判别矩阵的一致性
区间数判断矩阵的满意一致性及排序方法
问数层 次分析 法 的 ２个重 要 的课题 ． 一些 学 者 依据 权 重可行 域 建立线 性 规划 模 型 ， 模 型 的极 点 来表 用
示 区 问数 判 断矩阵 的权 重 范 围 ， 然此 方 法 只适 用 显 于满 足一 致性 的 区 间数 判 断 矩 阵 － ．ａｔ ３ Ｓａ ］ ｙ等Ｈ提
出了 ＭｏｔＣｒ 模拟方 法确 定 区间数判 断矩 阵 的排 ｎｅ ａｏ ｌ
序权 值 ． ｎ 等 给出 了对 一致 性 和不 一致 性 区 间 Ｗａｇ 数判 断矩 阵均适 用 的区间数 判断矩 阵排 序权值 的方 法 ． 向前 等 指 出现有 的满 意一 致 性 定 义大 多是 冯 ６
通过判 断在 决策 允许偏 差下是 否具 有一致 性来 衡量 判断矩 阵是 否是 满 意 的 ． 是 ， 果偏 差 设 得 较 小 ， 但 如 可能使得扩大后的区间数判断矩阵不具有一致性信 息， 而偏 差设 得较 大又 会 使 原有 区间 数 判 断矩 阵 表 达 的优先 信息 变得 更 加模 糊 ， 时 产 生 的排 序 权值 此 是 否合理 则是 一个值 得 讨 论 的问题 ． ｎ 等 提 』Ｗａｇ
２ １ 年 １ 月 ００ ２
文章编号：０４—５２ （０ ０ ０ １０ ４２ ２ １）４一Ｏｏ 一 ３ ３４ Ｏ
区 间数 判 断 矩 阵 的 满 意 一 致 性 及 排 序 方 法
王 西静
（ 晋城职业技术 学院 数 学系，山西 晋 城 ０８２ ） ４０ ６
摘 要 ： 究 了 区 间数 判 断 矩 阵 的 一 致 性及 排 序 问题 ． 出 了满 意一 致 性 判 断 矩 阵 的判 别 方 法 ， 且 证 明 了此 研 给 并 判 别 方 法 还 适 用 于 区间数 判 断矩 阵 的一 致 性 检 验 ． 时 ， 同 对具 有一 致 性 或 满 意 一 致 性 的 区 间数 判 断 矩 阵 建 立 了
anp指标
ANP（网络层次分析法）是一种基于网络结构的决策方法，可以处理具有复杂相互关联的准则和因素的问题。
ANP的基本原理是建立起一个具有层次结构的问题模型，并使用成对比较矩阵来衡量各因素之间的相对重要性。
具体而言，ANP指标包括以下几个步骤：
1.确定层次结构：将问题分解为不同的层次，其中顶层是最终目标，底层是具体
的决策方案或因素。
每个层次之间都有相应的关系和相互影响。
2.建立比较矩阵：对于每个层次里的因素，需要进行两两比较，以判断其重要性。
比较矩阵使用1-9的尺度，或者根据具体问题的复杂性使用更复杂的比较矩阵。
3.计算权重：通过求解比较矩阵的特征向量，可以得到各个因素的权重。
4.判断一致性：通过计算比较矩阵的一致性指标，可以检验比较矩阵的一致性，
如果一致性指标小于0.1，则认为比较矩阵具有一致性。
5.计算结果：根据权重和一致性指标，可以得出各个因素的相对重要性排序，从
而指导决策过程。
ANP方法在许多领域得到广泛应用，如项目评估、决策分析、资源分配等。
它可以帮助决策者全面考虑各因素之间的相互关系，更好地理解问题的本质，从而做出科学合理的决策。
层次分析法步骤及案例分析
层次分析法步骤及案例分析层次分析法（AHP）是一种通过对比判断不同因素的重要性来进行决策的方法。
它由匹兹堡大学的数学家托马斯·萨蒙在20世纪70年代初提出，并逐渐应用于各个领域。
本文将介绍层次分析法的步骤，并通过一个实际案例来进行分析。
一、层次分析法的步骤层次分析法主要包括以下几个步骤：1. 确定层次结构：首先，需要明确决策问题的层次结构。
将问题划分为若干个层次，从总目标到具体的子目标，形成一棵树状结构。
例如，在一个购车的决策问题中，总目标可以是“选择一辆适合自己的车”，下面的子目标可以包括“价格”、“外观”、“安全性”等因素。
2. 构造判断矩阵：在每个层次中，需要对不同因素之间的两两比较进行判断。
判断可以基于专家经验、问卷调查或实际数据。
对于两两比较，通常采用一个1到9的比较尺度，其中1表示相等，3表示略微重要，5表示中等重要，7表示强烈重要，9表示绝对重要。
