实数与向量的积
实数和向量的积
实数和向量的积【基础知识精讲】1.实数与向量的积的定义实数λ与向量a 的积是一个向量，记λa ，它的长度与方向规定如下：(1)｜λ｜=｜λ｜·｜｜;(2)当λ＞0时，λ的方向与的方向相同；当λ＜0时，λ的方向与的方向相反；当λ=0时，λ=,方向是任意的.2.实数和向量的积的运算律设λ、μ为实数，那么：(1)λ(μa)=λμ(2)(λ+μ) =λ+μ(3)λ(a +b )=λa +λb3.两个向量共线定理 向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得=λa .4.平面向量基本定理 如果1e ，2e ，是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使：=λ11e +λ22e 其中不共线的向量1e ，2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 注意：(1)平面内的任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式.(2)上面分解是唯一的.向量的加法、减法、实数与向量的积的混合运算称为向量的线性运算，也叫做向量的初步运算.任一平面直线型图形都可以表示为某些向量的线性组合.【重点难点解析】1.实数与向量的积的运算律与实数乘法的运算律很相似，只是实数与向量相乘的分配律有两种不同形式.(λ+μ) a =λa +μa 和λ(a +b )=λa +λb ；实数与向量相乘的运算中的关键是等式两边向量的模相等的同时，方向也必须相同.2.掌握实数与向量积的概念，运算及两个向量共线的充要条件. 例1 化简32［(4-3)+31-41 (6-7)］= . 例2 设，是不共线的两个向量，已知=2+k ，=+, CD =a -2b ，若A 、B 、D 三点共线，求k 的值.例4 已知□ABCD ，E 、F 分别是DC 和AB 的中点，判断AE 、CF 是否平行?分析：要判断、是否平行，就是判断能否用表示出来. 解：设=,=因为E 、F 分别是DC 和AB 的中点 所以=21 =21 =21 例5 求向量,:【难题巧解点拔】例1 设M 为△ABC 的重心，证明对任意一点O ，有OM =31( ++)例2 如图，已知在△ABC 中，D 是BC 上的一点，且DCBD =λ.试证：=λλ++1 例3 若O 、A 、B 三点不共线，已知=m ·+n ·,m ·n ∈R,且m+n=1,那么P 点位置如何?请说明理由.例4 求证：平行四边形一顶点和对边中点的连线三等分此平行四边形的一条对角线(如图)【典型热点考题】例1 若AB =31e , CD =-51e 且｜AD ｜=｜BC ｜,则四边形ABCD 是( )A.平行四边形B.菱形C.等腰梯形D.非等腰的梯形 例2 已知λ，u ∈R ，则在以下各命题中，正确的命题共有( )(1)λ＜0，≠时，λ与的方向一定相反(2)λ＞0，≠时，λ与的方向一定相同(3)λ≠0，≠时，λ与是共线向量(4)λu ＞0，a ≠0时，λa 与u a 的方向一定相同(5)λu ＜0，a ≠0时，λa 与u a 的方向一定相反A.2个B.3个C.4个D.5个例3 梯形ABCD ，AB ∥CD ，且||2|| ，M 、N 分别是DC 和AB 的中点，如图，若AB =a ,AB =b ，试用a ，b 表示BC 和MN ，则= .。
实数与向量积及几何意义
归纳总结
二、实数与向量的积的运算律：
设a , b 为任意向量，、为
任意实数，则有：
(1) ( a ) ( )a (2) ( )a a a (3) (a b ) a b
例题解析 例1：计算题
12 8.向量a (3,3), a 2ba (1,1)
a 2b a,b共线
例题解析
例2. 如图,已知任意两个非零向量 a, b, 试作 OA a + b,OB a 2b, OC a 3b 你能判断 A、B、C三点之间的位置关系吗?为什么?
C
解:
AB OB OA a 2b a b b AC OC OA a 3b a b 2b
归纳总结
三、共线向量基本定理：
向量
b 与非零向量 a 共线当且仅当 有唯一一个实数 ，使得 b a
思考:1) 2)
a 为什么要是非零向量? b 可以是零向量吗?
试试身手 判断下列各小题中的向量a与b是否共线
1 a 2e , b 2e ;
a b
a,b共线
2 a e1 e2 , b 2e1 2e2.
向量数乘运算及其 几何意义
温故知新
1、向量加法的三角形法则
A B
a a a a a a a a a a
注意：
b
b
b
b O
b b
b
a+b
b b
各向量“首尾相连”，和向量由第一 个向量的起点指向最后一个向量的终点.
