甘肃岷县第一中学2021届高三第一次模拟考试数学试卷 含答案

∴A
0，6 5 5
，B
－3 5，0 5
，C
3 5，0 5
，∴A→B＝
－3 5，－6 5
5
5
，A→C＝
3 5，－6 5
5
5
，
B→C＝
6 5，0 5
n]上的值域为[k(m＋2)－2，k(n＋2)－2]，求实数 k 的取值范围．
数学答案
-4-
1．B [命题立意]本题考查集合的交集、并集运算．
[解析]∵A＝{1，2，6}，B＝{2，4}，∴A∪B＝{1，2，4，6}，又∵C＝{x|－1≤x≤5}，
∴(A∪B)∩C＝{1，2，4}，故选 B.
2．A [命题立意]本题考查不等式解法、充分、必要条件的判断．
的值域为[－2，6]，∵g(x)＝x2－2x，∴2g(a)＝2a2－4a，∵存在实数 m，使 f(m)－2g(a)＝0， ∴－2≤2a2－4a≤6，解得－1≤a≤3，故选 C.
10. 5 [命题立意]本题考查复数的除法运算、复数的模．
| | 3－i
[解析]∵(1＋i)z＝3－i，∴z＝3－i，∴|z|＝ 1＋i ＝|3－i|＝ 10＝ 5.
5
C25 10
X
0
1
2
P
3 10
3 5
1 10
，∴E(X)＝0× 3 ＋1×3＋2× 1 ＝4. 10 5 10 5
14．8 5 [命题立意]本题考查基本不等式． 4
[解析]∵a>0，b>0，∴a＋4b≥4 ab，当且仅当 a＝4b 时等号成立，∴(a＋4b)2＋ 1 ≥16ab ab
a＝4b，
a＝1，
|x＋1|，－7≤x≤0，
9．已知函数 f(x)＝
g(x)＝x2－2x，设 a 为实数，若存在实数 m，使
lnx，e－2≤x<e，
f(m)－2g(a)＝0，则实数 a 的取值范围为( )
A．[－1，＋∞) B．(－∞，－1]∪[3，＋∞)
C．[－1，3] D．(－∞，3]
第Ⅱ卷 非选择题(共 105 分)
20．(本小题满分 16 分)已知函数 f(x)＝－1ax2＋(1＋a)x－lnx(a∈R)． 2
(1)当 a＝0 时，求函数 f(x)的最小值；
(2)当 a>0 时，求函数 f(x)的单调区间；
1，＋∞
(3)当 a＝0 时，设函数 g(x)＝xf(x)，若存在区间[m，n] 2
，使得函数 g(x)在[m，
且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为( )
A．2 5 B．2 3 C．4 3 D．4 5
8．已知函数 f(x)＝cosx－|sinx|，那么下列说法错误的是( )
A．f(x)是偶函数 B．f(x)在[－π，0]上恰有一个零点
C．f(x)是周期函数 D．f(x)在[－π，0]上是增函数
广告费用 x(万元)
1245
销售额 y(万元)
10 26 35 49
根据上表可得回归方程 y^＝b^·x＋a^的 b^约等于 9，据此模型预报广告费用为 6 万元时，
销售额约为( )
A．54 万元 B．55 万元
C．56 万元 D．57 万元
5．设
a＝sinπ，b＝log23，c＝
1 4
2
3，则(
)
5．C [命题立意]本题考查比较大小．
[解析]∵a＝sinπ＝1，b＝log23>1，c＝
1 4
2
3<
1 4
12＝1，∴c<a<b.故选
C.
62
2
6．B [命题立意]本题考查函数的图象与性质． [解析]定义域为{x|x≠0}，∵f(－x)＝e－x－ex＝－f(x)，
（－x）2 ∴f(x)为奇函数，图象关于原点对称，排除 A；当 x>0 时，f(x)>0，排除 D；当 x→＋∞时， f(x)→＋∞，排除 C，故选 B. 7．A [命题立意]本题考查双曲线、抛物线的几何性质．
[解析]由|a－1|≤1 得 0≤a≤2，由－a2＋3a≥0 得 0≤a≤3， ∵[0，2][0，3]，∴“|a－1|≤1”是“－a2＋3a≥0”的充分非必要条件，故选 A.
3．C [命题立意]本题考查直线与直线、直线与圆的位置关系．
[解析]∵(2－1)2＋22＝5，∴点 P(2，2)在圆(x－1)2＋y2＝5 上，又∵圆心 C(1，0)，∴kPC
＝2－0＝2，又∵切线与直线 ax－y＋1＝0 垂直，∴a＝2.故选 C. 2－1
4．D [命题立意]本题考查回归方程．
[解析]x＝1＋2＋4＋5＝3，y＝10＋26＋35＋49＝30.
