向量内积和外积的四元数教学法
四元数法希腊哲学
四元数法希腊哲学1.为什么要用四元数可能四元数的由来大家都看过很多遍。
很久以前，一位老者坐在大桥边上，看着过往船只，突然灵光一闪，在桥边石碑上洋洋洒洒刻上几行大字，四元数诞生了！故事大家都爱听，那么为什么我们需要四元数？一种说法是解决向量乘法，我们知道向量之间乘法有内积和外积，但这两个运算均不完美，即不满足群的条件（当然四元数诞生的时候也还没有内积外积的说法）。
那向量之间是否存在这样一个非常完美的乘法，于是三维空间无法解决的问题就映射到四维空间。
这便是四元数诞生的契机。
那么问题又来了，既然四元数只是为了解决矩阵乘法，那为什么我们现在要用四元数进行旋转，甚至替代了欧拉角、轴角等形式？首先，四元数并不是生来为了解决三维旋转，而是它的性质非常有利于表达旋转信息（后面会详述），所以了解四元数的性质要先于了解四元数在旋转中的应用。
至于四元数替代欧拉角等形式，就需要牵扯到一些别的知识点，我先罗列一下四元数相比其他形式的优点：✧解决万向节死锁（Gimbal Lock）问题✧仅需存储4个浮点数，相比矩阵更加轻量✧四元数无论是求逆、串联等操作，相比矩阵更加高效所以综合考虑，现在主流游戏或动画引擎都会以缩放向量+旋转四元数+平移向量的形式进行存储角色的运动数据。
2.四元数是怎么想出来的平庸的教程会直接提出四元数的定义、运算规则等等，然后读者不知所云。
相反，较为系统的教程一般会从复数（Complex Number）进行引导，逐步提出四元数的定义，这样会让读者更容易理解，在脑中也更好形成画面。
那复数与四元数之间的关系、以及如何从复数这样一个概念扩展到四元数是我们需要理清的一个思路。
2.先说几个概念。
空间中的子空间：一般而言，空间（维度>2）都存在更低维的子空间，比如二维空间中一维子空间，也就是直线；三维空间中的一维子空间和二维子空间，也就是直线和面。
当超过三维的概念我们就很难去想象是什么样子，但四维空间一定会存在三维子空间或二维子空间。
形象解说四元数
形象解说四元数By daode1212 2016-03-16前言:四元数（Quaternions）是由爱尔兰数学家哈密顿(William Rowan Hamilton,1805-1865）在1843年发明的数学概念。
复数、向量、矩阵都是数学中的基本要素，就如同编程中的数组、对象、集合那样。
四元数是一种超复数，是复数与三维向量的复合体。
四元数也有加法、减法、乘法、但是四元数的乘法不符合交换律（commutative law），即a*b <> b*a，而且，还有转置、规范化、共轭三种运算。
由于它在描述三维旋转、姿态方面的一些特有优点，所以在飞行器（飞机，火箭，导弹等），机器人姿态的控制中常用到。
数学手册中在代数结构的“群-环-域”中稍有点介绍，它属于不可交换的除环，称哈密顿四元数体。
以下是一些四元数运算的效果图：四元数理论创立人：William Rowan Hamilton,1805-1865一，四元数的几种表示形式:OpenTK中，为建立四元数提供了多种方式：public Quaternion(float x, float y, float z, float w)；public Quaternion(OpenTK.Vector3v, float w)；例如用Quaternion(float x, float y, float z, float w)：OpenTK.Quaternion q = new OpenTK.Quaternion(0.51f, -0.71f, 0.31f, 0.7071f);1, 四元数建构方式一：i^2=j^2=k^2=-1ij=-ji=k，jk=-kj=i，ki=-ik=jq=w+ix+jy+kz，i,j,k分别对应轴向量X(1,0,0),Y(0,1,0),Z(0,0,1)2, 四元数建构方式二：转动角之半+轴向量的方向余弦：3, 四元数建构方式三：转动角之半+单位球面上的点：二，四元数的模如q是四元数，OpenTK中有:1, q.Length;返回值是:2, q.LengthSquared;返回值是:，与点积（内积）q·q是一致的。
