2018数学花园探秘决赛_初中A卷(答案作者版)
2018年重庆市中考数学试卷(A卷)答案及解析(可编辑)
D
C
A
Hale Waihona Puke E【答案】 6
B
90 22 6 - 360
【解析】 S阴 2 3 -
【点评】此题考查扇形、四边形面积的计算，及割补法的基本应用，属于基础题
..
15. 春节期间，重庆某著名旅游景点成为热门景点，大量游客慕名前往，市旅游局统计了春 节期间 5 天的游客数量，绘制了如图所示的折线统计图，则这五天游客数量的中位数为 。
【点评】 此题主要考查二次根式的混合运算及估算无理数的大小， 属于中考当中的简单 题。
..
8.按如图所示的运算程序,能使输出的结果为 12 的是 A. x 3, y 3 B. x 4, y 2 C. x 2, y 4 D. x 4, y 2
【答案】 C 【解析】由题可知,代入 x 、 y 值前需先判断 y 的正负，再进行运算方式选择。 A 选项
【答案】B 【解析】延长 AB 交地面与点 H. 作 CM⊥DE. 易得
CM = 1.6. DM = 1.2,,
AH AH tan58 1.6 HE 1 1.2 7
AH 14.72, AB 14.72 1.6 13.1
【点评】此题考查三角函数的综合运用，解题关键是从图中提取相关信息，特别是直角 三角形的三边关系，属于中等题
三种粗粮的成本价之和。已知 A 粗粮每千克成本价为 6 元，甲种粗粮每袋售价为 58.5 元， 利润率为 30%，乙种粗粮的利润率为 20%。若这两种袋装粗粮的销售利润率达到 24%，则该 电商销售甲、乙两种袋装粗粮的数量之比是 。 （ 商品的利润率=
人数/万人
25.4 24.9
23.4
22.4 21.9 O
(完整版)2018年重庆市中考数学试卷(A卷)答案及解析(可编辑)
2018年重庆市中考数学试卷（A 卷）答案及解析一、选择题 (本大题12个小题，每小题4分，共48分。
)1.2的相反数是 A .2-B .12-C.12D .2【答案】A【解析】根据一个数的相反数就是在这个数的前面添加上“-”即可求解 【点评】本题考查了相反数的定义，属于中考中的简单题2．下列图形中一定是轴对称图形的是A.B.C.D.【答案】D【解析】A40°的直角三角形不是对称图形；B 两个角是直角的四边形不一定是轴对称图形；C 平行四边形是中心对称图形不是轴对称图形；D 矩形是轴对称图形，有两条对称轴【点评】此题主要考查基本几何图形中的轴对称图形和中心对称图形，难度系数不大，考生主要注意看清楚题目要求。
3.为调查某大型企业员工对企业的满意程度，以下样本最具代表性的是 A.企业男员工 B.企业年满50岁及以上的员工 C.用企业人员名册，随机抽取三分之一的员工 D.企业新进员工【答案】C【解析】A 调查对象只涉及到男性员工；B 调查对象只涉及到即将退休的员工；D 调查对象只涉及到新进员工【点评】此题主要考查考生对抽样调查中科学选取样本的理解，属于中考当中的简单题。
4.把三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4个三角形，第②个图案中有6个三角形，第③个图案中有8个三角形，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中三角形的个数为A ．12B ．14C ．16D ．18 【答案】C 【解析】40°直角三角形四边形平行四边形矩形∵第1个图案中的三角形个数为:2+2=2×2=4;第2个图案中的三角形个数为:2+2+2=2×3=6;第3个图案中的三角形个数为:2+2+2+2=2×4=8;……∴第7个图案中的三角形个数为:2+2+2+2+2+2+2+2=2×8=16;【点评】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出数字之间的运算规律，从而计算出正确结果。
2016年“数学花园探秘”科普活动决赛试题小中年级组A卷
2016年“数学花园探秘”科普活动决赛试题小中年级组A 卷一、填空题Ⅰ1．算式33333339876543++++++的计算结果是 .2．菲菲从一班转到了二班，蕾蕾从二班转到了一班.于是一班学生的平均身高增加了2厘米，二班学生的平均身高减少了3厘米.如果蕾蕾身高158厘米，菲菲身高140厘米，那么两个班共有学生 人.3.图中3个大三角形都是等边三角形，则图中共有 个三角形.4.今天是1月30日，我们先写下130；后面写数的规则是：如果刚写下的数是偶数就把它除以2再加上2写在后面，如果刚写下的数是奇数就把它乘以2再减去2写在后面.于是得到：130、67、132、68……；那么这列数中第2016个数是 .二、填空题Ⅱ5.请将1～6分别填入右图的6个圆圈中，使得每条直线上的圆圈中填的所有数的和都相等(图中有3条直线上各有3个圆圈，有两条直线上各有2个圆圈)；那么两位数AB = .6.在A 、B 、C 三个连通的小水池中各放入若干条金鱼.若有12条金鱼从A 池游到C 池中，则C 池内的金鱼将是A 池的2倍.若有5条金鱼从B 池游到A 池中，则A 池与B 池的金鱼数将相等.此外，若有3条金鱼从B 池游到C 池中，则B 池与C 池的金鱼数也会相等.那么A 水池中原来有 条金鱼.7.如图，长方形ABCD的长AB为20厘米，宽BC为16厘米；长方形内放着两个重叠的正方形DEFG和BHIJ.已知三个阴影长方形的周长相等，那么长方形INFM的面积为平方厘米8.在下右图每个格子里填入数字1～5中的一个，使得每一行和每一列数字都不重复.每个“L”状大格子跨了两行和两列，线上圆圈中的数表示相邻两个格子内数字的和（下左图给出了一个填1～4的例子，如下中图第3行从左到右四格依次是3,4,1,2）.那么下右图中最下面一行的五个数字按照从左到右的顺序依次组成的五位数是.三、填空题Ⅲ9.用数字1至9组成一个没有重复数字的九位数ABCDEFGHI，要求AB、BC、CD、DE、EF、FG、GH、HI这八个两位数均能写成两个一位数的乘积；那么算式+的计算结果是.ABC+DEFGHI10.图③是由6个图①这样的模块拼成的.如果最底层已经给定一块的位置（如图②），那么剩下部分一共有种不同的拼法.11.甲、乙二人轮流从1～9这9个自然数中取不同的数，对方取过的数不能再取，谁取得的数中先有三个数成等差数列谁就获胜；甲先取了8，乙接着取了5；为了确保甲必胜，甲接下来取得一个数的所有可能的值的乘积是。
数学花园探秘笔试题
2 3 2
1
图1
图2
若图4中隐藏的4个宝箱如图3所示，请在图4中找出这4个宝箱，将宝物用○表示出来.请把答
案写在答题纸上.
