第二讲：线性规划算法
第二章 线性规划课件
be max bi bi 0
是没
所有a i k 0
有
否
最 优
计算
min
bi a ik
a ik
0
be aek
解
没是
有
所有 a e j 0
最 优
否
解
计算
min
i aej
aej
<0
k aek
以为中心元素进行迭代
以为中心元素进行迭代
例6 用单纯形表求解例1。（见书P25） 解 已知该问题的标准型为:
§1 对线性规划的回顾
非标准形式化为标准形式总结
线性规划模型
变量 Xj≥0
Xj≤0
Xj无约束
约 右端 bi≥0
束项 条
bi<0
件 形式 ai1x1+…+ainxn =bi
ai1x1+…+ainxn ≤bi
ai1x1+…+ainxn ≥ bi 目标函数 max z= c1x1+…+cnxn
min z= c1x1+…+cnxn
Y*分别是问题 P和D 的最优解。
【性质4】 (强对偶性) 原规划与对偶规划同有最优解，且两者最优值相等。
【性质5】互补松弛定理：设X、Y各为原规划与对偶规划的一个可行解，则X、Y为最
优解的充分必要条件为 Y XS = YS X = 0。 【性质6】 (基解对应性) 原规划单纯形表中检验数行对应对偶规划的一个基解。
推论⑴.若X和Y分别是问题（P）和（D）的可行解，则 CX是（D）的目标函数最小 值的一个下界；Yb是（P）的目标函数最大值的一个上界。
推论⑵.在一对对偶问题（P）和（D）中，若其中一个问题可行但目标函数无界，则 另一个问题不可行；反之不成立。这也是对偶问题的无界性。
第二讲线性规划算法
bi xk yik
注意：xBr=0
3. 基变换——转轴变换
新可行解：x‘=(xB1,…xBr-1,0,xBr+1,…,xBm,0,…，0,xk,0,…，0)
可以证明此解为新的基本可行解。这是因为原来的基 PB1,…,PBm线性无关，而yk=B-1Pk,故Pk=Byk=∑yikPBi， 而PBr的系数yrk≠0，
maxZ=CTX s.t.AX=b X ≥0
A=(B,N)
cB xB C x cN xN
s.t.
Bx B +Nx N =b x0
max z s.t. Bx B +Nx N =b
T z＝cT x +c B B N xN
z
xB
xN
右端项
0 1
B cB
矩阵式： maxZ=CTX
AX=b
X ≥0
线性规划解的概念
若A = ( B, N )， 其中B ( P 1, P 2 , …，Pm )可逆，称B为基矩阵 x1 x2 xB 相应地X＝ , x B为基变量，x N为非基变量 xN xn xB 代入约束：(B,N) b,即Bx B +Nx N =b, x B＝B-1b-B 1Nx N xN
3. 基变换——转轴变换
取某一非基变量xk→换入基（即让xk>0，其余非基变量仍为0） 同时，再从基变量中换出一个变量xBr→作为非基变量。
如何求换入变量xk和换出变量xBr？K=?，r=?
