概率统计第七章
习题七解答1. 设的分布律为，求（1）EX ，（2）)1(+-X E ，（3）)(2X E ，（4）DX 。
解 由随机变量X所以()1111111(1)01236261243E X =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ()11111121210(1)36261243E X -+=⨯+⨯+⨯+⨯+-⨯= ()2111111351014364612424E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=22235197()()(())()24372D XE XE X =-=-=另外，也可根据数学期望的性质可得：()()1211133E X E X -+=-+=-+=2.设随机变量X 服从参数为()0>λλ的泊松分布，且已知()()[]232=--X X E ，求λ的值。
解()()[]()()()()()()()()204526526565322222==+-+=+-+=+-=+-=--λλλλX E X E X D X E X E X X E X X EX3. 设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次命中目标的概率为0.4，试求2X 的数学期望()2X E 。
解 ()4.0,10~B X所以 ()()4.26.04.010,44.010=⨯⨯==⨯=X D X E 故 ()()()()4.1844.2222=+=+=X E X D X E4. 国际市场每年对我国某种出口商品的需求量X 是一个随机变量，它在[2000，4000]（单位：吨）上服从均匀分布。
若每售出一吨，可得外汇3万美元，若销售不出而积压，则每吨需保养费1万美元。
问应组织多少货源，才能使平均收益最大？解 设随机变量Y 表示平均收益（单位：万元），进货量为a 吨Y=()aX a X 33-- a x a x ≥< 则()()()800000014000220001200013200014220004000-+-=+-=⎰⎰a a dxa dx a x Y E aa要使得平均收益()Y E 最大，所以()080000001400022='-+-a a得 3500=a （吨）5. 一台设备由三大部件构成，在设备运转过程中各部件需要调整的概率相应为0.1，0.2，0.3，假设各部件的状态相互独立，以X 表示同时需要调整的部件数，试求X 的数学期望()X E 和方差()X D 。
解 X 的可能取值为0，1，2，3，有()()()()006.03.02.01.03092.03.08.01.03.02.09.07.02.01.02398.03.08.09.07.02.09.07.08.01.01504.07.08.09.00=⨯⨯===⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯===⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯===⨯⨯==X P X P X P X P所以X 的分布律为()()()()46.06.082.082.0006.03092.02398.01504.006.0006.03092.02398.01504.00222222=-==⨯+⨯+⨯+⨯==⨯+⨯+⨯+⨯=X D X E X E 6. 设X 的密度函数为()xe xf -=21，求（1）()X E ；（2）()2X E 。
解 （1）()⎰∞+∞--=⋅=021dx e x X E x（2）()⎰⎰∞+--∞+∞-==⋅=0222221221dx e x dx e x X E x x注：求解（1）时利用被积函数是奇函数的性质，求解（2）时化简为⎰+∞-02dxe x x 可以看成为是服从参数为1的指数分布随机变量的二阶原点矩。
7. 某商店经销商品的利润率的密度函数为⎩⎨⎧-=0)1(2x 其他10,<<x ，求,DX 。
解 （1）()1012(1)3E X x x dx =⋅-=⎰（2）()122012(1)6E X x x dx =⋅-=⎰故222111()()(())()6318D XE X E X =-=-=8.设随机变量X 的密度函数为()=x f x e - 0>x0 0≤x求()X E 、()X E 2、()X e X E 2-+、()X D 。
解()()()01222x E X xe dx E X E X +∞-====⎰()()()()()()()()22230022022141113321XXx xx x E X e E X E e ee dx e dx E Xx e dx D X E X E X +∞+∞-----+∞-+=+=+=+=+====-=⎰⎰⎰9. 设随机变量()Y X ,的联合分布律为X )(x f EX求()X E 、()Y E 、()Y X E 2-、()XY E 3、()X D 、()Y D 、()Y X ,cov 、Y X ,ρ。
