绝热过程、多方过程
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热力学2
A
共同特点 对外作功 工质吸热增加内能 热量散发
热机的工作原理
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AaB为膨胀过程：Aa 为膨胀过程： 为膨胀过程 BbA为压缩过程：-Ab 为压缩过程： 为压缩过程
PA
P A a
净功： 净功：
PB
b
B V
A = Aa Ab
VA
VB
结论：在任何一个循环过程中，系统所作的净功 结论：在任何一个循环过程中， 在数值上等于P-V图上循环曲线所包围的面积。 图上循环曲线所包围的面积。
两边微分得： 两边微分得：
M PdV +VdP = RdT Mmol
(2)
）、（2）式可得： 由（1）、（ ）式可得： ）、（
(Cp CV )PdV RPdV = PdV +VdP = CV CV
CVVdP + Cp PdV = 0
γ=
Cp CV
dP dV +γ =0 P V
两边积分： 两边积分：
M RdT 由理想气体方程： 由理想气体方程： PdV +VdP = Mmol
微分： 微分： PV
n
= 恒量
dP dV +n =0 P V
解方程组： 解方程组：
n γ C= CV n 1
多方过程功的推导： 多方过程功的推导：
PV = PV
n 1 1
V2
n
A = ∫ PdV = ∫
V 1
n 1 1
V2
QAB
V2 M = AAB = RT1 ln Mmol V1
吸热
A
T1=300K B D T2=200K C
QBC = EBC
M 5 = R(T2 T1 ) Mmol 2
共同特点 对外作功 工质吸热增加内能 热量散发
热机的工作原理
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AaB为膨胀过程：Aa 为膨胀过程： 为膨胀过程 BbA为压缩过程：-Ab 为压缩过程： 为压缩过程
PA
P A a
净功： 净功：
PB
b
B V
A = Aa Ab
VA
VB
结论：在任何一个循环过程中，系统所作的净功 结论：在任何一个循环过程中， 在数值上等于P-V图上循环曲线所包围的面积。 图上循环曲线所包围的面积。
两边微分得： 两边微分得：
M PdV +VdP = RdT Mmol
(2)
）、（2）式可得： 由（1）、（ ）式可得： ）、（
(Cp CV )PdV RPdV = PdV +VdP = CV CV
CVVdP + Cp PdV = 0
γ=
Cp CV
dP dV +γ =0 P V
两边积分： 两边积分：
M RdT 由理想气体方程： 由理想气体方程： PdV +VdP = Mmol
微分： 微分： PV
n
= 恒量
dP dV +n =0 P V
解方程组： 解方程组：
n γ C= CV n 1
多方过程功的推导： 多方过程功的推导：
PV = PV
n 1 1
V2
n
A = ∫ PdV = ∫
V 1
n 1 1
V2
QAB
V2 M = AAB = RT1 ln Mmol V1
吸热
A
T1=300K B D T2=200K C
QBC = EBC
M 5 = R(T2 T1 ) Mmol 2
理想气体的绝热过程和多方过程
(用得较多)
由pγ-1Vγ(γ-1) = C1γ-1，V (γ-1)γTγ = C2γ，得pγ-1T-γ = C1γ-1/C2γ= C3，
这些都是理想气体准静态绝热过程的状态方程。
(容易记忆)
{范例8.7} 理想程？绝热方程是什么？理想气体在多方过程中的p-V有什么特点？
理想气体在准静态绝热过程中有关系dQ = dE+pdV = 0，
因此得
利用理想气体状态方程
两边同时微分得
其中利用了迈耶公式Cp – CV = R。
两式相除可得
根据比热容比的定义
可得
积分得lnp + γlnV = C，
即 pVγ = eC = C1，
除以理想气体方程可得Vγ-1T = C1μ/MR = C2，
下列方程组中的任何一个都能表示理想气体的多方过程
pVn = C1，Vn-1T = C2，pn-1T -n = C3，
C1、C2和C3是不同的常数。
方程组可化为
①当n = 1时，方程组表示等温过程：pV = p0V0，T = T0 。
②当n = 0时，方程组表示等压过程：p = p0，V/T = V0/T0 。
在同一点，绝热过程的斜率大于等温过程的斜率，这是因为在等温过程中，外力做功时压缩体积而不使气体温度升高，从而使压强增加；在绝热过程中，外力做同样多的功还使气体温度升高，因而使压强增加得更快。
