集合的运算交和并(20200926054838)
集合中元素的交并补运算
集合中元素的交并补运算一、集合的基本概念1.集合的定义：集合是由确定的、互异的元素构成的整体。
2.集合的表示方法：用大括号括起来，如{a, b, c}。
3.集合的元素：集合中的每一个成员称为元素。
二、集合的基本运算1.交集（∩）：两个集合中共同拥有的元素构成的新集合。
2.并集（∪）：两个集合中所有元素（包括重复元素）构成的新集合。
3.补集（’）：一个集合在全集中所没有的元素构成的新集合。
三、交集的性质1.交换律：A∩B=B∩A2.结合律：(A∩B)∩C=A∩(B∩C)3.对于任何集合A，A∩∅=∅=A∩A四、并集的性质1.交换律：A∪B=B∪A2.结合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C)3.对于任何集合A，A∪∅=A=A∪A4.分配律：A∪(B∩C)=(A∪B)∪(A∪C)五、补集的性质1.A’∪A=∅，A’∩A=U（其中U为全集）2.(A’∪B)’=A∩B3.(A’∩B)’=A∪B六、交、并、补运算的应用1.集合的划分：将一个集合分成若干个互不交集的过程。
2.集合的覆盖：用若干个集合覆盖一个集合的过程，涉及到并集的性质。
3.集合的包含关系：通过交集和补集判断两个集合的包含关系。
七、注意事项1.集合运算中，元素必须满足确定性和互异性。
2.集合运算中，要注意区分集合与元素的关系，遵循运算法则。
3.在解决实际问题时，要灵活运用集合的交、并、补运算，简化问题。
通过以上知识点的学习，学生可以掌握集合中元素的交并补运算的基本概念、性质和应用，为后续数学学习打下坚实的基础。
习题及方法：1.习题：设集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，求A∩B和A∪B。
解题方法：根据交集和并集的定义，可以直接找出A和B中共同的元素和所有元素。
解：A∩B={2, 3}，A∪B={1, 2, 3, 4}。
2.习题：如果集合A={x | x是小于5的整数}，集合B={x | x是小于6的整数}，求A∩B和A’∪B。
集合的运算---交、并
-2
3
从图形可以看出，阴影部分即是集合A 与集合B 的交集
A B { x | x 2 } { x | x 3} { x | 2 x 3}
例5：设A={x|x是等腰三角形}，B={x|x是直角三角形}，求A∩B 分析：此题仍是求交集，如果用文氏图表示各个集合，可能会 方便我们的理解
1
①
4
2
3
(1)
A B A A B, A B B A B
B
A（Leabharlann 2）A B AA B B
②如果集合A是集合B的子集：则有 A B A , A B B
即： A
B A B A
?
A B A B B
?
例1：设A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，求A∪B 分析：此题是求两个集合的并集，如果用文氏出表示各个集合， 可能会方便我们的理解 A 4， 5， 3，
1
4
2
3
注意：定义中的“或”字，它说明A∪B中的元素有下列三种情况： x A, x B 或 x A, x B 或 x A, x B 2、交集：一般地，由所有属于集合A，且属于集合B的元素所组成的 集合，叫做集合A与集合B的交集。 记作：A B 读作：“A交B” 即 A B { x | x A , 且 x B } 注意：定义中的“且”字，它说明A∩B中的任一元素x都是A与B的 公共元素。由此可知， A∩B必是A和B的公共子集。 即： A B A , A B B 所以 A B A A B , A B B A B
A
B
解：将集合A，集合B用上图表示 A∩B ={x|x是等腰三角形}∩{x|x是直角三角形} ={x|x是等腰直角三角形}
集合的运算律公式(二)
集合的运算律公式(二)集合的运算律公式交换律交换律指的是集合的并、交运算，在交换操作的顺序不影响最终结果。
具体公式如下：•并运算交换律：A ∪ B = B ∪ A•交运算交换律：A ∩ B = B ∩ A例如：设集合 A = {1, 2, 3}，集合 B = {3, 4, 5}。
则根据并运算交换律，有A ∪ B = B ∪ A = {1, 2, 3, 4, 5}。
根据交运算交换律，有A ∩ B = B ∩ A = {3}。
结合律结合律指的是集合的并、交运算，在结合操作的顺序不影响最终结果。
具体公式如下：•并运算结合律：(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)•交运算结合律：(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)例如：设集合 A = {1, 2, 3}，集合 B = {3, 4, 5}，集合 C = {1, 3, 5}。
则根据并运算结合律，有(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪C) = {1, 2, 3, 4, 5}。
根据交运算结合律，有(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) = {3}。
分配律分配律指的是集合的并、交运算之间的关系。
具体公式如下：•并运算对交运算的分配律：A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)•交运算对并运算的分配律：A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)例如：设集合 A = {1, 2, 3}，集合 B = {3, 4, 5}，集合 C = {1, 3, 5}。
根据并运算对交运算的分配律，有 A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) = {1, 2, 3, 4, 5}。
根据交运算对并运算的分配律，有A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) = {1, 3}。
吸收律吸收律指的是集合的并、交运算与集合的子集之间的关系。
具体公式如下：•并运算对子集的吸收律：A ⊆ (A ∪ B)•交运算对子集的吸收律：(A ∩ B) ⊆ A例如：设集合 A = {1, 2, 3}，集合 B = {3, 4, 5}。
高中数学课件集合的运算交、并
2021/4/27
例2：设A={x|x是锐角三角形}，B={x|x是钝角三角形}，求A∪B
解：A∪B ={x|x是锐角三角形} ∪{x|x是钝角三角形} ={x|x是斜三角形}
例3：设 A { x | 1 x 2 } ， B { x | 1 x 3 } 求 A , B
分析：此题与例1类似，与实数大小有关系，利用数轴处理
-1
1 23
解：将集合A，集合B用上图表示
A B {x| 1x2 } {x|1x3 } {x| 1x3 }
练习：设 A { x | 1 x 0 } ， B { x |1 x 3 } 求 A ,B
2021/4/27
例4：设 A { x |x 2 } ， B { x |x 3 } ， A B 求 .
