基本不等式的各种求解方法和技巧
基本不等式的所有公式及常用解法
基本不等式的所有公式及常用解法1.加减法不等式公式：若a>b，则a+/-c>b+/-c，其中c为任意实数。
2.乘法不等式公式：若a>b且c>0，则a*c>b*c；若a>b且c<0，则a*c<b*c。
3.幂次不等式公式：对任意非零实数a和b若a>b且n>0且n为正整数，则a^n>b^n；若a>b且0<n<1，则a^n<b^n。
4.倒数不等式公式：若a>b>0，则1/a<1/b。
5.奇偶性不等式公式：若a>0且n为正整数，则a^n>0。
若a<0且n为奇数整数，则a^n<0。
常用的解基本不等式的方法有：1.用数轴法解：将不等式绘制在数轴上，根据不等式的性质找出符合条件的x的取值范围。
2.用代数方法解：针对不等式上的加减法、乘法、幂次或倒数等，利用基本不等式公式进行运算，化简不等式，最终得到x的取值范围。
3.用平方差、立方差或更高次差法解：对于特定形式的不等式，如二次函数不等式（即含有二次项的不等式），可使用平方差公式将其转化为不等式的标准形式；同样，对于三次函数不等式（即含有三次项的不等式），可使用立方差公式将其转化为不等式的标准形式。
通常，对高次不等式的解法需要更高级的数学知识，此处不再详细介绍。
4.用函数图像解：对于一些特定函数，如一次函数、二次函数等，可通过绘制函数图像来判断不等式的解集。
5.用不等式链解：若能将一个不等式化为多个简单的不等式，即不等式的解集满足一系列条件，可通过每个条件对应的不等式求解解集。
以上是基本不等式的一些公式和常用解法。
对于不同的不等式，我们需要根据具体情况选择合适的解法。
希望以上内容对您有所帮助。
不等式解题方法与技巧
不等式解题方法与技巧不等式：表示两个数、变量或表达式间的大小关系的算术式，以“＞”、“≥”、“＝”、“≤”、“＜”为符号，又称不等式。
二、基本运算（一）加法1、两边相加法a＞b，则a+c＞b+c，即a＞b时，同时加上同一个数c，等式的不等性不变。
2、绝对值加法|a|＞|b|，则|a+c|＞|b+c|，即|a|＞|b|时，同时加上同一个数c，等式的不等性不变。
（二）减法1、两边相减法a＞b，则a-c＞b-c，即a＞b时，同时减去同一个数c，等式的不等性不变。
2、绝对值减法|a|＞|b|，则|a-c|＞|b-c|，即|a|＞|b|时，同时减去同一个数c，等式的不等性不变。
（三）乘法1、两边相乘法（1）a>b, c>0，则ac＞bc，即a>b且c>0时，同时乘以同一个数c，等式的不等性不变。
（2）a＞b, c＜0，则ac＜bc，即a>b且c<0时，同时乘以同一个数c，等式的不等性不变。
2、绝对值乘法同理，不等式形式可以变成 |a|＞|b|, c>0，则|ac|＞|bc|； |a|＞|b|, c＜0，则|ac|＜|bc|。
（四）除法1、两边相除法（1）a＞b, c>0，则a/c＞b/c，即a＞b且c>0时，同时除以同一个数c，等式的不等性不变。
（2）a＞b, c＜0，则a/c＜b/c，即a＞b且c<0时，同时除以同一个数c，等式的不等性不变。
2、绝对值除法同理，不等式形式可以变成 |a|＞|b|, c>0，则|a/c|＞|b/c|；|a|＞|b|, c＜0，则|a/c|＜|b/c|。
三、解题方法及技巧（一）解题步骤1、明确问题要求，看问题分支，把不等式内容转换为分支状2、根据不等式求出区间，再细分区间3、对每个区间中试探值，再回归至原不等式（二）解题技巧1、分类讨论法根据不等式中含有的数、变量和表达式等的不同（正负、奇偶、偶数等），结合不等式的形式，做出不同的判断，获得最终的结论。
基本不等式题型及常用方法总结
基本不等式题型及常用方法总结基本不等式题型包括一元一次不等式、一元二次不等式、绝对值不等式和有理不等式等。
1. 一元一次不等式：- 解法1：通过移项和化简来求解，确保不等号方向的正确性。
- 解法2：将不等式转化为等价的集合表示，再通过集合的交、并运算求解。
2. 一元二次不等式：- 解法1：将不等式化为一元二次函数的图像，通过观察图像求解或者利用函数的性质来求解。
- 解法2：通过移项和配方法将不等式转化为二次函数的标准形式，再判断二次函数图像的位置与不等号关系来求解。
3. 绝对值不等式：- 解法1：将绝对值不等式分段求解，分别讨论绝对值内部是正数还是负数的情况。
- 解法2：通过绝对值的定义和不等式的性质，将绝对值不等式转化为两个简单的不等式来求解。
4. 有理不等式：- 解法1：将有理不等式化为分式的形式，然后通过分式的性质来求解。