向量的基本概念与运算法则
向量的基本概念与运算法则一、向量的基本概念向量是数学中经常使用的一个概念，它指的是有大小和方向的量。
向量通常用字母加上一个箭头表示，例如向量a可以写作a→。
向量的大小可以用模表示，记作|a|。
向量的方向可以用角度表示，在平面中通常以与正 x 轴的夹角θ 来表示。
二、向量的表示方法1. 平行四边形法则平行四边形法则是常见的向量表示法之一。
在平面直角坐标系中，我们可以使用平行四边形的两条边来表示向量。
具体做法是将向量的起点与坐标原点重合，然后以向量的大小和方向在坐标系中画出一条射线，再从射线的终点倒回来形成一个平行四边形，这个平行四边形的两条边就可以表示向量。
2. 分量表示法另一种常见的向量表示方法是分量表示法。
在平面直角坐标系中，我们可以使用向量在 x 轴和 y 轴上的投影来表示向量。
具体做法是将向量的起点与坐标原点重合，然后以向量的终点在坐标系中画出一条线段，从线段的终点与坐标原点相连，分别画出与 x 轴和 y 轴平行的两条线段，这两条线段的长度即为向量在 x 轴和 y 轴上的分量。
三、向量的运算法则1. 加法向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。
具体做法是将两个向量的起点重合，然后将两个向量的终点连接起来形成一个新的向量。
2. 减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。
具体做法是将两个向量的起点重合，然后将第二个向量以相反的方向画出来，并将它的终点与第一个向量的终点连接起来形成一个新的向量。
3. 数量乘法向量的数量乘法是指将一个向量与一个标量相乘得到一个新的向量。
具体做法是将向量的大小乘以标量，并保持向量的方向不变。
4. 内积（点积）向量的内积，也称为点积，是指将两个向量相乘得到一个数。
具体做法是将两个向量的对应分量相乘，然后将所有的乘积相加起来。
5. 外积（叉积）向量的外积，也称为叉积，是指将两个向量相乘得到一个新的向量。
具体做法是将两个向量的大小与它们夹角的正弦值相乘，然后按照右手定则确定新向量的方向。
向量的基本运算及应用教案
向量的基本运算及应用教案引言：向量是数学中的一种重要概念，广泛应用于物理学、工程学和计算机科学等领域。
本教案旨在通过教授向量的基本运算和应用，让学生们深入理解向量的概念和运算法则，培养他们对向量运算的应用能力。
一、向量的基本概念1. 向量的定义向量是有大小和方向的量，用箭头表示，在平面上可以表示为带有起点和终点的有向线段。
2. 向量的表示方法向量可以使用坐标表示法和分量表示法进行表示。
3. 向量的运算法则（1）向量的加法：将两个向量的对应分量相加，得到新的向量。
（2）向量的减法：将两个向量的对应分量相减，得到新的向量。
（3）向量的数量乘法：将向量的每个分量都乘以一个标量，得到新的向量。
二、向量的基本运算实例1. 向量的加法实例假设有向量 A(2, 3) 和向量 B(4, -1)，则它们的向量和为：A +B = (2+4, 3+(-1)) = (6, 2)2. 向量的减法实例假设有向量 A(5, 7) 和向量 B(3, 2)，则它们的向量差为：A -B = (5-3, 7-2) = (2, 5)3. 向量的数量乘法实例假设有向量 A(3, 4)，要将其乘以 2，则结果为：2A = (2*3, 2*4) = (6, 8)三、向量的应用1. 向量的平移通过向量的加法运算，可以实现对向量的平移操作。
例如，将向量A(2, 3) 平移到点 (5, 7)，可以得到平移后的向量为：A' = A + (5-2, 7-3) = (3, 4)2. 向量的线性组合向量的线性组合是指将多个向量按照一定比例相加的操作。
例如，向量 A(2, 3) 和向量 B(4, 1) 的线性组合可以表示为：cA + dB = (c*2, c*3) + (d*4, d*1) = (2c+4d, 3c+d)，其中 c 和 d 为标量。