选 k max{ j | j 0}, 令xk 0, 其余非基变量＝0
jR
由AX=b, xB＝B-1b-B1Nx N
线性规划的定义及解题方法
线性规划的定义及解题方法线性规划是一种数学建模技术，旨在解决在约束条件下，寻求最优解的问题。
它的实际应用十分广泛，例如管理学、经济学、物流学等领域。
线性规划可以分为单目标和多目标两种，但其中比较常见的是单目标线性规划。
本文将从线性规划的定义、模型建立、求解方法等方面阐述其原理与应用。
一、线性规划的定义线性规划的定义是：在有限约束条件下，目标函数为线性的最优化问题。
它通过数学模型的建立，将涉及到的变量、约束条件与目标函数转化为线性等式或不等式的形式，从而寻找最优解。
通常，线性规划的目标是最大化或最小化某个变量，可以用以下的形式去表示：$$Z=C_1X_1+C_2X_2+……+C_nX_n $$其中，$Z$为目标函数值，$X_1, X_2,……,X_n$为待求变量，$C_1, C_2,……,C_n$为相应的系数。
在线性规划中，会涉及到许多变量，这些变量需要受到一些限制。
这些限制可以用不等式或等式来表示，这些方程式被称为约束条件。
例如：$$A_1X_1+A_2X_2+……+A_nX_n≤B$$$$X_i≥0, i=1,2,……, n $$这两个方程就代表了一些约束条件，例如目标函数系数的和不能超过某个值，若$X_i$为生产的产品数量，则需保证产量不能小于零等。
这些约束条件用于限制变量的取值范围，而目标函数则用于求解最优解。
二、线性规划的模型建立在建立线性规划模型时，需要考虑几个要素：1. 决策变量：它是模型求解的关键。
决策变量是指在模型中未知的数量，也就是需要我们寻找最优解的那些变量。
2. 目标函数：确定目标函数，既要知道最大化还是最小化，还要知道哪些变量是影响目标函数的。
3. 约束条件：约束条件通常是一组等式或不等式，代表问题的限制。
例如在一个工厂中最大的生产量、原材料的数量限制、人工的数量等等，这些都是约束条件。
4. 模型的参数：模型参数是指约束条件的系数和模型中的常数。
它们是从现实问题中提取出来的，由于模型的解法通常是数学的，因此需要具体的数值。
第2章 线性规划原理与解法
（1）最优解的判定定理： 对于一个基可行解，如果其所有非基变量的检验数 j 0 ， 则该解称为最优解。 （2）唯一最优解：所有非基变量的检验数都 < 0 （3）无穷多最优解： 已经是最优解，有某个非基变量的检验数 = 0
（4）无界解判定定理： 对于一个基可行解，其非基变量中有某个 m k 0 ， 同时它对应的系数列向量所有的 ai ,mk 0 ， 则该线性规划问题具有无界解。
x1
二、一般线性规划问题的求解基础
max z 2 x1 3 x2 0 x3 0 x4 0 x5 x1 2 x2 x3 8 （2）换出变量的确定 4 x1 x4 16 4 x2 x5 12 为了确保所有的变量均为非负，需确定换入变量的值为：
3、基变换
bi' ' bl' xk min ( ' aik 0) ' i aik alk
得: z 2 x1 9 3 4 x5 0 9 2 x1 3 4 x5
将式（2-5）代入目标函数
0 16 4 x1 0 x5
一、举例说明
步骤4 重复步骤2、3，直到目标函数中非基变量的系数均为负，无改进可能， 即找到最优解 本例依次向下迭代得到的基可行解分别为：
1确定初始可行解2解的最优性的判断3基变换换入和换出变量的确定1检验数单纯形表的矩阵表述3218141314161221812123人工变量及其处理二两阶段法三线性规划问题的各种情况讨论当约束条件出现或时不能直接找到单位矩阵如下例例22
第二章 线性规划原理与解法
§2-1 线性规划求解原理 §2-2 单纯形方法 §2-3 人工变量及其处理
线性规划原理与解法
c1 b1 a1,m 1 xm 1 a1,m 2 xm 2 ... a1n xn
z c1b1 c2b ... cmbm
cm1 ci ai,m1
i 1
m
cm 1 c1a1, m 1 c2 a2, m 1 ... cm am , m 1 xm 1 c c a i i ,m 2 m 2
i 1
对增广矩阵 作初等行变换 将基变为单位阵
1 0 0
x2 0 ... 0 a1, m 1 ... a1n b : 1 1 ... 0 a2, m 1 ... a2 n b xm 2 ...... x : m 1 bm 0 ... 1 am, m 1 ... amn : x n
