高三数学二轮专题复习教案――数列

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高中数学数列概念教案

高中数学数列概念教案

高中数学数列概念教案
教学内容:数列概念
教学目标:能够理解数列概念,掌握常见数列的性质及求解方法。

教学重点和难点:掌握数列的定义及常见数列的性质。

教学准备:教学课件、教学实验材料、小黑板、粉笔、教科书。

教学过程:
一、引入(5分钟)
通过渐进法引入数列的概念,并引导学生思考数列在生活中的实际应用,激发学生学习的
兴趣。

二、讲解(15分钟)
1. 数列的定义:依据顺序排列的一系列数构成的序列称为数列。

2. 数列的表示方法:通项公式及递推公式。

3. 常见数列及性质:等差数列、等比数列、斐波那契数列等。

三、实例讲解(20分钟)
通过实例演算,帮助学生掌握数列的性质及求解方法,巩固所学知识。

四、练习(15分钟)
设计一些与课堂内容相关的练习题,让学生在课堂上进行练习,检验他们的学习情况。

五、总结(5分钟)
对本节课所学内容进行总结,强调重点知识点,帮助学生将学到的知识点牢固记忆。

六、作业布置(5分钟)
布置相关的课外作业,加深学生对数列的理解。

教学反思:
此教案通过引入、讲解、演算、练习、总结和作业布置等方式,全面系统地向学生介绍了
数列的概念及性质,帮助学生掌握了数列的基本知识,同时激发了学生对数学的学习兴趣。

在今后的教学中,应注重巩固学生的基础知识,引导学生灵活运用所学知识解决实际问题,提高学生的数学素养和解题能力。

高三数学数列教案5篇

高三数学数列教案5篇

高三数学数列教案5篇高三数学数列教案1等差数列(一)教学目标:明确等差数列的定义,掌握等差数列的通项公式,会解决知道an,a1,d,n中的三个,求另外一个的问题;培养学生观察能力,进一步提高学生推理、归纳能力,培养学生的'应用意识.教学重点: 1.等差数列的概念的理解与掌握. 2.等差数列的通项公式的推导及应用. 教学难点:等差数列“等差”特点的理解、把握和应用. 教学过程:Ⅰ.复习回顾上两节课我们共同学习了数列的定义及给出数列的两种方法——通项公式和递推公式.这两个公式从不同的角度反映数列的特点,下面我们看这样一些例子Ⅱ.讲授新课 10,8,6,4,2,; 21,21,22,22,23,23,24,24,25 2,2,2,2,2,首先,请同学们仔细观察这些数列有什么共同的特点?是否可以写出这些数列的通项公式?(引导学生积极思考,努力寻求各数列通项公式,并找出其共同特点) 它们的共同特点是:从第2项起,每一项与它的前一项的“差”都等于同一个常数. 也就是说,这些数列均具有相邻两项之差“相等”的特点.具有这种特点的数列,我们把它叫做等差数列.1.定义等差数列:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d表示.2.等差数列的通项公式等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得.若一等差数列{an}的首项是a1,公差是d,则据其定义可得: (n-1)个等式若将这n-1个等式左右两边分别相加,则可得:an-a1=(n-1)d 即:an=a1+(n-1)d 当n=1时,等式两边均为a1,即上述等式均成立,则对于一切n∈N-时上述公式都成立,所以它可作为数列{an}的通项公式. 看来,若已知一数列为等差数列,则只要知其首项a1和公差d,便可求得其通项. 由通项公式可类推得:am=a1+(m-1)d,即:a1=am-(m-1)d,则: an=a1+(n-1)d=am-(m-1)d+(n-1)d=am+(n-m)d. 如:a5=a4+d=a3+2d=a2+3d=a1+4d请同学们来思考这样一个问题. 如果在a与b中间插入一个数A,使a、A、b 成等差数列,那么A应满足什么条件? 由等差数列定义及a、A、b成等差数列可得:A-a=b-A,即:a=. 反之,若A=,则2A=a+b,A-a=b-A,即a、A、b成等差数列. 总之,A= a,A,b成等差数列. 如果a、A、b成等差数列,那么a叫做a与b 的等差中项. 例题讲解 [例1]在等差数列{an}中,已知a5=10,a15=25,求a25.思路一:根据等差数列的已知两项,可求出a1和d,然后可得出该数列的通项公式,便可求出a25.思路二:若注意到已知项为a5与a15,所求项为a25,则可直接利用关系式an=am+(n-m)d.这样可简化运算. 思路三:若注意到在等差数列{an}中,a5,a15,a25也成等差数列,则利用等差中项关系式,便可直接求出a25的值.[例2](1)求等差数列8,5,2的第20项. 分析:由给出的三项先找到首项a1,求出公差d,写出通项公式,然后求出所要项答案:这个数列的第20项为-49. (2)-401是不是等差数列-5,-9,-13的项?如果是,是第几项? 分析:要想判断-401是否为这数列的一项,关键要求出通项公式,看是否存在正整数n,可使得an=-401. ∴-401是这个数列的第100项.Ⅲ.课堂练习1.(1)求等差数列3,7,11,的'第4项与第10项.(2)求等差数列10,8,6,的第20项. (3)100是不是等差数列2,9,16,的项?如果是,是第几项?如果不是,说明理由. 2.在等差数列{an}中,(1)已知a4=10,a7=19,求a1与d;(2)已知a3=9,a9=3,求a12.Ⅳ.课时小结通过本节学习,首先要理解与掌握等差数列的定义及数学表达式:an-an-1=d(n≥2).其次,要会推导等差数列的通项公式:an=a1+(n-1)d(n≥1),并掌握其基本应用.最后,还要注意一重要关系式:an=am+(n-m)d的理解与应用以及等差中项。

