2020届高三数学小题狂练二十二含答案
2020年全国版高考数学必刷题：第二十二单元 选考模块
第二十二单元选考模块考点一极坐标与参数方程1.(2017年全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的参数方程为-(t为参数).(1)若a=-1,求C与l的交点坐标;(2)若C上的点到l距离的最大值为,求a.【解析】(1)曲线C的普通方程为+y2=1.当a=-1时,直线l的普通方程为x+4y-3=0.-由-解得或从而C与l的交点坐标为(3,0),-,.(2)直线l的普通方程为x+4y-a-4=0,故C上的点(3cos θ,sin θ)到l的距离d=.当a≥-4时,d的最大值为.由题设得=,所以a=8;当a<-4时,d的最大值为-.由题设得=,所以a=-16.综上,a=8或a=-16.2.(2017年全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρcos θ=4.(1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM|·|OP|=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程;(2)设点A的极坐标为,点B在曲线C2上,求△OAB面积的最大值.【解析】(1)设点P的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0),点M的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1>0).由题设知|OP|=ρ,|OM|=ρ1=.由|OM|·|OP|=16得C2的极坐标方程为ρ=4cos θ(ρ>0).因此C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x≠0).(2)设点B的极坐标为(ρB,α)(ρB>0).由题设知|OA|=2,ρB=4cos α,于是△OAB的面积S=|OA|·ρB·sin∠AOB=4cos α·-=2--≤2+.当α=-时,S取得最大值2+.所以△OAB面积的最大值为2+.3.(2017年全国Ⅲ卷)在直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程为(t为参数),直线l2的参数方程为-(m为参数).设l1与l2的交点为P,当k变化时,P的轨迹为曲线C.(1)写出C的普通方程;(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l3:ρ(cos θ+sin θ)-=0,M为l3与C的交点,求M的极径.【解析】(1)消去参数t得l1的普通方程为y=k(x-2);消去参数m得l2的普通方程为y=(x+2).设P(x,y),由题设得-消去k得x2-y2=4(y≠0),所以C的普通方程为x2-y2=4(y≠0).(2)C的极坐标方程为ρ2(cos2θ-sin2θ)=4(0<θ<2π,θ≠π),联立-得-cos θ-sin θ=2(cos θ+sin θ).故tan θ=-,从而cos2θ=,sin2θ=.代入ρ2(cos2θ-sin2θ)=4得ρ2=5,所以交点M的极径为.4.(2016年全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=4cos θ.(1)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程;(2)直线C3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tan α0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.【解析】(1)消去参数t得到C1的普通方程为x2+(y-1)2=a2,则C1是以(0,1)为圆心,a为半径的圆.将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入C1的普通方程中,得到C1的极坐标方程为ρ2-2ρsin θ+1-a2=0.(2)曲线C1,C2的公共点的极坐标满足方程组若ρ≠0,由方程组得16cos2θ-8sin θcos θ+1-a2=0,由已知tan θ=2,可得16cos2θ-8sin θcos θ=0,从而1-a2=0,解得a=-1(舍去)或a=1.当a=1时,极点也为C1,C2的公共点,且在C3上.所以a=1.5.(2016年全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25.(1)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;(2)直线l的参数方程是(t为参数),l与C交于A,B两点,|AB|=,求l的斜率.【解析】(1)由x=ρcos θ,y=ρsin θ可得圆C的极坐标方程为ρ2+12ρcos θ+11=0.(2)(法一)由直线l的参数方程(t为参数),消去参数得y=x·tan α.设直线l的斜率为k,则直线l的方程为kx-y=0.由圆C的方程为(x+6)2+y2=25知,圆心坐标为(-6,0),半径为5.又∣AB∣=,由垂径定理及点到直线的距离公式得-=-,即=,整理得k2=,解得k=±,即l的斜率为±.(法二)在(1)中建立的极坐标系中,直线l的极坐标方程为θ=α(ρ∈R).设A,B所对应的极径分别为ρ1,ρ2,将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2+12ρcos α+11=0,于是ρ1+ρ2=-12cos α,ρ1ρ2=11.|AB|=|ρ1-ρ2|=-=-.由|AB|=得cos2α=,可得tan α=±.所以l的斜率为±.考点二不等式选讲6.(2017年全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=-x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|.(1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集;(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],求a的取值范围.【解析】(1)当a=1时,不等式f(x)≥g(x)等价于x2-x+|x+1|+|x-1|-4≤0.①当x<-1时,①式化为x2-3x-4≤0,无解;当-1≤x≤1时,①式化为x2-x-2≤0,解得-1≤x≤1;当x>1时,①式化为x2+x-4≤0,解得1<x≤-.所以f(x)≥g(x)的解集为x-1≤x≤-.(2)当x∈[-1,1]时,g(x)=2,所以f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1]等价于当x∈[-1,1]时,f(x)≥2.又f(x)在[-1,1]的最小值必为f(-1)与f(1)之一,所以f(-1)≥2且f(1)≥2,解得-1≤a≤1.所以a的取值范围为[-1,1].7.(2017年全国Ⅱ卷)已知a>0,b>0,a3+b3=2.证明:(1)(a+b)(a5+b5)≥4;(2)a+b≤2.【解析】(1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6=(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4)=4+ab(a2-b2)2≥4.(2)因为(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=2+3ab(a+b)≤2+(a+b)=2+,所以(a+b)3≤8,所以a+b≤2.8.(2017年全国Ⅲ卷)已知函数f(x)=|x+1|-|x-2|.(1)求不等式f(x)≥1的解集;(2)若不等式f(x)≥x2-x+m的解集非空,求m的取值范围.【解析】(1)f(x)=----当x<-1时,f(x)≥1无解;当-1≤x≤2时,由f(x)≥1,得2x-1≥1,解得1≤x≤2;当x>2时,由f(x)≥1,解得x>2.所以f(x)≥1的解集为{x|x≥1}.(2)由f(x)≥x2-x+m,得m≤|x+1|-|x-2|-x2+x.而|x+1|-|x-2|-x2+x≤|x|+1+|x|-2-x2+|x|=--+≤,且当x=时,|x+1|-|x-2|-x2+x=,故m的取值范围为-.9.(2016年全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|.(1)画出y=f(x)的图象;(2)求不等式|f(x)|>1的解集.【解析】(1)由题意得f(x)=-----故y=f(x)的图象如图所示.(2)由f(x)的函数表达式及图象可知,当f(x)=1时,可得x=1或x=3;当f(x)=-1时,可得x=或x=5.故f(x)>1的解集为{x|1<x<3},f(x)<-1的解集为或.所以|f(x)|>1的解集为或或.10.(2016年全国Ⅱ卷)已知函数f(x)=x-+x+,M为不等式f(x)<2的解集.(1)求M;(2)证明:当a,b∈M时,|a+b|<|1+ab|.【解析】(1)f(x)=---当x≤-时,由f(x)<2得-2x<2,解得-1<x≤-;当-<x<时,f(x)<2;当x≥时,由f(x)<2得2x<2,解得≤x<1.综上,f(x)<2的解集M={x|-1<x<1}.(2)由(1)知,当a,b∈M时,-1<a<1,-1<b<1,从而(a+b)2-(1+ab)2=a2+b2-a2b2-1=(a2-1)(1-b2)<0.因此|a+b|<|1+ab|.高频考点:参数方程和普通方程的互化、极坐标方程和普通方程的互化、直线的参数方程中t的几何意义的应用、利用圆锥曲线的参数方程求最值、ρ的几何意义、平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化,绝对值三角不等式的应用,均值不等式的应用,不等式的证明以及柯西不等式的简单应用.命题特点:1.考查极坐标方程及其应用、参数方程及其应用、参数方程和极坐标方程与普通方程的转化.2.