6.11整除和同余(一)
第二次课-- 整除与同余
最大公因子定理
定理1 设a，b是两个不全为零的整数，则存 在两个整数u，v，使 (a，b)= ua+vb．
第一章 整除与同余
证明 设Z是全体整数集合，构造如下一个集合： S = {xa+ybx，yZ}． S中的元素显然大于等于0． 设d是S中的最小正整数，设 d = ua+vb． 现在我们证明da且db．做带余除法： a = qd+r，0 r d． 于是 r = a – qd = a – q(ua+vb) = (1–qu)a – qvb． 这说明r也可表示为a，b的组合，则rS． 由于d是S中的最小者，所以r = 0．故da．同理db． 设c是a，b的任意公因子，由ca和cb得cua+vb．故 d是a，b的最大公因子，证毕．
第一章 整除与同余
互素
定义3：设a，b是两个不全为0的整数，如果(a，b) = 1，则称a，b互素． 推论：a，b互素的充分必要条件是：存在u，v，使 ua+vb = 1． 证明 必要条件是定理1的特例，只需证充分条件． 如果存在u，v，使 ua+vb = 1． 则由(a，b)(ua+vb)，得(a，b)1， 所以(a，b) = 1．
例8 a = 2，b = 3．它们的公倍数集合为 {0，6，12，18，…}． 而[2，3] = 6．
第一章 整除与同余
最小公倍数与最大公约数关系
定理1.1.2 1）设d是a，b的任意公倍数，则 [a，b] d． ab 2） a，b a，b） ，特别地，如果(a，b) = 1， （ [a，b] = |ab|．
第一章 整除与同余
Eratosthenes筛法
定理1.2.3 设a是任意大于1的整数，则a的除1外最小正因子q 是一素数，并且当a是一合数时，
第二讲整除与同余(教师版)
A( a m 1 a m 2 a 0 ) p .【例题分析】位数•于是所求的三位数只有 512.3 .一个四位数，它的个位数字与百位数字相同。
如果将这个四位数的数字顺序颠倒过来（即个位数字与 千位数字互换，十位数字与百位数字互换），所得的新数减去原数，所得的差为7812，求原来的四位数。
解：设该数的千位数字、百位数字、十位数字分别为x,y,z ，则32原数 10 x 10 y 10z y①;QO颠倒后的新数103y 102z 10y x ②、整数的进位制1、【十进制数】给定一个 m 位的正整数 10 的m 1次多项式，即A m 1 a m 1 10 i 01,2, L ,m 1 且 a m 1 2、【p 进制数】若十进制正整数 A 第二讲 整除与同余A ，其各位上的数字分别记为 a m 1,a m 2, ,a 。
, A 可以表示成 m 2a m 2 10A a m 1 a m可以表示为: a {0,1,2,L,p 1}, i 0,,,2,L,m 1 且 a m 10 , a i 10 a °，其中 a i {0,1,2,L ,9}, 2a 0 . m 1 A a m 1 p a m 2 m 仍然为十进制数，则称a 1 p a ，其中 p 进制数，记为解: 由于 100 abc 999，则100 (a b3c) 999，从而 5 a bc ! 9 ；当a b c 5时， 53125 (1 2 5)3; 3当a b c 6时，6216 (2 1 6)3; 当a b c 7时， 73 343 (3 4 3)3;3当a b c 8时，8512 (5 12)3;当ab c 9时， 93 729 (7 2 9)3;b c ）3的所有三位数1、（2008）a 是由2005个9组成的2005位数, 是由2005个8组成的2005 为数, 则ab 是（）A 4000B 4004C 4008 40102.求满足abc (a abc 。
数论的整除性与同余定理
数论的整除性与同余定理数论是数学的一个重要分支，研究的是整数的性质和规律。
其中，整除性与同余定理是数论中最基本也是最重要的两个概念。
本文将围绕这两个概念展开详细讲解。
整除性是指整数a能被整数b整除，通常用符号“a|b”表示。
如果存在整数c，使得b = ac，我们就说a整除b。
整除性在数论中起着至关重要的作用，它为我们研究整数的性质提供了基础。