如果因素A相对于因素B的重要性大于1，则B相对于A的重要性是1/A。
3. 计算权重向量：根据判断矩阵中的比较结果，可以计算出每个层次中各个因素的权重向量。
通过对判断矩阵的特征值和特征向量进行计算，可以得到各个因素的权重。
4. 一致性检验：在进行层次分析时，需要检验判断矩阵的一致性。
一致性是指在两两比较中的逻辑关系的一致性。
通常使用一致性指数和一致性比率来判断判断矩阵的一致性程度。
5. 综合评价：通过将各层次中因素的权重向量进行乘积运算，并将结果汇总得到最后的评价结果。
在这一步骤中，可以对不同的决策方案进行排序或进行多目标决策。
二、案例分析为了更好地了解层次分析法的应用，我们来看一个实际案例。
假设某公司需要选择新的供应商，供应商选择的主要考虑因素包括产品质量、交货周期和价格。
我们可以按照以下步骤进行决策：1. 确定层次结构：总目标是选择合适的供应商，下面的子目标是产品质量、交货周期和价格。
2. 构造判断矩阵：对于每个子目标，可以进行两两比较。
AHP判断矩阵调整中的一致性问题研究
第１ ６卷
第６ 期
运பைடு நூலகம் 筹 与 管 理
ｏ ＰＥＲＡＴ Ｉ ＯＮ Ｓ ＥＳＥＡＲＣ Ｈ Ｒ ＡＮ Ｄ ＡＮ ＡＧ ＥＭ ＥＮ Ｔ Ｍ ＳＣＩ ＥＮ ＣＥ
Ｖｏ１ １ Ｎｏ ． ６。 ．６
Ｄ ｅ ．２ ０ ｃ ０７
２０ ０ ７年 １ ２月
Ａｂ ｔａ ｔ ｎ ｏ ｄ ｒｔ ｔ ｄ ｈ ｏ ｓｓｅ ｃ ｄｆ ａ ｉｎｐ ｏ ｌｍ ｆ ｕ ｇ ｎ ｔｉ ，ｔ ｅｐ ｐ ｒａ ａｙ ｅ ｓｒ ｃ ：Ｉ ｒ ｅ ｏｓｕ ｙｔ ｅｃ ｎ ｉｔｎ ｙｍｏ ｉ ｃ ｔ ｒ ｂｅ ｏ ｄ ｍｅ ｔｍａ ｒｘ ｈ ａ ｅ ｎ ｌｚ ｓ ｉ ｏ ｊ ｔ ｅｒ ｌｔ ｎ ｈ ｐｂ ｔ ｅ ｒ ｉａ ｏ ｓｓｅ ｃ ｎ ａｉｆ ｄｃ ｎ ｉｔｎ ｙ ｎ ｕ ｓｆ ｒ ｒ ｔ ｏ ｆ ｕ — ｈ ｅａｉ ｓ ｉ ｅｗｅ ｎｏ ｄｎ ｌ ｎ ｉｔｎ ｙａ ｄ ｓｔｓｉ ｏ ｓｓｅ ｃ ，ａ ｄ ｐ ｔ ｏ ｗａｄ ａｍｅ ｈ ｄ ｏ ｄ ｏ ｃ ｅ ｊ ｇｎ ｎ ｏ ｓｓ ｅ ｃ ｆ ｕ ｇ ｎ ｔｉ ａ ｅ ｎｏ ｄｎ ｌ ｏ ｓｓｅ ｃ ．Ｉ ｌｏ ｇｖ ｓｔ ｅｐ ｏ ｆ ｆ ｎ ｅ ｒ ｌ ｆ ｉｇ ｉｃ ｎ ｉｔｎ ｙ ｏ ｄ ｍｅ ｔｍａ ｒ ｂ ｓ ｄｏ ｒ ｉａ ｎ ｉｔ ｎ ｙ ｔ ｓ ｉｅ ｈ ｒ ｏ ｔｇ ａ ｊ ｘ ｃ ａ ｏ ｉ ｏ
致 性 不 变 下 的 一致 性 调 整 方 法 ， 证 明 了 Ｃ （ 的 收敛 性 ， 并 Ｒ ｌ Ａ） 算例 说 明 了该 方 法 的可 行 性 。 文章 标 识 码 ： Ａ 文章 编 号 ：０ ７３ ２ （０ ７ ０・ ０ ４ ０ １０ ・２ １２ ０ ）６ ０ ９・ ３
关 键 词 ： 策 分 析 ， 整 ， 次 分 析 法 ， 致性 决 调 层 一 中 图分 类 号 ： ４ Ｎ９ ５
构造判断矩阵的讲解
构造判断矩阵的讲解层次分析法（Analytic Hierarchy Process，简称AHP）是一种用于处理决策问题的定量方法。
它通过将问题分解为一系列相互关联的准则和备选方案，并使用判断矩阵来定量评估它们之间的相对重要程度，从而帮助决策者进行决策。
一、构造判断矩阵的基本思想判断矩阵是用于量化准则和备选方案之间相对重要程度的工具。
构造判断矩阵的基本思想是通过比较两个元素之间的重要程度，将其转化为一个数值。
这个数值被称为重要性权重。
二、判断矩阵的构建过程1.确定准则和备选方案：首先，需要明确决策问题的准则和备选方案。
准则是衡量备选方案优劣的标准，备选方案是实施决策的可行选择。
2.构建层次结构：将准则和备选方案按照层次结构组织起来。
层次结构由若干层次组成，最顶层是目标层次，下一层是准则层次，最底层是备选方案层次。
3.定义判断矩阵：对于每一对元素，决策者根据其重要程度来填写判断矩阵的元素。
判断矩阵是一个n×n的矩阵，其中n是准则或备选方案的个数。
4.判断矩阵的填写：对于准则层次的判断矩阵，决策者评价不同准则之间的相对重要程度，从1到9进行评分，其中1表示两个准则同等重要，9表示一个准则远远重要于另一个准则。