温故知新 2、向量加法的平行四边形法则
D
b
C
a a a a a a a a a a
(第5课时)实数与向量的积(2)
课 题：实数与向量的积（2） 教学目的：了解平面向量基本定理；掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，理解这是应用向量解决实际问题的重要思想方法；能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达教学重点：平面内任一向量都可以用两个不共线非零向量表示 教学难点：平面向量基本定理的理解授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入：向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素：大小、方向向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ等表示； 零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法向量加法的三角形法则和平行四边形法则8．向量加法的交换律：a +b =b +a9．向量加法的结合律：(a +b ) +c =a + (b +c ) 10．向量的减法向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差即：a - b = a + (-b )11．差向量的意义： OA = a , OB = b , 则BA = a - b 即a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量12．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa（1）|λa |=|λ||a |；（2）λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a方向相反；λ=0时λa=013．运算定律 结合律：λ(μa )=(λμ)a分配律：(λ+μ)a =λa +μa λ(a +b )=λa+λb14． 向量共线定理 向量b 与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa二、讲解新课：(共面向量定理)平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ11e +λ22e 探究：(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解； (4)基底给定时，分解形式惟一 λ1，λ2是被a，1e ，2e 唯一确定的数量三、讲解范例：例1 已知向量1e ，2e 求作向量-251e +32e作法：（1）取点O ，作OA =-251e OB =32e（2）作 ，OC 即为所求-251e +32e例2 如图的两条对角线交于点M ，且AB =a ，AD =b ，用a，b表示MA ，MB ，MC 和MD 解：在中 ， ∵AC =AB +AD =a +b ，DB =AB -AD =a -b∴MA =-21AC =-21(a +b )=-21a -21b，MB =21DB =21(a -b )=21a -21bMC =21AC =21a +21bMD =-MB =-21DB =-21a +21b例3的两条对角线AC与BD交于E，O是任意一点，求证：OA+OB+OC+OD=4OE证明：∵E是对角线AC和BD的交点∴AE=EC=-CE,BE=ED=-DE在△OAE中，OA+AE=OE同理OB+BE=OE，OC+CE=OE，OD+DE=OE以上各式相加，得OA+OB+OC+OD=4OE例4如图，OA，OB不共线，AP=t AB(t∈R)用OA,OB表示OP解：∵AP=t AB∴OP=OA+AP=OA+ t AB=OA+ t(OB-OA)=OA+ t OB-t OA=(1-t) OA+ t OB四、课堂练习：1设e1、e2是同一平面内的两个向量,则有A e1、e2一定平行B e1、e2的模相等C同一平面内的任一向量a都有a=λe1+μe2(λ、μ∈R)D若e1、e2不共线,则同一平面内的任一向量a都有a=λe1+u e2(λ、u∈R)2已知矢量a=e1-2e2,b=2e1+e2,其中e1、e2不共线,则a+b与c=6e1-2e2的关系A不共线B共线 C相等 D无法确定3已知向量e1、e2不共线,实数x、y满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2,则x-y 的值等于A3 B-3 C0 D24若a、b不共线,且λa+μb=0(λ,μ∈R)则λ= ,μ=5已知a、b不共线,且c=λ1a+λ2b(λ1,λ2∈R),若c与b共线,则λ1=6已知λ1＞0,λ2＞0,e1、e2是一组基底,且a=λ1e1+λ2e2,则a与e1_____,a与e2_________(填共线或不共线)参考答案：1D 2B 3A 4 0 0 5 0 6不共线不共线五、小结平面向量基本定理，其实质：同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合六、课后作业：1．如图，平行四边形ABCD 中，AB ＝ａ，AD ＝ｂ，H 、M 是AD 、DC 之中点，F 使BF ＝31BC ，以ａ、ｂ为基底分解向量AM 与HF分析：以ａ，ｂ为基底分解AB 与HF ，实为用ａ与ｂ表示向量AM 与HF解：由H 、M 、F 所在位置有：AM =AD +DM =AD +21DC =AD +21AB =ｂ＋21ａ，HF ＝AF －AH ＝AB ＋BF －AH＝AB ＋AD BC 2131-＝AB ＋31AD －21AD ＝ａ－61ｂ2．