第2-3次课-第1章信号及其描述
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《机械工程测试技术》教案01信号及其描述
第一章信号及其描述教学重点：1、周期信号与离散频谱2、瞬变非周期信号与连续频谱§1－1信号的分类与描述一、信号的分类（一）确定性信号与随机信号1、确定性信号:可以用明确的数学关系来描述的信号（可确定任何时刻的信号值）1）周期信号：按一定间隔（周期）重复出现，无始无终的信号，可表示为：x（t）＝x（t＋nT）n＝1，2，3，…T为周期2）非周期信号：可用明确的数学式描述，但变化无周期的信号3）准周期信号：由两种以上的周期信号合成的，但其组成分量的频率不成整数比，故无法找到公共周期，因而无法按一定的时间间隔重复出现。
2、随机信号：不能准确地预测其未来值，也无法用数学关系式来描述的信号,但其值的变动服从某些统计规律，可以用统计方法预测未来值。
如：幅值的均值、分散范围等。
（二）连续信号和离散信号以独立变量（时间变量t）的取值是否连续来划分（三）能量信号和功率信号二、信号的时域描述和频域描述1、信号的时域描述1）以时间为独立变量的信号，直接观测记录到的信号，连续信号。
2）信号的时域描述，包含有信号的全部信息量。
2、信号的频域描述1）以频率为独立变量表示的信号。
2）周期信号可以表示为频率成整数比的简谐信号的叠加。
3）周期方波的时域图形、幅频谱和相频谱三者之间的关系：频谱：将组成信号的各频率成分（简谐分量）找出来，按频率大小的次序排列，称为频谱（幅频图和相频图）频谱分析：将信号的时域描述通过适当的方法，变成信号的频域描述过程。
时域描述与频域描述的联系：两者都包含了信号的全部信息量，都能表示出信号的特点。
§1-2周期信号与离散频谱一、傅里叶级数的三角函数展开式任何一个周期信号x(t)，可以用三角级数表示（周期为T0）：二、周期信号的指数傅里叶级数利用欧拉公式，将周期信号的三角傅里叶级数变换为指数傅里叶级数复指数形式的频谱为双边谱三角函数形式的频谱为单边谱三.周期信号频谱的特点周期信号的频谱具有三个特点：1）周期信号的频谱是离散的。
信号及其描述
分条件是x（t）在区间(-∞, ∞)上绝对
可积，即
x(t ) dt
但上述条件并非必要条件。因为当引 入广义函数概念之后，许多原本不满足绝 对可积条件的函数也能进行傅里叶变换。
• 小结： –从式（1－29）可知，一个非周期函数可分解成频率f 连续变化的谐波的叠加。式中X(f)df的是谐波ej2πf的 系数，决定着信号的振幅和相位。 –X(f)或X(ω)为x(t)的连续频谱。 –由于X(f)一般为实变量f的复函数，故可将其写为
这就是傅里叶级数的复指数展开形式。
求傅里叶级数的复系数Cn
Cn
1 T0
T0 / 2
x( t )cos n0tdt
T0 / 2
j
T0 / 2 T0 / 2
x(
t
)
sin
n0tdt
1
T0 / 2 x( t )e jn0t dt
T T0 / 2 0
n 0,1,2,
x( t ) d x( t )e jtdt e jt
2
1
x(
t
)e
jt
dt
e
jt
d
2
（1－25）
将上式中括号中的积分记为X(ω),则有
1
X( )
x( t )e jt dt
（1－26）
确定性信号又分为周期信号和非周期信号。 • 周期信号：
定义：满足下面关系式的信号： x(t)=x(t+nT0)
式中，T0——周期。
• 非周期信号：
–定义：不具有周期重复性的确定性信号。 –非周期信号又可分成准周期信号和瞬态信号两类。
1第一章 信号及其描述 工程测试
4A 1 1 x t sin 0 t sin 3 0 t sin 5 0 t 3 5 4A 1 sin n 0 t n1 n 2 n 1,3 ,5 式中 0 T0
工程测试技术与信息处理
第1 章
第一节
信号的分类与描述
1.1 信号的分类与描述
信号的分类主要是依据信号波形特征来 划分的，在介绍信号分类前，先建立信号波 形的概念。
1.1 信号的分类与描述
信号波形：被测信号信号幅度随时间的变化历程称为 信号的波形
1.1 信号的分类与描述
1.1 信号的分类与描述
（1—14a）
（1—14b)
c0 a0
（1—14c）
x(t ) c0 c n e
n 1
jn0t
cn e
n 1
jn0t
x(t )
n
cn e jn0t （n=0，±1，±2…） （1—15）
1 T2 式中 cn T x t e jn t dt T0 2
为了深入的了解信号的物理实质，将其进行分类研 究是十分有必要的，从不同角度观察信号，可分为：
1 从信号描述上分为 --确定性信号和非确定信号
2 从连续性上分为
--连续信号和离散信号 3 从信号的幅值和能量上分为 --能量信号和功率信号