数的整除性有很多有趣的性质。
首先是整数的整除关系是反身性、对称性和传递性的。
即对于任意整数a、b、c，有以下性质成立：1. 反身性：a|a，即任意整数都能整除自身。
2. 对称性：如果a|b，则b|a，即如果a能整除b，那么b也能整除a。
3. 传递性：如果a|b，b|c，则a|c，即如果a能整除b，b能整除c，那么a也能整除c。
这些基本性质使得我们可以通过分析整除关系来推导得出更多有关整数的性质。
比如，根据整除性的传递性，我们可以得出一个结论：如果a|b，b|c，则a|c。
这个结论有时被称为“整除与传递”。
它告诉我们，如果一个整数同时整除两个数，那么它也必然整除两个数的最大公约数。
在数论中，同余定理是另一个重要的概念。
同余是指两个整数除以一个正整数m所得的余数相等。
如果a和b满足a≡b(mod m)，我们就说a与b同余，其中“≡”表示同余关系。
同余关系也具有一些有趣的性质。
同余定理可以进一步细分为三个定理：同余定理一、同余定理二和同余定理三。
下面分别进行详细介绍。
1. 同余定理一：如果a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，那么a + c ≡ b + d (mod m)，a - c ≡ b - d (mod m)。
也就是说，同余的两个数之和、之差在模m下仍然同余。
2. 同余定理二：如果a≡b(mod m)，那么ac≡bc(mod m)。
也就是说，同余的两个数分别与另一个数相乘，在模m下仍然同余。
3. 同余定理三：如果ab≡ac(mod m)，且a与m互质，那么b≡c(mod m)。
同余的基本概念和性质
模相等的同余关系的运算性质
模相等的同余关系满足交换律和结合律 模相等的同余关系满足消去律 模相等的同余关系满足分配律 模相等的同余关系满足幂等律
同余的应用
同余在模方程中的应用
模方程的同余解法 同余在模方程中的应用实例 同余在模方程中的求解步骤 同余在模方程中的优势与局限性
同余在数论中的应用
整除理论：同余是整除理论中的重要概念，用于研究整数之间的除法关系。
● - 同余关系具有反身性，即任意整数a都与自身对模m同余，即a≡a(mod m)。 ● - 同余关系具有对称性，即如果a≡b(mod m)，则b≡a(mod m)。 ● - 同余关系具有传递性，即如果a≡b(mod m)且b≡c(mod m)，则a≡c(mod m)。 ● - 对于任意整数a、b和c，若a≡b(mod m)且b≡c(mod m)，则a≡c(mod m)。
同余的性质
模相等的同余关系
● 定义：如果两个整数a和b除以同一个正整数m的余数相同，则称a和b对模m同余，记作 a≡b(mod m)。
● 性质： - 同余关系具有反身性，即任意整数a都与自身对模m同余，即a≡a(mod m)。 - 同余关 系具有对称性，即如果a≡b(mod m)，则b≡a(mod m)。 - 同余关系具有传递性，即如果 a≡b(mod m)且b≡c(mod m)，则a≡c(mod m)。 - 对于任意整数a、b和c，若a≡b(mod m)且 b≡c(mod m)，则a≡c(mod m)。
同余的基本概念和性质
汇报人：XX
目录
同余的定义
同余的性质
01
02
同余的应用
同余的证明方法
03
04
同余的定义
什么是同余
同余的定义：两个整数除以某 个固定整数得到的余数相同， 则称这两个整数同余。
整除和同余
数论初步：整除、质数与同余数论的全名是“整数的理论”，顾名思义，它所探讨的问题主要是关于整数的（实际上是正整数）. 当然，有时谈论的范围也会扩展到有理数.一、质数1、基本概念和重要命题质数：只能被1和自身整除的正整数；质数不包括1.筛法：批量获取质数的方法；例如，将2~100排成一列，依次从左到右“筛除”最左边数字的倍数，第一次筛除所有2的倍数，第二次筛除所有3的倍数，第三次筛除所有5的倍数……100 的最大质数7为止，剩下的数就是100以内的全体质数.一直到不超过10一个特殊的质数：2，它是最小的质数，也是质数中唯一的偶数.2、典型例题例1、一个两位数的个位数字与十位数字交换位置后，所得的数比原来大9. 