3. 向量的内积和外积向量的内积和外积是向量运算中的两个重要概念。
（1）向量的内积：也称为点积，可以用来计算两个向量间的夹角。
向量内积和外积的四元数教学法
创新教育两个向量之间的内积和外积是高等代数和解析几何中必须要讲的内容，参见文献[1～3]。
内积在有的课本上也被称为点积，外积则常常被称为是叉积。
在教学中，我们发现学生很容易理解两个向量的内积。
这是因为内积定义为两个向量的对应坐标相乘再相加，得到的结果是一个实数，比较自然。
而两个向量的外积却不再是一个实数了，而是一个和这两个向量都垂直的向量.这样子进行教学，学生会觉得内积和外积差别很大，内积是数，而外积是向量，二者不具可比性。
而单纯从名字来看，“内”和“外”是对称的，是可对比的。
那么应该怎样去教学，才能让学生真正的理解内积和外积的这种“对称”呢？我们发现利用四元数代数来讲解内积和外积是一种很好的教学法。
我们用R表示实数集合,C表示复数集合，H表示四元数集合。
由[2]可知任何一个四元数都可以写成α=d+ai+bj+ck的形式，其中a,b,c,d都是实数。
d叫做α的实部，ai+bj+ck叫做α的虚部。
α的共轭定义为d-ai-bj-ck。
则四元数集合H=R+Ri+Rj+Rk，H中的运算法则是哈密顿给出的i2=j2=k2=ijk=-1。
从哈密顿的公式可以推出ij=-ji=k,jk=-kj=i,ki=-ik=j。
三维空间中的一个向量都可以写成α=ai+bj+ck的形式，其中a,b,c分别是x,y,z 轴的坐标，I,j,I分别表示x,y,z轴。
我们定义两个向量α,β的内积为,α·β=-(βα+αβ)/2类似的，我们还可以定义两个向量的外积为，α×β=-(βα-αβ)/2根据定义易得α×β=-β×α我们不难通过检查坐标的方式来验证上面关于内积和外积的定义和参考文献[1]中的一致。
通过这种方式来定义内积和外积，学生可以看出内积和外积的差别只不过是βα+αβ和βα-αβ，很容易接受，也很容易理解。
下面我们来看看怎样利用四元数来证明关于内积外积的一些经典的定理，公式。
定理1:[拉格朗日公式]。
5-4内积、外积、混和积
a 2 135 例 设向量 a 的方向角分别为 60 120
求 a的坐标. 解
a1 cos a
a2 cos a a3 cos a
a1 a cos 2cos60 1
a2 a cos
2cos120 1
a3 a cos 2cos135 2
P1 P2
( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 ( z2 z1 )2
证 P P ( x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 ) 1 2
P1 P2
( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 ( z2 z1 )2
(3) 两向量夹角的余弦公式
a (1, 1, 2)
例 已知向量 OA {1, 1, 2}和 OB {3, 1, 1} ,求向量 AB 的 方向余弦.
解 因为 AB 2, 2, 1 设其方向角是α,β,γ 又 AB ( 3 1)2 (1 ( 1))2 (1 2)2 3 所以
S 解 F 可以分解成水平方向分力Fx和垂直方向分力Fy , 其中只有与位移平行的分力Fx作功,而Fy不作功. 于是功 W=|F|cosθ |S|=|F| |S| cosθ 为反映这一类物理现象,引入向量的数量积.
1. 数量积的定义
定义 两个向量α与β的数量积是一个数,它等于这两个向量的模
与它们夹角余弦的乘积,记为
0 1 a 1 (a , a , a ) a1 a2 a3 a , , 1 2 3 a a a a a
(cos , cos , cos )
0 a 为与 a同方向的单位向量
空间的每一个向量都可以由它的模与方向余弦(或方向角)决定,特 别地,单位向量的方向余弦等于它的坐标.
