高考数学热点难点突破技巧第01讲抽象函数的图像和性质问题的处理Word版含答案
高考数学技巧解决函数的性质和像变化问题
高考数学技巧解决函数的性质和像变化问题函数的性质和像变化问题在高考数学中占据了相当的比重。
解决这类问题的关键是掌握一些数学技巧。
本文将介绍一些常用的技巧，帮助考生更好地应对高考中的函数性质和像变化问题。
一、函数的性质1. 定义域和值域分析在解决函数性质问题时，首先要确定函数的定义域和值域。
对于一元函数，可以通过观察函数的解析式来得出定义域和值域的范围。
例如，对于函数y = √x，在实数范围内，x的取值范围应大于等于0，因此函数的定义域为[0, +∞)，而y的取值范围为[0, +∞)。
2. 导数的应用导数是解决函数性质问题的重要工具。
在求函数的最值、凹凸区间和函数的单调性时，通过计算函数的导数来进行分析。
例如，对于函数y = 3x² - 6x + 2，我们可以通过求导数y' = 6x - 6，然后令导数等于0，求得驻点（3, -7），进而分析函数的单调性。
3. 函数的性质与图像特点的对应函数的性质与其图像的特点密切相关。
例如，对于一次函数y = kx+ b，当k>0时，函数图像呈现上升趋势；当k<0时，函数图像呈现下降趋势。
二、像变化问题1. 点关于直线的对称性在解决像变化问题时，考生可以运用直线对称的性质。
对于平面直角坐标系中的一点P(x, y)，以直线y = x为对称轴，得到点P'(-y, -x)。
例如，对于点A(2, 3)，以直线y = x为对称轴，得到点A'(3, 2)。
2. 函数关于直线的对称性函数的图像有时候也会存在关于直线的对称性。
例如，对于奇函数y = x³，以y轴为对称轴，得到函数的图像关于y轴对称。
3. 函数图像的平移、伸缩与翻转函数的图像可以通过平移、伸缩和翻转等操作进行变换。
平移操作可通过改变函数的解析式中的常数项来实现；伸缩操作可通过改变函数的解析式中的系数来实现；翻转操作可通过改变函数的解析式中的变量来实现。
综上所述，解决函数的性质和像变化问题需要掌握一些数学技巧。
压轴题命题区间增分点1抽象问题有形化破解抽象函数难题
压轴题命题区间增分点1抽象问题有形化破解抽象函数难题抽象问题是指那些没有具体实物或情景的问题，通常涉及思维、概念、逻辑等抽象的内容。
对于这类问题，我们需要运用抽象化的思维方式进行分析、归纳和推理，以达到解决问题的目的。
但是，抽象问题常常给人带来一定的困扰，因为没有具体的材料可以依据，我们很难形成明确的思路和解决方案。
因此，为了更好地解决抽象问题，我们需要进行抽象问题的有形化破解，也就是将抽象问题具象化并分解为容易解决的具体问题。
本文将探讨抽象问题的有形化破解方法，并提供一些实例来说明。
在解决抽象问题时，我们通常可以采取以下几个步骤进行有形化破解：1.确定问题的抽象化程度：抽象问题的程度可以分为高度抽象和中度抽象。
高度抽象的问题往往没有明确的指向和背景，需要进一步转化为中度抽象或具体问题进行分析。
中度抽象的问题可能已经具有一定的指向和背景，但还需要进一步具象化。
2.将抽象问题具象化：具象化是将抽象问题转化为具体的情景或实物，以便更好地理解和分析。
具象化可以通过设想一个具体的实例或情况来实现。
例如，如果问题是关于逻辑推理的，可以设想一个具体的故事情节或者设定一个具体的实例，以便更好地理解和分析。
3.分解抽象问题：抽象问题往往比较复杂，不容易直接解决。
因此，我们需要将抽象问题分解为更小、更具体的问题进行解决。
这样，我们可以一步一步地逼近抽象问题的解答。
分解问题时，可以运用归纳、演绎、分类等思维方式进行。
4.利用具体问题进行推理和分析：通过具体问题的推理和分析，我们可以更好地理解和解决抽象问题。
具体问题提供了明确的指向和背景，使我们能够更好地确定解题思路、找到关键点并进行推理。
下面以一个具体的例子来说明抽象问题的有形化破解。
假设有一个抽象问题：给定n个点的集合P，在平面上找到一个连通的子集P'，使得P'中任意两点之间的距离之和最小。
请设计一个算法来解决这个问题。
首先，我们可以将问题具象化为一个实际的情境。
高考数学复习点拨 抽象函数解题思路
抽象函数解题思路所谓抽象函数是指没有给出解析式，只是给出一些特殊条件的函数问题，因为抽象，难以理解，因此它是高中数学函数局部的难点，但是这类问题对于开展抽象思维能力，进行数学思想方法的渗透，培养创新思想，提高数学素质，有着重要作用，所以也是重点考查内容。
下面就这类问题的解题思路举例说明如下，供同学们学习参考。