解 关于()5.05.015.00=⨯+⨯=X E()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()212121.025.005.0,cov 05.03.05.01.0,cov 3.01.031.0114.0012.0103.0003331.03.025.02221.03.03.03.03.017.003.03.017.0025.05.05.05.05.015.00,22222222-=-==-=⨯-=⋅-==⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==-=⨯-=-=-=-==⨯+⨯==⨯+⨯==-==⨯+⨯=Y D X D Y X Y E X E XY E Y X XY E XY E Y E X E Y X E Y D Y E Y E X D X E Y X ρ10. 设随机变量X,Y 相互独立，它们的密度函数分别为()=x f X 022x e -0≤>x x()=y f Y44y e -≤>y y 求()Y X D +。
解 ()2~E X ，所以()41212==X D ， ()4~E Y ，所以()161412==Y D ，X,Y 相互独立，所以()()()165=+=+Y D X D Y X D 。
11. 设()Y X ,服从在A 上的均匀分布，其中A 为x 轴、y 轴及直线01=++y x 所围成的区域，求（1）()X E ；（2）()Y X E 23+-；（3）()XY E 的值。
解 先画出A()=y x f , ()A y x ∈,0 其他()()⎰+∞∞-==dy y x f x f X ,()x dy x +=⎰--1220101≤≤-x0 其他()()⎰+∞∞-==dx y x f y f Y ,()y dx y+=⎰--12201 01≤≤-y0 其他()()()()()()()()()121123131231323233112311201010120101=+-===⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-=+-=+--=+⋅=-=+⋅=⎰⎰⎰⎰⎰------dx x x dydx xy XY E Y E X E Y X E dy y y Y E dx x x X E x12. 设随机变量()Y X ,的联合密度函数为()=y x f , 212y 10≤≤≤x y 0 其他 求()()()()()()Y D X D Y X E XY E Y E X E ,,,,,22+。
解 先画出区域10≤≤≤x y 的图()()==⎰+∞∞-dy y x f x f X ,⎰=xx dy y 032412 10≤≤x0 其他()()==⎰+∞∞-dx y x f y f Y ,()⎰-=12211212yy y dy y 10≤≤y y 10 1 x其他()()()()1301201200445312151122X E X x x dx E Y y y y dy E XY xy y dydx =⋅==⋅-==⋅=⎰⎰⎰⎰()()()()()()()()()()()()1122222322022222216412115442657563115575E X Y E X E Y x x dx y y y dy D X E X E X D Y E YE Y +=+=⋅+⋅-=⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎰⎰13. 设随机变量X,Y 相互独立，且()()()()3,2,1====Y D X D Y E X E ，求()XY D 。
解()()()()()()()()()()()()[]()()()[]()[]()[]()()111113122222222222=⋅-++=-++=⋅-=-=Y E X E Y E Y D X E X D Y E X E Y E X E XY E Y X E XY D14. 设()()4.0,36,25,===Y X Y D X D ρ，求（1）()Y X D +；（2）()Y X D -。
解：（1）()()()()()Y D X D Y D X D Y X D Y X ,2ρ++=+8536254.023625=⋅⨯⨯++=（2）()()()()()Y D X D Y D X D Y X D Y X ,2ρ-+=-3736254.023625=⋅⨯⨯-+=15. 设随机变量相互独立，，，求。
解 ()1,()1;()2,(E X D X E Y D Y ===-= 2(2)2()()21(2)0(2)2()()4115E X Y E X E Y D X Y D X D Y +=+=⨯+-=+=+=⨯+= 16. 验证：当),(Y X 为二维连续型随机变量时，按公式Y X ,)1,1(~N X )1,2(~-N Y )2(),2(Y X D Y X E ++⎰⎰+∞∞-+∞∞-=dydx y x xf EX ),(及按公式⎰+∞∞-=dx x xf EX )(算得的EX 值相等。
这里，),(y x f 、)(x f 依次表示X Y X ),,(的分布密度。
