝2k π或⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1－π4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－π4＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，即x 1－x 2＝k π或x 1＋x 2＝k π＋3π4(k ∈Z )，故④不正确．综上所述，正确的有①③.小题专项训练6 解三角形一、选择题1．在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b,2a sin B ＝b ，则A 等于( )A ．π3B ．π4 C ．π6 D ．π12【答案】C【解析】由2a sin B ＝b 及正弦定理，得2sin A sin B ＝sin B ，故sin A ＝12.又△ABC 为锐角三角形，则A ＝π6.2．(2019年四川模拟)△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝ac ，则角B 的值为( )A ．π6B ．π3 C ．π6或5π6 D ．π3或2π3 【答案】C【解析】由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac 结合已知可得cos B ＝12tan B ，则cos B ＝cos B 2sin B .由tan B 有意义，可知B ≠π2，则cos B ≠0，所以sin B ＝12，则B ＝π6或5π6.故选C ．3．如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点的距离为( )A ．50 2 mB ．50 3 mC ．25 2 mD ．2522 m【答案】A【解析】由正弦定理得AB sin ∠ACB＝ACsin B ，所以AB ＝AC ·sin ∠ACB sin B ＝50 sin 45°sin 30°＝502(m)．4．(2019年吉林四平模拟)在△ABC 中，D 为AC 边上一点，若BD ＝3，CD ＝4，AD ＝5，AB ＝7，则BC ＝( )A ．22B ．23C ．37D ．13【答案】D【解析】如图，∠ADB ＋∠CDB ＝180°，则cos ∠ADB ＝－cos ∠CDB ，即32＋52－722×3×5＝－32＋42－BC 22×3×4，解得BC ＝13.故选D ．5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若c ＝2a ，b sin B －a sin A ＝12a sin C ，则sin B 为( )A ．74B ．34C ．73 D ．13【答案】A【解析】由b sin B －a sin A ＝12a sin C ，可得b 2－a 2＝12ac ，又c ＝2a ，得b ＝2a .∵cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 24a 2＝34，∴sin B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝74. 6．(2018年江西南昌模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos 2A ＝sin A ，bc ＝2，则△ABC 的面积为( )A ．14B ．12 C ．1 D ．2【答案】B【解析】由cos 2A ＝sin A ，得1－2sin 2A ＝sin A ，解得sin A ＝12(负值舍去)．又bc ＝2，得S △ABC ＝12bc sin A ＝12.7．若△ABC 的三个内角满足sin B －sin A sin B －sin C ＝ca ＋b ，则A ＝( )A ．π6B ．π3 C ．2π3 D ．π3或2π3【答案】B 【解析】由sin B －sin A sin B －sin C ＝c a ＋b 及结合正弦定理，得b －a b －c ＝ca ＋b，整理得b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.由A 为三角形的内角，知A ＝π3.8．(2018年河南开封一模)已知锐角三角形ABC ，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b 2＝a (a ＋c )，则sin 2Asin (B －A )的取值范围是( )A ．(0,1)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 【答案】C【解析】由b 2＝a (a ＋c )及余弦定理，得c －a ＝2a cos B ．由正弦定理，得sin C －sin A ＝2sin A cos B ．∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin(A ＋B )－sin A ＝2sin A cos B ，∴sin(B －A )＝sin A ．∵△ABC 是锐角三角形，∴B －A ＝A ，即B ＝2A .∴π6＜A ＜π4，则sin 2A sin (B －A )＝sin A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22.9．