一、利用特殊模型的解题教材中给出了一些抽象函数的特殊模型，假设充分利用这些模型解题，既可掌握解决数学问题的规律、培养解题能力，又能体会从感性通过抽象概括上升为理性的认识规律。
1、用特殊模型直接解抽象函数客观题例1、函数f(x)对一切实数x、y满足f(0)≠0，f(x+y)=f(x)(y),且当x＞0时，f (x)＞1,那么当x＜0时，f(x)的取值范围是。
解析：借助函数f(x)=a x〔a＞1〕，那么0＜f〔a〕＜1评注：借助特殊函数直接解抽象函数客观题是常用的解题处理方法，可迅速得到正确答案。
2、借助特殊模型为解抽象函数解答题铺路例2、函数f〔x〕(x≠0)满足f(xy)=f(x)+f(y),〔1〕求证：f(1)=f(-1)=0；〔2〕求证：f(x)为偶函数；解析：因为定义域为(-∞,0)∪(o,+∞)，所以由f (x)=logax (0＜a＜1〕, 理解题意显然不当，但是只要稍加变通，可以发现用f(x)=loga|x︳较为恰当。
〔证明过程学生自己解决〕评注：借助特殊函数模型铺路是解抽象函数解答题的常用处理方法，虽然不可用特殊模型代替求解，但可借助特殊模型理解题意，类比探索出解题思路，使抽象函数变的有章可循。
二、利用函数性质的解题函数的特征是通过各种各样的性质反映出来的，抽象函数也不例外，只要充分利用题设条件已说明的或通过挖掘出隐含的函数性质，就能顺利解决抽象型函数问题。
1、利用奇偶性、周期性解题例3、函数f〔x〕是R上的奇函数，且任意x，有f〔x+4〕=f〔x〕+f〔2〕，求f〔14〕解析：取x=-2，f〔2〕=f〔-2〕+f〔2〕∴f〔-2〕=0，∴f〔2〕=0，由条件知4是函数f〔x〕的一个周期，∴f〔14〕=f〔4 3+2〕=f〔2〕=0评注：要充分利用周期性，化未知为；运用整体思想，优化整体为局部，再由各局部的解决使整体问题得解。
重难点2-4-抽象函数及其性质8大题型(解析版) (1)
重难点2-4 抽象函数及其性质8大题型抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一个函数，由抽象函数构成的数学问题叫做抽象函数问题。
抽象函数问题能综合考查学生对函数概念和各种性质的理解，但由于其表现形式的抽象性和多变性，学生往往无从下手，这类问题是高考的一个难点，也是近几年高考的热点之一。
一、抽象函数的赋值法赋值法是求解抽象函数问题最基本的方法，复制规律一般有以下几种： 1、……-2，-1,0,1,2……等特殊值代入求解； 2、通过()()12-f x f x 的变换判定单调性；3、令式子中出现()f x 及()-f x 判定抽象函数的奇偶性；4、换x 为+x T 确定周期性. 二、判断抽象函数单调性的方法：（1）凑：凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论;（2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试.①若给出的是“和型”抽象函数() =+y x f ，判断符号时要变形为：()()()()111212)(x f x x x f x f x f -+-=-或()()()()221212)(x x x f x f x f x f +--=-;②若给出的是“积型”抽象函数() =xy f ，判断符号时要变形为：()()()112112x f x x x f x f x f -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=-或()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-=-212212x x x f x f x f x f . 三、常见的抽象函数模型1、()()()+=+f x y f x f y 可看做()=f x kx 的抽象表达式；2、()()()+=f x y f x f y 可看做()=x f x a 的抽象表达式（0>a 且1≠a ）；3、()()()=+f xy f x f y 可看做()log =a f x x 的抽象表达式（0>a 且1≠a ）；4、()()()=f xy f x f y 可看做()=a f x x 的抽象表达式. 四、抽象函数中的小技巧1、很多抽象函数问题都是以抽象出某一类函数的共同特征而设计出来的，在解决问题时，可以通过类比这类函数中一些具体函数的性质去解决抽象函数的性质；2、解答抽象函数问题要注意特殊赋值法的应用，通过特殊赋值法可以找到函数的不变性质，这个不变性质往往是解决问题的突破口；3、抽象函数性质的证明是一种代数推理，和几何推理一样，要注意推理的严谨性，每一步推理都要有充分的条件，不可漏掉一些条件，更不要臆造条件，推理过程要层次分明，书写规范。
