第1讲 Lingo软件入门
lingo入门教程(共55张)
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分析
(fēnxī)
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假设从S到T的最优行驶路线 P 经过城市C1, 则P中从S到C1的子路也一定 是从S到C1的最优行驶路线; 假设 P 经过城市C2, 则P中从S到C2的子路也一定是从S到C2的最优行驶路线. 因此, 为得到从S到T的最优行驶路线, 只需要先求出从S到Ck(k=1,2)的最 优行驶路线, 就可以方便地得到从S到T的最优行驶路线.
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分析
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此例中可把从S到T的行驶过程分成4个阶段,即 S→Ai (i=1,2 或3), Ai → Bj(j=1或2), Bj → Ck(k=1或2), Ck → T. 记d(Y,X)为城 市Y与城市X之间的直接距离(若这两个城市之间没有道路直 接相连，则可以认为直接距离为∞)，用L(X)表示城市S到城市
L B2 minL A1 5, L A2 6, L A3 4 7 L A3 4; L C1 minL B1 6, L B2 8 15 L B2 8;
略2去），最小运量136.2275(吨公里)。
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之一(Lingo初步)
Lindo /Lingo 软件初步Lindo/Lingo 软件是美国Lindo 系统公司开发的一套专门用于求解优化模型的软件。
Lindo 系统公司面向全社会免费提供该软件的“演示版”，我们现在使用的就是这个演示版。
占领硬盘空间大约50MB .一．Lingo 入门1．编写简单的Lingo 程序Lingo 程序：在“模型窗口”中，按Lingo 语法格式，输入一个完整的优化模型。
（注意：一个程序就是一个优化模型）例1 要求解线性规划问题 .0,,1253,1034..,32max ≥≤+≤++=y x y x y x t s y x z输入程序：max=2*x+3*y;4*x+3*y<=10;3*x+5*y<=12;例2 求解 .,0,,2,100..,23.027798max 21212122212121且都是整数≥≤≤+---+x x x x x x t s x x x x x x输入程序：max=98*x1+277*x2-x1^2-0.3*x1*x2-2*x2^2;x1<=2*x2;x1+x2<=100;@gin(x1); @gin(x2);2．语法格式（1）目标函数 max= 或 min=（2）每个语句的结尾要有“；”（3）程序中，各个语句的先后次序无关（4）自动默认各个变量均为大于等于零的实数（5）不区分大写、小写（6）程序中的“<=”、“<”等同于原模型中的“≤”程序中的“>=”、“>”等同于原模型中的“≥”（7）对一个特定的变量 x ，进行限制：@free(x) ：把x 放宽为任意实数@gin(x) ：限制x 为整数@bin(x) ：限制x 只能取0或1@bnd(-6,x,18) ：限制x 为闭区间[-6,18]上的任意实数3．练习题题1：求解“整数规划”问题.,,,,10..,432max 43214321432124232221+∈≥+++++++----Z x x x x x x x x t s x x x x x x x x题2：求解“0----1规划”问题.}1,0{,,,,2..,432max 43214321432124232221∈≥+++++++----x x x x x x x x t s x x x x x x x x题3：某学校游泳队要从5名队员中选4名参加4乘100米混合泳接力赛。
培训教案——LINGO(一)
培训教案——LINGO(一)LINGO是一款常用的线性规划软件，它能够方便地解决复杂问题。
培训LINGO，需要深入了解软件的使用方法和解决实际问题的能力。
下面就LINGO培训的内容进行分点介绍。
一、LINGO的基础知识LINGO的基础知识包括软件的基本功能和操作。
需要讲解LINGO的界面、工具栏、菜单栏等。
初次接触LINGO的学员需要掌握LINGO的一些基本用法，比如如何输入数据、如何设定优化目标，如何设置约束等，这些都是LINGO的基本操作。