直线的参数方程中t的几何意义的应用,注意定点在曲线两交点之间还是在两交点同侧.3.直线与曲线相交,求两点之间的距离经常考查ρ的几何意义.4.图形的伸缩变换,以及求轨迹方程.5.利用圆锥曲线的参数方程中三角函数的有界性求最值.6.零点分段法是解决绝对值不等式问题常用的方法,也可以将绝对值函数转化为分段函数,借助图象解题.7.利用分析法,综合法,比较法,反证法对不等式进行证明.8.根据绝对值三角不等式的恒成立问题求最值,进而求解参数的取值范围.§22.1坐标系与参数方程一极坐标系1.极坐标的概念(1)极坐标系:如图,在平面内取一个定点O,叫作,由O点引一条射线Ox,叫作,选定一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向),这样就确定了一个平面极坐标系,简称为.(2)极坐标:对于平面内任意一点M,用ρ表示线段OM的长,θ表示以Ox为始边、OM为终边的角度,ρ叫作点M的,θ叫作点M的,有序实数对(ρ,θ)叫作点M的极坐标,记作M(ρ,θ).2.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把平面直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,建立极坐标系,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图.(2)互化公式:设M是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标是(ρ,θ)(ρ>0,θ∈[0,2π)),则极坐标与直角坐标的互化公式如表:在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M所在的象限取最小正角.二参数方程1.曲线的参数方程在平面直角坐标系xOy中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变量t的函数,即并且对于t 的每一个允许值,上式所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,那么称上式为该曲线的,其中变量t称为.2.一些常见曲线的参数方程(1)过点P0(x0,y0),且倾斜角为α的直线的参数方程为.(2)圆(x-a)2+(y-b)2=r2的参数方程为.(3)椭圆+=1(a>b>0)的参数方程为.3.直线的参数方程的标准形式的应用(1)已知直线的参数方程为(t为参数),M1,M2是直线上的两点,其对应的参数分别为t1,t2,则M1M2=|t1-t2|.(2)若线段M1M2的中点M所对应的参数为t,则t=,中点M到定点M0(x0,y0)的距离MM0=|t|=.(3)若M0(x0,y0)为线段M1M2的中点,则t1+t2=.☞左学右考写出下列曲线的极坐标方程半径直角坐标方程x2+y2-8y=0的极坐标方程为.极坐标方程ρ=6cos-的直角坐标方程为.在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,取相同长度单位建立极坐标系,已知射线θ=与曲线-(t 为参数)相交于A,B两点,则线段AB的中点的直角坐标为.在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(参数t∈R),圆C的参数方程为(参数θ∈[0,2π)),则圆心C到直线l的距离是.知识清单一、1.(1)极点极轴极坐标系(2)极径极角2.(2)ρcos θρsin θx2+y2二、1.参数方程参数2.(1)(t为参数)(2)(θ为参数)(3)(θ为参数)3.(2)(3)0基础训练1.ρ=r(0≤θ<2π)ρ=2r sin θ(0≤θ<π)ρsin θ=a(0<θ<π)ρsin(α-θ)=a sin α(α-π<θ<α)2.【解析】因为x2+y2=ρ2,y=ρsin θ,所以原方程可化为ρ2-8ρsin θ=0.所以ρ=0或ρ=8sin θ.经检验,得所求的极坐标方程为ρ=8sin θ.【答案】ρ=8sin θ3.【解析】原方程可化为ρ=6cos θcos +6sin θsin ,方程两边同乘ρ,得ρ2=3ρcos θ+3ρsin θ,由ρ2=x2+y2,ρcos θ=x,ρsin θ=y,得所求的直角坐标方程为x2+y2-3x-3y=0.【答案】x2+y2-3x-3y=04.【解析】记A(x1,y1),B(x2,y2),将射线θ=转化为直角坐标方程为y=x(x≥0),曲线为y=(x-2)2,联立上述两个方程得x2-5x+4=0,所以x1+x2=5,故线段AB的中点坐标为.【答案】5.【解析】直线方程可化为x-y+1=0,圆的方程可化为(x-1)2+y2=1.由点到直线的距离公式可得,圆心C(1,0)到直线l的距离为=.-【答案】题型一平面直角坐标系中的伸缩变换【例1】将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C.(1)求曲线C的标准方程;(2)设直线l:2x+y-2=0与C的交点为P1,P2,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴,取相同长度单位建立极坐标系,求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.【解析】(1)设(x1,y1)为圆上的点,在已知变换下变为曲线C上的点(x,y),依题意得由+=1得x2+=1,故曲线C的标准方程为x2+=1.(2)由解得或-不妨设P1(1,0),P2(0,2),则线段P1P2的中点坐标为,则所求直线的斜率为k=,于是所求直线的方程为y-1=-,化为极坐标方程,并整理得2ρcos θ-4ρsin θ=-3,故所求直线的极坐标方程为ρ=.-【变式训练1】在平面直角坐标系中,已知伸缩变换φ:(1)求点A-经过φ变换所得点A'的坐标;(2)求直线l:y=6x经过φ变换后所得直线l'的方程.【解析】(1)设点A'(x',y'),由伸缩变换φ:得∴x'=×3=1,y'=-=-1.∴点A'的坐标为(1,-1).(2)设P'(x',y')是直线l'上任意一点.由伸缩变换φ:得代入y=6x,得2y'=6·=2x',即y'=x'.∴直线l'的方程为y=x.题型二直角坐标方程和极坐标方程的互化【例2】在极坐标系中,曲线C的极坐标方程为ρ2=,以极点O为直角坐标原点,极轴为x轴的正半轴,取相同长度单位建立平面直角坐标系.(1)求曲线C的直角坐标方程;(2)设曲线C与x轴,y轴的正半轴分别交于点A,B,P是曲线C上一点,求△ABP面积的最大值.【解析】(1)因为曲线C的极坐标方程为ρ2=,所以9ρ2+7ρ2sin2θ=144.由ρ2=x2+y2,y=ρsin θ,可得曲线C的直角坐标方程为9x2+9y2+7y2=144,即曲线C的直角坐标方程为+=1.(2)因为曲线C与x轴,y轴的正半轴分别交于点A,B,所以A(4,0),B(0,3).所以直线AB的方程为3x+4y-12=0.设P(4cos θ,3sin θ),则P到直线AB的距离d=-=-.当θ=时,d max=.故△ABP面积的最大值为×|AB|×=6(+1).(1)直角坐标方程化为极坐标方程,只需把公式x=ρcos θ及y=ρsin θ直接代入化简即可.【变式训练2】(1)在平面直角坐标系xOy中,圆C1:(x-3)2+y2=9,以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴,取相同长度单位建立极坐标系,圆C2的圆心的极坐标为,半径为1.①求圆C1的极坐标方程;②设圆C1与圆C2交于A,B两点,求|AB|.(2)在极坐标系下,已知圆O:ρ=cos θ+sin θ和直线l:ρsin-=,以极点为直角坐标原点,极轴为x轴的正半轴,取相同长度单位建立平面直角坐标系.①求圆O和直线l的直角坐标方程;②当θ∈(0,π)时,求直线l与圆O公共点的一个极坐标.【解析】(1)①圆C1:(x-3)2+y2=9,展开可得x2+y2-6x=0,可得极坐标方程为ρ2-6ρcos θ=0,即ρ=6cos θ.②圆C2的圆心的极坐标为,化为直角坐标为(1,1),可得圆C2的直角坐标方程为(x-1)2+(y-1)2=1.由圆C1与圆C2的方程相减可得公共弦所在的直线方程为4x-2y+1=0.圆心(1,1)到直线4x-2y+1=0的距离d=--=,故弦长|AB|=2-=.(2)①圆O:ρ=cos θ+sin θ,即ρ2=ρcos θ+ρsin θ,则圆O的直角坐标方程为x2+y2=x+y,即x2+y2-x-y=0.直线l:ρsin-=,即ρsin θ-ρcos θ=1,则直线l的直角坐标方程为y-x=1,即x-y+1=0.②由---得故直线l与圆O公共点的一个极坐标为.题型三参数方程与普通方程的互化【例3】已知椭圆C:+=1,直线l:-(t为参数).(1)写出椭圆C的参数方程及直线l的普通方程;(2)设A(1,0),若椭圆C上的点P满足到点A的距离与其到直线l的距离相等,求点P的坐标.【解析】(1)椭圆C的参数方程为(θ为参数),直线l的普通方程为x-y+9=0.(2)设P(2cos θ,sin θ),则|AP|=-=2-cos θ,点P到直线l的距离d=-=-.由|AP|=d得3sin θ-4cos θ=5,又sin2θ+cos2θ=1,解得sin θ=,cos θ=-,故点P的坐标为-.(1)参数方程化为普通方程的基本方法就是消参法,常用的消参技巧有代入消元、加减消元、平方后再加减消元等.对于与角【变式训练3】已知曲线C的参数方程为(α为参数),直线l的参数方程为(t为参数).(1)求曲线C与直线l的普通方程;(2)若直线l与曲线C相交于P,Q两点,且|PQ|=,求实数m的值.【解析】(1)由得-①的平方加②的平方,得曲线C的普通方程为x2+(y-m)2=1.由x=1+t,得t=x-1,代入y=4+t得y=4+2(x-1),所以直线l的普通方程为y=2x+2.(2)圆心(0,m)到直线l的距离d=,所以由勾股定理,得-+=1,解得m=3或m=1.题型四极坐标与参数方程的综合问题【例4】在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l上两点M,N的极坐标分别为(2,0),,圆C的参数方程为(θ为参数).