分子的自由度越小，比热容比就越大，绝热过程的斜率就越大。
当温度一定时，对理想气体状态方程求微分得pdV + Vdp = 0，因此
对第一个绝热方程求微分得pγVγ-1dV + Vγdp = 0，因此
由于γ > 1，所以有
说明：在p-V图中的同一点，绝热线比等温线陡峭。
由pγ-1Vγ(γ-1) = C1γ-1，V (γ-1)γTγ = C2γ，得pγ-1T-γ = C1γ-1/C2γ= C3，
这些都是理想气体准静态绝热过程的状态方程。
(容易记忆)
{范例8.7} 理想程？绝热方程是什么？理想气体在多方过程中的p-V有什么特点？
理想气体在准静态绝热过程中有关系dQ = dE+pdV = 0，
因此得
利用理想气体状态方程
两边同时微分得
其中利用了迈耶公式Cp – CV = R。
两式相除可得
根据比热容比的定义
可得
积分得lnp + γlnV = C，
即 pVγ = eC = C1，
除以理想气体方程可得Vγ-1T = C1μ/MR = C2，
下列方程组中的任何一个都能表示理想气体的多方过程
pVn = C1，Vn-1T = C2，pn-1T -n = C3，
C1、C2和C3是不同的常数。
方程组可化为
①当n = 1时，方程组表示等温过程：pV = p0V0，T = T0 。
②当n = 0时，方程组表示等压过程：p = p0，V/T = V0/T0 。
在同一点，绝热过程的斜率大于等温过程的斜率，这是因为在等温过程中，外力做功时压缩体积而不使气体温度升高，从而使压强增加；在绝热过程中，外力做同样多的功还使气体温度升高，因而使压强增加得更快。
分子的自由度越小，比热容比就越大，绝热过程的斜率就越大。
当温度一定时，对理想气体状态方程求微分得pdV + Vdp = 0，因此
对第一个绝热方程求微分得pγVγ-1dV + Vγdp = 0，因此
由于γ > 1，所以有
说明：在p-V图中的同一点，绝热线比等温线陡峭。
§13.3 绝热过程 多方过程
对始、末两平衡态可用气体状态方程。
Chapter 13作. 热者力：学杨基茂础田
§13. 3 绝热过程 多方过程
自由膨胀过程： Q E W E 0
T1 T2
初态： p1V0 RT1
Q0 , W 0
p2 , 2V0 ,T2
☻自由膨胀过程为非准静态过程，绝热方程不适应！ ☻虽为非准静态过程，但仍可应用热力学第一定律；
m k
2
mV
pS2
振动频率：
f
1 T
1
2
pS2
mV
m
dx 平衡位置
(
p
p0
mg S
)
(解毕)
S
(2 f )2
pS2
mV
测量比热比的一种方法。
V
Chapter 13作. 热者力：学杨基茂础田
§13. 3 绝热过程 多方过程
课堂练习 如图，判断acb过程Q、△E、W的正负号。
TV n1 C pn1T n C
p
n
n1 绝
等热 温
n0
定压
o
n
定 体
V
Chapter 13作. 热者力：学杨基茂础田
§13. 3 绝热过程 多方过程
1. 绝热方程：
pV C1 TV 1 C2
p 1T C3
2. 绝热过程的功：
Chapter 13作. 热者力：学杨基茂础田
§13. 3 绝热过程 多方过程
1. 绝热过程的功 WQ：
p
pV C1 p V
p1
pV p1V1 p2V2 C1
WQ
热力学第一定律应用
3 2 V1(
pa
pc )
450R
300
c
b
循环过程中系统吸热
O
1
2 V（10-3m3）
Q1 Qab Qca 600R ln 2 450R 866R
循环过程中系统放热
此循环效率
Q2 Qbc 750R
1
Q2 Q1
1
750R 866R
13.4 00
29
例 逆向斯特林致冷循环的热力学循环原理如图所示
当高温热源的温度T1一定时，理想气体卡诺循环的致 冷系数只取决于T2 。 T2 越低，则致冷系数越小。
26
三、 卡诺定理
1. 在温度分别为T1 与T2 的两个给定热源之间工作的一切可 逆热机，其效率 相同，都等于理想气体可逆卡诺热机的
效率，即
1 Q2 1 T2
Q1
T1
2. 在相同的高、低温热源之间工作的一切不可逆热机，其
曲线起始于同一点. n可取任意值，不同n对应不同的过程曲线。
16
3种多方过程方程：
理想气体多方过程的定义 ：
pV n C
再根据理想气体的状态方程：
PV RT
以T、V或T、p为独立变量，还可有如下多方过程方程 ：
TV n1 C
p n1 Tn
C
17
二、多方过程摩尔热容
设多方过程的摩尔热容为Cn.m ，则：
dQ Cn,mdT