二、LINGO求解模型了解LINGO的基本操作之后，需要讲解LINGO的求解模型。
LINGO的数学模型是LINGO软件解决问题必需的部分。
对于LINGO求解模型的学习，需要学员掌握数学模型的建立方法和标准的数学模型。
培训学员掌握LINGO的求解模型知识是LINGO培训的核心。
三、LINGO的高级应用LINGO的高级应用需要讲授如何利用LINGO解决实际问题，需要讲解如何构建多约束模型来描述现实中的问题，如何设置变量、常数和目标函数等。
高级应用的讲授需要结合实例，让学员深入了解LINGO的实际应用场景，提高解决实际问题的能力。
四、LINGO的调试LINGO的调试是LINGO培训的重要组成部分。
在LINGO求解过程中，有时会出现错误，导致模型不能正常求解。
因此，需要讲解LINGO调试的方法和技巧，使得学员具备调试LINGO模型的能力。
五、LINGO应用举例为了让学员进一步巩固LINGO的知识，需要讲解一些LINGO的应用举例。
举例的内容包括：产品组合问题、生产调度问题、财务规划问题、运输规划问题等。
通过这些示例，让学员对LINGO的应用有更加深刻的理解。
六、LINGO的作业练习培训LINGO需要进行实际操作，软件操作的熟练程度可以通过作业考核来体现。
作业练习的难度需要逐渐增加，从简单到复杂地设置模型，巩固培训成果。
LINGO培训需要根据学员的水平进行分类管理，加强培训的个性化和针对性。
第1讲Lingo软件基础学习(2014)
第1讲Lingo软件入门司守奎烟台市，海军航空工程学院数学教研室Email：sishoukui@1 Lingo软件的基本语法1.1 集合集合部分的语法为sets:集合名称1/成员列表1/：属性1_1，属性1_2，…，属性1_n1；集合名称2/成员列表2/：属性2_1，属性2_2，…，属性2_n2；派生集合名称（集合名称1，集合名称2）：属性3_1，…，属性3_n3；endsets例26sets:product/A B/;machine/M N/;week/1..2/;allowed(product,machine,week):x;endsets1.2 数据数据部分的语法为data:属性1=数据列表；属性2=数据列表；enddata1.3 计算计算段部分不能含有变量，必须是已知数据的运算。
calc:b=0;a=a+1;endcalc1.4 模型的目标函数和约束条件这里就不具体给出了，下面通过具体例子给出。
1.5 子模型在LINGO 9.0 及更早的版本中，在每个LINGO 模型窗口中只允许有一个优化模型，可以称为主模型（MAIN MODEL）。
在LINGO 10.0 中，每个LINGO 模型窗口中除了主模型外，用户还可以定义子模型(SUBMODEL)。
子模型可以在主模型的计算段中被调用，这就进一步增强了LINGO 的编程能力。
子模型必须包含在主模型之内，即必须位于以“MODEL:”开头、以“END”结束的模块内。
同一个主模型中，允许定义多个子模型，所以每个子模型本身必须命名，其基本语法是：SUBMODEL mymodel:可执行语句（约束+目标函数）;ENDSUBMODEL其中mymodel 是该子模型的名字，可执行语句一般是一些约束语句，也可能包含目标函数，但不可以有自身单独的集合段、数据段、初始段和计算段。
也就是说，同一个主模型内的变量都是全局变量，这些变量对主模型和所有子模型同样有效。
如果已经定义了子模型mymodel，则在计算段中可以用语句“@SOLVE( mymodel);”求解这个子模型。
第一讲 初识LINGO
Best Obj Obj Bound Steps
目前为止找到的可行解的最佳 实数 目标函数值 目标函数值的界 实数
特殊求解程序当前运行步数： 非负整数 分枝数（对B-and-B程序）； 子问题数（对Global程序）； 初始点数（对Multistart程序） 有效步数 非负整数
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Active
⑶“Variables” 表示变量数量（其中包括变量总数、非线性 变量数、整数变量数） ⑷“Constraints” 表示约束数量（约束总数、非线性约束个数） ⑸“Nonzeros” 表示非零系数数量（总数、非线性项的个数） ⑹“Generator Memory Used(K)”
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LINDO和LINGO软件能求解的优化模型
优化模型
连续优化
整数规划(IP)
线性规划 (LP)
二次规划 (QP)