证明 (,)(,)E X x f x y d y d xx f x y d y d x +∞+∞+∞+∞-∞-∞-∞-∞==⎰⎰⎰⎰()xf x dx +∞-∞=⎰17. 设的方差为2.5，利用契比晓夫不等式估计}5.7{≥-EX X P 的值。
解 2(){7.5}7.5D X P X EX -≥≤22.517.522.5== 18. 设随机变量X 和Y 的数学期望分别为-2和2，方差分别为1和4，而相关系数为-0.5，根据切比雪夫不等式估计()6≥+Y X P 的值。
解 ()()()022=+-=+=+Y E X E Y X E()()()()()()3415.02412,=⋅-⨯++=++=+Y D X D Y D X D Y X D Y X ρ所以()()()()()121666062=+≤≥+-+=≥-+=≥+Y X D Y X E Y X P Y X P Y X P 21. 在人寿保险公司里有3000个同龄的人参加人寿保险。
概率统计第七章1-2
P(|U|>u1-α/2)=α
φ(x)
U检验
α/2
- u1-αΒιβλιοθήκη 2 u1-α/2接受域α/2
X
否定域
否定域
双侧统计检验
该检验用 u 检验统计量，故称为u 检验。
② H0:μ≤μ0(已知); H1:μ>μ0 （右侧检验） 1) 提出原假设和备择假设: H0:μ≤μ0; H1:μ>μ0, X 0 在H0下有 2) 对统计量: U / n X 0 X , / n / n X 0 X 对给定的α有 { u1 } { u1 } / n / n X 0 X 所以 P( u1 ) P( u1 ) / n / n 3) 故 拒绝条件为U> u1-α
c u u0.05 1.645
由
X 110 4/5
1.645
X 108.648
即区间( ,108.648 ) 为检验的拒绝域 称 X 的取值区间 (108.648,+) 为检验的接受域
四、作出判断
在有了明确的拒绝域后，根据样本观测值 我们可以做出判断： 当 x 108.684 或 u 1.645 时，则拒绝H 0 即接收 H1 ；
H 0 : p 4%
vs
H1 : p 4%
二、选择检验统计量 由样本对原假设进行判断总是通过一 个统计量完成的，该统计量称为检验统计 量。 找出在原假设 H 0 成立条件下,该统计量 所服从的分布。
三、选择显著性水平，给出拒绝域形式 小概率原理中,关于“小概率”的值通常根据实 际问题的要求而定,如取α =0.1,0.05,0.01等, α 为检验的显著性水平(检验水平). 根据所要求的显著性水平α ,描写小概率事件的 统计量的取值范围称为该原假设的拒绝域(否定 域),一般用W表示；一般将 W 称为接受域。 拒绝域的边界称为该假设检验的临界值.
概率论与数理统计第七章-1矩估计法和极大似然估计法
μ1 h1 (θ1 , θ2 , μ j h j (θ1 , θ2 , μk hk (θ1 , θ2 ,
, θk ) , θk ) , θk )
, μk ) , μk ) , μk )
数理统计
从这 k 个方程中解出
θ1 g1 ( μ1 , μ2 , θ j g j ( μ1 , μ2 , θk gk ( μ1 , μ2 ,
数理统计
定义 用样本原点矩估计相应的总体原点矩 ,
用样本原点矩的连续函数估计相应的总体原点矩的 连续函数, 这种参数点估计法称为矩估计法 . 矩估计法的具体做法如下 设总体的分布函数中含有k个未知参数 θ1 , θ2 , 那么它的前k阶矩 μ1 , μ2 ,
, θk ,
, μk , 一般
l xi P{ X xi ;1 , 2 , , k } l E ( X l ) l 1 hl (1 , 2 , , k ) x l p ( x; , , , )dx 1 2 k
2 1
b μ1 3( μ2 μ12 )
于是 a , b 的矩估计量为
总体矩
a A1 3( A2 A12 ) 3 n 2 X ( X X ) , i n i 1
3 n 2 b X ( X X ) n i 1 i
样本矩
数理统计
例2 设总体 X 的均值 μ和方差 σ 2 ( 0) 都存
数理统计
点估计问题的一般提法 设总体 X 的分布函数 F ( x; )的形式为已
知, 是待估参数 . X 1 , X 2 ,, X n 是 X 的一个样 本, x1 , x2 ,, xn 为相应的一个样本值 .
概率论与数理统计第7章
x 0 , x 0 ,x 1 ,x 2 ,
,x n 为 总 体 X
的 一 个 样 本 ,则 未 知 参 数 的 矩 估 计 ˆ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
这个例子所作的推断已经体现了极大似然法 的基本思想 .
最大似然估计原理：
设X1,X2,…Xn是取自总体X的一个样本，样 本的联合密度(连续型）或联合分布律 (离散型)为
f (x1,x2,… ,xn ; ) .
当给定样本X1,X2,…Xn时，定义似然函数为：
L() f (x1, x2 ,…, xn; )
得
pˆ1Βιβλιοθήκη nn i 1xix
即为 p 的最大似然估计值 .