根据理想气体的热一律，可得：
Cn,m dT CV ,m dT pdV
在两边分别除以 dT
Cn,m
CV ,m
p( dVm dT
)n
CV ,m
p( Vm T
)n
式中的下标n 表示是沿多方指数为n 的路径变化。
物理化学知识点总结
热力学第一定律一、基本概念1、体系和环境（1）、体系和环境体系：作为研究对象的物质及其所在的空间称为体系；环境：体系以外且与体系密切相关的物质及其所在空间称为环境；界面：体系和环境之间存在有界面，界面可以是容器的器壁，也可以是假想的界面，本质上，界面是认为设想的几何面，其中不包含物质，不具备物理和化学性质。
（2）、体系的分类体系和环境之间可以有物质和能量的交换，依据此，可将体系分为敞开体系、封闭体系、隔离体系。
①、敞开体系：体系与环境之间既有能量交换又有物质交换；②、封闭体系：体系与环境之间只有能量交换而无物质交换；③、隔离体系：体系与环境之间既无能量交换也无物质交换。
2、状态和状态函数（1）、状态和状态函数的定义状态：状态是指体系所有性质的总体表现；状态函数：体系的热力学性质称为状态函数。
（2）、状态函数的性质：①、体系的状态一定，状态函数就有定值。
②、状态函数的变化值只取决于始、末状态，与变化的经历无关。
③、状态函数的微分为全微分。
（3）、状态函数的分类。
①、广度性质：体系的广度量与物质的数量成正比，如V，U等，它具有加和性②、强度性质：体系的强度量与物质的数量无关，如T，p等，它不具有加和性。
（4）、热力学平衡态一定条件下，体系中各个相的宏观性质不随时间变化，将体系与环境隔离体系的性质仍不改变的状态。
热力学平衡态应满足如下条件：①、热平衡：体系中的各个部分温度相等，即体系内部处于热平衡，有单一的温度；②、力学平衡：体系内部处于力平衡，有单一的压力；③、相平衡：体系内部各相之间的分布达到平衡，宏观上没有任何一种物质从一个相转移到另一个相；④、化学平衡：体系内部处于化学平衡，宏观上表现为体系的组成不随时间变化。
（5）、状态函数的数学性质若状态函数①、单值性：环形积分等于零，，或可写作全微分性质：③、归一化关系④、复合函数的偏微分，则⑤、偏微商的分离⑥、完全微分3、过程与途径在一定环境条件下，体系发生由始态到终态的变化，则称体系发生了一个热力学过程，（1）、变化过程①、等温过程：体系始态与终态温度相同，且变化过程中温度始终等于环境温度、等于；②、等压过程：体系始态与终态压力相同，且变化过程中压力始终等于环境压力、等于；④、体系由变化到，程，计算其热力学函数，如热力学能、熵变等要设计过程。
大学物理第二十五讲 绝热过程、多方过程、循环过程、卡诺循环
20
C p ,m
c a，绝热过程。
Qca 0
循环效率
p p2
a
Q2 1 Q1 1 | Qp | QT 8ln 4 1 1/ 7(4 4 )
p1
c
Va Vc
b
Vb V
o
21
例：效率为20%的热机的机械功率为1GW。求: 1.热机 工作时吸热和放热的速率；2.若热机吸热和放热是分 别在5ºC和25ºC的表层和深层的海水间完成的，则吸 热时每秒需要多少海水?（设海水比热 c = 4.18kJ/kgK）
热机
Q2
A
U 0, A Q1 Q2
p
低温热源T2
Q1
p
a
b
Q2
A
V
o
o
d
V1
c
V2
V
10
热机效率
●在循环过程中，热机对外做的静功与吸收的热 量之比。
A Q1 Q2 Q2 1 Q1 Q1 Q1
p
♠效率反映一个循环中吸收的 热量有多少转化为有用的功。 ♠一般情况，不同的工作物质 具有不同的效率。
5. n : V c, Cn CV ,m —等容过程 pV n c p1/ nV c
证明
n V c 等容
8
§12-7 循环过程、卡诺循环
♠热力学理论的发展与热机的研制和使用密切相关。
♠热机就是不断把热量转换为机械功的装置。
♠热机中用于吸热做功的物质叫工作物质。
2.理想气体的绝热过程方程 绝热过程
AQ dU pdV CV ,m dT
pV RT pdV Vdp RdT
状态方程
两式消去 dT 得
C p ,m
c a，绝热过程。
Qca 0
循环效率
p p2
a
Q2 1 Q1 1 | Qp | QT 8ln 4 1 1/ 7(4 4 )
p1
c
Va Vc
b
Vb V
o
21
例：效率为20%的热机的机械功率为1GW。求: 1.热机 工作时吸热和放热的速率；2.若热机吸热和放热是分 别在5ºC和25ºC的表层和深层的海水间完成的，则吸 热时每秒需要多少海水?（设海水比热 c = 4.18kJ/kgK）
热机
Q2
A
U 0, A Q1 Q2