分析：求两个集合的交集即是求既属于集合A又属于集合B的元素， 此题与实数大小有关系，利用数轴处理会是问题简便
解：在数轴上分别作出集合A 集合B所对应的部分
-2
3
从图形可以看出，阴影部分即是集合A 与集合B 的交集
A B { x |x 2 } { x |x 3 } { x | 2 x 3 }
2021/4/27
14Βιβλιοθήκη 32注意：定义中的“或”字，它说明A∪B中的元素有下列三种情况：
xA,xB或 xA,xB或 xA,xB 2、交集：一般地，由所有属于集合A，且属于集合B的元素所组成的
集合，叫做集合A与集合B的交集。
记作：AB 读作：“A交B” 即 A B { x |x A ,且 x B }
注意：定义中的“且”字，它说明A∩B中的任一元素x都是A与B的 公共元素。由此可知， A∩B必是A和B的公共子集。
交集和并集的计算方法
交集和并集的计算方法嘿，咱今儿来聊聊交集和并集的计算方法哈！这可有意思啦！你看哈，交集就像是两个圈子重叠的那一块儿。
比如说，咱有一堆水果，一个圈子里是苹果、香蕉、橘子，另一个圈子里是香蕉、梨、葡萄，那它们重叠的部分，也就是香蕉，这就是交集啦！这多形象啊！计算交集呢，就是找出那些同时属于两个集合的元素。
那并集呢，就像是把两个圈子里的所有东西都合到一块儿。
还是刚才那堆水果，把两个圈子里的所有水果都算上，苹果、香蕉、橘子、梨、葡萄，这就是并集啦！是不是很好理解呀？咱举个具体的例子呗，有集合A 是{1，2，3，4}，集合 B 是{3，4，5，6}。
那它们的交集不就是{3，4}嘛，因为 3 和 4 是这两个集合都有的呀。
它们的并集呢，就是{1，2，3，4，5，6}，把两个集合里的数都搁一块儿啦！再想想，交集是不是有点像咱找朋友，得是两边都有的那几个特别的人；并集呢，就像是把两边认识的人都拢到一起，人可就多啦！这计算方法不难吧？可别小瞧了它哟！在好多地方都用得到呢。
比如说，咱统计喜欢不同运动的人，那喜欢篮球和喜欢足球的人的交集，就是既喜欢篮球又喜欢足球的人呗；它们的并集就是喜欢篮球或者喜欢足球的人啦。
还有啊，生活中也能找到交集和并集的影子呢！比如说你有一堆爱好，我也有一堆爱好，那咱俩爱好的交集，就是咱俩都喜欢的东西呀，说不定还能因为这个成为好朋友呢！而咱俩爱好的并集，那可就是丰富多彩啦，能一起玩的东西可多了去了。
学了交集和并集的计算方法，就像是掌握了一把钥匙，能打开好多知识的大门呢！以后遇到更复杂的问题，咱也不怕啦，就用这方法去分析分析，肯定能找到答案。
总之呢，交集和并集的计算方法真的很有用，很有趣呀！咱可得好好掌握，以后肯定用得上，对吧？。
集合的并、交、补基本运算法则
For personal use only in study and research; not for commercial use集合的并、交、补运算满足下列定理给出的一些基本运算法则．定理4.2.1.设A,B,C为任意三个集合，Ω与∅分别表示全集和空集，则下面的运算法则成立：(1)交换律：A∪B =B∪A，A∩B =B∩A；(2)结合律：(A∪B) ∪C =A∪(B∪C) (可记作A∪B∪C）,(A∩B) ∩C =A∩(B∩C) (可记作A∩B∩C）；(3)分配律: (A∩B) ∪C =（A∪C）∩(B∪C),(A∪B) ∩C =(A∩C) ∪(B∩C)；(4)摩根(Morgan)律: ，；(5)等幂律: A∪A=A，A∩A=A；(6)吸收律: (A∩B)∪A=A，(A∪B)∩A=A；(7)0―1律: A∪∅=A，A∩Ω=A，A∪Ω=Ω，A∩∅=∅；(8)互补律: , ∅；(9)重叠律: , .证.借助文氏(Venn)图绘出分配律第一式以及摩根律第一式的证明，余者由读者模仿完成．例4.2.1 试证明等式证.＝Ω∩C＝C对偶.定理4.2.1的九条定律中的每一条都包含两个或四个公式，只要将其中一个公式中的∪换成∩，同时把∩换成∪，把∅换成Ω，同时把Ω换成∅，这样就得到了另一个公式，这种有趣的规则称为对偶原理. 例如，摩根定律中的∪换成∩，∩换成∪，就得到了另一个摩根公式．例4.2.2 的对偶为；的对偶为；的对偶式是仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。
