2021届江苏省宝应县高三上学期调研则试数学试题含答案
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在 中， ．在 中， ．
所以，直线 与平面 所成角的余弦值为 ．-------------12分
21．(本小题满分12分)
解(1)∵μ＝65，σ＝2.2，μ－3σ＝58.4，μ＋3σ＝71.6，
∵73∈(μ＋3σ，＋∞)，
∴P(X>71.6)＝
＝ ＝0.0013.----------------3分
则 ．
当 时， ， ，
所以 ，故 在 单调递增，---------------- [11分]
所以 时，有 ，
即当 时，有 ．
所以 ．---------------- [12分]
22.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）函数 的定义域是 ，导函数为 ．- 1分
所以 ，又 ，所以曲线 在点 处的切线方程为 ．-------- [ 2分]
（Ⅱ）由已知 ．------------- [ 3分]
所以只需证明方程 在区间 有唯一解．
即方程 在区间 有唯一解．-------- [ 4分]
设函数 ，--------- [ 5分]
因为x∈[1，4]，所以log2x∈[0，2]．
故函数h(x)的值域为[0，2]．------------------------------------4分
(2)由f(x2)·f( )>k·g(x)得
(3－4log2x)(3－log2x)>k·log2x，
令t＝log2x，因为x∈[1，4]，所以t＝log2x∈[0，2]，
在等腰三角形 中， ，可得 ．----------5分
所以，异面直线 与 所成角的余弦值为 ．--------------------6分
（2）连接 ，因为 为等边三角形， 为边 的中点，故 ， ．又因为平面 ⊥平面 ，而 平面 ，故 平面 ．
所以， 为直线 与平面 所成的角．------------------8分
2.以下四个命题：
；
；
其中，是真命题的为（）
A． B． C． D．
3.日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬43°，则晷针与点A处的水平面所成角为（）
9.设集合 ， ，则下列关系正确的是（）
A. B. C. D.
10.已知两个命题 ：对任意 ，总有 ； ：“ ”是“ ”的充分不必要条件.则下列说法正确的是（）
A． 为真命题B． 为假命题
C． 为真命题D. 为假命题
11.如图，在三棱锥C－ABD中，△ABD与△CBD是全等的等腰直角三角形，O为斜边BD的中点，AB＝4，二面角A－BD－C的大小为60°，以下结论正确的是（）
∴在60根钢管中，合格品有57根，次品有3根，任意挑选3根，则次品数Y的所有可能取值为0,1,2,3.
P(Y＝0)＝ ，P(Y＝1)＝
P(Y＝2)＝ ，P(Y＝3)＝ ，----------------------10分
则次品数Y的分布列为
Y
0
1
2
3
P
得E(Y)＝0× ＋1× ＋2× ＋3× ＝0.15.------------12分
宝应县2020-2021学年度第一学期期初调研测试试题
高三数学
（全卷满分150分，考试时间120分钟）
考生注意：请在答题纸上作答，否则无效。
一、单项选择题（本大题共9小题，每小题5分，计45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1.已知集合 ， ，则集合 中元素的个数为（）
A．3B．2C．1D．0
则 ．
当 时， ，故 在区间 单调递增．--------- [ 6分]
又 ， ，
所以存在唯一的 ，使得 ．----------- [ 7分]
综上，存在唯一的 ，使得曲线 在点 处的切线的斜率为
．-------- [ 8分]
（Ⅲ） ．证明如下：----------- [9分]
首先证明：当 时， ．
设 ，-------------- [10分]
A 137°B. 47°C. 43°D.21.5°
4．函数 的图象大致为（）
5.王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，从此诗句中你认为“破楼兰”是“还家乡”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6.从编号分别为 的八个大小完全相同的小球中，随机取出三个小球，则恰有两个小球编号相邻的概率为（）
（2）如果对任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
19.（本题满分12分）
设函数 ．
（1）求不等式 的解集；
（2）若函数 的最大值为 ，正实数 满足 ，求 的最小值.