- 解法2：通过变量的替换来将有理不等式转化为一元二次不等式或者一元一次不等式，再利用对应的方法来求解。
常用方法总结：1. 对于一元一次不等式和一元二次不等式，常用的方法是移项和化简、画函数图像和利用函数的性质来求解。
2. 对于绝对值不等式，常用的方法是分段求解和利用绝对值的性质来求解。
3. 对于有理不等式，常用的方法是化为分式形式和利用分式的性质来求解。
4. 在求解不等式的过程中，经常需要进行合并同类项、开方、取倒数、乘除等基本运算，需要注意运算法则和符号的变化。
5. 在不等式的求解过程中，需要注意不等式两边的平方值是否相等，以及是否存在不等式的等价变换等。
同时，在进行运算过程中，需要根据不等式的符号关系来选择合适的方式。
不等式求解技巧大全
不等式求解技巧大全不等式是数学中的一种重要的关系表达式，解不等式是我们在数学中常常会遇到的问题。
在解不等式时，我们常常需要使用一些技巧和方法来求解。
下面是一些常见的不等式求解技巧。
1.化简法：对于一些较为复杂的不等式，我们可以先进行化简，将不等式转化为一个简单的形式，再进行求解。
例如，对于不等式2(x-1)>3x+4，可以先将其化简为2x-2>3x+4，再继续求解。
2.移项法：不等式的基本思想是找到使不等式成立的数的范围。
在移项法中，我们可以将不等式中的变量项移到同一边，并用0替代不等式。
例如，对于不等式2x+3>5x+2，可以将其改写为0>3x-2，然后继续求解。
3.分情况讨论法：有时候，不等式的解集与变量的取值范围有关。
在这种情况下，我们可以将不等式根据变量的取值范围进行分情况讨论，然后求解每一个情况。
例如，对于不等式，x-1，>2，可以将其分为两个情况讨论：x-1>2或者x-1<-2，然后分别求解。
4.绝对值法：绝对值是求解不等式时常常会遇到的一个概念。
在解绝对值不等式时，我们可以将绝对值分成两部分，然后分别求解每一部分。
例如，对于不等式，2x-1，>3，可以将其分为两个不等式2x-1>3或者2x-1<-3，然后分别求解。
5.图像法：有些时候，我们可以利用图像来求解不等式。
例如，对于不等式x^2-4x+3>0，我们可以通过绘制函数y=x^2-4x+3的图像，找到使不等式成立的区间。
6.数列法：数列法是一种递归思想，如果不等式中的变量之间存在其中一种特殊关系，我们可以通过构造一个数列来求解不等式。
例如，对于不等式x^2-3x-4>0，我们可以构造数列{a_n}，其中a_n=a_{n-1}^2-3a_{n-1}-4，然后通过求解这个数列的极限值来求解不等式。
7.寻找最值：有时候，我们可以通过寻找不等式中的最值来求解不等式。
基本不等式求积分的类型与方法-经典大全
基本不等式求积分的类型与方法-经典大全一、介绍本文档旨在探讨基本不等式求积分的类型与方法，为读者提供全面的经典资源。
在数学中，不等式是一种非常重要的概念，而求解不等式的积分问题则是数学分析的基础内容之一。
本文将介绍一些常见的基本不等式求积分类型以及相应的解法，希望能为读者在研究和应用中提供帮助。
二、基本不等式求积分类型与方法1. 简单不等式求积分简单不等式求积分是指只包含一个变量的一元不等式的积分求解。
这类问题常常可以通过代入法、换元法或分部积分法来求解。
例如求解∫(x^2+1)dx 在 x ∈ [0,1] 上的积分。
2. 复杂不等式求积分复杂不等式求积分是指不等式中含有多个变量或函数的多元不等式的积分求解。
这类问题常常需要运用一些特殊的技巧，如凑微分法、递推法或利用对称性等。
例如求解∫(1/x^2 + 1/y^2) dxdy 在区域 D 上的积分，其中 D 是一个闭合曲线所围成的区域。
3. 不等式积分的应用不等式积分在实际问题中有广泛的应用，如在计算几何、概率统计、物理学等领域中都能见到其身影。
例如在计算概率分布函数的期望值时，就需要进行不等式积分的求解。
另外，在优化问题中，通过对不等式进行积分求解，可以得到问题的最优解。
三、总结本文简要介绍了基本不等式求积分的类型与方法，包括简单不等式求积分、复杂不等式求积分以及不等式积分的应用。
在实际应用中，根据具体问题的不同，我们可以选择不同的方法来求解不等式积分。
这些方法为我们解决各种问题提供了有力的工具和思路。
希望本文能帮助读者更好地理解和应用基本不等式求积分的知识，同时也为进一步研究和探索提供了基础。
参考文献：[1] 作者A. 文章标题. 杂志名，年份，卷(期): 页码，出版年份.[2] 作者B. 文章标题. 杂志名，年份，卷(期): 页码，出版年份.。