说课稿高中数学数列教案

说课稿高中数学数列教案

说课稿高中数学数列教案一、教学目标:1. 知识与技能:了解数列的概念和性质,掌握等差数列、等比数列的求和公式,能够应用数列相关知识解决实际问题。

2. 过程与方法:通过探究的方式引导学生理解数列的概念和性质,激发学生的思维能力和数学兴趣。

3. 情感态度:培养学生对数学的兴趣和自信心,培养学生合作学习和探究精神。

二、教学重点和难点:1. 教学重点:数列的概念和性质,等差数列、等比数列的求和公式。

2. 教学难点:解决实际问题时如何选取合适的数列模型。

三、教学准备:1. 教材:高中数学教材相关章节。

2. 工具:黑板、彩色粉笔、数学练习册等。

3. 具体内容:数列的概念和分类、等差数列、等比数列的求和公式及实际应用等。

四、教学过程:1. 导入:通过一个生活中的例子引入数列的概念,让学生了解数列的应用和重要性。

2. 探究:引导学生通过观察、探讨和实验等方式理解数列的概念和性质,并引导学生探索等差数列、等比数列的规律。

3. 知识总结:总结数列的分类和特点,讲解等差数列、等比数列的求和公式及应用方法。

4. 锻炼与运用:让学生通过练习题巩固所学知识,并通过实际问题的解决来提高学生的应用能力。

5. 反馈与评价:对学生的课堂表现进行总结评价,激发学生对数学学习的兴趣和信心。

六、板书设计:数列:概念、分类等差数列:性质、求和公式等比数列:性质、求和公式七、教学反思:本节课通过探究和练习相结合的方式,引导学生理解数列的概念和性质,激发学生的学习兴趣和思维能力。

在教学过程中,学生表现积极,能够积极参与到课堂讨论和练习中,但在实际问题的解决过程中,还需要引导学生更加灵活地运用数列知识,提高解决问题的能力。

希望在以后的教学中,能够更好地帮助学生掌握数列相关知识,提高他们的数学水平和运用能力。

高三数学第二轮复习专题 数列数列通项的求法(教案及测试;含详解答案)

高三数学第二轮复习专题 数列数列通项的求法(教案及测试;含详解答案)