343222
4
0
5
3
0
4
图3
图4
第12关 胶囊数独
在空格内填入数字1、2、3、4、5，使得每行、每列都有数字1、2、3、4、5且不重复，
表示胶囊，每个胶囊中必须是一个单数和一个双数（如图1）.请问图2中从左数第2列从. 上. 到. 下. 的 五个数字依次是多少？请把答案写在答题纸上.
1234 56
第10关 淘气的数字宝宝
九个数字宝宝1、2、3、4、5、6、7、8、9要坐在九宫格的饭桌吃饭，不同的图形代表不同 的数字，相同的图形代表相同的数字，连续的两个数字的座位不能挨在一起，不能有公共边，比 如数字 2、 3 就不能左右或上下紧挨在一起坐 ，如图1每个宝宝占一个座位.
图1
九个数字宝宝自己有各种各样的要求：
5
第11关 宝箱探秘
下图中隐藏了一些放有宝物的宝箱，宝物的放法遵守3个规则： （1）宝物都放在宝箱里，每个宝箱都由四个小方块组成，每个小方块里都有一个宝物， 用○ 表示； （2）方格周围的数字表示该行或者该列宝物的数量； （3）两个宝箱之间互不相邻（包括横、列、斜）. 例：图1的两个宝箱放入图2
310 4
示例：图1
图2
2
第5关
铁丝的长度
用一根固定长度的铁丝去围一些一样大小的正方形，结果如图1 和图2，围1个正方形一圈， 铁丝还多出20厘米，围着两个挨在一起的正方形一圈，铁丝还多出8厘米.请想一想，这根铁丝的 长度为多少厘米？请把答案写在答题纸上.
20厘米
(完整版)2018数学花园探秘决赛_初中A卷(答案作者版)
2018年“数学花园探秘”科普活动初中年级组决赛试卷A（测评时间：2018年1月6日10:30—12:00）一． 填空题Ⅰ（每小题8分，共32分）1.__________．〖答案〗2〖作者〗北京 朱雍容2. 已知非零整数,,a b c 满足2221a b c a b c +-=+-=-，则333a b c +-的值为__________．〖答案〗11〖作者〗郑州 程国根3. 若关于,x y 的方程组26534y x x ky x ⎧=-+-⎪⎨=⎪⎩恰有四组解，则所有不同整数k 的平方和是__________．〖答案〗6〖作者〗武汉 卢韵秋4. 若关于x的方程21122x x x x+=-- 则满足条件的a 的所有正整数值之和为__________．〖答案〗21 〖作者〗上海 方非二． 填空题Ⅱ（每小题10分，共40分）5.(20218x x -+-的最小值为M ,那么不小于M 的最小整数为__________．〖答案〗22〖作者〗北京 班昌6. 如图，ABCD 是圆内接四边形，E 是直线AC 上一点，满足：直线BE 与直线BD 关于AB 对称， 且直线DE 与直线BD 关于AD 对称． 若15,20,24AB BC CD ===， 则AD ＝__________．〖答案〗7〖作者〗北京 申井然C7. 一个数字不含0的两位数，恰等于它的数字和与其所有不同质因数和的乘积，那么这个两位数是__________． 〖答案〗27 〖作者〗北京 陈景发8. 普通骰子六个面上分别为1~6，同时投掷红、蓝两枚骰子时，会出现36种不同的投掷结果，两枚骰子的点数之和及其对应的结果种数如下： 现在有黑、白两个特制的六面骰子，黑骰子上六个正整数中至少存在某两个相同，白色骰子上六个正整数各不相同，并且同时投掷黑白这两枚骰子时，得到的点数之和及对应的结果种数与上表相同，那么白色骰子上六个正整数之和是__________． 〖答案〗27 〖作者〗北京 石文博三． 填空题Ⅲ（每小题12分，共48分）9. 已知[]x 表示不超过x 的最大整数．那么算式2!3!4!99!100!1!1!2!1!2!3!1!2!98!1!2!99!⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++++++++⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦的计算结果是__________． 〖答案〗4854 〖作者〗广州 黄达鹏10. 如图，P 为正方形ABCD 内的一点，2220,18PA PC ==，当PB 以及正方形的面积均为整数时，这个正方形面积的最大值为__________． 〖答案〗37 〖作者〗北京 付宇11. 四位数1234具有如下性质：把它的相邻数位依次写成三个两位数12,23,34，它们恰好构成一个等差数列．那么，具有这种性质的四位数abcd 共有__________个． 〖答案〗43〖作者〗北京 叶培臣12. （评选题）四． 解答题（每小题15分，共30分）13. 如图，△ABC中，AB =，AH 是BC 上的高，M 是AC 的中点，,HM BA 的延长线交于点D ，连结CD ．求证：BC CD =．〖答案〗 〖作者〗上海 叶中豪〖解析〗（证法不唯一）作AB 边的中点N ，连结CN ， ∴2212AB AN AB AC ⋅==， 又∵BAC CAN ∠=∠， ∴△ABC ∽△ACN ， ∴ACB ANC ∠=∠，又∵直角△AHC 中，斜边中线MH MC =， ∴MCH MHC ∠=∠，即得DHC DNC ∠=∠，∴,,,C D N H 四点共圆，∴CDN BHN ∠=∠，再连结HN ，直角△ABH 中，斜边中线NH NB =， ∴B BHN ∠=∠，即得B CDB ∠=∠， ∴BC CD =，证毕．〖评分建议〗由各地管委会自行酌情确定．BB14. 已知直线m 交抛物线2y ax =于A 、B 两点，交x 轴于C 点，直线n 交抛物线2y ax =于D 、E两点，交x 轴于F 点,过C 、F 两点作x 轴的垂线分别交抛物线于G 、H ，已知AD //x 轴，直线AD 与BE 相交．求证：直线,BE GH 与x 轴三线共点． 