如图，O 是三角形ABC 内一点，PQ ∥BC ，且BCPQ ＝ｔ，OA ＝ａ，OB ＝ｂ，OC ＝с，求OP 与OQ分析：由平面几何的知识可得△APQ ∽△ABC ，且对应边的比为ｔ，∴ACAQ ABAP =＝ｔ，转化向量的关系为：AP ＝ｔAB ，AQ ＝ｔAC ，又由于已知和未知向量均以原点O 为起点，所以把有关向量都用以原点O 为起点的向量来表示，是解决问题的途径所在解：∵PQ ∥BC ，且BCPQ ＝ｔ，有△APQ ∽△ABC ，且对应边比为ｔ（＝BCPQ ），即ACAQ ABAP =＝ｔ．转化为向量的关系有：AP ＝ｔAB ，AQ ＝ｔAC ， 又由于：AP ＝OP －OA ，AQ ＝OQ －OA ，AB ＝OB －OA ，AC ＝OC －OA∴OP ＝OA ＋AP ＝OA ＋ｔ（OB －OA ）＝ａ＋ｔ（ｂ－ａ）＝（１－ｔ）ａ＋ｔｂ,OQ ＝OA ＋AQ ＝OA ＋ｔ（OC －OA ）＝ｔ（с－ａ）＋ａ＝(１－ｔ）ａ＋ｔс七、板书设计（略） 八、课后记：注意图形语言的应用用向量法解平面几何问题，实质上是将平面几何问题的代数化处理，在解题中应注意进行向量语言与图形语言的互译例1 如图，已知MN 是△ABC 的中位线，求证：MN ＝21BC 且MN ∥BC 分析：首先把图形语言：M 、N 是AB 、AC 的中点翻译成向量语言：AM ＝21AB ，AN ＝21AC 一种语言，即MN ＝AN －AM ＝21AC －21AB＝21（AC －AB ）＝21BC最后又将向量语言MN ＝21BC 翻译成图形语言就是：MN ＝21BC 且MN ∥BC向量法应用例2已知平行四边形ABCD ，E 、F 分别是DC 和AB 的中点，求证：AE ∥CF证明：因为E 、F 为DC 、AB 的中点，∴DE ＝21DC ，BF ＝21BA ，由向量加法法则可知：AE ＝AD ＋DE ＝AD ＋21DC ，CF ＝CB ＋BF ＝CB ＋21BA∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴AD ＝－CB ，DC ＝－BA ， ∴AE ＝－CB －21BA ＝－（CB ＋21BA ）＝－CF∴AE ∥CF ，∴AE ∥CF强化训练：1下面向量a 、b 共线的有（ ）(1)a =2e 1,b =-2e 2 (2)a =e 1-e 2,b =-2e 1+2e 2(3)a =4e 1-52e 2,b =e 1-101e 2 (4)a =e 1+e 2,b =2e 1-2e 2e 1、e 2不共线)A (2)(3)B (2)(3)(4)C (1)(3)(4)D (1)(2)(3)(4)2设一直线上三点A 、B 、P 满足AP =λPB (λ≠±1),O 是空间一点,则OP 用OA 、OB 表示式为（ ）A OP =OA +λOB B OP =λOA +(1-λ) OBC OP =λλ++1OB OA D OB OA λλ-+=1113若a 、b 是不共线的两向量,且AB =λ1a +b , AC =a +λ2b (λ1、λ2∈R ),则A 、B 、C 三点共线的充要条件为（ ）A λ1=λ2=-1B λ1=λ2=1C λ1λ2+1=0D λ1λ2-1=0 4若a =-e 1+3e 2,b =4e 1+2e 2,c =-3e 1+12e 2,则向量a 写为λ1b +λ2c 的形式是5已知两向量e 1、e 2不共线,a =2e 1+e 2,b=3e 1-2λe 2,若a 与b 共线,则实数λ=6设平面内有四边形ABCD 和点O , OA =a , OB =b , OC =c ,OD =d ,a +c =b +d ,则四边形ABCD 的形状是7设OA 、OB 不共线,点P 在O 、A 、B 所在的平面内,且OP =(1-t ) OA +t OB (t∈R ),求证A 、B 、P 三点共线8当不为零的两个向量a 、b 不平行时,求使p a +q b =0成立的充要条件9已知向量a =2e 1-3e 2,b =2e 1+3e 2,其中e 1、e 2不共线,向量c =2e 1-9e 2,问是否存在这样的实数λ、μ,使d =λa +μb 与c 共线?参考答案：1A 2C 3D 4-181b +277 c 5-41 6平行四边形(略) 8p=q=0 9存在,λ=-2μ能使d 与c 共线。
8.0.2实数与向量的乘积(附录2)
一、实数与向量的乘积(向量的数乘) 可以验证，向量数乘满足下面的运算律: 设 , R ①
( a) ()a
(a b) a b （分配律）
② ( )a a a（分配律）
③
例1.计算： (1) (3) 4a 12a (2) 3(a b) 2(a b) a 5b
例5. 对于任意两个非零向量a, b 已知 OA 4b ，求
解：AB OB OA b 证
A, B, C 三点共线.
C
B A
AC OC OA 3b AC 3AB AC ∥ AB
O
一般地, A, B, C三点共线
The Vector Multiplied by a Real Number
一、实数与向量的乘积(向量的数乘) 定义：实数 和向量 a 的乘积是一个向量 记作 a ， 它的长度与方向规定如下： (1) | a | | || a |
0 时， a 与 a 同方向 (2) a(a 0) 的方向 0 时， a 与 a 反方向 0 时， 0a 0 ；
. .
1 a0 a a 1 b0 a a
例 3．在 ABC 中，G 是中线 AD, BE 的
交点，若 AB a , AC b ，试用 a , b 表 示 BC, AD, AG, CG
A
a
G B
D
b
E
C
例4.已知P 1P 3PP2 ,
1若 P1P2 P2 P, 则
.
2若 P2 P1 P1P, 则
.