如何解决高一数学中的抽象函数问题
如何解决高一数学中的抽象函数问题在高一数学的学习中，抽象函数问题常常让同学们感到头疼。
这些问题不像具体函数那样有明确的表达式，而是仅仅通过一些函数性质或运算关系来描述，具有较强的抽象性和逻辑性。
但别担心，只要掌握了正确的方法和思路，抽象函数问题也能迎刃而解。
首先，我们要理解抽象函数的定义和常见类型。
抽象函数通常是指没有给出具体解析式的函数，而是通过一些条件，如函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等，来描述函数的特征。
常见的抽象函数类型有：以函数运算关系给出的抽象函数，如$f(x ＋ y) ＝ f(x) ＋f(y)＄；以函数性质给出的抽象函数，如$f(x) ＝ f(x)＄表示函数为奇函数。
那么，解决抽象函数问题的关键在哪里呢？关键之一是赋值法。
通过对自变量赋予特殊值，往往能得出一些有用的结论。
比如，对于函数$f(x ＋ y) ＝ f(x) ＋ f(y)＄，我们可以令$x ＝ 0$，＄y ＝ 0$，得到$f(0) ＝ f(0) ＋ f(0)＄，从而得出$f(0) ＝ 0$。
再比如，若已知$f(1) ＝ 2$，要研究$f(2)＄，我们可以令$x ＝ 1$，＄y ＝1$，得到$f(2) ＝ f(1 ＋ 1) ＝ f(1) ＋ f(1) ＝ 4$。
关键之二是利用函数的性质。
比如，如果已知函数是奇函数，那么$f(x) ＝ f(x)＄；如果是偶函数，就有$f(x) ＝ f(x)＄。
通过这些性质，可以将自变量转化为已知的形式，从而进行计算或推理。
例如，已知$f(x)＄是奇函数，且$f(2) ＝ 5$，那么$f(－2) ＝ f(2) ＝－5$。
关键之三是周期性。
如果函数具有周期性，我们可以利用周期将自变量的取值范围进行转化。
比如，若函数$f(x)＄的周期为$T$，那么$f(x ＋ kT) ＝ f(x)＄，＄k\in Z$。
例如，若函数的周期为$4$，＄f(1) ＝2$，求$f(9)＄，则可以将$f(9)＄转化为$f(9) ＝ f(1 ＋ 2\times 4) ＝ f(1) ＝ 2$。
高考数学难点突破 难点01 集合思想及应用技巧解答
高考数学难点突破难点01 集合思想及应用技巧解答Abstract: Based on the comprehensive analysis on the plastic part’s structure service requirement, mounding quality and mould menu factoring cost.A corresponding injection mould of internal side core pulling was designed. By adopting the multi-direction and multi-combination core-pulling. A corresponding injection mould of internal side core pulling was designed, the working process of the mould was introduced难点1 集合思想及应用集合是高中数学的基本知识，为历年必考内容之一，主要考查对集合基本概念的认识和理解，以及作为工具，考查集合语言和集合思想的运用.本节主要是帮助考生运用集合的观点，不断加深对集合概念、集合语言、集合思想的理解与应用.●难点磁场(★★★★★)已知集合A={(x,y)|x+mx－y+2=0},B={(x,y)|x－y+1=0,且0≤x≤2},如果A∩B≠?,求实数m的取值范围.●案例探究［例1］设A={(x,y)|y2－x－1=0},B={(x,y)|4x2+2x－2y+5=0},C={(x,y)|y=kx+b},是否存在k、b∈N,使得(A∪B)∩C=?，证明此结论. 命题意图：本题主要考查考生对集合及其符号的分析转化能力，即能从集合符号上分辨出所考查的知识点，进而解决问题.属★★★★★级题目. 知识依托：解决此题的闪光点是将条件(A∪B)∩C=?转化为A∩C=?且B∩C=?，这样难度就降低了.错解分析：此题难点在于考生对符号的不理解，对题目所给出的条件不能认清其实质内涵，因而可能感觉无从下手.