有限元例子

{cosh[am (a−|
y0
−
y|)]
+ cosh[αm (α − ( y0 + y))]}
非稳定流解为：
∑ H ( x ,
y,t)
=
H(x,
y,∞)
+
2Q a2T
∞ m=1
exp(−Tam2 t
a
2 m
/
S )σ(am ,
x,
x0 )
∑ ∑ +
4Q a2T
∞ m=1
∞ n=1
exp ( − Trm2,n t rm2,n
图 1 计算简图
图 2 计算剖分图
计算结果文件 NODE NO 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
WX -0.566702E-08 -0.113487E-07 -0.168416E-07 -0.220905E-07 -0.270217E-07 -0.315560E-07 -0.356141E-07 -0.391179E-07 -0.419879E-07 -0.441365E-07 -0.455015E-07 -0.274740E-08 -0.557603E-08 -0.834469E-08 -0.109851E-07 -0.134591E-07 -0.157275E-07 -0.177441E-07 -0.194496E-07 -0.207653E-07 -0.216040E-07 -0.219679E-07
性较弱，K2 = 1m / d 。从平面上来看，含水系统为一正方形，和前述二维承压地下水水流模型算例相同(见图 2.6-1)，边长ａ为 1200m，
东、西部边界 BC 和 AD 为两条水头均为 H1的河流，切割三个含水层，南，北部边界 AB 和 CD 为不透水边界，在含水层的中心有一
抽水井，并且只从上层抽水。含水层剖面结构如图 2，含水系统的上、下均为不透水层。定解问题描述如下:
1)．二维承压地下水水流模型算例
假设承压含水层区域是一边长为 a 的正方形，东西边界为定水头边界，水头为 H1，南北边界为隔水边界，区域中心有一抽水井以
流量 Q 抽水，承压含水层的导水系数为 T。
稳定流定解问题如下：
T
∂2 H ∂x 2
+
T
∂2 H ∂y 2
−
Qδ( x
−
x0 ,
y
−
y0 )
=
0
(x, y) ∈G
58 98.391 98.383 0.008
59 97.554 97.645 0.091
60 96.324 96.567 0.243
127 95.496 95.593 0.097
表 2a 二维承压非稳定流水头解析解和有限元解对比表
61 92.387 92.396 0.009
(T=100.0,S=1.0E-4,Time=1.0)
0.050
1.000 98.393 98.406
0.013
2.000 98.391 98.386
0.005
4.000 98.391 98.384
0.007
7.000 98.391 98.384 0.007
10.000 98.391 98.384 0.007
2)．三维承压地下水水流模型算例
所考虑的承压含水系统有三个水平层，每层厚度为 20m，上、下两层为导水性较强的含水层， K1 = K3 = 10m / d ，中间一层导水
56 99.996 99.687 98.970 98.810 99.996 99.686 98.970 98.810 99.996 99.687 98.970 98.810 99.996 99.686 98.970 98.810
57 99.982 99.289 97.868 97.557 99.982 99.289 97.868 97.557 99.983 99.290 97.868 97.558 99.983 99.289 97.868 97.558
152 100.000 100.000
0.000
56 99.556 99.504
0.052
57 99.039 98.981
0.047
58 98.393 98.391 0.002
59 97.556 97.654 0.098
60 96.326 96.577 0.251
127 95.498 95.603 0.105
H(x,
y , t )| AD
=
H(x,
y , t )| BC
=
H1
(6)
∂H | = ∂H | = 0 ∂n BC ∂n AB 此两个定解问题的解析解由 Chan，Mullineux 和 Reed(1976)给出
稳定流解为：
∑ H ( x ,
y,∞)
=
H1
−
Q aT
∞ m=1
s(am , x, x0 ) am sinh(ama)
0.880218E-10 0.692376E-10
WY 0.284110E-06 0.277090E-06 0.265805E-06 0.250302E-06 0.230758E-06 0.207440E-06 0.180684E-06 0.150885E-06 0.118452E-06 0.836906E-07 0.464555E-07 0.284613E-06 0.277685E-06 0.266399E-06 0.250872E-06 0.231293E-06 0.207928E-06 0.181109E-06 0.151226E-06 0.118702E-06 0.839384E-07 0.472553E-07 0.284767E-06 0.277941E-06
61 83.275 78.395 75.084 74.451 84.269 79.369 76.055 75.422 96.529 92.329 89.022 88.389 97.023 92.891 89.589 88.957
例 简支梁受均布荷载
计算简图：图 1-(a)所示一简支梁，高 3 m，长 18 m，承受均布荷载 10 N/m2，E=2×1010Pa ,μ= 0. 167， 取 t=1 m,作为平面应力问题。由于对称，只对右边一半进行有限单元法计算，如图 1-(b)所示，而在 y 轴上的各结 点处布置水平连杆支座。
58 99.929 98.673 96.577 96.135 99.930 98.677 96.584 96.142 99.934 98.685 96.593 96.151 99.934 98.686 96.599 96.159
59 99.707 97.585 94.891 94.345 99.710 97.592 94.900 94.355 99.749 97.655 94.965 94.420 99.748 97.659 94.974 94.430
25
0.114365E-10
26
-0.465731E-10
27
-0.970630E-10
28
-0.138932E-09
29
-0.164633E-09
30
-0.152922E-09
31
-0.666807E-10
32
0.123645E-09
33
0.348329E-09
34
0.290915E-08
35
0.568377E-08
在计算时，正方形的边长ａ为 1200m，计算剖分图见图 1，T 的单位为[m2 / day]，S 为无量纲变量，H 的单位为[m]，Q 的单位为[m3 / day]，
确定性模型计算时 H1 = 100.0m，Q=1000.0m3 / day。
D
C
A
B
图 1 地下水水流模型平面有限元剖分
Fig.1 FEM mesh of groundwater flow model in horizontal direction
S ∂H ∂t
=
∂ ∂x (K x
∂H ∂x
)
+
∂ ∂y
(
K
y
∂H ∂y
)
+
∂ ∂z
(
K
z
∂H ) −W ∂z
(x, y, z) ∈G,t > 0
(49)
H( x, y, z,0) = H1 ( x, y, z) ∈G ,t = 0
(50)
H( x, y, z, t )|Γ1 = H1 ( x, y, z) ∈Γ1, t > 0
36
0.834360E-08
37
0.108786E-07
38
0.132569E-07
39
0.154393E-07
40
0.173892E-07
41
0.190758E-07
42
0.204751E-07
43
节点号
0.1 天水头 1.0 天水头 10.天水头 稳定水头
0.1 天水头 1.0 天水头 10.天水头 稳定水头
0.1 天水头 1.0 天水头 10.天水头 稳定水头
0.1 天水头 1.0 天水头 10.天水头 稳定水头
表 3 三维承压地下水水流问题有限元计算结果
152 100.000 100.000 100.000 100.000 100.000 100.000 100.000 100.000 100.000 100.000 100.000 100.000 100.000 100.000 100.000 100.000
初始水位 隔水层
第1含水层 第2含水层 第3含水层
隔水层