1.1 信号的分类与描述
1.1.1确定性信号与随机信号
可以用明确的数学关系式描述的信号称为确定性信号。 不能用数学关系式描述的信号称为非确定性信号（随机信号）
例1-1
求下图中周期性三角波的傅里叶级数。
解：由图可得x（t）在一个周期中的表达式为：
第2-3次课-第1章信号及其描述
余弦函数是偶函数，正弦函数是奇函数。
ⅰ.若x(t)是实偶函数 → X(f)是实偶函数
证明：若 x(t)是实偶函数 则ReX(-f)= ReX(f)实偶 故X(-f)= ReX(-f)= ReX(f)= X(f)是实偶函数
ImX(f)=0
ⅱ.若x(t)是实奇函数 → X(f)是虚奇函数
证明：若 x(t)是实奇函数 则ReX(f)=0 ImX(-f)= -ImX(f)实奇 故X(-f)= -jImX(-f)= jImX(f)=- X(f)是虚奇函数
1 xt T n 0
T0 2 T 0 2
xt e jn0t dt e jn0t
j tt j
xt
tte xx e 2 2 1 1 jt jjt e x t e dt dt j t 2 dt e d xt e 2
xt X
FT
两者称为傅立叶变换对，可记为
2f
IFT
代入式1-25中，则式1-26、式1-27变为
j 2ft
X f xt e
dt
xt X f e
j 2ft
df
关系
X f 2X
f 的复函数，可以写成
正弦分量的幅值
4A A 4 22 2 2 n n 0 0
n 1,3,5,
n 2,4,6, T0 2 T0 ຫໍສະໝຸດ 22 bn T0
xt sin n 0tdt 0
结果：
A 4A 1 1 xt 2 cos 0t 2 cos 3 0t 2 cos 5 0t 2 3 5 A 4A 1 2 2 cos n 0t n 1,3,5 2 n 1 n
测试技术-第一章 信号及其描述
2014-4-23
《测试技术》讲义
6
2014-4-23
《测试技术》讲义
7
能量信号和功率信号
在非电量测量中，常把被测信号转换为电压或电 流信号来处理。显然，电压信号加到电阻R上， 其瞬时功率 P(t ) x 2 (t ) / R 。当R=1 时， P(t ) x 2 (t ) 。瞬时功率对时间积分就是信号 在该积分时间内的能量。依此，人们不考虑信号 实际的量纲，而把信号的平方及其对时间的积分 分别称为信号的功率和能量。当 x(t ) 满足 2 x (1—4) (t )dt 时，则认为信号的能量是有限的，并称之为能量 有限信号，简称能量信号，如矩形脉冲信号、衰 减指数函数等。
2014-4-23 《测试技术》讲义 5
连续信号和离散信号
连续信号：若信号数学表示式中的独立变量取值 是连续的 (图1—3a)。 离散信号：若独立变量取离散值。图1-3b是将 连续信号等时距采样后的结果，就是离散信号。 离散信号可用离散图形表示，或用数字序列表示。 连续信号的幅值可以是连续的，也可以是离散的。 若独立变量和幅值均取连续值的信号称为模拟信 号。 若离散信号的幅值也是离散的．则称为数字信号。 数字计算机的输入、输出信号都是数字信号。
，
把周期函数x(t)展开为傅里叶级数的复指数 函数形式后，可分别以 cn 和 n 作幅 频谱图和相频谱图；也可以分别以cn的实 部或虚部与频率的关系作幅频图，并分别 称为实频谱图和虚频谱图(参阅例1—2)。 比较傅里叶级数的两种展开形式可知：复 指数函数形式的频谱为双边谱(ω从-∞到 +∞)，三角函数形式的频谱为单边谱(ω从0 到+∞)；两种频谱各谐波幅值在量值上有 A c c0 a0 。双边幅频谱 确定的关系， 2 ， 为偶函数，双边相频谱为奇函数。
机械工程测试技术基础段富海-第一章 信号及其描述
x(t)sintsin 2t
2 2
1
x(t) 0
1
1.993 2 0 0
20
40
60
t
60
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第一节 信号的分类与描述
瞬变非周期信号是一些或在一定时间区间内存 在，或随着时间的增长而衰减至零的信号。
x(t)x0 e tsin 0 t (0)
2.连续信号和离散信号
若信号数学表示式中的独立变量取值是连续 的，则成为连续信号，否则是离散信号。
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第一节 信号的分类与描述
若独立变量和幅值均取连续值的信号称为模拟 信号。
若离散信号的幅值也是离散的，则称为数字信 号。
T0
t0
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第二节 周期信号与离散频谱
S4:周期性三角波的傅立叶级数：
x(t)A 24A 2 cos0t312co3 s0t512co5 s0t.
