2019年高考数学高分突破复习 专题六 第3讲
2019年高考数学高分突破复习 专题六 第5讲
第5讲导数的综合应用与热点问题高考定位在高考压轴题中，函数与方程、不等式的交汇是考查的热点，常以含指数函数、对数函数为载体考查函数的零点(方程的根)、比较大小、不等式证明、不等式恒成立与能成立问题.真题感悟1.(2018·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)＝e x－ax2.(1)若a＝1，证明：当x≥0时，f(x)≥1；(2)若f(x)在(0，＋∞)只有一个零点，求a.(1)证明当a＝1时，f(x)＝e x－x2，则f′(x)＝e x－2x.令g(x)＝f′(x)，则g′(x)＝e x－2.令g′(x)＝0，解得x＝ln 2.当x∈(0，ln 2)时，g′(x)<0；当x∈(ln 2，＋∞)时，g′(x)>0.∴当x≥0时，g(x)≥g(ln 2)＝2－2ln 2>0，∴f(x)在[0，＋∞)上单调递增，∴f(x)≥f(0)＝1.(2)解若f(x)在(0，＋∞)上只有一个零点，即方程e x－ax2＝0在(0，＋∞)上只有一个解，由a＝e xx2，令φ(x)＝e xx2，x∈(0，＋∞)，φ′(x)＝e x（x－2）x3，令φ′(x)＝0，解得x＝2.当x∈(0，2)时，φ′(x)<0；当x∈(2，＋∞)时，φ′(x)>0.∴φ(x)min＝φ(2)＝e24.∴a＝e24.2.(2017·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)＝ax2－ax－x ln x，且f(x)≥0.(1)求a ；(2)证明：f (x )存在唯一的极大值点x 0，且e －2<f (x 0)<2－2. (1)解 f (x )的定义域为(0，＋∞)， 设g (x )＝ax －a －ln x ，则f (x )＝xg (x )，f (x )≥0等价于g (x )≥0， 因为g (1)＝0，g (x )≥0，故g ′(1)＝0， 而g ′(x )＝a －1x，g ′(1)＝a －1，得a ＝1.若a ＝1，则g ′(x )＝1－1x.当0<x <1时，g ′(x )<0，g (x )单调递减； 当x >1时，g ′(x )>0，g (x )单调递增，所以x ＝1是g (x )的极小值点，故g (x )≥g (1)＝0. 综上，a ＝1.(2)证明 由(1)知f (x )＝x 2－x －x ln x ，f ′(x )＝2x －2－ln x ， 设h (x )＝2x －2－ln x ，则h ′(x )＝2－1x.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，h ′(x )<0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞时，h ′(x )>0.所以h (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞单调递增. 又h (e －2)>0，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<0，h (1)＝0，所以h (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，12有唯一零点x 0，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞有唯一零点1，且当x ∈(0，x 0)时，h (x )>0；当x ∈(x 0，1)时，h (x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，h (x )>0. 因为f ′(x )＝h (x )，所以x ＝x 0是f (x )的唯一极大值点. 由f ′(x 0)＝0得ln x 0＝2(x 0－1)， 故f (x 0)＝x 0(1－x 0). 由x 0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，12得f (x 0)<14.因为x ＝x 0是f (x )在(0，1)的最大值点，由e －1∈(0，1)，f ′(e －1)≠0得f (x 0)>f (e －1)＝e －2. 所以e －2<f (x 0)<2－2.考 点 整 合1.利用导数研究函数的零点函数的零点、方程的实根、函数图象与x 轴的交点的横坐标是三个等价的概念，解决这类问题可以通过函数的单调性、极值与最值，画出函数图象的变化趋势，数形结合求解. 2.三次函数的零点分布三次函数在存在两个极值点的情况下，由于当x →∞时，函数值也趋向∞，只要按照极值与零的大小关系确定其零点的个数即可.存在两个极值点x 1，x 2且x 1<x 2的函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)的零点分布情况如下：3.利用导数解决不等式问题 (1)利用导数证明不等式.若证明f (x )<g (x )，x ∈(a ，b )，可以构造函数F (x )＝f (x )－g (x )，如果能证明F (x )在(a ，b )上的最大值小于0，即可证明f (x )<g (x )，x ∈(a ，b ). (2)利用导数解决不等式的“恒成立”与“存在性”问题.①f(x)>g(x)对一切x∈I恒成立I是f(x)>g(x)的解集的子集f(x)－g(x)]>0(x∈I).min②x∈I，使f(x)>g(x)成立I与f(x)>g(x)的解集的交集不是空集f(x)－g(x)]>0(x∈I).max③对x 1，x2∈I使得f(x1)≤g(x2f(x)max≤g(x)min.④对x 1∈I，x2∈I使得f(x1)≥g(x2f(x)min≥g(x)min.温馨提醒解决方程、不等式相关问题，要认真分析题目的结构特点和已知条件，恰当构造函数并借助导数研究性质，这是解题的关键.热点一利用导数研究函数的零点(方程的根)【例1】(2018·西安调研)函数f(x)＝ax＋x ln x在x＝1处取得极值.(1)求f(x)的单调区间；(2)若y＝f(x)－m－1在定义域内有两个不同的零点，求实数m的取值范围.解(1)f′(x)＝a＋ln x＋1，x>0，由f′(1)＝a＋1＝0，解得a＝－1.则f(x)＝－x＋x ln x，∴f′(x)＝ln x，令f′(x)>0，解得x>1；令f′(x)<0，解得0<x<1.∴f(x)在x＝1处取得极小值，f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0，1).(2)y＝f(x)－m－1在(0，＋∞)内有两个不同的零点，可转化为f(x)＝m＋1在(0，＋∞)内有两个不同的根，则函数y＝f(x)与y＝m＋1的图象有两个不同的交点. 由(1)知，f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，f(x)min＝f(1)＝－1，由题意得，m＋1>－1，即m>－2，①当0<x<1时，f(x)＝x(－1＋ln x)<0；当x>0且x→0时，f(x)→0；当x→＋∞时，显然f(x)→＋∞.如图，由图象可知，m＋1<0，即m<－1，②由①②可得－2<m<－1.因此实数m的取值范围是(－2，－1).探究提高 1.三步求解函数零点(方程根)的个数问题.第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图象与x轴(或直线y ＝k)在该区间上的交点问题；第二步：利用导数研究该函数在该区间上单调性、极值(最值)、端点值等性质，进而画出其图象；第三步：结合图象求解.2.根据函数零点情况求参数范围：(1)要注意端点的取舍；(2)选择恰当的分类标准进行讨论.【训练1】设函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c.(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)设a＝b＝4，若函数f(x)有三个不同零点，求c的取值范围.解(1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，得f′(x)＝3x2＋2ax＋b.∵f(0)＝c，f′(0)＝b，∴曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝bx＋c.(2)当a＝b＝4时，f(x)＝x3＋4x2＋4x＋c，∴f′(x)＝3x2＋8x＋4.令f′(x)＝0，得3x2＋8x＋4＝0，解得x＝－2或x＝－2 3 .当x变化时，f(x)与f′(x)在区间(－∞，＋∞)上的情况如下：∴当c>0且c－3227<0时，f(－4)＝c－16<0，f(0)＝c>0，存在x1∈(－4，－2)，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－23，x 3∈⎝⎛⎭⎪⎫－23，0，使得f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝0.由f (x )的单调性知，当且仅当c ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3227时，函数f (x )＝x 3＋4x 2＋4x ＋c 有三个不同零点.热点二 利用导数证明不等式【例2】 (2018·郑州质检)已知函数f (x )＝x －1＋a e x . (1)讨论f (x )的单调性；(2)当a ＝－1时，设－1<x 1<0，x 2>0，且f (x 1)＋f (x 2)＝－5，证明：x 1－2x 2>－4＋1e. (1)解 由f (x )＝x －1＋a e x ，得f ′(x )＝1＋a e x . 当a ≥0时，f ′(x )>0，则f (x )在R 上单调递增.当a <0时，令f ′(x )>0，得x <ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，则f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a .令f ′(x )<0，得x >ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，则f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞.(2)证明 法一 设g (x )＝f (x )＋2x ＝－e x ＋3x －1，则g ′(x )＝－e x ＋3. 由g ′(x )<0，得x >ln 3；由g ′(x )>0，得x <ln 3. 故g (x )max ＝g (ln 3)＝3ln 3－4<0. 从而g (x )＝f (x )＋2x <0. ∵f (x 1)＋f (x 2)＝－5，∴f (x 2)＋2x 2＝－5－f (x 1)＋2x 2<0. 即x 1－2x 2>－4＋e x1.∵－1<x 1<0，∴e －1<e x 1<1，∴－4＋e x 1>－4＋1e.从而x 1－2x 2>－4＋1e.法二 ∵f (x 1)＋f (x 2)＝－5，∴x 1＝e x 1＋e x 2－x 2－3，∴x1－2x2＝e x1＋e x2－3x2－3.设g(x)＝e x－3x，则g′(x)＝e x－3.由g′(x)<0，得x<ln 3；由g′(x)>0，得x>ln 3. 故g(x)min＝g(ln 3)＝3－3ln 3.∵－1<x1<0，x2>0，∴x1－2x2>e－1＋3－3ln 3－3＝1e－3ln 3，∵3ln 3＝ln 27<4，∴x1－2x2>－4＋1 e .探究提高 1.证明不等式的基本方法：(1)利用单调性：若f(x)在[a，b]上是增函数，则①x∈[a，b]，有f (a)≤f(x)≤f(b)，②x1，x2∈[a，b]，且x1<x2，有f(x1)<f(x2).对于减函数有类似结论.(2)利用最值：若f(x)在某个范围D内有最大值M(或最小值m)，则x∈D，有f(x)≤M(或f(x)≥m).2.证明f(x)<g(x)，可构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，证明F(x)<0.【训练2】(2016·全国Ⅲ卷)设函数f(x)＝ln x－x＋1.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)证明当x∈(1，＋∞)时，1<x－1ln x<x；(3)设c>1，证明当x∈(0，1)时，1＋(c－1)x>c x.(1)解由f(x)＝ln x－x＋1(x>0)，得f′(x)＝1x－1.令f′(x)＝0，解得x＝1.当0<x<1时，f′(x)>0，f(x)单调递增.当x>1时，f′(x)<0，f(x)单调递减.因此f(x)在(0，1)上是增函数，在(1，＋∞)上为减函数.(2)证明由(1)知，函数f(x)在x＝1处取得最大值f(1)＝0.∴当x≠1时，ln x<x －1.故当x∈(1，＋∞)时，ln x<x－1，ln 1x<1x－1，即1<x－1ln x<x.(3)证明由题设c>1，设g(x)＝1＋(c－1)x－c x，则g′(x)＝c－1－c x ln c.令g′(x)＝0，解得x0＝lnc－1 ln c ln c.当x<x0时，g′(x)>0，g(x)单调递增；当x>x0时，g′(x)<0，g(x)单调递减.由(2)知1<c－1ln c<c，故0<x0<1.又g(0)＝g(1)＝0，故当0<x<1时，g(x)>0.∴当x∈(0，1)时，1＋(c－1)x>c x.热点三不等式恒成立、存在性问题考法1 不等式恒成立问题【例3－1】(2016·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)＝(x＋1)ln x－a(x－1).(1)当a＝4时，求曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程；(2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)>0，求a的取值范围.解(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，当a＝4时，f(x)＝(x＋1)ln x－4(x－1)，f(1)＝0，f′(x)＝ln x＋1x－3，f′(1)＝－2.故曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为2x＋y－2＝0.(2)当x∈(1，＋∞)时，f(x)>0等价于ln x－a（x－1）x＋1>0，设g(x)＝ln x－a（x－1）x＋1，则g ′(x )＝1x －2a （x ＋1）2＝x 2＋2（1－a ）x ＋1x （x ＋1）2，g (1)＝0. ①当a ≤2，x ∈(1，＋∞)时，x 2＋2(1－a )x ＋1≥x 2－2x ＋1>0，故g ′(x )>0，g (x )在(1，＋∞)单调递增，因此g (x )>g (1)＝0. ②当a >2时，令g ′(x )＝0，得x 1＝a －1－（a －1）2－1，x 2＝a －1＋（a －1）2－1.由x 2>1和x 1x 2＝1得x 1<1.故当x ∈(1，x 2)时，g ′(x )<0，g (x )在(1，x 2)上单调递减，因此g (x )<g (1)＝0， 综上可知，实数a 的取值范围是(－∞，2]. 考法2 存在性不等式成立问题【例3－2】 (2018·哈尔滨质检)函数f (x )＝e x sin x ，g (x )＝(x ＋1)cos x －2e x ，其中e 是自然对数的底数. (1)求f (x )的单调区间； (2)对x 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，x 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，使f (x 1)＋g (x 2)≥m 成立，求实数m 的取值范围.解 (1)f ′(x )＝e x sin x ＋e x cos x ＝e x (sin x ＋cos x )＝2e x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，当2k π<x ＋π4<π＋2k π(k ∈Z )， 即x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－π4＋2k π，3π4＋2k π (k ∈Z )时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当π＋2k π<x ＋π4<2π＋2k π(k ∈Z )， 即x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫34π＋2k π，7π4＋2k π(k ∈Z ) 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 综上，f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋2k π，3π4＋2k π(k ∈Z )，f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫34π＋2k π，7π4＋2k π(k ∈Z ). (2)f (x 1)＋g (x 2)≥m ，即f (x 1)≥m －g (x 2)，设t (x )＝m －g (x )，则原问题等价于f (x )min ≥t (x )min ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2， 一方面由(1)可知，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f ′(x )≥0，故f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2单调递增，∴f (x )min ＝f (0)＝0. 另一方面：t (x )＝m －(x ＋1)cos x ＋2e x ，t ′(x )＝－cos x ＋(x ＋1)sin x ＋2e x ， 由于－cos x ∈[－1，0]，2e x ≥2， ∴－cos x ＋2e x >0，又(x ＋1)sin x ≥0，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，t ′(x )>0，t (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2为增函数，t (x )min ＝t (0)＝m －1＋2， 所以m －1＋2≤0，m ≤1－ 2. 即实数m 的取值范围是(－∞，1－2).探究提高 1.对于含参数的不等式，如果易分离参数，可先分离参数、构造函数，直接转化为求函数的最值；否则应进行分类讨论，在解题过程中，必要时，可作出函数图象草图，借助几何图形直观分析转化.2.“恒成立”与“存在性”问题的求解是“互补”关系，即f (x )≥g (a )对于x ∈D 恒成立，应求f (x )的最小值；若存在x ∈D ，使得f (x )≥g (a )成立，应求f (x )的最大值.应特别关注等号是否取到，注意端点的取舍.【训练3】 (2018·石家庄调研)设函数f (x )＝e （x 2－ax ＋a ）e x (a ∈R ).(1)若曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线过点M (2，3)，求a 的值；(2)设g (x )＝x ＋1x ＋1－13，若对任意的n ∈[0，2]，存在m ∈[0，2]，使得f (m )≥g (n )成立，求a 的取值范围.解 (1)因为f (x )＝e （x 2－ax ＋a ）e x，所以f ′(x )＝e·（2x －a ）e x －（x 2－ax ＋a ）e xe 2x＝－（x －2）（x －a ）e x －1.又f (1)＝1，即切点为(1，1)， 所以k ＝f ′(1)＝1－a ＝3－12－1，解得a ＝－1. (2)“对任意的n ∈[0，2]，存在m ∈[0，2]，使得f (m )≥g (n )成立”，等价于“在[0，2]上，f (x )的最大值大于或等于g (x )的最大值”. 因为g (x )＝x ＋1x ＋1－13，g ′(x )＝x 2＋2x （x ＋1）2≥0，所以g (x )在[0，2]上单调递增，所以g (x )max ＝g (2)＝2. 令f ′(x )＝0，得x ＝2或x ＝a .①当a ≤0时，f ′(x )≥0在[0，2]上恒成立，f (x )单调递增，f (x )max ＝f (2)＝(4－a )e －1≥2，解得a ≤4－2e ；②当0<a <2时，f ′(x )≤0在[0，a ]上恒成立，f (x )单调递减，f ′(x )≥0在[a ，2]上恒成立，f (x )单调递增， f (x )的最大值为f (2)＝(4－a )e －1或f (0)＝a e ， 所以(4－a )e －1≥2或a e≥2.解得：a ≤4－2e 或a ≥2e ，所以2e≤a <2；③当a ≥2时，f ′(x )≤0在[0，2]上恒成立，f (x )单调递减，f (x )max ＝f (0)＝a e≥2，解得a ≥2e，所以a ≥2. 综上所述：a ≤4－2e 或a ≥2e.热点四 利用导数求解最优化问题【例4】 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝a x －3＋10(x －6)2，其中3<x <6，a为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克. (1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.解 (1)因为x ＝5时，y ＝11，所以a2＋10＝11，a ＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量为y ＝2x －3＋10(x －6)2， 所以商场每日销售该商品所获得的利润为f (x )＝(x －3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －3＋10（x －6）2 ＝2＋10(x －3)(x －6)2，3<x <6.从而，f ′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)] ＝30(x －4)·(x －6)，于是，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由上表可得，x ＝4时，函数f (x )取得极大值，也是最大值， 所以，当x ＝4时，函数f (x )取得最大值，且最大值等于42.故当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大. 探究提高 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)建模：分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y ＝f (x ).(2)求导：求函数的导数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0.(3)求最值：比较函数在区间端点和使f ′(x )＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值.(4)结论：回归实际问题作答.【训练4】 (2017·全国Ⅰ卷)如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5 cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O .D ，E ，F 为圆O 上的点，△DBC ，△ECA ，△FAB 分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起△DBC ，△ECA ，△FAB ，使得D ，E ，F 重合，得到三棱锥.