构造法在解题中的应用开题报告
浅谈构造法在解题中的应用
摘要构造法作为数学解题中的一种重要的思想方法，它是根据题设条件和结论的特殊性，构造出一些新的数学形式，并借助它来认识与解决原问题的一种方法.构造法的内涵十分丰富并且没有完全固定的模式可以套用，它是以广泛的普遍性和特殊的实际问题为基础，针对一些数学问题的特点而采用相应的解决办法.合理运用构造法不仅可以提高解题效率，而且也能够发展学生的思维能力和创新意识.鉴于此，本文的重点主要体现在构造法在解题中的应用.具体来说，本文主要基于构造法的理论简介，探讨它在不等式、函数、以及其他特例中等问题的相关应用.关键词:构造法，解题，应用Analysis to application of structured method insolving problemsAbstractStructured method as an important method of thinking in mathematics problem solving, it is based on the special question condition and conclusion, constructs some new mathematical forms, and with the help of a method to recognize and solve the original problem. The content of structured method is very rich and has no completely fixed models to be applied to practical problems, It is based on a wide range of practical problems of universality and particularity, for some of the features of mathematical problems and solutions using the corresponding method. Proper and rational use of the structured method can not only improve the efficiency of solving the problems, but also develop the students' t thinking ability and sense of innovation. In view of this, the focus of this paper is mainly reflected in construction method in solving the problem. Specifically, This paper is mainly based on the theory of structured method, explores it in the inequality, function, and other special medium problems in related practical applications.Keywords: structured method, problem solving, application目录一、引言 (1)二、构造法的理论简介 (1)（一）构造法 (1)（二）构造法的历史过程 (2)1.构造法与构造主义 (2)2.直觉数学阶段 (2)3.算法数学阶段 (2)4.现代构造数学阶段 (3)（三）构造法的特征 (3)三、构造法在解题中的应用 (3)（一）构造法在不等式中的应用 (3)1.构造函数 (4)2.构造向量 (5)3.构造数列 (5)4.构造几何模型 (6)（二）构造法在函数中应用 (7)1.构造函数 (7)2.构造方程 (8)3.构造复数 (10)4.构造级数 (10)5.构造辅助命题 (11)（三）构造法在其他特例中的应用 (12)1.构造新的数学命题 (12)2.构造递推关系 (13)3.构造反例 (14)4.构造实际模型 (14)四、结束语 (15)参考文献 (16)致谢 (16)一、引言数学的学习过程离不开解题，美国数学家哈尔莫斯也曾说过“数学真正的组成部分应该是问题和解，问题才是数学的心脏”.一个好的问题解决方式往往有多种.而数学思维方法是解数学题的灵魂，构造法作为一种传统的数学思想方法，在数学产生时就存在.历史上有不少数学家，如欧几里得、欧拉、高斯、拉格朗日等人，都曾用构造法解决过数学上的很多问题.数学蕴含着丰富的美，构造法则起到了锦上添花的作用.近几年来，构造法在中学数学中也有了很高的地位.利用造法解题需要有扎实的基础知识、较强的观察能力、创造思维和综合运用能力等.构造法反映了数学发现的创造性思维特点，我们所学的“构造”并不是“胡思乱想”，不是随便“编造”出来的，而是以我们所掌握的知识为背景，以具备扎实的能力为基础，通过仔细观察，认真分析去发现问题的每一个环节以及它们的联系，进而为寻求解题方法创造条件.在运用构造法解题的步骤中，不仅可以巩固学生的基本知识，还能培养学生观察、分析、联想、猜测等数学能力，激发学生的创造性思维.所以在数学教学中，应注重对学生在日常训练中运用构造法解题，使学生体会数学知识间的内在联系和相互转化，能创造性的构造数学模型，巧妙的解决问题，从而获得学习的轻松感和愉悦感，培养与增强了学生学习数学的积极性，提高他们的解题能力.构造法作为一种重要的化归手段，在数学解题中有着重要的作用.本文从构造函数、构造方程等常见构造及特殊构造出发，浅谈构造法在数学解题中的应用.二、构造法的理论简介（一）构造法构造法是数学中的一种基本方法，它是指当某些数学问题使用通常办法或按定势思维去解决很难奏效时，根据问题的条件和结论特征，从新的角度，新的观点观察、分析、解释对象，抓住反映问题的条件和结论之间的内在联系，把握问题的数量、结构等关系的特征，构造出满足条件或结论的新的对象，或构造出一种新的问题形式，使原问题中隐晦不清的关系和性质在新构造的数学对象（或问题形式）中清楚地展现出来，从而借助该数学对象（或问题形式）简捷的解决问题的方法.构造法是解决各类数学题常用而且重要的方法之一，它在解决不同题目时的思考方式灵活多样,构造的形式也不尽相同，如何系统的理解和掌握构造及其构造的思路对数学学习就显得十分必要和重要.本文结合数学实际阐述了构造法在数学解题中的重要性和必要性.