圆柱和圆锥地图投影
第章几类常见的地图投影
§4.1 圆锥投影
1、单标准纬线等距离圆锥投影
设圆锥面切于地球0的一条纬线上，即 n0=1。则
A C r0 N 0 co s 0
AS 0 N 0 cot0
s0
0 Md
0
Q
n0
0
r0
1
r0 0
N0 cos0 N0 cot0
sin0
Q 0 c s0
c
0
s0
r0
s0
§4.1 圆锥投影
§4.1 圆锥投影
2、由投影性质决定的变形特点 （1）等角圆锥投影：经线长度比与纬线长度比相等（m=n ），角度没有变形，但面积变形较大（P=m2） 。 （2）等面积圆锥投影：经线长度比与纬线长度比互为倒数 （mn=1），面积没有变形，但角度变形较大。 （3）等距离圆锥投影： 变形介于等角投影与等 面积投影之间，经线长 度比保持为1（m=1）， 纬线长度比与面积比相 等（n=P）。
2
Q nN nm 2
K
1 rN U
N
1 rm U
m
2
K
2
rm
rS U
m
U
S
( rmU
m
rS U
S
)
K
2
rm
rN U
m
U
N
( rmU
m
rN U
N
)
§4.1 圆锥投影
n N n m n S n m ( 1 )( 1 ) 1 2
对于纬差4°为一带的圆锥投影来说。υ2之值为9×10-8， 它对投影计算和实用精度，都没有什么影响，故可略去。
2、双标准纬线等距离圆锥投影
设圆锥面割于地球 1、 2 的两条纬线上，即n1=n2=1。
测绘技术的地图投影方法
测绘技术的地图投影方法地图作为一种重要的空间信息表达工具，在人类社会中有着深远的影响。
而地图投影方法则是制作地图时最关键的一环。
地图投影是将地球上的三维空间信息投影到二维平面上的过程。
由于地球是一个近似于椭球体的三维物体，将其表达在平面上难免存在一定的失真。
因此，选择合适的投影方法成为了测绘技术中的关键问题。
首先，我们来介绍一种常用的地图投影方法——圆柱投影。
圆柱投影将地球展开为一个圆柱体，然后再将该圆柱体展开为二维平面。
由于圆柱的性质，该投影方法在东西方向上的距离比例是保持不变的，因此适合用于表达大范围的区域，例如全球地图。
而由于北极圈附近地区的纬线收敛，使用圆柱投影在这些地区会出现严重的纬线收缩，导致地图上的区域变形。
因此，在制作具有高纬度地区的地图时，需要选择其他投影方法。
接下来是常用的另一种投影方法——圆锥投影。
圆锥投影是将地球展开为一个圆锥体，然后再将该圆锥体展开为二维平面。
与圆柱投影不同的是，圆锥投影在纬线上的距离比例是保持不变的，因此适合用于表达狭长区域，例如经线较少的地带。
但是，圆锥投影在缩小或放大区域时会产生纬度方向的扭曲，尤其是靠近圆锥顶部的地方。
因此，在制作具有高纬度地区的地图时，同样需要选择其他投影方法。
而在山区或海岸线地带，常常使用斜轴投影。
斜轴投影是将地球的表面部分投影到一个与赤道夹角不为零的二维平面上。
由于斜轴投影可以随意选择倾斜的角度，因此适用于山区等局部地区的地图制作。
这样一来，地图中的山脉、岗位等地貌特点可以得到更加真实的表达，便于地理分析与统筹。
然而，斜轴投影在传统地图制作中往往被忽略，因为它需要更多的计算与处理，并无法在全球尺度上进行应用。
此外，还有许多其他的地图投影方法，例如等面积投影、等角投影等。
等面积投影保持了地球上不同区域的面积比例关系，适用于需要区分不同地区面积的制图任务。
等角投影则保持了地球上不同区域的角度关系，适用于需要准确测量角度的地理分析。
《各种地图投影》
墨卡托投影等角航线为直线，对航海具有重要意义。 等角圆柱投影在编制航海图中被广泛应用。
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§5 方位投影
以平面作为辅助投影面，使球体与平面相切或相割，将球体 表面上的经纬网投影到平面上。
一、方位投影的分类
1、 据球面与投影面的相对部位不同，分为正轴投影，横轴投 影，斜轴投影:
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.... Nhomakorabea.
