2_湍流基础 很好的解析
2 湍流基础
11:07
2.1.2 湍流的统计平均方法
14
C. 概率平均法 系综平均法 概率平均法(系综平均法 系综平均法)
时均法只适用于定常湍流，而体均法只适用于均匀湍流。 时均法只适用于定常湍流，而体均法只适用于均匀湍流。 对于一般的非定常、非均匀湍流， 对于一般的非定常、非均匀湍流，可以采用随机变量的 一般平均法， 概率平均法。 一般平均法，即概率平均法。
1 A= T
t0 +T
∫
t0
AT A dt = =A T
②脉动值的平均值等于零： 脉动值的平均值等于零：
A′ = A − A = A − A = 0
③脉动值乘以常数的平均值等于零： 脉动值乘以常数的平均值等于零：
cA′ = c A′ = 0
④脉动值与任一平均值乘积的平均值等于零： 脉动值与任一平均值乘积的平均值等于零：
C. 对湍流的归纳性解释： 对湍流的归纳性解释：
湍流是一种浑沌的、不规则的流动状态， 湍流是一种浑沌的、不规则的流动状态，其流动 参数随时间与空间作随机的变化， 参数随时间与空间作随机的变化，因此本质上是 三维非定常流动， 三维非定常流动，且流动空间分布着无数形状与 大小各不相同的旋涡。可以说， 大小各不相同的旋涡。可以说，湍流是随机的三 维非定常有旋流动。 维非定常有旋流动。
Navier-Stokes方程 方程
∂u ∇p + u ⋅ ∇u = f − + ν∇ 2 u ρ ∂t
∇⋅ u = 0
∂u ∇p + ∇ ⋅ ( uu ) = f − + ν∇ 2 u ρ ∂t
1 ∂p ∂ui ∂ul ui ∂ 2 ui + = fi − +ν ρ ∂x i ∂t ∂x l ∂x l ∂x l
大气湍流基础汇总
• （7）流动特性。湍流不是流体的物理属性，而是流动的运 动性质，所以不同的流体其湍流特征往往也不一样，例如 边界层湍流与尾迹湍流，正因为如此（湍流依赖于外部条 件，如边界条件），所以工程上很难对湍流进行统一的模 式处理，但是湍流的一些本质特征是普适的，寻找这些普 遍规律正是湍流理论研究的中心任务；
• 适用条件: 湍强不太大 均匀湍流 平稳湍流
大气边界层湍流风速时间序列(一)
大气边界层湍流风速时间序列(二)
湍流是随机的，复杂的 但可以通过统计的方法 来研究
• 大气边界层内的湍流总是包括很多大小不 同、相互叠加的湍涡，这些不同尺度湍涡 的相对强度定义为湍流谱。
• 最大的边界层湍涡接近边界层的厚度（100 －3000km），最小湍涡尺度只有几毫米， 由于分子粘性的耗散作用，其Βιβλιοθήκη 度非常微 弱。小湍涡以大湍涡为能源。
大气湍流基础
王成刚 大气物理系
平流层 对流层 边界层
~ 10 km 1~2 km
什么是湍流？——湍流现象
达芬奇描绘的湍流
火山爆发
杂乱、随机、无序
什么是湍流——湍流的定义
• Von.Karman和I.G Taylor对湍流的定义：湍流是流体和气 体中出现的一种无规则流动现象，当流体流过固体边界或 相固流体相互流过时会产生湍流。
湍流的主要特征（三）
• （8）记忆特性（相关性）。湍流运动在不同的时刻或空间不同 点上并不是独立的，而是有相互关联，但这种关联随着时间间隔 或空间距离的增大而变小，最后趋近于零；
• （9）间歇性。内间歇：充分发展的湍流场中某些物理量（特别 是高阶统计量）并不是在空间（或时间）的没一点上都存在的， 即有奇异性。外间歇：指湍流区与非湍流区边界的时空不确定性， 例如积云与蓝天之间的界面。间歇现象是近代湍流研究的重大发 现之一，目前是湍流理论研究的前沿课题;
大气吸收与湍流基础的总结
一、激光大气衰减基础：激光大气衰减包括大气气体分子对激光的吸收和散射、气溶胶粒子的吸收和散射，激光信号通过均匀大大气介质之后，其电磁辐射强度满足:比尔-郎伯-布格定律：;:为波数，I()为信号传输l距离之后的电磁辐射强度，代表消光系数，为进入介质前的光辐射能量。
