最值问题的常用解法

.
②
由 ①、②解得
-
5 7
≤m
≤-
1 11
.
故 m 的最小值为 -
5 7
,最大值为 -
1 11
.
4 比较法
例 9 有 4 个工厂 A 、B 、C 、D , 且 AB =
a
km , BC =
2 2
a
km , CD =
2 4
a
km , ∠ACB
=
90°, ∠BCD = 120°. 现在要找一个供应站 H
其值 PM = CM = 3 .
则 s = PA + PM = 2 + 3 .
如 图 1 , 作 正 △A′
BC , 设 M′为 A′B 的 中
点 ,则
△PBM ≌△PBM′.
故 PM = PM′.
在 △PAM′中 ,
图1
PA + PM′> AM′.
连结 CM′,则
∠ACM′= 60°+ 30°= 90°,
OP ,并作 AB 的弦心距 OQ , 显然 OP > OQ.
则 A′B′< AB . 因此 , 面积最小的弓形应为弓
形 A′BB′.
因 O 为圆心 , OP = 1 , A′B′⊥OP ,则
A′B′= 2 B′P = 2 B′O2 - PO2 = 2 3 .
而 sin
∠B′O P
=
B′P B′O
=
例 2 设正 △ABC 的边长为 2 , M 是 AB
的中点 , P 是 BC 上任意一点 , PA + PM 的最
大值与最小 值 分 别 记 为 s 和 t . 则 s2 - t2 =
.
(2000 ,全国初中数学联赛)
解 :因为 PA ≤AC ,且当 P 处于 △ABC的
顶点 C 这一极端位置时 ,得到 PM 的最大值 ,
出这块地基, 并求
地基的最大面积
图8
(精确到 1 m2) . 解 :如图 8 ,以直线 BC 、A E 所在直线为 x
轴 、y 轴建立直角坐标系 , BC 、A E 为正方向 , 长度单位为 m ,直线 AB 的方程为
y= -
2 3
x
+ 20.
(1) 当所求的点 F 在 AB 上 ,有
F
x ,20 -
.
(2001 ,全国初中数学竞赛)
解 :作点 Q 关于 x 轴的对称点 Q′, 连结
PQ′、MQ′,则 MP + MQ′≥PQ′. 因此 , MP +
MQ 的最小值为 PQ′. 此时 ,点 Q 的对称点 Q′
的坐标为 (2 , - 1) .
所以直线 PQ′的方程为 y = 2 x - 5.
由此求得
PQ′与
例 1 若 x 、y 、z 是正实数 ,且满足 xyz = 1 ,则代数式 ( x + 1) ( y + 1) ( z + 1) 的最小值 是 ( ) .
(A) 64 (B) 8 (C) 8 2 (D) 2 (2002 ,湖北省黄冈市初中数学竞赛) 解 :设 M = ( x + 1) ( y + 1) ( z + 1) , ①
=
2
2 2
a
+
2 8
a
+
2
6 8
a
=
14 4
a
.
此时 , HA + HB + HC + HD 的最小值为
AC + BD = 2
2+ 4
14 a.
5
例 10 某房地产公司拥有一块“缺角矩 形”荒地 ABCDE ,边 长和方向如图 8. 欲 在这 块 地 上 建 一 座
地基 为 长 方 形 东 西
走向的公寓, 请划
2 3
x
,0 ≤x ≤30.
则 S长方形 = (100 - x)
80 -
20 -
2 3
x
=-
2 3
x2
+
20 3
x
+6
000
=-
2 3
(
x
-
5) 2
+6
016
2 3
.
当 x = 5 时 , y = 20 -
2 3
x≈17.
因此 , S长方形最大值为 6 017 m2.
(2) 当点 F 落在 A E 上 , 显然此时最大矩
3 2
,
故 ∠B′OP = 60°, ∠A′OB′= 120°.
所以
,
S 扇形A′OB′=
120π 360
×22
=
4π 3
,
S △A′OB′=
1 2
A′B′·OP =
3.