不等式基本解题技巧梳理
不等式基本解题技巧梳理技巧一： 配凑法对加法型，两个因式的未知数部分凑成倒数关系，配凑成符合基本不等式成立的三个条件“一正二定三相等”。
技巧二： 分离常数法1.已知函数的表达式的特征，如分子（或分母）是二次形式且分母（或分子）是一次形式；2. 把分母或分子的一次形式当成一个整体，并将分子或分母的二次形式配凑成一次形式的二次函数形式；3. 将其化简即可得到基本不等式的形式，并运用基本不等式对其进行求解即可得出所求的结果. 技巧三： 对勾函数法：用基本不等式求解时，若遇等号取不到的情况1.运用凑项或换元法将所给的函数化简为满足基本不等式的形式；2.结合函数()a f x x x =+的单调性，并运用其图像与性质求出其函数的最值即可； 技巧1 配凑法【例1】（2021·广西河池市）函数19()(1)41f x x x x =+>-的最小值为（ ） A ．134 B ．3C ．72D ．94 【举一反三】1．已知2244x y +=，则2211x y +的最小值为（ ） A ．52 B ．9 C ．1 D ．942．若实数a ，b 满足22221a b +=，则22141a b ++的最小值为___________. 3．若正实数a ，b 满足111122a b +=++，则ab a b ++的最小值为_______． 技巧2 分类常数法 【例2】已知52x ≥，则2332x x y x -+=-有（ ） A ．最大值1B ．最小值1C ．最大值3D ．最小值3【举一反三】 1．函数233(1)1x x y x x ++=<-+的最大值为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．-12．若函数()()22422x x f x x x -+=>-在x a =处取最小值，则a =（ ）A ．1+B ．2C ．4D ．63．若72x ，则2610()3x x f x x -+=-有（ ）A ．最大值52 B ．最小值52 C ．最大值2 D ．最小值24．已知函数()2sin sin 2xf x x =+，则()f x 的最大值为（ ）A ．2-B ．1-C ．0D ．1技巧3 对勾函数【例3】函数()2436x x f x x ++=-的值域为__________．【举一反三】1．函数2y =的最小值为（ ）A ．2B ．52 C ．1 D ．不存在2．函数()ln 22ln xf x x =+，(]1,e x ∈的最小值为________.3．设(0,)x π∈，则函数sin 22sin =+xy x 的最小值是___________．巩固练习一、单选题1．已知正实数x 、y 、z 满足2221x y z ++=，则58xyz -的最小值是（ ）A ．6B ．5C ．4D ．32．已知x y R +∈，，若不等式110232mx y x y x y ++≥+++恒成立，则实数m 的最值情况为（） A ．有最小值4- B ．有最大值4- C ．有最小值4 D ．有最大值43.已知0a >，0b >，若不等式122ma b a b +≥+恒成立，则实数m 的最大值为（ ）A ．10B ．9C ．8D ．74．已知不等式()19a x y x y ⎛⎫++⎪⎝⎭≥对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为（ ） A ．2 B ．4C ．6D ．8 5．若对任意满足8a b +=的正数a ，b 都有14111x a b x ++≥+-成立，则实数x 的取值范围是（ ） A ．[)0,1 B ．()1,+∞ C ．(](),01,-∞+∞ D ．()(),01,-∞⋃+∞6．已知0x >，0y >，若2288yx ym m x y ++>-恒成立，则实数m 的取值范围是（） A ．19m -<< B ．91m -<< C ．9m ≥或1m ≤- D ．m 1≥或9m ≤- 7．当104x <<时，不等式11014m x x +-≥-恒成立，则实数m 的最大值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．108．已知0,0x y >>且111211x y +=++，则x y +的最小值为________.9．已知正实数a 、b 满足21a b +=，则11aba b +--的最小值为____________.10．