从而 p 的最大似然估计量为
p ˆ(X1,
1n ,Xn)ni1Xi X
求最大似然估计(MLE)的一般步骤是：
(1) 由总体分布导出样本的联合分布率(或联 合密度);
(2) 把样本联合分布率 ( 或联合密度 ) 中自变
量看成已知常数,而把参数 看作自变量,得到似然 函数L();
要求：领会
2.2 估计量的有效性、相合性， 要求：领会
3.区间估计
3.1 置信区间的概念，
要求：领会
3.2 求单个正态总体均值和方差的置信区间，要求：简单应用
参数估计
现在我们来介绍一类重要的统计推断问题
参数估计问题是利用从总体抽样得到的信息来估计总体 的某些参数或者参数的某些函数.
估计新生儿的体重
1 p
n
pxi (1p)1xi
i1
n
n
xi
n xi
pi1 (1p) i1
n
n
xi
n xi
L(p)pi1 (1p) i1
概率论与数理统计复习7章
( n − 1) S 2 ( n − 1) S 2 = 1 − α 即P 2 <σ2 < 2 χα 2 ( n − 1) χ1−α 2 ( n − 1) ( n − 1) S 2 ( n − 1) S 2 置信区间为： 2 , χα 2 ( n − 1) χ12−α 2 ( n − 1)
则有：E ( X v ) = µv (θ1 , θ 2 ,⋯ , θ k ) 其v阶样本矩是：Av = 1 ∑ X iv n i =1
n
估计的未知参数，假定总体X 的k阶原点矩E ( X k ) 存在，
µ θ , θ ,⋯ , θ = A k 1 1 1 2 µ2 θ1, θ 2 ,⋯ , θ k = A2 用样本矩作为总体矩的估计，即令： ⋮ µ θ , θ ,⋯ , θ = A k k k 1 2 ɵ ɵ ˆ 解此方程即得 (θ1 , θ 2 ,⋯ , θ k )的一个矩估计量 θ 1 , θ 2 ,⋯ , θ k
+∞
−∞
xf ( x ) dx = ∫ θ x θ dx =
1 0
令E ( X ) = X ⇒
θ +1
θ
ˆ = X ⇒θ =
( )
X 1− X
θ +1
2
θ
7.2极大似然估计法
极大似然估计法： 设总体X 的概率密度为f ( x,θ ) (或分布率p( x,θ )),θ = (θ1 ,θ 2 ,⋯ ,θ k ) 为 未知参数，θ ∈ Θ, Θ为参数空间，即θ的取值范围。设 ( x1 , x2 ,⋯ , xn ) 是 样本 ( X 1 , X 2 ,⋯ , X n )的一个观察值：
i =1 n
概率论与数理统计第7章参数估计PPT课件
a1(1, ,k )=v1
1 f1(v1, ,vk )
假定方程组a2(1, ,k ) v2 ,则可求出2 f2(v1, ,vk )
ak (1, ,k ) vk
k fk (v1, ,vk )
则x1 xn为X的样本值时，可用样本值的j阶原点矩Aj估计vj，其中
Aj
1 n
n i1
xij ( j
L(x1, ,xn;ˆ)maxL(x1, ,xn;)，则称ˆ(x1, ,xn)为
的一种参数估计方法 .
它首先是由德国数学家
高斯在1821年提出的 ,然而， 这个方法常归功于英国统
Gauss
计学家费歇（Fisher） . 费歇在1922年重新发现了
这一方法，并首先研究了这
种方法的一些性质 .
Fisher
10
极大似然估计是在已知总体分布形式的情形下的 点估计。
极大似然估计的基本思路：根据样本的具体情况
注：估计量为样本的函数，样本不同，估计量不 同。
常用估计量构造法：矩估计法、极大似然估计法。
4
7.1.1 矩估计法
矩估计法是通过参数与总体矩的关系，解出参数， 并用样本矩替代总体矩而得到的参数估计方法。 （由大数定理可知样本矩依概率收敛于总体矩， 且许多分布所含参数都是矩的函数）
下面我们考虑总体为连续型随机变量的情况：
n
它是的函数，记为L(x1, , xn; ) f (xi , ), i 1
并称其为似然函数，记为L( )。
注：似然函数的概念并不仅限于连续随机变量 ，
对于离散型随机变量，用 P {Xx}p(x,)
替代f ( x, )
即可。
14
设总体X的分布形式已知，且只含一个未知参数，
《概率论与数理统计》第七章假设检验.