△ABC 中，三边长a ，b ，c 满足a 3＋b 3＝c 3，那么△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．以上均有可能【答案】A【解析】由题意可知c 边最大，即c >a ，c >b ，则a 2c ＋b 2c >a 3＋b 3＝c 3，则a 2＋b 2－c 2>0.由余弦定理得cos C >0，∴0<C <π2.∴△ABC为锐角三角形．10．设a ，b ，c 分别是△ABC 的角A ，B ，C 所对的边，若tan A tan Btan A ＋tan B ＝1 009tan C ，且a 2＋b 2＝mc 2，则m ＝( )A ．1 008B ．1 009C ．2 018D ．2 019【答案】D【解析】由tan A tan B tan A ＋tan B＝1 009tan C ，得1tan A ＋1tan B ＝11 009×1tan C ，即cos A sin A ＋cos B sin B ＝11 009×cos C sin C ，sin 2C sin A sin B ＝cos C1 009.根据正、余弦定理，得c 2ab ＝11 009×a 2＋b 2－c 22ab ，即a 2＋b 2－c 2c 2＝2 018，则a 2＋b 2c 2＝2 019，所以m ＝2 019.11．(2019年贵州模拟)在锐角三角形ABC 中，已知a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且3b ＝2a sin B ，a ＝4，则△ABC 面积的最大值为( )A ．23B ．43C ．83D ．163【答案】B【解析】由3b ＝2a sin B 结合正弦定理得3sin B ＝2sin A sin B ，由锐角三角形知sin B ≠0，所以sin A ＝32，则cos A ＝12.由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即16＝b 2＋c 2－bc ，所以16≥2bc －bc ＝bc ，当b ＝c 时等号成立．所以S ＝12bc sin A ≤12×16×32＝43，即△ABC 面积的最大值为4 3.故选B ．12．(2018年辽宁沈阳五校联考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知sin A －sin B ＝13sin C ，3b ＝2a,2≤a 2＋ac ≤18.设△ABC 的面积为S ，p ＝2a －S ，则p 的最大值是( )A ．529 B ．729 C ．928 D ．1128 【答案】C【解析】在△ABC 中，由sin A －sin B ＝13sin C 及正弦定理，得c ＝3a －3b .再根据3b ＝2a ，2≤a 2＋ac ≤18，得a ＝c,1≤a ≤3.由余弦定。

(完整版)高考数学小题狂做冲刺训练(详细解析)(共15套)

高考数学小题狂做冲刺训练（详细解析）高中数学姓名：__________班级：__________考号：__________、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1.已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ,且3457++=n n B A n n ,则使得n n b a 为整数的正整数n 的个数是( )A.2B.3C.4D.5 解析:nn n n n n n n b a b a b b n a a n B A ==+•-+•-=----222)()12(2)()12(1211211212, ∴31245)12(71212+-+-==--n n B A b a n n n n ＝11271197++=++n n n . 当n ＝1,2,3,5,11时,n n b a 是正整数. 答案:D2.已知数列{a n }的前n 项和21++=n n S n (n∈N *),则a 4等于（） A.301 B.341 C.201 D.321 解析：由已知,得a 4＝S 4-S 3＝3015465=-. 答案：A3.若△ABC 的内角A 满足322sin =A ,则sinA+cosA 等于( ) A.315 B.315- C.35 D.35-解析:在△ABC 中,032cos sin 2>=A A , ∴sinA＞0,cosA ＞0. ∴2)cos (sin cos sin A A A A +=+A A A A cos sin 2cos sin 22++=31535321==+=. 答案:A4.若a ＜0,则( )A.2a ＞(21)a ＞(0.2)a B.(0.2)a ＞(21)a ＞2a C.(21)a ＞(0.2)a ＞2a D.2a ＞(0.2)a ＞(21)a 解析:∵a＜0,∴2a＜0,(21)a ＞1,0.2a ＞1. 而a a)2.0()21(＝(25)a ∈(0,1), ∴(21)a ＜0.2a . 答案:B5.下列各组向量中不平行的是( )A.a ＝(1,2,-2),b ＝(-2,-4,4)B.c ＝(1,0,0),d ＝(-3,0,0)C.e ＝(2,3,0),f ＝(0,0,0)D.g ＝(-2,3,5),h ＝(16,24,40)解析:向量平行的充要条件是:存在实数λ,使a ＝λb.g,h 不满足要求,故D 中的两个向量不平行.