透过率函数：;其中，也被称作光学厚度，是一种无量纲的物理量；其中，既包括了大气分子的吸收（）和散射()系数，也包括了气溶胶的吸收和散射()系数：在实际的大气信道中，随着高度(z)的变化（假设大气具有分层均匀特性），即可以表示为，,当信号光以天顶角入射到大气介质中时，光学厚度可以表示为：（，）其中，其他的消光系数表如附图所示：大气分子吸收效应的从测量：二、大气光学湍流：1、大气湍流模型的描述：均匀各向同性湍流、非均匀各向同性湍流均匀各向同性湍流(是一种理想化的大气湍流模型，在复杂地形区和高空，对流层以上的区域，满足该理论条件的大气湍流区域有限，特别是近年来对大气湍流间歇性现象的发现，更证明了Kolmogorov模型应用的局限性。
目前工程中常需要借助大量的实验观测数据对该模型进行修正。
)查理森级串模型：湍流可以视作由气体流动形成的差别较大的涡旋，大涡旋不稳定，其从外界获取能量后，通过分裂等一系列复杂的运动将能量传递给次级涡旋，最后再最小的涡旋中通过气体黏性损耗。
在一定的区域内，涡旋级串达到某种平衡状态，形成局部均匀各向同性湍流，具有普适性的统计规律。
为了确定气体湍流的统计规律，基于不同的假设条件，提出了许多统计模型，其中使用最广泛的为柯尔莫哥洛夫(Kolmogorov ）模型： 柯尔莫哥洛夫(Kolmogorov ）模型：模型假设：（1） 当雷诺数足够大时，存在具有各向同性结构的高波数区，在该区里，气体运动的统计特征只决定于流体的黏性系数 和能量耗散率 。
（雷诺数：雷诺数的定义为：L 为气体运动的尺度，v 为流体速度， 为分子）基于上述假设，建立起了湍流长度( 、 )、速度、时间的尺度，其中， 、 分别为湍流的内尺度和外尺度；;（2） 当雷诺数足够大时，扰动统计特征只依赖于扰动能量的耗散率 ，此惯性区域的尺度 满足:柯尔莫哥洛夫(Kolmogorov ）模型的特征参数：随机场的空间统计特性通常用结构函数等相关函数关系描述，包括风速结构率函数、折射率结构函数等，由于在湍流效应的研究中，主要考虑大气折射率起伏对光传输的影响，故又称为大气光湍流。
湍流的理论与分析
湍流的理论与分析湍流是一种复杂的流动形式，并且广泛存在于自然界和工程实践中。
对湍流的理论研究和分析不仅有助于深入理解流体现象，还可以为湍流控制和能源利用等方面提供支持。
本文将从湍流的定义、产生机理、湍流统计理论和湍流模拟等方面进行探讨。
一、湍流的定义湍流是指一种相对瞬态的流体运动状态，其中流体的速度和方向发生剧烈变化，造成流体的混合和扰动，呈现出随机不规则的涡动结构。
与层流（稳态流动）相比，湍流的运动特征更加复杂，无法用简单的数学公式描述。
湍流的主要特征为不规则、随机、涡动等。
二、湍流的产生机理湍流的产生机理复杂，其中包括传统的机械湍流、自然湍流、边界层失稳等多种因素。
机械湍流是由于固体物体运动时与周围介质相互作用产生的湍流现象，如风力机翼片和涡轮机叶片的湍流。
自然湍流是由于自然界中各种复杂流动引起的，如河流、海洋和大气的运动等。
边界层失稳是当涡旋从高速的流动区进入低速的流动区时产生的，例如水流从管道进入膨胀段时发生的湍流现象。
三、湍流统计理论湍流统计理论是对湍流运动规律的理论分析，是研究湍流基本性质和湍流现象的一种方法。
湍流统计理论中有两个重要的概念，一个是湍流的集成时间，另一个是湍流脉动，这两个概念分别给出了湍流时间与空间扰动中的统计特征。
其中湍流的集成时间是指机械能向湍流能转化和湍流能转化为机械能时所需的时间因子，而脉动是指在一个给定点的流动路径上，流体参数波动的相对不稳定性。
四、湍流模拟湍流模拟是一种基于数值计算的湍流研究方法，主要有两种方式：直接数值模拟（DNS）和大涡模拟（LES）。
直接数值模拟是对湍流运动的一种高精度的数值计算方法，它通过离散化流动中的微小物理尺度，运用数值方法以求解流场运动方程，得到高精度的湍流场数据。
但DNS需要的计算量庞大，计算成本高昂。
大涡模拟是在保留湍流中大尺度涡旋信息的同时，模拟和模拟所得的速度与涡旋脉动能谱于实验结果的吻合程度。
而LES所需要的计算量较之DNS低，同时保留的流场尺度也比DNS更大，能够得到更加直观的湍流现象展示。
第七章 湍流理论基础
第七章湍流理论基础认识湍流——雷诺实验湍流具有——随机性、非线性性123(,,,)i i u u x x x t =湍流是三维空间中的不规则非定常流动。