第一节 线性规划求解原理
5）若约束条件为“≥”，“≤”和“=”的混合性， 则综合应用以上方法，确定初始基。
max z 3 x1 4 x2 例： x1 2 x2 ≤8 4 x ≤16 1 s.t. 4 x2 ≤12 x1 , x2≥0 max z 3x1 4 x2 0 x3 0 x4 0 x5 =8 x1 2 x2 x3 4 x x4 =16 1 s.t. x5 12 4 x2 x1 , x2 , x3 , x4 , x5≥0
xi bi
j m 1
a x (i 1, 2,..., m)
ij j
n
x1 b1 a1,m1 xm1 a1,m2 xm2 ... a1n xn x2 b2 a2,m1 xm1 a2,m2 xm2 ... a2 n xn ...... xm bm am,m1 xm1 am,m 2 xm 2 ... amn xn
线性规划知识点
线性规划知识点线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
它在各个领域都有广泛的应用，如生产计划、资源分配、物流管理等。
本文将详细介绍线性规划的基本概念、模型建立、求解方法以及应用案例。
一、基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或最小化一个线性函数，称为目标函数。
目标函数通常表示为Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙ，其中c₁、c₂、...、cₙ为系数，x₁、x₂、...、xₙ为决策变量。
2. 约束条件：线性规划的决策变量需要满足一系列线性约束条件，通常表示为a₁x₁ + a₂x₂ + ... + aₙxₙ ≤ b，其中a₁、a₂、...、aₙ为系数，b为常数。
3. 可行解：满足所有约束条件的解称为可行解。
可行解构成了可行域，即决策变量的取值范围。
4. 最优解：在所有可行解中，使目标函数取得最大或最小值的解称为最优解。
最优解可能是唯一的，也可能存在多个。
二、模型建立1. 决策变量：线性规划的决策变量是问题中需要决策的量，通常表示为x₁、x₂、...、xₙ。
2. 目标函数：根据问题的具体要求，确定目标函数的系数。
如果是最大化问题，系数一般为正；如果是最小化问题，系数一般为负。
3. 约束条件：根据问题中的限制条件，建立线性约束条件。
将约束条件表示为不等式形式，并确定各个约束条件的系数和常数。
4. 可行域：根据约束条件的线性不等式，确定决策变量的取值范围，即可行域。
三、求解方法1. 图解法：对于二维问题，可以使用图解法求解。
将目标函数和约束条件绘制在坐标系中，通过图形的交点确定最优解。
2. 单纯形法：对于高维问题，单纯形法是最常用的求解方法。
它通过迭代计算，逐步优化目标函数的值，直到找到最优解。
3. 整数规划：当决策变量需要取整数值时，可以使用整数规划方法求解。
整数规划是线性规划的扩展，增加了变量取整的限制条件。
四、应用案例1. 生产计划：某公司有限定的资源和订单需求，需要确定各个产品的生产数量，以最大化总利润为目标。
第二章线性规划知识课件
方案 x1 x2 x3 x4 x5
2.9米 1 2 0 1 0
2.1米 0 0 2 2 1
1.5米 3 1 2 0 3
合计 7.4 7.3 7.2 7.1 6.6
余料 0 0.1 0.2 0.3 0.8
OBJ: MinZ 0x1 0.1x2 0.2x3 0.3x4 0.8x5
x1 2x2 x4 100 s.t. 3x12x3x2 2x24x3 x53x5101000
4) 移动等值线到可行域边界得到最优点
11
1.用图解法求解极大化问题
例1 OBJ : max Z 2 x1 3 x 2
x1 2x2 8
s
.
t
.
4
x
1
16 4 x 2 12
x1 , x 2 0
x x12x2 2
2x13x24
做目标函数2x1+3x2的等值线，与 3 阴影部分的边界相交于Q(4,2)点， 这表明最优解是:x1= 4,x2 =2
0
4x1=16 x1+2x2=8
Q(4,2) 4x2=12
4 Z=2x1+3x2
8 x1
12
例2
max Z 6 x 1 4 x 2
2 x 1 x 2 10
s
.t
.