我们在解题过程中出于某种需要，要么把题设条件中的关系构造出来，要么将关系设想在某个模型上得以展现，要么将已知条件经过适当的逻辑组合而构造出一种新的形式，从而使问题得以解决.在这种思维过程中，对已有的知识和方法采取分解、组合、变换、类比限定、推广等手段进行思维的再创造，构造新的式子或图形来帮助解题.所谓“构造法”即是在解题中利用已知条件和数学知识所具备的典型特征，用已知条件中的元素为“元件”，用已知的数学关系为“支架”，在思维中构造出一种相关的数学对象，一种新的数学形式；或者利用具体问题的特殊性，为解决的问题设计一个合理的框架，从而使问题转化并得到解决.总之用构造法解题的关键就是搞清对什么进行构造，构造成什么，以及如何构造的问题.（二）构造法的历史过程1.构造法与构造主义从数学产生的那天起，数学中构造性的方法也就伴随着产生了.但是构造性方法这个术语的提出，直接把这个方法推向极端，并致力于这个方法的研究，与数学基础的直觉派是密切相关的.直觉派出于对数学“可信性”的考虑，提出了一个著名的口号：“存在必须是被构造的”.这就是构造主义.2.直觉数学阶段直觉派的先驱者是19世纪末德国的克隆尼克，他明确提出并强调了能行性，主张没有能行性就不得承认它的存在性.他认为数学的出发点不是集合论，而是自然数论,并且批判传统数学缺乏构造性，创立具有构造性的“直觉数学”.3.算法数学阶段“发现集合论悖论以后，有些数学家认定了解决这些悖论所引起的问题的唯一彻底的方法就是把所有的一般集合论概念都从数学中排除，只限于研究那些可以能行的定义或构造的对象”，这就是布劳威创立直觉数学的想法.由于马尔科夫的工作，使构造性方法进入了“算法数学”的阶段.4.现代构造数学阶段1967年比肖泊的书出版以后，宣告了构造法进入“现代构造数学”阶段.他通过重建现代分析的一个重要组成部分，重新激发了构造法的活力.实际上，构造法在古代数学的建立与发展中也起着重要的作用.以西方的《几何原本》和中国的《九章算术》为例，尽管两者在逻辑推理方式上迥异，但在运用构造性方法方面却有着一些共同之处.我国古代数学所采用的构造方法，注重问题解决的能行性，数学家吴文俊曾指出，《九章算术》中的开方术经过一千多年发展到宋代的增开方与正负开方术的求方程根的数值解法是中国古代数学构造性与机械性思想方面的代表性成就.由此可知，在数学发展之初，大量的直观经验需要加以总结和提高，构造方法此时就体现出极强的应用价值，所以在中西方古代数学中产生了深远的影响.（三）构造法的特征一般来说，构造法具有如下两个基本特征：1．对所讨论的对象能有较为直观的描述.2．不仅能判明某种数学结论的存在，而且能够实现运演操作并求出表述的结果，利用构造法证明某个问题，具有简捷易懂，说服力强的特点.当我们遇到复杂的问题或实际问题而无从下手解决时，如果我们恰到好处的构造出一个数学模型来，便会有种“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的感觉.三、构造法在解题中的应用理解和掌握构造思想方法有助于实现数学从常量到变量的这个认识上的飞跃，构造法的前提和基础是熟悉相关的概念，很多数学问题繁冗复杂，难寻入口，若巧妙运用构造思想，能使解答别具一格，耐人寻味. （一）构造法在不等式中的应用不等式是研究数的性质、方程函数等的重要工具之一，在函数的单调性和极值问题中，不等式的应用非常重要.但在不等式的证明中，掌握有一定的难度，而构造法是一种极具创造性的解题方法,体现了各种数学解题方法.下面谈谈怎么用构造法解决在不等式中的相关应用.函数是数学知识的中心之一， 方程可以看作是函数值为零的情况，不等式可以看作是两个函数之间的不等关系，因此方程和不等式都是函数的特殊表现形式.利用函数的性质来解决不等式问题也是一种行之有效的办法.例1.已知R e d c b a ∈,,,,,且满8a b c d e ++++=,2222216a b c d e ++++=,试确定e 的最大值.（美国第七届中学数学竞赛题）分析：根据222228,16a b c d e a b c d e +++=-+++=-这两个式子构造 以d c b a ,,,为系数的二次函数作为辅助工具手段，从中转化出e 的不等式.解：由于222228,16a b c d e a b c d e +++=-+++=-,构造二次函数：()()()2222242f x x a b c d x a b c d =++++++++()()()()2222x a x b x c x d =+++++++0≥. 由已知条件得：()()22481616e e -≤-, 解得：1605e ≤≤当d c b a ===时，有=max e 165. 例2.已知(),,1,1a b c ∈-，求证2abc a b c +>++. 分析：因为()()()212abc a b c bc a b c +-++=-+--,所以构造一次函数y kx b =+的形式，根据k 的正负来判断函数的单调性.解：∵()()212abc a b c bc a b c +-++=-+--,∴可构造函数()()(1)2,1,1f x bc x b c x =-+--∈-,∵(),1,1b c ∈- 所以1<bc 即01<-bc ,∴ ()f x 在R 上是单调减函数,∵()1,1a ∈-,∴()()()()11110f a f b c bc b c >=--+=-->,即()120bc a b c -+-->.平面向量是数学教学中非常重要的教学工具，它不仅反应数量关系，而且体现位置关系，所以充分利用向量模型可以解决、几何及三角等数学问题，实现数形之间的转化，其解题思路简单，尤其是对几何问题，效果更显著.例3.已知1,0,=+>b a b a ,≤分析： 观察此题的结构，左边是和的形式，右边是常数，对左边的式子稍加变形就能表示出两个向量的坐标,然后计算出两个向量的模，再结合数量积和模的关系就构造了一个不等式，从而结论得证.证明：设()1,1=m ,()12,12++=b a n 则有,1212+++=⋅b a n m , 与2=m ,21212=+++=b a n , 因为n m n m ≤⋅,所以≤解后反思 ：本例通过构造二维向量，利用向量数量积的定义及性质来求最大值，大大降低了本题求最大值的难度，在求最值中，巧妙构造适当的向量，会收到直观明快，出奇制胜的效果，同时也体现了向量解决问题的优越性.例4.已知a ,b ,c 均为正数,求函数y =值.