基本不等式常考解题技巧
不等式解题方法与技巧
不等式解题方法与技巧不等式：表示两个数、变量或表达式间的大小关系的算术式，以“＞”、“≥”、“＝”、“≤”、“＜”为符号，又称不等式。
二、基本运算（一）加法1、两边相加法a＞b，则a+c＞b+c，即a＞b时，同时加上同一个数c，等式的不等性不变。
2、绝对值加法|a|＞|b|，则|a+c|＞|b+c|，即|a|＞|b|时，同时加上同一个数c，等式的不等性不变。
（二）减法1、两边相减法a＞b，则a-c＞b-c，即a＞b时，同时减去同一个数c，等式的不等性不变。
2、绝对值减法|a|＞|b|，则|a-c|＞|b-c|，即|a|＞|b|时，同时减去同一个数c，等式的不等性不变。
（三）乘法1、两边相乘法（1）a>b, c>0，则ac＞bc，即a>b且c>0时，同时乘以同一个数c，等式的不等性不变。
（2）a＞b, c＜0，则ac＜bc，即a>b且c<0时，同时乘以同一个数c，等式的不等性不变。
2、绝对值乘法同理，不等式形式可以变成 |a|＞|b|, c>0，则|ac|＞|bc|； |a|＞|b|, c＜0，则|ac|＜|bc|。
（四）除法1、两边相除法（1）a＞b, c>0，则a/c＞b/c，即a＞b且c>0时，同时除以同一个数c，等式的不等性不变。
（2）a＞b, c＜0，则a/c＜b/c，即a＞b且c<0时，同时除以同一个数c，等式的不等性不变。
2、绝对值除法同理，不等式形式可以变成 |a|＞|b|, c>0，则|a/c|＞|b/c|；|a|＞|b|, c＜0，则|a/c|＜|b/c|。
三、解题方法及技巧（一）解题步骤1、明确问题要求，看问题分支，把不等式内容转换为分支状2、根据不等式求出区间，再细分区间3、对每个区间中试探值，再回归至原不等式（二）解题技巧1、分类讨论法根据不等式中含有的数、变量和表达式等的不同（正负、奇偶、偶数等），结合不等式的形式，做出不同的判断，获得最终的结论。
基本不等式(均值不等式)技巧
基本不等式(均值不等式)技巧基本知识】1.（1）若 $a,b\in \mathbb{R}$，则 $a+b\geq 2ab$。
（2）若 $a,b\in \mathbb{R}$，则 $ab\leq \frac{a^2+b^2}{2}$（当且仅当 $a=b$ 时取“=”）2.（1）若 $a,b\in \mathbb{R}$，则 $a+b\geq2\sqrt{ab}$（当且仅当 $a=b$ 时取“=”）。
（2）若 $a,b\in\mathbb{R}$，则 $ab\leq \left(\frac{a+b}{2}\right)^2$（当且仅当 $a=b$ 时取“=”）3.若 $a,b,c\in \mathbb{R}^+$，则 $\frac{a+b+c}{3}\geq \sqrt[3]{abc}$（当且仅当 $a=b=c$ 时取“=”）4.若 $a,b,c\in \mathbb{R}^+$，则 $a+b+c\geq3\sqrt[3]{abc}$（当且仅当 $a=b=c$ 时取“=”）5.若 $a,b\in \mathbb{R}$，则 $\frac{a^2+b^2}{2}\geq\left(\frac{a+b}{2}\right)^2$（当且仅当 $a=b$ 时取“=”）技巧讲解】技巧一：凑项（增减项）与凑系数做题时，条件不满足时关键在于构造条件。
通常要通过乘以或除以常数、拆因式、平方等方式进行构造。
1.已知 $x<5$，求函数 $y=4x-\frac{5}{2}+\frac{1}{4x-5}$ 的最大值。
解：因为 $x<5$，所以首先要“调整”符号，又 $4x-5<0$，要进行拆、凑项，得到：y=4x-\frac{5}{2}+\frac{1}{4x-5}=-\frac{1}{4}\left(5-4x+\frac{1}{4x-5}\right)+\frac{11}{4}由于 $\frac{1}{4x-5}\leq\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{4}\right)$（当且仅当$x=2$ 时取“=”），所以：y\leq -\frac{1}{4}\left(5-4x+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{4}\right)\right)+\frac{1 1}{4}=-\frac{1}{4}\left(4x^2-16x+9-\frac{1}{x}\right)+\frac{11}{4}对 $-\frac{1}{4}\left(4x^2-16x+9-\frac{1}{x}\right)$ 求导，得到$x=\frac{1}{2}$ 时取得最小值，代入得到$y_{\max}=3$。