20.（本题满分12分）
如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M为棱AB的中点，AB=2，AD= ，∠BAD=90°，AD⊥BC．
（1）求异面直线BC与MD所成角的余弦值；
（2）求直线CD与平面ABD所成角的余弦值．
21.（本题满分12分）
某钢管生产车间生产一批钢管，质检员从中抽出若干根对其直径（单位： ）进行测量，得出这批钢管的直径X服从正态分布N(65,4.84)．
(1)当质检员随机抽检时，测得一根钢管的直径为73 mm，他立即要求停止生产，检查设备，请你根据所学知识，判断该质检员的决定是否有道理，并说明判断的依据；
（3）比较 与 的大小，并加以证明．
2020- 2021学年度第一学期期初检测试题
高三数学答案
一、单项选择题
1. B．2.A3. C 4．A 5.B 6.D 7.B 8.D
二、多项选择题
9.AB 10.BC 11.ABC 12．ACD
三、填空题
13.[0，＋∞) 14. 15. 16.
四、17. (本小题10分)
的最小值为，当且仅当时取等．------------12分
20、(本小题12分)
【解析】（1）取棱 的中点 ，连接 ， ．又因为 为棱 的中点，故 ．
所以 （或其补角）为异面直线 与 所成的角．
在 中， ，故 ．----------2分
因为可证 平面 ，
故 ．在 中， ，故 ．------------------4分
A. B. C. D.
7.已知函数 在区间 上有最小值，则函数 在区间 上一定（ ）
A．是减函数B．是增函数C．有最小值D．有最大值
8.已知函数 （ 且 ）在R上单调递增，且关于x的方程 恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（）
A. B. C. D.
二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题5分，计15分。在每小题给出的四个选项中有多项符合要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）
A.AC⊥BD B.△AOC为正三角形
C.四面体A-BCD外接球的表面积为32π
D.cos∠ADC=
12．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石.布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L.E. J. Brouwer），简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数 ，存在一个点 ，使得 ，那么我们称该函数为“不动点”函数.下列函数中是“不动点”函数的有（）
又集合A＝(－3,1)，B＝(－a－1，－a＋1)，
所以 ----------------------8分
解得0≤a≤2，即实数a的取值范围是[0,2]．----------------10分
18. (本小题12分)
解析：(1)h(x)＝(4－2log2x)·log2x＝－2(log2x－1)2＋2，
∴此事件为小概率事件，该质检员的决定有道理．----------4分
(2)∵μ＝65，σ＝2.2，μ－2σ＝60.6，μ＋2σ＝69.4，
由题意，可知钢管直径满足μ－2σ<X≤μ＋2σ为合格品，故该批钢管为合格品的概率约为0.95，------------------------------------6分
所以(3－4t)(3－t)>k·t对一切t∈[0，2]恒成立，-------------6分
①当t＝0时，k∈R；-------------------------------------8分
②当t∈(0，2]时，k< 恒成立，即k<4t＋ －15恒成立，
因为4t＋ ≥12，当且仅当4t＝ ，
即t＝ 时取等号，
解：(1)由x2＋2x－3<0，解得－3<x<1，即A＝(－3,1)．-------1分
当a＝3时，由|x＋3|<1，解得－4<x<－2，即B＝(－百度文库，－2)．----2分
所以 ＝(－3,-2)．---------------------4分
(2)q是p成立的充分不必要条件，所以集合B是集合A的真子集．--6分
所以4t＋ －15的最小值为－3，即k∈(－∞，－3)．--------12分
19(本小题12分)
解不等式或或，解得，-----------------------------3分
故原不等式的解集为；---------------------------4分
，，，--------6分
，，，，
，
---------------------10分
A. B. C. D.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，计20分）
13.已知函数 ，则 的值域是________ .
14.若函数 在区间 上是单调增函数，则实数 的取值范围是_________.
15.四棱锥P-ABCD的底面是一个正方形，PA⊥平面ABCD， ，E是棱PA的中点，则异面直线BE与AC所成角的余弦值是_________
(2)如果钢管的直径X满足60.6～69.4 mm为合格品(合格品的概率精确到0.01)，现要从60根该种钢管中任意挑选3根，求次品数Y的分布列和数学期望．
参考数据：若X～ ，则 ； ； .
22.（本题满分12分）
已知函数 ．
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）求证：存在唯一的 ，使得曲线 在点 处的切线的斜率为 ；
16.设 ，则 的最小值为_______．
四、解答题（本大题共6小题，计70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本题满分10分）
已知集合 ， ．
（1）当 时，求A B；
（2）设 ， ，若 是 成立的充分不必要条件，求实数 的取值范围．
18.（本题满分12分）
已知函数 ， .