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§2 圆柱投影
一、圆柱投影的概念 圆柱投影是假定以圆柱面作为投影面，使圆柱面与
地球相切或相割，将球面上的经纬线投影到圆柱面上， 然后把柱面沿一母线剪开展为平面而成。
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二、圆柱投影变形分析及应用
正轴圆柱投影中，经纬线是直交的，故经纬线方向 的长度比就是最大、最小长度比，m、n相当于a、b。
①角度没有变形，面积比为长度比的平方； ②中央经线没有长度变形。其余经线长度比均大于1， 距中央经线愈远变形愈大； ③在同一条经线上，长度变形随纬度的降低而增大， 变形最大值在赤道上； ④在同一条纬线上，长度变形随距中央经线距离的 增大而增大，最大变形在边缘经线与赤道的交点上。 为了保证地图的精度，采用分带投影方法，将投影 范围的东西界加以限制，使其变形不超过一定的限度， 把许多带结合起来，可以为整个区域的投影。
圆柱投影的各种变形是随纬度的变化而变化，在同 一条纬线上各种变形数值各自相等，因此等变形线与纬 线平行，呈平行线状分布。在切圆柱投影上，赤道是一 条没有变形的线，称为标准纬线，从赤道向南、北方向 变形逐渐增大。在割圆柱投影上，两条相割的纬线是标 准纬线，在两条割线之间的纬线长度比小于1，以外大 于1，离开标准纬线愈远，变形愈大。圆柱投影适宜于 制作赤道附近和赤道两侧沿东西方向延伸地区的地图。
常用地图投影
常用的几种地图投影世界地图常用投影一、墨卡托投影（等角正切圆柱投影）投影方法：圆柱投影。
经线彼此平行且间距相等。
纬线也彼此平行，但离极点越近，其间距越大。
不能显示极点。
应用：标准海上航线图（方向）。
其他定向使用：航空旅行、风向、洋流。
等角世界地图。
此投影的等角属性最适合用于赤道附近地区，例如，印尼和太平洋部分地区。
特点：形状等角。
由于该投影维持局部角度关系不变，所以能很好地描绘微小形状。
面积明显变形方向保持了方向和相互位置关系的正确距离沿赤道或沿割纬线的比例是真实的。
局限：在墨卡托投影上无法表示极点。
可以对所有经线进行投影，但纬度的上下限约为80° N 和80° S。
大面积变形使得墨卡托投影不适用于常规地理世界地图。
墨卡托投影坐标系：取零子午线或自定义原点经线(L0)与赤道交点的投影为原点，零子午线或自定义原点经线的投影为纵坐标X轴，赤道的投影为横坐标Y轴，构成墨卡托平面直角坐标系。
二、桑逊投影（正轴等积伪圆柱投影）应用：除用于编制世界地图外，更适合编制赤道附近南北延伸地区的地图，如非洲、南美洲地图等特点：该投影的纬线为间隔相等的平行直线，经线为对称于中央经线的正弦曲线,是等面积投影，赤道和中央经线是两条没有变形的线，离开这两条线越远，长度、角度变形越大。
因此，该投影中心部分变形较小。
三、摩尔维特投影（伪圆柱等积投影）投影方法：伪圆柱等积投影。
所有纬线都是直线，所有经线都是等间距的椭圆弧。
唯一例外的是中央子午线，中央子午线是直线。
极点是点。
应用：适用于绘制世界专题或分布地图，经常采用不连续的形式。
将其与正弦曲线投影组合使用可创造出古蒂等面积和博格斯投影。
属性：形状在中央子午线和40°44' N 与40°44' S 纬线的交点处，形状未发生变形。
向外离这些点越远，变形越严重，在投影边处变形严重。
面积等积。
方向仅在中央子午线和40°44' N 与40°44' S 纬线的交点处，局部角度才是真实的。
投影坐标系的详细介绍
1.UTM投影的特点
UTM投影的中央经线长度比为0.999 6，这是为了使得Ｂ＝０°， ｌ＝３°处的最大变形值小于0.001而选择的数值。两条割线(在 赤道上，它们位于离中央子午线大约±１８０ｋｍ(约±１°４ ０’)处)上没有长度变形；离开这两条割线愈远变形愈大；在两 条割线以内长度变形为负值；在两条割线之外长度变形为正值。