学习湍流——预测、控制•各项物理意义如下：各项物义如下（1）总动能的当地变化率，由湍流流动的不恒定性而引起。
恒定性而引起（2）总动能的迁移变化率，由时均流场的空间不均匀性引起。
（3）时均总势能的迁移变化率，反映时均场）时均总势能的迁移变化率反映时均场的空间不均匀性。
（4）由脉动场的空间不均匀引起的脉动压能和脉动动能的迁移变化率和脉动动能的迁移变化率。
（5）时均粘性应力与时均流速的乘积，为粘性应力作功的功率（6）湍流切应力对时均流场作功的功率。
（7）脉动粘性应力对脉动流场作功的功率。
（8）时均流动耗散项，即粘性应力所作的变）时均流动耗散项即粘性应力所作的变形功。
（9）脉动流动耗散项，即脉动粘性应力对脉动流场的变形速率所作的脉动变形功。
动流场的变形速率所作的脉动变形功各项物理意义：（1）单位体积流体所具时均动能的当地变化率（2）单位体积流体所具时均动能的迁移变化率（3）压差与重力对流体作功的功率，单位体积流体所具时均势能的迁移变化率（4）时均粘性应力作功而传递能量的扩散项（5）单位体积流体的耗散项，时均粘性应力所做的变形功（6）雷诺应力作功的扩散项）雷诺应力对时均流场所作的变形功脉动（7）雷诺应力对时均流场所作的变形功，脉动能量的产生项，对时均流是能量的损失。
各项物理意义：（1）单位体积流体所具脉动动能的当地变化率。
（2）单位体积流体所具脉动动能的迁移变化率。
（3）由脉动场的空间不均匀引起的脉动压能和脉动动能的迁移变化率。
（4）脉动粘性应力对脉动流场作功的功率。
）脉动粘性应力对脉动流场作功的功率（5）脉动流动耗散项，即脉动粘性应力对脉动流场的变形速率所作的脉动变形功。
的变速率所作的脉动变功（6）脉动动能产生项。
§7-3 湍流流动的基本性质73湍流能量的输运性和耗散性以及湍流的有旋性是湍流的重要特性一、湍流能量的输运性分子的动能输运率表现为宏观的粘性，分子的分子的动能输运率表现为宏观的粘性分子的内能输运率表现为热传导。
湍流基础知识
1 u ui pudu N i 1
雷诺平均方程
RANS 方程和封闭问题 N-S方程：
u i 0 xi
ui ui 2ui 1 p uj fi t x j xi x j x j
物理量的瞬态值定义为系综平均值与脉动值之和
ui x, t ui
3.5×106
雷诺平均方程
雷诺平均 考虑到湍流的随机性， 1895 年 Reynolds 首 次将瞬时湍流看作为时均运动（描述流动的平 均趋势）+脉动运动（偏离时均运动的程度）。 以后逐渐提出空间分解和统计分解等方法。
（1）时间分解法（Reynolds的时均值概念)
如果湍流运动是一个平稳的随机过程，则在 湍流场中任一点的瞬时速度 u可分解为时均速度 ＋脉动速度。 u u u
T T
雷诺平均方程
平稳随机过程
非平稳随机过程
雷诺平均方程Biblioteka （2）空间分解法（空间平均法） 如果湍流场是具有空间均匀性的随机场， 则可采用空间平均法对湍流的瞬时量进行空间 分解。即 1 u udx L （3）系综平均法（概率意义上的分解） 如果湍流运动既不是时间平稳的、也不是空 间均匀的，那么我们可在概率意义上对湍流的 瞬时运动进行分解。即
湍流基本特征
雷诺数的影响
Re < 5 5-15 < Re < 40 40 < Re < 150 150 < Re < 3×105 3×105 < Re < 3.5×106
蠕动层流
层流尾迹中具有一对 稳定的涡 层流涡街 层流分离，湍流尾迹 边界层转捩后流动分 离 湍流涡街，但是分离 比层流窄
Re >
第9章湍流基础
第9章湍流基础透平叶栅中的流动是一种性质极为复杂的流动，由于在现代透平中流动的雷诺数很高，同时透平转子对流动的强烈影响，都使得流道中的实际流动呈现湍流状态]1[。
如果仍然采用层流模型进行数值研究，结果与真实值间的差距就会加大。
此外，湍流其本身也是一个很复杂的问题，一方面它是流体力学领域中尚未解决的问题之一；另一方面，在求解湍流模型的过程中还会产生很多数学上的问题]2[。
如此一来，叶栅流道内的三维湍流的数值计算就吸引了众多的学者和工程技术人员。