对于备选方案层次的判断矩阵，决策者评价不同备选方案之间的相对重要程度。
5.判断矩阵的一致性检验：进行一致性检验是为了保证判断矩阵的可靠性。
通过计算判断矩阵的最大特征值和一致性指标，确定判断矩阵是否通过一致性检验。
三、判断矩阵的数学原理判断矩阵是根据相对重要程度进行填写的。
根据AHP的原理，假设第i个准则对于第j个准则的相对重要程度为A(i,j)，那么相对重要程度满足以下两个条件：1.A(i,j)=1/A(j,i)：即准则i相对于准则j的重要程度与准则j相对于准则i的重要程度互为倒数。
2.A(i,j)×A(j,k)=A(i,k)：即准则i相对于准则j的重要程度与准则j相对于准则k的重要程度的乘积等于准则i相对于准则k的重要程度。
判断矩阵的计算及一致性检验
非结构化指标判断矩阵的构造 对于非结构指标，一般是组成专家组，对评判对象进行比较，构造判断矩阵。
如果专家只是对评判对象在某一准则下进行排序，可以按照下面的计算方法，进行判断矩阵的构造。
首先计算每个因素的平均排序值 i x 。
然后确定平均排序的最小间隔n m ，N x x m i i n })min{}(max{---=（在九分位比率表中相对比较的差别只有8个，因此可以取8=N ）；最后确定判断矩阵的ij a 值，ij a = j i x x =()1N 1ij+， 如果用上述方法构造的判断矩阵不满足一致性，可以通过改变ij N 来实现其一致性。
确定ij N 还可以用以下方法：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎥⎥⎤⎢⎢⎡-<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎥⎦⎥⎢⎣⎢-=21mod 21mod n j i n j i n j i n j i ij m x x m x x m x x m x x N这样，就可以把不完全统一的编号顺序转化为一个判断矩阵。
如果专家直接给出了判断矩阵，而每位专家的判断矩阵又不完全相同，则需要进一步计算整理。
如果所有专家判断取值ij a 都相同，则保持不变，ijij a a '=。
否则，引入系统判断容异率y ∆（指系统允许在对某一确定事物做出判断时，持有不同观点判断者最小比例的限制值）。
当此比例小于y ∆时，认为此判断是一个误判断或是极偏判断，在计算中不予以考虑。
例如，有N 个人组成的专家组，对事件A 的判断产生了K 种观点，其中持第i 种观点的判断者人数为i n ，对于第i 种观点的最小差异比例为i ∆，max n n i i =∆（}max{,,2,1m ax n n n n ⋯⋯=）。
对K 种观点，都进行差异比例的计算。
当y i ∆≤∆时，就将第i 种观点排除，同时在N 个人中排除i n 个人，计为K '、N '。
然后，再对K '种观点下的ij a 进行加权平均，按下式计算最终的ija '。
判断矩阵一致性检验的统计新方法
显 而 易 见 ￡ （ ， 越 接 近 数 零 ， 断 矩 阵 Ａ 越 具 有 ｉ Ｅ Ｑ） 判 良好 的 一 致 性 ； Ｂ＝０ 则 判 断矩 阵 Ａ 为 安 全一 致 性 判 断 矩 若 ，
阵 ， 之亦然 。即有下列结论 成立 ： 反
统 检 验 方 法 的不 足 ， 其 离 实 际 运 用 仍 有 一 定 距 离 。 本 文 方 但 法利 用概率统计 置信 度 的基 本 思 想 ， 具有 上述 Ｘ 除 方 法 的 优 点 外 ， 易 于 实 际 操 作 、 能 展 现 决 策 者 的 决 策 艺 术 ， 一 更 更 是 种 简 便 有 效 的新 方 法 。 同 时 还 弥 补 了 ｓ ｔ 统 检 验 方 法 的 ａｙ传 ｔ
若
口 ｊ ， ，， ｋＥ ＝６ｔｋ ， Ｑ
想 ， 验判 断矩阵一致性 的 Ｘ 检 方 法 ， 一 定 程 度 上 弥 补 了传 从
条 件 （ ） 即 在 现 实 中 （ ） 般 不满 足 。 为此 ， 入 偏 差 项 ￡ １， ２一 引 令 ｊ ＥＱ （） ３
