07与指数型整数相关的整除和同余问题
第二次课-- 整除与同余
最大公因子定理
定理1 设a，b是两个不全为零的整数，则存 在两个整数u，v，使 (a，b)= ua+vb．
第一章 整除与同余
证明 设Z是全体整数集合，构造如下一个集合： S = {xa+ybx，yZ}． S中的元素显然大于等于0． 设d是S中的最小正整数，设 d = ua+vb． 现在我们证明da且db．做带余除法： a = qd+r，0 r d． 于是 r = a – qd = a – q(ua+vb) = (1–qu)a – qvb． 这说明r也可表示为a，b的组合，则rS． 由于d是S中的最小者，所以r = 0．故da．同理db． 设c是a，b的任意公因子，由ca和cb得cua+vb．故 d是a，b的最大公因子，证毕．
第一章 整除与同余
互素
定义3：设a，b是两个不全为0的整数，如果(a，b) = 1，则称a，b互素． 推论：a，b互素的充分必要条件是：存在u，v，使 ua+vb = 1． 证明 必要条件是定理1的特例，只需证充分条件． 如果存在u，v，使 ua+vb = 1． 则由(a，b)(ua+vb)，得(a，b)1， 所以(a，b) = 1．
例8 a = 2，b = 3．它们的公倍数集合为 {0，6，12，18，…}． 而[2，3] = 6．
第一章 整除与同余
最小公倍数与最大公约数关系
定理1.1.2 1）设d是a，b的任意公倍数，则 [a，b] d． ab 2） a，b a，b） ，特别地，如果(a，b) = 1， （ [a，b] = |ab|．
第一章 整除与同余
Eratosthenes筛法
定理1.2.3 设a是任意大于1的整数，则a的除1外最小正因子q 是一素数，并且当a是一合数时，
小学奥数-巧解整除中的同余问题
小学奥数-巧解整除中的同余问题1.整数a除以整数b（b≠0），商是整数而没有余数，我们就说a 能被b整除，b能整除a。
2.a与b的和除以c的余数，等于a、b分别除以c的余数之和除以c的余数。
3.a与b的乘积除以c的余数，等于a、b分别除以c的余数的积除以c的余数。
4.若两个数a、b除以同一个数m得到的余数相同，则a、b的差一定能被m整除。
5所谓同余问题，就是给出“一个数除以几个不同的数”的余数，反求这个数，称做同余问题。
精讲1：甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数得商11余32，求甲、乙两数。
分析：解答这样的问题，首先要根据除法的意义，理顺被除数、除数、商和余数之间的关系，即被除数=商×除数+余数。
因为甲=乙×11+32，所以甲+乙=乙×11+32+乙=乙×12+32=1088。
解：乙=（1088－32）÷（11+1）=88 甲=1088-88=1000精讲2：求478×296×351除以17的余数。
分析：先求出乘积再求余数，计算量较大，可以根据同余定理“a 与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数的积除以c的余数”，先分别计算出各因数除以17的余数，再求出余数之积除以17的余数。
解：478÷17=28 (2)296÷17=17 (7)351÷17=20 (11)2×7×11÷17=9 (1)精讲3：有一个大于1的整数，除45、59、101所得的余数相同，求这个数。
分析：根据同余定理“若两个数a、b除以同一个数m得到的余数相同，则a、b的差一定能被m整除”，我们可以得到：这个数一定能整除这三个数中任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数。
解：101－45=56 59－45=14 （56,14）=1414的约数有1、2、7、14，所以这个数可能为2、7、14。
数论知识点之整除与余数
整除一、常见数字的整除判定方法1. 一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；2. 一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除；一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；3. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除.4. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除.5.如果一个数能被99整除，这个数从后两位开始两位一截所得的所有数（如果有偶数位则拆出的数都有两个数字，如果是奇数位则拆出的数中若干个有两个数字还有一个是一位数）的和是99的倍数，这个数一定是99的倍数。
【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.）二、整除性质性质1 如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除．即如果c︱a，c︱b，那么c︱(a±b)．性质2 如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除．即如果b∣a，c∣b，那么c∣a．用同样的方法，我们还可以得出：性质3如果数a能被数b与数c的积整除，那么a也能被b或c整除．即如果bc∣a，那么b∣a，c∣a．性质4如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么a一定能被b 与c的乘积整除．即如果b∣a，c∣a，且(b，c)=1，那么bc∣a．例如：如果3∣12，4∣12，且(3，4)=1，那么(3×4) ∣12．性质5 如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除．如果b｜a，那么bm｜am（m为非0整数）；性质6如果数a能被数b整除，且数c能被数d整除，那么ac也能被bd整除．如果b｜a，且d｜c，那么bd｜ac；余数一、三大余数定理：1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
