第7章 同步发电机的基本方程

虚构的电势 E Q
U jI x E Q q
I I I d q
E Q
的方向与q轴同方向
小 结
同步发电机各绕组的电压方程为一组变系数的微 分方程；磁链方程则为感应系数随角度变化的代 数方程。
U B 2U N I B 2I N
三相功率基准值为
S B 3U N I N 3 UB IB 3 UBIB 2 2 2
7.2.3
同步电机派克方程式的标么制
定子侧基准值
发电机阻抗、角速度、自感与互感、磁链以及时间的
基准值分别为：
ZB UB IB
B 2f N N LB M B Z B B B LB I B U B B tB 1 B
Eq xad i f
U d jI q xq U q Eq jI d xd
发电机端电压为
U U E jI x jI x U d q q d d q q
对于隐极机，由于 xd xq
Eq jxd I
7.3
同步电机的稳态运行
U Ud Uq Eq jId xd jIq xq Eq jxd (Id Iq )
0 rD 0
0 i f 0 i D iQ rQ

为交链到转子绕组的磁链
阻尼绕组为短路回路，u D 0 , uQ 0
各绕组的磁链方程：
a Laa M b ba c M ca f M fa D M Da Q M Qa
d dt
ra rb rc r
交链到每相绕组的磁链，由定子 电流和转子电流的合成磁势产生
7.1.2 电压方程及磁链方程
励磁绕组及直轴和交轴阻尼绕组电压平衡方程：
f r f u f D 0 u D u Q 0 Q
abc三相数学模型分析的困难
变系数微分方程 分析困难
7.2 d、q、0坐标系统的发电机 基本方程
7.2.1 派克变换及d、q、0坐标系统
7.2.2 d、q、0坐标系统的发电机基本方程
7.2.3 同步电机派克方程式的标么制
7.2.1 派克变换及d、q、0坐标系统
美国工程师派克（park）于1929年提出了一种坐