〖答案〗〖作者〗北京 付宇〖解析〗不妨设点A 、B 、C 、D 、E 、F 的横坐标分别为1x 、2x 、3x 、4x 、5x 、6x ，则()()()()()()()()22222211223445563366,,,,,0,,,,,,0,,,,A x ax B x ax C x D x ax E x ax F x G x ax H x ax ，由直线m 过A 、B 两点，可得其斜率为()12a x x +，代入C 点坐标得()()212131a x x x x ax +-=，∴2112311212x x x x x x x x x =-=++，同理可得45645x x x x x =+；由题意，直线BE 不与x 轴平行，其在x 轴的截距为2525x x x x +，直线GH 在x 轴的截距为3636x xx x +；只需证36253625x x x x x x x x =++即36251111x x x x +=+，∵AD //x 轴，∴140x x +=，代入312645111111,x x x x x x =+=+立得结论，证毕． 〖评分建议〗由各地管委会自行酌情确定．。
2018年初中数学联赛试题及答案
2018年初中数学联赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试(A)一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．设二次函数2222a ax x y ++=的图象的顶点为A ，与x 轴的交点为C B ,.当△ABC 为等边三角形时，其边长为 （ ）A.6．B.22．C.32．D.23． 【答】C.由题设知)2,(2a a A --.设)0,(1x B ，)0,(2x C ，二次函数的图象的对称轴与x 轴的交点为D ，则222212212122444)(||a a a x x x x x x BC =⨯-=-+=-=.又BC AD 23=，则22223|2|a a ⋅=-，解得62=a 或02=a （舍去）.所以，△ABC 的边长3222==a BC .2．如图，在矩形ABCD 中，BAD ∠的平分线交BD 于点E ，1AB =，15CAE ∠=︒，则BE =（ ）． B.22． C.12-．1．【答】D.延长AE 交BC 于点F ，过点E 作BC 的垂线，垂足为H .由已知得︒=∠=∠=∠=∠45HEF AFB FAD BAF ，1==AB BF ， ︒=∠=∠30ACB EBH .设x BE =，则2xHE HF ==，23x BH =. 因为HF BH BF +=，所以2231xx +=，解得13-=x .所以 13-=BE .3．设q p ,均为大于3的素数，则使2245q pq p ++为完全平方数的素数对),(q p 的个数为（ ） A.1． B.2． C.3． D.4．【答】B.设22245m q pq p =++（m 为自然数），则22)2(m pq q p =++，即pq q p m q p m =++--)2)(2(.由于q p ,为素数，且q q p m p q p m >++>++2,2，所以21m p q --=，2m p q pq ++=，从而0142=---q p pq ，即9)2)(4(=--q p ，所以(,)(5,11)p q =或(7,5).所以，满足条件的素数对),(q p 的个数为2.4．若实数b a ,满足2=-b a ，4)1()1(22=+--ab b a ，则=-55b a （ ）A.46．B.64．C.82．D.128． 【答】C.由条件4)1()1(22=+--ab b a 得04223322=-+----b a ab b a b a ，即 0]3))[((]4)[(2)(22=+--++---ab b a b a ab b a b a ，又2=-b a ，所以0]34[2]44[22=+++-ab ab ，解得1=ab .所以222()26a b a b ab +=-+=，332()[()3]14a b a b a b ab -=--+=，82)())((22332255=---+=-b a b a b a b a b a .5．对任意的整数y x ,，定义xy y x y x -+=@，则使得(@)@(@)@x y z y z x +(@)@z x y +0=的整数组),,(z y x 的个数为 （ ）A.1．B.2．C.3．D.4．【答】D.z xy y x z xy y x z xy y x z y x )()(@)(@)@(-+-+-+=-+=xyz zx yz xy z y x +---++=，由对称性，同样可得xyz zx yz xy z y x x z y +---++=@)@(，xyz zx yz xy z y x y x z +---++=@)@(.所以，由已知可得 0=+---++xyz zx yz xy z y x ，即1)1)(1)(1(-=---z y x . 所以，z y x ,,为整数时，只能有以下几种情况：⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=-,11,11,11z y x 或⎪⎩⎪⎨⎧=--=-=-,11,11,11z y x 或⎪⎩⎪⎨⎧=-=--=-,11,11,11z y x 或⎪⎩⎪⎨⎧-=--=--=-,11,11,11z y x 所以，)0,2,2(),,(=z y x 或)2,0,2(或)2,2,0(或)0,0,0(，故共有4个符合要求的整数组.6．设20501202012019120181++++=M ，则M1的整数部分是 （ ） A.60． B.61． C.62． D.63．【答】B.因为3320181⨯<M ，所以335613320181=>M . 又)205012032120311()203012019120181(+++++++= M83230134520205011320301=⨯+⨯>， 所以13451185611345832301=<M ，故M1的整数部分为61.