（一）高斯投影
1.控制测量对地图投影的要求
采用等角投影（又称为正形投影） 长度和面积变形不大 能按高精度的、简单的、同样的计算公式把各区域联成 整体
2.高斯投影描述
想象有一个椭圆柱面横套在地球椭球体外面，并与某一条子 午线(此子午线称为中央子午线或轴子午线)相切，椭圆柱的中心 轴通过椭球体中心，然后用一定投影方法，将中央子午线两侧各 一定经差范围内的地区投影到椭圆柱面上，再将此柱面展开即成 为投影面 。
2. 编制“世界地图”用的投影：等差分纬线多圆 锥投影
这个投影是由我国地图出版社于1963年设计的一种不等分纬线的 多圆锥投影。是我国编制“世界地图”常用的一种投影。
这种投影的特点是赤道和中央纬线是互相垂直的直线，其他纬 线是对称于赤道的同轴圆弧，其圆心均在中央经线上，其他经线 为对称于中央经线的曲线，每一条纬线上各经线间的间隔，随离 中央经线距离的增大而逐渐缩小，按等差递减。极点为圆弧，其 长度为赤道的1/2。
3.高斯投影必须满足以下三个条件：
（1）中央子午线投影后是一条直线 （2）中央子午线投影后长度不变，其投影长度比恒等于1 （3）投影后角度不产生变形，满足正形投影要求 高斯投影除了在中央子午线上没有长度变形外，不在中央子午线 上的各点，其长度比都大于1，且离开中央子午线愈远，长度变 形愈大。
4.高斯投影的分带
测绘中常用的地图投影方法介绍
测绘中常用的地图投影方法介绍地图投影是地图制作中不可或缺的一部分，它将地球的曲面投影到一个平面上。
在测绘学中，有许多不同的地图投影方法，每一种方法都有自己的特点和适用范围。
本文将介绍一些常用的地图投影方法。
一、正轴等积圆柱投影法正轴等积圆柱投影法是最早出现的地图投影方法之一。
它以一个圆柱体为投影面，将地球的表面投影到圆柱体上，再展开成一个平面地图。
这种投影方法保持了等积性，即相等面积的地图上的面积在实际地球上也是相等的。
这使得正轴等积圆柱投影法在制作区域较大的地图时非常有用。
然而，在投影过程中，经纬度线不再是直线，而是弯曲的。
因此，这种投影方法在导航和航海等领域的应用相对较少。
二、墨卡托投影法墨卡托投影法是目前应用最广泛的地图投影方法之一。
它以一个圆柱体为投影面，将地球的表面投影到圆柱体上，再展开成一个平面地图。
与正轴等积圆柱投影法不同，墨卡托投影法保持了等角性，即相等角度的地图上的角度在实际地球上也是相等的。
这使得墨卡托投影法在导航和地图浏览等领域广受欢迎。
此外，墨卡托投影法也可以用于制作世界地图，因为它能够较为准确地展示各个地区的形状和比例关系。
三、兰勃托投影法兰勃托投影法是一种圆锥投影方法，它以一个圆锥体为投影面，将地球的表面投影到圆锥体上，再展开成一个平面地图。
兰勃托投影法保持了等距性，即相等距离的地图上的距离在实际地球上也是相等的。
这使得兰勃托投影法在制作航空地图和地理信息系统等领域得到广泛应用。
然而，由于地球是一个几乎球体状的物体，圆锥体无法完全覆盖地球的各个地区，因此在使用兰勃托投影法时需要选择合适的投影中心和标准纬度，以确保地图的准确性和正确性。
四、极射赤面投影法极射赤面投影法是一种特殊的地图投影方法，它以地球的南极或北极为投影中心，将地球的表面投影到一个平面上。
在这种投影方法中，赤道直径上的距离得以保持不变，而纬度线则以放射状的形式展开。
极射赤面投影法在制作地图时可以保持地球的真实形状，但是在极地地区附近的区域会有较大的变形。
地图学---第四章 几种常见的地图投影
第一节
圆锥投影
一、圆锥投影的一般公式及其分类 1、概念
2、分类
（1）按圆锥面与地球相对位置的不同，可分正轴、 横轴、斜轴圆锥投影。
正轴圆锥投影
横轴圆锥投影
斜轴圆锥投影
2、分类
（2）按标准纬线分为切圆锥投影和割圆锥投影。
