截面的几何性质
材料力学第六章 截面的几何性质惯性矩
IP
2dA
A
(y2
A
z2 )dA
IZ
Iy.
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第三节 惯性矩和惯性积的 y1dA (y a)2 dA A
y2dA 2a ydA a2 dA
I z1 z a2 A; y1 y b2 A;
2dA
A
(y2
A
z2 )dA
IZ
Iy.
Izy
z y dA;
A
五、平行移轴公式:
I z1 z a2 A; y1 y b2 A;
I z1y1 I zy abA;
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六、主惯性轴和主惯性矩: 主惯性轴（主轴）—使 I zoyo 0 的这对正交坐标轴； 主惯性矩（主惯矩）—截面对主惯性轴的惯性矩； 形心主惯性轴（形心主轴）—通过形心的主惯性轴； 形心主惯性矩（形心主惯矩）—截面对形心主轴的惯性矩。
I z1y1 I zy abA;
注意: y、z轴必须是形心轴。
二、转轴公式:
Iz1
A y12dA
( y cos z sin)2 dA;
A
I z1
Iz
Iy 2
Iz
Iy 2
cos 2
I zy
sin 2;
I y1
Iz
2
Iy
Iz
2
Iy
cos 2
I zy
sin 2;
I z1y1
Iz
Iy 2
三、惯性积:
定义:平面图形内, 微面积dA与其两个坐 标z、y的乘积zydA在整个图形内的积分称为 该图形对z、y轴的惯性积。
Izy
z y dA;
A
特点: ①惯性积是截面对某两个正交
材料力学 截面的几何性质
录
附录Ⅰ
§Ⅰ-1 §Ⅰ-2 §Ⅰ-3 §Ⅰ-4
截面的几何性质
截面的静矩和形心位置 惯性矩、惯性积和惯性半径 平行移轴公式 转轴公式 主惯性矩
静矩与形心
一、静矩的定义(与力矩类似)（也称面积矩或一次矩） 截面对z轴的静矩： y 截面对y轴的静矩：
Sz Sy
dS
A A
z
ydA
A
3
z 100
I
C
CI
a1 a2
I y I yI I yII 443 10 768 10
4
4
y
1211 104 mm 4
由于z轴是对称轴 ，故图形对两轴的惯性积为
140 103.3
CII
II
y
I yz 0
20
I z y 2 dA 2h y 2 bdy
3
附
录
组合截面形心
组合截面：如果截面的图形是由几个简单图形(如矩形、圆形 等）组成的，这种截面称为组合截面。 组合截面对X、Y轴静矩的计算：
S x Ai yci Ayc
i
n
S y Ai xci Axc
i
n
Ai——任一简单图形的面积； xci，yci——任一简单图形的形心坐标； n——全部简单图形的个数。 确定组合截面形心位置的公式：
C H/2
X
1 h 1 h yc 1 y1 ( y1 ) ( y1 ) 2 2 2 2
h 1 h S x Ayc 1 b( y 1 ) ( y 1 ) 2 2 2
b
b 2 2 (h 4y1 ) 8
例2、图形对 x 轴的静矩为
第七章 截面的几何性质
A 120 ×10 × 60 + 70 ×10 × 5 = = 39.7mm 120 ×10 + 70 ×10
yc =
Sy
5
§7-2 惯性矩、惯性积与极惯性 惯性矩、
一、惯性矩
Iz = ∫ y dA
2 A
I y = ∫ z dA
2 A
工程中常把惯性矩表示为平面图形的面积与某一长度平方的乘积， 即
I y = A iy
主惯性轴和主惯性矩
一、主惯性轴和主惯性矩 (1)主惯性轴 主惯性轴 当平面图形对某一对正交坐标轴z0 、
y0的惯性积 Iz0y0=0时，则坐标轴 z0 、y0称为主惯性轴。 因此，具有一个或两个对称轴的正交坐标轴一定是 平面图形的主惯性轴。 (2)主惯性矩 平面图形对任一主惯性轴的惯性矩称为 主惯性矩 主惯性矩。
例 计算图所示阴影部分截面的形心主惯性矩Iz。
解：1)求形心位置 由于y 轴为对称轴，故形心必在 此轴上，建立yoz′坐标系，故zc′=0 。将阴影部分截面看成是矩形Ⅰ 减去圆形Ⅱ而得到，故其形心的yc 坐标为：
15