非线性规划 (NLP) LINGO
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LINDO
LINDO/LINGO 软件的求解过程
LINDO/LINGO预处理程序 1、确定常数 2、识别类型 IP 全局优化（选） LP NLP 分枝定界管理程序
113求解状态窗口的参数解释求解扩展求解变量数量约束数量非零系数数量内存使用量求解花费的时间12solverstatus为求解器状态框各子项的含义及状态表域名含义可能的显示modelclass当前模型的类型lpqpilpiqppilpnlpinlppinlp以i开头表示ip以pi开头表示pipstate当前解的状态globaloptimumlocaloptimumfeasibleinfeasibleunboundedinterruptedundeterminedobjective目标函数值实数infeasibility当前约束不满足的总量实数即使该值为0当前解也可能不可行因为这个量中没有考虑用上下界形式给出的约束iterations目前为止的迭代次数非负整数13extendedsolverstatus
LINGO使用教程
LINGO 使用教程LINGO 是用来求解线性和非线性优化问题的简易工具。
LINGO 内置了一种建立最优化模型的语言，可以简便地表达大规模问题，利用LINGO 高效的求解器可快速求解并分析结果。
§1 LINGO 快速入门当你在windows 下开始运行LINGO 系统时，会得到类似下面的一个窗口：外层是主框架窗口，包含了所有菜单命令和工具条，其它所有的窗口将被包含在主窗口之下。
在主窗口内的标题为LINGO Model – LINGO1的窗口是LINGO 的默认模型窗口，建立的模型都都要在该窗口内编码实现。
下面举两个例子。
例 如何在LINGO 中求解如下的LP 问题： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≥≥++0,6002100350..32min212112121x x x x x x x t s x x 在模型窗口中输入如下代码：min =2*x1+3*x2; x1+x2>=350; x1>=100; 2*x1+x2<=600;然后点击工具条上的按钮即可。
例使用LINGO软件计算6个发点8个收点的最小费用运输问题。
产销单位运价如下表。
使用LINGO软件，编制程序如下：model:!6发点8收点运输问题;sets:warehouses/wh1..wh6/: capacity;vendors/v1..v8/: demand;links(warehouses,vendors): cost, volume;endsets!目标函数;min=@sum(links: cost*volume);!需求约束;@for(vendors(J):@sum(warehouses(I): volume(I,J))=demand(J));!产量约束;@for(warehouses(I):@sum(vendors(J): volume(I,J))<=capacity(I));!这里是数据;data:capacity=60 55 51 43 41 52;demand=35 37 22 32 41 32 43 38;cost=6 2 6 7 4 2 9 54 95 3 8 5 8 25 2 1 9 7 4 3 37 6 7 3 9 2 7 12 3 9 5 7 2 6 55 5 2 2 8 1 4 3;enddataend然后点击工具条上的按钮即可。
第1讲 Lingo软件入门
1.3 LINGO 软件的基本语法
1.3.1 集合 集合部分的语法为 sets: 集合名称 1/成员列表 1/：属性 1_1，属性 1_2，…，属性 1_n1； 集合名称 2/成员列表 2/：属性 2_1，属性 2_2，…，属性 2_n2； 派生集合名称（集合名称 1，集合名称 2） ：属性 3_1，…，属性 3_n3； endsets
1.2
1.2.1 LINGO 的模型窗口
LINGO 软件的界面介绍
求解按钮
图 1.1 LINGO 的模型窗口
模型窗口输入格式要求： （1）LINGO 的数学规划模型包含目标函数、决策变量、约束条件三个要素。 （2）在 LINGO 程序中，每一个语句都必须要用一个英文状态下的分号结束，一个语 句可以分几行输入。 （3）LINGO 的注释以英文状态的！开始，必须以英文状态下的分号结束； （4）LINGO 的变量不区分字母的大小写，必须以字母开头，可以包含数字和下划线，