（3）圆锥投影按变形性质分为等角、等积和等距
圆锥投影三种。
3、一般公式
圆锥投影（正轴）一般公式
（1）将各带的坐标纵轴西移500公里 Y=y+500000m
yA=245863.7m yB=168474.8m y′A=745863.7m y′B=331525.2m
（2）加上投影带号。 Y通=n*1000000+Y
y〞A=20745863.7m y〞B=20331525.2m
四、通用横轴墨卡托投影
1、圆锥投影一般变形规律
①变形只与纬度有关，与经差无关，同一纬线上的变 形是相同的； ②切圆锥投影中，标准纬线上长度比等于n0=1，其 余纬线上长度比均大于1，并向南、北方向增大； ③在割圆锥投影中，标准纬线n1=n2=1,变形自标准纬 2向内、向外增大，在 1、 2 之间n<1,在 线 1、 之外n>1。 适合中纬度处沿纬线伸展的制图区域之投影
五、圆柱投影的变形分析与应用
五、圆柱投影的变形分析与应用
正轴圆柱投影：赤道附近沿纬线延伸的地区
墨卡托投影：
编制海图
在赤道附近，如印度尼西亚、非洲等地区， 也可以编制各种比例尺地图。
编制世界时区图 制作某些世界范围的专题地图，如世界交通 图、卫星轨迹图等。
五、圆柱投影的变形分析与应用
横轴圆柱投影：沿经线方向延伸的地区
二、正轴等角圆锥投影
圆柱、圆锥、圆球的投影(制图课件)
一、曲面立体的投影 二、曲面立体表面取点
1.圆柱的投影 2.圆锥的投影 3.圆球的投影
1.圆柱上点的投影 2.圆锥上点的投影 3.圆球上点的投影
利用正面纬圆 作图，根据正 面纬圆正面投 影反应实形， 水平投影和侧 面投影积聚成 一条直线，在 正面投影中， 过a ′点画圆， 与水平轴线相 交，相加点的 水平投影在水 平轮廓圆上， 再做平行于水 平轴线的直线 ，得到a点的水 平投影；根据a 点和a ′点的位 置求得a ″ 。
利用侧面纬圆作图， 根据侧面纬圆正面投 影积聚成一条直线， 侧面投影反应实形， 在正面投影中，过a ′ 点平行于竖直轴线做 辅助线与正面轮廓圆 相交，正面轮廓圆的 侧面投影为侧面的轴 线，所以相交点的侧 面投影在侧面的竖直 轴线上，再画圆，求 得a ″点；根据a ′点和 a ″点的位置求得a
来看每一个点的作图过程，A点首先向下做水平投影，得到a点。
再根据投影规律，利用A点的正面投影和水平投影，求得其侧面投影a''。
再来看B点的作图过程,B点的水平投影在右后方，首先做水平投影，得到b点。
再根据投影规律，利用B点的正面投影和水平投影，求得其侧面投影 b‘’，擦去多余的线，得到了AB两点的另外两个投影。
总目录
项目一 制图基本知识与技能 项目二 投影法的基本知识 项目三 点、直线 面的投影 项目四 基本体的投影 项目五 截交线和相贯线 项目六 组合体 项目七 轴测投影 项目八 机件的常用表达法 项目九 建筑图的识读 项目十 识图综合训练 项目十一 计算机绘图
子目录
项目四 基本体的投影
11..视平图面立体 2.曲面立体
以判断A点在圆球面前、上、左
半球上。
利用水平纬圆作图，根 据水平纬圆正面投影积 聚成一条直线，水平投 影反应实形，在正面投 影中，过a ′点平行于水 平轴线做辅助线与正面 轮廓圆相交，正面轮廓 圆的水平投影为水平面 的轴线，所以相交点的 水平投影在水平轴线上 ，再画圆，求得a点；根 据a点和a ′点的位置求得 a″。
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等 角 圆 锥 投 影 变 形 表
切 B0=36° 割 B1=27°、 B1=45°
B
54º 50º 46º 42º 38º 36º 34º 30º 26º 22º 18º
经纬线方向长度比