9.1 湍流的基本概念9.1.1 湍流的概念和基本结构自然界中的流动问题和工程实践中所处理的各种流体运动问题更多的是湍流流动问题。
如水在江河中的流动水通过各种水工建筑物、水处理建筑物的流动，管道中水的流动，污染物质在河流及海洋中的扩散，大气边界层流动等均多为湍流。
湍流是不同于层流的又一种流动形态。
英国的雷诺于1883年，通过其著名的圆管实验深入的揭示了这两种不同的粘性流动形态]3[。
虽然一百多年来人们对湍流的研究不断深入，但是由于湍流运动的极端复杂性，它的基本机理至今仍未被人们所掌握，甚至至今仍然没有一个精确的定义。
雷诺（Osborne Reynolds,1842年—1912年）把湍流定义为一种蜿蜒曲折、起伏不定的流动（sinuous motion）。
泰勒（G．I．Taylor 1886年—1975年）和冯·卡门对湍流的定义是“湍流是常在流体流过固体表面或者相同流体分层流动中出现的一种不规则的流动”。
欣策（J．O．Hinze ）在他的著作“Turbulence”一书中则认为湍流的更为确切的定义应该是“湍流是流体运动的一种不规则的情形。
在湍流中各种流动的物理量随时间和空间坐标而呈现出随机的变化，因而具有明确的统计平均值”。
同时，在这本书中还把泰勒和卡门对湍流所下定义中提到的两种流动状况给予专门名称：“壁面湍流”表示流过固体壁面的湍流，“自由湍流”表示流动中没有固体壁面限制的湍流流动。
湍流的理论与实验研究
湍流的理论与实验研究湍流的理论与实验研究湍流是流体力学界公认的难题，被认为是经典物理学中最后一个未被解决的问题。
自然界和工程领域的绝大多数流动都是湍流，因此湍流研究具有重大意义。
近年来，随着实验测量技术和数值模拟能力的不断增强，学术界对高雷诺数和高马赫数湍流有了许多新的认识。
我国科学界也结合国家重大战略需求和学科发展前沿，分析国际上湍流研究的特点、现状和发展趋势，希望对湍流产生机制和流动本质进行深入研讨，加强与航空、航天、航海等相关单位和部门间的沟通与联系，推动湍流研究的发展。
针对国内学科发展现状，尤其是实验研究相对薄弱的特点，国家自然科学基金委员会数理科学部、工程与材料科学部和政策局，于2014年3月20-21日在北京联合举办了第110期双清论坛，论坛主题为“湍流的理论与实验研究”。
来自全国15个单位的近50位流体力学与工程领域的专家学者应邀出席。
与会专家通过充分而深入的研讨，凝练了该领域的重大关键科学问题，探讨了前沿研究方向和科学基金资助战略。
本期特刊登此次论坛学术综述。
一、湍流研究的重要意义自1883年雷诺（Reynolds）发现湍流以来，湍流问题的研究一直困扰着众多学者。
著名物理学家费曼曾说，湍流是经典物理学中最后一个未被解决的难题；2005年《科学》杂志在其创刊125周年公布的125个最具挑战性的科学问题中，其中至少两个问题与湍流相关。
在我们日常生活中，湍流无处不在。
自然界和工程应用中遇到的流动，绝大部分是复杂的湍流问题。
在自然界，从宇宙星系的时空演化，到星球内部的翻滚流动，从大气环流的全球运动，到江河湖泊的区域流动，都有湍流的身影。
在工程领域，从陆地、海洋、空天等交通运载工具，到原子弹、氢弹、导弹、战斗机、舰船等国防武器的设计；从全球气象气候的预报，到地区水利工程的设计；从传统行业如叶轮机械、房桥建筑、油气管道，到新兴行业如能源化工、医疗器械、纳米器件的设计，都需要了解和利用湍流。
因此，湍流流动的研究不仅仅是一个学科发展的问题，更具有重要的工程应用价值。
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18:08 2.1.3 平均值与脉动值的性质 19
2.2 湍流的基本方程
仅限于分析不可压缩流体湍流，主要内容：
㈠湍流的连续性方程
㈡湍流时均动量方程(Reynolds方程) ㈢湍流Reynolds应力输运方程 ㈣湍流脉动动能方程(k方程) ㈤湍流能量耗散率方程(方程) ㈥湍流基本方程组的封闭性问题 ㈦湍流的半经验理论
⑴时间平均法
⑵整体平均法
⑶概率平均法
18:08
2.1 湍流的基本概念
12