内积外积及其计算公式
内积外积及其计算公式内积和外积是线性代数中的两种运算，常用于向量和矩阵的计算。
在本文中，我将介绍它们的概念和计算公式。
一、内积（Inner Product）内积是向量空间中两个向量的一种二元运算，也称为点积、数量积或标量积。
在几何上，内积可以用来计算两个向量的夹角和长度。
1.向量的内积对于二维向量（a,b）和（c,d），它们的内积可以通过以下公式计算：(a, b) · (c, d) = ac + bd对于三维向量（a,b,c）和（d,e,f），它们的内积可以通过以下公式计算：(a, b, c) · (d, e, f) = ad + be + cf对于n维向量（a1, a2, ..., an）和（b1, b2, ..., bn），它们的内积可以通过以下公式计算：(a1, a2, ..., an) · (b1, b2, ..., bn) = a1b1 + a2b2 + ... + anbn2.向量的长度向量的长度（也称为模）可以通过内积来计算。
对于向量v，其长度可以通过以下公式计算：v，=√(v·v二、外积（Cross Product）外积是三维向量空间中两个向量的一种二元运算，也称为叉积或向量积。
在几何上，外积可以用来计算两个向量的垂直向量。
对于三维向量v=(a,b,c)和w=(d,e,f)，它们的外积可以通过以下公式计算：v × w = (bf - ce, cd - af, ae - bd)其中，bf - ce表示新向量v × w的x分量，cd - af表示y分量，ae - bd表示z分量。
外积操作后得到的向量垂直于原始两个向量，且符合右手法则。
这意味着如果将右手的四指从向量v转向向量w的方向，那么大拇指指向的方向就是新向量v×w的方向。
三、计算示例接下来，我们通过一个计算示例来说明内积和外积的计算过程。
假设有向量v=(1,2,3)和w=(4,5,6)。
内积外积及其计算公式
内积外积及其计算公式内积和外积都是向量运算中常见的概念，它们具有不同的定义和计算公式。
下面将分别介绍内积和外积及其计算公式。
一、内积（Dot Product）：内积是向量运算中最基本的运算之一，它将两个向量投影到彼此上。
内积也被称为点积、数量积或标量积。
1.定义：给定两个n维向量A=(A1,A2,⋯,AA)和A=(A1,A2,⋯,AA)，它们的内积定义为：A·A=A1A1+A2A2+⋯+AAAA2.计算公式：两个向量的内积计算公式可以写为：A·A = ，A，，A， cos A其中，A和A的模分别为，A，和，A，A是A和A之间的夹角。
3.特性：内积具有以下几个重要的特性：-交换律：A·A=A·A-分配律：A·(A+A)=A·A+A·A-数乘结合律：A(A·A)=(AA)·A=A·(AA)-长度关系：A·A=，A，^2内积在向量的投影、长度计算、角度计算等方面具有广泛的应用，如在几何学、物理学、工程等领域。
二、外积（Cross Product）：外积是三维向量运算中的一种运算，它将两个向量的法向量叉乘得到一个新的向量。
1.定义：给定两个三维向量A=(A1,A2,A3)和A=(A1,A2,A3)，它们的外积定义为：A×A=(A2A3−A3A2,A3A1−A1A3,A1A2−A2A1)2.计算公式：两个向量的外积计算公式可以写为：A×A， = ，A，，A， sin A其中，A和A的模分别为，A，和，A，A是A和A之间的夹角。
3.特性：外积的一些特性包括：-非交换律：A×A=−A×A-分配律：A×(A+A)=A×A+A×A-数乘结合律：A(A×A)=(AA)×A=A×(AA)-结果垂直于原向量：A×A与A、A垂直外积在确定平面、求取面积、求取法向量等方面具有广泛的应用，如在计算机图形学、力学、电磁学等领域。
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向量内积和外积的四元数教学法
摘要:利用四元数代数来解释内积和外积，并证明了关于内积外积的几个经典定理和等式，使学生更容易接受和理解这两个常见概念。
关键词:四元数代数内积外积
两个向量之间的内积和外积是高等代数和解析几何中必须要讲的内容，参见文献[1～3]。
内积在有的课本上也被称为点积，外积则常常被称为是叉积。