切 1.0564 1.0327 1.0161 1.0056 1.0006 1.0000 1.0006 1.0053 1.0147 1.0288 1.0476 割 1.0432 1.0192 1.0031 0.9930 0.9882 0.9883 0.9884 0.9933 1.0028 1.0169 1.0357
2
2
56
(二) 等距离圆锥投影 正轴等距离圆锥投影沿经线保持等
距离，即
m=1
57
等距离圆锥投影的一般公式：
, cs x s cos , y sin
m 1, r a b sin 2 ab Pn
(c s )
r
等距离圆锥投影也有两个常数α,c 需要确定
x
Y
y
: 纬线圈投影半径 ： 两经线在投影平面上的 夹角
正圆锥投影适合沿纬线方向延伸的中纬度地区的地图
37
一般公式
f ( B) l x s cos y sin d
m n
MdB
r p mn
mn sin 2 mn
60
作业：
什么是圆柱投影? 什么是圆锥投影? 等角圆锥投影的主要应用领域？
61
一、圆柱投影概念及一般公式
二、墨卡托投影
三、墨卡托投影的应用 四、其它正圆柱投影
4
1.1 圆柱投影及应用
一、圆柱投影概念及一般公式
圆柱面为投影面； 将球面投影到圆柱面上。
正圆柱投影：纬线是平行直线 经线是与纬线正交的平行直线
5
斜圆柱投影
6
横圆柱投影
7
割圆柱投影
8
正圆柱投影的一般公式：
中央经线 X y
三、墨卡托投影的应用
地球面上一条与所有 经线相交成等方位角的曲 线称为等角航线。在地球 表面上除经线和纬线以外 的等角航线，都是以极点 为渐近点的螺旋曲线。
19
墨卡托投影的重要特征:
等角航线被投影为直线
等角航线在航海中是决定航向的重要依据之一
20
墨卡托投影多被航海图应用：
等角航线被投影为直线，便于航迹绘算。 等角性质投影，保持图上方位与实地一致。 经纬线形状简单，便于绘制。
21
等角航线: 6020海里 大圆航线：5450海里
22
我国海图上多采用割圆柱投影。 不同的海域，选用不同的标准纬线。
24
1∶5万成套海图的标准纬线
地
区
纬
度
标准纬线
3930 38 28 24 21
备
注
渤海及黄海北部 黄海中、南部 东 海
3800～4100 3200～4100 2330～3200 2100～2600 1800～2400
• 1962年联合国在德国波恩举行的世界百万分之 一国际地图技术会议上，建议用等角圆锥投影 替代改良多圆锥投影作为百万分之一地图的数 学基础。
• 针对百万分之一地图，全球采用两种投影： 800S至840N之间采用等角圆锥投影。极区附近 800S至南极、 840N至北极采用极球面投影。
46
• 我国处于北纬600以下的北半球内，因此我国百万 分之一地图投影的地形图都采用双标准纬线正等角 圆锥投影。
31
一、圆锥投影的概念及一般公式
圆锥面为投影面；
将球面投影到圆锥面上。
正圆锥投影
32
正圆锥投影示意图
33
横圆锥投影
斜圆锥投影
34
割圆锥投影
35
正圆锥投影：
经线表现为辐射的直线束，纬线投影成同心
圆弧，两经线间的夹角与相应的经差成正比。
割线即标准纬线
36
正圆锥投 影
X
f ( B) l
58
等面积、等距离圆锥投影的应用
主要应用于区域地图：
• 1：600万《中国全图》
• 1：400万《中国地势图》采用的是等面积 圆锥投影 • 1：250万《苏联全图》采用的是等距离圆 锥投影。
59
总 结
• 圆柱投影：将地球椭球面上的点投影到圆 柱面上的投影 • 圆锥投影：将地球椭球面上的点投影到圆 锥面上的投影 • 应用：区域地图
40
二、等角正圆锥投影
满足等角地图投影条件：
mn
C U
41
等角圆锥投影公式：
y sin C mn r r U p mn 0 C ， l U x s cos
1
rN rmU N U m rS rmU S U m
BN
B2
B1
BS
每带中的标准纬线: B1≈BS+35′ B2 ≈BN-35′
X（ X′） BN
B2