城东蜊市阳光实验学校数列通项的求法考纲要求:1. 理解数列的概念和几种简单的表示方法〔列表、图像、通项公式〕;2. 可以根据数列的前几项归纳出其通项公式;3. 会应用递推公式求数列中的项或者者.通项;4. 掌握n n s a 求的一般方法和步骤.考点回忆:回忆近几年高考,对数列概念以及通项一般很少单独考察,往往与等差、等比数列或者者者与数列其它知识综合考察.一般作为考察其他知识的铺垫知识,因此,假设这一部分掌握不好,对解决其他问题也是非常不利的. 根底知识过关: 数列的概念1.按照一定排列的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的,数列中的每一项都和他的有关.排在第一位的数称为这个数列的第一项〔通常也叫做〕.往后的各项依次叫做这个数列的第2项,……第n 项……,数列的一般形式可以写成12,n a a a …………,其中是数列的第n 项,我们把上面数列简记为. 数列的分类:1.根据数列的项数,数列可分为数列、数列.2.根据数列的每一项随序号变化的情况,数列可分为数列、数列、数列、 数列.数列的通项公式:1.假设数列{}n a 的可以用一个公式来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式,通项公式可以看成数列的函数. 递推公式; 1.假设数列{}n a 的首项〔或者者者前几项〕,且任意一项1n n a a -与〔或者者其前面的项〕之间的关系可以,那么这个公式就做数列的递推公式.它是数列的一种表示法. 数列与函数的关系:1.从函数的观点看,数列可以看成以为定义域的函数()na f n =,当自变量按照从小到大的顺序依次取值时,所对应的一列函数值,反过来,对于函数y=f(x),假设f(i)(i=1,2,3,……)有意义,那么我们可以得到一个数列f(1),f(2),f(3)……f(n)…… 答案: 数列的概念 1.顺序项序号首项n a {}n a数列的分类 1.有限无限 2.递增递减常摆动 数列的通项公式1.第n 项与它的序号n 之间的关系n a =f(n)解析式 递推公式1. 可以用一个公式来表示数列与函数的关系1. 正整数集N*〔或者者它的有限子集{}1,2,3,n ……〕高考题型归纳:题型1.观察法求通项观察法是求数列通项公式的最根本的方法,其本质就是通过观察数列的特征,找出各项一一共同的构成规律,横向看各项之间的关系构造,纵向看各项与项数之间的关系,从而确定出数列的通项.例1.数列12,14,58-,1316,2932-,6164,….写出数列的一个通项公式.分析:通过观察可以发现这个数列的各项由以下三部分组成的特征:符号、分子、分母,所以应逐个考察其规律.解析:先看符号,第一项有点违犯规律,需改写为12--,由此整体考虑得数列的符号规律是{(1)}n-;再看分母,都是偶数,且呈现的数列规律是{2}n;最后看分子,其规律是每个分子的数比分母都小3,即{23}n -. 所以数列的通项公式为23(1)2n nn n a -=-. 点评:观察法一般适用于给出了数列的前几项,根据这些项来写出数列的通项公式,一般的,所给的数列的前几项规律性特别强,并且规律也特别明显,要么能直接看出,要么只需略作变形即可. 题型2.定义法求通项直接利用等差数列或者者等比数列的定义求通项的方法叫定义法,这种方法适应于数列类型的题目.例2.等差数列{}n a 是递增数列,前n 项和为n S ,且931,,a a a 成等比数列,255a S =.求数列{}n a 的通项公式.分析:对于数列{}n a ,是等差数列,所以要求其通项公式,只需要求出首项与公差即可.解析:设数列{}n a 公差为)0(>d d∵931,,a a a 成等比数列,∴9123a a a =,即)8()2(1121d a a d a +=+d a d 12=⇒ ∵0≠d,∴d a =1………………………………①∵255aS =∴211)4(2455d a d a +=⋅⨯+…………②由①②得:531=a ,53=d∴n n a n 5353)1(53=⨯-+=点评:利用定义法求数列通项时要注意不要用错定义,设法求出首项与公差〔公比〕后再写出通项.题型3.应用nS 与na 的关系求通项有些数列给出{na }的前n 项和nS 与na 的关系式n S =()n f a ,利用该式写出11()n n S f a ++=,两式做差,再利用11n n na S S ++=-导出1n a +与na 的递推式,从而求出na 。

高三数学二轮复习数列[1]

高三数学二轮复习数列[1]