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．如图，在平行四边形ABCD 中，AB BC 2=，AB CE ⊥于E ，F 为AD 的中点，若︒=∠48AEF ，则=∠B _______．【答】84︒. 设BC 的中点为G ，连结FG 交CE 于H ，由题设条件知FGCD 为菱形. 由DC FG AB ////及F 为AD 的中点，知H 为CE 的中点. 又AB CE ⊥，所以FG CE ⊥，所以FH 垂直平分CE ，故 ︒=∠=∠=∠=∠48AEF EFG GFC DFC . 所以︒=︒⨯-︒=∠=∠84482180FGC B .2．若实数y x ,满足2154133=+++)(y x y x ，则y x +的最大值为 ． 【答】3.由2154133=+++)(y x y x 可得22115()()()42x y x xy y x y +-+++=，即 22115()()42x y x xy y +-++=. ①令k y x =+，注意到2222131()04244y x xy y x y -++=-++>，故0>=+k y x .又因为22211()344x xy y x y xy -++=+-+，故由①式可得3115342k xyk k -+=，所以kk k xy 3215413-+=. 于是，y x ,可看作关于t 的一元二次方程032154132=-++-kk k kt t 的两根，所以 3211542()403k k k k+-∆=--⋅≥， 化简得 0303≤-+k k ，即0)103)(3(2≤++-k k k ，所以30≤<k . 故y x +的最大值为3.B3．没有重复数字且不为5的倍数的五位数的个数为 ． 【答】21504.显然首位数字不能为0，末位不能为0和5.当首位数字不为5时，则首位只能选0,5之外的8个数.相应地个位数只能选除0,5及万位数之外的7个数，千位上只能选万位和个位之外的8个数，百位上只能选剩下的7个数，十位上只能选剩下的6个数.所以，此时满足条件的五位数的个数为1881667878=⨯⨯⨯⨯个.当首位数字为5时，则个位有8个数可选，依次千位有8个数可选，百位有7个数可选, 十位有6个数可选.所以，此时满足条件的五位数的个数为26886788=⨯⨯⨯个.所以，满足条件的五位数的个数为21504268818816=+（个）.4．已知实数c b a ,,满足0a b c ++=，2221a b c ++=，则=++abcc b a 555 ．【答】52. 由已知条件可得21)]()[(212222-=++-++=++c b a c b a ca bc ab ，abc c b a 3333=++，所以 555c b a ++)]()()([))((332332332333222b a c c a b c b a c b a c b a +++++-++++= 2222223[()()()]abc a b a b a c a c b c b c =-+++++)(3222222a c b b c a c b a abc +++=abc abc abc ca bc ab abc abc 25213)(3=-=+++=.所以 25555=++abc c b a .第一试(B)一、选择题：（本题满分42分，每小题7分） 1．满足1)1(22=-++x x x 的整数x 的个数为 （ ）A.1．B.2．C.3．D.4． 【答】C.当02=+x 且012≠-+x x 时，2-=x . 当112=-+x x 时，2-=x 或1=x . 当112-=-+x x 且2+x 为偶数时，0=x . 所以，满足条件的整数x 有3个.2．已知123123,,()x x x x x x <<为关于x 的方程323(2)0x x a x a -++-=的三个实数根，则22211234x x x x -++= （ ）A.5．B.6．C.7．D.8．【答】A.方程即0)2)(1(2=+--a x x x ，它的一个实数根为1，另外两个实数根之和为2，其中必有一根小于1，另一根大于1，于是2,1312=+=x x x ，故2221123313113114()()412()41x x x x x x x x x x x x -++=+-++=-++312()15x x =++=.3．已知点E ，F 分别在正方形ABCD 的边CD ，AD 上，CE CD 4=，FBC EFB ∠=∠，则 =∠ABF tan （ ）A.21． B.53． C.22． D.23． 【答】B.不妨设4=CD ，则3,1==DE CE .设x DF =，则x AF -=4，92+=x EF .作EF BH ⊥于点H .因为AFB FBC EFB ∠=∠=∠，BHF BAF ∠=︒=∠90，BF 公共，所以△BAF ≌△BHF ，所以4==BA BH .由BCE DEF BEF ABF ABCD S S S S S ∆∆∆∆+++=四边形得14213219421)4(421422⋅⋅+⋅⋅++⋅⋅+-⋅⋅=x x x ， 解得58=x .所以5124=-=x AF ，53tan ==∠AB AF ABF .4．=（ ）A.0．B.1．C.2．D.3．【答】B.令y =0y ≥，且29x y =-=1y =或6y =，从而可得8x =-或27x =.检验可知：8x =-是增根，舍去；27x =是原方程的实数根. 所以，原方程只有1个实数根.5．设c b a ,,为三个实数，它们中任何一个数加上其余两数之积的2017倍都等于2018，则这样的三元数组),,(c b a 的个数为 （ ）A.4．B.5．C.6．D.7． 【答】B.