教师资格证高中数学讲义

第一讲应试攻略

一、考情分析

数学学科知识与教学能力是高中学段教师资格统考科目三的考试科目，主要考查申请教师资格人员数学专业领域的基本知识，教学设计、实施、评价的知识和方法，运用所学知识分析和解决教育教学实际问题的能力。

考试内容：数学学科知识、课程知识、教学知识、教学技能

试题题型：选择题、简答题、解答题、论述题、案例分析题、教学设计题

二、题型解读

(一）单项选择题

主要考查学科知识和课程知识，知识点覆盖范围比较广。

在历年考试真题中，学科知识6-7道，课程与教学知识1-2道。

（二）简答题

简答题稳定在5题，前面3题一般是学科知识，后面2题是课程知识与教学知识，总分值35分。

（三）解答题

一般考大学数学专业基础课程相关知识，分步骤给分，如果不能够完全解答，只要会的步骤，都要写在试卷上，阅卷老师看见答案中有相关步骤，都会给相应的分数。

（四）论述题

一般考课程知识、教学知识、教学技能。在答题时一般需要提出论点，并用论据进行论证，最后得出结论。

(五）案例分析题

一般考查教学知识或教学技能。案例分析题是给出教学片段，然后提出问题，在问题中要求考生阅读分析给定的资料，依据一定的理论知识，或作出决策，或给出评价，或提出具体的解决问题的方法或意见等。

（六）教学设计题

给出一个课题，按要求进行设计。一般从教学目标、教学重难点、教学过程几个问题进行考查。

三、备考策略

（一）研究真题，把握考试脉搏

考纲是了解考点的依据，真题是掌握考情的关键。对照教师资格考试大纲和近几年考试真题，也可参照“考情分析”与“题型解读”。

（二）学记结合，强化记忆效果

利用笔记将“厚”书读“薄”，提高学习效率。

1、对教材的重点内容做摘要笔记，概括其要点。

2、复习过程中在教材相应位置做好批注，加强记忆。

3、对所学内容做好心得笔记，将学习过程中的思考、分析、体会等随手记下来，巩固对知识点的理解。

（三）系统总结，梳理知识脉络

在理解的基础上系统梳理每个模块知识的脉络，整理出清晰明了的框架结构，加强识记效果，以便在考试中看到相关题目时能快速在脑中搜索到相关知识点，得出合理的答案。

（四）强化练习，及时查漏补缺

多做练习是检测复习效果的有效手段。进行适当的练习，以及时查看对所学知识点的掌握情况，对记忆模糊的知识点重新记忆，对薄弱环节进一步巩固，查漏补缺，科学备考。

第二讲考试大纲

一、考试目标

1、学科知识的掌握和运用。

掌握大学本科数学专业基础课程的知识、高中数学的知识。

2、高中数学课程知识的掌握和运用。

理解高中数学课程的性质、基本理念和目标，熟悉《义务教育数学课程标准》规定的教学内容和要求。

3、数学教学知识的掌握和应用。

理解有关的数学教学知识，具有教学设计、教学实施和教学评价的能力。

二、考试内容模块与要求

（一）学科知识

大学本科数学专业基础课程：数学分析、高等代数、解析几何、概率论与数理统计。

包括数列极限、函数极限、连续函数、一元函数微积分、向量及其运算、矩阵与变换。

要求：准确掌握基本概念，熟练进行运算，并能够利用这些知识去解决中学数学的问题。

高中数学知识：高中数学课程中的必修内容、选修课中的系列1、2的内容以及选修3—1（数学史选讲），选修4—1（几何证明选讲）、选修4—2（矩阵与变换）、选修4—4（坐标系与参数方程）、选修4—5（不等式选讲）。

要求：理解高学数学中的重要概念，掌握高学数学中的重要公式、定理、法则等知识，掌握中学数学常见的数学思想方法，具有空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力以及综合运用能力。

（二）课程知识

1、了解高中数学课程的性质、基本理念和目标。

2、熟悉《新课标》所规定的教学内容的知识体系，掌握《新课标》对教学内容的要求。

3、能运用《新课标》指导自己的数学教学实践。

（三）教学知识

1、掌握讲授法、讨论法、自学辅导法、发现法等常见的数学教学方法。

2、掌握概念教学、命题教学等数学教学知识的基本内容。

3、了解包括备课、课堂教学、作业批改与考试、数学课外活动、数学教学评价等基本环节的教学过程。

4、掌握合作学习、探究学习、自主学习等中学数学学习方式。

5、掌握数学教学评价的基本知识和方法。

（四）教学技能

1、教学设计

a、能够根据学生已有的知识水平和数学学习经验，准确把握所教内容与学生已学知识的联系。

b、能够根据《课标》的要求和学生的认知特征确定教学目标、教学重点和难点。

c、能正确把握数学教学内容，揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质、渗透数学思想方法，体现应用与创新意识。