p
低温热源T2
Q1
p
a
b
Q2
A
V
o
o
d
V1
c
V2
V
10
热机效率
●在循环过程中，热机对外做的静功与吸收的热 量之比。
A Q1 Q2 Q2 1 Q1 Q1 Q1
p
♠效率反映一个循环中吸收的 热量有多少转化为有用的功。 ♠一般情况，不同的工作物质 具有不同的效率。
5. n : V c, Cn CV ,m —等容过程 pV n c p1/ nV c
证明
n V c 等容
8
§12-7 循环过程、卡诺循环
♠热力学理论的发展与热机的研制和使用密切相关。
♠热机就是不断把热量转换为机械功的装置。
♠热机中用于吸热做功的物质叫工作物质。
2.理想气体的绝热过程方程 绝热过程
AQ dU pdV CV ,m dT
pV RT pdV Vdp RdT
状态方程
两式消去 dT 得
22.多方过程+循环过程
V4 Q2 RT2 ln V3
V3 V2 RT1 ln - RT1 ln Q1 Q2 V1 V4 c V Q1 RT1 ln 2 V1
b c : T1V2 1 T2V3 1 V3 V2 1 1 d a : T2V4 T1V1 V4 V1 Q1 Q2 ＋ 0 从以上诸式还可得到： T1 T2
p1V1 RT1 p1 1.52 10 7 Pa V1 p1V1 p2V2 p2 ( ) p1 0.11.4 p1 6.05 10 5 Pa V2
( pV ) p2V2 p1V1 ... 3751 .5 3751 .5 A 9.38 10 3 J 1 .4 1
显然，系统经历一个循 环内能变化 E 0。
( a ) 正循环 系统对外界作功
( b ) 负循环 外界对系统作功
二、热机效率 利用正循环将吸收的热 量转变为对外作功的机 器叫热机。
设系统在一个循环中吸 热 Q1，放热 Q2 ，对外作净功 A，
A Q1 Q 2 Q1 Q1
叫热机效率。
§8.6 卡诺循环
由两个等温准静态过程 和两个绝热准静态过程 组成的循环 叫卡诺循环。
这是因 如果在一个循环中只有 两个热源，则必为卡诺 循环。 为，除等温和绝热过程 外，其它准静态过程都 需要无限多个温差 无限小的热源。
一、卡诺热机的效率 V2 Q1 Rபைடு நூலகம்1 ln V1
(a b) （ c d）
绝热线较陡。
Q绝热 0 C 绝热 0
A E CV T CV
( pV ) R CV CV ( pV ) ( pV ) ( pV ) 1 R C p CV E CV T 或由热力学第一定律求 解。
13-4 等温、绝热过程,多方过程
CV dT pdV 0 （ 1 ）
由 pV RT 两边取微分,得
pdV Vdp RdT （2）
由 (1)，(2) 两式，得
CV pdV CVVdp RpdV
(CV R) pdV CVVdp
由 得到
R Cp CV ; Cp / CV
3. 过程曲线 在P - V 图上，每一个绝热过程对应一条 双曲线，称为绝热线。 4. 热量 dQ = 0
5. 内能变化 dE CV dT 6. 绝热功 p2
P p1
Q
（1） 由温度变化引起的
O
V1
pdV V2
V
dA dE CV dT
A CV T
（2） 用功的定义计算
V1 1.41 992K T2 T1 V 320 (16.9) 2
1
终了时的压强为
V1 P2 P 1 V 2
1.013 10 (16.9)
5
1.4
45.110 pa
5
例2 一热机用5.8×10-3Kg的空气作为工质，从 初态1（p1=1.013×105pa , T1=300K）等体加热 到状态2（T2=900K），再经绝热膨胀到状态3 （p3=p1），最后经等压过程又回到1，如图。 假定空气可视为理想气体，且γ=1.4， CV=20.8J/(mol· K)， p 2 Cp=29.09J/(mol· K)摩尔质量 p2 M=29×10-3Kg· mol。试求各 3 过程中气体所做的功及从外 p1 1 O 界吸收的热量。 V1 V3 V
V1
V2
V2
V1
dV V
T V1 pdV V2 V
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C n, m
n CV , m n1
（ 1 ）当n 时，V 常量，等容过程， Cn, m CV，m
（ 2 ）当n 0时，P 常量，等压过程， Cn, m C p, m
（ 3 ）当n 1时，PV 常量，等温过程， Cn, m
（ 4 ）当n 时，PV 常量，绝热过程， Cn, m 0
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由上可见， 0 C n, m