二、向量平行的条件 平行向量基本定理
（1）非零向量 a , b ，若 a b ，则 a // b ；
(完整版)高中数学平面向量知识点总结
高中数学必修4之平面向量知识点归纳一.向量的基本概念与基本运算1、向量的概念：①向量：既有大小又有方向的量向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．②零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行③单位向量：模为1个单位长度的向量④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量2、向量加法：设,ABa BCb uu u ru uu r r r ，则a +b r =AB BC u u u r u u u r =ACuu u r （1）a a a 00；（2）向量加法满足交换律与结合律；AB BCCDPQQRAR u u u r u u u r u uu r u u u r u u u r u u u rL，但这时必须“首尾相连”．3、向量的减法：①相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b 的差，③作图法：b a可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b 有共同起点）4、实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度与方向规定如下：（Ⅰ）a a ；（Ⅱ）当0时，λa 的方向与a 的方向相同；当时，λa 的方向与a 的方向相反；当0时，0a，方向是任意的5、两个向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线有且只有一个实数，使得b =a6、平面向量的基本定理：如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数21,使：2211e ea，其中不共线的向量21,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底二.平面向量的坐标表示1平面向量的坐标表示：平面内的任一向量a r可表示成axi yj r rr ，记作a r=(x,y)。
2平面向量的坐标运算：(1)若1122,,,ax y bx y rr ，则1212,a bx x y y r r (2)若2211,,,y x B y x A ，则2121,AB x x y y u u u r(3)若a r =(x,y)，则a r =(x, y)(4)若1122,,,a x y b x y r r ，则1221//0a b x y x y rr (5)若1122,,,ax y bx y rr ，则1212a bx x y y r r 若ab rr ，则02121y y x x 三．平面向量的数量积1两个向量的数量积：已知两个非零向量a r 与b r，它们的夹角为，则a r ·b r =︱a r︱·︱b r ︱cos 叫做a r与b r 的数量积（或内积）规定00ar r 2向量的投影：︱b r ︱cos =||a b a r r r ∈R ，称为向量b r 在a r方向上的投影投影的绝对值称为射影3数量积的几何意义：a r ·b r 等于a r 的长度与b r 在a r方向上的投影的乘积4向量的模与平方的关系：22||a a a a r r r r 5乘法公式成立：2222a b ab a b a b r r r r r r r r ；2222abaa bb r r r r r r 222aa bbr r r r 6平面向量数量积的运算律：①交换律成立：a bb arr r r ②对实数的结合律成立：a b a b a bRr r r r r r ③分配律成立：abca cb c r r r r r r r ca br r r 特别注意：（1）结合律不成立：ab ca b c r r r r r r ；（2）消去律不成立a ba cr r r r 不能得到bc rr （3）a b r r =0不能得到a r =0r或b r =0r 7两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量1122(,),(,)ax y b x y rr，则a r ·b r=1212x x y y 8向量的夹角：已知两个非零向量a r与b r ，作OA u u u r =a r , OB uuu r =b r ,则∠AOB=（01800）叫做向量a r 与b r 的夹角cos =cos,a b a ba b??r r r r r r =222221212121y x y x y y x x 当且仅当两个非零向量a r 与b r 同方向时，θ=00，当且仅当a r与b r 反方向时θ=1800，同时0r与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题9垂直：如果a r 与b r 的夹角为900则称a r 与b r 垂直，记作a r⊥br 10两个非零向量垂直的充要条件：a ⊥ba ·b ＝O02121y y x x 平面向量数量积的性质一、选择题1．在△ABC 中，AB ＝AC ，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则()．A ．AB 与AC 共线B ．DE 与CB 共线C ．AD 与AE 相等D ．AD 与BD 相等2．下列命题正确的是()．A ．向量AB 与BA 是两平行向量B ．若a ，b 都是单位向量，则a ＝bC ．若AB ＝DC ，则A ，B ，C ，D 四点构成平行四边形D ．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同3．