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图 1.4 LINGO Options 设置
勾选了 Prices 选项后，运行 LINGO 程序，输出结果窗口中包含灵敏度分析，如图 1.5 所示。
最优目标函数值
第一个约束条件 第三个约束条件
图 1.5 灵敏度分析
目标函数
从结果可知，目标函数的最优值为 3360，决策变量 x1 20, x2 30 。 （1）reduced cost 值对应于单纯形法计算过程中各变量的检验数。 （2）图 1.5 中红色方框表示第二个约束条件，Slack or Surplus 值为 0 表示该约束松弛 变量为 0，约束等号成立，为紧约束或有效约束。蓝色方框表示第三个约束松弛变量为 40， 不等号成立，有剩余。 （3） Dual Price 对应影子价格， 红色方框表示当第一个约束条件右端常数项增加 1 个单 位，即由 50 变为 51 时，目标函数值增加 48，即约束条件 1 所代表的资源的影子价格。蓝 色方框表示，第三个约束条件右端常数项增加 1 个单位时，目标函数值不变。 2.确保最优基不变的系数变化范围 如果想要研究目标函数的系数和约束右端常数项系数在什么范围变化 （假定其他系数保 持不变）时，最优基保持不变。此时需要首先勾选图 1.6 所示的选项。
LINGO基本教程(完整版)pdf
LINGO基本教程(完整版)pdf一、教学内容本节课我们使用的教材是《LINGO基本教程》，我们将学习第14章的内容。
第1章介绍LINGO软件的基本操作，包括界面的熟悉、模型的建立等；第2章学习线性规划模型的建立与求解；第3章讲解非线性规划模型的建立与求解；第4章介绍整数规划模型的建立与求解。
二、教学目标1. 学生能够熟练操作LINGO软件，建立和求解线性、非线性以及整数规划模型。
2. 学生能够理解线性、非线性以及整数规划的基本概念，并能够运用到实际问题中。
3. 学生通过学习LINGO基本教程，提高自己的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。
三、教学难点与重点重点：熟练操作LINGO软件，建立和求解线性、非线性以及整数规划模型。
难点：理解线性、非线性以及整数规划的基本概念，以及如何将这些概念运用到实际问题中。
四、教具与学具准备教具：多媒体教学设备、投影仪、计算机。
学具：学生计算机、LINGO软件、教材《LINGO基本教程》。
五、教学过程1. 实践情景引入：以一个简单的线性规划问题为切入点，引导学生思考如何利用LINGO软件求解。
2. 讲解教材内容：分别讲解第14章的内容，包括LINGO软件的基本操作、线性规划模型的建立与求解、非线性规划模型的建立与求解以及整数规划模型的建立与求解。
3. 例题讲解：针对每个章节的内容，选择合适的例题进行讲解，让学生通过例题理解并掌握相关知识点。
4. 随堂练习：在每个章节讲解结束后，安排随堂练习，让学生通过练习巩固所学知识。
5. 课堂互动：鼓励学生提问，解答学生在学习过程中遇到的问题。
6. 板书设计：每个章节的重要知识点和操作步骤进行板书设计，方便学生复习。
7. 作业布置：布置与本节课内容相关的作业，巩固所学知识。
六、作业设计1. 作业题目：最大化问题：目标函数：Z = 2x1 + 3x2约束条件：x1 + x2 ≤ 62x1 + x2 ≤ 8x1, x2 ≥ 0最大化问题：目标函数：Z = x1^2 + x2^2约束条件：x1 + x2 ≤ 5x1^2 + x2^2 ≤ 10x1, x2 ≥ 0最大化问题：目标函数：Z = 3x1 + 2x2约束条件：x1 + x2 ≤ 42x1 + x2 ≤ 6x1, x2 均为整数2. 答案：（1）线性规划问题的解为：x1 = 2, x2 = 4（2）非线性规划问题的解为：x1 = 3, x2 = 2（3）整数规划问题的解为：x1 = 2, x2 = 2七、板书设计1. 第1章：LINGO软件的基本操作（1）界面的熟悉（2）模型的建立2. 第2章：线性规划模型的建立与求解（1）目标函数的定义（2）约束条件的设置（3）求解线性规划问题3. 第3章：非线性规划模型的建立与求解（1）目标函数的定义（2）约束条件的设置（3）求解非线性规划问题4. 第4章：整数规划模型的建立与求解（1）目标函数的定义（2）约束条件的设置（3）求解整数规划问题八、课后反思及拓展延伸本节课通过实践情景引入，使学生能够快速融入学习状态。
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max z 72 x1 64 x2 x1 x2 50, 12 x 8 x 480, 2 s.t. 1 3 x 100, 1 x1 , x2 0