在这样的两位数中，质数有多少个要点：①这种两位数的特点是个位数字比十位数字大1；②快速判定100以内质数的能力.结论：共有3个，分别是23、67和89.例2、若p为质数，且p6＋3也是质数，则p11－52的值是多少要点：根据已知条件能够确定p的奇偶性.结论：p11－52＝1996.3、专题练习习题1若a、b、c、d为整数，且(a2＋b2)(c2＋d2)＝2001，则a2＋b2＋c2＋d2＝ .习题2在1~n这n个自然数中，已知共有p个质数，q个合数，k个奇数，m个偶数，则(q－m)＋(p－k)＝ .习题3在下列关于质数与合数的说法中，正确的是 .①两个质数的和必为合数；②两个合数的和必为合数；③一个质数与一个合数的和必为合数；④一个质数与一个合数的和不可能是合数.习题4若质数m、n满足5m＋7n＝129，则m＋n的值是多少习题5一个两位质数，将它的十位数字与个位数字对调后，仍是一个两位质数，我们称它为“无暇质数”，试求所有无暇质数的和.习题6已知3个质数m 、n 、p 的乘积等于这3个数之和的5倍，求m 2＋n 2＋p 2的值.二、整除1、基本概念和重要命题整除关系：对于整数a 和不为0的整数b ，若存在整数m 使得bm ＝a ，则称a 能被b 整除（或b 整除a ），b 是a 的因数（或a 是b 的倍数），记为b |a .整除的重要基本性质：① 若b 和c 都能被a 整除，则b 与c 的和或差也能被整除. ()c b a c a b a ±⇒||,| ② 若b 能被a 整除，c 能被b 整除，则c 能被a 整除. c a c b b a ||,|⇒③ 若bc 能被a 整除，且c 与a 互质，则b 能被a 整除. ()b a c a bc a |1,,|⇒=④ 若a 同时能被b 和c 整除，且b ,c 互质，则a 能被bc 整除. ()a bc c b a c a b |1,,|,|⇒=2、典型例题例1、判断一个自然数能否被5整除的方法是“看个位数是否为0或5”，解释其原理. 要点分析：任一自然数可以写成10a ＋b 的形式，其中b 表示它的个位数；而10a ＝5×2a 能被5整除，于是将“10a ＋b 能否被5整除”的问题转化为“个位数b 能否被5整除”的问题.类似地，请你解释“判断一个自然数能否被2、4、8整除”的方法.1287xy是72的倍数，求出所有符合条件的7位数.例2、已知7位数6要点分析：①由于72＝8×9，而8和9互质，因此“是72的倍数”就转化为“既能被8整除，又能被9整除”；②“能被8整除”的判据是看后三位，“能被9整除”的判据是各位数字之和能被9整除；③别忘记，x、y只能在0~9这十个数字中选取；④实际上，可以先考虑“能被4整除”，因为这样很容易将y限定为奇数.结论：共有3个数符合要求，1287216，1287936，1287576.例3、将1,2,3,……,2010这2010个数字随意排成一行，得到数N，证明：N一定是合数. 要点分析：①证明的关键在于为N找到一个因数a，考虑到“随意排成一行”的条件，可知a|N的判据应该形如“各位数字之和……”，因为这样才不会受到排列顺序的影响. ②由于“各位数字之和与数本身的整除性是一样的”，我们不需要具体考虑每个数的各位数字之和是多少，只要直接将1~2010累加起来即可.结论：因为1~2010的累加和必是3的倍数（为什么），所以N一定能被3整除，是合数. *证明的书写：只要将每一步推导的理由说明即可. 所谓的“理由”，就是前面提到的整除性质，或者是“能被某数（如2、3、5、7、9、11等）整除”的判据.证明：若数N由1,2,3,……,2010这2010个数字随意排列而成，则3|N.设x＝N的各位数字之和，y＝1＋2＋ (2010)∵根据被3整除的判据，任意正整数被3整除性质与它的各位数字之和被3整除性质一致∴ x 被3整除性质与y 被3整除性质一致而 ()2201012010+⨯=y 能被3整除 ∴ x 能被3整除.∴ N 能被3整除. ∴ N 是合数.例4、证明：（1）形如abcabc 的六位数一定能被7、11、13整除；（2）若4b ＋2c ＋d ＝32，则8|bcd .