-(1)设P为线段MN的中点,求直线OP的直角坐标方程;(2)判断直线l与圆C的位置关系.【解析】(1)因为M,N的极坐标分别为(2,0),,所以M,N的直角坐标分别为(2,0),.又因为P为线段MN的中点,所以点P的直角坐标为,所以直线OP的直角坐标方程为y=x.(θ为参数),(2)因为圆C的参数方程为-所以圆C的直角坐标方程为(x-2)2+(y+3)2=4,可知圆C的圆心坐标为(2,-3),半径为2.由直线l上两点M,N的直角坐标分别为(2,0),,可知直线l的直角坐标方程为x+y-2=0.所以圆心C到直线l的距离为--=>2.所以直线l与圆C相离.求解参数方程与极坐标方程的综合问题的一般思路:分别化为普通方程和直角坐标方程后求解.转化后可使问题变得更加直【变式训练4】在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知圆C的参数方程为(α为参数),直线l的极坐标方程为ρcos-=3.(1)求直线l的直角坐标方程和圆C的普通方程;(2)求圆C上的点P到直线l距离的最小值和最大值.【解析】(1)∵直线l的极坐标方程为ρcos-=3,∴ρcos θ+ρsin θ=3,即直线l的直角坐标方程为x+y-3=0.∵圆C的参数方程为(α为参数),消去参数得(x-1)2+y2=1,即圆C的普通方程为(x-1)2+y2=1.(2)由圆C的普通方程为(x-1)2+y2=1,可知圆心C(1,0),半径r=1.则圆心C到直线l的距离d===>1,故直线l与圆C相离,故圆C上的点P到直线l距离的最小值是-1,最大值是+1.方法一直线参数方程中参数t的几何意义过定点M0(x0,y0),倾斜角为α的直线的参数方程为(t为参数).①通常称①为直线l的参数方程的“标准式”.参数t的几何意义:|t|是直线上任一点M(x,y)到点M0(x0,y0)的距离,即|M0M|=|t|.若t>0,则的方向向上;若t<0,则的方向向下;若t=0,则点M与点M0重合.即当点M在M0上方时,有t=||;当点M 在M0下方时,有t=-||.该参数t经常用在直线截圆锥曲线的距离问题中,解题时通常过某定点作一直线与圆锥曲线相交于A,B两点,所求问题与定点到A,B两点的距离有关.解题时主要应用定点在直线AB上,利用参数t的几何意义,结合根与系数的关系进行处理,巧妙求出问题的解.【突破训练1】在平面直角坐标系中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,两种坐标系取相同的单位长度.已知曲线C:ρsin2θ=2a cos θ(a>0),过点P(-2,-4)的直线l的参数方程为--(t为参数).直线l与曲线C分别交于M,N两点.(1)求实数a的取值范围;(2)若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求实数a的值.【解析】(1)由题意,可得曲线C的直角坐标方程为y2=2ax(a>0),将直线l的参数方程--(t为参数)代入曲线C的直角坐标方程,得t2-(4+a)t+16+4a=0,因为直线l与曲线C交于M,N两点,所以Δ>0,解得a>0或a<-4.又a>0,所以实数a的取值范围为(0,+∞).(2)设交点M,N对应的参数分别为t1,t2.则由(1)知,t1+t2=2(4+a),t1t2=2(16+4a),若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,则|t1-t2|2=|t1t2|.解得a=1或a=-4(舍去),所以实数a的值为1.方法二ρ的几何意义的应用在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长等几何问题时,如果不能直接用极坐标解决,或用极坐标解决较麻烦,可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决.同时,注意数形结合的应用,即充分利用参数方程中参数的几何意义,或者利用ρ和θ的几何意义,直接求解,达到化繁为简的目的.【突破训练2】在直角坐标系xOy中,半圆C的参数方程为(φ为参数,0≤φ≤π).以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C的极坐标方程;(2)直线l的极坐标方程是ρ(sin θ+cos θ)=5,射线OM:θ=与半圆C的交点为O,P,与直线l的交点为Q,求线段PQ的长.【解析】(1)半圆C的普通方程为(x-1)2+y2=1(0≤y≤1),又x=ρcos θ,y=ρsin θ,所以半圆C的极坐标方程是ρ=2cos θ,θ∈.(2)设(ρ1,θ1)为点P的极坐标,则有解得设(ρ2,θ2)为点Q的极坐标,则有解得因为θ1=θ2,所以|PQ|=|ρ1-ρ2|=4,所以线段PQ的长为4.方法三圆锥曲线参数方程的应用椭圆的参数方程的实质是三角代换,有关椭圆上的动点距离的最大值、最小值以及取值范围的问题,通常利用椭圆的参数方程转化为三角函数的最大值、最小值求解.【突破训练3】在平面直角坐标系xOy中,动圆x2+y2-4x cos θ-4y sin θ+7cos2θ-8=0(θ为参数)的圆心轨迹为曲线C,点P在曲线C上运动.以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,若直线l的极坐标方程为2ρcos=3,求点P到直线l的最大距离.【解析】将动圆的方程配方,得(x-2cos θ)2+(y-2sin θ)2=9+3sin2θ,设圆心(x,y),则(θ为参数),即曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的直角坐标方程为x-y-3=0.设点P(x1,y1),则点P到直线l的距离d=--=-,其中tan φ=-.∴当sin(θ1+φ)=-1时,点P到直线l的距离d取得最大值.【答案】1.(2017长沙模拟)在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(α为参数),在以原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线l的极坐标方程为ρsin-=.(1)求C的普通方程和l的倾斜角;(2)设点P(0,2),l和C交于A,B两点,求|PA|+|PB|的值.【解析】(1)由(α为参数),消去参数α,得+y2=1,即C的普通方程为+y2=1.由ρsin-=,得ρsin θ-ρcos θ=2,(*)将代入(*),化简得y=x+2,所以直线l的倾斜角为.(2)由(1)知,点P(0,2)在直线l上,可设直线l的参数方程为(t为参数),即(t为参数),代入+y2=1并化简,得5t2+18t+27=0,Δ=(18)2-4×5×27=108>0,设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=-<0,t1t2=>0,所以t1<0,t2<0,所以|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=-(t1+t2)=.2.(2017合肥调研)在直角坐标系xOy中,曲线C:(α为参数),在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,直线l:ρsin θ+ρcos θ=m.(1)若m=0,判断直线l与曲线C的位置关系;(2)若曲线C上存在点P到直线l的距离为,求实数m的取值范围.【解析】(1)曲线C的普通方程为(x-1)2+(y-1)2=2,其表示圆心为(1,1),半径为的圆;直线l的直角坐标方程为x+y=0,圆心C到直线l的距离d===r,所以直线l与圆C相切.(2)直线l的直角坐标方程为x+y-m=0,由已知可得,圆心C到直线l的距离d=≤,解得-1≤m≤5.所以实数m的取值范围为[-1,5].3.(2017石家庄质检)在平面直角坐标系xOy中,曲线C:(x-1)2+y2=1.直线l经过点P(m,0),且倾斜角为.(1)求圆C和直线l的参数方程;(2)若直线l与曲线C相交于A,B两点,且|PA|·|PB|=1,求实数m的值.【解析】(1)由曲线C:(x-1)2+y2=1,得参数方程为(θ为参数),直线l的参数方程为(t为参数).(2)设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,将直线l的参数方程代入x2+y2=2x中,得t2+(m-)t+m2-2m=0,所以t1t2=m2-2m,由题意得Δ>0,|m2-2m|=1,得m=1,m=1+或m=1-.4.(2017唐山质检)已知曲线C1:x+y=和C2:(φ为参数).以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,且两种坐标系中取相同的长度单位.(1)把曲线C1和C2的方程化为极坐标方程;(2)设C1与x轴,y轴交于M,N两点,且线段MN的中点为P.若射线OP与C2交于点Q,求P,Q两点间的距离.【解析】(1)曲线C1化为ρcos θ+ρsin θ=.即ρsin=.曲线C2化为+=1,(*)将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入(*)式,得cos2θ+sin2θ=1,即ρ2(cos2θ+3sin2θ)=6.∴曲线C2的极坐标方程为ρ2=.(2)∵M(,0),N(0,1),∴P,∴OP的极坐标方程为θ=,把θ=代入ρsin=,得ρ1=1,P.把θ=代入ρ2=,得ρ2=2,Q.∴|PQ|=|ρ2-ρ1|=1,即P,Q两点间的距离为1.5.(2017贵阳调研)以直角坐标系中的原点O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,已知曲线的极坐标方程为ρ=-.(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)过极点O作直线l交曲线于P,Q两点,若|OP|=3|OQ|,求直线l的极坐标方程.【解析】(1)∵ρ=,ρsin θ=y,ρ=-化为ρ-ρsin θ=2,∴曲线的直角坐标方程为x2=4y+4.