当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm 3)的最大值为________.解析 由题意，连接OD ，交BC 与点G ，由题意，OD ⊥BC ，设OG ＝x ，则BC ＝23x ，DG ＝5－x ，三棱锥的高 h ＝DG 2－OG 2 ＝25－10x ＋x 2－x 2＝25－10x ，S △ABC ＝12·(23x )2·sin 60°＝33x 2，则三棱锥的体积V ＝13S △ABC ·h ＝3x 2·25－10x＝3·25x 4－10x 5，令f (x )＝25x 4－10x 5，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，52， 则f ′(x )＝100x 3－50x 4，令f ′(x )＝0得x ＝2，当x ∈(0，2)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2，52时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，故当x ＝2时，f (x )取得最大值80， 则V ≤3×80＝415. ∴体积最大值为415 cm 3.答案 4151.重视转化思想在研究函数零点中的应用，如方程的解、两函数图象的交点均可转化为函数零点，充分利用函数的图象与性质，借助导数求解.2.对于存在一个极大值和一个极小值的函数，其图象与x 轴交点的个数，除了受两个极值大小的制约外，还受函数在两个极值点外部函数值的变化的制约，在解题时要注意通过数形结合找到正确的条件.3.利用导数方法证明不等式f (x )>g (x )在区间D 上恒成立的基本方法是构造函数h (x )＝f (x )－g (x )，然后根据函数的单调性或者函数的最值证明函数h (x )>0.其中找到函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点是解题的突破口. 4.不等式恒成立、能成立问题常用解法(1)分离参数后转化为最值，不等式恒成立问题在变量与参数易于分离的情况下，采用分离参数转化为函数的最值问题，形如a ＞f (x )max 或a ＜f (x )min .(2)直接转化为函数的最值问题，在参数难于分离的情况下，直接转化为含参函数的最值问题，伴有对参数的分类讨论.(3)数形结合，构造函数，借助函数图象的几何直观性求解，一定要重视函数性质的灵活应用.一、选择题1.设f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (2)＝0，当x >0时，有xf ′（x ）－f （x ）x 2<0恒成立，则不等式x 2f (x )>0的解集是( ) A.(－2，0)∪(2，＋∞) B.(－2，0)∪(0，2) C.(－∞，－2)∪(2，＋∞)D.(－∞，－2)∪(0，2)解析 x >0时⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）x ′＝xf ′（x ）－f （x ）x 2<0，∴φ(x )＝f （x ）x在(0，＋∞)为减函数，又φ(2)＝0，∴当且仅当0<x <2时，φ(x )>0，此时x 2f (x )>0. 又f (x )为奇函数，∴h (x )＝x 2f (x )也为奇函数. 故x 2f (x )>0的解集为(－∞，－2)∪(0，2). 答案 D2.(2018·贵阳联考)已知函数f (x )的定义域为[－1，4]，部分对应值如下表：f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示.当1<a <2时，函数y ＝f (x )－a 的零点的个数为( )A.1B.2C.3D.4解析 根据导函数图象，知2是函数的极小值点，函数y ＝f (x )的大致图象如图所示.由于f (0)＝f (3)＝2，1<a <2，所以y ＝f (x )－a 的零点个数为4. 答案 D3.(2018·江南八校联考)已知x ∈(0，2)，若关于x 的不等式x e x <1k ＋2x －x 2恒成立，则实数k 的取值范围为( )A.[0，e ＋1)B.[0，2e －1)C.[0，e)D.[0，e －1)解析 依题意，知k ＋2x －x 2>0，即k >x 2－2x 对任意x ∈(0，2)恒成立，从而k ≥0.由xe x <1k ＋2x －x 2得k <e x x ＋x 2－2x .令f (x )＝e x x ＋x 2－2x ，则f ′(x )＝e x （x －1）x 2＋2(x －1)＝(x －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫e xx 2＋2.令f ′(x )＝0，得x ＝1，当x ∈(1，2)时，f ′(x )>0，函数f (x )在(1，2)上单调递增，当x ∈(0，1)时，f ′(x )<0，函数f (x )在(0，1)上单调递减，所以k <f (x )min ＝f (1)＝e －1.故实数k 的取值范围是[0，e －1). 答案 D4.已知e 是自然对数的底数，函数f (x )＝e x ＋x －2的零点为a ，函数g (x )＝ln x ＋x －2的零点为b ，则下列不等式中成立的是( ) A.f (a )＜f (1)＜f (b ) B.f (a )＜f (b )＜f (1) C.f (1)＜f (a )＜f (b )D.f (b )＜f (1)＜f (a )解析 由题意，知f ′(x )＝e x ＋1＞0恒成立，所以函数f (x )在R 上是单调递增的.又f (0)＝e 0＋0－2＝－1＜0，f (1)＝e 1＋1－2＝e －1＞0，所以零点a ∈(0，1)；由题意，知g ′(x )＝1x＋1＞0，所以g (x )在(0，＋∞)上是单调递增的，又g (1)＝ln 1＋1－2＝－1＜0，g (2)＝ln 2＋2－2＝ln 2＞0，所以函数g (x )的零点b ∈(1，2).综上，可得0＜a ＜1＜b ＜2.因为f (x )在R 上是单调递增的，所以f (a )＜f (1)＜f (b ). 答案 A5.(2018·潍坊三模)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ln x ，x >1，12x ＋12，x ≤1，若m <n ，且f (m )＝f (n )，则n －m 的最小值是( ) A.3－2ln 2 B.e －1 C.2D.e ＋1解析 作出函数f (x )的图象如图所示，若m <n ，且f (m )＝f (n )，则当ln x ＝1时，得x ＝e.因此1<n ≤e，－1<m ≤1.又ln n ＝12m ＋12，即m ＝2ln n －1.所以n －m ＝n －2ln n＋1.设h (n )＝n －2ln n ＋1(1<n ≤e)，则h ′(n )＝1－2n.当h ′(n )>0，得2<n ≤e；当h ′(n )<0，得1<n <2.故当n ＝2时，函数h (n )取得最小值h (2)＝3－2ln 2. 答案 A 二、填空题6.做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π dm 3，且用料最省，则圆柱的底面半径为________ dm.解析 设圆柱的底面半径为R dm ，母线长为l dm ，则V ＝πR 2l ＝27π，所以l ＝27R 2，要使用料最省，只需使圆柱形水桶的表面积最小.S 表＝πR 2＋2πRl ＝πR 2＋2π·27R ，所以S ′表＝2πR －54πR 2.令S ′表＝0，得R ＝3，则当R ＝3时，S 表最小. 答案 37.(2018·长沙调研)定义域为R 的可导函数y ＝f (x )的导函数为f ′(x )，满足f (x )>f ′(x )，且f (0)＝1，则不等式f （x ）e x<1的解集为________.解析 令g (x )＝f （x ）e x，则g ′(x )＝e x ·f ′（x ）－（e x ）′·f （x ）（e x ）2＝f ′（x ）－f （x ）e x .由题意得g ′(x )<0恒成立，所以函数g (x )＝f （x ）e x在R 上单调递减.又g (0)＝f （0）e 0＝1，所以f （x ）e x<1，即g (x )<g (0)，所以x >0，所以不等式的解集为{x |x >0}. 答案 {x |x >0}8.(2018·江苏卷)若函数f (x )＝2x 3－ax 2＋1(a ∈R )在(0，＋∞)内有且只有一个零点，则f (x )在[－1，1]上的最大值与最小值的和为________.解析 f ′(x )＝6x 2－2ax ＝2x (3x －a )(a ∈R )，当a ≤0时，f ′(x )>0在(0，＋∞)上恒成立，则f (x )在(0，＋∞)上单调递增.又f (0)＝1，所以此时f (x )在(0，＋∞)内无零点，不满足题意.当a >0时，由f ′(x )>0得x >a 3，由f ′(x )<0得0<x <a3，则f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 3上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，＋∞上单调递增，又f (x )在(0，＋∞)内有且只有一个零点，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＝－a 327＋1＝0，得a ＝3，所以f (x )＝2x 3－3x 2＋1，则f ′(x )＝6x (x －1)，当x ∈(－1，0)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x ∈(0，1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减.则f (x )max ＝f (0)＝1，f (－1)＝－4，f (1)＝0，则f (x )min ＝－4，所以f (x )在[－1，1]上的最大值与最小值的和为－3. 答案 －3 三、解答题9.(2018·兰州调研)设函数f (x )＝x －2x －a ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x －1x 2，a ∈R .(1)讨论f (x )的单调性；(2)当a >0时，记f (x )的最小值为g (a )，证明：g (a )<1. (1)解 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1＋2x 2－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2x 3＝x 2＋2x 2－a x 2＋2x 3＝（x 2＋2）（x －a ）x 3，当a ≤0时，f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a >0时，当x ∈(0，a )，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x ∈(a ，＋∞)，f ′(x )>0，f (x )单调递增. 综上，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，f (x )在(0，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增. (2)证明 由(1)知，f (x )min ＝f (a )＝a －2a －a ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln a －1a 2 ＝a －a ln a －1a ，即g (a )＝a －a ln a －1a.要证g (a )<1，即证a －a ln a －1a<1，即证：ln a＋1a＋1a2－1>0，令h(a)＝ln a＋1a＋1a2－1，则只需证h(a)＝ln a＋1a＋1a2－1>0，h′(a)＝1a－1a2－2a3＝a2－a－2a3＝（a－2）（a＋1）a3.当a∈(0，2)时，h′(a)<0，h(a)单调递减；当a∈(2，＋∞)时，h′(a)>0，h(a)单调递增；所以h(a)min＝h(2)＝ln 2＋12＋14－1＝ln 2－14>0，所以h(a)>0，即g(a)<1.10.已知函数f(x)＝e x－1，g(x)＝x＋x，其中e是自然对数的底数，e＝2.718 28….(1)证明：函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间(1，2)上有零点；(2)求方程f(x)＝g(x)的根的个数，并说明理由.(1)证明由题意可得h(x)＝f(x)－g(x)＝e x－1－x－x，所以h(1)＝e－3<0，h(2)＝e2－3－2>0，所以h(1)h(2)<0，所以函数h(x)在区间(1，2)上有零点.(2)解由(1)可知h(x)＝f(x)－g(x)＝e x－1－x－x.由g(x)＝x＋x知x∈[0，＋∞)，而h(0)＝0，则x＝0为h(x)的一个零点.又h(x)在(1，2)内有零点，因此h(x)在[0，＋∞)上至少有两个零点.h′(x)＝e x－12x－12－1，记φ(x)＝e x－12x－12－1，则φ′(x)＝e x＋14x－32.当x∈(0，＋∞)时，φ′(x)>0，因此φ(x)在(0，＋∞)上单调递增，易知φ(x)在(0，＋∞)内至多有一个零点，即h(x)在(0，＋∞)内至多有两个零点，则h(x)在[0，＋∞)上有且只有两个零点，所以方程f(x)＝g(x)的根的个数为2.11.已知函数f(x)＝e ax－ax－1.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)设m为整数，且对于任意正整数n(n≥2).若(n！)2n（n－1）<m恒成立，求m的最小值.解(1)f′(x)＝a e ax－a＝a(e ax－1)，当a>0时，令f′(x)>0，解得x>0.所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a＝0时，显然无单调区间；当a<0时，令f′(x)>0，解得x>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增.综上，当a＝0时，无单调区间；a≠0时，单调递减区间为(－∞，0)，单调递增区间为(0，＋∞).(2)令a＝1，由(1)可知f(x)的最小值为f(0)＝0，所以f(x)≥0.所以e x≥x＋1(当x＝0时取得“＝”).令x＝n－1，则e n－1>n，所以e0·e1·e2·…·e n－1>1×2×3×…×n，即e n（n－1）2>n！，两边进行2n（n－1）次方得(n！)2n（n－1）<e，所以m的最小值为3.。
高考数学高分突破二轮复习课件：考前冲刺三第六类
1 1 1 则 h′(x)＝2－x.当 x∈0，2时，h′(x)<0；当 x∈2，＋∞时，h′(x)>0.
所以
1 1 h(x)在0，2单调递减，在2，＋∞单调递增.
因为g(1)＝0，g(x)≥0，故g′(1)＝0， 1 而 g′(x)＝a－x，g′(1)＝a－1，得 a＝1. 1 若 a＝1，则 g′(x)＝1－x.
3
当0<x<1时，g′(x)<0，g(x)单调递减； 当x>1时，g′(x)>0，g(x)单调递增，
所以x＝1是g(x)的极小值点，故g(x)≥g(1)＝0.
因为f′(x)＝h(x)，所以x＝x0是f(x)的唯一极大值点. 由f′(x0)＝0得ln x0＝2(x0－1)，故f(x0)＝x0(1－x0).
由
1 x0∈0，2得
1 f(x0)< . 4
因为x＝x0是f(x)在(0，1)的最大值点， 由e－1∈(0，1)，f′(e－1)≠0得f(x0)>f(e－1)＝e－2.
个小步；注重分步解答，这样，即使解答不完整，也要做到尽可能多拿步骤分.
6
【训练6】 (2018· 石家庄调研)已知函数f(x)＝(2x＋b)ex，F(x)＝bx－ln x，b∈R.
(1)若b<0，且存在区间M，使f(x)和F(x)在区间M上具有相同的单调性，求实数b的取
值范围； (2)若F(x＋1)>b对任意x∈(0，＋∞)恒成立，求实数b的取值范围. 解 (1)f′(x)＝ex(2x＋b＋2)，
(最新)2019届高考数学总复习 高分突破复习：小题满分限时练(六)
高分突破复习：小题满分限时练(六)(限时：45分钟)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.已知集合P ＝{x |y ＝－x 2－x ＋2}，Q ＝{x |ln x <1}，则P ∩Q ＝( ) A.(0，2] B.[－2，e) C.(0，1]D.(1，e)解析 由－x 2－x ＋2≥0，得－2≤x ≤1，则P ＝[－2，1]，又Q ＝{x |0<x <e}＝(0，e)，故P ∩Q ＝(0，1]. 答案 C2.若复数z 满足z ＝4－2ii －1(i 为虚数单位)，则下列说法正确的是( )A.复数z 的虚部为1B.|z |＝10C.z －＝－3＋iD.复平面内与复数z 对应的点在第二象限解析 z ＝4－2i i －1＝12(4－2i)(－1－i)＝－3－i.∴z －＝－3＋i ，A ，B ，D 均不正确.答案 C3.已知a ＝20.9，b ＝323，c ＝log 123，则a ，b ，c 的大小为( )A.b >c >aB.a >c >bC.b >a >cD.a >b >c解析 0<a ＝20.9<2，c ＝log 123＝－log 23<0，又b 3＝(323)3＝9>8，则b >2.故b >a >c .答案 C4.如图，已知正六边形ABCDEF 内接于圆O ，连接AD ，BE ，现在往圆O 内投掷2 000粒小米，则可以估计落在阴影区域内的小米的粒数大致是(参考数据：π3≈1.82，3π≈0.55)( )A.275B.300C.550D.600解析 依题意，设AB ＝1，故阴影部分的面积S 1＝2×34×12＝32，圆O 的面积S 2＝π×12＝π，故落在阴影区域内的小米的粒数为2 000×32π＝2 000×32π≈550.答案 C5.在某项检测中，测量结果服从正态分布N (2，1)，若P (X <1)＝P (X >1＋λ)，则λ＝( ) A.0B.2C.3D.5解析 依题意，正态曲线关于x ＝2对称，又P (X <1)＝P (X >1＋λ)，因此1＋λ＝3，∴λ＝2. 答案 B6.已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c ＝3，3a ＝6sin A ，△ABC 的面积S ＝3，则a ＋b ＝( )A.21B.17C.29D.5解析 在△ABC 中，c ＝3，3a ＝6sin A ， ∴csin C ＝a sin A ＝63，则sin C ＝32，C ＝π3. 又S ＝12ab sin π3＝3，知ab ＝4.由余弦定理，32＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝(a ＋b )2－3ab .∴(a ＋b )2＝9＋3ab ＝21，故a ＋b ＝21. 答案 A7.若执行右面的程序框图，则输出的结果为( ) A.180 B.182 C.192D.202解析 循环一次后：S ＝2，m ＝2. 循环两次后：S ＝7，m ＝3. 循环三次后：S ＝20，m ＝4. 循环四次后：S ＝61，m ＝5. 循环五次后：S ＝182，m ＝6. 不满足S <120？，退出循环体.输出S ＝182. 答案 B8.如图为某几何体的三视图(图中网格纸上每个小正方形边长为1)，则该几何体的体积等于( )A.π＋12B.π＋4C.53π＋12D.53π＋1 解析 由三视图知，该几何体是由一个长方体、一个半球与圆锥构成的组合体.V 长方体＝3×2×2＝12，V 半球＝12×43π×13＝23π， V 圆锥＝13·π×12×1＝π3.故该几何体的体积V ＝12＋23π＋π3＝π＋12.答案 A9.已知函数f (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2－cos ωx (0<ω<3)的图象过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，若要得到一个偶函数的图象，则需将函数f (x )的图象( ) A.向左平移2π3个单位长度B.向右平移2π3个单位长度C.向左平移π3个单位长度D.向右平移π3个单位长度解析 f (x )＝3sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6，又P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0在函数f (x )的图象上，∴π3ω－π6＝k π(k ∈Z )，ω＝3k ＋12，又0<ω<3，∴ω＝12，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π6.当将f (x )图象向右平移2π3个单位，得y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3－π6的图象，即y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π2＝－2cos x 为偶函数.答案 B10.已知数列{a n }为等差数列，且a 1≥1，a 2≤5，a 5≥8，设数列{a n }的前n 项和为S n ，S 15的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝( ) A.500B.600C.700D.800解析 由题意，可知公差最大值时，S 15最大；公差最小时，S 15最小.可得a 1＝1，a 2＝5，此时公差d ＝4是最大值，M ＝S 15＝1×15＋15×142×4＝435.当a 2＝5，a 5＝8，此时d ＝1是最小值，a 1＝4，m ＝S 15＝4×15＋15×142×1＝165. M ＋m ＝435＋165＝600.答案 B11.如图，已知抛物线y 2＝8x ，圆C ：x 2＋y 2－4x ＋3＝0，过圆心C 的直线l 与抛物线和圆分别交于P ，Q ，M ，N ，则|PN |＋9|QM |的最小值为( ) A.32 B.36 C.42D.50解析 易知圆C ：(x －2)2＋y 2＝1，圆心(2，0)，半径r ＝1，且圆心C (2，0)是抛物线y 2＝8x 的焦点，则|PN |＋9|QM |＝|PC |＋r ＋9(|QC |＋r )＝|PC |＋9|QC |＋10.设点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 24＝4.故|PN |＋9|QM |＝|PC |＋9|QC |＋10 ＝x 1＋9x 2＋5p ＋10＝x 1＋9x 2＋30 ≥29x 1x 2＋30＝42.当且仅当x 1＝9x 2＝6时，上式等号成立. 答案 C12.已知M ＝{α|f (α)＝0}，N ＝{β|g (β)＝0}，若存在α∈M ，β∈N ，使得|α－β|<n ，则称函数f (x )与g (x )互为“n 度零点函数”.若f (x )＝2x －2－1与g (x )＝x 2－a e x 互为“1度零点函数”，则实数a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤1e 2，4eB.⎝ ⎛⎦⎥⎤1e ，4e 2C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫4e 2，2eD.⎣⎢⎡⎭⎪⎫4e 3，2e 2 解析 由f (x )＝2x －2－1＝0，得x ＝2.依题意|2－β|<1，解得1<β<3.又g (β)＝β2－a e β＝0，得a ＝β2eβ，1<β<3.设φ(x )＝x 2ex ，x ∈(1，3)，则φ′(x )＝x （2－x ）ex，当1<x <2时，φ′(x )>0；2<x <3时，φ′(x )<0， ∴φ(x )在x ＝2处有极大值，且φ(2)＝4e 2，又φ(1)＝1e ，φ(3)＝9e3且φ(1)<φ(3).∴φ(x )的值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤1e ，4e 2，故a 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤1e ，4e 2.答案 B二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把正确的答案填写在各小题的横线上.)13.已知向量a ，b 满足a ＝(cos 2 018°，sin 2 018°)，|a ＋b |＝7，|b |＝2，则a ，b 的夹角等于________. 解析 由条件知|a |＝1，|b |＝2，|a ＋b |＝7，则|a ＋b |2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝7，a·b ＝1.故cos 〈a ，b 〉＝a·b|a ||b |＝12，〈a ，b 〉＝π3. 答案π314.已知点P 在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2x ，2x ＋y ≥2，x ≤1表示的平面区域内，A (3，2)，B (2，1)，则△PAB 面积的最大值为________.解析 作不等式组表示的平面区域如图阴影部分，且|AB |＝2，又k AB ＝1<2， ∴点C 到AB 所在直线的距离最大.易知直线AB 的方程为x －y －1＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2x ，得点C (1，2)，∴C 点到直线AB 的距离d ＝|1－2－1|2＝2，故△PAB 面积的最大值是12·|AB |·2＝1. 答案 115.点M 是双曲线x 2－y 24＝1渐近线上一点，若以M 为圆心的圆与圆C ：x 2＋y 2－4x ＋3＝0相切，则圆M 的半径的最小值等于________.解析 不妨设点M 是渐近线2x －y ＝0上一点.∵圆C ：x 2＋y 2－4x ＋3＝0的标准方程为(x －2)2＋y 2＝1，∴圆心C (2，0)，半径R ＝1.若圆M 的半径最小，则圆M 与圆C 外切，且直线MC 与直线2x －y ＝0垂直. 因此圆M 的半径的最小值r min ＝|MC |min －R .由于|MC |min ＝|4－0|22＋（－1）2＝455，故r min ＝455－1. 答案 455－116.我国古代数学名著《九章算术》对立体几何有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱.如图为一个“堑堵”，即三棱柱ABC －A 1B 1C 1，其中AC ⊥BC ，已知该“堑堵”的高为6，体积为48，则该“堑堵”的外接球体积的最小值为________.解析 以C 为顶点，把三棱柱补成长方体，设其外接球的半径为R ，则(2R )2＝AC 2＋BC 2＋CC 21＝36＋AC 2＋BC 2，又V 三棱柱＝12·AC ·BC ·CC 1＝48，知AC ·BC ＝16，∴AC 2＋BC 2≥2AC ·BC ＝32.则(2R )2的最小值为68，所以R min ＝17.故外接球体积的最小值为 43π(17)3＝68173π. 答案 68173π。