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A(3，1)，B(－1，3)，若点C满足OC ＝OA ＋OB ，其中，∈R ，且＋＝1，则点C 的轨迹方程为()．A ．3x ＋2y －11＝0B ．(x －1)2＋(y －1)2＝5C ．2x －y ＝0D ．x ＋2y －5＝04．已知a 、b 是非零向量且满足(a －2b)⊥a ，(b －2a)⊥b ，则a 与b 的夹角是A ．6B ．3C ．23D ．565．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A ，C )，则AP ＝A ．λ(AB ＋AD )，λ∈(0，1)B ．λ(AB ＋BC )，λ∈(0，22)C ．λ(AB －AD )，λ∈(0，1)D ．λ(AB －BC )，λ∈(0，22)6．△ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，AC 的中点，则DF ＝()．(第1题)A．EF＋ED B．EF－DE C．EF＋AD D．EF＋AF7．若平面向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则向量a的模为()．A．2 B．4 C．6 D．128．点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足OA·OB＝OB·OC＝OC·OA，则点O是△ABC的()．A．三个内角的角平分线的交点B．三条边的垂直平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高的交点9．在四边形ABCD中，AB＝a＋2b，BC＝－4a－b，DC＝－5a－3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为()．A．平行四边形B．矩形C．梯形D．菱形10．如图，梯形ABCD中，|AD|＝|BC|，EF∥AB∥CD则相等向量是()．A．AD与BC B．OA与OBC．AC与BD D．EO与OF二、填空题11．已知向量OA＝(k，12)，OB＝(4，5)，OC＝(－k，10)，且A，B，C三点共线，则k＝．12．已知向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与MN相等，其中M(－1，3)，N(1，3)，则x＝．13．已知平面上三点A，B，C满足|AB|＝3，|BC|＝4，|CA|＝5，则AB·BC ＋BC·CA＋CA·AB的值等于．14．给定两个向量a＝(3，4)，b＝(2，－1)，且(a＋mb)⊥(a－b)，则实数m 等于．15．已知A，B，C三点不共线，O是△ABC内的一点，若OA＋OB＋OC＝0，则O是△ABC的．16．设平面内有四边形ABCD和点O，OA＝a，OB＝b，OC＝c, OD＝d，若a＋c＝b＋d，则四边形ABCD的形状是．三、解答题17．已知点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)，若点P满足AP＝AB＋λAC(λ∈R)，试求λ为何值时，点P在第三象限内？(第10题)18．如图，已知△ABC，A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)，M，N，D分别是AB，AC，BC的中点，且MN与AD交于F，求DF．(第18题)19．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，求证：AF⊥DE(利用向量证明)．(第19题) 20．已知向量a＝(cos θ，sin θ)，向量b＝(3，－1)，则|2a－b|的最大值．一、选择题1．B 解析：如图，AB 与AC ，AD 与AE 不平行，AD 与BD 共线反向．2．A解析：两个单位向量可能方向不同，故B 不对．若AB ＝DC ，可能A ，B ，C ，D 四点共线，故C 不对．两向量相等的充要条件是大小相等，方向相同，故D 也不对．3．D解析：提示：设OC ＝(x ，y)，OA ＝(3，1)，OB ＝(－1，3)，OA ＝(3，)，OB ＝(－，3)，又OA ＋OB ＝(3－，＋3)，∴(x ，y)＝(3－，＋3)，∴33＋＝－＝y x ，又＋＝1，由此得到答案为D ．4．B解析：∵(a －2b)⊥a ，(b －2a)⊥b ，∴(a －2b)·a ＝a 2－2a ·b ＝0，(b －2a)·b ＝b 2－2a ·b ＝0，∴a 2＝b 2，即|a|＝|b|．∴|a|2＝2|a||b|cos θ＝2|a|2cos θ．解得cos θ＝21．∴a 与b 的夹角是3π．5．A解析：由平行四边形法则，AB ＋AD ＝AC ，又AB ＋BC ＝AC ，由λ的范围和向量数乘的长度，λ∈(0，1)．6．D解析：如图，∵AF ＝DE ，∴DF ＝DE ＋EF ＝EF ＋AF ．7．C解析：由(a ＋2b)·(a －3b)＝－72，得a 2－a ·b －6b 2＝－72．而|b|＝4，a ·b ＝|a||b|cos 60°＝2|a|，∴|a|2－2|a|－96＝－72，解得|a|＝6．8．D 解析：由OA ·OB ＝OB ·OC ＝OC ·OA ，得OA ·OB ＝OC ·OA ,即OA ·(OC －OB )＝0，故BC ·OA ＝0，BC ⊥OA ，同理可证AC ⊥OB ，∴O 是△ABC 的三条高的交点．9．C解析：∵AD ＝AB ＋BC ＋D C ＝－8a －2b ＝2BC ，∴AD ∥BC 且|AD |≠|BC |．∴四边形ABCD 为梯形．10．D解析：AD 与BC ，AC 与BD ，OA 与OB 方向都不相同，不是相等向量．(第1题)二、填空题11．－32．