(2)设直线l的极坐标方程为θ=θ0(ρ∈R),根据题意-=3×-,解得θ0=或θ0=,∴直线l的极坐标方程为θ=(ρ∈R)或θ=(ρ∈R).6.(2017赤峰模拟)在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴正半轴为极轴,与直角坐标系xOy取相同的长度单位,建立极坐标系,设曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的极坐标方程为ρsin-=2.(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程;(2)求曲线C上的点到直线l的最大距离.【解析】(1)由ρsin-=2得ρ(sin θ-cos θ)=4,所以直线l的直角坐标方程为x-y+4=0,由得曲线C的普通方程为x2+=1.(2)在C上任取一点P(cos θ,sin θ),则点P到直线l的距离d=-=,其中cos φ=,φ=,所以当cos(θ+φ)=1时,d max=2+.7.(2017铁岭模拟)在极坐标系Ox中,曲线C1的极坐标方程为ρsin θ=2,M是C1上任意一点,点P在射线OM上,且满足|OP|·|OM|=4,记点P的轨迹为C2.(1)求曲线C2的极坐标方程;(2)求曲线C2上的点到直线ρcos=距离的最大值.【解析】(1)设P(ρ1,θ),M(ρ2,θ),由|OP|·|OM|=4,得ρ1ρ2=4,(*)因为M是C1上任意一点,所以ρ2sin θ=2,代入(*)得ρ1=2sin θ.所以曲线C2的极坐标方程为ρ=2sin θ.(2)由ρ=2sin θ,得ρ2=2ρsin θ,即x2+y2-2y=0,化为标准方程为x2+(y-1)2=1,则圆C2的圆心坐标为(0,1),半径为1,由直线ρcos=,得ρcos θcos-ρsin θsin =,即x-y=2,圆心(0,1)到直线x-y=2的距离d==,所以曲线C2上的点到直线ρcos=距离的最大值为1+.8.(2017南京、盐城、徐州、连云港四市模拟)在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.直线l的极坐标方程为ρsin-=,椭圆C的参数方程为(t为参数).(1)求直线l的直角坐标方程与椭圆C的普通方程;(2)若直线l与椭圆C交于A,B两点,求线段AB的长.【解析】(1)由ρsin-=得ρ-=,所以直线l的直角坐标方程为x-y=,化简得y=x-,即直线l的直角坐标方程为y=x-.由+=cos2t+sin2t=1得椭圆C的普通方程为+=1.-(2)联立直线方程与椭圆方程得消去y并整理得5x2-8x=0,解得x1=0,x2=,所以A(0,-),B或A,B(0,-).所以AB==.9.(2017邯郸调研)在极坐标系中,已知直线l过点A(1,0),且其向上的方向与极轴的正方向所成的最小正角为,求:(1)直线的极坐标方程;(2)极点到该直线的距离.【解析】(1)如图,由正弦定理得.=-即ρsin-=sin =,∴所求直线的极坐标方程为ρsin-=.(2)作OH⊥l,垂足为H,在△OHA中,OA=1,∠OHA=,∠OAH=,则OH=OA sin =,即极点到该直线的距离等于.10.(2017黑龙江大庆二模)在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为-(t为参数),以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为ρ=a sin θ.(1)若a=2,求圆C的直角坐标方程与直线l的普通方程;(2)设直线l截圆C所得弦的长等于圆C的半径长的倍,求a的值.【解析】(1)当a=2时,ρ=a sin θ即为ρ=2sin θ,化为直角坐标方程为x2+(y-1)2=1,直线-(t为参数)化为普通方程为4x+3y-8=0.(2)圆C的极坐标方程转化成直角坐标方程为x2+-=,因为直线l截圆C所得弦的长等于圆C的半径长的倍,所以圆心C到直线l的距离d=-=·,即2|3a-16|=5|a|,解得a=32或a=.11.(2017宁夏银川九中二模)在直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为-(θ为参数).(1)以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求圆C的极坐标方程;(2)已知A(-2,0),B(0,2),圆C上任意一点M(x,y),求△ABM面积的最大值.【解析】(1)圆C的参数方程为-(θ为参数).所以圆C的普通方程为(x-3)2+(y+4)2=4.由x=ρcos θ,y=ρsin θ,可得(ρcos θ-3)2+(ρsin θ+4)2=4,化简可得圆C的极坐标方程为ρ2-6ρcos θ+8ρsin θ+21=0.(θ为参数),点M(x,y)到直线AB:x-y+2=0的距离d=,(2)因为x,y满足-△ABM的面积S=×|AB|×d=|2cos θ-2sin θ+9|=-,所以△ABM面积的最大值为9+2.12.(2017辽宁抚顺二模)在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的参数方程为(t为参数),曲线C1的极坐标方程为ρ(ρ-4sin θ)=12,定点A(6,0),点P是曲线C1上的动点,Q为AP的中点.(1)求点Q的轨迹C2的直角坐标方程;(2)若直线l与曲线C2交于M,N两点,且|MN|≥2,求实数a的取值范围.【解析】(1)由x=ρcos θ,y=ρsin θ,x2+y2=ρ2,曲线C1的极坐标方程为ρ(ρ-4sin θ)=12,可得曲线C1的直角坐标方程为x2+y2-4y=12.设点P(x',y'),Q(x,y),由中点坐标公式,得-将其代入x2+y2-4y=12,得点Q的轨迹C2的直角坐标方程为(x-3)2+(y-1)2=4.(2)直线l的普通方程为y=ax,设圆心C2到直线l的距离为d,由弦长公式可得,|MN|=2-≥2,即d≤1.可得圆心(3,1)到直线l的距离d=-≤1,即4a2-3a≤0,解得0≤a≤,故实数a的取值范围为.§22.2不等式选讲一绝对值三角不等式1.定理1如果a,b是实数,那么,对于|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当时,等号成立.2.定理2如果a,b,c是实数,那么,当且仅当时,等号成立.二绝对值不等式的解法1.含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集2.|x-a|+|x-b|≥c(c>0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法:(1)数形结合法;(2)零点分段法;(3)构造函数法.三不等式证明的方法1.比较法.(1)作差比较法;(2)作商比较法.2.综合法和分析法.3.反证法和放缩法.四几个常用的不等式1.柯西不等式柯西不等式的代数形式:设a1,a2,b1,b2均为实数,则(当且仅当a1b2=a2b1时,等号成立).2.平均值不等式定理:如果a,b,c为正数,那么,当且仅当a=b=c时,等号成立.我们称为正数a,b,c的算术平均值,为正数a,b,c的几何平均值,定理中的不等式为三个正数的算术—几何平均值不等式,简称为平均值不等式.一般形式的算术—几何平均值不等式:如果a1,a2,…,a n为正数,那么,当且仅当a1=a2=…=a n时,等号成立.☞左学右考设ab<0,a,b∈R,那么正确的是().A.|a+b|>|a-b|B.|a-b|<|a|+|b|C.|a+b|<|a-b|D.|a-b|<||a|-|b||不等式|x-1|-|x-5|<2的解集是.|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法:(1);(2)|ax+b|≥c⇔ax+b≤-c或.设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,证明:(1)ab+bc+ac≤;(2)++≥1.知识清单一、1.||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|ab≥02.|a-c|≤|a-b|+|b-c|(a-b)(b-c)≥0二、1.(-a,a)(-∞,-a)∪(a,+∞)四、1.(+)(+)≥(a1b1+a2b2)22.≥≥基础训练1.【解析】由ab<0得a,b异号,易知|a+b|<|a-b|,|a-b|=|a|+|b|,|a-b|>||a|-|b||,∴A、B、D均不成立.故选C.【答案】C2.【解析】f(x)=|x-1|-|x-5|=--当x≤1时,f(x)=-4<2,满足题意,当1<x<5时,由f(x)=2x-6<2,解得1<x<4,当x≥5时,f(x)=4>2,无解.所以所求不等式的解集为{x|x<4}.【答案】{x|x<4}3.【答案】(1)|ax+b|≤c⇔-c≤ax+b≤c(2)ax+b≥c4.【解析】(1)由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,a2+c2≥2ac得a2+b2+c2≥ab+bc+ac.由题设得(a+b+c)2=1,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=1.所以3(ab+bc+ac)≤1,即ab+bc+ac≤. (2)因为+b≥2a,+c≥2b,+a≥2c,所以+++(a+b+c)≥2(a+b+c),即++≥a+b+c.所以++≥1.题型一绝对值不等式的解法【例1】已知函数f(x)=|x-2|-|x-5|.(1)证明:-3≤f(x)≤3;(2)求不等式f(x)≥x2-8x+15的解集.【解析】(1)f(x)=|x-2|-|x-5|=--当2<x<5时,-3<2x-7<3,所以-3≤f(x)≤3.(2)由(1)可知,当x≤2时,f(x)≥x2-8x+15即为x2-8x+18≤0,解集为空集;当2<x<5时,f(x)≥x2-8x+15即为x2-10x+22≤0,解集为{x|5-≤x<5};当x≥5时,f(x)≥x2-8x+15即为x2-8x+12≤0,解集为{x|5≤x≤6}.综上,不等式f(x)≥x2-8x+15的解集为{x|5-≤x≤6}.。