因此
,
S 弓形A′BB′=
4π 3
-
3.
2 对称法
例 4 如图 3 , 已知 ⊙O 的半径为 R , C 、 D 是直径 AB 同侧圆周
中 A F = 2 , B F = 1. 在 AB
上的 一 点 P, 使 得 矩 形
PNDM 有最大面积 , 则矩
图5
形 PNDM 面积的最大值是 ( ) .
(A)
8
(B)
12
(C)
25 2
(D)
14
(1996 ,国家理科实验班招生试题)
解 :延长 N P 交 A F 于 G. 则
△PGA ∽ △B FA .
劣弧 AB 组成一个弓形.
图2
求此弓形面积的最小值.
(第 13 届江苏省初中数学竞赛)
分析 :在圆一定的条件下 ,弦越短所对的
圆心角就越小 , 相应的弓形面积就越小. 因
此 ,只要求出经过此点 P 的弦的极端位置 ,
即可求出弓形面积的最小值. 显然 , 过点 P
且垂直于 OP 的弦最短.
解 :如图 2 ,连结 OP. 过点 P 作弦 A′B′⊥
AM′= AC2 + ( CM′) 2 = 7 .
2003 年第 3 期
3
故 PA + PM′的最小值为 7 ,即 t = 7 . 因此 , s2 - t2 = (2 + 3) 2 - ( 7) 2 = 4 3 . 例 3 如图 2 , ⊙O 的半 径 为 2 , ⊙O 内 的 点 P 到圆心 O 的距离 为 1 ,过点 P 的弦 AB 与
则 M
=
M 1
=
( x + 1) ( y + 1) ( z + 1) xyz
=
x
+ 1·y
x
+ 1·z
y
+1 z
=
1+
1 x
1
+
1 y
1
+
1 z
.
②
由 ①、②得
M2 =
1
+
1 x
1
+
1 z
( x + 1)
1
+
1 y
( z + 1)
( y + 1) ·
=
x+

1 x
+2
y+
1 y
+2
收稿日期 :2003 - 02 - 24
≥BN1 ≥B H. 因此 , BM + MN 的最小值为点 B 到 AB1
的距离.
在 Rt △ABC 中 ,
4
中等数学
BQ
=
AB ·BC
AC
=
4
5 , BB1 = 2 BQ = 8
5.
在 Rt △ABQ 中 ,
AQ = AB2 - BQ2 = 8 5 .
在 △ABB1 中 ,
BH
=
AQ·BB 1
x
轴交点横坐标为
5 2
.
3 构造法
有些最值题目的已知条件与未知条件之
间的关系比较隐蔽 ,需要通过构造搭建桥梁 ,
使问题解决的途径明朗化. 具体来说 ,构造的
方法有数数联想构造 ,有形形联想构造 ,还有
数形联想构造.
例 7 如图 5 ,已知边
长为 4 的正方形截去一
角成为五边形 ABCDE , 其
z+
1 z
+2
.
但
x
+
1 x
+2=
x
-
2
+
1 x
+4
=
x-
1
2
+ 4.
x
显然 ,
x- 1
2
的最小值为 0.
x
故
x-
1
2
+ 4 ≥4 ,
x
当 x = 1 时 ,等号成立.
x
所以 , x = 1.
因此 , M2 ≥4 ×4 ×4 = 64 ,最小值为 64.
此时 , x = y = z = 1 , M 取得最小值 8.
BQ ⊥AC 于 Q , 并延长
BQ 交 AB 1 于 B1 ; 作 N P ⊥AC 于 P , 并延长
N P 交 AB1 于 N1 , 则点
图4
B1 与点 B 、点 N1 与点 N 关于 AC 对称. 作
B H ⊥AB1 于 H. 易知 △MPN ≌△MPN1. 故 MN1 = MN . 所以 , BM + MN = BM + MN1
H′C 、H′D. 则
图6
H′B + H′C > BC ,
H′A + H′D > CA + CD.