解析：A ，B ，C 三点共线等价于AB ，BC 共线，AB ＝OB －OA ＝(4，5)－(k ，12)＝(4－k ，－7)，BC ＝OC －OB ＝(－k ，10)－(4，5)＝(－k －4，5)，又A ，B ，C 三点共线，∴5(4－k)＝－7(－k －4)，∴k ＝－32．12．－1．解析：∵M(－1，3)，N(1，3)，∴MN ＝(2，0)，又a ＝MN ，∴＝4－3－2＝3＋2x x x 解得4＝1＝－1＝－x x x 或∴x ＝－1．13．－25．解析：思路1：∵AB ＝3，BC ＝4，CA ＝5，∴△ABC 为直角三角形且∠ABC ＝90°，即AB ⊥BC ，∴AB ·BC ＝0，∴AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB＝BC ·CA ＋CA ·AB ＝CA ·(BC ＋AB )＝－(CA )2＝－2CA ＝－25．思路2：∵AB ＝3，BC ＝4，CA ＝5，∴∠ABC ＝90°，∴cos ∠CAB ＝CAAB ＝53，cos ∠BCA ＝CABC＝54．根据数积定义，结合图(右图)知AB ·BC ＝0，BC ·CA ＝BC ·CA cos ∠ACE ＝4×5×(－54)＝－16，CA ·AB ＝CA ·AB cos ∠BAD ＝3×5×(－53)＝－9．∴AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB ＝0―16―9＝－25．14．323．解析：a ＋mb ＝(3＋2m ，4－m)，a －b ＝(1，5)．∵(a ＋mb)⊥(a －b)，∴ (a ＋mb)·(a －b)＝(3＋2m)×1＋(4－m)×5＝0m ＝323．15．答案：重心．解析：如图，以OA ，OC 为邻边作□AOCF交AC 于点E ，则OF ＝OA ＋OC ，又OA ＋OC ＝－OB ，(第15题)D(第13题)∴OF ＝2OE ＝－OB ．O 是△ABC 的重心．16．答案：平行四边形．解析：∵a ＋c ＝b ＋d ，∴a －b ＝d －c ，∴BA ＝CD ．∴四边形ABCD 为平行四边形．三、解答题17．λ＜－1．解析：设点P 的坐标为(x ，y)，则AP ＝(x ，y)－(2，3)＝(x －2，y －3)．AB ＋λAC ＝(5，4)－(2，3)＋λ［(7，10)－(2，3)］＝(3，１)＋λ(5，7)＝(3＋5λ，１＋7λ)．∵AP ＝AB ＋λAC ，∴ (x －2，y －3)＝(3＋5λ，1＋7λ)．∴713532yx 即7455yx 要使点P 在第三象限内，只需74055解得λ＜－1．18．DF ＝(47，2)．解析：∵A(7，8)，B(3，5)，C (4，3)，AB ＝(－4，－3)，AC ＝(－3，－5)．又D 是BC 的中点，∴AD ＝21(AB ＋AC )＝21(－4－3，－3－5)＝21(－7，－8)＝(－27，－4)．又M ，N 分别是AB ，AC 的中点，∴F 是AD 的中点，∴DF ＝－FD ＝－21AD ＝－21(－27，－4)＝(47，2)．19．证明：设AB ＝a ，AD ＝b ，则AF ＝a ＋21b ，ED ＝b －21a ．∴AF ·ED ＝(a ＋21b)·(b －21a)＝21b 2－21a 2＋43a ·b ．又AB ⊥AD ，且AB ＝AD ，∴a 2＝b 2，a ·b ＝0．∴AF ·ED ＝0，∴AF ⊥ED ．本题也可以建平面直角坐标系后进行证明．20．分析：思路1：2a －b ＝(2cos θ－3，2sin θ＋1)，∴|2a －b|2＝(2cos θ－3)2＋(2sin θ＋1)2＝8＋4sin θ－43cos θ．又4sin θ－43cos θ＝8(sin θcos3π－cos θsin3π)＝8sin(θ－3π)，最大值为8，∴|2a －b|2的最大值为16，∴|2a －b|的最大值为4．思路2：将向量2a ，b 平移，使它们的起点与原点重合，则|2a －b|表示2a ，b终点间的距离．|2a|＝2，所以2a 的终点是以原点为圆心，2为半径的圆上的动点P ，b 的终点是该圆上的一个定点Q ，由圆的知识可知，|PQ|的最大值为直径的长为4．(第18题)(第19题)。
《向量的数乘运算》教学设计、导学案、同步练习
《6.2.3 向量的数乘运算》教学设计【教材分析】本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第六章《平面向量及其应用》，本节课是第4课时，本节课主要学习平面向量的线性运算——数乘向量，共线向量定理。
实数与向量的积及它们的混合运算称为向量的线性运算,也叫向量的初等运算,是进一步学习向量知识和运用向量知识解决问题的基础。
实数与向量的积的结果是向量,要按大小和方向这两个要素去理解。
向量平行定理实际上是由实数与向量的积的定义得到的,定理为解决三点共线和两直线平行问题又提供了一种方法。
特别注意的是向量的平行要与平面中直线的平行区别开来。
【教学目标与核心素养】A.掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量积的三条运算律，会利用实数与向量积的运算律进行有关的计算；B.理解两个向量平行的充要条件，能根据条件两个向量是否平行；C.通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力。
【教学重点】：实数与向量的积的定义、运算律，向量平行的充要条件；【教学难点】：理解实数与向量的积的定义，向量平行的充要条件。
【教学过程】。
特点:首尾相接，连首尾。
2.向量的平行四边形法则特点:同一起点,对角线。
3.向量减法的三角形法则。
特点：共起点，连终点，方向指向被减向量。
二、探索新知探究1：已知非零向量，作出和，它们的长度与方向分别是怎样的？，记作。
即。
的方向与的方向相同，。
类似地，，其方向与的方向相反，。