技巧与方法：由集合A与集合B中的方程联立构成方程组，用判别式对根的情况进行限制，可得到b、k的范围，又因b、k∈N,进而可得值.解：∵(A∪B)∩C=?，∴A∩C=?且B∩C=??y2?x?1∵? ∴k2x2+(2bk－1)x+b2－1=0 ?y?kx?b2∵A∩C=?222∴Δ1=(2bk－1)－4k(b－1)<0∴4k2－4bk+1<0,此不等式有解，其充要条件是16b2－16>0,即b2>1?4x2?2x?2y?5?0∵?y?kx?b? ①∴4x2+(2－2k)x+(5+2b)=0∵B∩C=?,∴Δ2=(1－k)2－4(5－2b)<0∴k2－2k+8b－19<0,从而8b<20,即b<2.5 ② 由①②及b∈N,得b=2代入由Δ1<0和Δ2<0组成的不等式组，得2??4k?8k?1?0, ?2??k?2k?3?0∴k=1,故存在自然数k=1,b=2,使得(A∪B)∩C=?.［例2］向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A、B 都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人.问对A、B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？命题意图：在集合问题中，有一些常用的方法如数轴法取交并集，韦恩图法等，需要考生切实掌握.本题主要强化学生的这种能力.属★★★★级题目.知识依托：解答本题的闪光点是考生能由题目中的条件，想到用韦恩图直观地表示出来. 错解分析：本题难点在于所给的数量关系比较错综复杂，一时理不清头绪，不好找线索.技巧与方法：画出韦恩图，形象地表示出各数量关系间的联系. 解：赞成A的人数为50×35=30，赞成B的人数为30+3=33，如上图，记50名学生组成的集合为U，赞成事件A的学生全体为集合A；赞成事件B的学生全体为集合B.设对事件A、B都赞成的学生人数为x,则对A、B都不赞成的学生人数为不赞成B的人数为30－x，赞成B而不赞成A的人数为33－x.依题意(30－x)+(33－x)+x+(x3x3+1,赞成A而+1)=50,解得x=21.所以对A、B都赞成的同学有21人，都不赞成的有8人.●锦囊妙计1.解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元素的三要素；对于用描述法给出的集合{x|x∈P},要紧紧抓住竖线前面的代表元素x以及它所具有的性质P；要重视发挥图示法的作用，通过数形结合直观地解决问题.2.注意空集?的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如A?B,则有A=?或A≠?两种可能，此时应分类讨论.●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★)集合M={x|x=A.M=Nkx2??4,k∈Z},N={x|x=k?2??2,k∈Z},则( )D.M∩N=?B.MNC.MN感谢您的阅读，祝您生活愉快。
函数及其图像函数及其图像重点难点妙招的方法
函数及其图像重点难点妙招的方法函数的表示法是高中数学的重要内容，是今后进一步学习其他函数，以及运用函数模型解决实际问题的基础。
函数的不同表示方法能丰富对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念，使学生更好地体会、领悟与理解数学思想方法（如数形结合、化归等）。
同时，数学是人类文化的一部分，函数的多种表示是丰富多彩的社会实际的要求，体现了人们观察世界的一种立场、观点和方法。
下面将从5个方面来阐述对这节内容的理解和设计。
一、教材分析教材从引进函数概念开始，就比较注重函数的不同表示方法。
在本节中，教材仍以引进函数概念时所用的三个问题为背景，引入函数的表示方法，体现知识情境呈现的一致性。
解析法表示函数关系时，函数关系简明、清楚，便于用解析式来研究函数性质，体现了透过现象看本质的哲学思想。
列表法简洁明了，动态的变量采用静态的数据表示，“输入值”与“输出值”一目了然，体现出“动与静”的辩证关系。
图象法能直观形象地表示出函数值随着自变量的变化而变化的趋势，表示出数学的美学意义和数形结合的数学思想。
在教学中除了书中的例子外，还应引导学生多举社会生活或其他学科中的例子，如银行里的利息表、列车时刻表、公共汽车上的票价表、邮资、出租车费，股市走向图等等，拉近与学生的距离，使学生感受到函数就在身边，感到亲切、自然，加深对函数表示法的理解。