《概率论与数理统计》第七章假设检验.第七章假设检验学习⽬标知识⽬标：理解假设检验的基本概念⼩概率原理；掌握假设检验的⽅法和步骤。
能⼒⽬标：能够作正态总体均值、⽐例的假设检验和两个正态总体的均值、⽐例之差的假设检验。
参数估计和假设检验是统计推断的两种形式，它们都是利⽤样本对总体进⾏某种推断，然⽽推断的⾓度不同。
参数估计是通过样本统计量来推断总体未知参数的取值范围，以及作出结论的可靠程度，总体参数在估计前是未知的。
⽽在假设检验中，则是预先对总体参数的取值提出⼀个假设，然后利⽤样本数据检验这个假设是否成⽴，如果成⽴，我们就接受这个假设，如果不成⽴就拒绝原假设。
当然由于样本的随机性，这种推断只能具有⼀定的可靠性。
本章介绍假设检验的基本概念，以及假设检验的⼀般步骤，然后重点介绍常⽤的参数检验⽅法。
由于篇幅的限制，⾮参数假设检验在这⾥就不作介绍了。
第⼀节假设检验的⼀般问题关键词：参数假设；检验统计量；接受域与拒绝域；假设检验的两类错误⼀、假设检验的基本概念（⼀）原假设和备择假设为了对假设检验的基本概念有⼀个直观的认识，不妨先看下⾯的例⼦。
例7.1 某⼚⽣产⼀种⽇光灯管，其寿命X 服从正态分布)200 ,(2µN ，从过去的⽣产经验看，灯管的平均寿命为1550=µ⼩时，。
现在采⽤新⼯艺后，在所⽣产的新灯管中抽取25只，测其平均寿命为1650⼩时。
问采⽤新⼯艺后，灯管的寿命是否有显著提⾼？这是⼀个均值的检验问题。
灯管的寿命有没有显著变化呢？这有两种可能：⼀种是没有什么变化。
即新⼯艺对均值没有影响，采⽤新⼯艺后，X 仍然服从)200 ,1550(2N 。
另⼀种情况可能是，新⼯艺的确使均值发⽣了显著性变化。
这样，1650=X 和15500=µ之间的差异就只能认为是采⽤新⼯艺的关系。
究竟是哪种情况与实际情况相符合，这需要作检验。
假如给定显著性⽔平05.0=α。
在上⾯的例⼦中，我们可以把涉及到的两种情况⽤统计假设的形式表⽰出来。
《概率论与数理统计》7
未知参数 , ,, 的函数.分别令
12
k
L(1,,k ) 0,(i 1,2,...,k)
或令
i
ln L(1,,k ) 0,(i 1,2,...,k)
i
由此方程组可解得参数 i 的极大似然估计值 ˆi.
例5 设X~b(1,p), X1, X2 , …,Xn是来自X的一个样本,
求参数 p 的最大似然估计量.
解 E( X ) ，E( X 2 ) D( X ) [E( X )]2 2 2
由矩估计法,
【注】
X
1
n
n i 1
X
2 i
2
2
ˆ X ,
ˆ
2
1 n
n i 1
(Xi
X )2
对任何总体,总体均值与方差的矩估计量都不变．
➢常见分布的参数矩估计量
(1)若总体X~b(1, p), 则未知参数 p 的矩估计量为
7-1
第七章
参数估计
统计 推断
的 基本 问题
7-2
参数估 计问题
(第七章）
点估计 区间估 计
假设检 验问题 (第八章）
什么是参数估计？
参数是刻画总体某方面概率特性的数量.
当此数量未知时,从总体抽出一个样本， 用某种方法对这个未知参数进行估计就 是参数估计.
例如，X ~N ( , 2),
若, 2未知, 通过构造样本的函数, 给出
k = k(A1, A2 , …, A k)
用i 作为i的估计量------矩估计量.