高三下学期高考数学试卷附答案 (22)
2019-2020学年度第二学期第*次考试试卷高考数学模拟测试学校：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题1．设{}n a 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ++=，12380a a a =，则111213a a a ++=（ ）A ．120B ．105C ．90D ．75(2006全国1理)2．在)2,0(π内，使x x cos sin >成立的x 的取值范围是（ ）A ．)45,()2,4(ππππYB ．),4(ππC ．)45,4(ππD ．)23,45(),4(ππππY （2002山东理4）3．若a 是1+2b 与1-2b 的等比中项，则||2||2b a ab +的最大值为（ ） A ．1552 B ．42 C ．55 D ．22（2007重庆理7）4．下列各数中，是无理数的是 【 ▲ 】A.23B.16 C ． 0.3 D ．2π 5．若1、6之间插入2个数，使它们构成等差数列，则该数列的公差d ＝_____________ 关键字：等差数列；新数列；双重身份；求公差第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明评卷人得分 二、填空题6． 曲线C 是平面内到定点(0,1)F 和定直线:1l y =-的距离之和等于4的点的轨迹，给出下列三个结论：① 曲线C 关于y 轴对称；② 若点(,)P x y 在曲线C 上，则||2y ≤；③ 若点P 在曲线C 上，则1||4PF ≤≤.其中，所有正确结论的序号是________．【解析】设点(,)P x y 在曲线C 上，则有2222(1)14,(1)4-1,x y y x y y +-+=+-=+两边平方化简得：222(1)42(1)12x y y x y ⎧-≥-⎪⎪=⎨⎪-+<-⎪⎩。
2020高考高三数学小题专项训练
2020年高考虽然延期一个月，但是练习一定要跟上，加油！班级 学号 姓名 得分 1．sin600︒ = ( ) (A) –23 (B)–21. (C)23. (D) 21.2．设A = { x| x ≥ 2}, B = { x | |x – 1|< 3}, 则A ∩B= ( )(A)[2，4] (B)（–∞，–2] (C)[–2，4] (D)[–2，+∞）3．若|a |=2sin150，|b |=4cos150，a 与b 的夹角为300，则a ·b 的值为 ( )(A)23. (B)3. (C)32. (D)21. 4．△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，则a cos C+c cos A 的值为 ( )(A)b. (B)2cb +. (C)2cosB. (D)2sinB. 5．当x ∈ R 时，令f (x )为sinx 与cosx 中的较大或相等者，设a ≤ f ( x ) ≤ b, 则a + b 等于 ( )(A)0 (B) 1 +22. (C)1–22. (D)22–1.6、函数1232)(3+-=x x x f 在区间[0,1]上是（ ）（A ）单调递增的函数. （B ）单调递减的函数. （C ）先减后增的函数 . （D ）先增后减的函数. 7．对于x ∈[0，1]的一切值，a +2b > 0是使ax + b > 0恒成立的（ ）(A)充要条件 (B)充分不必要条件(C)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件8．设{a n }是等差数列，从{a 1，a 2，a 3，··· ，a 20}中任取3个不同的数，使这三个数仍成等差数列，则这样不同的等差数列最多有（ ）(A)90个 . (B)120个. (C)180个. (D)200个.9．已知函数y = f ( x )（x ∈R ）满足f (x +1) = f ( x – 1)，且x ∈[–1，1]时，f (x) = x 2，则y = f ( x ) 与y = log 5x 的图象的交点个数为 ( )(A)1. (B)2 . (C)3 . (D)4.10．给出下列命题：(1) 若0< x <2π, 则sinx < x < tanx . (2) 若–2π < x< 0,则sin x < x < tanx.(3) 设A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，若A > B > C, 则sinA > sinB > sinC.(4) 设A ，B 是钝角△ABC 的两个锐角，若sinA > sinB > sinC 则A > B > C..其中，正确命题的个数是（ ）(A) 4. （B ）3. （C ）2. （D ）1.11. 某客运公司定客票的方法是：如果行程不超过100km ，票价是0.5元/km ， 如果超过100km ， 超过100km 部分按0.4元/km 定价，则客运票价y 元与行程公里数x km 之间的函数关系式是 .12. 设P 是曲线y = x 2 – 1上的动点，O 为坐标原点，当|→--OP |2取得最小值时，点P 的坐标为 .11、 . 12.高三数学小题专项训练（1）11.⎩⎨⎧>+≤≤100104.010005.0x x x x. 12. (–22, –21）或 (22，–21）1.如果向量 =(k ，1)，与 = (4，k )共线且方向相反，则k =A ．±2B ．-2C ．2D ．0 2．函数f (x)=( )x (1<x≤2)的反函数f -1(x )等于21A.log x (1<x ≤2)B. log x (2<x ≤4)C.-log2x (≤x ＜ ﹞ D. -log2x ( ≤x ＜1〕3.已知P=｛x ︱x ≤0｝,Q=｛x ︱x ＜ ｝,则Q ∩C R P 等于A.｛x ︱x ≤0｝B.｛x ︱0≤x ＜ }C. {x |0<x < }D. {x |x >0}4．已知α、β都是第二象限角，且cos >cosβ，则A ． <β B．sin >sinβ C．tan >tanβ D．cot <cotβ5．已知奇函数f (x )的定义域为：{x ｜x +2-a ｜＜a ，a >0}，则a 的值为A ．1B ．2C ．3D ．4 6．方程Ax +By +C =0表示倾斜角为锐角的直线，则必有：A. A ﹒B>0 B ．A ﹒B<0 C ．A>0且B<0 D ．A>0或B<07．已知f (x )=a x (a >0且a ≠1),f -1(2)<0，则f -1(x +1)的图象是2121214121414141ααααα8．如果方程 表示双曲线，则下列椭圆中，与该双曲线共焦点的是A. B.C. D.9．把正整数按下图所示的规律排序，则从2003到2005的箭头方向依次为10.已知函数f(x )=2sin(ωx + )图象与直线y =1的交点中，距离最近两点间的距离为 ， 么此函数的周期是 A . B ． C ．2πD ．4π11．点p 到点A ( ，0)，B(a ，2)及到直线x =- 的距离都相等，122=+-qy P x 1222=++qy p q x 1222-=++py p q x 1222=++qy q p x 1222-=++py q p x ϕ3π3ππ2121如果这样的点恰好只有一个，那么a 的值是 A. B. C. 或 D.- 或12.设 P (x ,y )是曲线 上的点，F 1(-4,0),F 2(4,0),则A.｜F 1P ︳+ ︱F 2P ︳<10 B ．｜F 1P ｜+｜F 2P ｜>10C.｜F 1P ︳+｜F 2P ︳≤10 D．｜F 1P ｜+｜F 2P ｜≥1013．若函数 y =2x 2+4x +3的图象按向量 平移后，得到函数y=2x 2的图象，则： =.14．已知(x ，y )在映射f 下的象是(x +Y ，-x )，则(1，2)在f 下原象是 .15．圆x 2+y 2+x -6y +3=0上两点P 、Q 关于直线kx -y +4=0对称，则k = .16.在△ABC 中，B （-2，0），C （2，0），A （x,y ）,给出△ABC 满足的条件，就能得到动点A 的轨迹方程，下面给出了一些条件及方程，请你用线把左边满足的条件及相应的右边A 点的轨迹方程连起来：212321232121192522=+y x（错一条连线得0分）高三数学小题专项训练（4）一、1．B 2．C 3．C 4．B 5．B 6．B 7．A 8．D 9．B 10．B 11．D 12．C二、13．(1，-1) 14．(-2，3) 15．2 16. (①→○c②→○a③→○b)。
2020届高三数学小题狂练二十含答案
2020届高三数学小题狂练二十姓名 得分1．已知集合2{|log 1}M x x =<，{|1}N x x =<，则M N I = .2．双曲线2213x y -=的两条渐近线的夹角大小为 .3．设a 为常数，若函数1()2ax f x x +=+在(2,2)-上为增函数，则a 的取值范围是 . 4．函数)2(log log 2x x y x +=的值域是 .5．若函数()23f x ax a =++在区间)1,1(-上有零点，则a 的取值范围是 .6．若1(1)(1)2n na n+--<+对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是 .7．已知函数12||4)(-+=x x f 的定义域是[,]a b （a ，b 为整数），值域是[0,1]，则满足条件的整数数对),(b a 共有 个.8．设P ，Q 为ABC ∆内的两点，且2155AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，AQ uuu r 23AB =u u u r 14+AC u u ur ，则ABP ∆的面积与ABQ ∆的面积之比为 . 9．在等差数列{}n a 中，59750a a +=，且95a a >，则使数列前n 项和n S 取得最小值的n 等于 . 10．设x ，y ∈R +，312121=+++y x ，则xy 11．在正三棱锥A BCD -中，E ，F 分别是AB ，BC EF DE ⊥，1BC =，则正三棱锥A BCD -的体积是 .12．设()f x 是定义在R 上的偶函数，满足(1)()1f x f x ++=，且当[1,2]x ∈时，()2f x x =-，则(2016.5)f -=_________.DCQ BAP答案1．(0,1) 2．60︒ 3．),21(+∞4．),3[]1,(+∞--∞Y 5．(3,1)-- 6．)23,2[- 7．5（||[0,2]x ∈） 8．459．610．16（8xy x y =++，8xy ≥+16xy ≥）11．242（EF DE ⊥，EF ∥AC ，∴AC DE ⊥．又AC BD ⊥，∴AC ⊥平面ABD ．∵1BC =，∴2AB AC AD ===，3162V =24=）12．0.5（2T =，(0.5)(0.5)(1.5)0.5f f f =-==）。