4
4
∵回归方程 y^＝9x＋a^过(x，y)，∴a^＝3，即回归方程为 y^＝9x＋3，当 x＝6 时，代入
可得 y^＝57，故选 D.
18．(本小题满分 15 分)已知点 A(1， 2)是离心率为 2的椭圆 C：x2＋y2＝1(a>b>0)上的
2
b2 a2
一点．斜率为 2的直线 BD 交椭圆 C 于 B、D 两点，且 A、B、D 三点不重合．
(1)求椭圆 C 的方程；
(2)求证：直线 AB、AD 的斜率之和为定值；
(3)△ABD 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由？
一、选择题(本大题共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．)
1．设集合 A＝{1，2，6}，B＝{2，4}，C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则(A∪B)∩C＝( )
A．{2} B．{1，2，4}
C．{1，2，4，6} D．{x∈R|－1≤x≤5}
6
A．a<c<b B．b<a<c C．c<a<b D．c<b<a 6．著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好， 隔裂分家万事休”．如函数 f(x)＝ex－e－x的图象大致是( )
x2
-1-
7．已知双曲线x2－y2＝1(a>0，b>0)的左顶点与抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点的距离为 4， a2 b2
-6-
－a，2 9－a2
则 B(－a，0)，C(a，0)，A(0， 9－a2)，D 3
3，
－2a， 9－a2
a，2 9－a2
2a， 9－a2
E3
3 ，M 3
3 ，N 3
3，
∴D→N＝ a，－
9－a2 3
，M→E＝
－a，－
9－a2 3 ，又∵D→N·M→E＝－1，∴－a2＋9－a2＝－
9
1，解得 a＝3 5， 5
二、填空题(本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．把答案填在相应的横线上．)
10．设复数 z 满足(1＋i)z＝3－i(i 为虚数单位)，则|z|＝________．
1
11．二项式
2x－3
x
8
的展开式中，常数项为________．(用数字作答)
12．在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，若四边形 AA1C1C 是边长为 4 的正方形，且 AB＝3， BC＝5，M 是 AA1 的中点，则三棱锥 A1－MBC1 的体积为________．
＝VC1－A1MB＝1×S△A1MB×A1C1＝4. 3
13.3 4 [命题立意]本题考查古典概型、离散型随机变量的分布列、数学期望． 55
[解析]恰有一个黑球的概率 P＝C12C13＝3，X 的可能取值为 0，1，2，P(X＝0)＝C23＝ 3 ，
C25 5
C25 10
P(X＝1)＝3，P(X＝2)＝C22＝ 1 ，∴X 的分布列为
x＋π
－π，－3π
－3π，0
x∈[－π，0]时 f(x)＝cosx＋sinx＝ 2sin 4 ，在
4 上单调递减，在 4
上单调递增，只有一个零点 x＝－π，故 B 正确，D 错误；∵f(x＋2π)＝cos(x＋2π)－|sin(x 4
＋2π)|＝cosx－|sinx|＝f(x)， ∴f(x)是周期函数，C 正确．故选 D. 9．C [命题立意]本题考查分段函数、函数值域、存在性问题求参数取值范围． [解析]当－7≤x≤0 时，f(x)＝|x＋1|∈[0，6]．当 e－2≤x<e 时，f(x)＝lnx∈[－2，1)，∴f(x)
数学试卷
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟． 第Ⅰ卷 选择题(共 45 分)
参考公式： ·如果事件 A，B 互斥，那么 P(A∪B)＝P(A)＋P(B) ·如果事件 A，B 相互独立，那么 P(AB)＝P(A)P(B) ·柱体的体积公式 V＝Sh.其中 S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高． ·锥体的体积公式 V＝1Sh.其中 S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高． 3
且D→N·M→E＝－1，则 tanA＝________，A→B·B→C＝________．
三、解答题(本大题共 5 小题，共 75 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)
16．(本小题满分 14 分)已知函数 f(x)＝ 3sin2x－cos2x－1.
2
2
(1)求 f(x)的最小值，并写出取得最小值时的自变量 x 的集合；
2．设 a∈R，则“|a－1|≤1”是“－a2＋3a≥0”的( )
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
3．已知过点 P(2，2)的直线与圆(x－1)2＋y2＝5 相切，且与直线 ax－y＋1＝0 垂直，则 a
等于( )
A．－1 B．1 C．2 D.1
2
2