..
第一节 信号的分类与描述
例：集中参量的单自由度系统做无阻尼自由振动
x(t) x0 sin
kt m
0
T0 2/ k m
0
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第一节 信号的分类与描述
复杂的周期信号是由频率比为有理数的不同频率 的正弦信号迭加而成。
PAGE: 1
第一章 信号及其描述2-3
相互关系：σx2=
ψx2–μx2
对于集合平均有：
式中： M — 样本记录总数
i — 样本记录序号
t1 — 观测时刻
（二）概率密度函数 ——信号幅值落在制定区域内的概率
X(t)落在（x，x+Δx)区间内的时间为：
信号落在（x，x+Δx)区间内的概率为：
概率密度函数为:
Pr x xt x x p x lim x 0 x
三角函数展开式：
幅频图
相频图
复指数函数展开式：
其中：
1 jn0t x(t ) j ne n
CnR 0 2A CnI n
2A
n
2A C n n 2A 2 当n 0 n arctan n 0 当n 0 2
{xi（t)}= {x1（t) ，x2（t)，· xi（t) · } · · · ·
集合平均：集合中所有样本函数对同一时刻 ti 的观测值取 平均 时间平均：按单个样本的时间历程进行平均
平稳随机过程：统计特征参数不随时间而变化
各态历经：任一单个样本函数的时间平均统计等于 该过程的集合平均统计特征。
实际工作中，常用一个或几个有限长度的样本记录来推断整 个随机过程，以其时间平均来估计集合平均
二、随机过程的主要特征参数 （一）均值μx、方差σx2、均方值ψx2
信号x(t)的方差定义为：
x(t)
2 x
lim
1 T T
T
0
( x(t ) x ) 2 dt
t
方差：反映了信号绕均值的波动程度。
1 jn0t cos(n0t ) (e e jn0t ) 2 j jn0t sin(n0t ) (e e jn0t ) 2 代入傅里叶级数的三角函数展开式
机械工程测试技术基础试题及答案
《机械工程测试技术基础》课后答案章节测试题第一章信号及其描述（一)填空题1、测试的基本任务是获取有用的信息，而信息总是蕴涵在某些物理量之中,并依靠它们来传输的。
这些物理量就是,其中目前应用最广泛的是电信号。
2、信号的时域描述，以为独立变量；而信号的频域描述，以为独立变量。
3、周期信号的频谱具有三个特点：，，。
4、非周期信号包括信号和信号。
5、描述随机信号的时域特征参数有、、 .6、对信号的双边谱而言，实频谱（幅频谱）总是对称,虚频谱（相频谱)总是对称。
(二）判断对错题（用√或×表示）1、各态历经随机过程一定是平稳随机过程.（）2、信号的时域描述与频域描述包含相同的信息量.（）3、非周期信号的频谱一定是连续的。
（）4、非周期信号幅频谱与周期信号幅值谱的量纲一样。
( ）5、随机信号的频域描述为功率谱。
（）(三）简答和计算题1、求正弦信号的绝对均值μ|x｜和均方根值x rms。
2、求正弦信号的均值，均方值,和概率密度函数p（x)。
3、求指数函数的频谱。
4、求被截断的余弦函数的傅立叶变换。
5、求指数衰减振荡信号的频谱。
第二章测试装置的基本特性（一）填空题1、某一阶系统的频率响应函数为，输入信号，则输出信号的频率为，幅值,相位。
2、试求传递函数分别为和的两个环节串联后组成的系统的总灵敏度.3、为了获得测试信号的频谱，常用的信号分析方法有、和 .4、当测试系统的输出与输入之间的关系为时,该系统能实现测试。
此时，系统的频率特性为.5、传感器的灵敏度越高，就意味着传感器所感知的越小。
6、一个理想的测试装置，其输入和输出之间应该具有关系为最佳.(二)选择题1、不属于测试系统的静特性。
（1)灵敏度（2）线性度（3）回程误差(4）阻尼系数2、从时域上看，系统的输出是输入与该系统响应的卷积。
（1）正弦(2）阶跃（3）脉冲（4)斜坡3、两环节的相频特性各为和,则两环节串联组成的测试系统,其相频特性为。
（1）（2) （3）（4）4、一阶系统的阶跃响应中，超调量。