x1 x2 8 x2 7
x 1 , x 2 0
最优解 : x1 2 x2 6 Z 36
x2
10 F
9
8E
7 ABG 3
A
533
1.5
B
221
0.7
每人每月最低需求量（单位） 60 40 35
例3 现要做100套钢架，每套需2.9米、2.1米和1.5米的圆钢各一
运筹学课件——第2讲 线性规划模型(1)
本章要求： 本章要求： 1.掌握并熟练应用线性规划的模型处理实际问 1.掌握并熟练应用线性规划的模型处理实际问 题 2.掌握线性规划的图解法 2.掌握线性规划的图解法 3.掌握软件求解线性规划 3.掌握软件求解线性规划 4.了解线性规划对偶问题的基本性质 4.了解线性规划对偶问题的基本性质 5.理解有关灵敏度分析内容 5.理解有关灵敏度分析内容
+ = x 1 x 3 4 x 12 2x 2 + 4 = s.t. + 3x 1 + 2 x 2 x 5 = 18 x j ≥ 0( j = 1,2,3,4,5)
max Z = 70 x1 + 120 x 2 9 x1 + 4 x 2 ≤ 360 4 x + 5 x ≤ 200 1 2 s.t . 3 x1 + 10 x 2 ≤ 300 x1 ≥ 0, x 2 ≥ 0
例4：饮料配制计划
大众酒吧自行配制生产甲，乙两种饮料，管 大众酒吧自行配制生产甲，乙两种饮料， 理层决定下月总产量至少达到350 350升 理层决定下月总产量至少达到350升。甲饮料每 升的制造成本为2 制造时间需2小时， 升的制造成本为2元，制造时间需2小时，乙饮 料每升的制造成本为3 制造时间需1小时， 料每升的制造成本为3元，制造时间需1小时， 下月总生产时间为600小时。此外， 600小时 下月总生产时间为600小时。此外，下月有一位 客户已预定甲饮料125升。试为管理层制定满足 客户已预定甲饮料125升 125 客户要求且制作成本最小的生产计划。 客户要求且制作成本最小的生产计划。 线性规划模型？ 线性规划模型？
显然，上述活动所引起的问题是一类有约束的 显然，上述活动所引起的问题是一类有约束的 最优化问题（ 最优化问题（Constrained Optimization）。 ） 线性规划正是解决有约束的最优化问题的一种 线性规划正是解决有约束的最优化问题的一种 常用的方法，其涉及的主要概念包括： 常用的方法，其涉及的主要概念包括： ◆目标（Objective）:所要达到的最优结果（最 所要达到的最优结果（ 目标（ ） 所要达到的最优结果 大或最小）； 大或最小）； ◆约束条件（Constraints）:对所能产生结果的 约束条件（ ） 对所能产生结果的 限制。 限制。
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s.t. 3 x1 + 2 x2 + x3 = 65
3 2 1 0 0
2 x1 + x2 + x4 = 40 3 x2 + x5 = 75
x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ≥ 0
A
2
0
1 3
0 0
1 0
0
1
b=(65, 40, 75)T
令xk＝min{
bi yik
|
yik
0}
br yrk
注意：xBr=0
3. 基变换——转轴变换
新可行解：x‘=(xB1,…xBr-1,0,xBr+1,…,xBm,0,…，0,xk,0,…，0) 可以证明此解为新的基本可行解。这是因为原来的基 PB1,…,PBm线性无关，而yk=B-1Pk,故Pk=Byk=∑yikPBi， 而PBr的系数yrk≠0， 所以，用Pk代替Pr后的向量组PB1,…Pk,,…,PBm线性无 关，所以x’为基本可行解
选 k
max{ jR
j
|
j
0}, 令xk
0, 其余非基变量＝0
由AX=b, xB＝B-1b-B1Nx N
0
M
xB＝B-1b-B（1 L
,PK ,L
）
xk
B-1b-B1Pk
xK
＝ b-Yk x k
M
0
3. 基变换——转轴变换
更详细地xB
步3. 解yk=B-1Pk，若yk≤0，停止,不存在有限最优解.