答案:D6.由等式x 3+a 1x 2+a 2x+a 3＝(x+1)3+b 1(x+1)2+b 2(x+1)+b 3,定义一个映射:f(a 1,a 2,a 3)＝(b 1,b 2,b 3),则f(2,1,-1)等于( )A.(-1,0,-1)B.(-1,-1,0)C.(-1,0,1)D.(-1,1,0)解析:由题意知x 3+2x 2+x-1＝(x+1)3+b 1(x+1)2+b 2(x+1)+b 3,令x ＝-1,得-1＝b 3,即b 3＝-1;再令x ＝0与x ＝1,得⎩⎨⎧+++=+++=-,2483,11321321b b b b b b 解得b 1＝-1,b 2＝0,故选A.答案:A7.下列两个变量之间是相关关系的是( )A.圆的面积与半径B.球的体积与半径C.角度与它的正弦值D.一个考生的数学成绩与物理成绩解析:相关关系不是确定的函数关系，这里A 、B 、C 都是确定的函数关系.答案:D8.已知集合A ＝{x|x 2-x-2＞0},B ＝{x||x-a|≤1}，若A∩B＝∅,则实数a 的取值范围是（）A.（0，1）B.（-∞,1)C.(0,＋∞)D.［0,1］解析：A ＝{x|x ＞2或x ＜-1},B ＝{x|a-1≤x≤a+1}.又A∩B＝∅,∴⎩⎨⎧-≥-≤+.11,21a a ∴0≤a≤1.答案：D9.已知（ax ＋1）n 的展开式中,二项式系数和为32,各项系数和为243,则a 等于（）A ．－2B ．2C ．－3D ．3解析：由二项式系数和为2n ＝32,得n ＝5,又令x ＝1,得各项系数和为（a ＋1）5＝243,所以a ＋1＝3,故a ＝2.答案：B10.如果一个三位数的十位数字既大于百位数字也大于个位数字,则这样的三位数共有( )A.240个B.285个C.231个D.243个解析:当十位数字是9时,百位数字有8种取法,个位数字有9种取法,此时取法种数为8×9;当十位数字是8时,百位数字有7种取法,个位数字有8种取法,此时取法种数为7×8,依此类推,直到当十位数字是2时,百位数字有1种取法,个位数字有2种取法,此时取法种数为1×2,所以总的个数为1×2+2×3+3×4+…+8×9＝240.答案:A、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11.已知函数f(x)＝2+log 3x,x∈［1,9］,则函数y ＝［f(x)］2+f(x 2)的值域为___________.解析:∵f(x)＝2+log 3x,x∈［1,9］,∴y＝［f(x)］2+f(x 2)的定义域为⎩⎨⎧≤≤≤≤.91,912x x解得1≤x ≤3,即定义域为［1,3］.∴0≤log 3x ≤1.又y ＝［f(x)］2+f(x 2)＝(2+log 3x)2+2+log 3x 2＝(log 3x)2+6log 3x+6＝(log 3x+3)2-3,∵0≤log 3x ≤1,∴6≤y ≤13.故函数的值域为［6,13］.答案:［6,13］12.过抛物线x 2=2py(p>0)的焦点F 作倾斜角为30°的直线,与抛物线分别交于A 、B 两点(点A 在y 轴左侧),则=||||FB AF ______________. 解析:由已知,得直线方程为y=233p x +与x 2=2py 联立消x,得12y 2-20py+3p 2=0, ∵A 在y 轴左侧,∴p y P y B A 23,6==.如图所示,过A 、B 分别作准线的垂线AM 、BN,由抛物线定义知|AF|=|AM|,|BF|=|BN|, 故3123222||||||||==++==p p p y p y BN AM FB AF B A . 答案:31 13.下列四个命题中的真命题是____________.①经过定点P 0（x 0,y 0)的直线都可以用方程y-y 0＝k(x-x 0)表示②经过任意两个不同的点P 1（x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)的直线都可以用方程(y-y 1)·(x 2-x 1)＝(x-x 1)(y 2-y 1)表示③不经过原点的直线都可以用方程1=+by a x 表示 ④经过定点A （0,b)的直线都可以用方程y ＝kx+b 表示答案:②14.给出下列5个命题:①函数f(x)=-sin(k π+x)(k ∈Z)是奇函数;②函数f(x)=tanx 的图象关于点( ,0)(k ∈Z)对称;③函数f(x)=sin|x|是最小正周期为π的周期函数;④设θ是第二象限角,则＞ ,且＞ ;⑤函数y=cos2x+sinx 的最小值是-1.其中正确的命题是___________.解析:∵y=-sin(k π+x)(n∈Z),故f(x)是奇函数,∴①正确;对f(x)=tanx,(kπ,0)、( ,0)都是对称中心(前者在曲线上,后者不在),∴②正确;f(x)=sin|x|不是周期函数,∴③不正确;对④, 必满足＞ ,但是第三象限角时, ＜ ,∴④不正确;∵y=cos2x+sinx=1-sin2x+sinx,当sinx=-1时,ymin=-1,∴⑤正确.答案:①②⑤15.函数y=f(x)的图象与直线x=a、x=b及x轴所围成图形的面积称为函数f(x)在［a,b］上的面积.已知函数y=sinnx在［0, ］上的面积为 (n∈N*),则(1)函数y=sin3x在［0, ］上的面积为____________;(2)函数y=sin(3x-π)+1在［ , ］上的面积为________.解析:(1)令n=3,则y=sin3x在［0, ］上的面积为 .又∵y=sin3x在［0, ］和［ , ］上的面积相等,∴y=sin3x在［0, ］上的面积为 .(2)由y=sin(3x-π)+1,设3φ=3x-π,∴y=sin3φ+1.又∵x∈［ , ］,∴3φ∈［0,3π］.∴φ∈［0,π］.由(1)y=sin3φ在［0, ］上的面积为 ,y=sin3φ在［0,π］上的面积为S1+S2+S3-S4 ,∵ ,∴y=sin(3x-π)+1在［ , ］上的面积为 .答案:(1) (2)。

