AHP中判断矩阵一致性改进的一种新方法

系统工程理论与实践SYSTEMS ENGINEERING----THEORY & PRACTICE2000　Vol.20　No.2　P.122-125AHP中判断矩阵一致性改进的一种新方法李梅霞摘要:　通过分析诱导矩阵与判断矩阵不一致性的关系，提 出了一种新的改进判断矩阵一致性的方法。

关键词:　诱导矩阵； 一致性； 和积法中图分类号:　O223 A New Method for Improving the Consistency ofthe Comparis on Matrix in AHPLI Mei-xia(Changwei Teachers College, Weifang 261043)Abstract:　In this paper, a new method for improv ing the consistency of comparison matrix was presented by analyzing the relatio nship between the induced matrix and the inconsistency of comparison matrix. Keywords:　induced matrix; consistency; ANC1　引言 T.L. Saaty于70年代提出的层次分析法(AHP)为解决多目标决策问题提供了很大的方便，在 社 会、经济、管理中得到了广泛应用。

其关键步骤是由专家给出判断矩阵，然后计算排序向量 。

因此专家给出的判断矩阵是否能具有满意的 一致性是一个很重要的问题。

它直接影响到由此判断矩阵得到的排序向量是否能真实地反映 各比较方案之间的客观排序。

因此，对判断矩阵一致性的改进是AHP中一个很重要的内容。

文献［1～3］中提出了几种一致性改进的方法，取得了一定的效果。

但是有些方法比较复 杂，有些方法缺乏一定的理论依据，因此寻求一种更好的改进判断矩阵一致性的方法仍具有 重要意义。

本文首先定义了一种特殊的矩阵——诱导矩阵，然后通过分析诱导矩阵与判断矩 阵不一致性的关系，提出了一种新的改进判断矩阵一致性的方法。

通过多例验证，该方法简 单有效且符合实际。

2　问题的提出 为以后叙述方便，记Ω={1,2,…,n}。

设A=(a ij)n× n为判断矩阵，若其元素满足a ij>0, a ji=1/a ij, a ii=1, i,j∈Ω,则称A为正互反矩阵。

若此正互反矩阵又满足a ij=a ik/a jk, i, j, k∈Ω， 则称A为完全一致性矩阵。

一般情况下，专家给出 的判断矩阵很难满足完全一致性条件。

文献［4］中指出当时即认为A具有满意的一致性。

因此当专家给出的判断矩阵不具有满意一致 性时，可通过征求专家意见，应用合理的方法对判断矩阵的元素进行适当调整，从而使判 断矩阵达到满意的一致性。

文献［5］中指出，“和积法”是一种比较好的计算判断矩阵排序向量的方法。

其步骤为 ：设A=(a ij)n× n为判断矩阵，令B=(b ij)n× n，其中则βj为判断矩阵A的第j个列向量的归一化向量。

再令由此求得判断矩阵 排序向量w=(w1, w2, …, w n)T的方法称为“和积法”。

定义　称矩阵C=(c ij)n× n为判断矩阵A的诱导矩阵，其中 ， 定理　判断矩阵A为完全一致性矩阵的充要条件是矩阵C中元素全部为1，即 证明　必要性。

若判断矩阵A为完全一致性矩阵，则A的每一列向量的归一 化向量均相等，从而其与“和积法”求得的排序向量相等，即 b ij=w i, i,j∈ Ω,从而c ij=1, 即 充分性。

若即 c ij=1，从而b ij=w i, i,j∈Ω，即各列归一化向量均相等，从而A为完全一 致性矩阵。

由定理可知，若C中存在某个元素c ij不为1，则说明判断矩阵A不为完全一致性矩阵， 且c ij偏离1越大，说明a ij对A的不一致性的影响越大。

当c ij>1时，a ij偏大，应适当减小；当c ij<1时，a ij偏小，应适当增大。

由于专家的判 断一般不会出现很大的失误，因此对影响判断矩阵一致性的元素可进行适当微调。

通过某些 元素(或其分母)增加1或减小1的方法使判断矩阵逐步达到满意的一致性。

3　判断矩阵一致性改进的方法 通过2中的分析，改进判断矩阵A的一致性的方法可按如下步骤进行： 1) 计算A 的各列归一化向量βj, j∈Ω及“和积法”求得的排序向量w； 2) 求出诱导矩阵C=(c ij)n×n； 3) 找出使|c ij-1|( i, j∈Ω)达到最大值的i,j,记为k,l； 4) 若c kl>1，则若a kl为整数，令a′kl=a kl-1,否则令a′kl=1/(1/a kl+1); 若c kl<1, 则若a kl为整数， 令a′kl=a kl+1,否则令a′kl=1/(1/a kl-1)； 5) 令a′lk=(1)/(a′kl), a′ij=a ij, i,j∈ Ω且i,j≠k,l； 6) 若A′=(a′ij)具有满意的一致性，则停止，A′即为求得的具有满意一致性的 判断矩阵；否则，用A′代替A转1)。