ΣAi y ci yc = =( A
600 × 1000 × 500 − 600 × 1000 −
2
I z = Aiz
2
6
i y 、i z
分别称为平面图形对y轴和z轴的惯性半径
二、惯性积
I zy = ∫ A zydA
若截面具有一根对称轴，则该 截面对于包括此对称轴在内的 二正交坐标轴的惯性积一定等 于零。
I zy = 0
7
三、极惯性矩
Ip =
2
∫A
ρ dA
2
2 2
Qρ = z + y
材料力学截面的几何性质课件
目录
• 截面的基本性质 • 截面的二次矩 • 截面的抗弯截面系数 • 截面的抗扭截面系数 • 材料力学截面的应用
01 截面的基本性质
截面的面积
面积
截面面积是二维平面图形被截后，与 原图形相比增加的面积。对于矩形、 圆形、三角形等简单形状，截面面积 可以通过几何公式直接计算。
的刚度和稳定性。
截面惯性矩
截面惯性矩是衡量截面抗弯刚度 的指标，对于承受弯矩的构件， 选择具有较大惯性矩的截面可以
减少挠度和转角。
截面抵抗矩
截面抵抗矩是衡量截面抗剪切能 力的指标，对于承受剪力的构件 ，选择具有较大抵抗矩的截面可
以增加构件的承载能力。
工程设计中的应用
桥梁设计
在桥梁设计中，需要考虑梁的截面尺寸、材料类型和截面形式等 因素，以确保桥梁具有足够的强度和刚、单位等因素，以确保数 据处理结果的准确性和可靠性。
1.谢谢聆 听
根据微面积和其对应的主 轴方向余弦，计算出截面 二次矩。
主轴的确定
根据计算出的惯性矩，找 出三个主轴的方向余弦和 角度。
实例分析
圆截面
圆截面的二次矩为常数， 且各主轴与截面垂直，说 明圆截面在弯曲时没有翘 曲的趋势。
矩形截面
矩形截面的二次矩与宽度 的平方成正比，说明矩形 截面有较好的抗弯能力。
工字形截面
工字形截面的二次矩比同 样面积的矩形截面小，但 抗弯能力仍高于同样重量 的实心杆件。
03 截面的抗弯截面系数
定义与性质
01
抗弯截面系数是截面对其轴线的惯性矩除以截面的面积 得到的数值，用来度量截面在弯矩作用下抵抗变形的能 力。
02
不同形状的截面有不同的抗弯截面系数，如圆截面为1 ，矩形截面为1.13，工字形截面为1.44等。
截面的几何性质面积矩惯性矩惯性积平行移轴
2
对于复杂形状，可以采用微元法或积分法计算其 惯性矩。
3
在工程实践中，常常使用软件或计算器进行惯性 矩的计算，以提高计算效率和精度。
04
CATALOGUE
惯性积
惯性积的定义
惯性积是截面的一种几何属性，用于描述截面的 形状和大小。
惯性积是一个标量，表示截面在某个方向上的投 影面积与该方向上单位长度的平方之比。
02
利用三维坐标系中的点坐标和 方向向量，通过向量的外积计 算得到截面的法向量和面积向 量，进而计算惯性积。
03
利用计算机图形学中的几何算 法，通过计算截面的顶点坐标 和法线向量，实现惯性积的精 确计算。
05
CATALOGUE
平行移轴
平行移轴的定义
一个方向上的直线，可以 是实线或虚线。
在三维空间中，与某一平 面相交的平面。
中性轴
通过截面形心并与形心轴垂直的轴线。
惯性矩的性质
01
惯性矩与截面的形状和大小有关，形状相同但尺寸不同的截面 具有不同的惯性矩。
02
惯性矩具有方向性，与中性轴的位置有关。
对于矩形、圆形、椭圆形等简单形状，其惯性矩可以通过公式
03
直接计算。
惯性矩的计算方法
1
对于简单形状，如矩形、圆形、椭圆形等，可以 直接使用公式计算其惯性矩。
截面的几何性质
目录
• 截面的定义与性质 • 面积矩 • 惯性矩 • 惯性积 • 平行移轴
01
CATALOGUE
截面的定义与性质
截面的定义
截面定义
截面是指通过一个平面与一个三维物 体相交，所形成的交线或交面。这个 平面可以是垂直的、倾斜的或与三维 物体表面平行。
截面的形状
建筑力学第七章 截面的几何性质
第七章平面图形的几何性质研究截面几何性质的意义从上章介绍的应力和变形的计算公式中可以看出，应力和变形不仅与杆的内力有关，而且与杆件截面的横截面面积A、极惯性矩I P、抗扭截面系数W P等一些几何量密切相关。
因此要研究构件的的承载能力或应力，就必须掌握截面几何性质的计算方法。