证：（1）∵ 10011000⨯=+⨯=abc abc abc abcabc ，而1001＝7×11×13，∴ 7|abcabc ，11|abcabc ，13|abcabc .（2）∵ ()()c b d c b d c b bcd 8962410100++++=++=而 ()c b c b +=+128896 能被8整除，∴ 8|bcd （参见前面的整除性质①）说明：在学习初期，尽可能在每次论证时把具体理由（不是条目）给自己叙述一遍，确保对于这些性质依赖于熟悉.3、专题练习习题1 若945k k 是能被3整除的五位数，则的可能取值有 ，这样的五位数中能被9整除的是 .习题2用分别写有数字2、3、4、5的四张卡片可以排出不同的四位数，其中能被22整除的四位数有多少个习题3假设a,b,c,d是四个整数，证明：差b－a, c－a, d－a, d－c, d－b, c－b的乘积能被12整除.习题4判断一个整数能否被7整除，只需看去掉一节尾（即这个数的末位数字）后所得到的数与此一节尾的5倍之和能否被7整除. 如果这个和能被7整除，则原数能被7整除. 例如126，去掉6后得到12，而12＋5×6＝42，42能被7整除，所以126能被7整除.（1）与此方法类似地，也可看去掉一节尾后与该结尾的n倍之差来判断，则n＝ .（n是整数，且1≤n＜7）（2）这种检验方法也可以转化成这样一条命题：依题意所构造出来的这个和数与原整数在被7整除的性质上是一致的；或者说，二者除以7的余数相同. 请你证明这个命题.三、同余1、基本概念和重要命题同余：从字面上讲，“整数a ,b 对m 同余”是指“a 和b 除以m 的余数相同”；常用定义则是“a －b 能被m 整除”，显然两种说法含义是一样的；整除与同余的关系：“a 和b 都能被m 整除”实际上就是“a 和b 除以m 的余数都是0”； 同余的符号表示与过程书写：例如，将“a 除以5的余数是3”表示为“a ＝5k ＋3，k 为整数”；利用这种表示，我们就将同余分析转化为多项式的运算；2、典型例题例1、若记a 1除以m 的余数为r 1，a 2除以m 的余数为r 2，则a 1＋a 2与r 1＋r 2同余，a 1a 2与r 1r 2同余.要点分析：根据同余定义，“两个量对m 同余”相当于“二者之差能被m 整除”. 证明：设a 1＝mk 1＋r 1，a 2＝mk 2＋r 2，k 1和k 2为整数；则a 1＋a 2＝mk 1＋r 1＋mk 2＋r 2＝m (k 1＋k 2)＋(r 1＋r 2)，(a 1＋a 2)－(r 1＋r 2)＝m (k 1＋k 2)能被m 整除； a 1a 2＝(mk 1＋r 1)(mk 2＋r 2)＝m 2k 1k 2＋mk 1r 2＋mk 2r 1＋r 1r 2，a 1a 2－r 1r 2＝m (mk 1k 2＋k 1r 2＋k 2r 1)能被m 整除.这是同余的重要性质：要研究两数运算结果的余数，只要将它们各自的余数进行运算即可. 例如，要得到多个数相乘的个位数，只需将它们的个位数相乘即可. 利用这个性质，我们可以理解“能被9整除”的判定方法.例2、有一种判断“一个位数很多的数能否被7整除”的方法，以1289376为例，将最后三位数字和前若干位数字分别视为两个整数，它们的差与原数对7的整除性质是相同的，即1289－376＝913＝7×130＋3不能被7整除，所以1289376不能7整除. 请你解释其中道理. 要点分析：“一个位数很多的数”可以写作a ＝1000p ＋xyz ，接着将上述方法过程用多项式运算表示出来.证明：设a ＝1000p ＋xyz ，则a －xyzxyz ＝1000(p －xyz )，该方法所得到的数是p －xyz ； ∵ xyz xyzxyz 1001 能被7整除（记得1001＝7×11×13）∴ a 与1000(p －xyz )对7同余，则二者对于7的整除性质相同；而1000与7互质∴ a 与p －xyz 对于7的整除性质相同.类似地，我们可以理解“能被11整除”的判定方法.例3、已知正整数n 除以3、5、7的余数分别是2、3、4，求满足条件的最小n 值.