2020届高三数学小题狂练十二含答案
2020届高三数学小题狂练十二姓名 得分1．若复数z 满足方程1-=⋅i i z ，则z = .2．A ，B ，C 三种不同型号的产品的数量之比依次为2：3：5，现用分层抽样的方法抽出样本容量为n 的样本，样本中A 型产品有16件，那么样本容量n 为 .3．底面边长为2的正四棱锥的体积为 .4．若点P 是曲线x x y ln 2-=上任意一点，则点P 到直线2-=x y 的最小距离为 .5．袋中有红、黄、绿色球各一个，每次任取一个有放回地抽取三次，球的颜色全相同的概率是 .6．数列{}n a 中，12a =，21a =，11112-++=n n n a a a （2n ≥，n ∈N ），则其通项公式为n a = .7．已知双曲线C 与椭圆221925y x +=有相同的焦点，它们离心率之和为145，则C 的标准方程是 .8．已知二次函数f x ()满足f x f x ()()11+=-，且f f ()()0011==，，若f x ()在区间[,]m n 上的值域是[,]m n ，则m n +的值等于 .9．已知函数()cos f x x ω=（0ω>）在区间π[0]4, 上是单调函数，且3π()08f =，则ω= .10．已知PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且△PAB ，△PAC ，△PBC 的面积分别为1.5cm 2，2cm 2，6cm 2，则过P ，A ，B ，C 四点的外接球的表面积为 cm2.11．设椭圆22221y x a b+=（0a b >>）的两个焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆上，且120PF PF ⋅=u u u r u u u u r ，12tan 2PF F ∠=，则该椭圆的离心率等于 .12．在ABC ∆中，已知4AB =，3AC =，P 是边BC 的垂直平分线上的一点，则BC AP ⋅u u u r u u u r = .答案1．1i-2．803．4 345．1 96．2 n7．221 412y x-=8．1（1n≤）9．43或410．26π（补形）1112．7 2 -。
2020届高三数学(理)“小题精练”22
2020届高三数学（理）“小题速练”22题号123456789101112答案13. 14. 15. 16.一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1.已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝4}，B ＝{(x ，y )|x －2y ＋2＝0}，则A ∩B 中元素的个数为( )A ．3 B.2 C ．1 D.02．已知复数z ＝2＋a i1＋2i ，其中a 为整数，且z 在复平面内对应的点在第四象限，则a 的最大值为( )A ．4 B.3 C ．2 D.13．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，y －x ≥0，x －1≥0，则目标函数z ＝x 2＋y 2的最大值为( )A. 6B.10 C ．22 D.74．已知命题p ：对任意x >0，总有sin x <x ；命题q ：直线l 1：ax ＋2y ＋1＝0，l 2：x ＋(a －1)y －1＝0，若l 1∥l 2，则a ＝2或a ＝－1.则下列命题中是真命题的是( )A ．p ∧qB ．(非p )∧(非q )C ．(非p )∨qD ．p ∨q5．陕西省西安市周至县的旅游景点楼观台，号称“天下第一福地”，是我国著名的道教胜迹，古代圣哲老子曾在此著《道德经》五千言．景区内有一处景点建筑，是按古典著作《连山易》中记载的金、木、水、火、土之间相生相克的关系来建造的，如图所示，现从五种不同属性的物质中任取两种，则取出的两种物质恰好是相克关系的概率为( )A.23B.12C.15D.256．如图是计算12＋14＋16＋18＋110的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是( )A ．k ≥5?B ．k <5?C ．k >5?D ．k ≤6?7．有甲、乙、丙、丁四位同学竞选班长，其中只有一位当选．有人走访了四位同学，甲说：“是乙或丙当选”，乙说：“甲、丙都未当选”，丙说：“我当选了”，丁说：“是乙当选了”，若四位同学有两人说真话，有两人说假话，则当选的同学是( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁8．已知点(2，8)在幂函数f (x )＝x n的图象上，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫⎝⎛⎭⎫450.3，b ＝f ⎝⎛⎭⎫⎝⎛⎭⎫540.2，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 1254，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．b >a >c B.a >b >c C ．c >b >a D.b >c >a9.如图，点A 为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点，点P 为双曲线上一点，作PB ⊥x 轴，垂足为B .若A 为线段OB 的中点，且以A 为圆心，AP 为半径的圆与双曲线C 恰有三个公共点，则C 的离心率为( )A. 2B.3 C ．2 D.510．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a cos B －b cos A ＝c 2则a cos A ＋b cos Ba cos B 的最小值为( )A. 3B.433C.33D.23311．如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边AB ＝2，D 为直角边BC 上的一点，将△ACD 沿直线AD 折叠至△AC 1D 的位置，使得点C 1在平面ABD 外，且点C 1在平面ABD 上的射影H 在线段AB 上．设AH ＝x ，则x 的取值范围是( )A. (1，2)B.⎝⎛⎭⎫22，1C.⎝⎛⎭⎫12，2 D.(0，1)12．设M ，N 是抛物线y 2＝x 上的两个不同的点，O 是坐标原点．若直线OM 与ON 的斜率之积为－12，则( )A ．|OM |＋|ON |≥42B ．以MN 为直径的圆的面积大于4πC ．直线MN 过抛物线y 2＝x 的焦点D ．点O 到直线MN 的距离不大于2二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 2a 12＝16，则log 2a 15＝________．14．圆x 2＋y 2＝1的任意一条切线与圆x 2＋y 2＝4相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，O 为坐标原点，则x 1x 2＋y 1y 2＝________．15．《数书九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S ＝14⎣⎡⎦⎤c 2a 2－⎝⎛⎭⎫c 2＋a 2－b 222.已知△ABC 满足(sin A －sin B )(sin A ＋sin B )＝sin A sin C －sin 2C ，且AB ＝2BC ＝22，则用以上给出的公式可求得△ABC 的面积为________．16．设函数f (x )＝ax 22e－ln|ax |(a >0)，若函数f (x )有4个零点，则a 的取值范围为________．2020届高三数学（理）“小题速练”22（答案解析）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1.已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝4}，B ＝{(x ，y )|x －2y ＋2＝0}，则A ∩B 中元素的个数为( )A ．3 B.2 C ．1D.0解析：选B 由已知得，集合A ∩B 中元素的个数是直线x －2y ＋2＝0与圆x 2＋y 2＝4的交点的个数．由图知直线与圆有2个交点，则A ∩B 中元素的个数为2.故选B.2．已知复数z ＝2＋a i 1＋2i ，其中a 为整数，且z 在复平面内对应的点在第四象限，则a 的最大值为( )A ．4 B.3 C ．2D.1解析：选B 因为复数z ＝2＋a i 1＋2i ＝（2＋a i ）（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝2＋2a ＋（a －4）i5，所以z 在复平面内对应的点为⎝⎛⎭⎫2＋2a 5，a －45.因为此点位于第四象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧2＋2a >0，a －4<0，解得－1<a <4.因为a 为整数，所以a 的最大值为3.故选B.3．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，y －x ≥0，x －1≥0，则目标函数z ＝x 2＋y 2的最大值为( )A. 6B.10 C ．22D.7解析：选B 由约束条件作出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示．