另一方面，掌握截面的几何性质的变化规律，就能灵活机动地为各种构件选取合理的截面形状和尺寸，使构件各部分的材料能够比较充分地发挥作用，尽可能地做到“物尽其用”，合理地解决好构件的安全与经济这一对矛盾。
第一节 静矩一、静距的概念Ay S z d d =Az S y d d =⎰⎰⎰⎰====AAy y AAz z Az S S A y S S d d d d zy d A yz静距是面积与它到轴的距离之积。
平面图形的静矩是对一定的坐标而言的，同一平面图形对不同的坐标轴，其静矩显然不同。
静矩的数值可能为正，可能为负，也可能等于零。
它常用单位是m 3或mm 3。
形心d A zyy zCx Cy ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⋅∆∑=⋅∆∑=A y A y Az A z C C ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==⎰⎰A ydA y A zdA z AC A C ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==A S y A S z z C y C ⎭⎬⎫⋅=⋅=C y C z z A S y A S 平面图形对z 轴（或y 轴）的静矩，等于该图形面积A 与其形心坐标y C （或z C ）的乘积。
当坐标轴通过平面图形的形心时，其静矩为零；反之，若平面图形对某轴的静矩为零，则该轴必通过平面图形的形心。
如果平面图形具有对称轴，对称轴必然是平面图形的形心轴，故平面图形对其对称轴的静矩必等于零。
⎭⎬⎫⋅=⋅=C y C z z A S y A S二、组合图形的静矩根据平面图形静矩的定义，组合图形对z 轴（或y 轴）的静矩等于各简单图形对同一轴静矩的代数和，即⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=+++==+++=∑∑==ni Ci i Cn n C C y ni Ci i Cn n C C z z A z A z A z A S y A y A y A y A S 1221112211 式中 y Ci 、z Ci 及A i 分别为各简单图形的形心坐标和面积;n 为组成组合图形的简单图形的个数。
截面的几何性质
2
= I y + b2 A Iy
c
37
4. 组合截面惯性矩
I x = ∑I xi
i=1
n
I y = ∑I yi
i=1
n
38
A y1 + A2 y2 1 y= ≈ 40mm A + A2 1
10
y
10
40
10
o
20
x
80
11
§1—2 极惯性矩 惯性矩
一，定义 1，截面对 o 点的极惯性矩为 ，
y
惯性积
dA
I P = ∫A ρ dA
2
ρ
o
x
12
2，截面对 x , y 轴的惯性矩 ，
y
I x = ∫A y dA
2
dA
= ∫A x2dA Iy
29
y
yC
C
xC
a
o
b
x
则平行移轴公式为
= I xc + a2 A Ix
= I y + b2 A Iy
c
I xy = I x y + abA
c c
30
二，组合截面的惯性矩
惯性积
Ixi , Iyi , Ixyi —— 第 i 个简单截面对 x , y 轴的惯性矩、
惯性积。 惯性积。
组合截面的惯性矩， 组合截面的惯性矩，惯性积
xC
a
o
b
x
Ix , Iy , Ixy
_____
轴的惯性矩和惯性积。 截面对 x , y 轴的惯性矩和惯性积。
的惯性矩和惯性积。 Ixc ,Iyc , Ixc yc —— 截面对形心轴 xc , yc 的惯性矩和惯性积。
材料力学 3 截面的几何性质
大小：正，负，0。
y
量纲：[长度]3
二、截面的形心 几何形心=等厚均质薄片重心 z 形心坐标公式：
yc
C
zc
yc zc
y dA A z dA
A
A
Sz A Sy A
O
A
y
S y A zc
S z A yc
结论： 若 S z 0 yc 0 z 轴通过形心。反之，亦成立。
转轴公式
sin 2 I yz cos2