d、能选择适当的教学方法和手段，合理安排教学过程和教学内容，在规定的时间内完成所选教学内容的教案设计。

2、教学实施

a、能创设合理的教学情境，激发学生的数学学习兴趣，引导学生自主探索、猜想和合作交流。

b、能依据数学学科特点和学生的认知特征，恰当地运用教学方法和手段，有效地进行数学课堂教学。

c、能结合具体数学教学情境，正确处理数学教学中的各种问题。

3、教学评价

a、能采用不同的方式和方法，对学生知识技能、数学思考、问题解决和情感态度等方面进行恰当地评价。

b、能对教师数学教学过程进行评价。

c、能够通过教学评价改进教学和促进学生的发展。

三、试卷结构

四、题型示例

1、单项选择题

a、学科知识模块

b、课程与教学知识模块

在某次测试中，用所有参加测试学生某题的平均分除以该题分值，得到的结果是（B）（2016年下半年真题）

A.区分度

B.难度

C.信度

D.效度

区分度：把不同水平的人区分开来。

信度：测试结果的一致性、稳定性及可靠性。

效度：所测量到的结果反映所想要考察内容的程度。

2、简答题

以“二项式定理”的教学为例，阐述数学定理教学的基本环节。（2016年下半年真题）

解题思路：（1）介绍定理的背景或特殊情形。

（2）了解定理的内容，理解定理的含义，认识定理的条件和结论，能够解决什么问题。

（3）定理的证明或推导过程：学生与老师一起研究证明方法，如不需证明，学生根据老师提供的材料体会定理规定的合理性。

（4）熟悉定理的使用。

（5）引申和拓展定理的运用。

3、解答题

设函数f(x)=x2在R上连续且可导。

（1）当f(x)=x2，且g(x)=exf(x)时，求证f(x)与g(x)有共同驻点。

（2）当f(a)=f(b)=0(a

4、论述题

函数的单调性是刻画函数变化规律的重要概念，也是函数的一个重要性质。

（1）请叙述函数严格单调递增的定义，并结合函数单调性的定义，说明中学数学课程中函数单调性与哪些内容有关（至少列举两项内容）。

（2）请列举至少两种研究函数单调性的方法，并分别简要说明其特点。（2016年下半年真题）

5、案例分析题

概念同化指从已有概念出发，理解并接纳新概念的过程，实质是利用演绎方式理解和掌握概念。由于数学中大多数概念是以属概念加种差的方式定义的，所以适宜采用概念同化的方式进行教学。以“奇函数，，概念教学为例简要说明概念同化的教学模式：

(1)向学生提供“奇函数”概念的定义

(2)解释定义中的词语、符号、式子所代表的含义

突出概念刻画的是：对定义域中的任意一个自变量，考察χ与-χ对应的函数值f(χ)与f(-χ)之间的关系以f(-χ)=-f(χ)。因此函数的定义域应该关于原点对称，满足这个条件后再考察f(-χ)=-f(χ).

(3)辨别例证，深化概念

教师向学生提供丰富的概念例证，例证中以正例为主，但也要包合适"-3的反例，尤其是一些需要考察隐含条件的例子。

(4)概念的运用

提供各种形式来运用概念，达到强化对概念的理解，促进概念体系的建构的目的，可以利用个别有一定综合性但难度不大的问题。

问题：(1)请举出反例说明(3)辨别例证，深化概念。(5分)

(2)请举例补充(4)概念的运用。(5分)

(3)请结合案例，总结出概念同化的教学模式的过程。(10分)

6、教学设计题

“对数的概念”是高中数学教材中的重要概念。教师在教学中，应基于课程标准和学生学情，确定教学目标，实现教学重点，突破教学难点，设计教学方法、教学过程、师生活动和教学评价等。

请完成下列任务：

（1）设计“对数的概念”的教学目标；

（2）写出“对数的概念”的教学重点和难点；

（3）设计“对数的概念”的引入过程（要求能够让学生认识到引入对数的概念的必要性）。（2016年下半年真题）

第一部分数学学科知识

第三讲

第一章、数学分析

考点：1、掌握数列极限与函数极限的定义

2、求极限的方法

3、导数与微分的应用

4、求解定积分与不定积分

5、能够运用微积分基本定理求解问题

1、数列极限的定义：

设{Xn} 为实数列，a 为定数．若对任给的正数ε，总存在正整数N，使得当n>N 时有∣Xn-a∣<ε则称数列{Xn} 收敛于a，定数 a 称为数列{Xn} 的极限，并记