For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur für den persönlichen für Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.Pour l 'étude et la recherche uniquement à des fins personnelles; pas à des fins commerciales.толькодля людей, которые используются для обучения, исследований и не должны использоваться в коммерческих целях.以下无正文仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。
集合中的运算和关系
集合中的运算和关系集合是数学中的一个基本概念，它是由一些确定的、互不相同的对象构成的整体。
集合中的运算和关系是研究集合性质和结构的重要内容。
一、集合的运算集合的运算包括并集、交集、差集和补集等。
1.并集：设A、B是两个集合，它们的并集记为A∪B，表示A和B中所有元素的集合。
2.交集：设A、B是两个集合，它们的交集记为A∩B，表示同时属于A和B的元素的集合。
3.差集：设A、B是两个集合，它们的差集记为A-B，表示属于A但不属于B的元素的集合。
4.补集：设U是一个全集，A是U的一个子集，A的补集记为A’，表示U中不属于A的元素的集合。
二、集合的关系集合之间的关系主要包括包含关系、相等关系和不相交关系等。
1.包含关系：设A、B是两个集合，如果A中的所有元素都属于B，则称A包含于B，记为A⊆B。
如果A包含于B且B包含于A，则称A等于B，记为A=B。
2.相等关系：设A、B是两个集合，如果A包含于B且B包含于A，则称A等于B，记为A=B。
3.不相交关系：设A、B是两个集合，如果A和B没有共同的元素，则称A和B不相交，记为A∩B=∅。
三、集合的性质1.确定性：集合中的元素是确定的，不含有不确定性。
2.互异性：集合中的元素是互不相同的。
3.无序性：集合中的元素没有顺序。
四、集合运算的性质1.结合律：对于集合的并集、交集和差集运算，都满足结合律。
2.交换律：对于集合的并集、交集和差集运算，都满足交换律。
3.分配律：对于集合的并集和交集运算，满足分配律。
五、集合的关系的性质1.自反性：对于任意集合A，A包含于A。
2.对称性：对于任意集合A、B，如果A包含于B，则B包含于A。
3.传递性：对于任意集合A、B、C，如果A包含于B且B包含于C，则A包含于C。
以上是集合中的运算和关系的基本知识点，希望对你有所帮助。
习题及方法：1.习题：设集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，求A∪B、A∩B、A-B、A’。
集合 运算
集合运算集合运算集合论是数学中最基础的部分之一，而集合运算就是我们对集合之间关系的描述和运算规律的探讨。
在实际生活和学术研究中，集合运算起着极为重要的作用，无论从数学上还是其他领域的应用来看，集合运算都是不可或缺的工具。
在此，我们将重点介绍集合运算的基础知识，按照不同的类别进行分类介绍。
一、集合的基本运算集合基本运算有三个：并集、交集和差集。
并集：当A和B是两个集合时，集合A和集合B的并集（记作A∪B）是由属于集合A或属于集合B的元素构成的新集合。
交集：当A和B是两个集合时，集合A和集合B的交集（记作A∩B）是由属于集合A且属于集合B的元素构成的新集合。
差集：当A和B是两个集合时，集合A和集合B的差集（记作A-B）是由属于集合A但不属于集合B的元素构成的新集合。
二、补集运算补集是指一个集合与它的全集的差集，即一个集合中所有不属于自己的元素的集合。
与其他运算不同，这是只需要一个集合即可完成运算的一种特殊运算方式。
补集常用符号为C(A)，表示集合A的补集，C(A)=U-A 。
其中， U 表示构成某一集合的所有元素的全部可能的“全集”。
三、笛卡尔积当A和B是两个集合时，笛卡尔积（记作A×B）是由所有形如(a,b)的有序对构成的集合，其中a∈A，b∈B。
四、集合运算除了以上几种基本运算，还有一些其它的常规运算，这里简单介绍两种：并集和交集的笛卡尔积：集合A和B的并集与交集的笛卡尔积分别是(A×B)∪(A×B) 和(A×B)∩(A×B) 。
幂集：集合A的所有子集构成的集合称为 A 的幂集。
极其重要的一点是将幂集定义为集合 A 的所有子集，不包括空集，因此 A 的幂集元素个数是 2^n，n 为集合 A 中元素的个数。
总结：集合运算是集合论中重要的一个部分，集合之间的基本运算包括并集、交集、差集以及补集等。
此外，还有笛卡尔积和幂集等其他重要概念。
在实际生活和学术研究中，集合运算帮助我们更好地描述和计算不同集合之间的关系，并提供了大量的重要工具和方法。