函数2221()0sin cos 2f x x x x π⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的最小值是________.11．当0x >时，函数231x x y x ++=+的最小值为_________.12．函数2(2)2x y x x =>-的最小值为_______________13．若实数,x y 满足22321x xy y --=，则2252x yx xy y +++的最大值为___________.14．求()271011x x y x x ++=>-+的最小值______.15．()21147x x x x ->-+的最大值为______.16．已知()()23601x x f x x x ++=>+，则()f x 的最小值是________．。
不等式的解题方法与技巧
不等式的解题方法与技巧不等式是数学中的一个重要概念，解不等式不仅是中学阶段数学学习的一部分，也是高中阶段进一步学习函数与分析的基础。
下面将介绍一些解不等式的常用方法和技巧。
1.基本不等式性质对于两个不等式a<b和c<d，可以根据其性质进行合并或分拆：-合并：a+b<c+d-分拆：a-b>c-d2.不等式化简对于复杂的不等式，可以通过一系列的等价变形将其化简为简单的形式。
常用的等价变形方法有：- 同乘或同除以一个正数：如果a<b，则对于正数x，有ax<bx；如果a<b且x>0，则有ax<bx；如果a<b且x<0，则有ax>bx。
-同加或同减一个具体数：如果a<b，则对于任意实数x，有a+x<b+x，即a+c<b+c；同理，a-c<b-c。
-综合运用：通过多次变换，将不等式化为更简洁的形式。
3.不等式乘法法则不等式乘法法则用于解决乘法不等式的问题。
对于两个正数a和b，以及一个不等式c<d，有以下结论：- 如果a<b且c<d，则ac<bd。
- 如果a<b且c>d，则ac>bd。
- 如果a<b且c=d，则ac=bd。
注意：当a和b中至少一个为负数时，上述法则不适用。
4.不等式绝对值性质当不等式中含有绝对值时，可以利用绝对值的性质进行求解。
对于实数a和b，可以根据绝对值性质得到以下结果：-如果，a，<，b，则a^2<b^2-如果，a，>，b，则a^2>b^2-如果，a，=，b，则a^2=b^25.不等式取正负号问题当不等式的系数为负数时，可以通过取正负号的方式，将其转化为求解不等式的问题。
具体方法如下：-如果a<0，则对不等式两边同时取负号，得到-a>-b。
-如果a>0，则对不等式两边同时取正号，得到a<b。
6.解多项式不等式对于多项式不等式，可以通过求解其零点，确定其正负性。
基本不等式的解题技巧
基本不等式的解题技巧
解基本不等式的关键是要确定不等号的方向，并对变量进行适当的操作以便得到解。
以下是解基本不等式的一些常用技巧：
1. 如果不等式的形式是 "ax + b > 0" 或 "ax + b < 0"，则可以通
过将方程两边同时减去 b，再除以 a 来得到 x 的解。
例如：对于不等式 3x + 4 > 0，可以将其转化为 3x > -4，然后
将两边都除以 3，得到 x > -4/3。
2. 如果不等式的形式是"ax + b ≥ 0" 或"ax + b ≤ 0"，则需要考
虑等号的情况。
当不等号加上一个等号时，解的范围会发生改变。
例如：对于不等式 2x - 5 ≥ 3，可以通过将其转化为2x ≥ 8，然后将两边都除以 2，得到x ≥ 4。
3. 如果不等式中包含绝对值表达式 |ax + b|，则需要分别讨论 x + b ≥ 0 和 x + b < 0 两种情况。
例如：对于不等式 |2x - 3| < 5，可以将其分解为两个不等式 2x - 3 < 5 和 2x - 3 > -5，然后求解这两个不等式得到的解的交集。
4. 如果不等式中有多个变量，则可以尝试通过移项和因式分解的方法来化简不等式。
例如：对于不等式 x^2 + 4x - 12 > 0，可以将其转化为 (x + 6)(x - 2) > 0，然后使用符号代表法来求解。
这些是解基本不等式常用的技巧，具体问题需要根据具体情况进行分析和求解。
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基本不等式
一、知识梳理
二、极值定理
（1）两个正数的和为常数时，它们的积有 ；
若0,0,a b a b M >>+=，M 为常数，则ab ≤ ；当且仅当 ，等号成立.简述为，当0,0,a b a b M >>+=
，M 为常数，max ()ab = .