2019高考数学高分突破二轮复习练习：专题6 第1讲 函数图象与性质
第1讲 函数图象与性质高考定位 1.以基本初等函数为载体，考查函数的定义域、最值、奇偶性、单调性和周期性；2.利用函数的图象研究函数性质，能用函数的图象与性质解决简单问题；3.函数与方程思想、数形结合思想是高考的重要思想方法.真 题 感 悟1.(2018·全国Ⅱ卷)函数f (x )＝e x －e －xx 2的图象大致为( )解+析 f (x )＝e x －e －x x 2为奇函数，排除A ；当x >0时，f (1)＝e －1e >2，排除C ，D ，只有B 项满足.答案 B2.(2018·全国Ⅱ卷)已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x ).若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝( )A.－50B.0C.2D.50解+析 法一 ∵f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，且f (1－x )＝f (1＋x )，∴f (4＋x )＝f (x )，∴f (x )是周期函数，且一个周期为4，又f (0)＝0，知f (2)＝f (0)，f (4)＝f (0)＝0，由f (1)＝2，知f (－1)＝－2，则f (3)＝f (－1)＝－2，从而f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0，故f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (50)＝12×0＋f (49)＋f (50)＝f (1)＋f (2)＝2，故选C.法二 由题意可设f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ，作出f (x )的部分图象如图所示.由图可知，f (x )的一个周期为4，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝12[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (49)＋f (50)＝12×0＋f (1)＋f (2)＝2.答案 C3.(2017·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )，则( )A.f (x )在(0，2)上单调递增B.f (x )在(0，2)上单调递减C.y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称D.y ＝f (x )的图象关于点(1，0)对称解+析 由题意知，f (x )＝ln x ＋ln(2－x )的定义域为(0，2)，f (x )＝ln[x (2－x )]＝ ln[－(x －1)2＋1]，由复合函数的单调性知，函数f (x )在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，所以排除A ，B ；又f (2－x )＝ln(2－x )＋ln x ＝f (x )，所以f (x )的图象关于直线x ＝1对称，C 正确，D 错误.答案 C4.(2018·江苏卷)函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R )，且在区间(－2，2]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx 2，0<x ≤2，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，－2<x ≤0，则f [f (15)]的值为________.解+析 因为函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R )，所以函数f (x )的最小正周期为4.又因为在区间(－2，2]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx 2，0<x ≤2，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，－2<x ≤0， 所以f [f (15)]＝f [f (－1)]＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝cos π4＝22. 答案 22考 点 整 合1.函数的图象(1)对于函数的图象要会作图、识图和用图，作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换.(2)在研究函数性质特别是单调性、值域、零点时，要注意结合其图象研究.(3)函数图象的对称性①若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )，即f (x )＝f (2a －x )，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称；②若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝－f (a －x )，即f (x )＝－f (2a －x )，则y ＝f (x )的图象关于点(a ，0)对称.2.函数的性质(1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质.证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、变形、判断符号和下结论.复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则.(2)奇偶性：①若f (x )是偶函数，则f (x )＝f (－x ).②若f (x )是奇函数，0在其定义域内，则f (0)＝0.③奇函数在关于原点对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的单调区间内有相反的单调性.(3)周期性：①若y ＝f (x )对x ∈R ，f (x ＋a )＝f (x －a )或f (x ＋2a )＝f (x )(a >0)恒成立，则y ＝f (x )是周期为2a 的周期函数.②若y ＝f (x )是偶函数，其图象又关于直线x ＝a 对称，则f (x )是周期为2|a |的周期函数.③若y ＝f (x )是奇函数，其图象又关于直线x ＝a 对称，则f (x )是周期为4|a |的周期函数.④若f (x ＋a )＝－f (x )⎝ ⎛⎭⎪⎫或f （x ＋a ）＝1f （x ），则y ＝f (x )是周期为2|a |的周期函数. 易错提醒 错用集合运算符号致误：函数的多个单调区间若不连续，不能用符号“∪”连接，可用“和”或“，”连接.热点一 函数及其表示【例1】 (1)函数y ＝lg （1－x 2）2x 2－3x －2的定义域为( ) A.(－∞，1]B.[－1，1]C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1 (2)(2018·全国Ⅰ卷)设函数f (x )＝⎩⎨⎧2－x ，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A.(－∞，－1]B.(0，＋∞)C.(－1，0)D.(－∞，0)解+析 (1)函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，2x 2－3x －2≠0，即⎩⎨⎧－1<x <1，x ≠2且x ≠－12.所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－1<x <1，且x ≠－12.(2)当x ≤0时，函数f (x )＝2－x 是减函数，则f (x )≥f (0)＝1.作出f (x )的大致图象如图所示，结合图象可知，要使f (x ＋1)＜f (2x )，则需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0，2x <0，2x <x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2x <0，所以x <0. 答案 (1)C (2)D探究提高 1.(1)给出解+析式的函数的定义域是使解+析式有意义的自变量的集合，只需构建不等式(组)求解即可.(2)抽象函数：根据f (g (x ))中g (x )的范围与f (x )中x 的范围相同求解.2.对于分段函数的求值问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解；形如f (g (x ))的函数求值时，应遵循先内后外的原则.【训练1】 (1)设函数y ＝4－x 2的定义域为A ，函数y ＝ln(1－x )的定义域为B ，则A ∩B ＝( )A.(1，2)B.(1，2]C.(－2，1)D.[－2，1)(2)(2018·郑州质检)函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋1，x <0，－log 2（x ＋1）＋2，x ≥0. 且f (a )＝－2.则f (14－a )＝________.解+析 (1)由4－x 2≥0得－2≤x ≤2，∴A ＝[－2，2]，由1－x ＞0得x ＜1，∴B ＝(－∞，1).∴A ∩B ＝[－2，1).(2)当x <0时，f (x )＝2x ＋1>0，由f (a )＝－2，知－log 2(a ＋1)＋2＝－2，∴a ＝15.故f (14－a )＝f (－1)＝2－1＋1＝1.答案 (1)D (2)1热点二 函数的图象及应用【例2】 (1)(2018·浙江卷)函数y ＝2|x |sin 2x 的图象可能是( )(2)(2018·合肥调研)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧|2x ＋1|，x <1，log 2（x －m ），x >1，若f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)(x 1，x 2，x 3互不相等)，且x 1＋x 2＋x 3的取值范围为(1，8)，则实数m 的值为________.解+析 (1)设f (x )＝2|x |sin 2x ，其定义域关于坐标原点对称，又f (－x )＝2|－x |·sin(－2x )＝－f (x )，所以y ＝f (x )是奇函数，故排除选项A ，B ；令f (x )＝0，则sin 2x ＝0，所以x ＝k π2(k ∈Z )，故排除选项C.故选D.(2)作出f (x )的图象，如图所示，可令x 1<x 2<x 3，则由图知点(x 1，0)，(x 2，0)关于直线x ＝－12对称，所以x 1＋x 2＝－1.又因为1<x 1＋x 2＋x 3<8，所以2<x 3<9.结合图象可知A 点坐标为(9，3)，代入函数解+析式得3＝log 2(9－m )，解得m ＝1.答案 (1)D (2)1探究提高 1.已知函数的解+析式，判断其图象的关键是由函数解+析式明确函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等，以及函数图象上的特殊点，根据这些性质对函数图象进行具体分析判断.2.(1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.(2)图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究.【训练2】(1)(2017·全国Ⅲ卷)函数y＝1＋x＋sin xx2的部分图象大致为()(2)(2018·贵阳质检)已知f(x)＝2x－1，g(x)＝1－x2，规定：当|f(x)|≥g(x)时，h(x)＝|f(x)|；当|f(x)|＜g(x)时，h(x)＝－g(x)，则h(x)()A.有最小值－1，最大值1B.有最大值1，无最小值C.有最小值－1，无最大值D.有最大值－1，无最小值解+析(1)法一易知g(x)＝x＋sin xx2为奇函数，其图象关于原点对称.所以y＝1＋x＋sin xx2的图象只需把g(x)的图象向上平移一个单位长度，选项D满足.法二当x＝1时，f(1)＝1＋1＋sin 1＝2＋sin 1>2，排除A，C.又当x→＋∞时，y→＋∞，B项不满足，D满足.(2)画出y＝|f(x)|＝|2x－1|与y＝g(x)＝1－x2的图象，它们交于A，B两点.由“规定”，在A，B两侧，|f(x)|≥g(x)，故h(x)＝|f(x)|；在A，B之间，|f(x)|<g(x)，故h(x)＝－g(x).综上可知，y＝h(x)的图象是图中的实线部分，因此h(x)有最小值－1，无最大值. 答案(1)D(2)C热点三函数的性质与应用考法1函数的奇偶性、周期性【例3－1】(1)(2018·全国Ⅲ卷)已知函数f(x)＝ln(1＋x2－x)＋1，f(a)＝4，则f(－a)＝________.(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2).若当x∈[－3，0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________.解+析(1)设g(x)＝f(x)－1＝ln(1＋x2－x)，则g(x)为奇函数.由f(a)＝4，知g(a)＝f(a)－1＝3.∴g(－a)＝－3，则f(－a)＝1＋g(－a)＝－2.(2)∵f(x＋4)＝f(x－2)，∴f(x＋6)＝f(x)，则T＝6是f(x)的周期.∴f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1)，又f(x)在R上是偶函数，∴f(1)＝f(－1)＝6－(－1)＝6，即f(919)＝6.答案(1)－2(2)6考法2函数的单调性与最值【例3－2】(1)(2018·湖北名校联考)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增.若实数a满足f(32a－1)≥f(－3)，则a的最大值是()A.1B.12 C.14 D.34(2)已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x).若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c ＝g(3)，则a，b，c的大小关系为()A.a<b<cB.c<b<aC.b <a <cD.b <c <a解+析 (1)f (x )在R 上是偶函数，且在(－∞，0)上是增函数，∴f (x )在(0，＋∞)上是减函数，由f (32a －1)≥f (－3)＝f (3)，∴32a －1≤3，则2a －1≤12，∴a ≤34.故a 的最大值是34.(2)法一 易知g (x )＝xf (x )在R 上为偶函数，∵奇函数f (x )在R 上是增函数，且f (0)＝0.∴g (x )在(0，＋∞)上是增函数.又3>log 25.1>2>20.8，且a ＝g (－log 25.1)＝g (log 25.1)，∴g (3)>g (log 25.1)>g (20.8)，则c >a >b .法二 (特殊化)取f (x )＝x ，则g (x )＝x 2为偶函数且在(0，＋∞)上单调递增，又3>log 25.1>20.8，从而可得c >a >b .答案 (1)D (2)C探究提高 1.利用函数的奇偶性和周期性可以转化函数的解+析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解.2.函数单调性应用：可以比较大小、求函数最值、解不等式、证明方程根的唯一性.【训练3】 (1)(2018·潍坊模拟)若函数f (x )＝⎩⎨⎧log 3x －2，x >0，g （x ），x <0为奇函数，则 f (g (－3))＝( )A.－3B.－2C.－1D.0(2)已知偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，且f (2)＝0.若f (x －1)>0，则x 的取值范围是________.解+析 (1)由题意得g (－3)＝f (－3)＝－f (3)＝2－log 33＝1.因此f [g (－3)]＝f (1)＝log 31－2＝－2.(2)由题意知f (x －1)>f (2).又因为f (x )是偶函数且在[0，＋∞)上单调递减，所以f (|x －1|)>f (2)，即|x －1|<2，解得－1<x <3.答案 (1)B (2)(－1，3)1.解决函数问题忽视函数的定义域或求错函数的定义域，如求函数f (x )＝1x ln x 的定义域时，只考虑x >0，忽视ln x ≠0的限制.2.如果一个奇函数f (x )在原点处有意义，即f (0)有意义，那么一定有f (0)＝0；若f (x )为偶函数，则f (|x |)＝f (x ).3.三种作函数图象的基本思想方法(1)通过函数图象变换利用已知函数图象作图；(2)对函数解+析式进行恒等变换，转化为已知方程对应的曲线；(3)通过研究函数的性质，明确函数图象的位置和形状.4.函数是中学数学的核心，函数思想是重要的思想方法，利用函数思想研究方程(不等式)才能抓住问题的本质，对于给定的函数若不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个函数图象，数形结合直观求解.一、选择题1.设f (x )＝⎩⎨⎧x ，0<x <1，2（x －1），x ≥1，若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝( ) A.2 B.4 C.6 D.8解+析 由已知得a >0，∴a ＋1>1，∵f (a )＝f (a ＋1)，∴a ＝2(a ＋1－1)，解得a ＝14，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝f (4)＝2(4－1)＝6. 答案 C2.(2018·西安质检)函数f (x )＝x 3－x e x ＋e－x 的图象是( )解+析 f (x )＝x 3－x e x ＋e －x 为奇函数，排除选项A ，B ，由f (x )＝0，知x ＝0或x ＝±1，选项D 满足.答案 D3.(2018·全国Ⅲ卷)下列函数中，其图象与函数y ＝ln x 的图象关于直线x ＝1对称的是( )A.y ＝ln(1－x )B.y ＝ln(2－x )C.y ＝ln(1＋x )D.y ＝ln(2＋x ) 解+析 法一 设所求函数图象上任一点的坐标为(x ，y )，则其关于直线x ＝1的对称点的坐标为(2－x ，y )，由对称性知点(2－x ，y )在函数f (x )＝ln x 的图象上，所以y ＝ln(2－x ).法二 由题意知，对称轴上的点(1，0)既在函数y ＝ln x 的图象上也在所求函数的图象上，代入选项中的函数表达式逐一检验，排除A ，C ，D ，选B. 答案 B4.已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( )A.a ＜b ＜cB.a ＜c ＜bC.c ＜a ＜bD.c ＜b ＜a解+析 由f (x )＝2|x －m |－1是偶函数可知m ＝0，所以f (x )＝2|x |－1.所以a ＝f (log 0.53)＝2|log 0.53|－1＝2log 23－1＝2，b ＝f (log 25)＝2|log 25|－1＝2log 25－1＝4，c ＝f (0)＝2|0|－1＝0，所以c <a <b .答案 C5.(2018·石家庄质检)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2e x －1，x <1，x 3＋x ，x ≥1，则f [f (x )]<2的解集为( ) A.(1－ln 2，＋∞)B.(－∞，1－ln 2)C.(1－ln 2，1)D.(1，1＋ln 2)解+析 因为当x ≥1时，f (x )＝x 3＋x ≥2，当x <1时，f (x )＝2e x －1<2，∴f (f (x ))<2等价于f (x )<1，即2e x －1<1.因此x <1－ln 2.答案 B6.已知定义在D ＝[－4，4]上的函数f (x )＝⎩⎨⎧|x 2＋5x ＋4|，－4≤x ≤0，2|x －2|，0<x ≤4对任意x ∈D ，存在x 1，x 2∈D ，使得f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则|x 1－x 2|的最大值与最小值之和为( )A.7B.8C.9D.10解+析 作出函数f (x )的图象如图所示，由任意x ∈D ，f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)知，f (x 1)，f (x 2)分别为f (x )的最小值和最大值，由图可知|x 1－x 2|max ＝8，|x 1－x 2|min ＝1，所以|x 1－x 2|的最大值与最小值之和为9.