4　应用举例 例1　设CR(A)=0.1407>0.1,A不具有满意的一致性。

“和积法”求得的排序向量从而诱导矩阵C中偏离1最大的元素为c32=1.619>1,且a32=2为整数，因此需将a32减小 1，即a′32=1, a′23=1,从而可得CR(A′)=0.0250<0.1,A′具有满意的一致性。

例2　设CR(A)=0.1720>0.1,A不具有满意的一致性。

“和积法”求得的排序向量从而诱导矩阵C中偏离1最大的元素为c13=2.406>1且a13=3为整数，因此需将a13减小1 ，即 从而可得CR(A′)=0.1036>0.1,A′仍不具有满意的一致性，需继续进行调整。

“和积法”求得的排序向量的诱导矩阵偏离1最大的元素为c′13=2.106>1,因此需将a′13减小1， 即a″ 13=1, a″31=1,从而可得CR(A″)=0.0292<0.1,A″具有满意的一致性。

本文作者对章志敏教授的指导和帮助表示衷心的感谢!李梅霞(昌潍师专数学系，山东 潍坊 261043)参考文献：［1］　陈宝谦等.正互反矩阵的一个特征值问题.高校应用数学学报，1991，6(1) ：57～65.［2］　Ma Weiye etc. A Practical Approach to Modifying Pairwise Compariso n Matrices and Two Criteria of Modificatory Effectiveness. Journal of Systems S cience & Systems Engineering, 1993, 2(4):334～338.［3］　刘万里，雷治军.关于AHP中判断矩阵校正方法的研究.系统工程理论与实 践，1997，17(6)：30～39.［4］　Saaty T L. A Scaling Method for Priorities in Hierarchical Structu res. Journal of Math. Psychology, 1997,15:234～281.［5］　王应明.判断矩阵排序方法综述.决策与决策支持系统，1995,(3)：101～114收稿：1998-05-15AHP中判断矩阵一致性改进的一种新方法作者：李梅霞， LI Mei-xia作者单位：昌潍师专数学系,山东,潍坊,261043刊名：系统工程理论与实践英文刊名：SYSTEMS ENGINEERING--THEORY & PRACTICE年，卷(期)：2000，20(2)被引用次数：87次1.陈宝谦正互反矩阵的一个特征值问题[期刊论文]-高校应用数学学报A辑 1991(01)2.Ma Weiye.etc A Practical Approach to Modifying Pairwise Compariso n Matrices and Two Criteria of Modificatory Effectiveness 1993(04)3.刘万里.雷治军关于AHP中判断矩阵校正方法的研究 1997(06)4.Saaty T L A Scaling Method for Priorities in Hierarchical Structu res 19975.王应明判断矩阵排序方法综述 1995(03)1.期刊论文姜艳萍.樊治平.王欣荣AHP中判断矩阵一致性改进方法的研究-东北大学学报(自然科学版)2001,22(4)针对AHP中判断矩阵一致性改进问题,提出了一种新的改进判断矩阵一致性的方法.首先,给出了诱导矩阵的定义,然后通过分析诱导矩阵与判断矩阵之间的关系,给出了将判断矩阵改进为满意一致性矩阵的简洁、实用的迭代算法.最后给出了两个算例.2.期刊论文樊爱宛.樊爱京.FAN Ai-wan.FAN Ai-jing改进的AHP算法在计算机实验考核中的应用-电脑知识与技术2009,5(35)针对计算机实验考核评价遇到的实际问题,采用构建诱导矩阵的方法,对传统层次分析法(AHP)的判断矩阵的一致性检验进行了研究改进;解决了决策者调整判断矩阵的盲目性.应用这种改进的AHP法对计算机实验考核评估,结果证明了该方法的可行性和实用性.3.期刊论文待发表文章摘要预报-东北大学学报(自然科学版)2001,22(3)冷连轧过程控制在线负荷分配及修正计算王军生, 赵启林, 矫志杰, 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