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安徽小题狂练11、已知全集U ＝{1，2，3，4，5}，A ＝{1，2，3}，B ＝{1，3，4}，则()U C A B U 等于 A 、{3} B 、{5} C 、{1，2，4，5} D 、{1，2，3，4}2、复数42(,,12i s yi x y R i i+=+∈-为虚数单位，则x+y 等于A 、0B 、1C 、2D 、3 3、双曲3x 2－4y 2＝12的焦距等于 A 、2B 、2C 、3D 、104、已知e 1，e 2是两夹角为120°的单位向量，a ＝3e 1＋2e 2，则｜a ｜等于 A 、4 B、 C 、3 D、 5、给出如图所示的流程图，那么输出的数是 A 、2450 B 、2550 C 、5150 D 、49006、设f （x ）为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，()22x f x x b =++（b 为常数），则f （－1）等于A 、－3B 、－1C 、1D 、37、设变量x,y 满足约束条件0121x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则目标函数z=3x+y 的最大值为A 、2B 、3C 、1D 、528、一个简单组合体的三视图及尺寸如右图所示（单位：mm ），则该组合体的体积为 A 、32 B 、48 C 、56 D 、649、从等边三角形的三个顶点及三边中点中随机的选择4个，则4个点构成平行四边形的概率等于 A 、115B 、215C 、15D 、1310、已知定义在实数集R 上的函数f(x)满足f （1）＝1，且f （x ）的导数'()f x 在R 上恒有'()f x ＜1()2x R ∈，则不等式221()22xf x <+的解集为A 、（1,+∞）B 、（,1-∞-）C 、（－1,1）D 、（,1-∞-）∪（1,+∞）11、函数23log (32)y x x =--的定义域是＿＿＿＿＿12、若直线y ＝3x ＋2过圆x 2＋4x ＋y 2＋ay ＝0的圆心，则a ＝＿＿＿＿13、已知函数2,(0)()2,(0)x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩，则f （f （－2））的值为＿＿＿＿14、已知数列{n a }是等差数列，其前n 项和为Sn ，若满足123a a a ＝15，且123S S ＋2315S S ＋315S S ＝35，则2a ＝＿＿＿＿15、给定集合A ，若对于任意a,b ∈A ，有a+b ∈A ，则称集合A 为闭集合，给出如下五个结论：①集合A ＝{－4，－2,0，2，,4}为闭集合； ②正整数集是闭集合；③集合A ＝{n|n ＝3k ，k ∈Z}是闭集合； ④若集合A 1，A 2为闭集合，则A 1∪A 2为闭集合；⑤若集合A 1，A 2为闭集合，且12,A R A R ⊆⊆，则存在c ∈R ，使得c ∉（A 1∪A 2）。

其中正确的结论的序号是＿＿＿＿＿安徽小题狂练2一、选择题：本大题共 10小题，每小题5分．共 50 分。

在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的。

1．设全集U =R，集合2{|20},{|1}A x x xB x x =-<=>，则集合AB=A ．{|01}x x <<B ．{|01}x x <≤C ．{|02}x x <<D ．{|1}x x ≤ 2. 已知c b a ,,满足a b c <<且0<ac ，则下列选项中不一定．．．能成立的是 ( ) A ．c b a a <B ．0>-ca bC ．cacb22>D ．<-acc a3．根据右边程序框图，若输出y 的值是4，则输入的实数x 的值为 ( )A ． 1B ． 2-C ． 1或2D ． 1或2-4．已知P 为抛物线24y x =上一个动点，直线1l ：1x =-，2l ：30x y ++=，则P 到直线1l 、2l 的距离之和的最小值为 ( )A． B ．4 CD．12+5．设α是空间中的一个平面，,,l m n 是三条不同的直线， ①若,,,,m n l m l n l ααα⊂⊂⊥⊥⊥则； ②若//,//,,;l m m n l n αα⊥⊥则 ③若//,,l m m n αα⊥⊥，则//;l n ④若,,,//m n l n l m αα⊂⊥⊥则；则上述命题中正确的是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④6. 