求解基本不等式技巧
求解基本不等式技巧解不等式是我们在数学学习过程中经常会遇到的一种问题，它在代数学、函数学、几何学等各个数学领域中都有广泛的应用。
解不等式的技巧主要涉及到代数计算与性质推导，下面将介绍一些常用的基本不等式解法技巧。
1. 利用性质：不等式解法中可以利用不等式的性质进行转化、合并等操作。
例如，可以利用不等式的加法性质、乘法性质，对不等式的两边做加法、减法、乘法、除法等运算，从而得到一个更简单的不等式。
常用的性质有： - 加法性质：若$a<b$，则$a+c<b+c$- 乘法性质：若$a<b$且$c>0$，则$ac<bc$- 反号性质：若$a<b$，则$-a>-b$- 绝对值性质：$|a-b|\\geq 0$，若$a-b<0$，则$|a-b|=-(a-b)$2. 利用不等式的对称性：不等式的对称性质有以下两种。
- 交换律：若$a<b$，则$b>a$- 传递律：若$a<b$且$b<c$，则$a<c$3. 利用平方意义：对于不等式中的平方项，可以利用平方的非负性，进行分析与转化。
例如，对于一元二次不等式$a(x-h)^2+k\\geq 0$，若$k<0$，则不等式左边的平方项一定大于0，不等式成立；若$k\\geq 0$，则通过对平方项进行求根可以得到$x$的取值范围。
4. 利用倒数意义：对于不等式中的倒数项，可以利用倒数的性质进行分析与转化。
例如，对于不等式$\\frac{1}{x}>k$，其中$k>0$，通过分析倒数项可以得到$x$的取值范围。
5. 利用中值不等式：中值不等式是一类常用的不等式，它可以大大简化解不等式的过程。
常用的中值不等式有： - 算术平均-几何平均不等式(AM-GM不等式)：对于非负实数$a_1,a_2,\\ldots,a_n$，有$\\frac{a_1+a_2+\\ldots+a_n}{n}\\geq\\sqrt[n]{a_1a_2\\ldots a_n}$- 柯西-施瓦茨不等式：对于实数$a_1,a_2,\\ldots,a_n$与$b_1,b_2,\\ldots,b_n$，有$(a_1^2+a_2^2+\\ldots+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+\\ldo ts+b_n^2)\\geq (a_1b_1+a_2b_2+\\ldots+a_nb_n)^2$ - 三角函数不等式：对于角度为$\\theta$的三角函数$\\sin\\theta,\\cos\\theta,\\tan\\theta$，有$\\sin\\theta\\leq \\theta\\leq \\tan\\theta$，$-\\frac{\\pi}{2}\\leq \\theta\\leq \\frac{\\pi}{2}$6. 利用数轴分割：对于一元不等式，可以通过画数轴、确定不等式两边区间的取值范围，然后进行分析与合并，来得到不等式的解集。
基本不等式题型及常用方法总结
基本不等式题型及常用方法总结基本不等式题型包括一元一次不等式、一元二次不等式、绝对值不等式和有理不等式等。
1. 一元一次不等式：- 解法1：通过移项和化简来求解，确保不等号方向的正确性。
- 解法2：将不等式转化为等价的集合表示，再通过集合的交、并运算求解。
2. 一元二次不等式：- 解法1：将不等式化为一元二次函数的图像，通过观察图像求解或者利用函数的性质来求解。
- 解法2：通过移项和配方法将不等式转化为二次函数的标准形式，再判断二次函数图像的位置与不等号关系来求解。
3. 绝对值不等式：- 解法1：将绝对值不等式分段求解，分别讨论绝对值内部是正数还是负数的情况。
- 解法2：通过绝对值的定义和不等式的性质，将绝对值不等式转化为两个简单的不等式来求解。
4. 有理不等式：- 解法1：将有理不等式化为分式的形式，然后通过分式的性质来求解。
- 解法2：通过变量的替换来将有理不等式转化为一元二次不等式或者一元一次不等式，再利用对应的方法来求解。