定 义 ： ￡满 足 （ ）称 矩 阵 Ｂ＝（ 为 判 断 矩 阵 Ａ 的 偏差 矩 设 ３， ￡）
研 究
简 报
判 断 矩 阵 一 致 性 检 验 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ统 计 新 方 法
何 斌 蒙 清 ，
（ ． 自师 范 高 等 专 科 学 校 数 学 系 ， 南 ６ １０ ； ． 自师 范 高 等 专 科 学 校 物 理 系 ， 南 ６ １０ ） １蒙 云 ６ １０ ２ 蒙 云 ６ １０
摘 要 ：本 文 根 据 层 次 分 析 法 的 基 本 原理 ， 用概 率 统 计 置 信 度 的 基 本 思 想 ， 出 了 一 种 检 验 判 断 矩 阵 一 致 性 利 给
层次分析法中判断矩阵的一致性研究_杨海涛
层次分析法中判断矩阵的一致性研究杨海涛,马东堂(国防科技大学 湖南长沙 400073)摘 要:对层次分析法中判断矩阵的一致性问题进行了研究,分析了影响判断矩阵一致性的主要因素,为改进判断矩阵的一致性提供了依据。
提出了利用一致性检验结果对专家判断信息进行筛选的方法,并利用工程实际问题进行了验证。
结果表明,经过专家判断信息筛选后构造的判断矩阵的一致性明显得到了改善。
探讨了区间判断矩阵最优化处理的方法,并给出了具体步骤。
关键词:层次分析法;判断矩阵;一致性;数字标度;最优化中图分类号:T J928.6 文献标识码:A 文章编号:1004-373X (2007)19-046-03Study on the Consistence of Judgement Matrix in AHPYA N G H aitao ,M A Do ng tang(Na tional University of De fence Te c hnolog y ,Changsha ,400073,China )Abstract :T his paper mainly focuses on the problems of co nsistence o f judg ment matrix in A naly tic H iera rchy P rocess .In the paper ,the primary facto rs affect the co nsistence of judgment matrix are enumer ated ,and this is useful fo r the improvement on the co nsiste ncy of judgment ma trix .A new mea n that makes use o f the results o f co nsistency test is addre ssed and validated by an enginee ring applica tion .T he result sho w the consistency of judgement mat rix is markedly im pr oved af te r filtering the ex -per ts ′judgement info rmatio n .T he optimizatio n me tho d o f Inte rval -ba sed co mpa rison matrices is discussed and the basic steps are pro vided in the end .Keywords :A naly tic Hie rarchy P ro cess (A H P );judgment matrix ;consistency ;nume ral scale ;optimizatio n收稿日期:2007-01-16基金项目:国防科技重点实验室基金(51435050105KG0102)1 引 言层次分析法(AH P )把人的思维过程层次化、数量化,并用数学方法为分析决策、预报或控制提供定量依据,是一种定性分析与定量分析相结合的数学方法。