教材还通过例子介绍了分段函数的特点及应用，要注意让学生尝试用数学表达式去表达实际问题。
二、教学目标①明确函数的三种表示方法，在了解函数三种表示方法各自优点、特征的基础上，会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数。
②通过具体实际，了解简单的分段函数，并能进行简单的应用，培养学生将实际问题抽象转化成数学问题，再去求解数学问题的能力。
③渗透数形结合思想方法，重视知识的形成发展过程，培养学生观察、分析、归纳、总结、表达能力与辩证唯物主义观点，进一步激发学生学习数学的兴趣。
三、学情分析与重、难点学生在初中已经接触过函数的三种表示方法，但是对于各自的优点和不足，以及根据不同的实际情境来选择恰当的表示函数方法等方面，认识还不够深入、具体、清晰，有些地方甚至有错误认识，如用图像法时盲目地连点连线，以为函数都是可以写出解析式的等等。
高考数学冲刺函数性质与图像变换全解析
高考数学冲刺函数性质与图像变换全解析高考对于每一位学子来说都是人生中的一次重要挑战，而数学作为其中的关键学科，更是备受关注。
在数学的众多知识点中，函数的性质与图像变换一直是重点和难点。
在高考冲刺阶段，对这部分内容进行全面、深入的复习和理解，将有助于我们在考试中取得更好的成绩。
一、函数的基本性质1、单调性函数的单调性是指函数在定义域内的某个区间上，函数值随自变量的增大而增大或减小的性质。
判断函数单调性的方法通常有定义法、导数法等。
定义法：设函数$f(x)＄的定义域为$I$，对于定义域$I$内某个区间$D$上的任意两个自变量的值$x_1$，＄x_2$，当$x_1 ＜ x_2$时，都有$f(x_1) ＜ f(x_2)＄（或$f(x_1) ＞ f(x_2)＄），那么就说函数$f(x)＄在区间$D$上是增函数（或减函数）。
导数法：若函数$f(x)＄在区间$（a,b)＄内可导，当$f'（x) ＞0$时，函数$f(x)＄在区间$（a,b)＄内单调递增；当$f'（x) ＜ 0$时，函数$f(x)＄在区间$（a,b)＄内单调递减。
2、奇偶性奇偶性是函数的另一个重要性质。
若对于函数$f(x)＄定义域内的任意一个$x$，都有$f(x) ＝ f(x)＄，则称$f(x)＄为偶函数；若对于函数$f(x)＄定义域内的任意一个$x$，都有$f(x) ＝ f(x)＄，则称$f(x)＄为奇函数。
判断函数奇偶性的一般步骤为：首先确定函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，则函数既不是奇函数也不是偶函数；如果对称，再判断$f(x)＄与$f(x)＄的关系。
3、周期性对于函数$f(x)＄，如果存在一个不为零的常数$T$，使得当$x$取定义域内的每一个值时，＄f(x ＋ T) ＝ f(x)＄都成立，那么就把函数$y＝ f(x)＄叫做周期函数，周期为$T$。
常见的周期函数如正弦函数、余弦函数等。
4、对称性函数的对称性包括轴对称和中心对称。
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第01讲：抽象函数的图像和性质问题的处理
【知识要点】
一、抽象函数的考查常常表现在求抽象函数的定义域、值域、单调性、奇偶性和周期性等方面.
二、抽象函数虽然不是具体函数，但是它的图像和性质的研究方法和具体函数仍然是一样的，只不过是函数没有解析式，比较抽象，难度稍微大些.
【方法点评】
【例1】已知函数)(x f 的定义域是]21[，-，求函数)]3([log 2
1x f -的定义域.
【例2】已知函数(24)y f x =+的定义域为[0,1]，求函数f （
x)的定义域. 【解析】∵(24)y f x =+的定义域为[0,1]，即在(24)y f x =+中x ∈[0,1]，令24t x =+， x ∈[0,1]，则t ∈[4,6]，即在()f t 中，t ∈[4,6]∴f （x)的定义域为[4,6].
【点评】（1）已知原函数()f x 的定义域为(,)a b ，求复合函数[()]f g x 的定义域：只需解不等式()a g x b <<，不等式的解集即为所求函数的定义域.例1就是典型的例子.（2）已知复合函数[()]f g x 的定义域为(,)a b ，求原函数()f x 的定义域：只需根据a x b <<求出
函数()g x 的值域，即得原函数()f x 的定义域.例2就是典型的例子.