由已知得， 20182017=+bc a ，20182017=+ac b ，20182017=+ab c ，两两作差，可得0)20171)((=--c b a ，0)20171)((=--a c b ，0)20171)((=--b a c .E由0)20171)((=--c b a ，可得 b a =或20171=c . （1）当c b a ==时，有020*******=-+a a ，解得1=a 或20172018-=a . （2）当c b a ≠=时，解得20171==b a ， 201712018-=c . （3）当b a ≠时，20171=c ，此时有：201712018,20171-==b a ，或20171,201712018=-=b a . 故这样的三元数组),,(c b a 共有5个.6．已知实数b a ,满足15323=+-a a a ，55323=+-b b b ，则=+b a （ ） A.2． B.3． C.4． D.5．【答】A.有已知条件可得 2)1(2)1(3-=-+-a a ，2)1(2)1(3=-+-b b ，两式相加得33(1)2(1)(1)2(1)0a a b b -+-+-+-=，因式分解得22(2)[(1)(1)(1)(1)2]0a b a a b b +-----+-+=. 因为02)1(43)]1(21)1[(2)1()1)(1()1(2222>+-+---=+-+----b b a b b a a ， 所以 02=-+b a ，因此 2=+b a .二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．已知r q p ,,为素数，且pqr 整除1-++rp qr pq ，则=++r q p _______． 【答】10. 设11111pq qr rp k pqr p q r pqr++-==++-，由题意知k 是正整数，又2,,≥r q p ，所以23<k ，从而1=k ，即有pqr rp qr pq =-++1，于是可知r q p ,,互不相等.当r q p <<≤2时， qr rp qr pq pqr 31<-++=，所以3<q ，故2=q .于是222qr qr q r =++1-，故3)2)(2(=--r q ，所以32,12=-=-r q ，即5,3==r q ，所以，)5,3,2(),,(=r q p .再由r q p ,,的对称性知，所有可能的数组(,,)p q r 共有6组，即(2,3,5)，)3,5,2(，)5,2,3(，)2,5,3(，)3,2,5(，)2,3,5(.于是10=++r q p .2．已知两个正整数的和比它们的积小1000，若其中较大的数是完全平方数，则较小的数为 ． 【答】8.设这两个数为)(,22n m n m >，则 100022-=+n m n m ，即2(1)(1)1001m n --=.又100110011143791117713=⨯=⨯=⨯=⨯，所以 2(1,1)m n --＝(1001,1)或(143,7)或(91,11)或(77,13)，验证可知只有)7,143()1,1(2=--n m 满足条件，此时8,1442==n m .3．已知D 是△ABC 内一点，E 是AC 的中点，6AB =，10BC =，BCD BAD ∠=∠，ABD EDC ∠=∠，则=DE ．【答】4.延长CD 至F ，使DC DF =，则AF DE //且AF DE 21=，所以ABD EDC AFD ∠=∠=∠，故D B F A ,,,四点共圆，于是BCD BAD BFD ∠=∠=∠，所以10==BC BF ，且FC BD ⊥，故90FAB FDB ∠=∠=︒.又6=AB ，故861022=-=AF ，所以421==AF DE .4．已知二次函数)504()12(2222++++++=n m x n m x y 的图象在x 轴的上方，则满足条件的正整数对),(n m 的个数为 ．【答】15.因为二次函数的图象在x 轴的上方，所以0)504(4)]12(2[222<++-++=∆n m n m ，整理得49424<++n m mn ，即251)12)(1(<++n m .因为n m ,为正整数，所以25)12)(1(≤++n m . 又21≥+m ，所以22512<+n ，故5≤n . 当1=n 时，3251≤+m ，故322≤m ，符合条件的正整数对),(n m 有7个；当2=n 时，51≤+m ，故4≤m ，符合条件的正整数对),(n m 有4个；当3=n 时，7251≤+m ，故718≤m ，符合条件的正整数对),(n m 有2个； 当4=n 时，9251≤+m ，故917≤m ，符合条件的正整数对),(n m 有1个；当5=n 时，11251≤+m ，故1114≤m ，符合条件的正整数对),(n m 有1个.综合可知：符合条件的正整数对),(n m 有7＋4＋2＋1＋1＝15个.第二试 （A ）一、（本题满分20分）设d c b a ,,,为四个不同的实数，若b a ,为方程011102=--d cx x 的根，d c ,为方程011102=--b ax x 的根，求d c b a +++的值.解 由韦达定理得10a b c +=，10c d a +=，两式相加得)(10c a d c b a +=+++.……………………5分因为a 是方程011102=--d cx x 的根，所以011102=--d ac a ，又c a d -=10，所以010111102=-+-ac c a a . ① ……………………10分类似可得 010111102=-+-ac a c c . ② ……………………15分 ①－②得 0)121)((=-+-c a c a .因为c a ≠，所以121=+c a ，所以1210)(10=+=+++c a d c b a . ……………………20分二、（本题满分25分）如图，在扇形OAB 中，︒=∠90AOB ，12=OA ，点C 在OA 上，4=AC ，点D 为OB 的中点，点E 为弧AB 上的动点，OE 与CD 的交点为F .