AC BC AB =+OC OB OA =+BA OB OA b a =-=-a a a a ++)()(a a a -+-+-a a a BC AB OA OC ++=++=a 3a OC 3=a 3a ||3|3|a a =a PN 3-=a ||3|3-|a a =1.定义：一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与方向规定如下： （1）；（2）当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反。
高中数学平面向量知识及注意事项
高中数学平面向量知识及注意事项一、向量基础知识1、实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，那么(1)结合律：λ(μa )=(λμ) a ；(2)第一分配律：(λ+μ) a =λa +μa ；(3)第二分配律：λ(a +b)=λa +λb .2、向量的数量积的运算律：(1) a ·b = b ·a（交换律）；注:c b a c b a )()(∙≠∙(2)（λa ）·b = λ（a ·b ）=λa ·b = a ·（λb ）；(3)（a ＋b ）·c = a ·c +b ·c .3、平面向量基本定理：如果1e 、2e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a =λ11e +λ22e ．不共线的向量1e 、2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．4、投影：向量b 在向量a方向上的投影为|b |cos θ。
5、a 与b 的数量积(或内积)：a ·b =|a ||b |cos θ．6、a ·b 的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a|与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．7、平面向量的坐标运算：(1)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a +b=1212(,)x x y y ++. (2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a -b=1212(,)x x y y --.(3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--.(4)设a =(,),x y R λ∈，则λa =(,)x y λλ.(5)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a ·b=1212x x y y +.8、两向量的夹角公式：121222221122cos x x y y x y x y θ+=+⋅+(a=11(,)x y ,b =22(,)x y ).9、向量的模与平面两点间的距离公式：|a |22x y =+,A B d =||AB AB AB =⋅ 222121()()x x y y =-+-(A 11(,)x y ，B 22(,)x y ).10、两个非零向量的共线与垂直的充要条件：设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则a ∥b ⇔b =λa12210x y x y ⇔-=.a ⊥b (a ≠0 )⇔a ·b=012120x x y y ⇔+=.11、三角形的重心坐标公式：△ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC的重心的坐标是123123(,)33x x x y y y G ++++.G G GC 0A B＋＋＝ 二、向量中需要注意的问题1、向量运算的几何形式和坐标形式，请注意：向量运算中向量起点、终点及其坐标的特征.2、几个概念：零向量、单位向量(与AB 共线的单位向量是||ABAB ± ，平行(共线)向量(无传递性，是因为有0 )、相等向量(有传递性)、相反向量、向量垂直、以及一个向量在另一向量方向上的投影（a 在b上的投影是cos ,a ba ab b⋅=<>=∈R).3、两非零向量．．．．共线的充要条件：//a b a b λ⇔= cos ,1a b ⇔<>=± 12210x y x y ⇔-=. 两个非零向量．．．．垂直的充要条件：0||||a b a b a b a b ⊥⇔⋅=⇔+=- 12120x x y y ⇔+=. 特别：零向量和任何向量共线和垂直. b a λ=是向量平行的充分不必要条件!4、三点A B C 、、共线⇔ AB AC 、共线；向量 PA PB PC、、中三终点A B C 、、共线⇔存在实数αβ、使得：PA PB PC αβ=+且1αβ+=.5、向量的数量积：22||()a a a a ==⋅ ，1212||||cos a b a b x x y y θ⋅==+，121222221122cos ||||x x y y a b a b x y x y θ+⋅==++ ，12122222||cos ,||x x y y a b a b a a b b x y +⋅=<>==+在上的投影. 注意：,a b <> 为锐角⇔0a b ⋅> 且 a b 、不同向；,a b <>为直角⇔0a b ⋅= 且 0a b ≠ 、； ,a b <> 为钝角⇔0a b ⋅< 且 a b 、不反向,0a b ⋅< 是,a b <> 为钝角的必要非充分条件.6、一个重要的不等式：||||||||||||a b a b a b -≤±≤+注意： a b 、同向或有0⇔||||||a b a b +=+ ≥||||||||a b a b -=- ； a b 、反向或有0 ⇔||||||a b a b -=+ ≥||||||||a b a b -=+； a b、不共线⇔||||||||||||a b a b a b -<±<+ .(这些和实数集中类似)7、中点坐标公式1212,22x x y y x y ++==，122MP MP MP P +=⇔为12PP 的中点.。
