(完整版)2018数学花园探秘决赛_初中A卷(答案作者版)

2018年“数学花园探秘”科普活动

初中年级组决赛试卷A

（测评时间：2018年1月6日10:30—12:00）

一． 填空题Ⅰ（每小题8分，共32分）

1.

__________．

〖答案〗2

〖作者〗北京 朱雍容

2. 已知非零整数,,a b c 满足2

2

2

1a b c a b c +-=+-=-，则333a b c +-的值为__________．

〖答案〗11

〖作者〗郑州 程国根

3. 若关于,x y 的方程组26534

y x x k

y x ⎧=-+-⎪

⎨=⎪⎩恰有四组解，则所有不同整数k 的平方和是__________．

〖答案〗6

〖作者〗武汉 卢韵秋

4. 若关于x

的方程

21122x x x x

+=-- 则满足条件的a 的所有正整数值之和为__________．

〖答案〗21 〖作者〗上海 方非

二． 填空题Ⅱ（每小题10分，共40分）

5.

(20218x x -+-的最小值为M ,那么不小于M 的最小整数为__________．

〖答案〗22

〖作者〗北京 班昌

6. 如图，ABCD 是圆内接四边形，

E 是直线AC 上一点，满足：

直线BE 与直线BD 关于AB 对称， 且直线DE 与直线BD 关于AD 对称． 若15,20,24AB BC CD ===， 则AD ＝__________．

〖答案〗7

〖作者〗北京 申井然

C

7. 一个数字不含0的两位数，恰等于它的数字和与其所有不同质因数和的乘积，

那么这个两位数是__________． 〖答案〗27 〖作者〗北京 陈景发

8. 普通骰子六个面上分别为1~6，同时投掷红、蓝两枚骰子时，会出现36种不同的投掷结果，两

枚骰子的点数之和及其对应的结果种数如下： 现在有黑、白两个特制的六面骰子，黑骰

子上六个正整数中至少存在某两个相同，

白色骰子上六个正整数各不相同，并且同时投掷黑白这两枚骰子时，得到的点数之

和及对应的结果种数与上表相同，那么白色骰子上六个正整数之和是__________． 〖答案〗27 〖作者〗北京 石文博

三． 填空题Ⅲ（每小题12分，共48分）

9. 已知[]x 表示不超过x 的最大整数．

那么算式2!3!4!99!100!1!1!2!1!2!3!1!2!98!1!2!99!⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++++++++⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦

的计算结果是__________． 〖答案〗4854 〖作者〗广州 黄达鹏

10. 如图，P 为正方形ABCD 内的一点，2

2

20,18PA PC ==，当PB 以及

正方形的面积均为整数时，这个正方形面积的最大值为__________． 〖答案〗37 〖作者〗北京 付宇

11. 四位数1234具有如下性质：把它的相邻数位依次写成三个两位数12,23,34，它们恰好构成一个

等差数列．那么，具有这种性质的四位数abcd 共有__________个． 〖答案〗43

〖作者〗北京 叶培臣

12. （评选题）

四． 解答题（每小题15分，共30分）

13. 如图，△ABC

中，AB =

，AH 是BC 上

的高，M 是AC 的中点，,HM BA 的延长线交于点D ，连结CD ．求证：BC CD =．

〖答案〗 〖作者〗上海 叶中豪

〖解析〗（证法不唯一）

作AB 边的中点N ，连结CN ， ∴221

2

AB AN AB AC ⋅=

=， 又∵BAC CAN ∠=∠， ∴△ABC ∽△ACN ， ∴ACB ANC ∠=∠，

又∵直角△AHC 中，斜边中线MH MC =， ∴MCH MHC ∠=∠，即得DHC DNC ∠=∠，

∴,,,C D N H 四点共圆，

∴CDN BHN ∠=∠，

再连结HN ，直角△ABH 中，斜边中线NH NB =， ∴B BHN ∠=∠，即得B CDB ∠=∠， ∴BC CD =，证毕．

〖评分建议〗

由各地管委会自行酌情确定．

B

B

14. 已知直线m 交抛物线2

y ax =于A 、B 两点，交x 轴于C 点，直线n 交抛物线2

y ax =于D 、E

两点，交x 轴于F 点,过C 、F 两点作x 轴的垂线分别交抛物线于G 、H ，已知AD //x 轴，直线AD 与BE 相交．求证：直线,BE GH 与x 轴三线共点． 〖答案〗

〖作者〗北京 付宇

〖解析〗不妨设点A 、B 、C 、D 、E 、F 的横坐标分别为1x 、2x 、3x 、4x 、5x 、6x ，则

()()()()()()()()22

222211223445563366,,,,,0,,,,,,0,,,,A x ax B x ax C x D x ax E x ax F x G x ax H x ax ，

由直线m 过A 、B 两点，可得其斜率为()12a x x +，代入C 点坐标得()()2

12131a x x x x ax +-=，

∴2112311212

x x x x x x x x x =-=++，同理可得45645x x x x x =+；

由题意，直线BE 不与x 轴平行，其在x 轴的截距为

2525x x x x +，直线GH 在x 轴的截距为3636

x x

x x +；

只需证

36253625x x x x x x x x =++即3625

1111

x x x x +=+，

∵AD //x 轴，∴140x x +=，代入312645

111111

,x x x x x x =+=+立得结论，证毕． 〖评分建议〗

由各地管委会自行酌情确定．