作或Xn→a（n→∞）

读作“当n 趋于无穷大时，{Xn} 的极限等于或趋于a”．

若数列{Xn} 没有极限，则称{Xn} 不收敛，或称{Xn} 为发散数列．

该定义常称为数列极限的ε—N定义．

对于收敛数列有以下两个基本性质，即收敛数列的唯一性和有界性。

定理1：如果数列{Xn}收敛，则其极限是唯一的。

定理2：如果数列{Xn}收敛，则其一定是有界的。即对于一切n（n=1,2……），总可以找到一个正数M，使|Xn|≤M。

2、函数极限的定义：

设f(x)在x0点附近（除x0点以外）有定义，A是一定数，若对任意给定的ε>0，存在δ>0

当的时候，有

则称A是函数f(x)当x趋于xo的时候的极限，

记为或者记为：

3、求极限的一般方法：

⑴直接代入法。以x=x0代入f(x)，如f(x0)有意义，则极限为f(x0)

⑵约分法。如f(x)为分式，且分子、分母可约分，约分后所得的式子g (x0)有意义，则函数极限为g (x0)。

⑶有理化法。如f(x)为分式，且分子、分母中其一为无理式，可将其有理化后再约分，如所得g (x0)有意义，则极限为g (x0)。

⑷若x→∞，f(x)为分式，分子、分母均为多项式时，可将分子、分母同除以x 的最高次幂，再逐项求极限。

4、导数的应用

（1）求可导函数f(x)极值的步骤：

f'(x);

f'(x)=0的根；

f'(x)在方程f'(x)=0的根的左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y=f(x)在这个根处取得极大值；如果在根的右侧附近为正，左侧附近为负，那么函数y=f(x)在这个根处取得极小值。

（2）函数的最大值和最小值

设y=f(x)是定义在区间[a,b]内有导数，求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值，可分两步进行：

y=f(x)在（a,b)内的极值；

y=f(x)在各极值点的极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。

若函数f(x)在[a,b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a,b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值。5、微分学基本定理

拉格朗日（Lagrange）中值定理

这个定理也称为微分学的中值定理，它是微分学中的一个很重要的定理。

设函数 f (x) 满足：

(i) f(x) 在闭区间[a, b] 上连续;

(ii) f(x) 在开区间(a, b) 内可导.

那么在开区间（a,b）内至少存在一点, 使得

-----拉格朗日公式.

注：当f(a)=f(b)时，拉格朗日定理就是罗尔定理，可见，罗尔定理是拉格朗日定理的一个特例.

罗尔( Rolle ) 定理

Y=f(x)满足:

(1) 在区间[a , b] 上连续

(2) 在区间(a , b) 内可导

(3) f ( a ) = f ( b )

在( a , b ) 内至少存在一点

柯西中值定理

设函数f(x), g(x) 在区间[a,b]上满足

1) f(x) , g(x) 在闭区间[a, b] 上连续;

则在开区间（a,b）内必定(至少) 存在一点, 使得

三者关系

第四讲

第二章高等代数

考点：1、掌握矩阵、行列式的性质，求解线性方程组的方法。

2、会化二次型为标准型，会判断二次型的正定性。

3、了解线性空间的定义及简单性质，线性变换的定义、性质及欧氏空间的一些概念。

考点聚焦：1、本章知识在历年考试中大多以选择题和解答题的形式出现。

2、在历年考试中，行列式的计算和性质、克莱姆法则、矩阵的概念及运算、矩阵的性质、线性空间的定义及简单性质是考查的重点，考生在复习这部分知识的时候，要注意多加练习，在掌握理论的基础上灵活运用。

1、行列式的性质：

性质1：行列互换，行列式不变。

性质2：

即一行的公因子可以提出去，或者说以一数乘行列式的一行相当于用这个数乘此行列式。

性质3：

即如果某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，而这两个行列式除这一行以外全与原来行列式的对应的行一样。

性质4：如果行列式中有两行相同，那么行列式为零。所谓两行相同就是说两行的对应元素都相等。

性质5：如果行列式中两行成比例，那么行列式为零。

性质6：把一行的倍数加到另一行，行列式不变。

性质7：对换行列式中两行的位置，行列式反号。

2、矩阵：

（1）定义：由mxn个数aij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)排成m行n列的数表，

叫做m行n列矩阵，简称mxn矩阵。这mxn 个数叫做矩阵A的元素，aij叫做矩阵A的第i行第j列的元素。

上述的矩阵A也简记为A=(aij)mxn或A=(aij)