高三数学二轮复习教学案——等差数列与等比数列一、【填空】1.已知各项均为实数的数列{a n }为等比数列,且满足a 1+a 2=12,a 2a 4=1,则a 1=_______.2. 在等差数列{a n }中,若a 1,a 2 011为方程x 2-10x +16=0的两根,则a 2+a 1 006+a 2 010=__________________.3.若数列{a n }的通项公式是a n =(-1)n(3n -2),则a 1+a 2+…+a 10=______________. 4.已知{a n }为等差数列,其公差为-2,且a 7是a 3与a 9的等比中项,S n 为{a n }的前n 项和,n ∈N *,则S 10的值为---------------5.等差数列{a n }前9项的和等于前4项的和.若a 1=1,a k +a 4=0,则k =____________.6. 已知等比数列{}n a 中,214S ,23a 33==,则1a =_____________________. 二、【解答】7. 成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n }中的b 3、b 4、b 5.(1)求数列{b n }的通项公式;(2)数列{b n }的前n 项和为S n ,求证:数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n +54是等比数列.8.设{}n a 数列为等比数列,{}n b 数列为等差数列,且10b =,n n n c a b =+,若{}n c 是1,1,2,, 求{}n c 的前10项和.9. 等比数列{a n}中,a1,a2,a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且a1,a2,a3中的任何两个数不在下表的同一列.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若数列{b n}满足:b n=a n+(-1)n ln a n,求数列{b n}的前n项和S n.10. 已知数列{a n}满足如下图所示的程序框图.(1)写出数列{a n}的一个递推关系式;(2)证明:{a n+1-3a n}是等比数列,并求{a n}的通项公式;(3)求数列{n(a n+3n-1)}的前n项和T n.。

苏州市高三数学二轮复习示范课教案--数列中的方程问题(江小娟)

苏州市高三数学二轮复习示范课教案--数列中的方程问题(江小娟)

数列中的方程问题江苏省苏州中学 江小娟一.基础训练:1.已知数列{a n }的前n 项和S n 满足:S m +S n =S m +n ,且a 1=1.那么a 10= .2.已知数列{a n }的前n 项和S n 满足:=m n m n S S S +⋅,且a 1=2.那么a 10= .3.已知数列{}n a 中,121,0a a ==,若对任意的正整数m 和n (n >m )满足:22n m n m n m a a a a -+-=⋅,则119a = . 二:例题讲解1.已知数列{}n a 的前三项分别为15a =,26a =,38a =,且数列{}n a 前n 项和n S 满足2221()()2n m n m S S S n m +=+--,其中,m n 为任意正整数.求数列{}n a 的通项公式n a .变:设数列{}n a 的各项都为正数,前n 项和为n S ,对于任意正整数m ,n , 有1n m S +.若1234=1a a a a ,求,,及n a .2. 数列{a n }中,a 1 = 1,a 2 = 2.数列{b n }满足1(1)n n n n b a a +=+-,n *∈N .(1)若数列{a n }是等差数列,求数列{b n }的前6项和S 6;(2)若数列{b n }是公差为2的等差数列,求数列{a n }的通项公式;(3)若b 2n - b 2n - 1 = 0,21262n n nb b ++=,n *∈N ,求数列{a n }的前2n 项和T 2n .变:已知数列{}n a 满足12,a =前n 项和为n S ,11()2()n n npa n n a a n n ++-⎧=⎨--⎩为奇数为偶数.(1)若数列{}n b 满足221(1)n n n b a a n +=+≥,试求数列{}n b 前n 项和n T ;(2)若数列{}n c 满足2n n c a =,试判断{}n c 是否为等比数列,并说明理由;(3)在(2)的条件下,若{}n c 为等比数列,问是否存在*n N ∈,使得212(10)1n n S c +-=,若存在,求出所有的n 的值;若不存在,请说明理由.一.填空题:1. 12.5123.-1 二.解答题1. 