第二讲整除与同余(教师版)
第二讲 整除与同余一、整数的进位制1、【十进制数】给定一个m 位的正整数A ，其各位上的数字分别记为021,,,a a a m m ， A 可以表示成10的1 m 次多项式，即012211101010a a a a A m m m m ，其中{0,1,2,,9},i a L01,2,,1i m L ，且01 m a ，简记为021a a a A m m .2、【p 进制数】若十进制正整数A 可以表示为：012211a p a p a p a A m m m m ，其中{0,1,2,,1},01,2,,1i a p i m L L ，且01 m a ，m 仍然为十进制数，则称A 为p 进制数，记为p m m a a a A )(021 .【例题分析】1、（2008）a 是由2005个9组成的2005位数，b 是由2005个8组成的2005为数，则ab 是（ ）位数.A 4000B 4004C 4008 4010 2．求满足3)(c b a abc 的所有三位数abc 。
解：由于999100 abc ，则999)(1003c b a ，从而95 c b a ；当5 c b a 时，33)521(1255 ； 当6 c b a 时，33)612(2166 ；当7 c b a 时，33)343(3437 ； 当8 c b a 时，33)215(5128 ；当9 c b a 时，33)927(7299 ；于是所求的三位数只有512.3．一个四位数，它的个位数字与百位数字相同。
如果将这个四位数的数字顺序颠倒过来（即个位数字与千位数字互换，十位数字与百位数字互换），所得的新数减去原数，所得的差为7812，求原来的四位数。
解：设该数的千位数字、百位数字、十位数字分别为z y x ,,，则 原数y z y x 10101023①；颠倒后的新数x y z y 10101023②由②－①得7812＝)(90)(999y z x y即2868111()10()10()10()()y x z y y x z x y x ③ 比较③式两端百位、十位、个位数字得6,8 x z x y .由于原四位数的千位数字x 不能为0，所以1 x ，从而98 x y ，又显然百位数字9 y ， 所以76,1,9 x z x y ，所以所求的原四位数为1979.二、整除的概念及其性质（一）、基本概念1、定义：设b a ,是给定的整数，0 b ，若存在整数c ，使得bc a ,则称b 整除a ，记作a b |，并称b 是a 的一个约数(或因数)，称a 是b 的一个倍数，如果不存在上述c ，则称b 不能整除a ,记作b a .2、整除的性质(1) 若c b |且a c |，则a b |(传递性)； (2) 若a b |且c b |，则)(|c a b ;若反复运用这一性质，易知a b |及c b |，则对于任意的整数v u ,有)(|cv au b ; 更一般，若i b a |，则 ni ii bc a 1|其中,1,2,,i c Z i n L ；(3) 若a b |，则或者0 a ，或者||||b a ;特别地，若a b |且b a |，则b a ； (4) (带余除法定理)设b a ,为整数，0b ，则存在一对整数q 和r ，使得r bq a ，其中0r b ，满足以上条件的整数q 和r 是唯一确定.整数q 称为a 被b 除得的商，数r 称为a 被b 除得的余数。
整除性与同余定理
对于同余定理问题，要熟练掌握扩展欧几里得算法、中国剩余定理等 技巧，善于将问题转化为同余方程进行求解。
04
在解题过程中，要注意细节和特殊情况的处理，避免因为粗心大意而 导致错误。
04 拓展延伸：费马小定理 和欧拉定理
费马小定理内容阐述
费马小定理是数论中的一个 重要定理，它给出了在模一 个质数p的情况下，任意整数
物理学
在量子力学和相对论等领域，同余定理可用于描 述物理现象的对称性和周期性规律。
06 总结回顾与展望未来
关键知识点总结
整除性定义
整除是数学中的一个重要概念，表示一个整数可以被另一个整数除尽，没有余数。整除性在数论、代数等领 域有广泛应用。
同余定理
同余定理是数论中的基本定理之一，它描述了整数在模运算下的性质。同余定理包括费马小定理、欧拉定理 等，是解决许多数论问题的基础。
k2使得a=b+k1m，c=d+k2m。
则
03
ac=(b+k1m)(d+k2m)=bd+(bk2+dk1)m+k1k2m
^2。
证明过程展示
因为m整除k1m和k2m，所以m也整除k1k2m^2，进而m整除ac-bd。
因此，ac≡bd(mod m)。
03 典型问题解析与技巧指 导
涉及整除性问题分类
整除性与同余定理
汇报人：XX
2024-01-29
目录
CONTENTS
• 整除性基本概念与性质 • 同余定理介绍与证明 • 典型问题解析与技巧指导 • 拓展延伸：费马小定理和欧拉定理 • 实际应用举例与探讨 • 总结回顾与展望未来