例1 设总体X服从[a，b]上的均匀分布，a，b未知，
X1, X2 , …,Xn为来自总体X的样本,试求a，b的 矩估计量．
解 E(X ) a b , D(X ) (b a)2
《概率论与数理统计》第七章
n
n
ln xi
（4）的极大似然估计量为：ˆ
n
n2 i1
lnX
i
2
i1
第七章 参数估计 ‹#›
例 9 设X~b(1,p), X1,X2,…,Xn是来自X的一个样本， 试求参数p的最大似然估计量
解: 设x1, x2,, xn,是相应于样本X1,X2,…,Xn 的一个样本值，X
的分布律为：
(3)以样本各阶矩A1, ,Ak代替总体各阶矩1,
得各参数的矩估计
ˆi gi(A1, ,Ak )， i 1, , k
, k，
第七章 参数估计 ‹#›
注意：
在实际应用时，为求解方便，也可以用
中心矩 i 代替原点矩i，相应地以样本中心矩Bi 估计 i.
（二）最大似然估计法
最（极）大似然估计的原理介绍
第七章
参数估计
目录/Contents
第1章 随机事件与 2 概率
§ 1 点估计
§3
估计量的评选标准
第七章 参数估计 ‹#›
问题的提出:
在实际进行统计时，有不少总体的（我们关心的某 确定指标）概率分布是已知的。比如
例 1 产品寿命服从的分布
X~
f
(
x)
1
x
e
x0
0
其他
但其中有参数是未知的: θ
n
似然函数 L f xi , 。 i 1
, xn ，
极大似然原理：L(ˆ( x1 ,
,
xn
))
max
L(
).
计算简化方法：
在求L 的最大值时，通常转换为求：lnL 的最大值，
lnL 称为对数似然函数.
利用
概率论与数理统计-第七章
2
= (2π ) (σ ) exp[−
2
2
−
n 2
−
n 2
1 2σ 2
( xi − µ ) 2 ] ∑
i =1
n
n
设总体X~U[a,b]，其中 ，b是 例3. 设总体 ，其中a， 是 未知参数。试求a， 的矩估计量 的矩估计量。 未知参数。试求 ，b的矩估计量。 解：E(X)=(a+b)/2, D(X)=(b-a)2/12.
1 n 1 ∑Xi = E(X) = 2 (a +b) n i=1 1 n 2 Xi = E(X 2 ) = D(X) +[E(X)]2 ∑ n i=1 1 1 2 = (b − a) + (a +b)2 12 4
解：白球所占比例p=1/4或3/4. 白球所占比例 或 X:任取 个球中白球的个数，X~B(3, p) 任取3个球中白球的个数 任取 个球中白球的个数，
P( X = 2) = C p (1− p) = 3p (1− p)
2 3 2 2
1 9 , p = 4时 P(X = 2) = 64 p = 3时 P(X = 2) = 27 , 4 64
1 n ˆ (1)µ = X = ∑Xi是 体 值 的 偏 计 ; 总 均 µ 无 估 量 n i=1 1 n ˆ (2)σ 2 = S2 = ( Xi − X )2是 体 差 2的 总 方 σ ∑ n −1 i=1 无 估 量. 偏 计
n −1 2 D(X) = S n 即可解出未知参数的估计量。 即可解出未知参数的估计量。
《概率论与数理统计》课件 第七章 随机变量的数字特征
i 1,2, , 如果 xi pi ， 则称 i 1 E( X ) xi pi 为随机变量X的数学期望； i 1
或称为该分布的数学期望，简称期望或均值.
(2)设连续随机变量X的密度函数为p( x),
如果
+
x p( x)dx ,
则称
-
E( X ) xp( x)dx 为随机变量X的数学期望.
5
例2.求二项分布B(n, p)的数学期望.
P(X
k)
n!
k!n
k !
pk
(1
p)nk ,k
1, 2,
, n.
n
解：EX kP{ X k}
k0
n
k
k0
n!
k!n
k !
pk
(1
p)nk
n
np
k 1
k
n 1! 1!n
pk1
k!
(1
p)nk
np[ p (1 p)]n1 np.
特别地，若X服从0 1分布，则EX p.
6
例3. 求泊松分布P( )的数学期望.
注：P( X k) k e , k 1, 2, .
k!
解：EX k k e e
k1
e
k1
k0 k !
k1 k 1 !
k1 k 1 !
ee
e x 1 x 1 x2 1 xn [这里，x ]
当 a 450时，平均收益EY 最大.
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第二节 方差与标准差
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引例
比较随机变量X、Y 的期望
X3 4 5 Y1 4 7 P 0.1 0.8 0.1 P 0.4 0.2 0.4
01 2 3 4 5 67