LINGO 求解程序如下 max=72*x1+64*x2; x1+x2<=50; 12*x1+8*x2<=480; 3*x1<=100; 说明：LINGO 中默认所有的变量都是非负的，在 LINGO 中就不需写出对应的约束。
2
不超过 32 个字符。 （5）LINGO 程序中，只要定义好集合后，其他语句的顺序是任意的。 （6）LINGO 中的函数以“@”开头。 （7）LINGO 程序默认所有的变量都是非负的。 （8）LINGO 程序中“>或<”号与“ 或 ”号功能相同。 2.LINGO 建模时需要注意的几个基本问题 （1）尽量使用实数变量，减少整数约束和整数变量。 （2）模型中使用的参数数量级要适当，否则会给出警告信息，可以选择适当的单位改 变相对尺度。 （3）尽量使用线性模型，减少非线性约束和非线性变量的个数，同时尽量少使用绝对值、 符号函数、多变量求最大最小值、取整函数等非线性函数。 （4）合理设定变量上下界，尽可能给出初始值。 2.2.2 LINGO 的求解器运行状态窗口
1.4
LINGO 函数
1.4.1 算术运算符 ＾ 乘方 ﹡ 乘 ／ 除 ﹢ 加 ﹣ 减 1.4.2 逻辑运算符 在 LINGO 中，逻辑运算符主要用于集循环函数的条件表达式中，来控制在函数中哪些 集成员被包含，哪些被排斥。在创建稀疏集时用在成员资格过滤器中。 LINGO 具有９种逻辑运算符 #not# 否定该操作数的逻辑值，＃not＃是一个一元运算符。 #eq# 若两个运算数相等，则为 true；否则为 false。 #ne# 若两个运算符不相等，则为 true；否则为 false。 #gt# 若左边的运算符严格大于右边的运算符，则为 true；否则为 false。 #ge# 若左边的运算符大于或等于右边的运算符，则为 true；否则为 false。 #lt# 若左边的运算符严格小于右边的运算符，则为 true；否则为 false。 #le# 若左边的运算符小于或等于右边的运算符，则为 true；否则为 false。 #and# 仅当两个参数都为 true 时，结果为 true；否则为 false。 #or# 仅当两个参数都为 false 时，结果为 false；否则为 true。 1.4.3 关系运算符 在 LINGO 中，关系运算符主要是被用在模型中来指定一个表达式的左边是否等于、小 于等于、 或者大于等于右边， 形成模型的一个约束条件。 关系运算符与逻辑运算符#eq#、 #le#、 #ge#截然不同，逻辑运算符仅仅判断一个关系是否被满足，满足为真，不满足为假。 LINGO 有三种关系运算符： “=”、 “<=”和“>=”。 LINGO 中还能用“<”表示小于等于关系， “>”表示大于等于关系。LINGO 并不支持严格小于和严格大于关系运算符。 1.4.4 数学函数 LINGO 提供了大量的标准数学函数 @abs(x)返回 x 的绝对值。 @sin(x)返回 x 的正弦值，x 采用弧度制。 @cos(x)返回 x 的余弦值。 @tan(x)返回 x 的正切值。
当前模型类型 当前解的状态 当前目标函数值 当前约束不满足的总量 目前为止迭代次数 使用的特殊求解程序 目前可行解的最佳目标函数值 目标函数值的界 特殊求解程序当前运行步数 有效步数
求解器状态
变量数量
约束数量 非零系数数量
变量总数 非线性变量数 整数变量数 约束总数 非线性约束个数 总数 非线性系数个数 内存的使用量 求解花费的时间
（2）Righthand Side Ranges 一栏反映了约束条件右端代表资源系数的常数项，可见第一个 约束右端常数项在 43.333333,60 变化时，最优基不变，但是最优解发生变化，目标函数值也相
应地发生变化。由于第三个约束松弛变量为 40，有剩余，可见无论再如何增加该资源，只会使 剩得更多，对解没有影响，但是如果减少量超过 40，就会产生影响。
max z 72 x1 64 x2 x1 x2 50, 12 x 8 x 480, 2 s.t. 1 3 x 100, 1 x1 , x2 0
1.影子价格 要进行灵敏度分析，必须选择如图 1.4 所示的画圈的选项，依次选择下列菜单 LINGO →Options…„General Solver 下 Dual Computations 选择 Prices。
4
图 1.4 LINGO Options 设置
勾选了 Prices 选项后，运行 LINGO 程序，输出结果窗口中包含灵敏度分析，如图 1.5 所示。
最优目标函数值