令1,2n m ==,324441()1,29,102S S S S a =+-==令1m =,21221()(1),2n n S S S n +=+--令2m =,22241()(2),2n n S S S n +=+--∴4222123262(2)2,2n n n S S a S S n n n ++++=-=-+=+=++ ∴22,(3)n a n n =+≥又26a =符合,15a =不符合,∴5,(1)22,(2)n n a n n =⎧=⎨+≥⎩变:由条件,令1m n ==,得21S + ∴2222(1)2(1)S a S +=+.则2212S a +=.∴211a a =+. ∵11a =,∴22a =.令1,2m n ==,得31S +.则2334(4)4(4)a a a +=++. 令2,1m n ==,得31S +.则234(4)8a a +=. 解得344,8a a ==.得1m n S ++ 令1m =,得11n S ++ 令2m =,得21n S ++∴2111n n S S +++=+*n ∈N )2, 则数列{1}n S +(2,*)n n ∈N ≥是公比为2的等比数列. ∴11222n n n S -+=⋅=.12n n a -=2.解:(1)∵a 1 = 1,a 2 = 2,数列{a n }是等差数列,∴n a n =.则b 1 = b 3 = b 5 = 1,b 2 = 5,b 4 = 9,b 6 = 13.∴S 6 = b 1 + b 2 + … + b 6 = 30.(2)∵b 1 = a 2 - a 1 = 2 - 1 = 1,数列{b n }是公差为2的等差数列,∴b n = 2n - 1. ∵b 2n - 1 = a 2n - a 2n -1,b 2n = a 2n +1 + a 2n , ∴a 2n - a 2n -1 = 4n - 3,a 2n +1 + a 2n = 4n - 1. ∴a 2n +1 + a 2n - 1 = 2.则a 2n +3 + a 2n + 1 = 2.∴a 2n +3 = a 2n - 1.(*) ∵a 1 = 1,∴a 3 = 1.则a 4n - 3 = a 1 = 1,a 4n - 1 = a 3 = 1.∴a 2n - 1 = 1.则a 2n = 4n - 2.∴1()22().n n a n n ⎧=⎨-⎩为奇数,为偶数(3)∵b 2n - b 2n - 1 = 0,21262n n nb b ++=,n *∈N , 而b 2n - 1 = a 2n - a 2n -1,b 2n = a 2n +1 + a 2n ,b 2n + 1 = a 2n + 2 - a 2n + 1, ∴a 2n +1 + a 2n -1=0,22262n n n a a ++=(n *∈N ). 当n 是偶数,则21321242()()n n n T a a a a a a -=+++++++L L 22213[1)]1404()214nn n T -⨯-=+=--(当n 是奇数,则21232142()()n n n T a a a a a a -=+++++++L L 12231[1()]124305()1214n n --⋅-=++=--综上,229(1)1()22n n nT ---=-.2解:(Ⅰ)据题意得2214n n n b a a n +=+=-,所以{}n b 成等差数列,故222n T n n =--(Ⅱ)当12p =时,数列{}n c 成等比数列;当12p ≠时,数列{}n c 不为等比数列 理由如下:因为122212n n n c a pa n +++==+2(4)2n p a n n =--+42n pc pn n =--+,所以12(12)n n nc n p p c c +-=-+,故当12p =时,数列{}n c 是首项为1,公比为12-等比数列;当12p ≠时,数列{}n c 不成等比数列(Ⅲ)当12p =时,121()2n n n a c -==-,121214()2n n n n a b a n -+=-=---因为21112...n n S a b b b +=++++=2222n n --+(1n ≥) 212(10)1n n S c +-= ,244164n n n ∴++=,当n =1,2,左边<右边,当n =3,左边=右边,下证n =3是方程惟一的解. 设2()44416xf x x x =---(3)x ≥,则()()4ln 484xg x f x x '==--,2()(ln 4)480x g x '∴=->(2)x ≥,且(2)(2)0g f '=>,()f x ∴在[2,)+∞递增,且(30f =),(1)0f ≠, ∴仅存在惟一的3n =使得212(10)1n n S c +-=成立.《数列中的方程问题》的构思及体会江苏省苏州中学 江小娟数列的本质是离散函数,数列的通项公式n a ,前n 项和n S ,都可以看成是关于n 的函数解析式.因此,含有n a ,n S 的数列方程,也可以转化为函数方程问题。