设等比数列{ n a }的前n 项和为n S ，若63S S =3 ，则 69S S =( )A. 2 B . 73C. 83D.37．已知O 是A B C ∆所在平面内一点，且满足22||||BA O A BC AB O B AC ⋅+=⋅+，则点O ( ) A ．在A B 边的高所在的直线上 B ．在C ∠平分线所在的直线上C ．在A B 边的中线所在的直线上D ．是A B C ∆的外心 8．定义行列式运算11122122,x y x y x y x y =-将函数c o s ()sin x f x x=的图象向右平移(0)ϕϕ>个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则ϕ的最小值为 ( ) A ．6πB ．3πC ．23π D ．56π9．直线x t =过双曲线22221x y ab-=(0,0)a b >>的右焦点且与双曲线的两条渐近线分别交于A，B 两点，若原点在以AB 为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是 ( ) A ．(1,)+∞B．C．(1,D．(1,1+10．定义在R 上的函数)(x f 满足)2()(+=x f x f ，当]3,1[∈x 时，)(x f |2|2--=x ，则A.)32(cos)32(si nππf f > B ．)1(cos )1(sin f f >C ．)6(tan )3(tan f f < D.)2(cos )2(sin f f <第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：（共5小题，每小题5分，共25分. 把答案写在题中的横线上）11．已知函数32,2()(1),2x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩，若关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是 .12.设有平面α,β,γ两两互相垂直,且α,β,γ三个平面有一个公共点A,现有一个半径为1的小球与α,β,γ这三个平面均相切,则小球上任一点到点A 的最近距离为 .13．如果实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+≥+-0520402y x y x y x ，则42++=y x z 的最大值 ___14. 等差数列{n a }前n 项和为n S 。

已知1m a -+1m a +-2ma =0，21m S -=38,则m=_______15．下列命题中① 2"2""320"x x x >-+>是的充分不必要条件;② 命题“2320,1x x x -+==若则”的逆否命题为“21,320若则x x x =-+≠”;③ 对命题：“对"0,k >方程20x x k +-=有实根”的否定是:“ ∃k >0，方程20+-=无实根”;x x k④若命题:,则是x A x Bp x A B p∈⋃⌝且;∉∉其中正确命题的序号是安徽小题狂练3一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）已知i 为虚数单位，则=+31i i ( )(A) 0 (B) i -1 (C)i 2 (D) i 2- （2）已知∈b a ,R ，则“b a =”是“ab b a =+2”的( )(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 (3)已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别是n A 和n B ，且213n nA nB n +=+，则99a b 等于（） (A)2(B)74(C)1912(D)1321（4）设集合{}06|),(2=++=y a x y x A ，{++-=ay x a y x B 3)2(|),(}02=a ，若A B ⋂=∅, 则实数a 的值为( )(A) 3或1- (B) 0或3 (C) 0或1- (D) 0或3或1- （5）执行如图所示的程序框图，其输出的结果是(A) 1 (B)21-(C) 45-(D) 813-（6）函数()|2|ln f x x x =--在定义域内的零点的个数为（）(A)0 (B)1 (C)2(D)3（7）已知()f x 是定义在实数集R 上的增函数，且(1)0f =，函数()g x 在(,1]-∞上为增函数，在[1,)+∞上为减函数，且(4)(0)0g g ==，则集合{|()()0}x f x g x ≥=（）（A ） {|014}x x x ≤≤≤或（B ）{|04}x x ≤≤ （C ） {|4}x x ≤ （D ）{|014}x x x ≤≤≥或（8）设点P 是椭圆)0(12222>>=+b a by ax 上一点，21,F F 分别是椭圆的左、右焦点，I 为21F PF ∆的内心，若21212F IF IPF IPF S S S ∆∆∆=+，则该椭圆的离心率是（）(A)21 (B)22 (C)23 (D)41（9）角α的终边经过点A ()a ，且点A 在抛物线214y x =-的准线上，则sin α=（）（A ）12- （B ）12（C）2-（D2（10）下列命题中，错误．．