答案 C二、填空题7.(2018·成都诊断)函数f (x )＝2x －12＋3x ＋1的定义域为________.解+析 由题意得：⎩⎨⎧2x －12≥0，x ＋1≠0，解得x >－1. 答案 {x |x >－1}8.已知函数f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，且f (log 124)＝－3，则a 的值为________.解+析 ∵奇函数f (x )满足f (log 124)＝－3，而log 124＝－2<0，∴f (－2)＝－3，即f (2)＝3，又∵当x >0时，f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，又2>0，∴f (2)＝a 2＝3，解之得a ＝ 3.答案 39.如图，函数f (x )的图象为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集是________.解+析 在同一坐标系中画出函数f (x )与y ＝log 2(x ＋1)的图象，如图所示.根据图象，当x ∈(－1，1]时，y ＝f (x )的图象在y ＝log 2(x ＋1)图象的上方.所以不等式的解集为(－1，1].答案 (－1，1]三、解答题10.(2018·深圳中学调研)已知函数f (x )＝a －22x ＋1. (1)求f (0)；(2)探究f (x )的单调性，并证明你的结论；(3)若f(x)为奇函数，求满足f(ax)<f(2)的x的范围.解(1)f(0)＝a－220＋1＝a－1.(2)∵f(x)的定义域为R，∴任取x1，x2∈R且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝a－22x1＋1－a＋22x2＋1＝2·（2x1－2x2）（1＋2x1）（1＋2x2），∵y＝2x在R上单调递增且x1<x2，∴0<2x1<2x2，∴2x1－2x2<0，2x1＋1>0，2x2＋1>0. ∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2).∴f(x)在R上单调递增.(3)∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即a－22－x＋1＝－a＋22x＋1，解得a＝1(或用f(0)＝0去解).∴f(ax)<f(2)即为f(x)<f(2)，又∵f(x)在R上单调递增，∴x<2.11.已知函数f(x)＝x2－2ln x，h(x)＝x2－x＋a.(1)求函数f(x)的极值；(2)设函数k(x)＝f(x)－h(x)，若函数k(x)在[1，3]上恰有两个不同零点，求实数a 的取值范围.解(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，令f′(x)＝2x－2x＝0，得x＝1.当x∈(0，1)时，f′(x)＜0，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，所以函数f(x)在x＝1处取得极小值为1，无极大值. (2)k(x)＝f(x)－h(x)＝x－2ln x－a(x＞0)，所以k′(x)＝1－2 x，令k′(x)＞0，得x＞2，所以k(x)在[1，2)上单调递减，在(2，3]上单调递增，所以当x＝2时，函数k(x)取得最小值k(2)＝2－2ln 2－a.因为函数k (x )＝f (x )－h (x )在区间[1，3]上恰有两个不同零点， 即有k (x )在[1，2)和(2，3]内各有一个零点，所以⎩⎨⎧k （1）≥0，k （2）<0，k （3）≥0，即有⎩⎨⎧1－a ≥0，2－2ln 2－a <0，3－2ln 3－a ≥0，解得2－2ln 2<a ≤3－2ln 3.所以实数a 的取值范围为(2－2ln 2，3－2ln 3].。
2019-2020年高考数学小题高分突破6数列
2019-2020年高考数学小题高分突破 6数列1 .已知｛a n ｝为等比数列，数列｛b n ｝满足b l =2 , b 2 = 5，且a n (b n + 1 — b n ) = a n + 1,则数列｛b n ｝的 前n 项和为( )A . 3n + 1 3n 2+n C.- 答案 C 解析b1 = 2, b 2= 5,且 a n (b n + 1 — b n )= a n + 1 ,二 a 1(b 2— b 1)= a 2,即卩 a 2= 3a 1, 又数列｛a n ｝为等比数列，•数列｛ a n ｝的公比q = 3，且a n M 0, 二数列｛b n ｝是首项为2，公差为3的等差数列，2 •数列｛ b n ｝的前 n 项和为 S n = 2n + “ ； 1 X 3= 3n.2 .设等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n , S 2= 3, S 4 = 15,则S 6等于( )A . 27B . 31C . 63D . 75 答案 C解析 由题意得S 2, S 4— S 2, S 6— S 4成等比数列， 所以3,12, S 6— 15成等比数列， 所以 122= 3X (S 6— 15)，解得 S 6= 63.3. 设S n 是公差不为0的等差数列｛a n ｝的前n 项和，S 3= a 2,且S, S 2, S 4成等比数列，则 a 10 等于()A . 15B . 19C . 21D . 30 答案 B解析 设等差数列｛a n ｝的公差为d , 因为 S 3 = a 2,所以 3a 2 = a 2, 解得a 2 = 0或a 2= 3,又因为S 1, S 2, S 4构成等比数列， 所以S 2 = SS ,所以(2a 2— d)2= (a 2— d)(4a 2+ 2d), 若 a 2= 0,则 d 2=— 2d 2,B . 3n — 1 3n 2 —a n +1 …bn + 1 — b n = = 3, a n此时d = 0,不符合题意，舍去，当 a 2= 3 时，可得(6 - d)2= (3 - d)(12 + 2d), 解得d = 2(d = 0舍去)，所以 a io = a 2+ 8d = 3+ 8X 2 = 19. 4. 在等差数列｛a n ｝中，若一< —1,且它的前n 项和S n 有最小值，则当S n >0时，n 的最小值 a 8为()A . 14B . 15C . 16D . 17 答案 C解析•••数列｛a n ｝是等差数列，它的前 n 项和S n 有最小值， ••• d>0, a 1<o , ｛a n ｝为递增数列.•- a 8 a 9<0 , a 8 + a 9>0,由等差数列的性质知， 2a 8 = a 1 + a 15<0, a 8+ a 9= a 1+ a 16>0. n a 1+ a n-S n =2 ,•••当s>0时，n 的最小值为16. 5.若S n 为数列｛a n ｝的前n 项和，且S n = 2a n -2,则S 8等于( )A . 255B . 256C . 510D . 511 答案 C解析 当n = 1时，a 1 = S 1 = 2a 1-2,据此可得a 1= 2, 当 n 》2 时，S n = 2a n -2, 3-1 = 2a n -1- 2, 两式作差可得 a n = 2a n — 2a n -1，贝y a n = 2a n -1 , 据此可得数列｛a n ｝是首项为2,公比为2的等比数列，6.已知数列｛a n ｝中 a 1 = 1, a 2= 2,且 a n +2- a n = 2-2 (- 1)n , n € N ，贝V S 2 017 的值为( )解析由递推公式，可得当n 为奇数时，a n + 2- a n = 4，数列｛a n ｝的奇数项是首项为 1,公差为4的等差数列, 当n 为偶数时，a n + 2- a n = 0，数列｛a n ｝的偶数项是首项为 2,公差为0的等差数列, S 2 017= (a 1 + a 3+ …+ a 2 017) + (a 2 + a 4 + …+ a 2 016)a 9< a 8 -1, 其前8项和为S 8 =2 X (1 - 28) 1- 2=29- 2 = 512- 2= 510. A . 2 016 X 1 010- 1 B . 1 009 X 2 017 C . 2 017 X 1 010- 1 答案 CD . 1 009 X 2 0161=1 009 + — X 1 009 X 1 008 X 4+ 1 008 X 2 2=2 017X 1 010- 1.答案 A所以 a 1 = 0, a 2=— •. 3, a 3=”・J 3, a 4 = 0, a 5=— ■ 3, a 6=\,'3, 故此数列的周期为 3.所以 a 56 = a 18x 3+ 2= a 2= — -』3.8•《张丘建算经》是中国古代数学史上的杰作，该书中有首古民谣记载了一数列问题：“南 山一棵竹，竹尾风割断，剩下三十节，一节一个圈.头节高五寸①，头圈一尺三②.逐节多三分③，逐圈少分三④.一蚁往上爬，遇圈则绕圈•爬到竹子顶，行程是多远？”（注释：①第一节的高度为0.5尺；②第一圈的周长为 1.3尺；③每节比其下面的一节多 0.03尺；④每圈周长 比其下面的一圈少 0.013尺）问：此民谣提出的问题的答案是 （ ）A . 72.705 尺B . 61.395 尺C . 61.905 尺D . 73.995 尺答案 B解析 因为每竹节间的长相差 0.03尺， 设从地面往上，每节竹长为a 1, a 2, a 3,…,a 3o ,所以｛a n ｝是以a 1= 0.5为首项，以d 1 = 0.03为公差的等差数列, 由题意知竹节圈长，上一圈比下一圈少0.013尺，设从地面往上，每节圈长为b 1, b 2, b 3,…，b 30,由｛b n ｝是以b 1 = 1.3为首项，d = — 0.013为公差的等差数列， 所以一蚂蚁往上爬，遇圈则绕圈，爬到竹子顶，行程是9.已知数列｛a n ｝是各项均为正数的等比数列， S n 是其前n 项和，若S 2+ a 2= S 3— 3,贝U a 4 + 3a 2的最小值为（）A . 12B . 9C . 6D . 18 答案 D解析因为S 3 — S 2= a 3,7.已知数列｛a n ｝满足a 1 = 0, a n + 1 =（n € N *），贝U a 56 等于（A . — ■] 3B . 0 C. 3D. "2-解析 因为a n 一 寸3an +门(nC NS 30= 30 X 0.5 + 30 X 29 2 X 0.03 + 30 X 1.3 + 30 X292 X — 0.013 =61.395. 窮 3a n + 1所以由S2+ a2= S3—3，得a3—a2= 3,3设等比数列｛a n｝的公比为q,贝U a i = —-,q q—1由于｛a n｝的各项为正数，所以q>1.a4+ 3a2= a i q3+ 3a i q3=aiq(q2+ 3)=^——7 q(q2+3)当且仅当q—1= 2,即q = 3时，a4+ 3a2取得最小值18.10 •已知数列｛a n｝的通项公式为a n= 2n(n € N*)，数列｛b n｝的通项公式为b n= 3n—1,记它们的公共项由小到大排成的数列为｛cn｝，令xn=抚;，则的取值范围为()B • (1, e)3D. 2，e答案C解析由题意知，｛a n｝, ｛b n｝的共同项为2,8,32,128，…，故c n= 22n—1C nXn= 1 + C n，1 1得x n=1+c n，则当n》2时，-=丄>1F n—1 X n '故数列｛F n｝是递增数列,•— > 3X1 …X n—1X n 2■/ 当x>0 时，ln(1 + x)<x，•'•In 1 + 1<-L，C n C n则ln 1 + 1 1+ 1…11 + 一C1C2C n=ln11+ …+ In1 1+ + In 1 +一 1 + 一C1C2C nA • [1,2)3c. ,e2X1 …X n—1X n11+ 一C111+ •-C211+ .C n令F n =1X1 …X n —X1 1 1 <_ + +••• + _ C 1 C2 C n11— 2 n2 i 22 1 __ 1 —11 n2=1 —11+23••当n = 1时，S 取最大值；2 当n = 2时，S n 取最小值-. 4要使S + 2< M 对任意的n € N *恒成立.S n1 2 < 1 1 - 1 2 3,1 二 1 + - C 1 11 + •-C 21 1 + 一2<e 3 4, 故3 <2 X 1 …X n —1X n21 < e 3，故选C. 11 .记S n 为数列｛a n ｝的前n 项和，满足 3 * 2a 1 = 2, 2a n +1 + 3S n = 3(n € N )，若 S n + S 仝 M 对任意 的n € N *恒成立, 则实数M 的最小值为答案 C 17 B.?C.11 D . 4 解析由— *2a n +1+ 3S n = 3(n € N ),得 2a n + 3Si T = 3, n 》2.两式相减，可得2a n + 1 — 2a n + 3a n = 0 , 即叱a n 1 1 = q.•a 1= 2, 2a2 + 3S 1 = 3, 即 2a 2+ 3a 1= 3,3 •-a2= —4， 冬_ 1 a 1 2’••• an = 3n — 13则 S n = 22 41 S n +取得最大值彷，S n 12 41 二 M >—,12，12 .对于任意实数 x ,符号[x ]表示不超过x 的最大整数，例如[3]= 3, [ — 1.2] = - 2, [1.2]= 1.已知数列｛a n ｝满足a n =[log 2n]，其前n 项和为S n ,若n o 是满足S n >2 018的最小整数，则 n o 的值为（ ）A . 305B . 306C . 315D . 316 答案 D解析由题意，a n = [log 2 n ], 当n = 1时，可得a 1= 0, （1项） 当 21< n<22 时，可得 a 2= a 3= 1, （2 项） 当 22w n<23 时，可得 a 4 = a 5=…=a 7 = 2, （4 项） 当 23< n<24 时，可得 a 8= a 9=…=a 15 = 3, （8 项）当 24< n<25 时，可得 a 16= a 17=…=a 31= 4, （16 项） 当 2k w n<2k +1 时，可得 a 2k = a 2k +1=…=a 2k +1—1= k , （2k 项） 当 2k < n<2k +1 时，前 n 项和 S n = 1 x 21 + 2X 22+ - + k x 2k , 23= 1 x 22+ 2X 23+ …+ k x 2k +1, 所以一S n = 2+ 22+23+ …+ 2k — k x 2k +1, 所以 S n = （k — 1） x 2k +1 + 2.由 S n >2 018，得 k >8. 当 k = 7 时，S n = 1 538<2 018;当 k = 8 时，S n = 3 586>2 018, 所以取 k = 7,且 2 018— 1 538= 480, 所以 n =1x 1 — 2+ 4|° + 1= 316.1 —2 813. ______________________ 已知等比数列｛a n ｝的前n 项和S n = 3n + r ，则a 3— r = 项是第k 项，则k = .答案 194解析等比数列前n 项和公式具有的特征为•••实数M 的最小值为4112.2，数列n n + 4 3 n 的最大S n = aq n — a ,据此可知，r =— 1,则 S n = 3n — 1, a 3= S 3— S 2=(33 — 1)— (32— 1)= 18, a 3— r = 19.2令 b n = n (n + 4)3 n ,且 b n >0,2n 2+ 6n + 5 2 3 • n 2+ 4n >1 可得 n <10， ,b n +1 2 n 2+ 6n + 5 2 由斎=3 • n 2+ 4n <1 可得 n >10， 据此可得，数列中的项满足b 1<b 2<b 3<b 4,且 b 4>b 5>b 6>b 7>b 8> …，则 k = 4. 14.已知等比数列｛a n ｝的首项是1,公比为3,等差数列｛b n ｝的首项是一5,公差为1，把｛b n ｝ 中的各项按如下规则依次插入到 ｛a n ｝的每相邻两项之间，构成新数列｛c n ｝ : a 1, b 1, a 2, b 2,b 3, a 3,b 4, b 5 ,b 6, a 4,…，即在a n 和a n +1两项之间依次插入 ｛b n ｝中n 个项，贝U 02 018= ____ .（用 数字作答） 答案 1 949解析 由题意可得，a n = 3n —1,b n =— 5+ (n — 1) x 1 = n — 6,由题意可得，数列｛ 0n ｝中的项为3°,— 5,31,— 4,— 3,32,— 2，— 1,0,33,…，3“时,当n = 62时，63；64= 2 016,即此时共有2 016项，且第2 016项为362, …C 2 018= b 1 955 = 1 955 一 6= 1 949.15. 已知数列｛a n ｝的前 n 项和为 S n ,若 a 1 = 1, a 2 = 2, a 3n = 2n — 2a n , a 3n +1= a n + 1, a 3n +2 = a n — n ,贝y S 60 = ______ .(用数字作答) 答案 264解析 因为 a 3n = 2n — 2a n , a 3n +1 = a n + 1 , a 3n + 2= a n — n , 所以 a 3n + a 3n +1+ a 3n +2= n +1 ,因此 @3+ a 4 + a 5)+ (a 6 + a 7 + a 8)+ …+ (a 57+ a 58 + a 59)= 2 + 3+ …+ 20= 209, 因为 a 3n = 2n — 2a n , a 3n + 2= a n — n ,所以 a 60 = a 3x20= 2x 20 — 2a 2o , a 2o = a 3x6+ 2= a 6— 6,a 6= a 3x2 = 2 x 2 — 2a 2= 0,b n + 1 b n 2 n 2+ 6n + 5 3 n 2+ 4nb n + 1 b n 数列｛0n ｝的项数为1 + 2+ ••• + n + (n + 1)= n + 1 n + 22所以a20 = —6, a60= 52 ,综上，S 60 = 1 + 2+ 209+ 52= 264.4 11 116 .数列｛ a n ｝满足a 1 = 4 a *+1 = a 2 — a n + 1(n € N *),则 —I ---- … ------- 的整数部分是 _________3 a 1 a 2 a 2 017 答案 24解析 因为 a 1 = 3, a n +1 = a n — a n + 1(n € N ), 所以 a n +1一 a n = (a n 一 1)2>0,所以a n +1>a n ，数列｛a n ｝单调递增, 所以 a n +1— 1 = a n (a n — 1)>0 ,1 1 1所以_ =—— --a n a n — 1 a n +1— 11 11所以S *=丄+丄+…+丄a 1 a 2 a n1 1 . 1 — +a 1 — 1 a 2— 1 a 2— 11 一 1 a n — 1 a n +1 —1因为 a 1 = 3，所以 a 2= 3 2-3 + 1 =号，所以 a 2 018>a 2017>a 2016>・・・>a 4>2,1所以 a 2 018 — 1>1，所以 0< <1,a 2 018 — 11所以 2<3— —<3,a 2 018— 1 因此m 的整数部分是2.3根据对勾函数的性质，当 S n = 3时，41 一 1a 1 — 1 a n +1— 1所以 m = S 2 017 = 3 —1a 2 018 —1所以1 a n + 1— 1 1 a n a n — 1 1a n — 1 丄a n1 a 3— 1a 3=13 2一 迫+ 1 =迪9 9 +81a 4= 133 281晋 +1>2,。
2019年高考数学高分突破复习 专题六 第1讲
第1讲 函数图象与性质高考定位 1.以基本初等函数为载体，考查函数的定义域、最值、奇偶性、单调性和周期性；2.利用函数的图象研究函数性质，能用函数的图象与性质解决简单问题；3.函数与方程思想、数形结合思想是高考的重要思想方法.真 题 感 悟1.(2018·全国Ⅱ卷)函数f (x )＝e x －e －xx 2的图象大致为( )解析 f (x )＝e x －e －xx 2为奇函数，排除A ；当x >0时，f (1)＝e －1e>2，排除C ，D ，只有B 项满足. 答案 B2.(2018·全国Ⅱ卷)已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x ).若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝( )A.－50B.0C.2D.50解析 法一 ∵f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，且f (1－x )＝f (1＋x )，∴f (4＋x )＝f (x )，∴f (x )是周期函数，且一个周期为4，又f (0)＝0，知f (2)＝f (0)，f (4)＝f (0)＝0，由f (1)＝2，知f (－1)＝－2，则f (3)＝f (－1)＝－2，从而f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0，故f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (50)＝12×0＋f (49)＋f (50)＝f (1)＋f (2)＝2，故选C.法二 由题意可设f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ，作出f (x )的部分图象如图所示.由图可知，f (x )的一个周期为4，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝12[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (49)＋f (50)＝12×0＋f (1)＋f (2)＝2. 答案 C3.(2017·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )，则( ) A.f (x )在(0，2)上单调递增 B.f (x )在(0，2)上单调递减 C.y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称 D.y ＝f (x )的图象关于点(1，0)对称解析 由题意知，f (x )＝ln x ＋ln(2－x )的定义域为(0，2)，f (x )＝ln[x (2－x )]＝ln[－(x －1)2＋1]，由复合函数的单调性知，函数f (x )在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，所以排除A ，B ；又f (2－x )＝ln(2－x )＋ln x ＝f (x )，所以f (x )的图象关于直线x ＝1对称，C 正确，D 错误. 答案 C4.(2018·江苏卷)函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R )，且在区间(－2，2]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx2，0<x ≤2，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，－2<x ≤0，则f [f (15)]的值为________.解析 因为函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R )，所以函数f (x )的最小正周期为4.又因为在区间(－2，2]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx 2，0<x ≤2，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，－2<x ≤0，所以f [f (15)]＝f [f (－1)]＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝cos π4＝22.