4第四章 效用函数

方法二：用隐函数： 将 无 差 异 曲 线 看 做 是 由 函 数 x（ x1） ， 对 特 定 的 无 差 异 曲 线 上 ， 2 效 用 函 数 满 足 ： u [ x1 , x（ x1） k ] 2 对 这 个 恒 等 式 两 边 关 于 x1 求 微 分 ， 可 以 得 到 ： u ( x1 , x 2 ) x1 u [ x1 , x（ x1） x 2 ] 2 x2 x1 0
第四章
效用函数
效用
古典观点：个人快乐的数字测度。
基数效用论 赋予效用数值。
基数效用论的理论困难 一、效用是主观心理概念，衡量是个问题。 二、不同人的效用的可比性问题。 三、不科学，依赖于边际效用递减这个先验的规律，不能证明， 凭经验和内生而认同。 一方面消费者难以用基数衡量所消费商品的效用，另一方 面经济分析只需要消费者能够对任意不同的商品数量进行排序， 因此序数效用理论取代了基数效用理论。
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边际替代率 C-D效用函数： u ( x ) x x 1 2
CES效用函数

MRS
12

x2 x1
u ( x ) ( x1 x 2 )
M R S12


1/
1
1
M U X1 M U X2

x2 x1
1 1

x2
拟线性偏好：
每条无差异曲线都是一条单一无差异曲线垂直移动 得到的。（局部线性）
u ( x1 , x 2 ) v ( x1 ) x 2
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假设消费者的无差异曲线都是一条单一的无差异 曲线垂直移动的结果，因此无差异曲线的方程一定采 取x2=k-v(x1)。 k就是无差异曲线在纵轴方向的高度。 求解k并令它等于效用: u(x1, x2)=k=v(x1)+x2 此种情况下，效用函数对商品2来说是线性的， 但对商品1来说却是非线性的。 因此，它称作拟线性效用，意味着“局部线性” 的效用。
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效用函数：实例
完全替代： u ( x1 , x 2 ) x1 x 2 完全互补： u ( x1 , x 2 ) Min { x1 , 柯布-道格拉斯函数：
u ( x1 , x 2 ) x1 x 2

, 0
x2}
, 0 , 0
u ( x ) ln[ u ( x )]
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下 面 是 u ( x ) x1 x 2的 单 调 变 换 ？ v ( x1， x 2 ) ( x1 x 2 ) u ( x1， x 2 ) 2 x1 x 2 u ( x1， x 2 ) x1 x 2
2
是 是 是 是
u ( x1， x 2 ) 1 3 x1 1 3 x 2
（ y y ） ,
1
的效用，这用符号表示就是：
2 1 2

( x ， x ) ( y , y )
1
当且仅当 u ( x ， x ) u ( y , y )
1 2 1 2

效用指派的惟一重要特征在于它对消费束所进行的 排序。效用函数的数值，只在对不同消费束进行排序时 才有意义，两个消费束之间的效用差额大小无关紧要， 这种效用强调消费束的排列次序，被称作序数效用。 因为只有消费束排序有意义，所以不可能就存在 一种为消费束指派效用的方法。找到一种指派效用数字 的方法，就能找到无限多的方法。
注意： “只有正单调变换才具有同样的偏好，而负 单调变换不具有相同的偏好。”
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v
V=f(u)
u
单调函数的图形总是具有正的斜率。
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结论:
单调变换后： 效用函数还是效用函数， 偏好还是那个偏好。

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几种常见的正单调变换
u ( x ) u ( x ) h 其中 h R u ( x ) m u ( x ) 其中 m 0 u ( x ) [ u ( x )] q 其中 q
现代观点：描述偏好的一种方法。
序数效用论（Hicks） 效用函数是为每个可能的消费束指派一个数字 的方法，它指派给受较多偏好的消费束的数字大于 指派给受较少偏好的消费束的数字。
3

1 2
这就是，对于消费束（ x , x ） 的偏好超过对消费束
2
1
2
（ y , y ）的偏好，其充分必要条件是 x 1 , x 2） 的效用大于 （
P1 P2
MU1 MU 2
设 U U ( X 1 , X 2 )为 效 用 函 数 ， U U ( X 1 , X 2 ) C 是 一 条 无 差 异 曲 线 的 方 程 。 等式两边取全微分，有 dX 2 dX 1 MU1 MU 2
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U X 1
dX 1
U X 2
dX 2 0
这表明边际替代率与效用的表示方法无关。
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识别不同效用函数的偏好的有用办法： 已知两个效用函数，只要计算一下边际 替代率，看看是否相同。相同，具有相同的 无差异曲线。
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11
拟线性效用函数的例子： u ( x1 , x 2 ) ln x1 x 2
u ( x1 , x 2 )
x1 x 2
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x2
x1
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边际效用
新增一单位商品的消费所增加的效用量。
MU u ( x1 x1 , x 2 ) u ( x1 , x 2 ) x1 u ( x1 , x 2 ) xi
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)

)
变动率的敏感程度。
正单调变换不改变边际替代率。
一 个 效 用 函 数 的 单 调 变 换 为 v ( x1 , x 2 ) f [ u ( x1 , x 2 )] M R S12 MU X1 MU X 2 v / x1 v / x2 f / u u / x1 f / u u / x2 u / x1 u / x2
边际替代率的推导：方法一：微分；方法二：用隐函数。 方法一：微分； du u ( x1 , x 2 ) x1 d x1 u ( x1 , x 2 ) x2 dx2 0
第 一 项 度 量 的 是 微 小 变 动 d x1 所 造 成 的 效 用 增 加 ， 第二项度量的是微小变动。 M R S12 dx2 d x1 MU1 MU 2 u1 u2
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效用函数的正单调变换
单调变换是以保持数字次序不变的方式将一 组数字变换成另一组数字的方法。
通常，把u转换成函数f(u) 表示一个单调变换。这 种变换是在u1>u2隐含着f(u1)>f(u2) 以保持数字次 序不变的方式进行的。
单调变换和单调函数在本质上是同一回事。
例如，u乘以一个数（f(u)=3u,） 加上一个数 （ f(u)=u+4 ）u的奇次幂f(u)=u3
x1
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1 1
是 替 代 弹 性 ， 表 示 替 代 弹 性 参 数 ， 当 =0是 ， C ES退 化 为 C D 函 数
d( x2 x1 x2 x1 d( M U x1 M U x2 M U x1 M U x2 替代弹性测度商品比率 x2 x1 变 动 率 对 于 商 品 替 代 率 M R S= M U x1 M U x2
1
微分形式：
MU
i

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边际替代率：测量的是无差异曲线的斜率， 可以解释为消费者为获得更多的商品1而愿 意放弃的商品2的数量。
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由于在保持效用水平不变的前提下，消费者： 增加一种商品的数量所带来的效用增加量 = 减少另一种商品数量所带来的效用减少量 M U 1 X 1 M U 2 X 2 M R S12 M R S12 X 2 X 1 MU1 MU 2 或 MU 2 P2 MU1 P1