第一个约束条件 第三个约束条件
图 1.5 灵敏度分析
目标函数
从结果可知，目标函数的最优值为 3360，决策变量 x1 20, x2 30 。 （1）reduced cost 值对应于单纯形法计算过程中各变量的检验数。 （2）图 1.5 中红色方框表示第二个约束条件，Slack or Surplus 值为 0 表示该约束松弛 变量为 0，约束等号成立，为紧约束或有效约束。蓝色方框表示第三个约束松弛变量为 40， 不等号成立，有剩余。 （3） Dual Price 对应影子价格， 红色方框表示当第一个约束条件右端常数项增加 1 个单 位，即由 50 变为 51 时，目标函数值增加 48，即约束条件 1 所代表的资源的影子价格。蓝 色方框表示，第三个约束条件右端常数项增加 1 个单位时，目标函数值不变。 2.确保最优基不变的系数变化范围 如果想要研究目标函数的系数和约束右端常数项系数在什么范围变化 （假定其他系数保 持不变）时，最优基保持不变。此时需要首先勾选图 1.6 所示的选项。
第 1 讲 LINGO 软件入门
司守奎 烟台市，海军航空大学 Email：sishoukui@
1.1 初识 LINGO 程序
LINGO 程序书写实际上特别简捷，数学模型怎样描述，LINGO 语言就对应地怎样表达。 首先介绍两个简单的 LINGO 程序。 例 1.1 求解如下的线性规划问题：
1.3 LINGO 软件的基本语法
1.3.1 集合 集合部分的语法为 sets: 集合名称 1/成员列表 1/：属性 1_1，属性 1_2，…，属性 1_n1； 集合名称 2/成员列表 2/：属性 2_1，属性 2_2，…，属性 2_n2； 派生集合名称（集合名称 1，集合名称 2） ：属性 3_1，…，属性 3_n3； endsets
例 1.2
抛物面 z x y 被平面 x y z 1 截成一椭圆，求原点到这椭圆的最短距
2 2
离。 该问题可以用拉格朗日乘子法求解。下面我们把问题归结为数学规划模型，用 LINGO 软件求解。 设原点到椭圆上点 ( x, y, z ) 的距离最短，建立如下的数学规划模型：
min
x2 y2 z 2
例 1.4 sets: product/A B/;
6
machine/M N/; week/1..2/; allowed(product,machine,week):x; endsets
1.3.2 数据 数据部分的语法为 data: 属性 1=数据列表； 属性 2=数据列表； enddata 在数据段中，=右侧不能出现运算，故不能出现分数，如 3/8，这里的/表示除法运算。 1.3.3 计算段 计算段部分不能含有变量，必须是已知数据的运算。 calc: b=0; a=a+1; endcalc 1.3.4 目标函数、约束条件 目标函数和约束条件这里就不具体给出了，下面通过具体例子给出。
x y z 1, s.t. 2 2 z x y .
LINGO 求解程序如下： min=(x^2+y^2+z^2)^(1/2); x+y+z=1; z=x^2+y^2; @free(x); @free(y); 说明：LINGO 中默认所有变量都是非负的，这里 x, y 的取值是可正可负的，所以使用 LINGO 函数 free。
扩展求解器状态
图 1.2 LINGO 的求解器状态窗口
1.求解器状态框 “当前解的状态”有如下几种： Global Optimum 全局最优解 Local Optimum 局部最优解 Feasible 可行解 Infeasible 不可行解 Unbounded 无界解 Interrupted 中断 Undetermined 未确定 2.扩展求解器状态 “使用的特殊求解程序”有如下几种： B-and-B 分支定界算法 Global 全局最优求解程序 Multistart 用多个初始点求解的程序 3.LINGO 求解的参数设置
1.2
1.2.1 LINGO 的模型窗口
LINGO 软件的界面介绍
求解按钮
图 1.1 LINGO 的模型窗口
模型窗口输入格式要求： （1）LINGO 的数学规划模型包含目标函数、决策变量、约束条件三个要素。 （2）在 LINGO 程序中，每一个语句都必须要用一个英文状态下的分号结束，一个语 句可以分几行输入。 （3）LINGO 的注释以英文状态的！开始，必须以英文状态下的分号结束； （4）LINGO 的变量不区分字母的大小写，必须以字母开头，可以包含数字和下划线，
例 1.3
求解如下的数学规划模型：
1
min
x
i 1 100
100
2 i
xi 1, i 1 s.t. 99 x x 2 . 100 i i 1