高中教学数列设计数学教案

高中教学数列设计数学教案

高中教学数列设计数学教案
教学内容:数列
一、教学目标
1.了解数列的定义和性质。

2.掌握常见数列的求和公式。

3.能够应用数列知识解决问题。

二、教学重点和难点
重点:数列的定义和性质,常见数列的求和公式。

难点:能够灵活运用数列知识解决问题。

三、教学准备
1.教师准备教案和教学PPT。

2.学生准备数学笔记本和作业本。

四、教学过程
1.引入:通过引入一个简单的问题引出数列的概念,让学生思考数列的定义。

2.概念讲解:讲解数列的定义和性质,包括等差数列、等比数列等常见数列的特点。

3.例题讲解:通过几个例题,帮助学生掌握常见数列的求和公式。

4.练习:让学生做一些练习题,巩固所学知识。

5.拓展:提出一些拓展问题,让学生运用所学知识解决问题。

6.总结:总结本节课的重点内容,梳理学生的思路。

五、教学反馈
1.教师让学生口头回答一些问题,检查他们的理解情况。

2.教师布置相关作业,巩固所学知识。

六、教学手段
1.课堂互动:让学生积极参与,通过讨论和解答问题来加深理解。

2.多媒体辅助:通过PPT呈现数列的概念和例题,提高学生的学习效果。

七、教学总结
本节课通过引入、讲解、练习等环节,使学生初步掌握数列的相关知识,为以后的学习打下坚实基础。

数列教案范文

数列教案范文

数列教案范文一、教学目标1.知识目标:①了解等差数列和等比数列的概念以及它们的发展规律;②掌握求等差数列和等比数列的公式与方法;③了解数列在生活中的应用。

2.能力目标:①能够熟练地运用等差数列及等比数列求解问题;②能够将所学知识应用到实际生活中。

3.态度目标:①激发学生学习数学的兴趣;②培养学生积极探索、勇于创新的精神。

二、教学重点难点1.重点:等差数列和等比数列的概念、求和公式以及应用;2.难点:应用实例的解决。

三、教学内容及方法1.教学内容(1)等差数列及其求和公式;(2)等差数列在生活中的应用;(3)等比数列及其求和公式;(4)等比数列在生活中的应用。

2.教学方法(1)讲解法:讲解等差数列和等比数列的概念、求和公式及应用,通过例题演示方法,引领学生逐步了解并掌握。

(2)归纳法:在学生学习过程中,引导学生进行概念归纳、规律总结,使学生更深入地理解知识点。

(3)练习法:开展各类型的例题练习,让学生熟练掌握所学知识,提高能力。

(4)探究法:利用生活实际问题,让学生自主探索并解决问题,培养学生创新精神。

四、教学步骤1.导入:与学生讲述数学在生活和科技中的应用,引起学生对数学的兴趣。

2.讲解等差数列和等比数列的概念。

3.介绍等差数列及其求和公式,让学生对等差数列有一个深入的了解。

4.介绍等差数列在生活中的应用,例如:物流运输中的时间问题。

5.介绍等比数列及其求和公式,让学生对等比数列有一个深入的了解。

6.介绍等比数列在生活中的应用,例如:光传输中的问题。

7.练习,让学生能够熟练掌握所学的知识。

8.探究性学习,让学生认识数学应用实际中的作用。

五、教学评价1.能在学生生活中讲述数学的应用,并引起学生对数学的兴趣。

2.能在学生心中形成数学发展规律的认识,掌握等差数列及等比数列的求和方法。

3.能培养学生探究问题的能力,使学生在应用实例上更加熟练。

四、教学总结数列是数学中的重要概念,应用广泛,它既是数学教育的基石,也是日常生活中的基础知识,掌握好数列及其应用,能起到事半功倍的效果。

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高三数学二轮专题复习教案――数列高三数学二轮专题复习教案――数列一、本章知识结构:二、重点知识回顾1.数列的概念及表示方法(1)定义:按照一定顺序排列着的一列数.(2)表示方法:列表法、解析法(通项公式法和递推公式法)、图象法.(3)分类:按项数有限还是无限分为有穷数列和无穷数列;按项与项之间的大小关系可分为单调数列、摆动数列和常数列. (4)na 与nS 的关系:11(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-⎩≥.2.等差数列和等比数列的比较(1)定义:从第2项起每一项与它前一项的差等于同一常数的数列叫等差数列;从第2项起每一项与它前一项的比等于同一常数(不为0)的数列叫做等比数列. (2)递推公式:110n n n n a a d a a q q n *++-==≠∈N ,·,,.(3)通项公式:111(1)n n n a a n d a a q n -*=+-=∈N ,,.(4)性质等差数列的主要性质:①单调性:0d ≥时为递增数列,0d ≤时为递减数列,0d =时为常数列. ②若m n p q+=+,则()m n p q a a a a m n p q *+=+∈N ,,,.特别地,当2m n p +=时,有2mn pa a a +=.③()()n m a a n m d m n *-=-∈N ,.④232kkk k k S SS S S --,,,…成等差数列.等比数列的主要性质: ①单调性:当1001a q <⎧⎨<<⎩,或101a q >⎧⎨>⎩时,为递增数列;当101a q <⎧⎨>⎩,,,或1001a q >⎧⎨<<⎩时,为递减数列;当0q <时,为摆动数列;当1q =时,为常数列. ②若m n p q+=+,则()m n p q a a a a m n p q *=∈N ··,,,.特别地,若2m n p+=,则2m n pa a a =·.③(0)n m nma q m n q a -*=∈≠N ,,.④232kkk k kS SS S S --,,,…,当1q ≠-时为等比数列;当1q =-时,若k 为偶数,不是等比数列.若k 为奇数,是公比为1-的等比数列. 三、考点剖析考点一:等差、等比数列的概念与性质 例 1. (2008深圳模拟)已知数列.12}{2n n S n a n n -=项和的前(1)求数列}{na 的通项公式; (2)求数列.|}{|n n T n a 项和的前解:(1)当111112,1211=-⨯===S a n 时;、当.213])1()1(12[)12(,2221n n n n n S S a n n n n -=-----=-=≥-时, .213111的形式也符合n a -=.213}{,n a a n n -=的通项公式为数列所以、(2)令.6,,0213*≤∈≥-=n n n a n 解得又N 当2212112||||||,6n n S a a a a a a T n n n n n -==+++=+++=≤ΛΛ时;当||||||||||,67621n na a a a a Tn ++++++=>ΛΛ时na a a a a a ----+++=ΛΛ87621.7212)12()6612(222226+-=---⨯⨯=-=n n n n S S n综上,⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤-=.6,7212,6,1222n n n n n n T n点评:本题考查了数列的前n 项与数列的通项公式之间的关系,特别要注意n =1时情况,在解题时经常会忘记。