思考
Cn, m 可能取负值吗？
答案
－ Cn,m
1 n 时，Cnm 0. ①当系统在热力学过程中对 外界所作的功大于它从外界吸收的热量时，系统虽然 吸热但温度反而下降；②外界对系统所作的功大于其 放热的绝对值时，系统虽然放热但温度反而升高。
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推导多方过程方程：
对理想气体状态方程求微分，得
PdV VdP RdT
再由热一律的微分形式，得
CV ,m dT Cn,m dT PdV
削去dT,可得 其中
PV 常量
n
n
C p,m C n,m CV , m C n , m
上页 下页
由上式可解得多方过程的摩尔热容
上页 下页
绝热过程中 ，理想气体不吸收热量。 若系统对外界做功，内能减少，温度降低； 若外界对系统做功，内能增加，温度升高。 即，因为 Q 0,
W U nCV ,m (T2 T1 ) nCV ,m (T1 T2 )
所以， W 0 U 0 T2 T1
dU dQ dW
所以：
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dQ 0
dW dU
由 pV n RT
微分
pdV n CV，mdT
pdV Vdp n RdT
（ 1）
削去dT, 得 令
C P ,m CV , m
—— 比热比（ 大于1 )
则（1）为：
dp dV 0 p V
pV C
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W PdV
V1 V2 V2
P1V1 V
V1
V1
dV
1 P1V1 1 1 P1V1 V1 1 1 1 1 V2 V1 1 V2 1 P1V1 P2V2 1 7 R 7 2Fra bibliotek 5 5 R 2
由 P1V1 P2V2
T1V1
1
V1 p2 p1 ( ) 1 5 9.52 atm V2
V1 1 T2 T1 ( ) 300 5 V2
上页
7 1 5
7 5
T2V2
1
571K
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五.多方过程: 理想气体在准静态过程中若热容C保持为常 量，则称为多方过程。前面的四种过程是多方 过程的特例。 n 1.过程方程： PV 常量 , n称为多方指数. n 1 , 等温过程 n , 绝热过程 n 0 , 等压过程 n , 等容过程 一般情况1 n ,多方过程可近似代表气体 内进行的实际过程。
四、绝热过程：
系统始终不与外界交换热量的过程。 良好绝热材料包围的系统发生的过程。 进行得较快，系统来不及和外界交换 热量的过程。
绝热壁
p
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1.特点：
Q0
W U n CV ,m (T2 T1 )
2. 过程方程：
PV 常量
—— 泊松方程
推导： 由热一律的微分形式 对绝热过程，
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系统在多方过程中内能的增量：
U CV , m (T2 T1 )
对外界所做的功：
1 A ( P1V1 P2V2 ) n1
从外界吸收的热量
Q Cn, m T2 T1
例题：课本P86例2-7 ；笔记P33-34例2.
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W 0 U 0 T2 T1
上页 下页
4. 绝热线与等温线
p
绝热线
A
O
等温线
V
上页
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例1 一定量氮气，其初始温度为300K，压强为 1atm。将其绝热压缩，使其体积变为初始体 积的1/5 .已知CV = 20.8J/mol· K 求：压缩后氮气的压强和温度。
解：
C p，m CV，m
由 削去P,可得 削去V，可得 所以
PV nRT PV 常量
TV
P
1
常量
常量
1
T
pV C1
TV C2 1 P T C3
1
绝热过程方程
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3.关于绝热功的计算 除了借助热一律计算功外，对于准静态绝热 过程还可利用泊松公式计算如下： V2 将泊松公式 PV P1V1 代入 W PdV 得