解：设n ＝3k ＋2＝5l ＋3＝7m ＋4，k ,l ,m 为整数，则2n ＝6k ＋4＝10l ＋6＝14m ＋8，不难看出2n 除以3、5、7的余数都是1，于是2n －1能够同时被3、5、7整除. 由于3、5、7互质，所以2n －1最小是3×5×7＝105，此时n ＝53.例4、证明：由2012个1和任意多个0组成的数不可能是完全平方数.要点分析：乍看起来这个问题似乎无从下手，因为0的个数不限，不同数字符号的顺序不限，那么可以写出无数个数，怎么可能确定它们都不是完全平方数呢实际上，我们只需确定“任意完全平方数必须具有某种同余性质而题中之数并不具有这种性质”，就成功了.证明：任一自然数除以3的余数只有0、1、2三种可能，分别设它们为3k 、3k ＋1和3k ＋1并计算其平分，可知任一平方数或者自身是3的倍数，或者除以3余2. 而由2012个1与任意多个0组成的数字除以3余2，所以不可能是完全平方数.3、专题练习习题1、的个位数是多少最后两位数是多少习题2、14＋24＋34＋…＋20104＋20114的个位数字是多少习题3、已知a ＝ 20122012201220122012个，则a 除以13的余数是多少习题4任给一个正整数，例如248，我们总可以用1984的四个数码经过适当交换得到一个四位数，如8194，恰使得7|(248＋8194). 请你证明：对于任给的一个自然数N ，总存在一个适当交换1984的数码所得到的四位数0123a a a a ，使得7|(N ＋0123a a a a ).习题5、证明：若正整数a ,b ,c 满足a 2＋b 2＝c 2，且它们的最大公约数是1，则c 一定是奇数，而a 和b 中一个是奇数另一个是偶数.习题6、证明：当指数n 不能被4整除时，1n ＋2n ＋3n ＋4n 能被5整除，其中n 为正整数.习题7、1与0交替，组成下面形式的一串数：101,10101,1010101,1,…请你回答，在这串数中有多少个是质数并请证明你的论断.。
数字的整除性质
数字的整除性质数字的整除性质是数学中一个非常重要且基础的概念。
在数学中，我们经常会遇到数字之间的整除关系，通过研究数字的整除性质，我们可以得到许多有用的结论和推论。
本文将探讨数字的整除性质，讨论其定义、性质以及应用。
一、定义在整数集合中，对于任意的整数a和b，如果存在一个整数c使得a = b * c，我们就说a能被b整除，或者b是a的因数，记作b|a。
其中，a被称为被除数，b被称为除数，c被称为商。
如果a不能被b整除，我们就说a不能被b整除，记作b∤a。
二、性质1. 对于任意的整数a，a|a。
这个性质非常显然，任何一个整数都能整除它自身。
2. 对于任意的整数a，1|a。
同样地，因为1乘以任何一个整数都等于这个整数本身，所以1能整除任意一个整数。
3. 对于任意的整数a，a|0。
这个性质是因为任何一个整数乘以0都等于0，所以任意一个整数都能整除0。
4. 如果a|b且b|c，则a|c。
这个性质表明，如果一个整数能同时整除另外两个整数，那么它也能整除它们的和。
5. 如果a|b且a|c，则a|(bx + cy)，其中x和y是任意整数。
这个性质表示了如果一个整数能整除其他两个整数，那么它也能整除它们的线性组合。
三、应用1. 最大公约数和最小公倍数最大公约数和最小公倍数是关于整除性质的两个重要概念。
最大公约数指的是两个或多个整数中能够整除它们的最大的正整数，用gcd(a, b)表示。
最小公倍数指的是两个或多个整数中能够被它们整除的最小的正整数，用lcm(a, b)表示。
通过研究数字的整除性质，我们可以发现最大公约数和最小公倍数的计算方法，这对于解决实际问题非常有用。
2. 整数的因式分解通过对一个整数进行因式分解，我们可以将这个整数表示为若干个素数的乘积形式。
因式分解是数学中一个重要的内容，它不仅能够帮助我们理解整数的结构，还能够在解决一些数学问题时提供便利。
3. 同余定理同余定理是整除性质的一个重要应用，它在数论中有广泛的应用。
第二讲整除与同余(教师版)