在教学中，我们发现学生很容易理解两个向量的内积。
这是因为内积定义为两个向量的对应坐标相乘再相加，得到的结果是一个实数，比较自然。
而两个向量的外积却不再是一个实数了，而是一个和这两个向量都垂直的向量.这样子进行教学，学生会觉得内积和外积差别很大，内积是数，而外积是向量，二者不具可比性。
而单纯从名字来看，“内”和“外”是对称的，是可对比的。
那么应该怎样去教学，才能让学生真正的理解内积和外积的这种“对称”呢？
我们发现利用四元数代数来讲解内积和外积是一种很好的教学法。
我们用R表示实数集合,C表示复数集合，H表示四元数集合。
由[2]可知任何一个四元数都可以写成α=d+ai+bj+ck的形式，其中a,b,c,d都是实数。
d叫做α的实部，ai+bj+ck叫做α的虚部。
α的共轭定义为d-ai-bj-ck。
则四元数集合H=R+Ri+Rj+Rk，H中的运算法则是哈密顿给出的
i2=j2=k2=ijk=-1。
从哈密顿的公式可以推出
ij=-ji=k,
jk=-kj=i,
ki=-ik=j。
三维空间中的一个向量都可以写成α=ai+bj+ck的形式，其中a,b,c 分别是x,y,z轴的坐标，I,j,I分别表示x,y,z轴。
我们定义两个向量α,β的内积为,
α·β=-(βα+αβ)/2
类似的，我们还可以定义两个向量的外积为，
α×β=-(βα-αβ)/2
根据定义易得α×β=-β×α
我们不难通过检查坐标的方式来验证上面关于内积和外积的定义和参考文献[1]中的一致。
通过这种方式来定义内积和外积，学生可以看出内积和外积的差别只不过是βα+αβ和βα-αβ，很容易接受，也很容易理解。
下面我们来看看怎样利用四元数来证明关于内积外积的一些经
典的定理，公式。
定理1:[拉格朗日公式]。
对任意的向量α,β,γ,有
α×(β×γ)=(α·γ)β-(α·β)γ
证明：注意到一个实数乘以一个向量，跟这个向量乘以这个实数是相等的,所以
右边=(β(α·γ)-γ(α·β)+(α·γ)β-(α·β)γ)/2
=-(βαγ+βγα-γαβ-γβα+αγβ+γαβ-αβγ-βαγ)/4
=-(βγα-γβα+αγβ-αβγ)/4
=(1/2)(α((1/2)(βγ-γβ))+((1/2)(βγ-γβ))α)
=左边,证毕。
这个公式在[1]中是通过分别比较等式两边的x,y,z轴的坐标来完成的。
我们这个证明的好处是不涉及坐标,非常简单。
定理2:[雅可比等式]。
α×(β×γ)+β×(γ×α)+γ×(α×β)=0
证明：这就是要证明(αβγ-αγβ-βγα+γβα)+(βγα-βαγ-γαβ+αγβ)+(γαβ-γβα-αβγ+βαγ)=0
这总共有十二项,三个向量的排列只有六种，再加上正负号，正好是十二项,所以两两抵消掉了，正好是零,证毕。
如果记[x,y]=xy-yx,则上面的雅可比等式就是
[α,[β,γ]]+[β,[γ,α]]+[γ,[α,β]]=0
这就和[4]中李代数中的雅可比等式从内容到形式完全一致了。
定理3:[混合积公式]。
α×β·γ=β×γ·α=γ×α·β
证明：验证是很容易的.我们这里只验证第一个等式。
-4(α×β·γ-β×γ·α)=αβγ-βαγ+γαβ-γβα-βγα+γβα-αβγ+αγβ
=-β(αγ+γα)+(αγ+γα)β
=0证毕
定理4:[拉格朗日恒等式]。
对任意的四个向量α,β,γ,δ,有
(α×β)·(γ×δ)=(α·γ)(β·δ)-(α·δ)(β·γ)
证明：
(α×β)·(γ×δ)=α·β×(γ×δ)(混合积公式)
=α·((β·δ)γ-(β·γ)δ)(拉格朗日公式)
=(α·γ)(β·δ)-(α·δ)(β·γ)证毕。
利用四元数来教内积和外积，最大的好处是可以让学生体会到内积和外积不是什么新的运算，而只不过是数的加减乘除的复合运算。
这和利用复数来讲解平面向量是完全一致的，学生不会觉得突兀。
参考文献
[1]丘维声.解析几何（第二版）[M].北京大学出版社,1996.
[2]代数学引论(第二版)[M].高等教育出版社,2000.
[3]北京大学数学系集合与代数教研室前代数小组.高等代数（第三版）[M].高等教育出版社，2003.
[4]James E.Humphreys.李代数和表示理论（第二版）[M].Springer-Verlag,1972.。