（1）当四边形ODEC 的面积S 最大时，求EF ；（2）求DE CE 2+的最小值.解 (1)分别过E O ,作CD 的垂线，垂足为N M ,. 由8,6==OC OD ，得10=CD .所以)(21EN OM CD S S S ECD OCD +⋅=+=∆∆ 6012102121=⨯⨯=⋅≤OE CD ， ……………………5分 当DC OE ⊥时，S 取得最大值60.此时，536108612=⨯-=-=OF OE EF . ……………………10分 （2）延长OB 至点G ，使12==OB BG ，连结GE GC ,. 因为21==OG OE OE OD ，EOG DOE ∠=∠，所以△ODE ∽△OEG ，所以21=EG DE ，故DE EG 2=.……………………20分所以108824222=+=≥+=+CG EG CE DE CE ，当G E C ,,三点共线时等号成立.故DE CE 2+的最小值为108. ……………………25分C三、（本题满分25分）求所有的正整数n m ,，使得22233)(n m n m n m +-+是非负整数.解 记22233)(n m n m n m S +-+=，则22222)(3)()(]3))[((nm mn n m mn n m n m n m mn n m n m S +-+-+=+--++=. 因为n m ,为正整数，故可令pqn m mn =+，q p ,为正整数，且1),(=q p . 于是 22223)(3)(pq pq n m p q p q n m S +-+=--+=.因为S 为非负整数，所以2|q p ，又1),(=q p ，故1=p ，即mn n m |)(+. ①……………………10分所以nm mn n n m n +-=+2是整数，所以2|)(n n m +，故n m n +≥2，即n m n ≥-2. 又由0≥S ，知02233≥-+n m n m . ② 所以n m m n m m n m n 2223223)(≥-=-≥，所以m n ≥.由对称性，同理可得n m ≥，故n m =. ……………………20分 把n m =代入①，得m |2，则2≥m .把n m =代入②，得0243≥-m m ，即2≤m . 故2=m .所以，满足条件的正整数n m ,为2=m ，2=n . ……………………25分第二试 （B ）一、（本题满分20分）若实数c b a ,,满足59)515151)((=-++-++-+++b a c a c b c b a c b a ，求)111)((cb ac b a ++++的值.解 记x c b a =++，y ca bc ab =++，z abc =，则)616161()515151)((cx b x a x x b a c a c b c b a c b a -+-+-=-++-++-+++abc x ca bc ab x c b a x ca bc ab x c b a x x 216)(36)(6)](36)(123[232-+++++-+++++-=23(936)536216x x y x xy z-+=-+-， ……………………10分结合已知条件可得23(936)95362165x x y x xy z -+=-+-，整理得z xy 227=.所以 227)111)((==++++z xy c b a c b a . ……………………20分二、（本题满分25分）如图，点E 在四边形ABCD 的边AB 上，△ABC 和△CDE 都是等腰直角三角形，AC AB =，DC DE =.（1）证明：BC AD //；（2）设AC 与DE 交于点P ，如果︒=∠30ACE ，求PEDP. 解 （1）由题意知45ACB DCE ∠=∠=︒，BC =，EC =，所以DCA ECB ∠=∠，AC DCBC EC=，所以△ADC ∽△BEC ，故DAC ∠= 45EBC ∠=︒，所以ACB DAC ∠=∠，所以BC AD //.……………………10分（2）设x AE =，因为︒=∠30ACE ，可得x AC 3=，2CE x =，DE DC ==.因为90EAP CDP ∠=∠=︒，EPA CPD ∠=∠，所以△APE ∽△DPC ，故可得DPC APE S S ∆∆=21. ……………………15分 又223x S S S ACE APE EPC ==+∆∆∆，2x S S S CDE DPC EPC ==+∆∆∆，于是可得 2)32(x S DPC -=∆，2)13(x S EPC -=∆. ……………………20分所以2131332-=--==∆∆EPC DPC S S PE DP . ……………………25分 三、（本题满分25分）设x 是一个四位数，x 的各位数字之和为m ，1+x 的各位数字之和为n ，并且m 与n 的最大公约数是一个大于2的素数.求x .解 设abcd x =，由题设知m 与n 的最大公约数),(n m 为大于2的素数.若9≠d ，则1+=m n ，所以(,)1m n =，矛盾，故9=d . ……………………5分 若9≠c ，则891-=-+=m m n ，故(,)(,8)m n m =，它不可能是大于2的素数，矛盾，故9=c .……………………10分若9=b ，显然9≠a ，所以269991-=---+=m m n ，故(,)(,26)13m n m ==，但此时可得13≥n ，363926>≥+=n m ，矛盾. ……………………15分若9≠b ，则17991-=--+=m m n ，故(,)m n (,17)17m ==，只可能34,17==m n . ……………………20分 于是可得8899=x 或9799. ……………………25分。
“迎春杯”六年级数学花园探秘科普活动总决赛试卷