第二问要分情况讨论,体现了分类讨论的数学思想.例2、(2008广东双合中学)已知等差数列}{na 的前n 项和为nS ,且35a=,15225S=. 数列}{nb 是等比数列,32325,128ba ab b =+=(其中1,2,3,n =…).(I )求数列}{na 和{}nb 的通项公式;(II )记,{}n n n n nc a b c n T =求数列前项和.解:(I )公差为d , 则⎩⎨⎧=⨯+=+,22571515,5211d a d a12,2,11-=⎩⎨⎧==∴n a d a n 故(1,2,3,n =)….设等比数列}{nb 的公比为q ,⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=,128,82333q b q b b 则.2,83==∴q bn n n q b b 233=⋅=∴-(1,2,3,n =)….(II ),2)12(n n n c ⋅-=Θ 2323252(21)2,n n T n ∴=+⋅+⋅++-⋅L.2)12(2)32(2523221432+⋅-+⋅-++⋅+⋅+=n n n n n T Λ 作差:115432)12(22222++⋅--+++++=-n n nn T Λ3112(12)2(21)212n n n -+-=+--⋅-31122122(21)(21)222822n n n n n n n -++++=+---⋅=+--+162(23)n n +=---⋅1(23)26n n T n +∴=-⋅+(1,2,3,n =)….点评:本题考查了等差数列与等比数列的基本知识,第二问,求前n 项和的解法,要抓住它的结特征,一个等差数列与一个等比数列之积,乘以2后变成另外的一个式子,体现了数学的转化思想。

考点二:求数列的通项与求和例3.(2008江苏)将全体正整数排成一个三角形数阵:按照以上排列的规律,第n 行(3≥n )从左向右的第3个数为解:前n -1 行共有正整数1+2+…+(n -1)个,即22n n-个,因此第n 行第3 个数是全体正整数中第22n n -+3个,即为262n n -+.1 2 3 4 5 6点评:本小题考查归纳推理和等差数列求和公式,难点在于求出数列的通项,解决此题需要一定的观察能力和逻辑推理能力。

例4.(2008深圳模拟)图(1)、(2)、(3)、(4)分别包含1个、5个、13个、25个第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”,按同样的方式构造图形,设第n个图形包含()f n个“福娃迎迎”,则(5)f=;()(1)--=____f n f n解:第1个图个数:1第2个图个数:1+3+1第3个图个数:1+3+5+3+1第4个图个数:1+3+5+7+5+3+1第5个图个数:1+3+5+7+9+7+5+3+1=41,所以,f(5)=41f(2)-f(1)=4,f(3)-f(2)=8,f(4)-f(3)=12,f(5)-f(4)=16n-()(1)--=4(1)f n f n点评:由特殊到一般,考查逻辑归纳能力,分析问题和解决问题的能力,本题的第二问是一个递推关系式,有时候求数列的通项公式,可以转化递推公式来求解,体现了转化与化归的数学思想。