否则转步4；
步4.计算
r＝min{
bi yik
|
yik
0}
br yrk
xk进基，xBr离基，用Pk替代PBr得新的可行基B， 转步1。
例：用单纯形法的基本思路求 解下面的线性规划问题：
Max z = 1500 x1 + 2500 x2 C=(1500, 2500, 0, 0, 0)T
xB xN
,
x
B为基变量，x
为非基变量
N
xn
代入约束：(B,N)
xB xN
b,即BxB
+Nx N
=b,
x B＝B-1b-B 1Nx N
令x
N
=0,
xB＝B-1b，称x=
xB xN
B-1b 0
为基本解
若x=
N为检验数，判别准则：当 N 0则得到最优解x(0) , 否则继续寻找改进的基本可行解 注 B cBT cBT B-1B＝0
3. 基变换——转轴变换
取某一非基变量xk→换入基（即让xk>0，其余非基变量仍为0） 同时，再从基变量中换出一个变量xBr→作为非基变量。
如何求换入变量xk和换出变量xBr？K=?，r=?
第二讲：线性规划算法
线性规划标准型
▪ 代数式maxZ=c1x1+c2x2+…+cnxn a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1 a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2 ……… am1x1+am2x2+…+amnxn=bm xj ≥0 j=1,2,…,n
线性规划标准型
▪ 和式：maxZ=∑cjxj ∑aijxj=bi i=1,2,…,m xj ≥0 j=1,2,…,n
▪ 向量式：maxZ=CTX ∑pjxj=bi i=1,2,…,m xj ≥0 j=1,2,…,n
▪ 矩阵式： maxZ=CTX AX=b X ≥0
线性规划解的概念
分解
若A = (B, N )，其中B (P1, P2,…，Pm )可逆，称B为基矩阵
x1
相应地X＝
x
2
M
线性规划的单纯形算法
▪ 计算流程
初始基本可行解
是否最优解或 无限最优解?
Y
结束
N
沿边界找新
的基本可行解
1. 初始基本可行解的确定
从系数矩阵中找到一个可行基B，不妨设B由A的前 m列组成，即B=(P1,P2,……Pm)。进行等价变换－ －约束方程两端分别左乘B－1
即BxB +NxN =b, xB＝B-1b-B1Nx N
B N
cBT
x
B
+cTN
x
N
cBT (B-1b-B-1Nx N )+cTN x N
cBT B-1b－(cBT B-1N－cTN )x N z0 +(cTN cBT B-1N)x N
z0 + (cj cBT B-1Pj)x j, R 非基变量下标集 jR
记 N cTN cBT B-1N 即 j cj cBT B-1Pj，j R
xB xN
B-1b 0
0称为基本可行解，B为可行基
线性规划解的性质
▪ 可行域——凸集（凸多面体） ▪ 可行域非空——至多有有限个顶点 ▪ 最优解——若存在，必可在顶点达到 ▪ 线性规划的基本定理：线性规划的基本可行解就
是可行域的极点。 这一定理的重要性在于把可行域的极点这一几何 概念与基本可行解这一代数概念联系起来，因而 可以通过求基本可行解的线性代数的方法来得到 可行域的一切极点，从而有可能进一步获得最优 极点。
令x
N
=0,
得初始基本可行解x(0)
B-1b 0
对应的目标函数值z 0
=cTx(0)
(cBT
,
cT N
)
B-1b 0
cBT
B-1b
2. 最优性检验
由AX=b,
x
B＝B-1b-B1Nx
，其目标函数值：
N
z=cT
x
(cBT
,
cT N
)
x x
=
xMB1 ＝
bM1
y1k M
xk
xBm bm ymk
z z0 + (cj cBT B-1Pj)x j z0 + jxk jR
从目标函数看xk越大越好，但从可行性看xk又不能任意大。
若若yyiikk≤>00,,i为=1保,…证，可m行,x性k可，任即意xB取i=值bi-，yik此xk时≥0问，题应是取无界xk的；ybiik
在新的基本可行解中，目标函数比原来增加了σkxk。 重复上述过程，直至所有的σj均≤0，得到最优解。因为 基本可行解的个数是有限的，因此在非退化(r(A)=m)情 况下，经有限次迭代必能达到最优解。
总结计算步骤：给定初始基B
步1.令xN=0,，xB=b=b，z0=cBTxB ；
步2.检验数σj=cj-cBTB-1 Pj，σj≤0，停止，得最优解，否则 取σk＝max{σj}，转步3；