的是（）（A ）一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交（B ）平行于同一平面的两个不同平面平行（C ）如果平面α不垂直平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β （D ）若直线l 不平行平面α，则在平面α内不存在与l 平行的直线二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分．）（11）已知向量()2,1,10,||a a b a b =⋅=+=，则||b = ．（12）如图是一个组合几何体的三视图，则该几何体的体积是 .（13）双曲线221412xy-=上一点M 到它的右焦点的距离是3，则点M 的横坐标是．（14）若)2,0(πα∈，且2cos α+1sin(2)22πα+=，则tan α= .（15）已知实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-+≥+-308201x y x y x ，若)25,3(是使得y ax -取得最小值的可行解，则实数a 的取值范围为 .安徽小题狂练4一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合且，则实数a的取值范围是（）A. B. A<1 C. D.a>2=2+b i,若为实数，则实数b等于（）2•设复数z2A. -2B. -1 C 1 D. 23.命题：“”的否定是（）A.不存在B.C. D.4. 若拋物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则p的值为（）A. B. C. -4 D. 45. 在空间，下列命题正确的是（）A. 若三条直线两两相交，则这三条直线确定一个平面B. 若直线m与平面OL内的一条直线平行，则C. 若平面，且.，则过《内一点尸与/垂直的直线垂直于平面D. 若直线，且直线，则6. 若的三个内角A、B、C满足，则（）A. —定是锐角三角形B.—定是直角三角形C.—定是饨角三角形D.可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形7. 已知函数，若.，则实数a的值等于（）A. 一3B. 一 1C. 1D. 38. 已知函数，则它的零点个数是( )A. OB. 1C. 2D. 39. 已知为等差数列的前n项和，，，则a的值为（）7A. 6B. 7C. 8D. 910.已知命题p：拋物线的准线方程为；命题q ：若函数为偶函数，则关于f(x)=1对称.则下列命题是真命题的是（）A. B. C. D.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在横线上.11.不等式在上恒成立的充要条件为____________.12. 某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值为.13.直线与圆相交于A,B两点，（a,b是实数)，且是直角三角形（0是坐标原点)，则点P(AB)与点(0,1)之间的距离的最大值为______,__14. 若，则M的取值范围为________.15. 设球0的半径是1,A、B、C是球面上三点，已知A到B、C两点的球面距离都是，且二面角B-OA-C的大小为,则从A点沿球面经B、C两点再回到A点的最短距离是________安徽小题狂练5一、选择题：本大题共10小题，每小题s 分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1、设i 是虚数单位，复数12i ai+-为实数，则实数a 为A.2B. －2C.－12D.122、已知集合A ＝｛x ｜2x －x 2>0｝，B ＝｛x ｜x>1｝，R 为实数集，则（CuB ）∩A ＝ A. (0,1) B ．［1,2) C. (0,1] D.（一∞，0) 3、双曲线223xy -＝1的右焦点坐标为A. (2, 0) B ．(0,2), 0)D. (0,, )4.下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是 A 、y= －1xB 、y=lnx C.y=x e D.y=x 3＋x x e e --5.已知圆C ：x 2+y 2一2x ＋4y 一4＝0,直线l ：2x ＋y ＝0，则圆C 上的点到直线1的距离最大值为A 、1B 、2C 、3D 、46.已知:x ，y 满足不等式组22y x x y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则z=2x ＋y 的最大值与最小值的比值为 A ．12B 、2C ．32D 、437、如右图，是某几何体的三视图，其中正视图是正方形．侧视图是矩形，俯视图是半径为2的半圆，则该几何体的表面积是 A 、16＋12π B 、24π C 、16+4π D 、12π8、已知无穷数列{a n }是各项均为正数的等差数列．则有 A 、3234a a a a < B 、3234a a a a >C 、3234a a a a ≤D 、3234a a a a ≥9、已知向量a r ＝(x ，一1)，b r ＝（y －1,1)，x,，y ∈R ＋，若a r ／／b r ，则t=x+11y x y++的最小值是A 、4B 、5C 、6D 、810、函数f(x)的图象如右图所示，已知函数F （x ）满足'()F x ＝f （x ），则F （x ）的函数图象可能是二、填空题（25分）11.