第 1 页 共 3 页
2018年“迎春杯”六年级数学花园探秘科普活动总决赛试卷解
析版
一、填空题。
（每小题10分，共30分）
1．（10分）如图，在每个空格内填入1～4中的一个，使每行、每列以及每个由粗线所围成
的区域中的四个数都不重复，且任意相邻两个空格所填数的和都是质数．那么四位数ABCD = 2143 ．
【解答】解：由题意，C 在1的上方，只能填偶数，但是同一列已经有2，所以C ＝4， 则B 和D 只能是奇数，在同一区域中已经有1，所以D ＝3，则B ＝1，
剩下A ＝2，四位数ABCD =2143．
故答案为：2143．
2．（10分）一个半径为5厘米的轮子放置在如图的阴影弓形中，它能沿着弓形的弦AB 滚动，
如果弓形的半径OA 、OB 为25厘米，AB 长为48厘米．那么轮子在AB 上滚动时能扫过区域的面积为 395 平方厘米．（π取3）
【解答】解：
先作OC ⊥AB ，过E 点作EF ∥AB ，并与OC 的延长线相交于F 点．
在直角三角形OCB 中，OB ＝25（厘米），BC ＝48÷2＝24（厘米）
，根据勾股定理求出。
2018年全国初中数学联合竞赛初二组试题第二试(A)(解析版)
1 EX ，且 M 1M 1 ' // EX 2
再连接 FM 1 ' , AM 1 ，设其交于 G . 则
AG FG AF 2 ，即 G 为公共重心.（引理证毕） GM 1 GM 1 ' M 1 ' M 1
………………………………………………………………………………………………（20 分） 回到原题：
2018 年全国初中数学联合竞赛初二组试题
第二试（A）
第 4页（共 4页）
2018 年全国初中数学联合竞赛初二组试题 第二试（A） 第 1页（共 4页）
（1）
d 2a 1 1 , 解得 a 504, 所以 n 2 504 2 2 504 1 509041. d 2 a 1 2019 d 2a 1 3 , 解得 a 167, 所以 n 2 167 2 2 167 1 56113. d 2a 1 673
2 2 2 2 2 2 2 2 2
故而可知 4n 2 2a 1 2 8a 8a 4, 化简得 n 2a 2a 1.
2 2 2
………………………………………………………………………………………………（10 分） 因为 d 2n 2018 为完全平方数，所以
2
d 2 2n 2018
2
2 2a 2 2a 1 2018 2a 1 2019.
即 2019 d 2 a 1 d 2 a 1 d 2 a 1 ，
2 2
………………………………………………………………………………………………（15 分） 由于 d 2a 1 d 2a 1, 且二者均为正整数，所以分类讨论得：
2018年“迎春杯”六年级数学花园探秘科普活动总决赛试卷及答案解析
2018年“迎春杯”六年级数学花园探秘科普活动总决赛试卷一、填空题。
（每小题10分，共30分）
1．（10分）如图，在每个空格内填入1～4中的一个，使每行、每列以及每个由粗线所围成的区域中的四个数都不重复，且任意相邻两个空格所填数的和都是质数．那么四位数ABCD=．
2．（10分）一个半径为5厘米的轮子放置在如图的阴影弓形中，它能沿着弓形的弦AB滚动，如果弓形的半径OA、OB为25厘米，AB长为48厘米．那么轮子在AB上滚动时能扫过区域的面积为平方厘米．（π取3）
3．（10分）下式中相同字母代表相同数字，不同的字母代表不同的数字，那么四位数abcd 是．
(ab)c×acd=abcacd
二、解答题（每题15分，共30分）
4．（15分）老国王要把100座城池划分给自己的7个王子，7个王子按照年龄从大到小分到的城池数量是递减的．
大王子：“虽然我分到的城池最多，但还是要比五弟、六弟、七弟的总和少．”
二王子：“还好我分到的城池数量比六弟、七弟的总和多．”
三王子：“真可惜，我分到的城池数量就比六弟、七弟的总和少．”
四王子：“我分到的城池数量是5的倍数．”
如果王子们都没有说谎，并且大王子分到的城池数量是个质数，请问：三王子分到了多少个城池？
第 1 页共5 页。
2018年“迎春杯”五年级数学花园探秘科普活动初赛试卷及答案解析
2018年“迎春杯”五年级数学花园探秘科普活动初赛试卷
一、填空题Ⅰ（每小题8分，满分32分）
1．算式（20.17﹣12.02÷6）×6的计算结果是．
2．某运动代表队中，原有预备队员80人，正式队员20人，一部分预备队员转为正式队员后，正式队员比预备队员多2倍，那么转为正式队员的预备队员共名．
3．三角形ABC是直角边长为4厘米的等腰直角三角形，将三角形ABC向左平移1厘米得到三角形DEF，那么，图中两块阴影部分的面积差平方厘米．
4．海贼王带领6名海盗在神奇大陆挖到一批黑石，恰好7人分到的黑石颗数相同，这时又来了1名海盗加入，海贼王决定让其他6名海盗每人拿出3颗黑石给新伙伴，这时7名海盗的黑石颗数恰好相同，那么共挖出黑石颗．
二、填空题Ⅱ（每小题10分，满分40分）
5．（10分）已知六位数11A00B是2018的倍数，则两位数AB的值是．
6．（10分）在如图除法竖式中的方格内填入恰当的数字，使竖式成立，那么被除数是．
7．（10分）2018除以一个自然数n，所得到的商是余数的整数倍，满足条件的n有种．8．（10分）如图的6×6方格被粗线分成了六个部分（称为六个“宫”），请在每个小格内填入2，0，1，8中的一个数字，使得：
（1）每行、每列、每个宫都有1个0、1个1、2个2、2个8；
（2）相邻格（有公共边的格子）中的数字不同．
第 1 页共7 页。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2018年“数学花园探秘”科普活动
初中年级组决赛试卷A
（测评时间：2018年1月6日10:30—12:00）
一． 填空题Ⅰ（每小题8分，共32分）
1.