I y1 I z1 I y I z
二、形心主轴和形心主惯性矩 1、主轴和主惯性矩：坐标旋转到= 0 时，
Ix y
0 0
Ix I y 2
sin20 I xy cos 20 0
tan 2 0
2 I xy Ix Iy
z1
I yzc y1 z1 dA
A
a
O
z
yc
I z A y 2dA A (b y1 )2 dA
2 A ( y1 2by1 b 2 )dA
y
zc 为形心轴， S zc Ayc 0
I zc 2bS zc b 2 A
I zc b 2 A
2
a
2677710 .52 cm 4
平 衡 项 惯 性 矩 6686481 . 857.8 单 个 形 心 惯 性 矩 779.53
组合截面可以大大提高截面惯性矩。
I y Iz 2 cos2 I yz sin 2 cos2 I yz sin 2
I y Iz 2
I y Iz 2
当＝0时，
dI y1 d
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附录Ⅰ 截面的几何性质§I −1 截面的静矩与形心位置如图I −1所示平面图形代表一任意截面,以下两积分⎪⎭⎪⎬⎫==⎰⎰A z S A y S A y Az d d (I −1) 分别定义为该截面对于z 轴与y 轴的静矩。
静矩可用来确定截面的形心位置。
由静力学中确定物体重心的公式可得⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==⎰⎰A A z z A A y y AC A Cd d利用公式(I −1),上式可写成⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫====⎰⎰A S A A z z A S A Ay y y AC z AC d d (I −2) 或⎭⎬⎫==C y C z Az S Ay S (I −3)⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==A S z A S y y C z C (I −4)如果一个平面图形就是由若干个简单图形组成的组合图形,则由静矩的定义可知,整个图形对某一坐标轴的静矩应该等于各简单图形对同一坐标轴的静矩的代数与。
即:⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==∑∑==ni ci i y ni ci i z z A S y A S 11(I −5) 式中A i 、y ci 与z ci 分别表示某一组成部分的面积与其形心坐标,n 为简单图形的个数。
将式(I −5)代入式(I −4),得到组合图形形心坐标的计算公式为图I −1⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫==∑∑∑∑====n i i ni ci i c ni i ni ciic A z A z A yA y 1111(I −6) 例题I −1 图a 所示为对称T 型截面,求该截面的形心位置。
解:建立直角坐标系zOy ,其中y 为截面的对称轴。
因图形相对于y 轴对称,其形心一定在该对称轴上,因此z C =0,只需计算y C 值。
将截面分成Ⅰ、Ⅱ两个矩形,则A Ⅰ=0、072m 2,A Ⅱ=0、08m 2 y Ⅰ=0、46m,y Ⅱ=0、2m m323.008.0072.02.008.046.0072.0III IIII I I 11=+⨯+⨯=++==∑∑==A A y A y A AyA y ni ini cii c§I −2 惯性矩、惯性积与极惯性矩如图I −2所示平面图形代表一任意截面,在图形平面内建立直角坐标系zOy 。
现在图形内取微面积d A ,d A 的形心在坐标系zOy 中的坐标为y 与z ,到坐标原点的距离为ρ。
现定义y 2d A 与z 2d A 为微面积d A 对z 轴与y 轴的惯性矩,ρ2d A 为微面积d A 对坐标原点的极惯性矩,而以下三个积分⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫===⎰⎰⎰A ρI A z I A y I A Ay A z d d d 2P 22 (I −7) 分别定义为该截面对于z 轴与y 轴的惯性矩以及对坐标原点的极惯性矩。
