高中数学 3.2.2 函数模型的应用实例课件1 新人教A版必修1
人教A版数学必修1课件：3.2.2函数模型应用实例(2)
y
O
x
你能总结一下用拟合函数解决应用性问题的 基本过程吗？
收集数据 画散点图
选择函数模型
求函数模型
No
检 验
Yes
用函数模型解 释实际问题
小结：
函数拟合与预测的步骤：
在中学阶段，在处理函数拟合与预测的问 题时，通常需要掌握以下步骤： ⑴ 能够根据原始数据、表格. 绘出散点图． ⑵ 通过考察散点图,画出“最贴近”的直线或 曲线． ⑶根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合 曲线的函数关系式． ⑷利用函数关系式，根据条件对所给问题进 行预测和控制，为决策和管理提供依据．
100
15.0
110
17.5
120
20.9
130
26.9
140
31.1
150
38.9
160
47.3
ห้องสมุดไป่ตู้
170
55.1
⑴根据上表中各组对应的数据，能否从我们学过的函数
y ax b
y a ln x b
y a bx
中找到一种函数,使它比较近似地反映该地未成年男性 体重y关于身高x的函数关系，试写出这个函数的解析式, 并求a,b的值． ⑵若体重超过相同身高男性平均值的1.2倍为偏胖，低 于0.8倍为偏瘦，那么该地某校一男生身高 175 cm 体重78 kg，他的体重是否正常？
40 x 520 x 200 40( x 6.5) 1490
2 2
当x 6.5时，y有最大值
只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大的利润。
例2. 以下是某地不同身高的未成年男性的体重平均值表
身高cm 体重kg
60
6.13
高中数学人教A版 必修1《3.2.2函数的奇偶性》课件（16张PPT）
一看
二找
三判断
看定义域 是否关于 原点对称
找 f x与
f x的
下结
关系
论
函数奇偶性的判断
变式训练1 判断下列函数的奇偶性：——定义法
（1）f x 4 x2 （2）f x x2x 1
x 1
（3）f x 0
按照奇偶性将函数分类为：
①奇函数 ②偶函数 ③非奇非偶函数 ④既奇又偶函数
函数奇偶性的判断 ——图象直观感知
利用奇、偶函数的和、差、积、商的奇偶性，以 及复合函数的奇偶性判断.
f x
偶
偶
奇
奇
gx
偶
奇
奇
偶
f x gx
f x gx
f x gx
f g(x)
研究题 借助几何画板绘制大量函数图象并归纳函数的单调
性与函数的奇偶性的关系。来自f(-x)=f(x)f(-x)=-f(x)
不同点
图象关于y轴对称 图象关于原点对称
补充：奇偶性是函数在其定义域上的整体性质
函数奇偶性的判断
例6 判断下列函数的奇偶性： ——定义法
（1）f x x4
偶函数 （2） f x x5 奇函数
（3）f x x 1
x
奇函数
（4）
f
x
1 x2
偶函数
归纳： 根据定义判断函数的奇偶性的步骤：
f x x2
…
9
4
1
0
14
…
9
gx 2 | x | … -1
0
1
2
1
0
…
-1
f 3 9 f 3 f 2 4 f 2 f 1 1 f 1
几何画板
当自变量取一对相反数时， 相应的两个函数值相等
【成才之路】2014-2015学年高中数学 3.2.2 函数模型的应用实例课件 新人教A版必修1
当该顾客购买茶杯 40 个时，采用优惠办法 (1) 应付款 y1 ＝
5×40＋60＝260元；采用优惠办法(2)应付款y2＝4.6×40＋73.6 ＝257.6元，由于y2<y1，因此应选择优惠办法(2).