答案22考 点 整 合1.函数的图象(1)对于函数的图象要会作图、识图和用图，作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换. (2)在研究函数性质特别是单调性、值域、零点时，要注意结合其图象研究. (3)函数图象的对称性①若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )，即f (x )＝f (2a －x )，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称；②若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝－f (a －x )，即f (x )＝－f (2a －x )，则y ＝f (x )的图象关于点(a ，0)对称. 2.函数的性质(1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质.证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、变形、判断符号和下结论.复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则.(2)奇偶性：①若f (x )是偶函数，则f (x )＝f (－x ). ②若f (x )是奇函数，0在其定义域内，则f (0)＝0.③奇函数在关于原点对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的单调区间内有相反的单调性.(3)周期性：①若y ＝f (x )对x ∈R ，f (x ＋a )＝f (x －a )或f (x ＋2a )＝f (x )(a >0)恒成立，则y ＝f (x )是周期为2a 的周期函数.②若y ＝f (x )是偶函数，其图象又关于直线x ＝a 对称，则f (x )是周期为2|a |的周期函数.③若y ＝f (x )是奇函数，其图象又关于直线x ＝a 对称，则f (x )是周期为4|a |的周期函数.④若f (x ＋a )＝－f (x )⎝ ⎛⎭⎪⎫或f （x ＋a ）＝1f （x ），则y ＝f (x )是周期为2|a |的周期函数.易错提醒 错用集合运算符号致误：函数的多个单调区间若不连续，不能用符号“∪”连接，可用“和”或“，”连接.热点一 函数及其表示【例1】 (1)函数y ＝lg （1－x 2）2x 2－3x －2的定义域为( )A.(－∞，1]B.[－1，1]C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1(2)(2018·全国Ⅰ卷)设函数f (x )＝⎩⎨⎧2－x，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( ) A.(－∞，－1] B.(0，＋∞) C.(－1，0)D.(－∞，0)解析 (1)函数有意义，则⎩⎨⎧1－x 2>0，2x 2－3x －2≠0，即⎩⎨⎧－1<x <1，x ≠2且x ≠－12.所以函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1<x <1，且x ≠－12.(2)当x ≤0时，函数f (x )＝2－x 是减函数，则f (x )≥f (0)＝1.作出f (x )的大致图象如图所示，结合图象可知，要使f (x ＋1)＜f (2x )，则需⎩⎨⎧x ＋1<0，2x <0，2x <x ＋1或⎩⎨⎧x ＋1≥0，2x <0，所以x <0.答案 (1)C (2)D探究提高 1.(1)给出解析式的函数的定义域是使解析式有意义的自变量的集合，只需构建不等式(组)求解即可.(2)抽象函数：根据f (g (x ))中g (x )的范围与f (x )中x 的范围相同求解. 2.对于分段函数的求值问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解；形如f (g (x ))的函数求值时，应遵循先内后外的原则.【训练1】 (1)设函数y ＝4－x 2的定义域为A ，函数y ＝ln(1－x )的定义域为B ，则A ∩B ＝( ) A.(1，2)B.(1，2]C.(－2，1)D.[－2，1)(2)(2018·郑州质检)函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋1，x <0，－log 2（x ＋1）＋2，x ≥0. 且f (a )＝－2.则f (14－a )＝________.解析 (1)由4－x 2≥0得－2≤x ≤2，∴A ＝[－2，2]， 由1－x ＞0得x ＜1，∴B ＝(－∞，1).∴A ∩B ＝[－2，1).(2)当x <0时，f (x )＝2x ＋1>0，由f (a )＝－2，知－log 2(a ＋1)＋2＝－2，∴a ＝15.故f (14－a )＝f (－1)＝2－1＋1＝1. 答案 (1)D (2)1热点二 函数的图象及应用【例2】 (1)(2018·浙江卷)函数y ＝2|x |sin 2x 的图象可能是( )(2)(2018·合肥调研)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧|2x ＋1|，x <1，log 2（x －m ），x >1，若f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)(x 1，x 2，x 3互不相等)，且x 1＋x 2＋x 3的取值范围为(1，8)，则实数m 的值为________.解析 (1)设f (x )＝2|x |sin 2x ，其定义域关于坐标原点对称，又f (－x )＝2|－x |·sin(－2x )＝－f (x )，所以y ＝f (x )是奇函数，故排除选项A ，B ；令f (x )＝0，则sin 2x ＝0，所以x ＝k π2(k ∈Z )，故排除选项C.故选D.(2)作出f (x )的图象，如图所示，可令x 1<x 2<x 3，则由图知点(x 1，0)，(x 2，0)关于直线x ＝－12对称，所以x 1＋x 2＝－1.又因为1<x 1＋x 2＋x 3<8，所以2<x 3<9.结合图象可知A 点坐标为(9，3)，代入函数解析式得3＝log 2(9－m )，解得m ＝1.答案 (1)D (2)1探究提高 1.已知函数的解析式，判断其图象的关键是由函数解析式明确函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等，以及函数图象上的特殊点，根据这些性质对函数图象进行具体分析判断.2.(1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.(2)图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究.【训练2】(1)(2017·全国Ⅲ卷)函数y＝1＋x＋sin xx2的部分图象大致为( )(2)(2018·贵阳质检)已知f(x)＝2x－1，g(x)＝1－x2，规定：当|f(x)|≥g(x)时，h(x)＝|f(x)|；当|f(x)|＜g(x)时，h(x)＝－g(x)，则h(x)( )A.有最小值－1，最大值1B.有最大值1，无最小值C.有最小值－1，无最大值D.有最大值－1，无最小值解析(1)法一易知g(x)＝x＋sin xx2为奇函数，其图象关于原点对称.所以y＝1＋x＋sin xx2的图象只需把g(x)的图象向上平移一个单位长度，选项D满足.法二当x＝1时，f(1)＝1＋1＋sin 1＝2＋sin 1>2，排除A，C.又当x→＋∞时，y→＋∞，B项不满足，D满足.(2)画出y＝|f(x)|＝|2x－1|与y＝g(x)＝1－x2的图象，它们交于A，B两点.由“规定”，在A，B两侧，|f(x)|≥g(x)，故h(x)＝|f(x)|；在A，B之间，|f(x)|<g(x)，故h(x)＝－g(x).综上可知，y＝h(x)的图象是图中的实线部分，因此h(x)有最小值－1，无最大值. 答案(1)D (2)C热点三函数的性质与应用考法1 函数的奇偶性、周期性【例3－1】(1)(2018·全国Ⅲ卷)已知函数f(x)＝ln(1＋x2－x)＋1，f(a)＝4，则f(－a)＝________.(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2).若当x∈[－3，0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________.解析(1)设g(x)＝f(x)－1＝ln(1＋x2－x)，则g(x)为奇函数.由f(a)＝4，知g(a)＝f(a)－1＝3.∴g(－a)＝－3，则f(－a)＝1＋g(－a)＝－2.(2)∵f(x＋4)＝f(x－2)，∴f(x＋6)＝f(x)，则T＝6是f(x)的周期.∴f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1)，又f(x)在R上是偶函数，∴f(1)＝f(－1)＝6－(－1)＝6，即f(919)＝6.答案(1)－2 (2)6考法2 函数的单调性与最值【例3－2】(1)(2018·湖北名校联考)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增.若实数a满足f(32a－1)≥f(－3)，则a的最大值是( )A.1B.12C.14D.34(2)已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x).若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为( )A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a解析(1)f(x)在R上是偶函数，且在(－∞，0)上是增函数，∴f(x)在(0，＋∞)上是减函数，由f(32a－1)≥f(－3)＝f(3)，∴32a－1≤3，则2a－1≤12，∴a≤34.故a 的最大值是34.(2)法一 易知g (x )＝xf (x )在R 上为偶函数， ∵奇函数f (x )在R 上是增函数，且f (0)＝0. ∴g (x )在(0，＋∞)上是增函数.又3>log 25.1>2>20.8，且a ＝g (－log 25.1)＝g (log 25.1)， ∴g (3)>g (log 25.1)>g (20.8)，则c >a >b .法二 (特殊化)取f (x )＝x ，则g (x )＝x 2为偶函数且在(0，＋∞)上单调递增，又3>log 25.1>20.8， 从而可得c >a >b . 答案 (1)D (2)C探究提高 1.利用函数的奇偶性和周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解.2.函数单调性应用：可以比较大小、求函数最值、解不等式、证明方程根的唯一性.【训练3】 (1)(2018·潍坊模拟)若函数f (x )＝⎩⎨⎧log 3x －2，x >0，g （x ），x <0为奇函数，则f (g (－3))＝( ) A.－3B.－2C.－1D.0(2)已知偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，且f (2)＝0.若f (x －1)>0，则x 的取值范围是________.解析 (1)由题意得g (－3)＝f (－3)＝－f (3)＝2－log 33＝1.因此f [g (－3)]＝f (1)＝log 31－2＝－2. (2)由题意知f (x －1)>f (2).又因为f (x )是偶函数且在[0，＋∞)上单调递减， 所以f (|x －1|)>f (2)，即|x －1|<2，解得－1<x <3. 答案 (1)B (2)(－1，3)1.解决函数问题忽视函数的定义域或求错函数的定义域，如求函数f (x )＝1x ln x的定义域时，只考虑x >0，忽视ln x ≠0的限制.2.如果一个奇函数f (x )在原点处有意义，即f (0)有意义，那么一定有f (0)＝0；若f (x )为偶函数，则f (|x |)＝f (x ).3.三种作函数图象的基本思想方法(1)通过函数图象变换利用已知函数图象作图；(2)对函数解析式进行恒等变换，转化为已知方程对应的曲线； (3)通过研究函数的性质，明确函数图象的位置和形状.4.函数是中学数学的核心，函数思想是重要的思想方法，利用函数思想研究方程(不等式)才能抓住问题的本质，对于给定的函数若不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个函数图象，数形结合直观求解.一、选择题1.设f (x )＝⎩⎨⎧x ，0<x <1，2（x －1），x ≥1，若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝( )A.2B.4C.6D.8解析 由已知得a >0，∴a ＋1>1， ∵f (a )＝f (a ＋1)，∴a ＝2(a ＋1－1)， 解得a ＝14，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝f (4)＝2(4－1)＝6.答案 C2.(2018·西安质检)函数f (x )＝x 3－x e x ＋e －x的图象是( )解析 f (x )＝x 3－x e x ＋e －x为奇函数，排除选项A ，B ，由f (x )＝0，知x ＝0或x ＝±1，选项D 满足. 答案 D3.(2018·全国Ⅲ卷)下列函数中，其图象与函数y ＝ln x 的图象关于直线x ＝1对称的是( ) A.y ＝ln(1－x ) B.y ＝ln(2－x ) C.y ＝ln(1＋x )D.y ＝ln(2＋x )解析 法一 设所求函数图象上任一点的坐标为(x ，y )，则其关于直线x ＝1的对称点的坐标为(2－x ，y )，由对称性知点(2－x ，y )在函数f (x )＝ln x 的图象上，所以y ＝ln(2－x ).法二 由题意知，对称轴上的点(1，0)既在函数y ＝ln x 的图象上也在所求函数的图象上，代入选项中的函数表达式逐一检验，排除A ，C ，D ，选B. 答案 B4.已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.a ＜b ＜c B.a ＜c ＜b C.c ＜a ＜bD.c ＜b ＜a解析 由f (x )＝2|x －m |－1是偶函数可知m ＝0， 所以f (x )＝2|x |－1.所以a ＝f (log 0.53)＝2|log 0.53|－1＝2log 23－1＝2，b ＝f (log 25)＝2|log 25|－1＝2log 25－1＝4，c ＝f (0)＝2|0|－1＝0，所以c <a <b .答案 C5.(2018·石家庄质检)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2e x －1，x <1，x 3＋x ，x ≥1，则f [f (x )]<2的解集为( )A.(1－ln 2，＋∞)B.(－∞，1－ln 2)C.(1－ln 2，1)D.(1，1＋ln 2)解析 因为当x ≥1时，f (x )＝x 3＋x ≥2，当x <1时，f (x )＝2e x －1<2，∴f (f (x ))<2等价于f (x )<1，即2e x －1<1.因此x <1－ln 2. 答案 B6.已知定义在D ＝[－4，4]上的函数f (x )＝⎩⎨⎧|x 2＋5x ＋4|，－4≤x ≤0，2|x －2|，0<x ≤4对任意x∈D ，存在x 1，x 2∈D ，使得f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则|x 1－x 2|的最大值与最小值之和为( ) A.7B.8C.9D.10解析 作出函数f (x )的图象如图所示，由任意x ∈D ，f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)知，f (x 1)，f (x 2)分别为f (x )的最小值和最大值，由图可知|x 1－x 2|max ＝8，|x 1－x 2|min ＝1，所以|x 1－x 2|的最大值与最小值之和为9. 答案 C 二、填空题7.(2018·成都诊断)函数f (x )＝2x －12＋3x ＋1的定义域为________.解析由题意得：⎩⎨⎧2x－12≥0，x ＋1≠0，解得x >－1. 答案 {x |x >－1}8.已知函数f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，且f (log 124)＝－3，则a 的值为________.解析∵奇函数f(x)满足f(log124)＝－3，而log124＝－2<0，∴f(－2)＝－3，即f(2)＝3，又∵当x>0时，f(x)＝a x(a>0且a≠1)，又2>0，∴f(2)＝a2＝3，解之得a＝ 3.答案 39.如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是________.解析在同一坐标系中画出函数f(x)与y＝log2(x＋1)的图象，如图所示.根据图象，当x∈(－1，1]时，y＝f(x)的图象在y＝log2(x＋1)图象的上方.所以不等式的解集为(－1，1].答案(－1，1]三、解答题10.(2018·深圳中学调研)已知函数f(x)＝a－22x＋1.(1)求f(0)；(2)探究f(x)的单调性，并证明你的结论；(3)若f(x)为奇函数，求满足f(ax)<f(2)的x的范围.解(1)f(0)＝a－220＋1＝a－1.(2)∵f(x)的定义域为R，∴任取x1，x2∈R且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝a－22x1＋1－a＋22x2＋1＝2·（2x1－2x2）（1＋2x1）（1＋2x2），∵y＝2x在R上单调递增且x1<x2，∴0<2x1<2x2，∴2x1－2x2<0，2x1＋1>0，2x2＋1>0. ∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2).∴f(x)在R上单调递增.(3)∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即a－22－x＋1＝－a＋22x＋1，解得a＝1(或用f(0)＝0去解).∴f(ax)<f(2)即为f(x)<f(2)，又∵f(x)在R上单调递增，∴x<2.11.已知函数f(x)＝x2－2ln x，h(x)＝x2－x＋a.(1)求函数f(x)的极值；(2)设函数k(x)＝f(x)－h(x)，若函数k(x)在[1，3]上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围.解(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，令f′(x)＝2x－2x＝0，得x＝1.当x∈(0，1)时，f′(x)＜0，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，所以函数f(x)在x＝1处取得极小值为1，无极大值.(2)k(x)＝f(x)－h(x)＝x－2ln x－a(x＞0)，所以k′(x)＝1－2 x ，令k′(x)＞0，得x＞2，所以k(x)在[1，2)上单调递减，在(2，3]上单调递增，所以当x＝2时，函数k(x)取得最小值k(2)＝2－2ln 2－a.因为函数k(x)＝f(x)－h(x)在区间[1，3]上恰有两个不同零点，即有k(x)在[1，2)和(2，3]内各有一个零点，所以⎩⎨⎧k （1）≥0，k （2）<0，k （3）≥0，即有⎩⎨⎧1－a ≥0，2－2ln 2－a <0，3－2ln 3－a ≥0，解得2－2ln 2<a ≤3－2ln 3.所以实数a 的取值范围为(2－2ln 2，3－2ln 3].。
2019年高考数学高分突破复习 专题五 第3讲
第3讲 圆锥曲线中的热点问题高考定位 1.圆锥曲线中的定点与定值、最值与范围问题是高考必考的问题之一，主要以解答题形式考查，往往作为试卷的压轴题之一；2.以椭圆或抛物线为背景，尤其是与条件或结论相关存在性开放问题.对考生的代数恒等变形能力、计算能力有较高的要求，并突出数学思想方法考查.真 题 感 悟1.(2018·浙江卷)已知点P (0，1)，椭圆x 24＋y 2＝m (m >1)上两点A ，B 满足AP →＝2PB →，则当m ＝________时，点B 横坐标的绝对值最大.解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由AP →＝2PB →，得⎩⎨⎧－x 1＝2x 2，1－y 1＝2（y 2－1），即x 1＝－2x 2，y 1＝3－2y 2.因为点A ，B 在椭圆上，所以⎩⎪⎨⎪⎧4x 224＋（3－2y 2）2＝m ，x 224＋y 22＝m ，得y 2＝14m ＋34，所以x 22＝m －(3－2y 2)2＝－14m 2＋52m －94＝－14(m －5)2＋4≤4，所以当m ＝5时，点B 横坐标的绝对值最大，最大值为2. 答案 52.(2018·北京卷)已知抛物线C ：y 2＝2px 经过点P (1，2).过点Q (0，1)的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N . (1)求直线l 的斜率的取值范围；(2)设O 为原点，QM →＝λQO →，QN →＝μQO →，求证：1λ＋1μ为定值.(1)解 因为抛物线y 2＝2px 过点(1，2)， 所以2p ＝4，即p ＝2.故抛物线C 的方程为y 2＝4x . 由题意知，直线l 的斜率存在且不为0.设直线l 的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0). 由⎩⎨⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋1得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0. 依题意Δ＝(2k －4)2－4×k 2×1>0， 解得k <1，又因为k ≠0，故k <0或0<k <1. 又PA ，PB 与y 轴相交，故直线l 不过点(1，－2). 从而k ≠－3.所以直线l 斜率的取值范围是(－∞，－3)∪(－3，0)∪(0，1). (2)证明 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2). 由(1)知x 1＋x 2＝－2k －4k2，x 1x 2＝1k2.直线PA 的方程为y －2＝y 1－2x 1－1(x －1).令x ＝0，得点M 的纵坐标为y M ＝－y 1＋2x 1－1＋2＝－kx 1＋1x 1－1＋2. 同理得点N 的纵坐标为y N ＝－kx 2＋1x 2－1＋2.由QM →＝λQO →，QN →＝μQO →得λ＝1－y M ，μ＝1－y N . 所以1λ＋1μ＝11－y M ＋11－y N ＝x 1－1（k －1）x 1＋x 2－1（k －1）x 2＝1k －1·2x 1x 2－（x 1＋x 2）x 1x 2＝1k －1·2k 2＋2k －4k 21k 2＝2.所以1λ＋1μ＝2为定值.3.(2017·全国Ⅰ卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，四点P 1(1，1)，P 2(0，1)，P 3⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32，P 4⎝⎛⎭⎪⎫1，32中恰有三点在椭圆C 上.(1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点.(1)解 由于点P 3，P 4关于y 轴对称，由题设知C 必过P 3，P 4.又由1a 2＋1b 2>1a 2＋34b 2知，椭圆C 不经过点P 1， 所以点P 2在椭圆C 上.因此⎩⎪⎨⎪⎧1b 2＝1，1a 2＋34b 2＝1，解得⎩⎨⎧a 2＝4，b 2＝1.