由图(I −2)可见,222z y +=ρ,所以有⎰⎰+=+==Ayz AI I A z y A ρI )d (d 222P (I −8)即任意截面对一点的极惯性矩,等于截面对以该点为原点的两任意正交坐标轴的惯性矩之与。
另外,微面积d A 与它到两轴距离的乘积zy d A 称为微面积d A 对y 、z 轴的惯性积,而积分Azyd I Ayz ⎰=(I −9)定义为该截面对于y 、z 轴的惯性积。
从上述定义可见,同一截面对于不同坐标轴的惯性矩与惯性积一般就是不同的。
惯性矩00、例题I −1图图I −2的数值恒为正值,而惯性积则可能为正,可能为负,也可能等于零。
惯性矩与惯性积的常用单位就是m 4或mm 4。
§I −3 惯性矩、惯性积的平行移轴与转轴公式一、惯性矩、惯性积的平行移轴公式图I −3所示为一任意截面,z 、y 为通过截面形心的一对正交轴,z 1、y 1为与z 、y 平行的坐标轴,截面形心C 在坐标系z 1O y 1中的坐标为(b ,a ),已知截面对z 、y 轴惯性矩与惯性积为I z 、I y 、I yz ,下面求截面对z 1、y 1轴惯性矩与惯性积I z 1、I y 1、I y 1z 1。
Aa I I z z 21+=(I −10)同理可得Ab I I y y 21+=(I −11)式(I −10)、(I −11)称为惯性矩的平行移轴公式。
下面求截面对y 1、z 1轴的惯性积11z y I 。
根据定义⎰⎰++==AAz y Aa yb z A y z I )d )((d 1111⎰⎰⎰⎰+++=AAAAAab A y b A z a A zy d d d dabA bS aS I zy yz +++= 由于z 、y 轴就是截面的形心轴,所以S z =S y =0,即abAI Iyz z y +=11 (I −12)式(I −12)称为惯性积的平行移轴公式。
二、惯性矩、惯性积的转轴公式图(I −4)所示为一任意截面,z 、y 为过任一点O 的一对正交轴,截面对z 、y 轴惯性矩I z 、I y 与惯性积I yz 已知。
现将z 、y 轴绕O 点旋转α角(以逆时针方向为正)得到另一对正交轴z 1、y 1轴,1z I 1y I 11z y I 。
α2 (I −13) 同理可得 α2 (I −14) (I −15) 式(I −13)、(I −14)。
§I −4 形心主轴与形心主惯性矩一、主惯性轴、主惯性矩图I −3图I −4由式(I −15)可以发现,当α=0o,即两坐标轴互相重合时,yzz y I I =11;当α=90o时,yzz y II -=11,因此必定有这样的一对坐标轴,使截面对它的惯性积为零。
通常把这样的一对坐标轴称为截面的主惯性轴,简称主轴,截面对主轴的惯性矩叫做主惯性矩。
假设将z 、y 轴绕O 点旋转α0角得到主轴z 0、y 0,由主轴的定义2cos 2sin 20000=+-=ααyz yz z y I I I I从而得y z yz II I α--=22tan 0 (I −16) 上式就就是确定主轴的公式,式中负号放在分子上,为的就是与下面两式相符。
这样确定的α0角就使得z I 等于m ax I。
由式(I −16)及三角公式可得2204)(2cos yzy z yz I I I I I +--=α2204)(22sin yzy z yzI I I I +--=α将此二式代入到式(I −13)、(I −14)便可得到截面对主轴z 0、y 0的主惯性矩⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫+--+=+-++=22224)(2124)(21200yzy z y z y yzy z yz z I I I I I I I I I I I I (I −17)二、形心主轴、形心主惯性矩通过截面上的任何一点均可找到一对主轴。