（1）当 时，求函数 的值域；
所以，直线 与平面 所成角的余弦值为 ．-------------12分
21．(本小题满分12分)
解(1)∵μ＝65，σ＝2.2，μ－3σ＝58.4，μ＋3σ＝71.6，
∵73∈(μ＋3σ，＋∞)，
∴P(X>71.6)＝
＝ ＝0.0013.----------------3分
则 ．
当 时， ， ，
所以 ，故 在 单调递增，---------------- [11分]
所以 时，有 ，
即当 时，有 ．
所以 ．---------------- [12分]
22.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）函数 的定义域是 ，导函数为 ．- 1分
所以 ，又 ，所以曲线 在点 处的切线方程为 ．-------- [ 2分]
（Ⅱ）由已知 ．------------- [ 3分]
所以只需证明方程 在区间 有唯一解．
即方程 在区间 有唯一解．-------- [ 4分]
设函数 ，--------- [ 5分]
因为x∈[1，4]，所以log2x∈[0，2]．
故函数h(x)的值域为[0，2]．------------------------------------4分
(2)由f(x2)·f( )>k·g(x)得
(3－4log2x)(3－log2x)>k·log2x，
令t＝log2x，因为x∈[1，4]，所以t＝log2x∈[0，2]，
在等腰三角形 中， ，可得 ．----------5分
所以，异面直线 与 所成角的余弦值为 ．--------------------6分
（2）连接 ，因为 为等边三角形， 为边 的中点，故 ， ．又因为平面 ⊥平面 ，而 平面 ，故 平面 ．
所以， 为直线 与平面 所成的角．------------------8分
2.以下四个命题：
；
；
其中，是真命题的为（）
A． B． C． D．
3.日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬43°，则晷针与点A处的水平面所成角为（）
9.设集合 ， ，则下列关系正确的是（）
A. B. C. D.
10.已知两个命题 ：对任意 ，总有 ； ：“ ”是“ ”的充分不必要条件.则下列说法正确的是（）
A． 为真命题B． 为假命题
C． 为真命题D. 为假命题
11.如图，在三棱锥C－ABD中，△ABD与△CBD是全等的等腰直角三角形，O为斜边BD的中点，AB＝4，二面角A－BD－C的大小为60°，以下结论正确的是（）
∴在60根钢管中，合格品有57根，次品有3根，任意挑选3根，则次品数Y的所有可能取值为0,1,2,3.
P(Y＝0)＝ ，P(Y＝1)＝
P(Y＝2)＝ ，P(Y＝3)＝ ，----------------------10分
则次品数Y的分布列为
Y
0
1
2
3
P
得E(Y)＝0× ＋1× ＋2× ＋3× ＝0.15.------------12分
宝应县2020-2021学年度第一学期期初调研测试试题
高三数学
（全卷满分150分，考试时间120分钟）
考生注意：请在答题纸上作答，否则无效。
一、单项选择题（本大题共9小题，每小题5分，计45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1.已知集合 ， ，则集合 中元素的个数为（）
A．3B．2C．1D．0
则 ．
当 时， ，故 在区间 单调递增．--------- [ 6分]
又 ， ，
所以存在唯一的 ，使得 ．----------- [ 7分]
综上，存在唯一的 ，使得曲线 在点 处的切线的斜率为
．-------- [ 8分]
（Ⅲ） ．证明如下：----------- [9分]
首先证明：当 时， ．
设 ，-------------- [10分]
A 137°B. 47°C. 43°D.21.5°
4．函数 的图象大致为（）
5.王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，从此诗句中你认为“破楼兰”是“还家乡”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6.从编号分别为 的八个大小完全相同的小球中，随机取出三个小球，则恰有两个小球编号相邻的概率为（）
（2）如果对任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
19.（本题满分12分）
设函数 ．
（1）求不等式 的解集；
（2）若函数 的最大值为 ，正实数 满足 ，求 的最小值.