解：构造向量()a x ,=α , ()b x c ,-=β ,原函数为：()()22b a x c x y ++-+≥+=βα ()22b a c ++=,即y 3.构造数列数列问题以其多变的形式和灵活的求解方法出现在数学解题中，在解决诸多数学问题尤其是在不等式证明中，通常可以构造一个数列，利用数列的性质和求和运算来解题，很有使用价值.例5.()2112n ⋅⋅⋅++.证明：()2112n x n =⋅⋅⋅++,,,2,1 =n()()221112122n n x x n n +-=+++ ()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++=2321n n n 04932322<++-++=n n n n ， 1n n x x +∴<),2,1( =n 即{n x }是递减数列,于是n x 120x <=<,()2112n ⋅⋅⋅++. 此题的巧妙之处在于恰当的构造了一个辅助数列{n x }，而利用数列自身的性质，将难于证明的问题变易，使问题迎刃而解.例6.求不超过8的最大整数.分析：如果把8展开去计算，计算量比较大且相当麻烦，想到是的共轭根式，而0<<1,我们先去计算8+8 问题就简化多了.解：x y 则y x +=222,16xy x y =+=, ()28844442x y x y x y +=+-()[]442222222y x y x y x --+=()2256832=--61472=.即8+8=61472.因为0<8<1,所以不超过8的最大整数为61471.本例题通过对偶思想，构造对偶数列8，使问题得到巧妙解决. 4.构造几何模型 如果原问题的已知条件，数量关系有比较明显的几何意义或者是以某一种形式可以和几何图形建立联系，那么我们就可以把已知条件或要证不等式中的代数量直观化为某个图形中的几何量，即构造出一个符合条件的几何图形，便可应用该图形的性质及相应的几何知识证明不等式.例7.m >，()0m n >>.分析：由隐含条件可知0m n >>和22m n -的形式考虑到可以构造一个直角三角形ABC ，如图所示使AB m =，BC n =，90C ︒∠=，显然AC =， 0m n >> ，2mn n >，222mn n >,222mn n n ∴->n >; n m >>.数形结合是针对具体问题的特点而构造出的几何模型，是借用一类问题的性质，来研究一类问题的思维方法，是丰富学生联想，拓展学生思维，培养学生创造意识和创造思维的手段之一.数形结合有助于找到解答思路，也常使解答简捷，是一种很常用的解题法，一些不等式问题若能发现其几何意义，合理巧妙地构造图形，则可达到事半功倍的效果.（二）构造法在函数中应用构造函数需牢固掌握各类初等函数的性质.构造函数的过程要求我们敏锐地观察、正确地判断、合理地选择适当的函数，并准确运用函数的性质.有些数学问题本质上就是将其中某些变化的量建立起联系来构造函数，再利用函数性质就能解决，其基本思想就是将数学问题转化为函数问题来解答，它的用途非常广泛，常见的有不等式的证明、解方程、做辅助函数等，下面谈谈如何用构造法解决在函数中的应用.1.构造函数例8.(一般形式的中值定理)设f 和g 是闭区间[]b a ,上的两个连续函数,在开区间()b a ,内都可导,则在()b a ,内至少存在一点ξ,使得()()[]()()()[]()ξξf a g b g g a f b f '-='-.分析:将结果中的ξ换成变量x ,可得()()[]()()()[]()x f a g b g x g a f b f '-='-,作恒等变换()()[]()()()[]()0='--'-x f a g b g x g a f b f , 则 ()()[]()()()[]()()0='---x f a g b g x g a f b f ,积分得()()[]()()()[]()C x f a g b g x g a f b f =---,作辅助函数()()()[]()()()[]()x f a g b g x g a f b f x F ---=.BC A证明: 作辅助函数:()()()[]()()()[]()x f a g b g x g a f b f x F ---=,显然()x F 在闭区间[]b a ,上满足Rolle 理的条件,故在()b a ,内至少存 在一点ξ,使得()0='ξF 即()()[]()()()[]()ξξf a g b g g a f b f '-='-.从一般形式的中值定理的证明看出:微分中值类问题中的证明,关键是构造一个辅助函数,构造方法一般从结论出发,通过对条件和结论的分析,构造出辅助函数,具体的构造方法如下:将欲证结论中的ξ换成x ,然后等式两端积分,再将积分结果移项,使等式一端为常数,则等式的另一端即为所求的辅助函数. 2.构造方程方程是数学解题的一个重要工具，对于很多数学问题，根据其已知条件，数量关系构造出与结论相关的函数方程，在已知与未知之间搭起桥梁，通过对辅助方程及方程的性质（比如求根、找根与系数的关系、找判别式等）的研究，来解决原问题，使解答简捷、合理.例9. 设R y x ∈,且322=++y xy x ，求22y xy x +-的最值.分析：观察已知条件所给的两个代数式的结构特点，设22x xy y k -+=,则易得到22x y +与22x y 的等式.联想到将22,x y 看作是某一个方程的两个根，则代数式的最值问题转化为方程是否有解的问题，问题就容易解决多了.解：由已知322=++y xy x ，并设22x xy y k -+=,可得2232k x y ++= , 222694k k x y -+= 所以22,x y 是关于t 所构造函数方程22369024k k k t t +-+-+=的两个根, 2236902k k k +⎛⎫∴∆=--+≥ ⎪⎝⎭或21090k k -+≤. 19k ∴≤≤当y x ==1时，221x xy y -+=；当3,3x y ==时,22y xy x +-=9.综上可知22y xy x +-的最小值为1,最大值为9. 例10.设242210,210a a b b +-=--=且210,0ab a -≠≠.求2000221ab b a ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的值.