第二讲 整除与同余一、整数的进位制1、【十进制数】给定一个m 位的正整数A ，其各位上的数字分别记为021,,,a a a m m ， A 可以表示成10的1 m 次多项式，即012211101010a a a a A m m m m ，其中{0,1,2,,9},i a L01,2,,1i m L ，且01 m a ，简记为021a a a A m m .2、【p 进制数】若十进制正整数A 可以表示为：012211a p a p a p a A m m m m ，其中{0,1,2,,1},01,2,,1i a p i m L L ，且01 m a ，m 仍然为十进制数，则称A 为p 进制数，记为p m m a a a A )(021 .【例题分析】1、（2008）a 是由2005个9组成的2005位数，b 是由2005个8组成的2005为数，则ab 是（ ）位数.A 4000B 4004C 4008 4010 2．求满足3)(c b a abc 的所有三位数abc 。
解：由于999100 abc ，则999)(1003c b a ，从而95 c b a ；当5 c b a 时，33)521(1255 ； 当6 c b a 时，33)612(2166 ；当7 c b a 时，33)343(3437 ； 当8 c b a 时，33)215(5128 ；当9 c b a 时，33)927(7299 ；于是所求的三位数只有512.3．一个四位数，它的个位数字与百位数字相同。
如果将这个四位数的数字顺序颠倒过来（即个位数字与千位数字互换，十位数字与百位数字互换），所得的新数减去原数，所得的差为7812，求原来的四位数。
解：设该数的千位数字、百位数字、十位数字分别为z y x ,,，则 原数y z y x 10101023①；颠倒后的新数x y z y 10101023②由②－①得7812＝)(90)(999y z x y即2868111()10()10()10()()y x z y y x z x y x ③ 比较③式两端百位、十位、个位数字得6,8 x z x y .由于原四位数的千位数字x 不能为0，所以1 x ，从而98 x y ，又显然百位数字9 y ， 所以76,1,9 x z x y ，所以所求的原四位数为1979.二、整除的概念及其性质（一）、基本概念1、定义：设b a ,是给定的整数，0 b ，若存在整数c ，使得bc a ,则称b 整除a ，记作a b |，并称b 是a 的一个约数(或因数)，称a 是b 的一个倍数，如果不存在上述c ，则称b 不能整除a ,记作b a .2、整除的性质(1) 若c b |且a c |，则a b |(传递性)； (2) 若a b |且c b |，则)(|c a b ;若反复运用这一性质，易知a b |及c b |，则对于任意的整数v u ,有)(|cv au b ; 更一般，若i b a |，则 ni ii bc a 1|其中,1,2,,i c Z i n L ；(3) 若a b |，则或者0 a ，或者||||b a ;特别地，若a b |且b a |，则b a ； (4) (带余除法定理)设b a ,为整数，0b ，则存在一对整数q 和r ，使得r bq a ，其中0r b ，满足以上条件的整数q 和r 是唯一确定.整数q 称为a 被b 除得的商，数r 称为a 被b 除得的余数。
整除性和同余性的定义和性质
整除性和同余性的定义和性质整除性和同余性是数学中非常重要的概念。
它们在代数、数论以及计算机科学等众多学科中有着广泛的应用。
本文将从定义、性质等方面对整除性和同余性进行详细的介绍。
一、整除性的定义和性质1.1 定义整除性是指对于两个整数a和b，若存在另外一个整数k，使得a=k×b，则称a可以被b整除，b是a的因数，a是b的倍数。
通常记为b|a。
1.2 性质①任何整数都可以被1和其本身整除。
②如果b|a，且c|b，则c|a。
③如果b|a，且a|c，则b|c。
④如果b|a，且a|b，则a=b或a=-b。
⑤如果b|a且b≠0，则|b|≤|a|，并且|a|/|b|是一个整数。
1.3 应用整除性在代数学和数论中都有广泛的应用。
以代数为例，整除性是求最大公因数和最小公倍数的基本工具。
对于给定的两个整数a和b，可以通过求解它们的公共因子（即两者都能够整除的整数）的最大值来得到它们的最大公因数。