常用方法总结：1. 对于一元一次不等式和一元二次不等式，常用的方法是移项和化简、画函数图像和利用函数的性质来求解。
2. 对于绝对值不等式，常用的方法是分段求解和利用绝对值的性质来求解。
3. 对于有理不等式，常用的方法是化为分式形式和利用分式的性质来求解。
4. 在求解不等式的过程中，经常需要进行合并同类项、开方、取倒数、乘除等基本运算，需要注意运算法则和符号的变化。
5. 在不等式的求解过程中，需要注意不等式两边的平方值是否相等，以及是否存在不等式的等价变换等。
同时，在进行运算过程中，需要根据不等式的符号关系来选择合适的方式。
不等式基本解题技巧梳理
不等式基本解题技巧梳理技巧一： 配凑法对加法型，两个因式的未知数部分凑成倒数关系，配凑成符合基本不等式成立的三个条件“一正二定三相等”。
技巧二： 分离常数法1.已知函数的表达式的特征，如分子（或分母）是二次形式且分母（或分子）是一次形式；2. 把分母或分子的一次形式当成一个整体，并将分子或分母的二次形式配凑成一次形式的二次函数形式；3. 将其化简即可得到基本不等式的形式，并运用基本不等式对其进行求解即可得出所求的结果. 技巧三： 对勾函数法：用基本不等式求解时，若遇等号取不到的情况1.运用凑项或换元法将所给的函数化简为满足基本不等式的形式；2.结合函数()a f x x x =+的单调性，并运用其图像与性质求出其函数的最值即可； 技巧1 配凑法【例1】（2021·广西河池市）函数19()(1)41f x x x x =+>-的最小值为（ ） A ．134 B ．3C ．72D ．94 【举一反三】1．已知2244x y +=，则2211x y +的最小值为（ ） A ．52 B ．9 C ．1 D ．942．若实数a ，b 满足22221a b +=，则22141a b ++的最小值为___________. 3．若正实数a ，b 满足111122a b +=++，则ab a b ++的最小值为_______． 技巧2 分类常数法 【例2】已知52x ≥，则2332x x y x -+=-有（ ） A ．最大值1B ．最小值1C ．最大值3D ．最小值3【举一反三】 1．函数233(1)1x x y x x ++=<-+的最大值为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．-12．若函数()()22422x x f x x x -+=>-在x a =处取最小值，则a =（ ）A ．1+B ．2C ．4D ．63．若72x ，则2610()3x x f x x -+=-有（ ）A ．最大值52 B ．最小值52 C ．最大值2 D ．最小值24．已知函数()2sin sin 2xf x x =+，则()f x 的最大值为（ ）A ．2-B ．1-C ．0D ．1技巧3 对勾函数【例3】函数()2436x x f x x ++=-的值域为__________．【举一反三】1．函数2y =的最小值为（ ）A ．2B ．52 C ．1 D ．不存在2．函数()ln 22ln xf x x =+，(]1,e x ∈的最小值为________.3．设(0,)x π∈，则函数sin 22sin =+xy x 的最小值是___________．巩固练习一、单选题1．已知正实数x 、y 、z 满足2221x y z ++=，则58xyz -的最小值是（ ）A ．6B ．5C ．4D ．32．已知x y R +∈，，若不等式110232mx y x y x y ++≥+++恒成立，则实数m 的最值情况为（） A ．有最小值4- B ．有最大值4- C ．有最小值4 D ．有最大值43.已知0a >，0b >，若不等式122ma b a b +≥+恒成立，则实数m 的最大值为（ ）A ．10B ．9C ．8D ．74．已知不等式()19a x y x y ⎛⎫++⎪⎝⎭≥对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为（ ） A ．2 B ．4C ．6D ．8 5．若对任意满足8a b +=的正数a ，b 都有14111x a b x ++≥+-成立，则实数x 的取值范围是（ ） A ．[)0,1 B ．()1,+∞ C ．(](),01,-∞+∞ D ．()(),01,-∞⋃+∞6．