分析：通过仔细观察，可将2210,0a a a +-=≠变为211210a a ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,再由 ()222210b b --= 发现21,b a可看作是2210x x --=的两个根，同时2000221ab b a ⎛⎫++ ⎪⎝⎭等价为2000221b b a a ⎛⎫++ ⎪⎝⎭构造函数方程使问题变得简单.解：将2210,a a +-=变形为211210a a ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,0a ≠ ,()222210b b --=,∴21,b a是2210x x --=的两个根, 即212b a+=，211b a =-.所以2000221ab b a ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=()200020002211211b b aa ⎛⎫++=-= ⎪⎝⎭.例11.锐角,,αβγ满足222sin sin sin 12sinsinsin222222αβγαβγ++=-,求证αβγπ++=.证明：已知条件可视为关于sin2α的一元二次方程，由题意可得222sin 2sin sin sin sin sin 10222222αβγαβγ⎛⎫⎛⎫+++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 由2222224sin sin 4sin sin 14cos cos 222222βγβγβγ⎛⎫∆=-+-= ⎪⎝⎭, 因为,,αβγ为锐角，即,,222αβγ也均为锐角，由一元二次求根公式得sinsinsincoscoscos 2222222αβγβγβγ⎛⎫=-+=+ ⎪⎝⎭, 又022απ<< ，则sin02α>，再由022βγπ<+<，则有2222aβγπ+=-， 故αβγπ++=. 3.构造复数复数是实数的延伸，一些难以解决的实数问题可以转化为复数问题，虽然数的结构会变得复杂，但常使问题简明化，正所谓“退一步海阔天空”.复数内容的增加使学生更加全面的认识数的概念，也把学生的思维打开，而不是局限于实数那个狭小的范围内.例12.求函数y =.分析：可以看作是2x i +的模,可以看作是()13x i -++的模,然后利用复数模的性质求解.解：设()12122,1315z x i z x i z z i =+=-++⇒+=+, 因为1212z z z z +≥+,≥=当 1z ,2z 同向时，即12x x-=时 ,25x =.综上可知y .4.构造级数级数与函数、数列、导数等诸多知识密切的联系在一起，根据问题条件中的数量关系和结构特征，构造出一个级数，然后依据理论，使问题在新的关系下得到转化而获解.下面就是一个构造级数的例子.例 13.设{}n x 的定义如下：()()12121,,,3,42n n n x a x b x x x n --===+=⋅⋅⋅ 求lim n n x →∞.解析：构造级数11()k k k x x ∞-=-∑ 设00x = 具体的写出{}1k k x x --如下：()02112x x b a b a ⎛⎫-=-=-- ⎪⎝⎭,()()()13221221111222x x x x x x x b a ⎛⎫-=+-=--=-- ⎪⎝⎭,()()()24332332111222x x x x x x x b a ⎛⎫-=+-=--=-- ⎪⎝⎭,……,()2112k k k x x b a --⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭,……,因此lim n n x →∞=11()k k k x x ∞-=-∑()()2211223k k b a a a b -∞=⎛⎫=--+=+ ⎪⎝⎭∑. 本题中的级数11()k k k x x ∞-=-∑就是构造的级数，它通过合适的构造，使原问题变得更加简单易求. 5.构造辅助命题在解决某些数学问题时，如果缺乏现成的根据，那么我们不妨构造一个辅助命题作为依据，只要证明了这个命题是真命题，原命题就迎刃而解.这种解决数学问题的方法，称为构造辅助命题.例14.解方程53232+=--x x x . （1） 分析：直接去原方程的绝对值符号得53232+=--x x x . （2）如果方程（1）与（2）同解，问题就容易解决.但在初等数学中没有定理可用来解决直接判定这两个方程是否同解.注意到方程（1）的定义域为R ,而对于任何R x ∈恒有()()03532322>+=++--x x x x ，于是可构造辅助命题：设方程()()x x f ϕ=. （3） 的定义域为A ,如果对于任何A x ∈，恒有()()0>+x g x f ，那么方程（3）与方程()()x x f ϕ=. （4） 同解.证明：先证（3）的解是（4）的解. 设1x 是（3）的任一解，则()()11x x f ϕ=， 两边平方得()()[]()()[]01111=+⋅-x x f x x f ϕϕ;()()11x x f ϕ=∴.再证（4）的解必是（3）的解.设2x 是（4）的任一解，则()()22x x f ϕ=，上式可改写为()()22x x f ϕ=，这表明2x 是方程（3）的解，命题得证. 根据上述辅助命题，解例题方程（1）只需解方程（2); 解得：1-=x 或7=x .下列方程也可根据这个辅助命题求解： (1).;311x x x -=-++ (2).x x x -=-+7322.（三）构造法在其他特例中的应用综合上面，我们所列举构造法的一些应用，其实构造法的应用不仅仅这些，还有其他的,下面我们列举一些其他的构造法，可以让我们更进一步去研究构造法的应用. 1.构造新的数学命题当一些问题直接证明（或求解）较困难时，可以寻找与之等价（或接近）的较易证明的另一问题，比如构造原命题的逆否命题、构造矛盾命题等.例15.求证在自然数集中，存在()N n n ∈+,12个连续的自然数，使得前1+n 个自然数的平方和等于后n 个数的平方和.分析：这是一个证明存在性的问题，直接证明不易入手，但可以从题目的“连续”和“12+n ”的条件发现这12+n 个数中，中间的那个数（即第1+n 个数）是关键.不妨设这个数为m ，则第一个数为n m -，第12+n 个数为n m +，这样就把问题转化为：求以m 为未知数的方程，()()21221∑∑==+=+-nk nk k m m k m 的自然数解，此方程不难求解，移项得()()[]02122=++--∑=m k m k m n k ,化简得 ()0122=+-m n n m ,解得 0=m （舍去），()()N n n n m ∈+=,12.