通过截面形心的主轴叫做形心主轴,截面对形心主轴的惯性矩叫做形心主惯性矩。
例题I −5 求例I −1中截面的形心主惯性矩。
解:在例题I −1中已求出形心位置为0=C z ,m323.0=C y过形心的主轴z 0、y 0如图所示,z 0轴到两个矩形形心的距离分别为m 137.0I =a ,m 123.0II =a截面对z 0轴的惯性矩为两个矩形对z 0轴的惯性矩之与,即2II II II 2I I I II I 0a A I a A I I z z z +++=2323123.04.02.0124.02.0137.012.06.01212.06.0⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯=42m 1037.0-⨯=截面对y 0轴惯性矩为4233II I m 10242.0122.04.0126.012.000-⨯=⨯+⨯=+=y y y III第六章梁的应力§6−1 梁的正应力一、纯弯曲与平面假设本节将推导梁弯曲时横截面上正应力的计算公式。
为了方便,我们先研究梁横截面上只有弯矩的情况,这种情况称为“纯弯曲”。
如图6−1所示的梁,在如图所示荷载作用下,中间CD段就属于这种情况,由其剪力图与弯矩图可以瞧到,在CD段内的弯矩M=Fa=常数,而剪力F S等于零。
我们先作如下的实验,,1垂直。
2不计。
二、正应力公式的推导1.几何方面相应的纵向线应变为式(6−的线应变愈大。
2.ε将式E=(6−2) 3.由图6−4可以瞧出,梁横截面上各微面积上的微内力d F N=σd A构成了空间平行力系,它们向截面形心简化的结果应为以下三个内力分量⎰=A AσF dN,⎰=AyAσzM d,⎰=AzAσyM d由截面法可求得该截面上只有弯矩M,即上式中F N,M y均等于零,所以有dN==⎰A AσF(d)d==⎰AyAσzM(e)A图6−4M图图6−1(a)(b)(c)3(b)O(a)mnpqMA σy M Az ==⎰d (f)由式(d)得d d N ===⎰⎰A AρA Ey A σF因E 、ρ为常量,所以有d ==⎰z AS A y (g)即梁横截面对中性轴(z 轴)的静矩等于零。
由此可知,中性轴通过横截面的形心,于就是就确定了中性轴的位置。
由式(e)可得0d d d ====⎰⎰⎰AA Ay A zy ρEA ρEzy A σz M因此d ==⎰yz AI A zy (h)即梁横截面对y 、z 轴的惯性积等于零,说明y 、z 轴应为横截面的主轴,又y 、z 轴过横截面的形心,所以其应为横截面的形心主轴。
最后由式(f)可得MA σy M Az ==⎰d即ρρρσzAAAEI A y EA Ey A y M ====⎰⎰⎰d d d 22式中⎰=Az Ay I d 2就是梁横截面对中性轴的惯性矩。
将上式整理可得z EI M=ρ1(6−3)由式(6−3)可知:曲率与弯矩M 成正比,与EI z 成反比。
在相同弯矩下,EI z 值越大,梁的弯曲变形就越小。
EI z 表明梁抵抗弯曲变形的能力,称为梁的弯曲刚度。
将式(6−3)代入式(6−2),可得z I Myσ=(6−4)这就就是梁在纯弯曲时横截面上任一点的正应力的计算公式。
例题6−1 长为l 的矩形截面梁,在自由端作用一集中力F ,已知h =0、18m,b =0、12m,y =0、06m,a =2m,F =1、5kN,求C 截面上K 点的正应力。
解:先求出将M C 、I z 、y MPa 09.3Pa 1009.3)06.0(10583.0103σ643=⨯=-⨯⨯⨯-==-y I M zCKK 点的正应力为正值,表明其应为拉应力。
/2 /2 例题6−1图8例§6−2 梁的正应力强度条件及其应用一、梁的正应力强度条件最大正应力发生在距中性轴最远的位置,此时max max y I Mσz=而对整个等截面梁来讲,最大正应力应发生在弯矩最大的横截面上,距中性轴最远的位置,即maxmaxmax y I M σz=引用符号m axy I W z z =,则上式可改写成zW M σmax max =(6−5) 式中的W z 叫做弯曲截面系数(或抗弯截面系数),它与梁的截面形状与尺寸有关。