而最小公倍数则可以通过求解a和b之间的联通代数条件来得到。
二、同余性的定义和性质2.1 定义同余性是指对于任意的整数a和b，若它们的差a-b能够被某一个正整数m整除，则称a和b在模m意义下同余，记为a≡b(mod m)。
2.2 性质① (自反性) a≡a(mod m)。
② (对称性) 若a≡b(mod m)，则b≡a(mod m)。
③ (传递性) 若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，则a≡c(mod m)。
④ (加减法性) 若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则a±c≡b±d(mod m)。
⑤ (乘法性) 若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则ac≡bd(mod m)。
2.3 应用同余性在计算机科学中有广泛的应用。
由于计算机只能计算有限集合中的元素，因此需要在有限范围内的数据上进行运算。
同余性可以将数据限制在一个固定的范围内，并保证运算后的结果还在这个范围内，从而避免了数据溢出或越界的问题。
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【例1】若p为质数，且p≥5，则p2－1能被24整除。
【例4】试证：质数有无限多个。
【例2】求证：22001＋3是合数。
【例3】若a，b，c是1998的三个不同的质因数，且a＜b＜c， 则(b＋c)a的值为____。
【例5】41名运动员所穿运功衣号码是1，2，…，41，这41个 自然数，问： ⑴能否使这41名运动员站成一排，使任意两个相邻运 动员的号码之和是质数？
特别的，当用2作除数时，余数为0或1，前者被除数称为 偶数，后者被除数称为奇数。
定义：形如2n(n是整数)的数称为偶数，形如2n＋1(n是整 数)的数称为奇数。
性质3：奇数的平方被4除余1；偶数的平方是4的倍数。 性质4：两个整数的和与这两个整数的差就具有相同的奇
偶数。
以上性质很容易从奇偶数定义出发推出，应用这些性质， 就可以解决有关整数中奇偶分析问题。
⑵能否使这41名运动员站成一圈，使任意两个相邻运 动员的号码之和是质数？若能办到，请举一例；若 不能办到，请说明理由。
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二、约数与倍数 10有约数1，2，5，10，而15有约数1，3，5，15，所以1 是10和15的公约数，5也是10和15的公约数。 几个正整数的公约数有时候不止一个。
定义1： 若a1，a2，…，an是不全为零的整数，且d|a1，d|a2，…， d|an，则d叫做a1，a2，…，an的公约数。公约数中最大的 数叫做最大公约数，记作： (a1，a2，…，an)＝d
定义2： 设a1，a2，…，an都是正整数，如果 (a1，a2，…，an)＝ 1，那么称a1，a2， …，an是互质的数，或简称互质。 互质的数不一定都是质数，如(8，9，14)＝1，但几个质 数一定是互质的数。
特别是，若a1，a2，…，an中任意两个数都互质，即任意 两个数的最大公约数都是1，则称这几个数两两互质。
【例6】23个不同的正整数的和是4845，问这23个数的最大公 约数可能达到的最大值是多少？
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定义 设a、b是整数，且b≠0，若有整数q和r，使得a＝b·q＋r， 其中0＜r＜|b|，那么就称b不整除a，记作：b a 此时，称q为a除以b的(不完全)商，称r为a除以b的余数。
由以上两个定义，得到下面的定理： 定理：设a，b是整数，且b≠0，则有唯一一组整数q和r，
满足 a＝bq＋r，其中0≤r＜|b|， 显然，当r＝0时，b整除a；当r≠0时，b不整除a 换句话说，若用整数n作除数，其余数r有n种可能的情况 ，即r＝0，1，……，n－1。
显然，两两互质的n个自然数一定互质，如(8，9)＝(9， 25)＝(8，25)＝1，则(8，9，25)＝1。反过来则不一定成 立，如(8，9，14)＝1，但(8，14)＝2，因此这三个数不是 两两互质。