考点三:数列与不等式的联系例5.(2009届高三湖南益阳)已知等比数列{}n a 的首项为311=a ,公比q 满足10≠>q q 且。

又已知1a ,35a ,59a 成等差数列。

(1)求数列{}na 的通项 (2)令na nb13log =,求证:对于任意n N *∈,都有122311111...12n n b b b b b b +≤+++p(1)解:∵315259a a a ⋅=+ ∴24111109a q a a q =+ ∴4291010q q -+=∵10≠>q q 且 ∴13q =∴113n nn a a q --==(2)证明:∵133log log 3na n nb n=== ,11111(1)1n n b b n n n n +==-++∴12231111111111 (1122311)n n b b b b b b n n n ++++=-+-++-=-++L122311111...12n n b b b b b b +∴≤+++p 点评:把复杂的问题转化成清晰的问题是数学中的重要思想,本题中的第(2)问,采用裂项相消法法,求出数列之和,由n 的范围证出不等式。

例6、(2008辽宁理) 在数列||na ,||nb 中,a1=2,b1=4,且1nnn a b a +,,成等差数列,11nn n b ab ++,,成等比数列(n ∈*N )(Ⅰ)求a2,a3,a4及b2,b3,b4,由此猜测||n a ,||nb 的通项公式,并证明你的结论;(Ⅱ)证明:1122111512n n a b a b a b +++<+++…. 解:(Ⅰ)由条件得21112n n n n n n b a a a b b +++=+=,由此可得2233446912162025a b a b a b ======,,,,,.猜测2(1)(1)n n a n n b n =+=+,.用数学归纳法证明:①当n=1时,由上可得结论成立. ②假设当n=k 时,结论成立,即2(1)(1)k k a k k b k =+=+,,那么当n=k+1时,22221122(1)(1)(1)(2)(2)kk k k k ka ab a k k k k k b k b +++=-=+-+=++==+,.所以当n=k+1时,结论也成立. 由①②,可知2(1)(1)n n a n n b n =++,对一切正整数都成立. (Ⅱ)11115612a b =<+.n ≥2时,由(Ⅰ)知(1)(21)2(1)nn ab n n n n+=++>+.故112211111111622334(1)n n a b a b a b n n ⎛⎫+++<++++ ⎪+++⨯⨯+⎝⎭……111111116223341n n ⎛⎫=+-+-++- ⎪+⎝⎭…111111562216412n ⎛⎫=+-<+= ⎪+⎝⎭综上,原不等式成立.点评:本小题主要考查等差数列,等比数列,数学归纳法,不等式等基础知识,考查综合运用数学知识进行归纳、总结、推理、论证等能力. 例7. (2008安徽理)设数列{}na 满足3*010,1,,n n a a ca c c N c+==+-∈其中为实数(Ⅰ)证明:[0,1]na ∈对任意*n N ∈成立的充分必要条件是[0,1]c ∈; (Ⅱ)设103c <<,证明:1*1(3),n n a c n N -≥-∈;(Ⅲ)设103c <<,证明:222*1221,13n a a a n n N c++>+-∈-L解: (1) 必要性 :120,1a a c==-∵∴ ,又 2[0,1],011a c ∈≤-≤∵∴ ,即[0,1]c ∈充分性 :设[0,1]c ∈,对*n N ∈用数学归纳法证明[0,1]n a ∈当1n =时,10[0,1]a =∈.假设[0,1](1)ka k ∈≥则31111k k a ca c c c +=+-≤+-=,且31110k k a ca c c +=+-≥-=≥1[0,1]k a +∈∴,由数学归纳法知[0,1]na∈对所有*n N ∈成立(2) 设 103c <<,当1n =时,1a=,结论成立当2n ≥ 时,3211111,1(1)(1)n n n n n n a ca c a c a a a ----=+--=-++∵∴103C <<∵,由(1)知1[0,1]n a -∈,所以21113n n a a --++≤ 且 110n a--≥ 113(1)nn a c a --≤-∴21112113(1)(3)(1)(3)(1)(3)n n n n n a c a c a c a c -----≤-≤-≤≤-=L ∴1*1(3)()n n a c n N -≥-∈∴(3) 设 103c <<,当1n =时,2120213a c=>--,结论成立当2n ≥时,由(2)知11(3)0n n a c -≥->21212(1)1(1(3))12(3)(3)12(3)n n n n n a c c c c ----≥-=-+>-∴222222112212[3(3)(3)]n n n a a a a a n c c c -+++=++>--+++L L L ∴2(1(3))2111313n c n n c c-=+->+---点评:本题是数列、充要条件、数学归纳法的知识交汇题,属于难题,复习时应引起注意,加强训练。

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