习题解答

习题解答

2-1．什么是信号？信号处理的目的是什么？

2-2．信号分类的方法有哪些？

2-3．求正弦信号()t A t x ωsin =的均方值2

x ψ。

解：

()2

4sin 422

2cos 12sin 2sin 1122202202

202

2022A T T A T dt

t A T tdt A T dt

t A T dt t x T T T T T x

=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-====⎰⎰⎰⎰ωωωωωψ 也可先求概率密度函数：221

)(x

A t p -=π则：⎰∞

∞-==2)(2

2

2

A dx x p x x

ψ。

2-4．求正弦信号())sin(ϕω+=t A t x

的概率密度函数p(x)。

解： 2

22

1

)(11

1,arcsin

x

A A

x A dx dt A x t -=

-=-=ωω

ϕω

代入概率密度函数公式得：

222222001

22221lim 1lim

)(x

A x A x A T T dt dx T t x x p x x -=

-=-=⋅=⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡∆∆=∑→∆→∆πω

π

ωω

x

2-5．求如下图所示周期性方波的复指数形式的幅值谱和相位谱

解 在x(t)的一个周期中可表示为

⎩⎨

⎧<<≤=2

1)(11

T t T T t t x

该信号基本周期为T ，基频0=2/T ，对信号进行傅里叶复指数展开。由于x(t)关于t=0对称，我们可以方便地选取-T/2≤t≤T/2作为计算区间。计算各傅里叶序列系数cn 当n=0时，常值分量c0：

T

T dt T a c T T 100211

1===⎰-

当n 0时，

11

01

1

0011T T t

jn T T t jn n e T

jn dt e T

c -----

==

⎰

ωωω

最后可得

⎥

⎦

⎤

⎢⎣⎡-=-j e e T n c t jn t jn n 22

000ωωω

注意上式中的括号中的项即sin (n 0 T1)的欧拉公式展开，因此，傅里叶序列系数cn 可表示为

0)(sin 2)sin(210010≠==

n T n c T

T n T n c n ，ωπ

ωω

其幅值谱为：)(sin 211

T n c T

T c o n ω=，相位谱为：ππϕ-=,,0n 。频谱图如下：

n

C T

T /211

/T πω

00

ωn

C T

T /211

/T πω

00

ωn ϕπ

2-6．设cn 为周期信号x(t)的傅里叶级数序列系数，证明傅里叶级数的时移特性。 即：若有

()n FS

c t x −→←

则 ()n t j FS

c e

t t x 0

00ω±−→←±

证明：若x(t)发生时移t0（周期T 保持不变），即信号x(t- t0)，则其对应的傅立叶系数为

()⎰-=

T

t

j n dt e t x T c 01'

ω 令0t t -=τ，代入上式可得

()()n

t j T

j t j T t j n c e d e x T e d e x T

c 00000001

1)

('ωτωωτωττττ---+-===

⎰⎰

因此有

()n t T j n t j FS

c e c e t t x 000)/2(0πω--=−→←-

同理可证

()n t T j n t j FS

c e c e t t x 000)/2(0πω++=−→←+

证毕！

2-7．求周期性方波的（题图2-5）的幅值谱密度 解：周期矩形脉冲信号的傅里叶系数

)(sin 2110110T n c T

T dt e T C T T t

jn n ωω==

⎰-- 则根据式，周期矩形脉冲信号的傅里叶变换，有

)()(sin 22)(0101

ωωδωπ

ωn T n c T

T X n -=∑∞

-∞=

此式表明，周期矩形脉冲信号的傅里叶变换是一个离散脉冲序列，集中于基频0ω以及所有谐频处，其脉冲强度为01/4T T π被)(sin t c 的函数所加权。与傅里叶级数展开得到的幅值谱之区别在于，各谐频点不是有限值，而是无穷大的脉冲，这正表明了傅里叶变换所得到的是幅值谱密度。

2-8．求符号函数的频谱。

解：符号函数为 ⎪⎩

⎪

⎨⎧=<->=0

001

01)(t t t t x 可将符号函数看为下列指数函数当a 0时的极限情况

解 ⎩⎨⎧><-==0

)sgn()(t e

t e t t x at

at

()()f

j f

j

f j a f j a dt e e dt e e dt e t x f X a ft j at ft j at a ft j πππππππ12121lim ..lim 00

20202=

-

=⎥⎦⎤⎢⎣

⎡+-+=⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡-==→∞--∞--→∞

+∞--⎰⎰⎰

2-9．求单位阶跃函数的频谱：

解：单位阶跃函数可分解为常数1与符号函数的叠加，即

S ⎪⎩

⎪

⎨⎧<=>=0002/101)(t t t t

[])sgn(12

1

)(t t +=

μ 所以：

2-10．求指数衰减振荡信号()t e t x

at 0sin ω-=的频谱。

⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡+

=f j f f πδμ1)(21)(