实数与向量的乘积
实数与向量的应用
实数与向量的乘积在物理、工程 等领域有着广泛的应用，如力的 合成与分解、速度的计算等。
03
实数与向量的乘积运算
乘积的运算规则
结合律
对于任意实数λ、μ和向量a，有λ(μa) = (λμ)a。
分配律
对于任意实数λ、μ和向量a、b，有(λ + μ)a = λa + μa，λ(a + b) = λa + λb。
来得到。
在工程中的应用
结构力学
在工程学中，实数与向量的乘积被广泛应用 于结构力学。例如，桥梁或建筑物的结构分 析需要考虑各种力的作用，这些力可以用向 量表示，并通过实数与向量的乘积进行计算 和分析。
电气工程
在电气工程中，电流、电压和电场强度等物 理量都是向量。实数与向量的乘积可以用来 计算电路中的功率、能量等参数。
03
代数性质
实数与向量的乘积满足一系列代数性 质，如结合律、分配律等，这些性质 使得向量运算更加灵活和方便。
对未来研究的展望
拓展应用领域
实数与向量的乘积作为一种基础的数学工具，在物理、工程、计算机图形学等领域有广泛的应用。未来可以进一步探 索其在其他领域的应用，如机器学习、数据分析等。
高维向量空间的研究
目前对实数与向量的乘积的研究主要集中在二维和三维向量空间。未来可以拓展到更高维度的向量空间，研究高维空 间中实数与向量的乘积的性质和应用。
与其他数学概念的结合
实数与向量的乘积可以与其他数学概念相结合，如矩阵、张量等，产生更丰富的数学结构和性质。未来 可以探索这些结合所带来的新的数学理论和应用。
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b
A
M
a
B
例5：
如图， OA ，OB 不共线， = t ⋅ AB t ∈R AP 用 OA， OB 表示 OP
P
(
)
B A
O
例6：
如图，已知 M、N分别是 ∆ABC两边的中点，
1 求证：MN // BC, MN = BC 2
A
M
N
B
C
小结
对于向量的加法、减法以及数乘的向量运算， 对于向量的加法、减法以及数乘的向量运算，统 称为向量的线性运算 又称为向量的初等运算 线性运算， 初等运算。 称为向量的线性运算，又称为向量的初等运算。 他们的运算法则在形式上很象实数加减法与乘法 满足的运算法则， 满足的运算法则，当然向量的运算与实数的运算 具体含义上是不同的，但是， 在具体含义上是不同的，但是，由于他们形式上 相类似，因此，实数运算中的去括号 移项， 去括号， 相类似，因此，实数运算中的去括号，移项，合 并同类项等变形手段在向量的线形运算中都可以 并同类项等变形手段在向量的线形运算中都可以 使用。 使用。 对于向量共线的充要条件 对于平面向量基本定理的理解
说明：对于运算律的验证同学们自己通过 作图可以完成。
两向量共线的充要条件
向量 b 与非零向量 a共线的充要条件是有且 只有一个实数 λ，使 b = λa 。
思考：若把“非零向量”的“非零”去 掉后， 原充要条件是否正确？
例1：
计算：
(1)(−3)×4a (2)3(a + b)− 2(a −b)− a (3)(2a + 3b − c)− (3a − 2b + c)
实数与向量的积
加油
1、实数与向量的积
实数 λ与向量 a的积是一个向量，记作 λa ，其长度 和方向规定如下： （1）
(1) λa = λ a
(2)当λ > 0时, λa与a同向
而 λ < 0时 λa与 反 当 , a 向 另 λ = 0时 λa = a) = (λµ)a (2)(λ + µ)a = λa + µa (3)λ(a + b) = λa + λb
如图，已知 AD = 3AB ， DE = 3BC 。 试判断 AC 与 AE是否共线？
E C A B
说明：向量共线的充要条件实际上是由实数与向 说明： 量的积的定义得到的，利用它常可以解决有关三 量的积的定义得到的， 点共线和两直线平行问题。 点共线和两直线平行问题。
D
例3：
如图：G为 ∆ABC 的重心 求证：1)AB + BC + CA = 0 (
A
(2)GA+ GB+ GC = 0 (3)GD+ GE + GF = 0 (4)PA+ PB + PC = 3PG
P为平面内任意一点
B
E F G C D P
4、平面向量基本定理
基本定理：如果 e、 是同一平面内的两个不共线 是同一平面内的两个不共线 1 e2 向量，那么对于这一平面内的任一向量 向量，那么对于这一平面内的任一向量a ， 有且只有一对实数 1 λ 有且只有一对实数 λ、 2，使
练习1 练习1
设 e、 是两个不共线的非零向量， 1 e2
CD BC 若向量 AB = 3e1 − 2e2 ， = −2e1 + 4e2 ， = −2e1 − 4e2
试证： A、 、 三点共线。 C D
练习2 练习2
已知
a b 向量不共线，问 c = 2a − b 与 、
d = 3a − 2b是否共线？
a = λ1e1 + λ2 e2
说明：我们把不共线的向量 e、 叫做表示这一平 1 e2 面内所有向量的一组基底。 面内所有向量的一组基底。
例4：
如图, 如图,平行四边形 ABCD 的两条对角线相交于点 M, 且 AB = a, AD= b ,用 a 、b 表示 MA MB MC 和 MD ,用 、 、
说明：对比发现向量的运算法则同实数的运算法则相当类似,实 说明：对比发现向量的运算法则同实数的运算法则相当类似 实 际上,对于实数运算中的去括号、合并同类项、移项等， 际上 对于实数运算中的去括号、合并同类项、移项等， 对于实数运算中的去括号 在向量的运算中同样适用。 在向量的运算中同样适用。
例2：