即存在第一个数为()12+n n ，第1+n 个数为()122+n n ，最后一个数为()32+n n 的12+n 个连续自然数，符合题目所求.2.构造递推关系根据函数方程和递推关系之间的联系，根据已知条件和各种定理以及相应的运算法则，构造一个递推关系，能产生意想不到的效果.例16.设12,x x 是方程2310x x ++=的两个根，试求7712x x +的值. 分析：令()12()n n f n x x n N =+∈ ，由12123,1x x x x +=-=()13f =-, ()27f =, ()2f n +=2212n n x x +++()()()1112121212n n n n x x x x x x x x ++=++-+()31()f n f n =-+-重复迭代就可以任意算出()f n 的值，这里()13f =-,()27f =,()318f =-,()447f =; ()5123f =-,()6322f =, ()7843f =-,所以7712x x +=-843.例17.用1,2两个数字写成n 位数，其中任意相邻的两位不全为1，记n 位数的个数为()n f ，求()10f .解:把满足条件的n 位数分成两类:第一类以1开头的数，其第二位数必是2,因此划去这两个数字共有()2-n f ;第二类以2开头，则第二位可以是1，也可以是2,划去第一位数字2，共有()1+n f 个数.所以()()()21-+-=n f n f n f . 因为()21=f ,()32=f ,所以()53=f ,()84=f ,()135=f ,()216=f ,()347=f ; ()558=f ,()899=f ,()14410=f . 即10位数共有144个. 3.构造反例为了说明一个问题不真，常常选择一个符合题设条件但命题不成立的反例，这个过程叫做构造反例.选择特殊值，极端的情形，常常都是构造反例，反例是用已知为真的事实去揭露另一个判断的虚假性.例18.若命题x ,y 为无理数，则“y x ”也为无理数是否成立? 如果从正面回答这个问题有点难度，因此构造范例如下：解：（12==y x ,（2,有2yx ===⎪⎭.论它是有理数还是无理数，都给这个命题提供了反例，避免了从正面去证明这个命题. 4.构造实际模型数学源于生活而又应用于生活，当遇到抽象问题时，一时难以下笔，则可以考虑从实际生活中找原型，并将数学问题放到实际生活情境中去研究，巧妙地构造出新的数学模型，化抽象为具体，化复杂为简单，从而使问题求解带来意想不到的结果.构造模型就是换一种问题语境，其目的在于，为抽象的数学形式寻求某种具体背景，以便于通过直观的意义来解决问题.例19.求方程10=+++w z y x 有多少组正整数解?分析:这是一个不定方程问题,若用代数法进行讨论非常繁琐,若通过构造法将其转化为组合问题,则此题很容易得到解答.即构造10个相同的小球,放在4个盒子中,则每个盒子不空的总的放法即为方程解的组数.其又相当于将10个小球排成一排放在两条竖线之间,则球与球之间构成9个空位,在9个空位间划3条竖线,将每两条竖线间的小球依次装人4个盒子中,共有3C =84种装法,所以原方程有84组正整数解.9可见,通过构造模型可使抽象的数学问题具体化,形象化,从而使问题易于解答.构造法是数学中主要的解题方法之一，具有扎实的基本理论、基本运算的功底，是综合的分析解决问题的基础.同时多方位地、多角度的构造辅助问题，有机的将科学知识融汇贯通，提高解决问题的能力.构造法的应用还有很多，需要针对不同的数学问题采用其相应的构造方法，这里不能一一枚举，但通过以上几例可见，构造法在解题应用中不但具有把问题由繁化简，由难化易，由抽象化具体的转化功能，而且还具有保证解答正确的“保险”功能，因此构造法是解决数学问题应用甚广的一种方法.在解决数学问题中若能巧妙恰当地运用构造法，则可以达到事半功倍的效果.四、结束语笔者在形成论文的过程中，参考了大量的文献资料,对构造法在解题中的应用有了更深层次的理解和认识.在此系统的介绍了构造法的理论简介以及在不同类型题中的相关应用，使我们更进一步的了解构造法的有关知识，为更好的运用打下坚实的基础.同时，从本文的例子可以看出，构造法在解题中有意想不到的功效，它能使问题得到很快解决.但它也不拘一格，我们应具体问题具体分析，多种构造法要学会灵活运用.构造法的核心是根据题设条件，结论特征恰当构造一种新的数学对象.它在许多问题的解决过程中显示出令人瞩目的特殊作用，往往能化繁为简，化难为易，得到简捷明快，出奇制胜的效果，它已成为解决数学问题的重要方法.用构造法解决问题正是学习者主动建构知识的过程，在这个过程中，对自己已有的知识经验进行调整，整合或者重新组合，从而构造出新的数学对象，这样新旧知识发生冲突，从而引发认知结构的重组，构成新的认知结构，培养人们分析问题时的创新能力.同时提高我们作为学习者的学习、研究的能力，为将来成为优秀的数学教师打好基础、做好准备.参考文献[1] 高桐乐,数学解题中的基本模型构造.第二版1989 ,（11）.[2] 杜军涛,巧妙构造解题.考试周刊.2012年第31期.[3] Singh R,Green JH.The relation between career decisionmaking strategies and person-job fit:A study of job changers. Journal of Vocational Behavior,2004,64(1):198～221.[4] 王梅杰,构造法在解决数学问题中的应用法[J].教育科学2011,（12）.[5] 梁法驯,数学解题方法[M].华中理工大学出版杜,2000.[6] 张同君,陈传理,竞赛数学解题研究[M].高等教育出版社, 2005.11.[7] 郑兴明,构造向量巧解垂直问题.中学语数外（高中版），2003.[8] Judith A.McLaughlin.Understanding Statistics in theBehavioral Sciences.Wads worth Group,2002:320～321.[9] 宋波,例析构造数列解题.福建中学数学.2012年第7期.[10] 杨麦秀,构造法在数学分析中的应用.太原师范专科学校学报2001.[11] 戴再平,数学方法与解题研究[M].高教出版社.[12] 王子兴,数学教学论[M].广西师范大学出版社，1992.1.[13] 侯敏义,数学思维数学方法论.东北师范大学出版社.1991.[14] 陈自强,数学解题思维方法引导[M].中南工业大学出版社.1995.6.。