故C 的方程为x24＋y 2＝1.(2)证明 设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2. 如果直线l 的斜率不存在，l 垂直于x 轴. 设l ：x ＝m ，A (m ，y A )，B (m ，－y A )，k 1＋k 2＝y A －1m ＋－y A －1m ＝－2m＝－1，得m ＝2， 此时l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足. 从而可设l ：y ＝kx ＋m (m ≠1).将y ＝kx ＋m 代入x 24＋y 2＝1得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.由题设可知Δ＝16(4k 2－m 2＋1)>0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.则k 1＋k 2＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝kx 1＋m －1x 1＋kx 2＋m －1x 2＝2kx 1x 2＋（m －1）（x 1＋x 2）x 1x 2.由题设k 1＋k 2＝－1，故(2k ＋1)x 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)＝0. ∴(2k ＋1)·4m 2－44k 2＋1＋(m －1)·－8km4k 2＋1＝0.解之得m＝－2k－1，此时Δ＝32(m＋1)>0，方程有解，∴当且仅当m>－1时，Δ>0，∴直线l的方程为y＝kx－2k－1，即y＋1＝k(x－2).所以l过定点(2，－1).考点整合1.圆锥曲线中的范围、最值问题，可以转化为函数的最值问题(以所求式子或参数为函数值)，或者利用式子的几何意义求解.温馨提醒圆锥曲线上点的坐标是有范围的，在涉及到求最值或范围问题时注意坐标范围的影响.2.定点、定值问题(1)定点问题：在解析几何中，有些含有参数的直线或曲线的方程，不论参数如何变化，其都过某定点，这类问题称为定点问题.若得到了直线方程的点斜式：y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式：y＝kx＋m，则直线必过定点(0，m).(2)定值问题：在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐标或动直线中的参变量无关，这类问题统称为定值问题.3.存在性问题的解题步骤：(1)先假设存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组).(2)解此方程(组)或不等式(组)，若有解则存在，若无解则不存在.(3)得出结论.热点一圆锥曲线中的最值、范围【例1】(2018·西安质检)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率e＝32，直线x＋3y－1＝0被以椭圆C的短轴为直径的圆截得的弦长为 3.(1)求椭圆C的方程；(2)过点M(4，0)的直线l交椭圆于A，B两个不同的点，且λ＝|MA|·|MB|，求λ的取值范围.解 (1)原点到直线x ＋3y －1＝0的距离为12，由题得⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝b 2(b >0)，解得b ＝1.又e 2＝c 2a 2＝1－b 2a 2＝34，得a ＝2.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)当直线l 的斜率为0时，λ＝|MA |·|MB |＝12.当直线l 的斜率不为0时，设直线l ：x ＝my ＋4，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎨⎧x ＝my ＋4，x 24＋y 2＝1，消去x 得(m 2＋4)y 2＋8my ＋12＝0.由Δ＝64m 2－48(m 2＋4)>0，得m 2>12， 所以y 1y 2＝12m 2＋4. λ＝|MA |·|MB |＝m 2＋1|y 1|·m 2＋1|y 2| ＝(m 2＋1)|y 1y 2|＝12（m 2＋1）m 2＋4＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－3m 2＋4. 由m 2>12，得0<3m 2＋4<316，所以394<λ<12. 综上可得：394<λ≤12，即λ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤394，12.探究提高 求圆锥曲线中范围、最值的主要方法：(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质数形结合求解.(2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，或者不等关系，或者已知参数与新参数之间的等量关系等，则利用代数法求参数的范围. 【训练1】 (2018·浙江卷)如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2＝4x 上存在不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上.(1)设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；(2)若P 是半椭圆x 2＋y 24＝1(x <0)上的动点，求△PAB 面积的取值范围.(1)证明 设P (x 0，y 0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫14y 21，y 1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫14y 22，y 2.因为PA ，PB 的中点在抛物线上，所以y 1，y 2为方程⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋y 022＝4·14y 2＋x 02，即y 2－2y 0y ＋8x 0－y 20＝0的两个不同的实根. 所以y 1＋y 2＝2y 0，因此，PM 垂直于y 轴. (2)解 由(1)可知⎩⎨⎧y 1＋y 2＝2y 0，y 1y 2＝8x 0－y 20， 所以|PM |＝18(y 21＋y 22)－x 0＝34y 20－3x 0， |y 1－y 2|＝22（y 20－4x 0）.因此，△PAB 的面积S △PAB ＝12|PM |·|y 1－y 2|＝324(y 20－4x 0)32. 因为x 2＋y 204＝1(x 0<0)，所以y 20－4x 0＝－4x 20－4x 0＋4∈[4，5]，因此，△PAB 面积的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤62，15104. 热点二 定点、定值问题 考法1 圆锥曲线中的定值【例2－1】 (2018·烟台二模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的焦距为23，斜率为12的直线与椭圆交于A ，B 两点，若线段AB 的中点为D ，且直线OD 的斜率为－12. (1)求椭圆C 的方程；(2)若过左焦点F 斜率为k 的直线l 与椭圆交于M ，N 两点，P 为椭圆上一点，且满足OP ⊥MN ，问：1|MN |＋1|OP |2是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由.解 (1)由题意可知c ＝3，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b2＝1， 两式相减并整理得，y 1－y 2x 1－x 2·y 1＋y 2x 1＋x 2＝－b 2a 2，即k AB ·k OD ＝－b 2a2.又因为k AB ＝12，k OD ＝－12，代入上式得，a 2＝4b 2.又a 2＝b 2＋c 2，c 2＝3，所以a 2＝4，b 2＝1， 故椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由题意可知，F (－3，0)， 当MN 为长轴时，OP 为短半轴， 则1|MN |＋1|OP |2＝14＋1＝54， 否则，可设直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)，联立⎩⎨⎧x 24＋y 2＝1，y ＝k （x ＋3），消y 得，(1＋4k 2)x 2＋83k 2x ＋12k 2－4＝0， 则有x 1＋x 2＝－83k 21＋4k 2，x 1x 2＝12k 2－41＋4k 2，所以|MN |＝1＋k 2|x 1－x 1| ＝1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－83k 21＋4k 22－4⎝⎛⎭⎪⎫12k 2－41＋4k 2＝4＋4k 21＋4k 2， 设直线OP 方程为y ＝－1kx ，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝－1k x ，根据对称性不妨令P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k k 2＋4，2k 2＋4， 所以|OP |＝⎝⎛⎭⎪⎫－2k k 2＋42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋42＝4＋4k 2k 2＋4. 故1|MN |＋1|OP |2＝1＋4k 24＋4k 2＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋4k 2k 2＋42＝1＋4k 24＋4k 2＋k 2＋44＋4k 2＝54， 综上所述，1|MN |＋1|OP |2为定值54.探究提高 1.求定值问题常见的方法有两种： (1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 2.定值问题求解的基本思路是使用参数表示要解决的问题，然后证明与参数无关，这类问题选择消元的方向是非常关键的.【训练2】 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1过点A (2，0)，B (0，1)两点.(1)求椭圆C 的方程及离心率；(2)设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值.(1)解由题意知a＝2，b＝1.所以椭圆方程为x24＋y2＝1，又c＝a2－b2＝ 3.所以椭圆离心率e＝ca＝32.(2)证明设P点坐标为(x0，y0)(x0＜0，y0＜0)，则x20＋4y20＝4，由B点坐标(0，1)得直线PB方程为：y－1＝y－1x(x－0)，令y＝0，得x N＝x1－y0，从而|AN|＝2－x N＝2＋xy－1，由A点坐标(2，0)得直线PA方程为y－0＝yx－2(x－2)，令x＝0，得y M＝2y02－x0，从而|BM|＝1－y M＝1＋2y0x－2，所以S四边形ABNM＝12|AN|·|BM|＝12⎝⎛⎭⎪⎫2＋xy－1⎝⎛⎭⎪⎫1＋2y0x－2＝x2＋4y20＋4x0y0－4x0－8y0＋42（x0y0－x0－2y0＋2）＝2x0y0－2x0－4y0＋4xy－x0－2y0＋2＝2.即四边形ABNM的面积为定值2.考法2 圆锥曲线中的定点问题【例2－2】(2018·衡水中学质检)已知两点A(－2，0)，B(2，0)，动点P 在y轴上的投影是Q，且2PA→·PB→＝|PQ→|2.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过F (1，0)作互相垂直的两条直线交轨迹C 于点G ，H ，M ，N ，且E 1，E 2分别是GH ，MN 的中点.求证：直线E 1E 2恒过定点.(1)解 设点P 坐标为(x ，y )，∴点Q 坐标为(0，y ). ∵2PA →·PB →＝|PQ →|2，∴2[(－2－x )(2－x )＋y 2]＝x 2， 化简得点P 的轨迹方程为x 24＋y 22＝1.(2)证明 当两直线的斜率都存在且不为0时，设l GH ：y ＝k (x －1)，G (x 1，y 1)，H (x 2，y 2)，l MN ：y ＝－1k(x －1)，M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)，联立⎩⎨⎧x 24＋y 22＝1，y ＝k （x －1），消去y 得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0. 则Δ>0恒成立.∴x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，且x 1x 2＝2k 2－42k 2＋1.∴GH 中点E 1坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k22k 2＋1，－k 2k 2＋1， 同理，MN 中点E 2坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋2，k k 2＋2， ∴kE 1E 2＝－3k2（k 2－1），∴lE 1E 2的方程为y ＝－3k 2（k 2－1）⎝ ⎛⎭⎪⎫x －23，∴过点⎝ ⎛⎭⎪⎫23，0， 当两直线的斜率分别为0和不存在时，lE 1E 2的方程为y ＝0，也过点⎝ ⎛⎭⎪⎫23，0，综上所述，lE 1E 2过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫23，0.探究提高 1.动直线l 过定点问题.设动直线方程(斜率存在)为y ＝kx ＋t ，由题设条件将t 用k 表示为t ＝mk ，得y ＝k (x ＋m )，故动直线过定点(－m ，0) 2.动曲线C 过定点问题.引入参变量建立曲线C 的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点.【训练3】 已知曲线C ：y 2＝4x ，曲线M ：(x －1)2＋y 2＝4(x ≥1)，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点.(1)若OA →·OB →＝－4，求证：直线l 恒过定点；(2)若直线l 与曲线M 相切，求PA →·PB →(点P 坐标为(1，0))的最大值. 解 设l ：x ＝my ＋n ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2). 由⎩⎨⎧x ＝my ＋n ，y 2＝4x ，得y 2－4my －4n ＝0. ∴y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4n . ∴x 1＋x 2＝4m 2＋2n ，x 1x 2＝n 2. (1)证明 由OA →·OB →＝－4，得x 1x 2＋y 1y 2＝n 2－4n ＝－4，解得n ＝2. ∴直线l 方程为x ＝my ＋2， ∴直线l 恒过定点(2，0).(2)∵直线l 与曲线M ：(x －1)2＋y 2＝4(x ≥1)相切， ∴|1－n |1＋m 2＝2，且n ≥3， 整理得4m 2＝n 2－2n －3(n ≥3).① 又点P 坐标为(1，0)，∴由已知及①，得 PA →·PB →＝(x 1－1，y 1)·(x 2－1，y 2)＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2 ＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2 ＝n 2－4m 2－2n ＋1－4n＝n 2－4m 2－6n ＋1＝4－4n . 又y ＝4－4n (n ≥3)是减函数，∴当n ＝3时，y ＝4－4n 取得最大值－8. 故PA →·PB →的最大值为－8. 热点三 圆锥曲线中的存在性问题【例3】 (2018·江南名校联考)设椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为A (－1，0)，B (1，0)，C 为椭圆M 上的点，且∠ACB ＝π3，S △ABC ＝33. (1)求椭圆M 的标准方程；(2)设过椭圆M 右焦点且斜率为k 的动直线与椭圆M 相交于E ，F 两点，探究在x 轴上是否存在定点D ，使得DE →·DF →为定值？若存在，试求出定值和点D 的坐标；若不存在，请说明理由.解 (1)在△ABC 中，由余弦定理AB 2＝CA 2＋CB 2－2CA ·CB ·cos C ＝(CA ＋CB )2－3CA ·CB ＝4.又S △ABC ＝12CA ·CB ·sin C ＝34CA ·CB ＝33，∴CA ·CB ＝43，代入上式得CA ＋CB ＝2 2.椭圆长轴2a ＝22，焦距2c ＝AB ＝2. 所以椭圆M 的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)设直线方程y ＝k (x －1)，E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，联立⎩⎨⎧x 22＋y 2＝1，y ＝k （x －1），消去y 得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0，Δ＝8k 2＋8>0， ∴x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2.假设x 轴上存在定点D (x 0，0)，使得DE →·DF →为定值. ∴DE →·DF →＝(x 1－x 0，y 1)·(x 2－x 0，y 2) ＝x 1x 2－x 0(x 1＋x 2)＋x 20＋y 1y 2＝x 1x 2－x 0(x 1＋x 2)＋x 20＋k 2(x 1－1)(x 2－1) ＝(1＋k 2)x 1x 2－(x 0＋k 2)(x 1＋x 2)＋x 20＋k 2 ＝（2x 20－4x 0＋1）k 2＋（x 20－2）1＋2k 2要使DE →·DF →为定值，则DE →·DF →的值与k 无关， ∴2x 20－4x 0＋1＝2(x 20－2)，解得x 0＝54，此时DE →·DF →＝－716为定值，定点为⎝ ⎛⎭⎪⎫54，0.探究提高 1.此类问题一般分为探究条件、探究结论两种.若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，不成立则不存在；若探究结论，则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论. 2.求解步骤：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在，否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在.【训练4】 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，且过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，F 为其右焦点.(1)求椭圆C 的方程；(2)设过点A (4，0)的直线l 与椭圆相交于M ，N 两点(点M 在A ，N 两点之间)，是否存在直线l 使△AMF 与△MFN 的面积相等？若存在，试求直线l 的方程；若不存在，请说明理由.解 (1)因为c a ＝12，所以a ＝2c ，b ＝3c ，设椭圆方程x 24c 2＋y 23c2＝1，又点P ⎝⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆上，所以14c 2＋34c 2＝1，解得c 2＝1，a 2＝4，b 2＝3，所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)易知直线l 的斜率存在，设l 的方程为y ＝k (x －4)，由⎩⎨⎧y ＝k （x －4），x 24＋y 23＝1，消去y 得(3＋4k 2)x 2－32k 2x ＋64k 2－12＝0， 由题意知Δ＝(32k 2)2－4(3＋4k 2)(64k 2－12)>0， 解得－12<k <12.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝32k 23＋4k 2，①x 1x 2＝64k 2－123＋4k 2.②因为△AMF 与△MFN 的面积相等， 所以|AM |＝|MN |，所以2x 1＝x 2＋4.③ 由①③消去x 2得x 1＝4＋16k 23＋4k 2.④将x 2＝2x 1－4代入②，得x 1(2x 1－4)＝64k 2－123＋4k 2⑤将④代入到⑤式，整理化简得36k 2＝5. ∴k ＝±56，经检验满足题设 故直线l 的方程为y ＝56(x －4)或y ＝－56(x －4).1.解答圆锥曲线的定值、定点问题，从三个方面把握：(1)从特殊开始，求出定值，再证明该值与变量无关：(2)直接推理、计算，在整个过程中消去变量，得定值；(3)在含有参数的曲线方程里面，把参数从含有参数的项里面分离出来，并令其系数为零，可以解出定点坐标. 2.圆锥曲线的范围问题的常见求法(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值. 3.存在性问题求解的思路及策略(1)思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确，则存在；若结论不正确，则不存在.(2)策略：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件.一、选择题1.若双曲线x 2λ－y 21－λ＝1(0<λ<1)的离心率e ∈(1，2)，则实数λ的取值范围为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 B.(1，2)C.(1，4)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1 解析 易c ＝1，a ＝λ，且e ∈(1，2)，∴1<1λ<2，得14<λ<1.答案 D2.若点P 为抛物线y ＝2x 2上的动点，F 为抛物线的焦点，则|PF |的最小值为( ) A.2B.12C.14D.18解析 根据题意，抛物线y ＝2x 2上，设P 到准线的距离为d ，则有|PF |＝d ，抛物线的方程为y ＝2x 2，即x 2＝12y ，其准线方程为y ＝－18，∴当点P 在抛物线的顶点时，d 有最小值18，即|PF |min ＝18.答案 D3.(2018·北京东城区调研)已知圆M ：(x －2)2＋y 2＝1经过椭圆C ：x 2m ＋y 23＝1的一个焦点，圆M 与椭圆C 的公共点为A ，B ，点P 为圆M 上一动点，则P 到直线AB 的距离的最大值为( ) A.210－5 B.210－4 C.410－11D.410－10解析 易知圆M 与x 轴的交点为(1，0)，(3，0)，∴m －3＝1或m －3＝9，则m ＝4或m ＝12.当m ＝12时，圆M 与椭圆C 无交点，舍去.∴m ＝4.联立⎩⎨⎧（x －2）2＋y 2＝1，x 24＋y 23＝1，得x 2－16x ＋24＝0.∵x ≤2，∴x ＝8－210.故点P 到直线AB 距离的最大值为3－(8－210)＝210－5. 答案 A4.(2018·全国Ⅲ卷)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，O是坐标原点.过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若|PF 1|＝6|OP |，则C 的离心率为( ) A. 5B.2C. 3D. 2解析 不妨设一条渐近线的方程为y ＝b a x ，则F 2到y ＝b a x 的距离d ＝|bc |a 2＋b 2＝b ，在Rt △F 2PO 中，|F 2O |＝c ，所以|PO |＝a ，所以|PF 1|＝6a ，又|F 1O |＝c ，所以在△F 1PO 与Rt △F 2PO 中，根据余弦定理得cos ∠POF 1＝a 2＋c 2－（6a ）22ac ＝－cos ∠POF 2＝－a c ，则3a 2＋c 2－(6a )2＝0，得3a 2＝c 2，所以e ＝c a＝ 3.