（2）两个正数的积为常数时，它们的和有 ；
若0,0,a b ab P >>=，P 为常数，则a b +≥ ；当且仅当 ，等号成立.简述为，当0,0,a b ab P >>=
，M 为常数，min ()a b += .
(,)2
a b a b R ++≤
∈，求最值时应注意以下三个条件：
应用基本不等式的经典方法
方法一、直接利用基本不等式解题
例1、（1）若0,0,4a b a b >>+=，则下列不等式恒成立的是（ ）
A ．1
1
2ab > B ．1
1
1a b +≤ C 2≥
D. 2211+8a b ≤
（2）不等式2162a b
x x b a +<+对任意(),0,a b ∈+∞ 恒成立，则实数x 的取值范围是（
） A ．(2,0)− B ．(,2)(0,)−∞−+∞ C ．(4,2)−
D ．(,4)(2,)−∞−+∞
（3）设,,1,1x y R a b ∈>>，若3,x y a b a b +，则11
x y +的最大值为 ( )
A ．2
B ．32
C ．1
D ．12
方法二：凑项（增减项）与凑系数（利用均值不等式做题时，条件不满足时关键在于构造条件，通过乘或除常数、拆因式、平方等方式进行构造） 例2、（1）已知54x <，求函数1
445y x x =+−的最大值；
（2）已知，则的取值范围是（
） A ． B ． C
． D ．
方法三：“1”的巧妙代换
命题点1、“1”的整体代换
例3、（1）若正数,x y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是(
) A ．245 B ．285 C ．5
D ．6
（2）已知0,0,x y >>且21x y +=,求1
1
x y +的最小值.
0,2b a ab >>=2
2
a b a b +−(],4−∞−(),4−∞−(],2−∞−(),2−∞−
命题点2、“1”的部分代换
（3）已知0,0,x y >>且21x y +=,求
1x x y +的最小值.
（4）（2013·天津高考理科）设a + b = 2, b >0, 则当a = 时,
1||2||a a b +取得最小值.
命题点3、“1”的变形代换
（5）设0,1a b >>，若3121a b a b +=+−，则
的最小值为 ．
（6）已知实数,x y 满足102x y x y >>+=，且，则
213x y x y
++−的最小值为________.
（7）设10<<x ，,a b 都是大于0的常数，则x b x a −+12
2的最小值为 .
方法四： 消元（转化为函数最值，此时要注意确定变量的范围）
例4、（1）已知,,x y z R +
∈，230x y z −+=，则2
y xz 的最小值 ．
（2）设正实数,,x y z 满足22340x xy y z −+−=,则当xy z 取得最大值时, 212x y z +−的最大值为 .
方法五：“之和”与“之积”的互化
例5、（1）已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，则
1ab
的最小值 .
（2）已知0x >，0y >，228x y xy ++=，则2x y +的最小值是 .
方法六、连续两次使用基本不等式求最值
例6、（1）（2009重庆卷）已知0,0a b >>，则11a b
++ ）
A ．2
B ．
C ．4
D ．8
（2）已知22log log 1+≥a b ，则39a b
+的最小值为__________
（3）若 的最小值为 ．
方法七、利用基本不等式求分式函数最值
例7、（1）当1x >−时，求1
()2
1f x x x =++的最小值.
（2）求函数y =的值域。