20.（本题满分12分）
如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M为棱AB的中点，AB=2，AD= ，∠BAD=90°，AD⊥BC．
（1）求异面直线BC与MD所成角的余弦值；
（2）求直线CD与平面ABD所成角的余弦值．
21.（本题满分12分）
某钢管生产车间生产一批钢管，质检员从中抽出若干根对其直径（单位： ）进行测量，得出这批钢管的直径X服从正态分布N(65,4.84)．
(1)当质检员随机抽检时，测得一根钢管的直径为73 mm，他立即要求停止生产，检查设备，请你根据所学知识，判断该质检员的决定是否有道理，并说明判断的依据；
（3）比较 与 的大小，并加以证明．
2020- 2021学年度第一学期期初检测试题
高三数学答案
一、单项选择题
1. B．2.A3. C 4．A 5.B 6.D 7.B 8.D
二、多项选择题
9.AB 10.BC 11.ABC 12．ACD
三、填空题
13.[0，＋∞) 14. 15. 16.
四、17. (本小题10分)
的最小值为，当且仅当时取等．------------12分
20、(本小题12分)
【解析】（1）取棱 的中点 ，连接 ， ．又因为 为棱 的中点，故 ．
所以 （或其补角）为异面直线 与 所成的角．
在 中， ，故 ．----------2分
因为可证 平面 ，
故 ．在 中， ，故 ．------------------4分
A. B. C. D.
7.已知函数 在区间 上有最小值，则函数 在区间 上一定（ ）
A．是减函数B．是增函数C．有最小值D．有最大值
8.已知函数 （ 且 ）在R上单调递增，且关于x的方程 恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（）
A. B. C. D.
二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题5分，计15分。在每小题给出的四个选项中有多项符合要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）
A.AC⊥BD B.△AOC为正三角形
C.四面体A-BCD外接球的表面积为32π
D.cos∠ADC=
12．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石.布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L.E. J. Brouwer），简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数 ，存在一个点 ，使得 ，那么我们称该函数为“不动点”函数.下列函数中是“不动点”函数的有（）
又集合A＝(－3,1)，B＝(－a－1，－a＋1)，
所以 ----------------------8分
解得0≤a≤2，即实数a的取值范围是[0,2]．----------------10分
18. (本小题12分)
解析：(1)h(x)＝(4－2log2x)·log2x＝－2(log2x－1)2＋2，
∴此事件为小概率事件，该质检员的决定有道理．----------4分
(2)∵μ＝65，σ＝2.2，μ－2σ＝60.6，μ＋2σ＝69.4，
由题意，可知钢管直径满足μ－2σ<X≤μ＋2σ为合格品，故该批钢管为合格品的概率约为0.95，------------------------------------6分
所以(3－4t)(3－t)>k·t对一切t∈[0，2]恒成立，-------------6分
①当t＝0时，k∈R；-------------------------------------8分
②当t∈(0，2]时，k< 恒成立，即k<4t＋ －15恒成立，
因为4t＋ ≥12，当且仅当4t＝ ，
即t＝ 时取等号，
解：(1)由x2＋2x－3<0，解得－3<x<1，即A＝(－3,1)．-------1分
当a＝3时，由|x＋3|<1，解得－4<x<－2，即B＝(－百度文库，－2)．----2分
所以 ＝(－3,-2)．---------------------4分
(2)q是p成立的充分不必要条件，所以集合B是集合A的真子集．--6分
所以4t＋ －15的最小值为－3，即k∈(－∞，－3)．--------12分
19(本小题12分)
解不等式或或，解得，-----------------------------3分
故原不等式的解集为；---------------------------4分
，，，--------6分
，，，，
，
---------------------10分
A. B. C. D.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，计20分）
13.已知函数 ，则 的值域是________ .
14.若函数 在区间 上是单调增函数，则实数 的取值范围是_________.
15.四棱锥P-ABCD的底面是一个正方形，PA⊥平面ABCD， ，E是棱PA的中点，则异面直线BE与AC所成角的余弦值是_________
(2)如果钢管的直径X满足60.6～69.4 mm为合格品(合格品的概率精确到0.01)，现要从60根该种钢管中任意挑选3根，求次品数Y的分布列和数学期望．
参考数据：若X～ ，则 ； ； .
22.（本题满分12分）
已知函数 ．
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）求证：存在唯一的 ，使得曲线 在点 处的切线的斜率为 ；
16.设 ，则 的最小值为_______．
四、解答题（本大题共6小题，计70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本题满分10分）
已知集合 ， ．
（1）当 时，求A B；
（2）设 ， ，若 是 成立的充分不必要条件，求实数 的取值范围．
18.（本题满分12分）
已知函数 ， .
（1）当 时，求函数 的值域；