__________．
〖答案〗2 〖作者〗北京 朱雍容
2. 已知非零整数,,a b c 满足222
1a b c a b c +-=+-=-，则333a b c +-的值为__________．
〖答案〗11 〖作者〗郑州 程国根
3. 若关于,x y 的方程组26534
y x x k
y x ⎧=-+-⎪
⎨=⎪⎩恰有四组解，则所有不同整数k 的平方和是__________．
〖答案〗6
〖作者〗武汉 卢韵秋
4. 若关于x
的方程
112x x +=- 则满足条件的a 的所有正整数值之和为__________．
〖答案〗21 〖作者〗上海 方非
二． 填空题Ⅱ（每小题10分，共40分）
5.
(20218x x -+-的最小值为M ,那么不小于M 的最小整数为__________．
〖答案〗22
〖作者〗北京 班昌
6. 如图，ABCD 是圆内接四边形，
E 是直线AC 上一点，满足：
直线BE 与直线BD 关于AB 对称， 且直线DE 与直线BD 关于AD 对称． 若15,20,24AB BC CD ===， 则AD ＝__________． 〖答案〗7
〖作者〗北京 申井然
C
7. 一个数字不含0的两位数，恰等于它的数字和与其所有不同质因数和的乘积，
那么这个两位数是__________． 〖答案〗27 〖作者〗北京 陈景发
8. 普通骰子六个面上分别为1~6，同时投掷红、蓝两枚骰子时，会出现36种不同的投掷结果，两
枚骰子的点数之和及其对应的结果种数如下： 现在有黑、白两个特制的六面骰子，黑骰
子上六个正整数中至少存在某两个相同，
白色骰子上六个正整数各不相同，并且同时投掷黑白这两枚骰子时，得到的点数之
和及对应的结果种数与上表相同，那么白色骰子上六个正整数之和是__________． 〖答案〗27 〖作者〗北京 石文博
三． 填空题Ⅲ（每小题12分，共48分）
9. 已知[]x 表示不超过x 的最大整数．
那么算式2!3!4!99!100!1!1!2!1!2!3!1!2!98!1!2!99!⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++++++++⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
的计算结果是__________． 〖答案〗4854 〖作者〗广州 黄达鹏
10. 如图，P 为正方形ABCD 内的一点，2220,18PA PC ==，当PB 以及
正方形的面积均为整数时，这个正方形面积的最大值为__________． 〖答案〗37 〖作者〗北京 付宇
11. 四位数1234具有如下性质：把它的相邻数位依次写成三个两位数12,23,34，它们恰好构成一个
等差数列．那么，具有这种性质的四位数abcd 共有__________个． 〖答案〗43
〖作者〗北京 叶培臣
12. （评选题）
四． 解答题（每小题15分，共30分）
13. 如图，△ABC
中，AB =
，AH 是BC 上
的高，M 是AC 的中点，,HM BA 的延长线交于点D ，连结CD ．求证：BC CD =．
〖答案〗 〖作者〗上海 叶中豪
〖解析〗（证法不唯一）
作AB 边的中点N ，连结CN ， ∴221
2
AB AN AB AC ⋅=
=， 又∵BAC CAN ∠=∠， ∴△ABC ∽△ACN ， ∴ACB ANC ∠=∠，
又∵直角△AHC 中，斜边中线MH MC =， ∴MCH MHC ∠=∠，即得DHC DNC ∠=∠， ∴,,,C D N H 四点共圆，
∴CDN BHN ∠=∠，
再连结HN ，直角△ABH 中，斜边中线NH NB =， ∴B BHN ∠=∠，即得B CDB ∠=∠， ∴BC CD =，证毕．
〖评分建议〗
由各地管委会自行酌情确定．
B
B
14. 已知直线m 交抛物线2y ax =于A 、B 两点，交x 轴于C 点，直线n 交抛物线2y ax =于D 、E
两点，交x 轴于F 点,过C 、F 两点作x 轴的垂线分别交抛物线于G 、H ，已知AD //x 轴，直线AD 与BE 相交．求证：直线,BE GH 与x 轴三线共点． 〖答案〗
〖作者〗北京 付宇
〖解析〗不妨设点A 、B 、C 、D 、E 、F 的横坐标分别为1x 、2x 、3x 、4x 、5x 、6x ，则
()()()()()()()()22
222211223445563366,,,,,0,,,,,,0,,,,A x ax B x ax C x D x ax E x ax F x G x ax H x ax ，
由直线m 过A 、B 两点，可得其斜率为()12a x x +，代入C 点坐标得()()2
12131a x x x x ax +-=，
∴2112311212
x x x x x x x x x =-=++，同理可得45645x x x x x =+；
由题意，直线BE 不与x 轴平行，其在x 轴的截距为
2525x x x x +，直线GH 在x 轴的截距为3636
x x
x x +；
只需证
36253625x x x x x x x x =++即3625
1111
x x x x +=+，
∵AD //x 轴，∴140x x +=，代入312645
111111
,x x x x x x =+=+立得结论，证毕． 〖评分建议〗
由各地管委会自行酌情确定．。