甲、乙两位同学在相同的5次数学测试中，测试成绩如图所示，设S 甲，S 乙分别为甲、乙两位同学数学测试成绩的标准差，则S 甲，S 乙的大小关系是＿＿＿＿12、如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果＿＿＿ 13、已知45x y =＝10，则12x y+＝＿＿＿14.已知命题p:：∃x ∈R ，x 2＋m<0；命题q ：∀ x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0，若p q ∧为真命题，则实数m 的取值范围为＿＿＿＿＿ 15、如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中， ①CV 与BE 是异面直线；②平面DEM ∥平面ACF ； ③DE ⊥BM; ④AF 与BM 所成角为60°⑤BN ⊥平面AFC 在以上的五个结论中，正确的是＿＿＿＿（写出所有正确结论的序号）．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每一小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1、复数Z 满足i i Z 34)21(+=+⋅，则Z 等于（）A ．i +2B ．i -2C ．i 21+D ．i 21- 2、已知平面向量),2(,)2,1(m b a -==，且b a //，则=+b a 32（）A ．)10,5(--B ．)8,4(--C ．)6,3(--D ．)4,2(-- 3、用与球心距离为1的平面去截球，所得截面面积为π，则球的体积为（） A ．π38B ．π328 C ．π28 D ．π3324、已知函数)0()4sin()(>+=ωπωx x f 的最小正周期为π，则该函数的图象（）A ．关于点)0,4(π对称 B ．关于直线8π=x 对称 C ．关于点)0,8(π对称 D ．关于直线4π=x 对称5、已知函数bx x x f +=2)(的图象在点))1(,1(f A 处的切线l 与直线023=+-y x 平行，若数列})(1{n f 的前n 项和为S n ，则S 2011的值为（）A ．20102009 B ．20122011 C ．20092008 D ．201120106、设抛物线y x 122=的焦点为F ，经过点)1,2(P 的直线l 与抛物线相交于A 、B 两点，且点P 恰为AB 的中点，则||||BF AF +等于（）A ．10B ．8C ．6D ．4 7、已知}{n a 是等差数列，S n 为其前n 项和，若400023S S =，O 为坐标原点，点),1(n a P ，点),2012(2012a Q ，则OQ OP ⋅=（）A ．2012B ．2012-C ．0D ．1 8、若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是（）A ．91.5和91.5B ．91.5和92C ．91和91.5D ．92和92 9、已知平面直角坐标xOy 上的区域D 由不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤yx y x 2220给定，若),(y x M 为D上动点，点A 的坐标为)1,2(，则OA OM Z ⋅=的最大值为（） A ．24 B ．33 C ．4 D ．3 10、已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机摸拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定4,3,2,1表示命中，0,98,7,6,5表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果，经随机模拟产生了20组随机数907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（）A ．0.35B ．0.15C ．0.20D ．0.25二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11、已知椭圆)0(12222>>=+b a by ax 的离心率为21，且过点)23,1(P ，则椭圆方程为 .12、若“存在实数x ，使不等式01)1()1(2≤++-+x m x m 成立”是假命题，则实数m的取值范围 .13、执行如图所示的程序框图，输出的B = . 14、已知函数),(131)(23R ∈+-+=b a bx ax x x f 在区间]3,1[-上是减函数，则a+b 的最小值是 .15、设函数)(x f y =是定义域为R 的奇函数，且满足)()2(x f x f -=-对一切R ∈x 恒成立，当]1,0[∈x时，3)(x x f =，给出下列四个命题. ①)(x f 是以4为周期的周期函数； ②)(x f 在]3,1[上解析式为3)2()(x x f -=； ③)(x f 图象的对称轴有1±=x ； ④函数)(x f 在R 上无最大值. 其中正确命题的序号是 .。