A. 时间平均法(时均法)
(t )
1 A ( x , y, z ) lim T T
t 0 T
t0
A( x , y, z , t )dt
(t )
A ( x , y , z ) ——随机量的时间平均值。
A( x, y, z , t ) ——任一时刻的试验测量结果，t0可任取，
G. I. Taylor和T. von Ká rmá n：“湍流是常在流 体流过固体表面或者相同流体的分层流动中出 现的一种不规则的流动”。 J. O. Hinze：“湍流是流体运动的一种不规则 的情况。在湍流中各种流动的物理量随时间和 空间坐标而呈现随机的变化，因而具有明确的 统计平均值”。
2.1 湍流的基本概念 8
18:08
20世纪60年代以来：随着湍流试验技术的进步， 使人们对湍流现象有了进一步的认识。尤其湍 流中大涡拟序结构的发现改变了对湍流的某些 传统看法。
近十多年来：混沌理论(chaos theory)已成为非 线性科学的主要研究对象，应用混沌理论研究 湍流问题也许会给湍流研究带来更多的希望。
即一次试验中，从任何时刻开始进行平 均都不影响时间平均值的大小。 T —— 平均周期，理论上应趋于无穷大，实际上只需取 足够长的有限时间间隔。 上式为描述对时均值而言的统计定常湍流运动，按照随 机性的性质，其时间平均值与t0和T的选择无关。
18:08 2.1.2 湍流的统计平均方法 13
B. 整体平均法(体均法)
18:08 2.2.2 湍流时均动量方程(Reynolds方程)
的物理意义 u iuj
——由于湍流脉动引起的单位面积上的动量输运率。
平面流动脉动流速示意图
18:08
2.2.2 湍流时均动量方程(Reynolds方程)
25
以图示二维流动为例，
u1 u1 ( x2 ), u2 u3 0, du1 / dx2 0
ui ui 2 ui 1 p ul t xl xi xl xl
不可压缩流体湍流时均Navier-Stokes方程为
ui ui 2 ui u 1 p l ui ul t xl xi xl xl xl
上述两方程相减，得
2 u u u u u u 1 p i i i i i l ui ul u u l l t xl xl xl xi xl xl xl
18:08 2.2 湍流的基本方程 27
2 u u u u u u 1 p i i i i i l ui ul u u l l t xl x l x l xi x l x l x l
③湍流场中任意两个相邻空间点上的运动参数有某种程度 的相关或关联，如速度的关联、速度与压强的关联等等。 边界条件不同的湍流具有不同的关联特征 。
18:08
2.1.1 湍流的基本特征
11
2.1.2 湍流的统计平均方法
准确描述湍流运动随时间和空间的变化是不现实 的，故Reynolds首先转而研究湍流的平均运动。 统计平均方法是处理湍流运动的基本方法，主要 包括：
管口出流——湍流
18:08 2 湍流基础 4
18:08
2 湍流基础
5
18:08
2 湍流基础
6
2.1 湍流的基本概念
2.1.1 湍流的基本特征 2.1.2 湍流的统计平均方法
2.1.3 平均值与脉动值的性质
18:08
2 湍流基础
7
2.1.1 湍流的基本特征
A. 科学家对湍流现象的描述：
O. Reynolds：一种蜿蜒曲折、起伏不定的流动。 (1883年著名的圆管试验)
表示，且为对称张量。不可压缩湍流平均动量方程可写成
ui ul ui 1 pli p li fi t xl xl xl
其中
u j ui 1 ij 2 xi x j
24
pij p ij 2 ij , p ij ui u j ,
l处流体微团受到 u 的作用而向上运动到一个新位置时, 2 0 其原平均速度 u1l u1 , 使得新位置处x1方向的速度出现负
0 ，反之亦然。可见，u1 与 u 扰动，即 u1 2 的值总是符号
相反。该图中Reynolds切应力 u i u j作用的结果总是使流
k 1
N (k )
A ( x , y, z , t ) ——随机量的概率平均值。
(k )