7.2.3
同步电机派克方程式的标么制
转子侧基准值
标么值形式的同步发电机的电压方程：
d q u d rS i d q d u q rS i q 0 u 0 rS io u f rf i f f D 0 rD i D Q 0 rQ iQ
a Laa b M ba c M ca f M fa M D Da Q M Qa
M ab Lbb M cb M fb M Db M Qb
M ac M bc Lcc M fc M Dc M Qc
5）定子与转子间的互感系数 定子与励磁绕组、直轴阻尼绕组间
900或＝2700时，互感为零； 00 时，互感为正最大 ＝ 1800 时，互感为负最大
定字与交轴阻尼绕组间 转子q轴超前d轴90º
凸极机和隐极机时定子绕组与转子绕组互感系数随转子旋转以 同步频率周期性变化
7.1.2 电压方程及磁链方程
L ff L f
LDD LD
LQQ LQ
4）转子各绕组间的互感系数 同上述原因，它们也都是常数，而且纵轴绕组 于横轴绕组相互垂直，它们的互感为零，即：
M fD M Df mr M fQ M Qf 0
M DQ M QD 0
转子各绕组的自感系数和互感系数均为常数
7.1.2 电压方程及磁链方程
结合相量图，对同步发电机的稳态运行进 行了分析。
7.1 同步发电的原始方程
7.1.1 前提条件 7.1.2 电压方程及磁链方程
7.1.1
理想同步发电机的假定
前提条件
电机铁芯部分的导磁系数为常数。
对直轴和交轴而言，电机转子的结构完全对称。
定子三相绕组结构完全相同，彼此互差 120度 电角度，在气隙中产生正弦分布的磁动势。 电机空载，转子恒旋转时，其磁通势在定子绕 组中感应的空载电势是时间的正弦函数。
1）定子绕组的自感系数
90或
0
0 ＝ 270 时，自感为最小值；
＝00 或
Laa
0 ＝ 180 时，自感为最大值； l0 l2 cos2
Lbb l0 l2 cos2( 1200 )
Lcc l0 l2 cos2( 1200 )
凸极机时定子绕组自感系数随转子旋转以二倍频周期性变化，
经过派克变换后，在d、q、0坐标系统中，发电机 的磁链方程组转化为线性代数方程组； 电压方程变为线性微分方程组，求解将大为简化。
7.2.3 同步电机派克方程式的标么制
定子侧基准值
发电机原始方程是针对三相电压、电流、磁链的瞬 时值列写的。 通常分别选取定子额定相电压、定子额定相电流的
幅值作为电压与电流瞬时值的基准值
式中： 关于ωt的周期函数
7.1.2 电压方程及磁链方程
M ab Lbb M cb M fb M Db M Qb
M ac M bc Lcc M fc M Dc M Qc
M af M bf M cf L ff M Df M Qf
M aD M bD M cD M fD LDD M QD
M aQ M bQ M cQ M fQ M DQ LQQ
-q轴
d轴 0
+q轴
•由于凸极电机为集中激磁
绕组，其磁动势分布为矩形 波，所以凸极机气隙长度不 能均匀，为此，气隙长度按 正弦规律变化，以保证气隙
2
α
磁通按正弦规律变化，进而
保证电枢绕组相电动势按正 弦规律变化
0
d
q
0 2 cos 2
•a、b、c 绕组相自感
＝600 或 ＝2400 时， 互感为最小值；
磁路 磁阻 最小
磁路 磁阻 最大
M ab [m0 m2 cos2( 300 )]
凸极机时定子绕组间的互感系数随转子旋转以二倍频周期性变化
3）转子绕组的自感系数
7.1.2 电压方程及磁链方程
转子上各绕组是随着转子一起转动的，无论是凸极机还是 隠极机，转子绕组的磁路中总是不变的，即转子各绕组的 自感系数为常数，令他们表示为：
Laa L0 L2 cos 2
•L0 傅里叶级数常数项 •L2 二次谐波幅值
Lbb L0 L2 cos 2( 120 ) Lcc L0 L2 cos 2( 120 )
Laa L0 L2 cos 2
凸极同步发电机双反应理论
Fa
Faq Fad
ia i b ic if iD iQ
常数 对角元素L为各绕组的自感系数， 非对角元素M为两绕组间的互感系数， M ab M ba , M af M fa 有等可逆关系。
对磁链方程的分析：
定子绕组的 自感 定子绕组间的互感
标变换的方法。 派克变换就是将a、b、c三相电流、电压及磁链经
过某种变换（变换的方法不唯一）转换成另外三组 量，即d轴、q轴、零轴分量，完成了从a、b、c坐 标系到d、q、0坐标系的变换。 采用abc坐标系统或dq0坐标系统表示的电量是交直 流互换的，因此为分析发电机运行带来了方便。
7.2.2 d、q、0坐标系统的发电机基本方程
maD 0 id 0 maQ iq 0 0 i0 mr 0 if LD 0 iD 0 LQ iQ
7.2.2
d、q、0坐标系统的发电机基本方程
电压方程的派克变换形式
d q u d rs i d q d u q rS i q o u o rS io f u f rf i f D 0 u D rD i D Q 0 u Q rQ iQ
转子绕组的 自感
定转子绕组间的互感
转子绕组间的互感
7.1.2 电压方程及磁链方程
各绕组的磁链方程：
绕组的自感系数以及绕组间的互感系数，大部分是随角度的
变化而周期性变化，求解发电机的运行状态十分不便。
7.1.2 电压方程及磁链方程
绕组的自感、互感系数
a相绕组磁路磁阻（磁导）的变化与转子d轴与a相绕组轴线的夹 角 有关 —— a 相轴线与直轴 d 轴的夹角
M af M bf M cf L ff M Df M Qf
M aD M aD M cD M fD LDD M QD
M aQ ia M bQ ib M cQ ic M fQ i f M DQ iD LQQ iQ
假设定子与转子具用光滑的表面，其槽与通风 沟等不影响定子及转子的电感。
t x
7.1.1 前 提 条 件
正方向的选取：
定子电流的正方向取为由发电机侧指向负荷侧
励磁绕组
阻 尼 绕 组
同步发电机各绕组电路图
7.1.2
电压方程及磁链方程
三相定子绕组电压平衡方程
a r 0 0 ia u a u 0 r 0 i b b b c u c 0 0 r i c
磁链方程的派克变换形式
d Ld 0 q 0 0 3 f 2 maf D 3 2 maD Q 0