区间数互补判断矩阵的一致性及排序方法研究
区间数互补判断矩阵的一致性及排序方法研究1 区间数互补判断矩阵的定义区间数互补判断矩阵，又称区间数排序矩阵，是一种用来比较多个变量之间排位关系的方法。
它是由定性和定量的矩阵混合而成的判断矩阵，它可以反映一组变量之间的相关性，是一种生成变量排位关系的矩阵。
例如在进行经济分析的研究中，将决定投资的多个属性从数值变为区间数，使之变为定量的，再构建一个判断矩阵，把多个分析指标按照特定的评价规则给出比较结果，从而算出各个投资项目的相对排名。
2 一致性及排序方法研究区间互补数可以用来衡量一组变量之间的一致性，但必须要提出假设通过形式化的方法来提取排序，以达到排序的目的。
一般来说，使用区间数进行排序的方法一般分为三类：基本模型、持续模型和集成模型。
基本模型通过对某一个对象的区间数实例进行多步比较，从而形成某一个对象排名结果，然后依次进行解决，即把两个对象之间的相对排序建立起来；持续模型是在基本模型的基础上实现迭代比较，从而形成一个稳定状态；而集成模型则依据多个持续模型的排序序列，求出最可能的排序序列，最终形成一个唯一的排序结果。
根据以上三类方法，我们可以建立区间数的一致性及排序算法，并以此来判断变量之间的相对位置。
此外，当区间数互补判断矩阵的排序结果和排序规则不符合时，应进行修正，避免影响排序的结果。
3 结论区间数互补判断矩阵可以有效地反映一组变量之间的排位关系，可以作为一种重要的数据处理方法来应用于实际工作中，它以判断矩阵的形式准确反映出一组变量之间的排序关系。
目前，主要有三种排序方法，它们在一定的假设下，都可以实现变量的排序和一致性的检验。
层次分析法判断矩阵求权值以及一致性检验程序
层次分析法判断矩阵求权值以及一致性检验程序以下是一种基于层次分析法的判断矩阵求权值以及一致性检验的程序：第一步：确定目标和准则层首先，明确分析的目标以及需要进行比较和排序的准则。
例如，在选择旅游目的地的决策中，目标可以是选择最适合个人喜好的目的地，而准则可以包括交通便利性、旅游景点的丰富程度、美食水平等。
第二步：构建判断矩阵根据目标和准则，构建判断矩阵，矩阵的大小为n*n，其中n是准则的个数。
判断矩阵中的元素对应于两两准则之间的比较结果。
例如，对于两个准则i和j，可以使用1-9的尺度来表示它们之间的重要程度，其中1表示相同重要，9表示极端重要。
如果准则i相对于准则j更重要，则在判断矩阵的(i,j)位置上填写9、判断矩阵的对角线元素全为1，因为每个准则相对于自身的重要性是相同的。
第三步：求判断矩阵的权值利用判断矩阵求解初始权值的过程主要分为两个步骤：特征根法和一致性检验。
1.特征根法求解判断矩阵的特征值和对应的特征向量，通过特征向量的归一化，得到各个准则的权重。
2.一致性检验判断矩阵是否具有一致性，即各个准则的权重是否合理。
这里使用一致性指标CI（Consistency Index）和一致性比例CR（Consistency Ratio）来进行检验。
CR的计算公式为CR = CI/RI，其中RI是一个随着准则个数n而变化的随机一致性指数，可以在AHP的标准表格中查找。
第四步：一致性检验与调整如果CR小于一些事先设定的阈值（通常为0.1），则认为判断矩阵通过一致性检验，各个准则的权重是合理的；否则，需要对判断矩阵进行调整。
判断矩阵的调整可以通过以下步骤进行：1.计算判断矩阵的平均列向量2.计算平均列向量的加权平均向量3.计算调整后的判断矩阵4.重复进行一致性检验和调整，直至通过一致性检验为止第五步：权值的应用经过一致性检验和调整后，各个准则的权重即为最终结果。
可以将权重应用于具体的决策问题中，进行多个准则的比较和排序。
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当 n<3时，判断矩阵永远具有完全一致性。判断矩阵 一致性指标 C.I. 与同阶平均随机一致性指标R.I. 之比 称为随机一致性比率C.R.(Consistency Ratio)。
C.R. =
C.I
R.I.