数列构造法开题报告
数列构造法开题报告数列是数学中的一个重要概念，它是由一系列按照一定规律排列的数字组成的。
在数学中，数列构造法是一种通过特定的规则和方法来生成数列的方法。
本文将探讨数列构造法的应用和意义。
一、数列构造法的基本概念数列构造法是指通过一定的规则和方法，按照一定的顺序生成一系列数字。
数列可以是有限的，也可以是无限的。
数列构造法可以通过递推公式、迭代公式、递归关系等方式来定义。
二、数列构造法的应用数列构造法在数学中有着广泛的应用。
首先，数列构造法可以用于解决一些实际问题。
例如，通过构造数列，可以描述一些物理过程中的变化规律，如自由落体运动中物体的位置随时间变化的规律。
其次，数列构造法可以用于解决一些数学问题。
例如，通过构造数列，可以证明一些数学定理，如数学归纳法的证明过程中常常使用数列构造法。
此外，数列构造法还可以用于解决一些算法问题，如排序算法中的冒泡排序、快速排序等。
三、数列构造法的意义数列构造法的意义在于它可以帮助我们理解和掌握数学中的一些概念和定理。
通过构造数列，我们可以发现其中的规律和特点，从而更好地理解和应用数学知识。
此外，数列构造法还可以培养我们的逻辑思维能力和创造力。
在构造数列的过程中，我们需要分析问题、寻找规律、进行推理，这些过程可以锻炼我们的思维能力。
同时，数列构造法还可以激发我们的创造力，通过构造不同的数列，我们可以发现其中的奇妙之处，从而开拓我们的思维空间。
四、数列构造法的实例下面以斐波那契数列为例，介绍数列构造法的具体过程。
斐波那契数列是一个无限数列，其定义如下：第一项和第二项为1，从第三项开始，每一项都等于前两项之和。
按照这个规则，我们可以构造出如下的斐波那契数列：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...通过观察斐波那契数列，我们可以发现其中的规律：每一项都等于前两项之和。
这个规律可以用递推公式来表示：an = an-1 + an-2。
利用这个递推公式，我们可以计算出斐波那契数列中的任意一项。
构造法在高考数学解题中的应用探究
构造法在高考数学解题中的应用探究
构造法是一种具有实用性和创造性的解题方法，它在高考数学解题中起着重要的作用。
本文将从几何、代数和组合三个方面探究构造法在高考数学解题中的应用。
构造法在几何题中的应用广泛而重要。
在解决平面几何问题时，构造法可以通过描绘
图形、连接线段等方式，帮助我们直观地理解问题，并且可以有助于我们发现问题中隐藏
的规律和特点。
在解决圆心角问题时，我们可以通过画圆和连接线段来辅助解题。
在解决
相似三角形问题时，我们可以通过画出高度、中位线等辅助线，来构造相似的三角形，从
而解决问题。
构造法使我们的解题过程更加直观、灵活，能够帮助我们更好地理解和解决
几何问题。
构造法在代数题中的应用也非常重要。
在解决代数方程和方程组问题时，构造法可以
帮助我们建立等式、推导关系，并通过构造特殊的数值来验证和求解问题。
在解决二次方
程问题时，我们可以通过构造法将二次方程转化为完全平方的形式，从而求解方程。
在解
决线性方程组问题时，我们可以通过构造法构造出满足条件的数值，从而求解方程组。
构
造法可以帮助我们深入理解代数的性质和运算规律，并通过具体的数值分析和验证来解决
问题。
构造法在高考数学解题中具有重要的应用价值。
在几何、代数和组合这三个方面，构
造法帮助我们直观地理解问题、建立等式和推导关系，并通过构造特殊的数值或图形来解
决问题。
它不仅提高了解题的效率和准确性，还培养了我们的创造思维和解决问题的能力。
在高考数学备考过程中，我们应该充分利用构造法，并通过大量的练习和实践来提升解题
能力。
构造法在高中数学解题中的应用分析
考点聚焦构造法在高中数学解题中的应用分析■李付才摘要：构造法是一种与其他逻辑方法存在差异的解题方式，必须借助于数学条件的求解，逐步推导结论，具有较强的试探性。
如果可以在高中数学解题中灵活运用构造法，就可以有效简化题目，降低题目难度，加快解题速度。
基于此，本文将以人教A版高中必修二的内容为例，对构造法在高中数学解题中的运用展开探讨。
关键词：构造法；高中数学解题；应用高中数学知识广度逐渐增加，为此，必须关注对学生数学思维的培养。
为了有效解决高中数学知识难度较大的问题，促进高中数学解题效率提升，要在数学解题实践中积极运用构造法，以提升学生的数学学科思维和学生解题的有效性，让基础知识和思维意识实现综合运用，以满足高中阶段数学学习的要求。
一、构造方程在高中数学的解题过程中，方程法是一种常用方法，学生对方程式的熟悉度通常较高，且方程式与函数和其他知识具有密切的联系，在数学学科中居于重要地位。
在解答与方程有关的问题时，可以借助题目中已知的数量关系和结构特征，利用等量性公式，分析不同未知量的关系和方程式的等量关系。
然后通过恒等式将方程进行变形，通过具体化的方式呈现数学习题中的抽象内容，提升其实质性，以降低题目难度，提升解题速度，保证学生答题的正确性。
通过构造方程的形式，解答高中阶段所遇到的数学问题，有利于提升学生的观察能力和学科思维能力。
在数学习题解答过程中，方程是重要的手段，可以通过题设量之间的数量关系构造方程，有效提升数学习题的直观性和有效性。
在解答数学习题时，部分问题与方程不存在直接联系，可以在深入分析后，根据不同量之间的关系构造方程，并且通过方程判别式或韦达定理解答方程问题。
例1.已知三个实数x、y、z之间的关系满足x+y+z=5，xy+yz+ zx=3，求z的最大值。
解析：为解决题目条件中涉及的两根之积和两根之和的问题，可以构建一元二次方程，根据Δ≥0，求解值域和最值的问题。
由题可知x+y=5-z，又因为xy=3-（x+y）×z，可以构造一个以x、y为根、与t有关的方程：t2-（5-z）×t+［3-（5-z）×z］=0，该方程存在两个不同的实数根，根据Δ≥0，求出该方程的取值范围。
构造法在高考数学解题中的应用探究
构造法在高考数学解题中的应用探究1. 引言1.1 构造法在高考数学解题中的应用探究构造法是一种在数学问题中常用的解题方法，它利用构造新对象或者研究已有对象的性质来解决问题。
在高考数学中，构造法被广泛运用于各种类型的题目中，包括代数、几何、概率、数学建模以及解答题等。
通过构造法，可以更加灵活地解决问题，提高解题效率。
在代数题中，构造法常常用于证明方程的解法是否正确或者求解特定的解。