答案 C 二、填空题5.设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与抛物线y 2＝x 的一个交点的横坐标为x 0，若x 0>1，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是________.解析 双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线为y ＝bax ，联立⎩⎨⎧y 2＝x ，y ＝ba x消去y ，得b 2a2x 2＝x .由x 0>1，知b 2a2<1，b 2<a 2.∴e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a2<2，因此1<e < 2.答案 (1，2)6.(2018·武汉模拟)已知抛物线y 2＝4x ，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 分别作x 轴，y 轴垂线，垂足分别为C ，D ，则|AC |＋|BD |的最小值为________. 解析 不妨设A (x 1，y 1)(y 1>0)，B (x 2，y 2)(y 2<0).则|AC |＋|BD |＝x 2＋y 1＝y 224＋y 1.又y 1y 2＝－p 2＝－4.∴|AC |＋|BD |＝y 224－4y 2(y 2<0).设g (x )＝x 24－4x ，在(－∞，－2)递减，在(－2，0)递增.∴当x ＝－2，即y 2＝－2时，|AC |＋|BD |的最小值为3. 答案 3 三、解答题7.已知动圆M 恒过点(0，1)，且与直线y ＝－1相切. (1)求动圆心M 的轨迹方程；(2)动直线l 过点P (0，－2)，且与点M 的轨迹交于A ，B 两点，点C 与点B 关于y 轴对称，求证：直线AC 恒过定点.(1)解 由题意得点M 与点(0，1)的距离等于点M 与直线y ＝－1的距离. 由抛物线定义知圆心M 的轨迹为以点(0，1)为焦点，直线y ＝－1为准线的抛物线，则p2＝1，p ＝2. ∴圆心M 的轨迹方程为x 2＝4y .(2)证明 由题意知直线l 的斜率存在，设直线l ：y ＝kx －2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则C (－x 2，y 2)，由⎩⎨⎧x 2＝4y ，y ＝kx －2得x 2－4kx ＋8＝0， Δ＝16k 2－32>0得k 2>2， ∴x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝8.k AC ＝y 1－y 2x 1＋x 2＝x 214－x 224x 1＋x 2＝x 1－x 24，直线AC 的方程为y －y 1＝x 1－x 24(x －x 1).即y ＝y 1＋x 1－x 24(x －x 1)＝x 1－x 24x －x 1（x 1－x 2）4＋x 214＝x 1－x 24x ＋x 1x 24，∵x 1x 2＝8，∴y ＝x 1－x 24x ＋2，则直线AC 恒过点(0，2).8.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ≥1)过点P (2，1)，且离心率e ＝32. (1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 的斜率为12，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求△PAB 面积的最大值.解 (1)∵e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34，∴a 2＝4b 2.又4a 2＋1b2＝1，∴a 2＝8，b 2＝2.故所求椭圆C 的方程为x 28＋y 22＝1.(2)设l 的方程为y ＝12x ＋m ，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋m ，x 28＋y 22＝1，消去y 得x 2＋2mx ＋2m 2－4＝0，判别式Δ＝16－4m 2＞0，即m 2＜4. 又x 1＋x 2＝－2m ，x 1·x 2＝2m 2－4， 则|AB |＝1＋14×（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝5（4－m 2）， 点P 到直线l 的距离d ＝|m |1＋14＝2|m |5. 因此S △PAB ＝12d |AB |＝12×2|m |5×5（4－m 2）＝m 2（4－m 2）≤m 2＋（4－m 2）2＝2，当且仅当m 2＝2即m ＝±2时上式等号成立，故△PAB 面积的最大值为2.9.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，点A ⎝⎛⎭⎪⎫1，22在椭圆C 上. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)是否存在斜率为2的直线，使得当该直线与椭圆C 有两个不同交点M ，N 时，能在直线y ＝53上找到一点P ，在椭圆C 上找到一点Q ，满足PM →＝NQ →？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由. 解 (1)设椭圆C 的焦距为2c ，则c ＝1，因为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22在椭圆C 上，所以2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝22，则a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1.故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)不存在满足条件的直线，理由如下：设直线的方程为y ＝2x ＋t ，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3，53，Q (x 4，y 4)，MN 的中点为D (x 0，y 0)，由⎩⎨⎧y ＝2x ＋t ，x 22＋y 2＝1，消去x 得9y 2－2ty ＋t 2－8＝0， 所以y 1＋y 2＝2t9，且Δ＝4t 2－36(t 2－8)>0，故y 0＝y 1＋y 22＝t 9，且－3<t <3. 由PM →＝NQ →得⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－x 3，y 1－53＝(x 4－x 2，y 4－y 2)，所以有y 1－53＝y 4－y 2，y 4＝y 1＋y 2－53＝29t －53.又－3<t <3，所以－73<y 4<－1，与椭圆上点的纵坐标的取值范围是[－1，1]矛盾.因此不存在满足条件的直线.10.(2018·惠州调研)在平面直角坐标系xOy 中，过点C (2，0)的直线与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).(1)求证：y 1y 2为定值；(2)是否存在平行于y 轴的定直线被以AC 为直径的圆截得的弦长为定值？如果存在，求出该直线的方程和弦长，如果不存在，说明理由.(1)证明 法一 当直线AB 垂直于x 轴时，不妨取y 1＝22，y 2＝－22，所以y 1y 2＝－8(定值).当直线AB 不垂直于x 轴时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －2)，由⎩⎨⎧y ＝k （x －2），y 2＝4x得ky 2－4y －8k ＝0， 所以y 1y 2＝－8.综上可得，y 1y 2＝－8为定值.法二 设直线AB 的方程为my ＝x －2.由⎩⎨⎧my ＝x －2，y 2＝4x得y 2－4my －8＝0，所以y 1y 2＝－8. 因此有y 1y 2＝－8为定值.(2)解 存在.理由如下：设存在直线l ：x ＝a 满足条件，则AC 的中点E ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋22，y 12，|AC |＝（x 1－2）2＋y 21， 因此以AC 为直径的圆的半径r ＝12|AC |＝12（x 1－2）2＋y 21＝12x 21＋4， 点E 到直线x ＝a 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1＋22－a ， 所以所截弦长为2r2－d2＝214（x21＋4）－⎝⎛⎭⎪⎫x1＋22－a2＝x21＋4－（x1＋2－2a）2＝－4（1－a）x1＋8a－4a2，当1－a＝0，即a＝1时，弦长为定值2，这时直线的方程为x＝1.11.(2018·西安模拟)如图，椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左右焦点分别为F1，F2，左右顶点分别为A，B，P为椭圆C上任一点(不与A，B重合).已知△PF1F2的内切圆半径的最大值为2－2，椭圆C的离心率为2 2.(1)求椭圆C的方程；(2)直线l过点B且垂直于x轴，延长AP交l于点N，以BN为直径的圆交BP于点M，求证：O，M，N三点共线.解(1)由题意知，ca＝22，∴c＝22a.又b2＝a2－c2，∴b＝22a.设△PF1F2的内切圆半径为r，则S△PF1F2＝12(|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|)·r，＝12(2a＋2c)·r＝(a＋c)r，故当△PF1F2面积最大时，r最大，即P点位于椭圆短轴顶点时，r＝2－2，∴(a＋c)(2－2)＝bc，把c＝22a，b＝22a代入，解得a＝2，b＝2，∴椭圆方程为x 24＋y 22＝1. (2)由题意知，直线AP 的斜率存在，设为k ， 则AP 所在直线方程为y ＝k (x ＋2)，联立⎩⎨⎧y ＝k （x ＋2），x 24＋y 22＝1，消去y ，得(2k 2＋1)x 2＋8k 2x ＋8k 2－4＝0，则有x P ·(－2)＝8k 2－42k 2＋1，∴x P ＝2－4k 22k 2＋1，y P ＝k (x P ＋2)＝4k2k 2＋1，得BP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k22k 2＋1，4k 2k 2＋1，又N (2，4k )，∴ON →＝(2，4k ). 则ON →·BP →＝－16k 22k 2＋1＋16k22k 2＋1＝0，∴ON ⊥BP ，而M 在以BN 为直径的圆上， ∴MN ⊥BP ，∴O ，M ，N 三点共线.。
2019届高考数学总复习高分突破复习：小题满分限时练七
高分突破复习：小题满分限时练(七)(限时：45分钟)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.已知实数集R ，集合M ＝{x |log 2x <3}，N ＝{x |x 2－4x －5>0}，则M ∩(∁R N )＝() A.[－1，8) B.(0，5] C.[－1，5) D.(0，8)解析 集合M ＝{x |0<x <8}，N ＝{x |x >5，或x <－1}，∁R N ＝{x |－1≤x ≤5}，所以，M ∩(∁R N )＝(0，5]. 答案B2.已知i 为虚数单位，若复数z ＝a1－2i＋i(a ∈R )的实部与虚部互为相反数，则a ＝() A.－5 B.－1 C.－13D.－53解析 z ＝a 1－2i ＋i ＝a （1＋2i ）（1－2i ）（1＋2i ）＋i ＝a 5＋2a ＋55i ， ∵复数z ＝a1－2i＋i(a ∈R )的实部与虚部互为相反数， ∴－a 5＝2a ＋55，解得a ＝－53.答案D3.下列说法中正确的是()A.“a >1，b >1”是“ab >1”成立的充分条件B.命题p ：x ∈R ，2x >0，则綈p ：x 0∈R ，2x0<0 C.命题“若a >b >0，则1a <1b”的逆命题是真命题 D.“a >b ”是“a 2>b 2”成立的充分不必要条件解析 对于选项A ，由a >1，b >1，易得ab >1，故A 正确；对于选项B ，全称命题的否定为特称命题，所以命题p ：x ∈R ，2x >0的否定为綈p ：x 0∈R ，2x0≤0，故B 错误；对于选项C ，其逆命题：若1a <1b，则a >b >0，可举反例，如a ＝－1，b ＝1，显然为假命题，故C 错误；对于选项D ，由“a >b ”并不能推出“a 2>b 2”，如a ＝1，b ＝－1，故D 错误. 答案A4.已知x >0，y >0，a ＝(x ，1)，b ＝(1，y －1)，若a ⊥b ，则1x ＋4y的最小值为()A.4B.9C.8D.10解析 依题意，得a·b ＝x ＋y －1＝0x ＋y ＝1.1x ＋4y ＝x ＋y x ＋4（x ＋y ）y ＝5＋y x ＋4x y ≥9，当且仅当x ＝13，y ＝23时取等号. 答案B5.已知直线m ，l ，平面α，β，且m ⊥α，l β，给出下列命题：①若α∥β，则m ⊥l ；②若α⊥β，则m ∥l ；③若m ⊥l ，则α⊥β；④若m ∥l ，则α⊥β. 其中正确的命题是() A.①④B.③④C.①②D.①③解析 对于①，若α∥β，m ⊥α，l β，则m ⊥l ，故①正确，排除B ；对于④，若m ∥l ，m ⊥α，则l ⊥α，又l β，所以α⊥β.故④正确. 答案A6.设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则a 1＝() A.－2 B.－1 C.12D.23解析 由S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2得a 3＋a 4＝3a 4－3a 2，即q ＋q 2＝3q 2－3，解得q ＝－1(舍)或q ＝32，将q ＝32代入S 2＝3a 2＋2，得a 1＋32a 1＝3×32a 1＋2，解得a 1＝－1. 答案B7.点A ，B ，C ，D 均在同一球面上，且AB ，AC ，AD 两两垂直，且AB ＝1，AC ＝2，AD ＝3，则该球的表面积为()A.7πB.14πC.72πD.714π3解析 三棱锥A －BCD 的三条侧棱两两互相垂直，所以把它补为长方体，而长方体的体对角线长为其外接球的直径.所以长方体的体对角线长是12＋22＋32＝14，它的外接球半径是142，外接球的表面积是4π×⎝ ⎛⎭⎪⎫1422＝14π. 答案B 8.若2cos 2θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝3sin 2θ，则sin 2θ＝()A.13B.23C.－23D.－13解析∵2cos 2θcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝3sin 2θ.∴2（cos θ＋sin θ）（cos θ－sin θ）22（cos θ－sin θ）＝3sin 2θ，即2(cos θ＋sin θ)＝3sin 2θ.∴4＋4sin 2θ＝3sin 22θ， 解得sin 2θ＝－23或sin 2θ＝2(舍去). 答案C9.已知平面区域Ω＝{(x ，y )|0≤x ≤π，0≤y ≤1}，现向该区域内任意掷点，则该点落在曲线y ＝sin 2x 下方的概率是()A.12B.1πC.2πD.π4解析 y ＝sin 2x ＝12－12cos 2x ，其图象如图所示，⎠⎛0π⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12cos 2x d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －14sin 2x ⎪⎪⎪π0＝π2，区域Ω＝{(x ，y )|0≤x ≤π，0≤y ≤1}的面积为π，∴向区域Ω内任意掷点，该点落在曲线y ＝sin 2x 下方的概率是π2π＝12.答案A10.已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y≥0，x －y≤0，0≤y≤k，且z ＝x ＋y 的最大值为6，则(x ＋5)2＋y2的最小值为()A.5B.3C.5D.3解析 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y≥0，x －y≤0，0≤y≤k表示的平面区域如图中阴影部分所示，由z ＝x ＋y ，得y ＝－x ＋z ，平移直线y ＝－x ，由图形可知当直线y ＝－x ＋z 经过点A 时，直线y ＝－x＋z 的纵截距最大，此时z 最大，最大值为6，即x ＋y ＝6.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝6，x －y ＝0，得A (3，3)，由直线y ＝k 过点A ，知k ＝3.又(x ＋5)2＋y 2表示可行域内的点与点D (－5，0)的距离的平方.数形结合，知点(－5，0)到直线x＋2y ＝0的距离最短，故(x ＋5)2＋y 2的最小值为⎝ ⎛⎭⎪⎫|－5＋2×0|12＋222＝5.答案A11.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋1|，－7≤x≤0，ln x ，e －2≤x≤e，g (x )＝x 2－2x ，设a 为实数，若存在实数m ，使f (m )－2g (a )＝0，则实数a 的取值范围为()A.[－1，＋∞)B.(－∞，－1]∪[3，＋∞)C.[－1，3]D.(－∞，3]解析 当－7≤x ≤0时，f (x )＝|x ＋1|∈[0，6]，当e －2≤x ≤e 时，f (x )＝ln x 是增函数，f (x )∈[－2，1]， ∴f (x )的值域是[－2，6].若存在实数m ，使f (m )－2g (a )＝0， 则有－2≤2g (a )≤6.∴－1≤a 2－2a ≤3，解之得－1≤a ≤3. 答案C12.已知点A 是抛物线x 2＝4y 的对称轴与准线的交点，点B 为抛物线的焦点，点P 在抛物线上且满足|PA |＝m |PB |，当m 取最大值时，点P 恰好在以A ，B 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为() A.5－12 B.2＋12C.2＋1D.5－1解析 如图，依题意知A (0，－1)，B (0，1)，不妨设P ⎝⎛⎭⎪⎫x ，x24，抛物线的准线为l ，过P 作PC ⊥l 于点C ，由抛物线的定义得|PB |＝|PC |，所以m ＝|PA||PC|＝x2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x24＋121＋x24，令t ＝1＋x24，由题易得点P 异于点O ，所以x ≠0，则t >1，m ＝t2＋4t －4t＝－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2＋4×1t ＋1，当1t ＝12，即x ＝±2时，m max ＝2. 此时|PB |＝2，|PA |＝22.设双曲线的实轴长为2a ，焦距为2c ，依题意得2a ＝|PA |－|PB |＝22－2，2c ＝2，则e ＝c a＝12－1＝2＋1. 答案C二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把正确的答案填写在各小题的横线上.) 13.若(x ＋a )(1＋2x )5的展开式中x 3的系数为20，则a ＝________. 解析 由已知得C25·22＋a ·C 35·23＝20，解得a ＝－14. 答案 －1414.平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(3，4)，|b |＝1，则|a －2b |＝________. 解析∵〈a ，b 〉＝60°，a ＝(3，4)，|b |＝1. ∴|a |＝5，a·b ＝|a ||b |cos 60°＝52. 故|a －2b |＝a2＋4b2－4a·b ＝25＋4－4×52＝19.答案1915.圆心在曲线y ＝12x 2(x <0)上，且和该抛物线的准线及y 轴都相切的圆的标准方程为________________.解析 依题意设圆的方程为(x －a )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －12a22＝r 2(a <0)，又该圆与抛物线的准线及y 轴均相切，所以12＋12a 2＝r ＝－a⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，r ＝1. 故所求圆的标准方程为(x ＋1)2＋⎝⎛⎭⎪⎫y －122＝1.答案(x ＋1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝1 16.如图所示，在圆内接四边形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝3，CD ＝4，AD ＝5，则四边形ABCD 的面积为________.解析 如图所示，连接BD ，因为四边形ABCD 为圆内接四边形，所以A ＋C ＝180°，则cos A ＝－cos C ，利用余弦定理得 cos A ＝62＋52－BD22×6×5，cos C ＝32＋42－BD22×3×4.则62＋52－BD22×6×5＝－32＋42－BD22×3×4，解得BD 2＝2477，所以cos C ＝－37.由sin 2C ＋cos 2C ＝1，得sin C ＝2107， 因为A ＋C ＝180°，所以sin A ＝sin C ＝2107， 则S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝12×5×6×2107＋12×3×4×2107＝610. 答案610。