•
当 C.R.<0.10时，便认为判断矩阵具有可以接受的一 致性。当C.R.≥0.10时，就需要调整和修正判断矩阵，使 其满C.R.<0.10 ，从而具有满意的一致性。
的最大特征值及相应的特征向量。
相应的 Matlab 程序如下：
A = [1,1,1,4,1,1/2; 1,1,2,4,1,1/2; 1,1/2,1,5,3,1/2; … 1/4,1/4,1/5,1,1/3,1/3;1,1,1/3,3,1,1/3; 2,2,2,3,3,1]; [x, y] = eig(A); eigenvalue = diag(y); lamda = eigenvalue(1) y_lamda = x(:, 1) y 是特征值，且从大到小排列；
特 征 根 方 法 中 的 最 大 特 征 根 max 和 特 征 向 量 w ， 可 用 Matlab 软件直接计算。 例如：计算矩阵
1 1 1 1 2 1 1 1/ 2 1 1 / 4 1 / 4 1 / 5 1 1/ 3 1 2 2 2 4 4 5 1 3 3 1 1/ 2 1 1/ 2 3 1/ 2 1/ 3 1/ 3 1 1/ 3 3 1
x 是特征向量矩阵，每一列为 相应特征值的一个特征向量。
输出结果：
lamda = 6.3516
y_lamda =
-0.3520 -0.4184 -0.4223 -0.1099 -0.2730 -0.6604
判断矩阵的一致性
• 判断矩阵具有如下性质
• (1)
bii 1;
bij 1 / b ji ;
• (2)
• (3)
bij bik / b jk ;(i, j , k 1, 2,..., n).
只要判断矩阵中的 bij 满足上述三条关系式时，就说明 判断矩阵具有完全的一致性。
ห้องสมุดไป่ตู้
判断矩阵一致性指标 C.I.(Consistency Index)
C.I. =
max - n n-1
一致性指标C.I.的值越大，表明判断矩阵偏离完全 一致性的程度越大， C.I.的值越小，表明判断矩阵越 接近于完全一致性。一般判断矩阵的阶数n越大，人为 造成的偏离完全一致性指标C.I.的值便越大；n越小， 人为造成的偏离完全一致性指标C.I.的值便越小。
对于多阶判断矩阵，引入平均随机一致性指标 R.I.(Random Index),下表给出了1-15阶正互反矩阵 计算1000次得到的平均随机一致性指标 。
平均随机一致性指标 R.I.：
平均随机一致性指标是多次（500次以上）重复进行随机判 断矩阵特征根计算之后取算术平均得到的。龚木森、许树柏 1986年得出的1—15阶判断矩阵重复计算1000次的平均随机一致 性指标如下：
阶数 R.I. 阶数 R.I. 1 0 9 1.46 2 0 10 1.49 3 0.52 11 1.52 4 0.89 12 1.54 5 1.12 13 1.56 6 1.26 14 1.58 7 1.36 15 1.59 8 1.41