通过构造新的代数式或者等式，可以更加直观地理解问题，简化解题过程。
构造法可以用于证明一元二次方程有两个不同实数根的情况。
在几何题中，构造法可以用来构造特殊的图形或者角度，从而推导出问题的解。
通过构造各种几何图形，可以更清晰地看到几何关系，简化证明过程。
构造法可以用来证明三角形的角平分线相交于内心。
在概率题中，构造法可以用来构造特定的概率空间或者事件，帮助求解概率问题。
通过构造不同的概率模型，可以更好地理解问题，找到解题思路。
构造法可以用来计算抛硬币的概率问题。
在数学建模中，构造法可以用来构造数学模型，帮助分析实际问题。
通过构造各种数学模型，可以更准确地描述实际情况，指导解决问题的方法。
构造法可以用来建立人口增长的数学模型。
2. 正文2.1 构造法在代数题中的应用构造法在代数题中的应用是高考数学解题中的重要部分。
代数题通常涉及方程、不等式的求解以及函数的性质等内容，而构造法的运用可以帮助我们简洁而有效地解决这些问题。
在代数题中，构造法可以被应用于方程组的解法。
通过构造合适的方程组，我们可以很快地得到未知数的取值。
在解二元一次方程组时，我们可以通过构造一个新的方程来消去其中一个未知数，从而简化求解过程。
构造法还可以被用于不等式的证明。
通过构造一个或多个具体的数值来验证给定的不等式是否成立，我们可以快速判断不等式的真假。
构造法也可以帮助我们找到不等式的最优解。
在函数的性质证明中，构造法同样可以发挥重要作用。
通过构造一个特殊的函数形式，我们可以验证函数的性质，并推断出一些重要结论。
构造法在高考数学解题中的应用探究
构造法在高考数学解题中的应用探究构造法是数学解题中的一种非常重要的方法，它可以通过构造出特定的某个实例来解决问题。
在高考数学中，构造法被广泛应用，特别是在几何、代数和组合题型中。
在几何题型中，构造法可以被用于推导探究几何性质。
以三角形为例，当我们需要证明某些性质时，可以通过构造出一个特殊的三角形来展示性质的正确性。
例如，当我们需要证明中位线重合于三角形的重心时，可以构造一个等边三角形，这时中位线就恰好重合于三角形的重心。
这种构造法可以大大简化证明过程，并使证明更加清晰直观。
在代数题型中，构造法可以用于找到规律和解决方程。
以找规律为例，假设我们需要求一个数列的第 n 项的值，但没有规律可以直接求解。
此时，可以通过构造数列的前几项，观察数列中的规律，然后推测出通项公式。
如果是解方程的题型，可以通过构造一个特殊的解，来验证方程的解的正确性。
在解非线性方程时，构造法尤为重要。
例如，当我们需要求解一个含有分式的方程时，可以通过构造一个合适的分式，使得原方程等价于一个易于求解的线性方程，从而求解原方程。
在组合题型中，构造法可以用于寻找方法，并验证答案的正确性。
以排列组合为例，当我们需要求解某种排列组合的方法数时，可以通过构造一个可行的方案来进行计数。
例如，当我们需要求解将一个字符串分成 k 段的方法数时，可以通过构造一个方案，先在字符串中插入 k-1 个分隔线，然后对字符和分隔线进行排列组合。
通过这种构造方法，我们可以方便地进行计数，并验证计算结果的正确性。
总之，构造法在高考数学解题中拥有非常广泛的应用。
通过构造合适的实例，可以大大简化问题的求解过程，使得问题更加清晰明了，同时还能够验证答案的正确性。
因此，在备考高考数学时，我们应该加强对构造法的掌握，并运用得当。
构造法在高考数学解题中的应用探究
构造法在高考数学解题中的应用探究构造法是一种解决问题的方法，它主要通过构造出特殊的情况来推导出解答的方法。
在高考数学中，构造法经常被用于解决一些特定的问题，特别是那些需要找出特殊条件或者特殊情况来解决的问题。
在高考数学中，构造法常常被运用到函数、几何、代数等各个领域中。
比如在函数的题目中，如果要求我们构造一个满足某些条件的函数，我们可以利用构造法来构造出这个函数。
在几何的题目中，如果要求我们构造一个满足某些条件的图形，我们同样可以利用构造法来构造出这个图形。
在代数的题目中，如果要求我们构造一个满足某些性质的方程或者矩阵，我们同样可以利用构造法来构造出这个方程或者矩阵。
构造法的优点是可以通过构造出特殊的情况来推导出解答的方法，因此可以大大简化问题的求解过程。
通过构造出特殊的情况，我们可以发现一些规律或者性质，从而推导出通用的解答方法。
相比其他解题方法，构造法更加直观和简洁。
构造法也有一些限制。
构造法要求我们先找到特殊的情况并构造出来，这要求我们具备一定的创造力和灵活性。
构造法只能对特定的问题起作用，对于一些复杂的问题可能无法直接应用。
构造法得出的结果可能只是局部的，不能推广到所有情况。
在运用构造法解题时，我们需要灵活掌握方法，结合题目的具体要求来分析和构造。
在构造的过程中，需要注意观察问题的特点和规律，确保所构造出的情况满足题目所要求的条件。
在运用构造法解题时，我们还可以结合其他解题方法，比如递推法、反证法等，以达到更好的解题效果。
构造法在高考数学解题中的应用是非常广泛的，它可以帮助我们通过构造特殊的情况来推导出解答的方法，从而简化解题过程。
通过灵活运用构造法，我们可以更好地应对各种数学问题，提高解题的效率和准确性。
构造法在高中数学解题中的运用
构造法在高中数学解题中的运用摘要：文章分析了构造法应用的几点原则, 从构造方程、构造函数、构造复数以及构造图形四个方面展开了分析, 通过列举例题的形式帮助理解、熟练的应用构造法, 为我们今后学习数学奠定好基础。
关键词：高中; 数学解题; 构造法;数学是高中的一个基础学科, 相比初中数学来说, 高中数学知识的难度有所提升, 如何高效率完成习题求解是目前最为关键的问题。
构造法作为高中数学解题中的一种常见方法, 不但可以将抽象的数学问题具体化, 降低难度, 而且可以提高我们对于数学解题的积极性, 提升解题效率。
对于构造法在数学解题中的应用, 本文将展开如下分析。
1. 高中数学解题中的构造法1.1 概述应用构造法解答数学问题时, 往往被构造的对象比较多样化, 包括数、式、函数、方程、数列、复数、图形、图表、几何变换、对应、数学模型、反例等诸多内容, 关于这一点可以从具体的实例中体现。
解题过程中, 并没有固定的解题模式, 所以我们需要注意不能一味生搬硬套。
但是在实践中可总结如下规律:使用构造法求解数学问题, 首先要了解构造法根本目的;其次需要我们首先掌握数学问题的特征, 以此为依据明确解题方案, 最终迅速、准确的完成解题。
1.2 原则第一针对以抽象性见长的数学问题, 运用构造法解题能够使其更加直观的呈现, 减少解题时间, 提升解题效率[1]。