mxn矩阵A也记为Amxn

（2）矩阵的加法：两个m行n列矩阵A=(aij)mxn ，B =(bij)mxn 对应位置相加得到的m行n列的矩阵，称为矩阵A与矩阵B的和，记为A+B，即

注意：只有当两个矩阵是同型矩阵时，这两个矩阵才能进行加法运算。

矩阵加法的运算律：

由此规定矩阵的减法为

（3）数与矩阵相乘：以数λ乘矩阵A的每一个元素所得到的矩阵称为数λ与矩阵A的积，记作λA或Aλ，如果A=(aij)mxn ，那么

数乘矩阵的运算规律：

注意：矩阵的数乘与行列式的数乘是不一样的，矩阵的数乘是数乘矩阵每一个元素，行列式的数乘是数乘行列式的某行（某列）的每一元素。

矩阵的特征值与特征向量

定义设A是n阶方阵，如果数λ和n维非零列向量x使关系式Ax=λx (1)成立，那么这样的数λ称为矩阵A特征值，非零向量x称为A的对应于特征值λ的特征向量．（1）式也可写成，( A-λE)X=0 (2)

这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式| A-λE|=0 , (3)

3、线性空间

定义：设V是一个非空集合，R为实数域．如果对于任意两个元素

总有唯一的一个元素与之对应，称为α与β的和，记作? = α+ β。若对于任一数与任一元素，总有唯一的一个元素

与之对应，称为λ与α的积，记作δ=α+λ。

如果上述的两种运算满足以下八条运算规律，那

么V就称为数域R上的向量空间（或线性空间）．

3、线性空间

线性空间的性质：1．零元素是唯一的．

2．负元素是唯一的．向量α的负元素记为—α

4．如果λα=0则λ=0或α=0 .

4、欧氏空间的定义

设V是实数域R上的线性空间，对V中任意两个向量α、β，定义一个二元实函数，记作

（α、β）若（α、β）满足性质：

则称（α、β）为α和β的内积，并称这种定义了内积的

实数域R上的线性空间V为欧氏空间.

考试真题

下列命题正确的是（）（2016年下半年真题）

A.若三阶行列式D=0，那么D中有两行元素相同

B.若三阶行列式D=0，那么D中有两行元素对应成比例

C.若三阶行列式D中有6个元素为零，则D=0

D.若三阶行列式D中有7个元素为零，则D=0

解析：三阶行列式D中若7个元素为零，则至少有一行（或列）的元素全是零，所以它的值为0.

第五讲

第三章空间解析几何

1、空间直角坐标系及有关概念

(1)空间直角坐标系：以空间一点O为原点，建立三条两两垂直的数轴：x轴，y轴，z轴．这时建立了空间直角坐标系Oxyz，其中点O叫做原点．x轴，y轴，z轴统称坐标轴．由坐标轴确定的平面叫做坐标平面．

(2)空间一点M的坐标为有序实数组(x，y，z)，记作M(x，y，z)，其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标．

2、空间向量的有关定理

(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λ b.

(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量c与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使c＝xa＋yb.

3．空间向量的数量积及运算律

(1)数量积及相关概念

①两向量的夹角

②两向量的数量积

已知空间两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a,b〉．

(2)数量积的运算律

①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；

②交换律：a·b＝b·a；

③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.

4．空间向量坐标表示及应用

(1)数量积的坐标运算

若a ＝(a1，a2，a3)，b ＝(b1，b2，b3)，则a ·b ＝ a1b1+a2b2+a3b3 (2)共线与垂直的坐标表示

设a ＝(a1，a2，a3)，b ＝(b1，b2，b3)，则a ∥b ?a ＝λb ?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3，a ⊥b ?a ·b ＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a ，b 均为非零向量)．

5、两平面的相关位置

定义两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角.（通常取锐角）

按照两向量夹角余弦公式有

,0:11111=+++∏D z C y B x A },,,{1111C B A n =

,0:22222=+++∏D z C y B x A },

,,{2222C B A n =

（两平面夹角余弦公式） 两平面位置特征：

2

1)1(∏⊥∏;

0212121=++??C C B B A A

.

2

1

2121C C B B A A ==??

6、直线与平面的关系

定义：直线和它在平面上的投影直线的夹角 称为直线与平面的夹角．

设

,:

00p z z n y y m x x L -=-=-

2

1)2(∏∏//

,0:=+++∏D Cz By Ax

直线与平面的夹角公式

2

2

2

2

2

2

||sin p

n m C B A Cp Bn Am ++?++++=

?7、空间两直线的相关位置

定义：两直线的方向向量的夹角称之为该两直线的夹角.（锐角）

设：L1:

,1

1

1111p z z n y y m x x -=-=-

L2:,22

2222p z z n y y m x x -=-=-

两直线的位置关系：