目标函数z ＝ x 2＋y 2的几何意义是指原点到可行域内的点(x ，y )的距离．由图可知，点A 到原点距离最大，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋y －4＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，所以A (1，3)．所以z 的最大值为 12＋32＝10.故选B.4．已知命题p ：对任意x >0，总有sin x <x ；命题q ：直线l 1：ax ＋2y ＋1＝0，l 2：x ＋(a －1)y －1＝0，若l 1∥l 2，则a ＝2或a ＝－1.则下列命题中是真命题的是( )A ．p ∧qB ．(綈p )∧(綈q )C ．(綈p )∨qD ．p ∨q解析：选D 设f (x )＝sin x －x ，则f ′(x )＝cos x －1≤0，则当x >0时，函数f (x )为减函数，f (x )<f (0)＝0，即sin x <x 恒成立，命题p 是真命题．若两直线l 1：ax ＋2y ＋1＝0，l 2：x ＋(a －1)y －1＝0平行，则a (a －1)＝2，解得a ＝2或a ＝－1.当a ＝2时，l 1：2x ＋2y ＋1＝0，l 2：x ＋y －1＝0，满足两直线平行；当a ＝－1时，l 1：x －2y －1＝0，l 2：x －2y －1＝0，两直线重合，舍去．故命题q 是假命题．则p ∨q 是真命题，其余为假命题．故选D.5．陕西省西安市周至县的旅游景点楼观台，号称“天下第一福地”，是我国著名的道教胜迹，古代圣哲老子曾在此著《道德经》五千言．景区内有一处景点建筑，是按古典著作《连山易》中记载的金、木、水、火、土之间相生相克的关系来建造的，如图所示，现从五种不同属性的物质中任取两种，则取出的两种物质恰好是相克关系的概率为( )A.23B.12C.15D.25解析：选B 从五种不同属性的物质中任取两种，所有可能的取法共有C 25＝10种，取出两种物质恰好是相克关系的基本事件有C 15＝5种，则取出两种物质恰好是相克关系的概率P ＝510＝12.故选B.6．如图是计算12＋14＋16＋18＋110的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是( )A ．k ≥5?B ．k <5?C ．k >5?D ．k ≤6?解析：选C 因为该程序框图是计算12＋14＋16＋18＋110的值，所以共循环了5次，所以输出S 的值时，n 的值为12，k 的值为6，即判断框内应填入的条件是“k ≥6？”或“k >5？”．故选C.7．有甲、乙、丙、丁四位同学竞选班长，其中只有一位当选．有人走访了四位同学，甲说：“是乙或丙当选”，乙说：“甲、丙都未当选”，丙说：“我当选了”，丁说：“是乙当选了”，若四位同学有两人说真话，有两人说假话，则当选的同学是( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁解析：选C 若甲当选，则都说假话，不符合题意(两人说真话两人说假话)：若乙当选，则甲、乙、丁都说真话，丙说假话，不符合题意；若丙当选，则甲、丙都说真话，乙、丁都说假话，符合题意；若丁当选，则甲、丙、丁都说假话，乙说真话，不符合题意．综上，当选的同学是丙．故选C.8．已知点(2，8)在幂函数f (x )＝x n的图象上，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫⎝⎛⎭⎫450.3，b ＝f ⎝⎛⎭⎫⎝⎛⎭⎫540.2，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 1254，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．b >a >c B.a >b >c C ．c >b >aD.b >c >a解析：选A ∵点(2，8)在幂函数f (x )＝x n 的图象上，∴f (2)＝2n ＝8，解得n ＝3，∴f (x )＝x 3，∴f (x )为R 上的单调递增函数．又∵log 1254<0<⎝⎛⎭⎫450.3<1<⎝⎛⎭⎫540.2，∴f ⎝⎛⎭⎪⎪⎫log 1254<f⎝⎛⎭⎫⎝⎛⎭⎫450.3<f ⎝⎛⎭⎫⎝⎛⎭⎫540.2，即c <a <b .故选A. 9.如图，点A 为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点，点P 为双曲线上一点，作PB ⊥x 轴，垂足为B .若A 为线段OB 的中点，且以A 为圆心，AP 为半径的圆与双曲线C 恰有三个公共点，则C 的离心率为( )A. 2B.3 C ．2D.5解析：选A 由题意知圆A 的半径为2|OA |＝2a ，|AB |＝a ，|AP |＝2a ，所以|BP |＝3a ，所以点P 的坐标为(2a ，－3a )．又P 为双曲线上一点，所以（2a ）2a 2－（－ 3a ）2b 2＝1，即b 2a 2＝1，所以该双曲线的离心率e ＝ca＝ 1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝ 2.故选A.10．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a cos B －b cos A ＝c 2则a cos A ＋b cos Ba cos B 的最小值为( )A. 3B.433 C.33D.233解析：选D 在△ABC 中，sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，结合正弦定理可知a cos B ＋b cos A ＝c ，联立a cos B －b cos A ＝c 2，解得cos A ＝c 4b ，cos B ＝3c 4a ，所以a cos A ＋b cos Ba cos B ＝a ·c 4b ＋b ·3c4a a ·3c 4a ＝13⎝⎛⎭⎫a b ＋3b a ≥13×2×a b ·3b a ＝233，当且仅当a b ＝3ba时，等号成立．故选D.11．如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边AB ＝2，D 为直角边BC 上的一点，将△ACD 沿直线AD 折叠至△AC 1D 的位置，使得点C 1在平面ABD 外，且点C 1在平面ABD 上的射影H 在线段AB 上．设AH ＝x ，则x 的取值范围是( )A. (1，2)B.⎝⎛⎭⎫22，1C.⎝⎛⎭⎫12，2D.(0，1)解析：选B 当AD 为∠BAC 的平分线时，△ACD 沿直线AD 翻折180°后，点C 落在线段AB 上，且AC ＝1，因此要使△ACD 沿直线AD 折叠至△AC 1D 的位置，使得点C 1在平面ABD 外，且使点C 1在平面ABD 上的射影H 在线段AB 上，则必有π8＝12∠BAC <∠CAD <∠BAC ＝π4，即π8<∠CAD <π4.设∠CAD ＝θ，则π8<θ<π4，∴2－1<tan θ<1.连接DH (图略)，则AD ＝1cos θ，CD ＝tan θ，C 1H ＝ 1－x 2，DH 2＝C 1D 2－C 1H 2＝tan 2θ＋x 2－1，则在△ADH 中，由余弦定理，得tan 2θ＋x 2－1＝x 2＋1cos 2θ－2xcos θ·cos ⎝⎛⎭⎫π4－θ，化简得tanθ＝2x －1，则2－1<2x －1<1，解得22<x <1.故选B.12．设M ，N 是抛物线y 2＝x 上的两个不同的点，O 是坐标原点．若直线OM 与ON 的斜率之积为－12，则( )A ．|OM |＋|ON |≥42B ．以MN 为直径的圆的面积大于4πC ．直线MN 过抛物线y 2＝x 的焦点D ．点O 到直线MN 的距离不大于2解析：选D 不妨设M 为第一象限内的点．当直线MN ⊥x 轴时，k OM ＝－k ON ，由k OM ·k ON＝－12，得k OM ＝22，k ON ＝－22，所以直线OM ，ON 的方程分别为y ＝22x ，y ＝－22x .与抛物线方程联立，得M (2，2)，N (2，－2)，所以直线MN 的方程为x ＝2，此时|OM |＋|ON |＝2 6，以MN 为直径的圆的面积S ＝2π，故A 、B 错．当直线MN 与x 轴不垂直时，设直线MN 的方程为y ＝kx ＋m ，与抛物线方程联立消去x ，得ky 2－y ＋m ＝0，则Δ＝1－4km >0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则y 1y 2＝m k .因为k OM ·k ON ＝－12，所以y 1x 1·y 2x 2＝－12，则2y 2y 1＝－x 2x 1＝－y 21y 22，则y 1y 2＝－2，所以m k ＝－2，即m ＝－2k ，所以直线MN 的方程为y ＝kx －2k ，即y ＝k (x －2)．综上可知，直线MN 为恒过定点Q (2，0)的动直线，故C 错．易知当OQ ⊥MN 时，原点O 到直线MN 的距离最大，最大距离为2，即原点O 到直线MN 的距离不大于2.故选D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 2a 12＝16，则log 2a 15＝________．解析：因为a 2a 12＝16＝a 27，数列各项为正数，所以a 7＝4，所以a 15＝a 7q 8＝4×( 2)8＝26，则log 2a 15＝log 226＝6.答案：614．圆x 2＋y 2＝1的任意一条切线与圆x 2＋y 2＝4相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，O 为坐标原点，则x 1x 2＋y 1y 2＝________．解析：根据题意，设直线 AB 与圆x 2＋y 2＝1相切于点P ，可得|OP |＝1，|OA |＝|OB |＝2.又OP ⊥AB ，所以∠BOP ＝60°，则∠AOB ＝120°.又A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以OA ―→·OB ―→＝x 1x 2＋y 1y 2＝|OA ||OB |·cos 120°＝－2，则x 1x 2＋y 1y 2＝－2.答案：－215．