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0
2 T0
此式表明该周期方波是由一系列幅值和频率 不等、相角为零的正弦信号叠加而成的。
4
5
周期方波的描述
6
T0 x2(t)=x1(t- 4
)
7
讨论：
1、时域描述：信号瞬时值随时间变化。 如：振动中反映的是振动的烈度。
2、频域描述：反映信号频率组成及其幅值、 相角大小。 例：寻找振源
1 jfT jfT sin fT e e 2j
θ
40
作业： P40 1-1、1-2、 1-3 更正：
1、 P32页倒数第9行
e j 2ft应改为 e j 2f
2、P40页1-2题中绝对均值 u x 改为 u x 。
41
第3次课
傅立叶变换的主要性质
1 xt T n 0
T0 2 T 0 2
xt e jn0t dt e jn0t
j tt j
xt
tte xx e 2 2 1 1 jt jjt e x t e dt dt j t 2 dt e d xt Fra biblioteke 2
故余弦函数只有实频谱图，与纵轴偶对称;
正弦函数只有虚频谱图，与纵轴奇对称。 结论：一般周期函数按傅立叶级数的复指数函数形 式展开后，其实频谱总是偶对称的，其虚频谱总是 奇对称的。
周期信号频谱的三大特点
1）离散性 周期信号的频谱是离散的。 2）谐波性 每条谱线只出现在基波频率的整数倍上，基波频 率是诸分量频率的公约数。 3）收敛性 各频率分量的谱线高度表示该谐波的幅值或相位 角。工程中常见的周期信号，其谐波幅值的总趋势 是随谐波次数的增高而减小的。因此，在频谱分析 中没必要没必要取那些次数过高的谐波分量。
30
准周期信号 非周期信号 非周期信号 瞬变非周期信号
判断对错：
具有离散频谱的信号不一定是周期信号。 （√） Or 几个简谐信号的叠加，不一定是周期信号。（ √ ）
周期信号—由很多简谐信号叠加而成， 任意两个谐波的频率比都是有理数
准周期信号—由很多简谐信号合成， 存在至少两个谐波的频率比是无理数
xt dt
T0 0
3）有效值—是信号的均方根值
1 T0
T0
0
x 2 t dt
4）平均功率—有效值的平方（均方值）就是信号的平均功率
1 pav T0
T0
0
x t dt
2
27
28
第三节 瞬变非周期信号与连续频谱
一、傅立叶变换
二、傅立叶变换的性质
三、典型信号频谱
29
另外，与周期信号不同的是，非周期信号 的谱线出现在0，fmax的各连续频率值上，这种 频谱称为连续谱。
3、两者描述的是同一信号，只是变换域不同，
研究的方面不同。
8
9
10
第二节 周期信号与离散频谱
一、傅立叶级数的三角函数展开式
二、傅立叶级数的复指数函数展开式
三、周期信号的强度表述
一、傅立叶级数的三角函数展开式
在有限的区间上，凡满足狄里赫利条件的周期函数 （信号）可以展开成傅立叶级数。
bn tan n an
d d
jt jt e dt dt e
式1-25
——这就是傅立叶积分
1 式1-26 X 2
式1-27
xt e jt dt
jt
—傅立叶变换 —傅立叶逆变换
xt X e d
4 22 2A 4 2 A x n 00tdt tdt A t cos n tdt xt t cos cos n A t cos n tdt 0 0 0 0 T TT T 00 0 0
TT
4A A 4 2 n 2 sin 22 22 sin 2 nn 2
三、周期信号的强度表述
周期信号的强度以峰值xp、绝对均值u| x| 、有 效值xrms和平均功率pav来表述。见下图：
25
1） 峰值 x p 是信号可能出现的最大瞬时值，即 峰-峰值
x p p是一个周期中最大瞬时值和最小瞬时值之差
1 x T0
xrms
x p xt max
2）绝对均值—周期信号全波整流后的均值
对于非周期信号的理解
注意：通常所说的非周期信号是指瞬变非周期信号 准周期信号具有离散频谱
T0 T0 , 以傅立叶级数表示为 设有一个周期信号x(t)在区间 2 2