A( x , y , z , t ) —— 为第k次试验的分布函数。
N —— 重复试验的次数。实际上N是无法做到的， 可以取足够多次的试验测量结果进行平均。
18:08
2.1.2 湍流的统计平均方法
15
上述三种平均方法在物理概念上是有区别的，但根据随机 理论中的各态遍历假设可知，一个随机变量在重复多次的 试验中出现的所有可能值，能够在相当长时间内(或相当 大的空间范围内)的一次试验中出现许多次，并具有相同 的概率，亦即假设上述三种平均值是相同的：
2.1.1 湍流的基本特征 10
C. 对湍流的归纳性解释：
18:08
D. 湍流的最基本的特征——随机性：
①湍流的流体质点的运动类似于分子运动，在时间与空间 上具有完全不规则的瞬息万变的运动特征。
②湍流的运动参数虽是随机量，但在一定程度上符合概率 规律，具有某种规律的统计平均特征。由于湍流场中存 在着拟序结构，它们都以大尺度旋涡运动为特征，因此 湍流也服从自然界中最基本的物理定律。
(t )
A A AA
(V )
( p)
18:08
2.1.2 湍流的统计平均方法
16
2.1.3 平均值与脉动值的性质
最常用的描述湍流的近似方法是平均值方法，即将湍流的 任意参数A的瞬时随机值分解为平均量Ā与脉动量A′之和： A=Ā+A′ 为了今后对湍流运动微分方程进行平均化处理，须了解平 均值与脉动值的性质，这将用到Reynolds平均法则：
18:08
2.1.2 湍流的统计平均方法
14
C. 概率平均法(系综平均法)
时均法只适用于定常湍流，而体均法只适用于均匀湍流。 对于一般的非定常、非均匀湍流，可以采用随机变量的 一般平均法，即概率平均法。
( p)
( p)
1 A ( x, y, z , t ) lim N N
A( x , y , z , t )
18:08 2 湍流基础 20
2.2.1 湍流连续性方程
u 0
或
ui 0 xi
取平均值
ui 0 xi
（ui ui） 0 xi
u i 0 xi
18:08 2.2 湍流的基本方程 21
2.2.2 湍流时均动量方程(Reynolds方程)
Navier-Stokes方程
③脉动值乘以常数的平均值等于零：
cA c A 0
④脉动值与任一平均值乘积的平均值等于零：
AB AB 0
18:08 2.1.3 平均值与脉动值的性质 18
⑤瞬时值对时间或空间坐标的各阶偏导数的平均值等于平 均值的各阶导数：
A A A A m n A m n A , , m n m n t t xi xi t xi t xi
不可压缩湍流平均动量方程(亦称Reynolds方程)成为
ui ul ui 2 ui u 1 p l ui fi t xl xi xl xl xl
u 通常称 u i j 为Reynolds应力(二阶张量)。用 P e i e j pij
u p 2 u u f u t u 0 p u 2 ( uu) f u t
ui ul ui 2 ui 1 p fi t xl xi xl xl
例如：
A 1 lim t N N A 1 N (k ) 1 lim A lim N N N t k 1 t N k 1 t
N (k )
A A t k 1
N (k )
由上述可知，脉动值对时间或空间坐标的各阶偏导数的 平均值等于零：
A B A B cA cA AB AB lim A limA
其中A和B为任意函数，c为常数。
18:08 2.1 湍流的基本概念 17
平均值与脉动值有下列性质：
①平均值的平均仍为该平均值：
1 A T AT A dt A T
t0 T
t0
②脉动值的平均值等于零：
A A A A A 0
18:08
2.1.1 湍流的基本特征
9
B. 湍流研究的基本现状：
100多年来，人类对湍流的研究取得了不少进展 并解决了不少工程问题。但由于湍流运动的极端 复杂性，其基本的流动机理至今未被人类所掌握， 甚至对于湍流至今缺乏一个严格的定义。 湍流是一种浑沌的、不规则的流动状态，其流动 参数随时间与空间作随机的变化，因此本质上是 三维非定常流动，且流动空间分布着无数形状与 大小各不相同的旋涡。可以说，湍流是随机的三 维非定常有旋流动。