已知0x >，0y >，若2288yx ym m x y ++>-恒成立，则实数m 的取值范围是（） A ．19m -<< B ．91m -<< C ．9m ≥或1m ≤- D ．m 1≥或9m ≤- 7．当104x <<时，不等式11014m x x +-≥-恒成立，则实数m 的最大值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．108．已知0,0x y >>且111211x y +=++，则x y +的最小值为________.9．已知正实数a 、b 满足21a b +=，则11aba b +--的最小值为____________.10．函数2221()0sin cos 2f x x x x π⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的最小值是________.11．当0x >时，函数231x x y x ++=+的最小值为_________.12．函数2(2)2x y x x =>-的最小值为_______________13．若实数,x y 满足22321x xy y --=，则2252x yx xy y +++的最大值为___________.14．求()271011x x y x x ++=>-+的最小值______.15．()21147x x x x ->-+的最大值为______.16．已知()()23601x x f x x x ++=>+，则()f x 的最小值是________．。
基本不等式最值解题技巧
基本不等式最值解题技巧
1、分类讨论法:根据绝对值符号中的数或式子的正、零、负分情况去掉绝对值。
2、
基本不等式解题技巧得深入拓展——拼凑定和，拼凑定积，拼凑常数降幂，拼凑常数升幂，约分配凑，引入参数拼凑，引入对偶式拼凑，确立主元拼凑。
基本不等式是主要应用于求某些函数的最值及证明的不等式。
其表述为：两个正实数
的算术平均数大于或等于它们的几何平均数。
在采用基本不等式时，必须牢记“一正”“二定”“三成正比”的七字真言。
“一正”就是指两个式子都为正数，“二定”就是指应用领域基本不等式谋最值时，和或四维定值，“三成正比”就是指因且仅当两个式子成正比时，就可以挑等号。
两大技巧
“1”的妙用。
题目中如果发生了两个式子之和为常数，建议这两个式子的倒数之和
的最小值，通常用所求这个式子除以1，然后把1用前面的常数则表示出，并将两个式子
进行即可排序。
如果题目未知两个式子倒数之和为常数，谋两个式子之和的最小值，方法
同上。
调整系数。
有时候求解两个式子之积的最大值时，需要这两个式子之和为常数，但是
很多时候并不是常数，这时候需要对其中某些系数进行调整，以便使其和为常数。
数学高一基本不等式解题技巧
数学高一基本不等式解题技巧
数学基本不等式解题技巧如下：
1、作差∶作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果。
2、作商（常用于分数指数幂的代数式)﹔分析法﹔平方法;分子（或分母）有理化；利用函数的单调性﹔寻找中间里或放缩法﹔)图象法。
3、其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。
注意事项：
一、符号：
1、不等式两边相加或相减同一个数或式子，不等号的方向不变。
2、不等式两边相乘或相除同一个正数，不等号的方向不变。
3、不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变。
二、解集：
1、比两个值都大，就比大的还大(同大取大)。
2、比两个值都小，就比小的还小(同小取小)。
3、比大的大，比小的小，无解(大大小小取不了)。
4、比小的大，比大的小，有解在中间(小大大小取中间)。
5、三个或三个以上不等式组成的不等式组，可以类推。
三、数轴法：
把每个不等式的解集在数轴上表示出来，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集。
有几个就要几个。
在确定一元二次不等式时，a>0，Δ=b^2-4ac>0时，不等式解集可用"大于取两边，小于取中间"求出。
大招三 基本不等式的十大解题技巧(教师版)
1 x
+
9 y
=
1，求 x + y 的最小值
.