BS
B1
Y O O′ Y′
图幅拼接
54
四.等面积、等距离正圆锥投影
（一）等面积圆锥投影
等面积圆锥投影保持制图区域的面积 大小不变，也就是面积比等于1：
不含台湾
台湾、澎湖及附近 南 海
不含南海诸岛
南 海 诸 岛
以群岛为单元，用群岛的平均中纬作为标准纬线。
25
1∶50万成套近海航行图的标准纬线
地 区 纬 度
45S～45N 36S～45N
标准纬度
30 30
太平洋亚洲沿岸、大洋州（不含新西兰）、 印度洋沿岸、大西洋非洲沿岸 大西洋北美洲及南美洲北部沿岸
太平洋北美洲南部及南美洲北部沿岸
新西兰 太平洋及大西洋北部 南美洲南部
20S～49N
30S～50N 43N～68N 18S～57S
30
42 60 45
26
1
1-1
2
1、图1和图2所示分别是什么投影？有何特 性和用途？ 2-1 2、图1-1和图2-1中所示曲线分别代表什么 线？有何用途？
地图数学基础
四、其它正圆柱投影
1、等面积正圆柱投影
满足等面积地图投影条件：
mn 1
28
r m c c n r P 1 c tg 4 r 4 1 x F c y c l
29
2、等距离正圆柱投影
10
x f ( B)
• 关于常数C：
圆柱与地球相切时，c是赤道半径：
ca
圆柱与地球相割时，c是标准纬线半径：
c r0 N 0 cos B 0
11
圆柱投影适合赤道附近沿纬线方向延伸地区的地图
12
二、墨卡托投影
墨卡托投影是一种等角正圆柱投影。 墨卡托投影是由16世纪荷兰天文学家、数
学家、地理学家和地图制图大师墨ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ托
（Gerhardus Mercator，1512～1594）所创
制，并于1569年首先用于海图编制。
13
它假设圆柱轴和地球椭球体旋转轴重合并套在椭球 体上，按等角条件，将地球椭球面上的经纬线投影于圆 柱面上，并沿圆柱母线切开展成。
满足等角地图投影条件：
mn
14
一般公式：
沿经线方向长度比为1，即
m 1
y cl m 1 c n r c P r r c sin 2 r c
30
x Sm
1.2 圆锥投影及应用
一、圆锥投影概念及一般公式
二、等角正圆锥投影
三、等角正圆锥投影的应用
四、等面积、等距离正圆锥投影
x Y
赤道
l: 经差 c: 常数
x f ( B) y c l
9
一般公式：
l: 经差 c: 常数 M: 子午圈曲率半径 r： 纬线圈曲率半径 m，n:
沿经线、纬线方向长度比
x f ( B ) ：确定具体的投影
y c l dx m MdB c n r P mn mn sin 2 mn
切 割
—
5.7400 2.9152
—
4.9752 2.5267
1.9950 1.5567 1.3036 1.1539 1.0638 1.0153 1.0000
1.7291 1.3458 1.1279 1.0000 0.9220 0.8800 0.8668
16
17
墨 卡 托 投 影 变 形 图
18
47
投影分带的规定： 百万分一地形图的图幅范围与图区纬度的关系
纬度范围 0°— 60° 60°— 68° 68°— 76° 76°— 88° 纬差 4° 4° 4° 4° 经差 6° 12° 15° 24°
88°以上
一幅
按区域边纬线和中纬线长度变形绝对值相 等决定双标准纬线常数
ln rS ln rN ln U N ln U S C 1
mn
dx m MdB c n r
x c ln U
c mn r 2 p 0
15
x c ln U y c l
墨 卡 托 投 影 变 形 表
B
90º 80º 70º 60º 50º 40º 30º 20º 10º 0º
经纬线方向长度比
38
圆锥投影的差别在于：
•关于常数：
， s
正方位投影 正圆柱投影
0 1 1