第二在教师的指引下, 我们可以快速转化问题, 保证问题创建与我们的知识水平相符。
因此, 应用构造法求解问题时, 必须要选择难度适中的习题, 否则对于我们解题能力的提升毫无助益。
第三为了能够确定与问题“相似结构”的原模型, 可以通过直觉以及化归等方法分析已知条件, 明确新问题, 从而快速完成习题求解。
2. 构造法在数学解题中的运用构造法即以原有题型为前提, 通过针对某一条件以及结论提出假设, 通过数学领域的相关理论、公式等构造与问题已知条件、结论要求相符的数学模型。
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课题研究目的：
任何专业技能的学习都必须建立在基础知识学习之上。当前，新课程改革要求学生要全面发展，提高综合能力和素质。数学教育作为一项专业技能教育，成为许多学生和家长眼中的热点。现代数学素质教育要求大力提高学生的数学素养，这不仅要使学生掌握数学知识，而且要使学生掌握渗透于数学知识中的数学思想方法，使他们能用数学知识和方法解决实际问题。
课题研究计划：
预计用15周完成毕业论文，具体时间安排如下：
第1至2周：完成开题报告并交老师批阅；
第2至6周：查阅相关文献和书籍；
第6至8二稿交老师批阅；
第12至13周：完成论文三稿；
第13至15周：定稿、答辩；
主要参考文献：
1.华东师范大学数学系编.《数学分析》.高等教育出版社；
7.钱昌本.《高等数学解题过程的分析和研究》.科学出版社.2002,77-94；
8.黄翔.《数学方法论选论》.重庆大学出版社.1995,183-200；
9.刘银萍.构造法在高等数学教学中的应用.吉林师范大学学报（自然科学版）,2006年8月,第3期：85—86；
10.邬洪涛、何平.构造法在高等数学解题中的应用.长春理工大学学报（高教版）,2009年11月,第4卷第11期:84—85,99；
其实，人们在探索过程中获得的一些重要的思维结果，进一步形成了数学思想。把数学思想作为解决数学问题或实际问题的工具或手段就产生了数学思想方法。数学思想方法在问题的处理、解答中常常起到评估、决策的作用，进而就确定了思想方向和方法。如果不了解数学思想方法，缺乏数学思想方法的引导，解题中会无从下手走弯路。数学思想方法是数学的精髓，用这种思想方法去解决问题，就要求我们对各种知识所表现出来的数学思想做出归纳概括。在解答数学问题时，可以应用的思想方法有很多，常见的几种数学方法有构造法、换元法、待定系数法、定义法；常见的几种数学思想，如：函数与方程的思想、分类讨论思想、数形结合思想、转化思想等。了解了数学思想方法，分析了数学问题的特点，就可以做到快速有效地解决数学问题。
2.章士藻著.《中学数学教育学》.江苏教育出版社；
3.章乐瑞、郝炳新著.《高等代数》.高等教育出版社；
4.李师正、张玉芬、李桂荣.《高等代数解题方法与技巧》.高等教育出版社；
5.王向东,贾士代.《中学数学实用解题方法与技巧》.兵器工业出版社.1989；
6.沈国仓.略谈构造法在高等数学中的应用.安徽教育学院学报,1999,(1):15-19；
本科毕业论文（设计）开题报告
系别：应用数学学院专业：数学与应用数学
学生姓名
学号
指导教师
职称
副教授
所选题目名称：
构造法在解题中的应用
课题研究现状：
从数学产生那天起，数学中构造性的方法也就伴随着产生了。但是构造性方法这个术语的提出，直到把这个方法推向极端，并致力于这个方法的研究，与数学基础的直觉派是密切相关的。直觉派出于对数学“可信性”的考虑，提出了一个著名的口号：“存在必须是被构造的。”这就是构造主义。近代对构造性方法的研究，大致经历了如下三个阶段：一是直觉数学阶段。直觉派的先驱者是19世纪末德国的克隆尼克，他明确提出并强调了能行性，主张没有能行性就不得承认它的存在性。二是算法数学阶段。算法数学的方案是把可容许数学对象的范围限制到某个多少是任意选定的类，而不像直觉数学那样去挑战传统的证明规则。其中以马尔科夫及其合作者创立的“算法数学”，尤为引人注目。三是现代构造数学阶段。1967年，比肖泊书的出版宣告了构造法进入“现代构造数学”阶段。
由此可知，在数学发展之初，大量的直观经验需要加以总结和提高，构造方法此时就体现出极强的应用价值，所以在中西方古代数学中产生了深远的影响。
组合数学、计算机科学中所涉及的数学，都是构造性数学的新领域。尤其是图论，更是构造性数学发展的典型领域之一，因为图的定义就是构造性的，同时图的许多应用问题，如计算机网络、程序的框图、公式的表达式等也都是构造性很强的问题。应用构造法获得发展的另一分支是数值分析，此外，拓扑学、维数理论等，也是构造数学大有用武之地的领域，与此同时在解题中也有着广泛的应用。
实际上，构造法从数学产生之时就已经存在，在古代数学的建立与发展中起着重要的作用。以西方的《几何原本》和中国的《九章算术》为例，尽管两者在逻辑推理方式上迥异，但在运用构造性方法方面却有着一些共同之处。我国古代数学所采用的构造方法，注重问题解决的能行性，因此形成了丰富的术，这些术就是一个个构造性的机械式的计算程序，他们对推动古代数学的发展起到了重要的作用。数学家吴文俊曾指出，《九章算术》中的开方术经过一千多年发展到宋代的增开方与正负开方术的求方程根的数值解法是中国古代数学构造性与机械性思想方面的代表性成就。
本课题主要从构造法入手分析其在解题中的应用，构造法作为一种数学方法，不同于一般的逻辑方法，一步一步寻求必要条件，直至推导出结论，它属于非常规性思维。其本质特征是“构造”，用构造法解题，无一定之规，表现出思维的试探性、不规则性和创造性。构造法的主要思想在于构造函数、构造方程、构造数学关系式、构造辅助命题、等价命题、图形等. 应用构造法解题关键有两点：第一是要有明确的方向，即为什么目的而构造；第二是必须弄清条件的本质是什么，需要怎样进行构造，从而达到解题的目的。
课题研究内容：
第一章前言
第二章构造法概述
一、构造法的历史
二、构造法的基本概念
第三章构造法在解题中的应用
一、构造法在解决几何问题中的应用
二、构造法在解决代数问题中的应用
三、构造法在解决数学分析问题中的应用
四、构造法在解决三角函数问题中的应用
五、构造法在解决复数问题中的应用
第四章结语
第五章参考文献
第六章致谢
11.杨麦秀.构造法在数学分析中的应用.太原师范专科学校学报,2001年,第2期:84—86；
12.黄斌、杨锦伟.函数构造法在解行列式求解中的应用举例.平顶山工学院学报，2008年5月,第17卷第3期:47—50；