《数书九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S ＝14⎣⎡⎦⎤c 2a 2－⎝⎛⎭⎫c 2＋a 2－b 222.已知△ABC 满足(sin A －sin B )(sin A ＋sin B )＝sin A sin C －sin 2C ，且AB ＝2BC ＝22，则用以上给出的公式可求得△ABC 的面积为________．解析：设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .由(sin A －sin B )(sin A ＋sin B )＝sin A sin C －sin 2C ，根据正弦定理得(a －b )·(a ＋b )＝ac －c 2，整理可得c 2＋a 2－b 2＝ac .由已知得a ＝2，c ＝22，代入c 2＋a 2－b 2＝ac 得b ＝ 6.则由提供的公式可得△ABC 的面积S ＝14⎣⎡⎦⎤a 2c 2－⎝⎛⎭⎫ac 22＝34ac ＝34×2×22＝ 3. 答案：316．设函数f (x )＝ax 22e－ln|ax |(a >0)，若函数f (x )有4个零点，则a 的取值范围为________． 解析：因为函数f (x )的定义域为x ≠0，且f (x )＝ax 22e－ln|ax |＝f (－x )，所以f (x )是偶函数．又f (x )有4个零点，考虑 x >0的情况，即f (x )＝ax 22e －ln ax (a >0，x >0)有2个零点．f ′(x )＝ax e －1x，由f ′(x )<0可得0<x <e a ，由f ′(x )>0可得x >e a ，可知f (x )在x ＝ e a时取极小值，且x →0时，f (x )→＋∞，x →＋∞时，f (x )→＋∞，所以只要f (x )min ＝12－ln a e<0即满足题意，解得a >1.答案：(1，＋∞)。
江苏省—高三数学小练习及答案22
高三数学小练（22）1、已知集合{}{}1,0,2,2a A B =-=，若B A ⊆,则实数a 的值为 。
2、若1524z z z i ⋅+=+（i 为虚数单位），则复数z = 。
3、已知双曲线2221(0)9x y b b -=>的一条渐近线的倾斜角为3π，则b 的值为 。
4、用分层抽样的方法从某高中学校学生中抽取一个容量为55的样本参加问卷调查，其中高一年级、高二年级分别抽取10人、25人。
若该校高三年级共有学生400人，则该校高一和高二年级的学生总数为 人。
5、用3种不同的颜色给图中的3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，则3个矩形中有且仅有两个矩形颜色相同的概率是 。
6、函数()cos()cos()26f x x x ππ=+⋅+的最小正周期为 。
7、在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点为A ，上顶点为B ，M 为线段AB 的中点，若30oMOA ∠=，则该椭圆的离心率的值为 。
8、已知等比数列{}n a 的各均为正数，且21243723,4a a a a a +==，则数列{}n a 的通项公式为 。
9、设m R ∈，已知函数22()2(12)32f x x mx m x m =--+-+-，若曲线()y f x =在0x =处的切线恒过定点P ，则点P 的坐标为 。
10、对于函数()()y f x x R =∈，给出下列命题：（1）在同一直角坐标系中，函数(1)y f x =-与(1)y f x =-的图象关于直线0x =对称； （2）若(1)(1)f x f x -=-，则函数()y f x =的图象关于直线1x =对称； （3）若(1)(1)f x f x +=-，则函数()y f x =是周期函数；（4）若(1)(1)f x f x -=--，则函数()y f x =的图象关于点（0,0）对称。
2020届高三数学小题狂练二十一含答案
2020届高三数学小题狂练二十一姓名 得分1．已知等比数列{}n a 的前三项依次为1a -，1a +，4a +，则n a = . 2．抛物线24y x =上一点M 到其焦点的距离为3，则点M 的横坐标x = . 3．已知函数)(x f y =（x ∈R ）满足)()2(x f x f =+，且]1,1[-∈x 时，2)(x x f =，则5()()log F x f x x =-的零点的个数为 .4．若(2,1)a =-v与(,2)b t =-v 的夹角为钝角，则实数t 的取值范围为 .5．函数2()lg(21)f x x ax a =-++在区间(1)-∞，上单调递减，则实数a 的取值范围是 . 6．设α为锐角，54)6sin(=+πα，则)32sin(πα+的值等于 . 7．已知0a >，且1a ≠，函数,0,()(14)2,0x a x f x a x a x ⎧<=⎨-+≥⎩满足对任意12x x ≠，都有1212()[()()]0x x f x f x --<成立，则a 的取值范围是 .8．已知a b >，1a b ⋅=，则22a b a b+-的最小值是 .9．已知数列{}n a ，{}n b 都是公差为1的等差数列，其首项分别为1a ，1b ，且115a b +=，1a ，1b ∈N *，则数列{}nb a （n ∈N *）前10项的和等于 .10．设椭圆1C 和双曲线2C 具有公共焦点1F ，2F ，其离心率分别为1e ，2e ，P 为1C 和2C 的一个公共点，且满足021=⋅PF PF ，则2212221)(e e e e +的值为 . 11．设22log 1()log 1x f x x -=+，12()(2)1f x f x +=（12x >），则12()f x x 的最小值为_______.12．对于一切实数x ，令[]x 为不大于x 的最大整数，则函数()[]f x x =称为高斯函数或取整函数．若()3n na f =（n ∈N *），n S 为数列{}n a 的前n 项和，则3n S =________.答案 1．134()2n -⋅2．2 3．44．(1,4)(4,)-+∞U 5．[1,2]6．2524（若3cos()65πα+=-，cos [cos()]066ππαα=+-<；或45<3πα<）7．11(,]428．222()2a b a b +=-+）9．85（11n a a n =+-，11n b b n =+-，113n b n a a b n =+-=+）10．2（2224m n c +=，12m n a +=，2||2m n a -=，后二式平方相加得22122e e --+=）11．23（21222122log 1log (2)11log 1log (2)1x x x x --+=++，化简得22214log log 1x x =-．于是212212221214log ()log log log 5log 1x x x x x x =+=+≥-，所以21212212212log ()122()1log ()1log ()13x x f x x x x x x -==-≥++（12x >））12．232n n -（33(1)(1)(1)n n S S n n n --=-+-+，311S ⨯=，3n S =232n n-）。
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2020届高三数学小题狂练二十二
姓名 得分
1．函数20.5log (2)y x x =-的单调减区间是 .
2．已知函数()sin cos f x a x x =+，且(
)4f x π-()4f x π=+，则a 的值为 . 3．设O 为坐标原点，F 为抛物线x y 42=的焦点，A 为抛物线上的一点，若
4-=⋅，则点A 的坐标为 .
4．从原点向圆0271222=+-+y y x 作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为 .
5．若函数32()26f x x x m =-+（m 为常数）在[2,2]-上有最大值3，则()f x 在[2,2]-上的最小值为 .
6．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项的和为n S ，若1n S +，n S ，2n S +成等差数列，则公比q 等于 .
7．规定一种运算：,,,,a a b a b b a b ≤⎧⊗=⎨>⎩
则函数x x x f cos sin )(⊗=的值域为 . 8．已知当x ∈R 时，函数)(x f y =满足1(2.1)(1.1)3f x f x +=++
，且1)1(=f ，则)100(f 的值为 .
9．设函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，1(1)2
f =，)2()()2(f x f x f +=+，则=)5(f .
10．双曲线222015x y -=的左、右顶点分别为1A ，2A ，P 为其右支上一点，且
12124A PA PA A ∠=∠，则12PA A ∠的大小为 .
11．已知3450a b c ++=r r r r ，且||||||1a b c ===r r r ，则()a b c ⋅+=r r r .
12．已知α，β均为锐角，且sin cos()sin ααββ
+=，则tan α的最大值是 .
答案
1．(2,)+∞
2．1（取4x π
=）
3．(1,2)±
4．2π
5．37-
6．2-
7．]2
2,1[- 8．34
9．2.5（(12)(1)(2)f f f -+=-+，故(2)1f =，(3) 1.5f =，(5)(3)1f f =+）
10．12π（tan y x a α=+，tan 5y x a
α=-，由222015x y -=得tan tan51αα=，于是得cos60α=） 11．35
-（534c a b -=+r r r ，435b a c -=+r r r ，两式分别平方得0a b =r r g ，35a c =-r r g ）
12αβ+也为锐角，tan()αβ+存在．由cos()sin sin[()]αββαββ+=+-
展开得tan()2tan αββ+=．从而有tan tan[()]ααββ=+-2tan 41tan ββ=≤+）。