一个正整数能被几个正整数整除时，则这个正整数就叫做 这几个正整数的公倍数。例如24能被6整除，24还能被8整 除，所以24是6和8的公倍数。48是12和8的公倍数。
⑹若a|b1，a|b2，…，a|bn，则a|(b1＋b2＋…＋bn) 如2|4，2|6，2|12，2也整除4＋6＋12＝22
⑺n个连续整数之积必能被1×2×3×…×n所整除 如6×7×8＝1×2×3×7×8，∴1×2×3|6×7×8
【例3】若62 427 是99的倍数，求α，β。
【例4】⑴求证：6|n(n＋1)(2n＋1)(n为整数)
性质1：同奇偶的两数之和(或差)为偶数；不同奇偶的两 数之和(或差)为奇 数；奇数个奇数之和为奇数； 偶数个奇数之和为偶数。
性质2：奇数乘以奇数为奇数；偶数乘以偶数为偶数，奇 数乘以偶数为偶数。
【例1】设a，b是自然数，且有关系式123456789＝(11111＋ a)(11111－b)①，证明a－b是4的倍数。
整除和同余(一)
一、整数
我们通常所说的整数是指十进制中，如-1001，-1000， ……，-2，-1，0，1，2……，1000，1001，这样的数。 在整数中，它们的和、差、积仍然是整数，但是当两个 整数相除时，其结果就不一定是整数了。
定义 设a、b是整数，且b≠0，若有一个整数q，可使a＝b·q(即 a/b＝q)，那么就称b能整除a或a能被b整除，记作：b|a 此时，称a为b的倍数，b为a的约数。 例，零是任何非零整数的倍数
这样按约数的个数分类，所有自然数可分为： ⑴单位1—只有一个约数，即1； ⑵质数—只有二个约数，即1和它自身二个约数； ⑶合数—多于二个约数；
如果一个正整数a的一个约数p是质数，则约数p就叫做a的 质约数。 如：12有质约数2，3；280有质约数2， 5，7等。 显然，除了2以外，其他所有的偶数都是合数，同时，除 了2以外，其他所有的质数都是奇数。
⑴如果a|b，a|c，那么a|(b±c) 如2|6，2|4，则2|(6＋4)， 2|(6－4)
⑵如果a|b，b|c，那么a|c 如3|6，6|12，3也整除12
⑶如果b|a，则bm|am，其中m为非零整数 如3|6，7·3也整除6·7
⑷如果a|b，则a|nb，其中n为整数 如3|6，3也整除5·6
⑸若bm|am，则b|a，其中m为非零整数 如2·5 |4·5，2也整除4
定义3： 设a1，a2，…，an和m是正整数，且a1|m，a2|m，…， an|m ，则称m为a1，a2，…，an公倍数。公倍数中最小的数叫 做最小公倍数，记作： [a1，a2，…，an]＝m
定理1： 若a，b是正整数，则(a，b)[a，b]＝ab
定理2： 设a，b是任意两个不全为零的整数，m是任意正整数，则 (am，bm) ＝(a，b)m
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【例2】设n是整数，如果n2的十位数字是7，那么n2的个位数 字是什么？
二、整数的整除性 在整数范围内，有； 整数＋整数＝整数 整数－整数＝整数 整数×整数＝整数 但是，整数除以整数不一定得整数。由已讲的整除定义 知，如果整数a除以整数b得到的商也是整数，则称整数b 整除整数a。
关于整数的整除性有以下的性质：
⑵若a是自然数，则10|a1991－a1987
【例5】有一个1987位数A能被9整除，它的各位数Байду номын сангаас的和为 a，a的各位数字的和为b，b的各位数字的和为c，求 c等于什么?
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一、质数与合数
“1”这个数只有一个正因数，就是它本 身。任何大于1 的正整数a都至少有二个正 因数，就是1和a。 “2”只能被1和2整除，不能被其他正整数整除；同样3只 能被1和3整除，不能被其他正整数整除，我们说2是质数 ，3也是质数。 “4”除了能被1和4整除，还能被2整除。6除了能被1和6 整除，还能被2和3整除。我们说，4是合数，6也是合数。