【答案】16
10.
已知非负实数
x,y
满足
x
+
y
=
1，则
x
1 +
1
+
y
4 +
1
的最小值为
3
.
【答案】3
技巧七、化归
11. 已知正数 x,y 满足 xy = x + y + 3，试求 xy、x + y 的最小值 .
【答案】9；6
23 12. 若正实数 x,y 满足 x2 + y2 + xy = 1，则 x + y 的最大值是 3 .
(x
>
-1)
的最小值
.
【答案】9
7.
已知实数 x,y 满足
x
>
y
>
0，且
x+
y
=
1 2
，则
x
2 + 3y
+
x1 -yFra bibliotek的最小值为
3+2
2
.
【答案】3 + 2 2
技巧五、利用对勾函数的单调性
8. 求函数 y = x2 + 5 的最小值 x2 + 4
【答案】52
技巧六、整体代换
9.
已知 x
>
0,y
> 0，且
【答案】92
技巧三、分离
4.
函数 y =
x2 + 5x + 15 x+2
(x ≥ 0) 的最小值为 ___________.
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基本不等式
令狐采学
一、基础知识
1．（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+；
（2）若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅那时b a =取“=”）．
2．（1）若00a ,b >>，则ab b a ≥+2
； （2）若00a ,b >>，则ab b a 2≥+（当且仅那时b a =取“=”）；
（3）若00a ,b >>，则22⎪⎭
⎫ ⎝⎛+≤b a ab （当且仅那时b a =取“=”）． 3．若0x >，则12x x
+≥（当且仅那时1x =取“=”）； 若0x <，则12x x +≤-（当且仅那时1x =-取“=”）；
若0x ≠，则1
2x x +≥，即12x x +≥或12x x
+≤-（当且仅那时b a =取“=”）．
4．若0>ab ，则2≥+a b b a （当且仅那时b a =取“=”）； 若0ab ≠，则2a b b a +
≥，即2a b b a +≥或2a b b a
+≤-（当且仅那时b a =取“=”）． 5．若R b a ∈,，则22222b a b a +≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+（当且仅那时b a =取“=”）．
二、拓展
1．一个重要的不等式链：2221122a b a b ab a b ++≤≤≤+． 2．函数()()0,0b
f x ax a b x =+>>图象及性质
（1）函数()0)(>+
=b a x b ax x f 、图象如右图所示： （2）函数()0)(>+=b a x b
ax x f 、性质：
①值域：()22,ab ab,⎤⎡-∞-+∞⎦⎣；
②单调递增区间：,,,b b a a ⎛⎤⎡⎫-∞-
+∞ ⎪⎥⎢ ⎪⎝
⎦⎣⎭；单调递加区间：0,
,,0b b a a ⎛⎤⎡⎫- ⎪⎥⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭．
注：
（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的
最小值，正所谓“积定和最小，和定积最年夜”；
（2）求最值的条件“一正，二定，三相等”；
（3）均值定理在求最值、比较年夜小、求变量的取值规模、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．
三、基本类型
对称性：
“1”的代换：
四、利用基本不等式求最值经常使用技巧
技巧一：凑项
已知54x <，求函数14245
y x x =-+-的最年夜值． 技巧二：凑系数
那时04x <<，求()82y x x =-的最年夜值．
技巧三： 别离
求2710(1)1
x x y x x ++=>-+的值域．
技巧四：换元
已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝1ab
的最小值． 技巧五：整体代换
已知0,0x y >>，且191x y +=，求x y +的最小值．
技巧六：取平方
已知x ，y 为正实数，3x ＋2y ＝10，求函数W ＝3x ＋2y 的最值．
技巧七：构造
要求一个目标函数),(y x f 的最值，我们利用基本不等式构造一个以),(y x f 为主元的不等式（一般为二次不等式），解之即可得),(y x f 的最值．
已知0,0>>y x ，822=++xy y x ，则y x 2+的最小值为
技巧八：添加参数
若已知0,,>c b a ，则bc ab c b a 2222+++的最小值为．。