01 整除性基本概念与性质
整除定义及例子
同余问题解题技巧
同余问题解题技巧
同余问题是数论中的重要内容，解决它可以应用到大量的科学问题中。
本文介绍一种解决同余问题的技巧，以及与之相关的实例。
首先定义一些概念，以便理解同余问题的实质。
定义P、Q均
为正整数，如果存在正整数m，使得P*m=Q mod N，则称P
和Q模N具有同余性，记作P≡Q (mod N)。
解决同余问题的技巧很简单，具体来说就是首先找出所有满足
P*m=Q mod N的m，然后将这些m都加起来，如果结果是N
的整倍数，就说明P与Q是同余的。
举一个例子来说明该技巧的实际效果，假设我们要求P≡Q (mod 10)，我们只需要找出所有满足P*m=Q mod 10的m即可，显然m=1,3,7都是符合要求的。
将这三个m加起来，结果11，因此P和Q就是同余的。
实际上，这种技巧可以扩展到求解多项式同余问题，并可以利用中国剩余定理来解决。
因此，在解决同余问题时，应当充分考虑各种情况，以便及时捕捉解题技巧，从而提高工作效率。
同余问题知识点讲解
同余问题知识点讲解数论中的同余问题同余问题是数论中的一个重要知识点，也是各大数学竞赛和小升初考试必考的奥数知识点。
因此，学好同余问题对学生来说非常重要。
许多孩子都接触过同余问题，但也有不少孩子说“遇到同余问题就基本晕菜了！”。
同余问题主要包括带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理、乘法余数定理和同余定理），以及中国剩余定理和弃九法原理的应用。
带余除法的定义及性质一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0），若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r，且0≤r＜b，我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。
其中，当r=0时，我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商；当r≠0时，我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商。
一个完美的带余除法讲解模型可以将带余除法的概念用一个图形化的模型来解释。
假设有一堆书，共有a本，这个a可以理解为被除数。
现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色。
经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。
这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系，并且可以看出余数一定要比除数小。
三大余数定理1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.2.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。
例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
小学奥数论：整除和余数知识点总结及经典例题
小学奥数论：整除和余数知识点总结及经典例题1.数论——数的整除和余数2.1基本概念和基本性质2.1.1定义整数a除以整数b（b≠0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。
2.1.2表达式和读法b∣a，读着b能整除a;或a能被b整除；b a，不能整除；2.1.3基本性质①传递性：如果a|b,b|c,那么a|c;即b是a的倍数，c是b的倍数，则c肯定是a的倍数；②加减性：如果a|b、a|c，那么a|(b c);③因数性：如果ab|c，那么a|c，b|c;即如果ab的积能整除c,则a 或b皆能整除c;④互质性，如果a|c，b|c，且（a,b）=1,那么ab|c,即如果a能整除c,b能整除c，且ab互质，则ab的积能整除c;⑤a个连续自然数中必恰有一个数能被a整除。
2.2数的整除的判别法2.2.1末位判别法2.2.2数字和判别法（用以判别能否被3或9整除）各数位上数字的和是3或9的倍数，则能被3或9整除。
173652÷9:1+7+3+6+5+2的和除以3或9；简便算法，利用整除的加减性，可以去掉1个或多个9，剩下数字的和x再除以3或9；如果x﹥9,则余数为x-9;如果x﹤9,则余数为x。
2.2.3奇偶数位判别法（用以判别能否被11整除）从右往左编号，编号为奇数的为奇数位，编号为偶数的为偶数位，看奇数位上的数字的和与偶数位上的数字的和的两者之差是否能被11整除；81729033÷11:奇数位和为6，偶数位和为27；如果奇数位和比偶数位和小，则奇数位和加1个或多个11，直到够减。
余数的判断法与整数位的判断法一致。
2.2.4三位一截判别法（用以判别能否被7/11/13整除）2.2.4.1基本用法从右往左三位一截并编号，编号为奇数的为奇数段，编号为偶数的为偶数段，看奇数段的数字的和与偶数段的数字的和的两者之差是否能被7、11、13整除；如，86372548，奇数段的和为（548+86），偶数段的和为372，求两者差看能否被7整除，同样，不够减前面加1个或多个7，直到够减，余数位的判断法与整数位的判断法一致。