xt
1 将 cn T0
则得
n T0 2 T0 2
c e
n
jn 0t
xt X
FT
两者称为傅立叶变换对，可记为
2f
IFT
代入式1-25中，则式1-26、式1-27变为
j 2ft
X f xt e
dt
xt X f e
j 2ft
df
关系
X f 2X
f 的复函数，可以写成
常值分量 余弦分量的幅值
正弦分量的幅值
0 0 —圆频率，
n 1 ,2,3,
T0
—周期
2 ; T0
例：求下图周期性三角波的傅立叶级数
X(t)
A
-T0/2
T0/2
t
解：在x(t)的一个周期中可表示 为
Ⅰ
常值分量
余弦分量的幅值
2 an T
T 0 T 2 220 T T 00 T 00 22
正弦分量的幅值
4A A 4 22 2 2 n n 0 0
n 1,3,5,
n 2,4,6,
T0 2 T0 2
2 bn T0
xt sin n 0tdt 0
结果：
A 4A 1 1 xt 2 cos 0t 2 cos 3 0t 2 cos 5 0t 2 3 5 A 4A 1 2 2 cos n 0t n 1,3,5 2 n 1 n
21
负频率说明
主要原因：
Im
A/2 ω0 角速度按其旋转方 A 向可以为正或负， 一个矢量的实部可 以看成为两个旋转 方向相反的矢量在 其实轴上投影之和， Re 而虚部则为虚轴上 投影之差。
0
-ω 0
例题1-1 画出余弦、正弦函数的实、虚部频谱图。 解 ：根据式子
1 jj 00tt jj 00tt 1 cos 00tt e e e e cos 2 2 00tt jj 1 j t 1 j t sin 00tt jj e e e e 00 sin 2 2
可见： 周期性三角波频谱，其幅 频谱只包含常值分量、基 波、和奇次谐波的频率分 量，谐波的幅值收敛。 在其相频谱中基波和各次 谐波的初相位均为零。
二、傅立叶级数的复指数函数展开式
根据欧拉公式： 有
式可改写成
令令
则
则
或
或
(n=1,2,3,…)
一般情况下 cn 是复数
cn 与 c n共轭
一些分析
3
（二）信号的时域描述和频域描述 （1） 时域描述：以时间t为独立变量的描述方法。 x(t) 例： A
T0/2
-T0/2
0 -A
t
（2） 频域描述：以频率ω 为独立变量的描述方法。 例：对上例应用傅立叶级数展开：
1 1 x(t ) (sin 0 t sin 3 0 t sin 5 0 t ...) 3 5 4A
An an bn
2 2
或
狄里赫利条件——⑴ 在一个周期内，周期信号 x(t) 必须绝对可积； ⑵ 在一个周期内，周期信号 x(t) 只能有有限个极大值和极小值； ⑶ 在一个周期内，周期信号 x(t) 只能有有限个不连续点，而且，在这些不连续 点上， x(t) 的函数值必须是有限值。
an tan n bn
ⅲ.若x(t)是虚偶函数 → X（f）是虚偶函数
ImX(f)=0
证明：若 x(t)是虚偶函数 则ReX(-f)= ReX(f)虚偶 故X(-f)= ReX(-f)= ReX(f)= X(f)是虚偶函数
余弦函数是偶函数，正弦函数是奇函数。
ⅰ.若x(t)是实偶函数 → X(f)是实偶函数
证明：若 x(t)是实偶函数 则ReX(-f)= ReX(f)实偶 故X(-f)= ReX(-f)= ReX(f)= X(f)是实偶函数
ImX(f)=0
ⅱ.若x(t)是实奇函数 → X(f)是虚奇函数
证明：若 x(t)是实奇函数 则ReX(f)=0 ImX(-f)= -ImX(f)实奇 故X(-f)= -jImX(-f)= jImX(f)=- X(f)是虚奇函数
xt e
jn 0t
dt 代入上式
jn 0t
1 xt T n 0
T0 2 T 0 2
xt e
jn0t dt e
当 T0 趋于无穷大时，频率间隔 成为 d，离 n0成为连续变量 ， 散频谱中相邻的谱线紧靠在一起， 求和符号 就变为积分符号 ，则
熟悉傅立叶变换的性质的重要意义
简化作用！！！
（一）、奇偶虚实性
一般X(f)是实变量f的复变函数。