必修2第三四章知识点总结

第三章 直线与方程
（1）直线的倾斜角
定义：x 轴正向与直线向上方向
x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。

因此，倾斜角的取值范围是
（2）直线的斜率
①定义：
倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。

直线的斜率常用斜率反映直线与轴的倾斜程度。

当直线l 与x 轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0;
当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°, k 不存在.
当[)οο90,0∈α时，0≥k ； 当()
οο180,90∈α时，0<k ； 当ο90=α时，k 不存在。

②过两点的直线的斜率公式：)(211
212x x x x y y k ≠--= （ P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2） 注意下面四点：(1)当21x x =时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；
(2)k 与P 1、P 2的顺序无关；
(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；
(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。

（3）直线方程
注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y =y 1。

当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l 上每一点的横坐标都等于
x 1，所以它的方程是x =x 1。

注意：○
1各式的适用范围
注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。

也可以通过一般式系数的关系来判断：
0:1111=++C y B x A l 0:2222=++C y B x A l
（7）两条直线的交点
0:1111=++C y B x A l 0:2222=++C y B x A l 相交
交点坐标即方程组⎩⎨⎧=++=++0
0222111C y B x A C y B x A 的一组解。

方程组无解21//l l ⇔ ； 方程组有无数解⇔1
l 与2l 重合
（8设1122(,),A x y B x y ，（）
是平面直角坐标系中的两个点，
（9
一点()00,y x P 到直线0
:1=++C By Ax l
（10
已知两条平行线直线1l 和2l 的一般式方程为1l ：01=++
C By Ax ，2l ：02=++C By Ax ，
则1l 与2l
第四章 圆与方程
1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。

2、圆的方程
（1）标准方程()()222r b y a x =-+-，圆心()b a ,，半径为r ； 点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的位置关系：
当2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外
当2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上
当2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内
（2）一般方程022=++++F Ey Dx y x
当0422>-+F E D 时，方程表示圆，此时圆心为⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D ，半径为F E D r 42
122-+= 当0422
=-+F E D
时，表示一个点；
当0422<-+F E D 时，方程不表示任何图形。

（3）求圆方程的方法：
一般都采用待定系数法：先设后求。

确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，
给出圆心和半径，一般采用标准方程，需求出a ，b ，r ；
给出三个点的坐标，采用一般方程，需要求出D ，E ，F ；
另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。

3、直线与圆的位置关系：
直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：
（1）设直线0:=++C By Ax l ，圆()()222:r b y a x C =-+-，圆心()b a C ,到l 的距离为22B A C Bb Aa d +++=
，则
有相离与C l r d ⇔>； 相切与C l r d ⇔=； 相交与C l r d ⇔<
（2）过圆外一点的切线：①k ②k 存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k ，得到方程【一定两解】
(3)过圆上一点的切线方程：
过圆x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为：x 0x ＋y 0y ＝r 2.
圆(x-a)2+(y-b)2=r 2，圆上一点为(x 0，y 0)， 则过此点的切线方程为(x 0-a)(x-a)+(y 0-b)(y-b)= r 2
注意：圆的切线方程的求法．
①求过圆C 外一点P (x 0，y 0)和圆C 相切的切线方程．
几何法：设切线为y －y 0＝k (x －x 0)，由圆心C 到切线距离等于圆的半径r ，列方程求k ，若有两解即得切线方程，若只有一解，则另一条为x ＝x 0.
代数法：设切线为y －y 0＝k (x －x 0)，与圆方程联立，消元，由Δ＝0求出k ，讨论方法同上．
②过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点P (x 0，y 0)求圆的切线方程．
圆心C (a ，b )，k ＝－1k PC
，则切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，如果k PC 不存在，则k ＝0，如果k PC ＝0，则切线方程为x ＝x 0.
解决直线与圆位置关系问题的主导方法是几何法．
求弦长的方法：
直线与圆相交有两个交点，设弦长为l ，弦心距为d ，半径r ，则有(l 2
)2＋d 2＝r 2.即半弦长、弦心距、半径构成直角三角形，利用此关系式可解．
代数法：|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|(k 是AB 的斜率，x 1，x 2是两交点横坐标)．
4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d ）之间的大小比较来确定。

设圆()()221211:r b y a x C =-+-，()()222222:R b y a x C =-+-
两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d ）之间的大小比较来确定。

当r R d +>时两圆外离，此时有公切线四条；
当r R d +=时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；
当r R d r R +<<-时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；
当R d -=
当r R d -<时，两圆内含； 当0=d 时，为同心圆。

注意：已知圆上两点，圆心必在中垂线上；已知两圆相切，两圆心与切点共线
圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点
5、空间两点间的距离公式
空间中点11112222(x ,y ,z ),(x ,y ,z )P P 之间的距离是12||PP =
(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＋(z 1－z 2)2。