习题解答1

1
2
0
2 c1
2 c1t c2
H u
d dt
H u
u
2
0
u 2 c1t c2
习题1-11
解系统运动方程
x2 u(t) c1t c2
x2
1 2
c1t 2
c2t
c3
x1
x2
1 2
c1t 2
c2t
c3
x1
1 6
c1t 3
1 2
c2t 2
c3t
c4
利用边界条件 x1(0)=1， x2(0)=1， x1(1)=0
始端 y(0)=1
终端约束 y(x) 2 1 x 3
由欧拉方程得
F d F y 0 y dx y (1 y2 )3/2
即
y 0
于是 边界条件
y c1x c2
y(0) 1
(xf ) y(xf ) 2
1 3
x
f
习题1-12
正交性条件
F
[( x)
y]
F y
xx f
0
解得 c1 3 c2 1
取极值的y*(x)。 解 由于函数F不显含y，由欧拉方程得
F y
1
2 yx2
c1
即
y
c1 1 2x2
于是
y
c1 1 2x
c2
F 利用边界条件 y(1) 1
0
y x
2
解得
c1 0
c2
1 2
故J取极值的曲线为
y*(x) 1 1 2x 2
习题1-8
8、y(0)=1，y(π/4)自由，求使 取极值的y*(x)。
习题1-2
解 (1) 建立欧拉方程
F d F 2 y 2sin x 2y 0 y dx y
解方程 y y sin x
得
y*(x)
c1e x
c2 e x
1 2
sin
x
(2) 由于函数F不显含y，由欧拉方程得
F y
2 y x3
c1
即 y c1x3 2
解之得
y
c1 8
x4
c2
习题1-7
7、y(1)=1，y(2)自由，求使 J 2 ( y y2 x2 )dx 1
故极值曲线为 y*(x) 3x 1
习题1-14
14、利用一阶变分的定义 J dJ 0 d 0
及变分学基本引理，推导泛函 J x1 F(x, y, y, y)dx x0
取极值的的必要条件。
解 考虑y*(x)的邻近曲线
y y* y y y* y y y* y
于是 J x1 F(x, y* y, y* y, y* y)dx x0
J 4 ( y2 y2 )dx 0
解 由欧拉方程得
F d F 2 y 2y 0 y dx y
即 y y 0
于是 y c1 sin x c2 cos x
利用边界条件 y(0) 1 解得 c1 1 c2 1
F
0
yx 4
故J取极值的曲线为 y*(x) sin x cos x
习题1-11
那么 J dJ x1(F y F y F y)dx
d 0 x0 y
y y
习题1-14
x1
x1
F y x1(F d F )ydx F y d x1 F )ydx
y
x0 y dx y
y
x0 dx y
x0
x0
x1
Fra Baidu bibliotekF y x1(F d F )ydx
y
x0 y dx y
x0
x1
F y d
x1
F y
d x1 2
F ydx
y
dx y
x0 dx2 y
x0
x0
则必要条件为
F y
d dx
F y
d2 dx2
F 0 y
x1
x1
x1
F y F y d F y 0
y
y dx y
x0
x0
x0
11、 x1 x2 x1(0) 1 x1(1) 0
x2 u(t) x2 (0) 1 x2 (1)自由
求使 J 1 1u2 (t)dt 取极小值的u*(t)。 20
解设
H
1 u2 2
1(x2
x1) 2 (u
x2 )
得欧拉方程组
H x1
d dt
H x1
1
0
1 c1
H x2
d dt
H x2
H x2
t 1
2 (1)
0
求得 c1=6， c2=6， c3=1， c4=1
最优控制轨线和最优状态轨线为
u*(t) 6t 6 x1*(t) t3 3t 2 t 1 x2*(t) 3t 2 6t 1
习题1-12
12、试求从(0，1)引向直线 y 2 1 x 3
的最短曲线的函数。
解 性能泛函 J xf 1 y2 dx 0