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第3讲 不等式高考定位 1.利用不等式性质比较大小、不等式的求解、利用基本不等式求最值及线性规划问题是高考的热点，主要以选择题、填空题为主；2.在解答题中，特别是在解析几何中求最值、范围问题或在解决导数问题时常利用不等式进行求解，难度较大.真 题 感 悟1.(2017·全国Ⅱ卷)设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0，则z ＝2x ＋y 的最小值是( ) A.－15B.－9C.1D.9解析 可行域如图阴影部分所示，当直线y ＝－2x ＋z 经过点A (－6，－3)时，所求最小值为－15. 答案 A2.(2018·天津卷)已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a ＋18b 的最小值为________. 解析 由题设知a －3b ＝－6，又2a >0，8b >0，所以2a ＋18b ≥22a ·18b ＝2·2a －3b 2＝14，当且仅当2a ＝18b ，即a ＝－3，b ＝1时取等号.故2a ＋18b 的最小值为14. 答案143.(2018·全国Ⅰ卷)若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －2y －2≤0，x －y ＋1≥0，y ≤0，则z ＝3x ＋2y 的最大值为________.解析 作出可行域为如图所示的△ABC 所表示的阴影区域，作出直线3x ＋2y ＝0，并平移该直线，当直线过点A (2，0)时，目标函数z ＝3x ＋2y 取得最大值，且z max ＝3×2＋2×0＝6. 答案 64.(2017·全国Ⅲ卷)设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x >0，则满足f (x )＋f ⎝⎛⎭⎪⎫x －12>1的x 的取值范围是________.解析 当x ≤0时，f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝(x ＋1)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＋1，原不等式化为2x ＋32>1，解得－14<x ≤0，当0<x ≤12时，f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝2x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＋1原不等式化为2x ＋x ＋12>1，该式恒成立，当x >12时，f (x )＋f ⎝⎛⎭⎪⎫x －12＝2x ＋2x －12，又x >12时，2x ＋2x －12>212＋20＝1＋2>1恒成立，综上可知，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞考 点 整 合1.不等式的解法(1)一元二次不等式的解法.一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(或<0)(a ≠0，Δ＝b 2－4ac >0)，如果a 与ax 2＋bx ＋c 同号，则其解集在两根之外；如果a 与ax 2＋bx ＋c 异号，则其解集在两根之间.(2)简单分式不等式的解法. ①f （x ）g （x ）>0(<0)f (x )g (x )>0(<0). ②f （x ）g （x ）≥0(≤0) f (x )g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0.(3)指数不等式、对数不等式及抽象函数不等式，可利用函数的单调性求解. 2.几个不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (取等号的条件是当且仅当a ＝b ). (2)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R ). (3)a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥2aba ＋b(a >0，b >0). (4)2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2(a ，b ∈R ，当a ＝b 时等号成立). 3.利用基本不等式求最值(1)如果x >0，y >0，xy ＝p (定值)，当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p (简记为：积定，和有最小值).(2)如果x >0，y >0，x ＋y ＝s (定值)，当x ＝y 时，xy 有最大值14s 2(简记为：和定，积有最大值).4.简单的线性规划问题解决线性规划问题首先要找到可行域，再根据目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域上的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决.热点一 不等式的解法【例1】 (1)不等式4x －2≤x －2的解集是( ) A.(－∞，0]∪(2，4] B.[0，2)∪[4，＋∞) C.[2，4)D.(－∞，2]∪(4，＋∞)(2)设函数f (x )＝⎩⎨⎧lg （x ＋1），x ≥0，－x 3，x <0.则使得f (x )≤1成立的x 的取值范围是________.解析 (1)当x －2>0时，不等式化为(x －2)2≥4，∴x ≥4.当x －2<0时，原不等式化为(x －2)2≤4，∴0≤x <2.综上可知，原不等式的解集为[0，2)∪[4，＋∞). (2)由⎩⎨⎧x ≥0，lg （x ＋1）≤1得0≤x ≤9；由⎩⎨⎧x <0，－x 3≤1得－1≤x <0.故使得f (x )≤1成立的x 的取值范围是[－1，9]. 答案 (1)B (2)[－1，9]探究提高 1.解一元二次不等式：先化为一般形式ax 2＋bx ＋c >0(a >0)，再结合相应二次方程的根及二次函数图象确定一元二次不等式的解集. 2.(1)对于和函数有关的不等式，可先利用函数的单调性进行转化. (2)含参数的不等式的求解，要对参数进行分类讨论.【训练1】 (1)(2018·衡阳一模)已知一元二次不等式f (x )≤0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤12或x ≥3，则f (e x )>0的解集为( )A.{x |x <－ln 2或x >ln 3}B.{x |ln 2<x <ln 3}C.{x |x <ln 3}D.{x |－ln 2<x <ln 3}(2)已知函数f (x )＝(x －2)(ax ＋b )为偶函数，且在(0，＋∞)单调递增，则f (2－x )>0的解集为( ) A.{x |x >2或x <－2} B.{x |－2<x <2} C.{x |x <0或x >4}D.{x |0<x <4}解析 (1)由题意可知，一元二次不等式所对应的二次函数的图象开口向下，故f (x )>0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<x <3，又因为f (e x )>0，所以12<e x <3，解得－ln 2<x <ln 3.(2)f (x )＝ax 2＋(b －2a )x －2b 是偶函数.因此2a －b ＝0，即b ＝2a ，则f (x )＝a (x －2)(x ＋2).又函数在(0，＋∞)上单调递增，所以a >0.f (2－x )>0即ax (x －4)>0，解得x <0或x >4. 答案 (1)D (2)C热点二 基本不等式及其应用【例2】 (1)若直线x a ＋y b＝1(a >0，b >0)过点(1，2)，则2a ＋b 的最小值为________. (2)如图所示，一张正方形的黑色硬纸板，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”形的图形，设小矩形的长、宽分别为a ，b (2≤a ≤10)，剪去部分的面积为8，则1b ＋1＋9a ＋9的最大值为( )A.1B.1110C.65D.2解析 (1)∵直线x a ＋y b＝1(a >0，b >0)过点(1，2)， ∴1a ＋2b＝1(a >0，且b >0)，则2a ＋b ＝(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b＝4＋b a ＋4ab ≥4＋2b a ·4ab＝8.当且仅当b a ＝4ab，即a ＝2，b ＝4时上式等号成立. 因此2a ＋b 的最小值为8.(2)由题意知，2ab ＝8，则b ＝4a (2≤a ≤10).所以1b ＋1＋9a ＋9＝a 4＋a ＋9a ＋9＝1＋9a ＋9－4a ＋4＝1＋5a ＋36a＋13≤1＋513＋2a ×36a＝65，当且仅当a ＝36a ，即a ＝6时，1b ＋1＋9a ＋9取得最大值65. 答案 (1)8 (2)C探究提高 1.利用基本不等式求最值，要注意“拆、拼、凑”等变形，变形的原则是在已知条件下通过变形凑出基本不等式应用的条件，即“和”或“积”为定值，等号能够取得.2.特别注意：(1)应用基本不等式求最值时，若遇等号取不到的情况，则应结合函数的单调性求解.(2)若两次连用基本不等式，要注意等号的取得条件的一致性，否则会出错.【训练2】 (1)若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1ab 的最小值为________.(2)(2018·北京海淀区调研)当0<m <12时，若1m ＋21－2m ≥k 2－2k 恒成立，则实数k的取值范围为( ) A.[－2，0)∪(0，4] B.[－4，0)∪(0，2] C.[－4，2]D.[－2，4]解析 (1)∵a ，b ∈R ，ab >0，∴a 4＋4b 4＋1ab ≥4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab≥24ab ·1ab＝4，当且仅当⎩⎨⎧a 2＝2b 2，4ab ＝1ab ，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝22，b 2＝24时取得等号. ∴a 4＋4b 4＋1ab 的最小值是4.(2)易得1m＋21－2m ＝1m （1－2m ）且0<m <12.又m (1－2m )＝12·2m (1－2m )≤ 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤2m ＋（1－2m ）22＝18.当且仅当2m ＝1－2m ，即m ＝14时取“＝”，∴1m ＋21－2m ＝1m （1－2m ）≥8.要使原不等式恒成立，只需k 2－2k ≤8，－2≤k ≤4.答案 (1)4 (2)D热点三 简单的线性规划问题考法1 已知线性约束条件，求线性目标函数最值【例3－1】 (2017·全国Ⅲ卷)若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥0，则z ＝3x －4y 的最小值为________.解析 画出可行域如图阴影部分所示. 由z ＝3x －4y ，得y ＝34x －z4，作出直线y ＝34x ，平移使之经过可行域，观察可知，当直线经过点A (1，1)处取最小值，故z min ＝3×1－4×1＝－1.答案 －1探究提高 1.线性规划的实质是把代数问题几何化，需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错.2.一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的顶点或边界上取得.【训练3】 (2018·全国Ⅱ卷)若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋2y －5≥0，x －2y ＋3≥0，x －5≤0，则z ＝x ＋y的最大值为________.解析 画出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示.作出直线x ＋y ＝0，平移该直线，当直线过点B (5，4)时，z 取得最大值，z max ＝5＋4＝9. 答案 9考法2 求非线性目标函数的最值【例3－2】 (2018·合肥质检)在平面直角坐标系xOy 中，M (a ，b )为不等式组⎩⎨⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0所表示的区域上任意动点，则b －1a －4的最大值为________. 解析 作出不等式组表示的平面区域(如图阴影部分).则M (a ，b )在△AEF 内(含边界)，易知b －1a －4表示点M 与点B (4，1)连线的斜率，当点M 与点A 重合时，k AB 取最大值，又⎩⎨⎧x ＋y ＝2，2x －3y ＝9，解得A (3，－1)， ∴b －1a －4的最大值为k AB ＝1－（－1）4－3＝2. 答案 2考法3 线性规划中参数问题【例3－3】 已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y －2≤0，ax ＋y ≥4，x －2y ＋3≥0，目标函数z ＝2x －3y 的最大值是2，则实数a ＝( ) A.12B.1C.32D.4解析 作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，∵目标函数z ＝2x －3y 的最大值是2，由图象知z ＝2x －3y 经过平面区域的A 时目标函数取得最大值2.由⎩⎨⎧x －y －2＝0，2x －3y ＝2，解得A (4，2)，同时A (4，2)也在直线ax ＋y －4＝0上，∴4a ＝2，则a ＝12.答案 A探究提高 1.非线性目标函数的最值主要涉及斜率、点与点(线)的距离，利用数形结合，抓住几何特征是求解的关键. 2.对于线性规划中的参数问题，需注意：(1)当最值是已知时，目标函数中的参数往往与直线斜率有关，解题时应充分利用斜率这一特征加以转化.(2)当目标函数与最值都是已知，且约束条件中含有参数时，因为平面区域是变动的，所以要抓住目标函数及最值已知这一突破口，先确定最优解，然后变动参数范围，使得这样的最优解在该区域内.【训练4】 (1)(2018·西安联考)已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y －1≥0，x －3y ＋3≥0，x －2y －1≤0，则目标函数z ＝x 2＋y 2的最小值为( )A.12B.22C.1D. 2(2)(2018·济南质检)若实数x ，y 满足⎩⎨⎧2x －y ＋2≥0，2x ＋y －6≤0，0≤y ≤3，且z ＝mx －y (m <2)的最小值为－52，则m 等于( )A.54B.－56C.1D.13解析 (1)作出约束条件满足的平面区域如图，又z ＝x 2＋y 2表示△PAB 区域内的点到原点O (0，0)的距离.∴z min 是点O (0，0)到直线AB 的距离，易知O 到x ＋y －1＝0的距离d ＝|0＋0－1|12＋12＝22.∴z min ＝22. (2)作不等式组表示的平面区域如图所示，z ＝mx －y (m <2)的最小值为－52，可知目标函数的最优解过点A ，由⎩⎨⎧y ＝3，2x －y ＋2＝0，解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3，∴－52＝m2－3，解得m ＝1.答案 (1)B (2)C1.多次使用基本不等式的注意事项当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，也是检验转换是否有误的一种方法. 2.基本不等式除了在客观题考查外，在解答题的关键步骤中也往往起到“巧解”的作用，但往往需先变换形式才能应用.3.解决线性规划问题首先要作出可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决.4.解答不等式与导数、数列的综合问题时，不等式作为一种工具常起到关键的作用，往往涉及到不等式的证明方法(如比较法、分析法、综合法、放缩法、换元法等).在求解过程中，要以数学思想方法为思维依据，并结合导数、数列的相关知识解题，在复习中通过解此类问题，体会每道题中所蕴含的思想方法及规律，逐步提高自己的逻辑推理能力.一、选择题1.(2017·全国Ⅰ卷)设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋3y ≤3，x －y ≥1，y ≥0，则z ＝x ＋y 的最大值为( ) A.0B.1C.2D.3解析 根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分(含边界)，则当目标函数z ＝x ＋y 经过A (3，0)时取得最大值，故z max ＝3＋0＝3. 答案 D2.(2018·合肥模拟)设函数f (x )＝1－x1＋x ，则使f (a )＋1≥f (a ＋1)成立的a 的取值范围是( ) A.(－∞，－2) B.(－1，＋∞)C.(－∞，－2)∪(－1，＋∞)D.(－∞，－1)解析 f (a )＋1≥f (a ＋1)1－a 1＋a ＋1≥－aa ＋2a 2＋3a ＋4（a ＋1）（a ＋2）≥0.∵a 2＋3a ＋4>0对一切a ∈R 恒成立，∴原不等式等价于(a ＋1)(a ＋2)>0，解得a <－2或a >－1.故所求a 的取值范围是(－∞，－2)∪(－1，＋∞). 答案 C3.(2018·西安质检)若变量x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则x 2＋y 2的最大值是()A.4B.9C.10D.12解析 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示.x 2＋y 2表示区域内点到原点距离的平方. 由⎩⎨⎧x ＋y ＝2，2x －3y ＝9得A (3，－1). 由图形知，(x 2＋y 2)max ＝|OA |2＝32＋(－1)2＝10. 答案 C4.已知当x ＜0时，2x 2－mx ＋1＞0恒成立，则m 的取值范围为( ) A.[22，＋∞) B.(－∞，22] C.(－22，＋∞)D.(－∞，－22)解析 由2x 2－mx ＋1＞0，得mx ＜2x 2＋1， 因为x ＜0，所以m ＞2x 2＋1x＝2x ＋1x.又2x ＋1x ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤（－2x ）＋1（－x ） ≤－2（－2x ）×1（－x ）＝－2 2.当且仅当－2x ＝－1x ，即x ＝－22时取等号，所以m ＞－2 2. 答案 C5.(2018·长沙雅礼中学联考)设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≤a ，x ＋y ≥1，2x －y ≤0，若z ＝x ＋y 的最大值为6，则y x ＋a的最大值为( )A.23B.2C.4D.5解析 作出不等式组表示的平面区域如图所示.易知当直线z ＝x ＋y 过点A 时，z取到最大值6.又A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a ，∴z max ＝a 2＋a ＝6，则a ＝4.又y x ＋a ＝y x ＋4表示P (x ，y )与B (－4，0)两点连线的斜率，当点P 位于点C (－3，4)处时，斜率k 取到最大值.由k BC ＝4－0－3－（－4）＝4，知⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋a max＝4.答案 C6.实数x ，y 满足⎩⎨⎧xy ≥0，|x ＋y |≤1，使z ＝ax ＋y 取得最大值的最优解有2个，则z 1＝ax ＋y ＋1的最小值为( ) A.0B.－2C.1D.－1解析 画出不等式组所表示的可行域，如图中阴影部分所示，因为z ＝ax ＋y 取得最大值的最优解有2个，所以－a ＝1，a ＝－1，所以当x ＝1，y ＝0或x ＝0，y ＝－1时，z ＝ax ＋y ＝－x ＋y 有最小值－1，所以ax ＋y ＋1的最小值是0. 答案 A二、填空题7.(2018·全国Ⅲ卷)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧2x ＋y ＋3≥0，x －2y ＋4≥0，x －2≤0，则z ＝x ＋13y 的最大值是________.解析 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，画出直线y ＝－3x ，平移该直线，由图可知当平移后的直线经过直线x ＝2与直线x －2y ＋4＝0的交点A (2，3)时，z ＝x ＋13y 取得最大值，故z max ＝2＋13×3＝3.答案 38.(2018·天津卷)已知a ∈R ，函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x ＋a －2，x ≤0，－x 2＋2x －2a ，x >0.若对任意x ∈[－3，＋∞)，f (x )≤|x |恒成立，则a 的取值范围是________.解析 当－3≤x ≤0时，f (x )≤|x |恒成立等价转化为x 2＋2x ＋a －2≤－x 恒成立，即a ≤－x 2－3x ＋2恒成立，所以a ≤(－x 2－3x ＋2)min ＝2；当x >0时，f (x )≤|x |恒成立等价转化为－x 2＋2x －2a ≤x 恒成立，即a ≥－x 2＋x 2恒成立，所以a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2＋x 2max ＝18.综上，a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，2. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，29.(2018·衡水中学检测)设满足⎩⎨⎧x ＋y ≤6，x －y ≤2，x ≥0，y ≥0的实数x ，y 所在的平面区域为Ω，则Ω的外接圆方程是_________________________________. 解析 作出不等式组表示的平面区域Ω如图所示.则区域Ω是四边形ABCO (含内部及边界).易知BC ⊥AB ，则外接圆的圆心为AC 的中点，又A (0，6)，C (2，0)，则该四边形外接圆圆心为(1，3)，半径r＝12|AC |＝10.故所求圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝10.答案 (x －1)2＋(y －3)2＝1010.(2018·湖南长郡中学调研)已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧y ≥0，x ＋y ≤0，2x ＋y ＋2≤0，则z ＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫y －1x －1＋32的取值范围是________. 解析 作线性约束条件表示的可行域如图所示. 令t ＝y －1x －1表示可行域内的点P (x ，y )与定点M (1，1)连线的斜率.易求点B (－1，0)，k MB ＝1－01－（－1）＝12，且x ＋y ＝0的斜率为－1.∴－1<t ≤12，从而12<y －1x －1＋32≤2，故－1<z ≤1.答案 (－1，1] 三、解答题11.已知函数f(x)＝2xx2＋6.(1)若f(x)＞k的解集为{x|x＜－3，或x＞－2}，求k的值；(2)对任意x＞0，f(x)≤t恒成立，求t的取值范围.解(1)f(x)＞k kx2－2x＋6k＜0.由已知{x|x＜－3，或x＞－2}是其解集，得kx2－2x＋6k＝0的两根是－3，－2.由根与系数的关系可知(－2)＋(－3)＝2k，即k＝－25.(2)因为x＞0，f(x)＝2xx2＋6＝2x＋6x≤226＝66，当且仅当x＝6时取等号.由已知f(x)≤t对任意x＞0恒成立，故t≥66，即t的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫66，＋∞.12.(2017·天津卷)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：连续剧播放时长(分钟)广告播放时长(分钟)收视人次(万) 甲70560乙60525已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数.(1)用x，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？解(1)由已知，x，y满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧70x ＋60y ≤600，5x ＋5y ≥30，x ≤2y ，x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋6y ≤60，x ＋y ≥6，x －2y ≤0，x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N ，该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分的整数点：(2)设总收视人次为z 万，则目标函数为z ＝60x ＋25y . 考虑z ＝60x ＋25y ，将它变形为y ＝－125x ＋z 25，这是斜率为－125，随z 变化的一族平行直线，z 25为直线在y 轴上的截距，当z25取得最大值时，z 的值最大.又因为x ，y 满足约束条件，所以由图2可知，当直线z ＝60x ＋25y 经过可行域上的点M 时，截距z 25最大，即z 最大.解方程组⎩⎨⎧7x ＋6y ＝60，x －2y ＝0，得点M 的坐标为(6，3).所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多.。