【反馈检测1】若函数)1(+=x f y 的定义域为)3,2[-，求函数)21(+=x
f y 的定义域. 【例3】已知函数()f x 对任意实数,x y 恒有()()+(y)f x y f x f +=，且当0x >时，()0f x <，又1=2f -（）.
(1)判断()f x 的奇偶性； (2)求证：()f x 是R 上的减函数；(3)求()f x 在区间[－3,3]上的值域；
(4)若x R ∀∈，不等式2
()2()()4f ax f x f x -<+恒成立，求a 的取值范围．
(2)证明： 任取12,(,)x x ∈-∞+∞，且12x x <，则210x x ->，2121()()()0f x f x f x x +-=-<，
∴21()()f x f x <--，又()f x 为奇函数，∴12()()f x f x >．∴()f x 是R 上的减函数．
(3)由(2)知()f x 在R 上为减函数，
∴对任意[3,3]x ∈-，恒有(3)()(3)f f x f ≤≤-，
∵(3)(2)(1)(1)(1)(1)236f f f f f f =+=++=-⨯=-，
∴(3)(3)6f f -=-=，()f x 在[3,3]-上的值域为[6,6]-．
(4) ()f x 为奇函数，整理原式得2
()(2)()(2)f ax f x f x f +-<+-，则2(2)(2)f ax x f x -<-，
∵()f x 在(,)-∞+∞上是减函数，∴222ax x x ->-，
当0a =时，22x x ->-在R 上不是恒成立，与题意矛盾；
当0a >时，2220ax x x --+>，要使不等式恒成立，则980a ∆=-<，即98
a >；
当0a <时，2320ax x -+>在R 上不是恒成立，不合题意．
综上所述，a 的取值范围为9+8∞（，）
． 【点评】（1）证明抽象函数的单调性的方法和证明具体函数的单调性方法本质上是一样的.先设1212,,x x D x x ∈<且，再利用已知条件判断12()()f x f x -的符号，如果12()()0f x f x ->，则函数是减函数；如果12()()0f x f x -<，则函数是增函数. （2）求抽象函数的值域，一般先分析出抽象函数的单调性，再求函数的值域.
【反馈检测2】已知函数()f x 的定义域为[]0,1，且同时满足：(1)对任意[]0,1x ∈，总有()2f x ≥；(2)(1)3f =(3)若120,0x x ≥≥且121x x +≤，则有1212()()()2f x x f x f x +≥+-.
(I)求(0)f 的值；(II)求()f x 的最大值.
【例4】已知函数)0)((≠∈x R x x f ，对任意不等于零的实数21x x 、都有12()f x x ⋅12()()f x f x =+，试判断函数()f x 的奇偶性.
【点评】（1）判断函数的奇偶性的方法：首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数；如果函数的定义域关于原点对称，则继续求()f x -；最后比较()f x -和()f x 的关系，如果有()f x -=()f x ，则函数是偶函数，如果有()f x -=-()f x ，则函数是奇函数，否则是非奇非偶函数.（2）抽象函数奇偶性的判断和判断具体函数的奇偶性一致，但是难度要大一点，解题过程中要找到()f x -和()f x 的关系，
多用赋值法（特殊值）.
【反馈检测3】定义域为R 的函数)(x f 满足：对于任意的实数,x y 都有()()()f x y f x f y +=+成立，且当0x >时)0f x <（恒成立.
(1)判断函数)(x f 的奇偶性，并证明你的结论；
(2)证明)(x f 为减函数；若函数)(x f 在[3,3)-上总有)6f x ≤（成立，试确定(1)f 应满足的条件.
【例5】)(x f 定义在实数集上，当0>x 时，1)(>x f ，对于任意实数,x y ，有()f x y +()()f x f y =⋅，求证：)(x f 在R 上为增函数.
【解析】证明：在)()()(y f x f y x f =+中取0==y x ，得2)]0([)0(f f =
若0)0(=f ，令00=>y x ，，则0)(=x f ，与1)(>x f 矛盾, 所以0)0(≠f ，即有1)0(=f
当0>x 时，01)(>>x f ；当0<x 时，01)(0>>->-x f x ，
而1)0()()(==-⋅f x f x f 所以0)
(1)(>-=x f x f
【点评】（1）抽象函数虽然没有解析式，但是在判断证明函数的单调性的方法上和具体函数是一致的，同样利用函数的单调性的定义和导数.（2）利用单调性的定义时，关键在于分解化简，
1211211121121()f(x )()[()]()()()()(1())f x f x f x x x f x f x f x x f x f x x -=-+-=--=--。