2
2
二次函数模型问题与函数的图象
西部山区的某种特产由于运输原因，长期只能
在当地销售，当地政府对该项特产的销售投资收益为：每年投 1 入 x 万元，可获得利润 P＝－160(x－40)2＋100(万元)．当地政 府拟在新的十年发展规划中加快发展此特产的销售，其规划方 案为： 在规划前后对该项目每年都投入 60 万元的销售投资， 在 未来 10 年的前 5 年中， 每年都从 60 万元中拨出 30 万元用于修 建一条公路，5 年修成，通车前该特产只能在当地销售；
●温故知新
旧知再现 1．常见的函数模型 kx k为常数，k≠0)； (1)正比例函数模型：f(x)＝____(
k (2)反比例函数模型：f(x)＝____( x k为常数，k≠0)；
(3)一次函数模型：f(x)＝________( kx＋b k，b为常数，k≠0)； ax2＋bx＋c a ， b ， c 为常数， (4) 二次函数模型： f(x) ＝ ____________(
(1)分别求出通话费y1、y2与通话时间x之间的函数关系式； (2)请帮助用户计算，在一个月内使用哪种卡便宜．
[分析]
由题目可获取以下主要信息： (1)通过图象给出函
数关系， (2) 函数模型为直线型， (3) 比较两种函数的增长差 异．解答本题可先用待定系数法求出解析式，然后再进行函数 值大小的比较．
1 又由题设 P＝－160(x－40)2＋100 知， 每年投入 30 万元时， 795 利润 P＝ 8 (万元)． 前 5 年的利润和为 795 2 775 8 ×5－150＝ 8 (万元)．
人教a版必修1学案：3.2.2函数模型的应用实例(含答案)
3.2.2 函数模型的应用实例自主学习1．掌握几种初等函数的应用．2．理解用拟合函数的方法解决实际问题的方法． 3．了解应用实例的三个方面和数学建模的步骤．1．函数模型的应用实例主要包括三个方面：(1)________________________________________________； (2)________________________________________________； (3)________________________________________________． 2．面临实际问题，自己建立函数模型的步骤：(1)________________；(2)________；(3)______________； (4)______________； (5)________；(6)______________．对点讲练已知函数模型的应用问题【例1】 某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2 (0≤x ≤400)80 000 (x >400).其中x 是仪器的月产量．(1)将利润表示为月产量的函数f (x )；(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)变式迁移1 为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)成正比；药物释放完毕后，y 与t的函数关系式为y ＝(116)t －a (a 为常数)如图所示．根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)之间的函数关系式为__________________；(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室．自建函数模型的应用问题【例2】某公司每年需购买某种元件8 000个用于组装生产，每年分n次等量进货，每进一次货(不分进货量大小)费用500元，为了持续生产，需有每次进货的一半库存备用，每件每年库存费2元，问分几次进货可使得每年购买和贮存总费用最低？变式迁移2 某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200 m2的三级污水处理池(平面图如图所示)，由于地形限制，长、宽都不能超过16 m，如果池外周壁建造单价为每米400元，中间墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元(池壁的厚度忽略不计，且池无盖)．(1)写出总造价y(元)与污水处理池长x(m)的函数关系式，并指出其定义域．(2)求污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求出最低总造价．函数模型的选择【例3】某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品的数量分别是1万件、1.2万件、1.3万件，为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y与月份x的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数y＝ab x＋c(其中a，b，c为常数，a≠0)，已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明理由．变式迁移3 某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q (单位：元/102kg)(1)Q 与上市时间t 的变化关系；Q ＝at ＋b ，Q ＝at 2＋bt ＋c ，Q ＝a ·b t ，Q ＝a ·log b t ；(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．1．解答应用题的基本步骤： (1)设：合理、恰当地设出变量；(2)写：根据题意，抽象概括数量关系，并能用数学语言表示，得到数学问题； (3)算：对所得数学问题进行分析、运算、求解；(4)答：将数学问题的解还原到实际生活问题中，给出最终的答案． 2．在中学阶段，用函数拟合解决实际问题的基本过程是：课时作业一、选择题1现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数满足的规律，其中最接近的一个是( )A ．V ＝log 2tB ．V ＝log 12t C ．V ＝t 2－12D ．V ＝2t －22．计算机成本不断降低，若每隔3年计算机价格降低13，则现在价格为8 100元的计算机，9年后的价格可降为( )A ．2 400元B ．900元C ．300元D ．3 600元3. 一个高为H ，盛水量为V 0的水瓶的轴截面如图所示，现以均匀速度往水瓶中灌水，直到灌满为止，如果水深h 时水的体积为V ，则函数V ＝f (h )的图象大致是( )4．某种电热水器的水箱盛满水是200升，加热到一定温度可浴用．浴用时，已知每分钟放水34升，在放水的同时注水，t分钟注水2t2升，当水箱内水量达到最小值时，放水自动停止．现假定每人洗浴用水65升，则该热水器一次至多可供几人洗澡() A．3人B．4人C．5人D．6人二、填空题5．60年国庆，举国欢腾，某旅游胜地的客流量急速增加．某家客运公司为招揽游客，推出了客运定票的优惠政策：如果行程不超过100 km，票价是0.4元/km；如果超过100 km，则超过100 km的部分按0.3元/km定价．则客运票价y元与行程公里x km之间的函数关系是______________________________．6. 右图表示一位骑自行车和一位骑摩托车者在相距为80 km的两城镇间旅行的函数图象，由图可知：骑自行车者用6 h(含途中休息的1 h)，骑摩托车者用了2 h．有人根据这个函数图象，提出了关于这两个旅行者的如下信息：①骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h，晚到1 h；②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动；③骑摩托车者在出发1.5 h后追上骑自行车者．其中正确的序号是__________________________________________________．三、解答题7．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1x2(0<x<240，x∈N*)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不赔本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是多少．8．某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，凡多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．(1)当一次订购量为多少时，零件的实际出厂单价恰降为51元？(2)设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数P＝f(x)的表达式；(3)当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1 000个，利润又是多少元？3.2.2函数模型的应用实例答案自学导引1．(1)利用给定的函数模型解决实际问题 (2)建立确定性的函数模型解决问题 (3)建立拟合函数模型解决实际问题2．(1)收集数据 (2)描点 (3)选择函数模型 (4)求函数模型 (5)检验 (6)用函数模型解决实际问题对点讲练【例1】 解 (1)设每月产量为x 台，则总成本为20 000＋100x ，从而f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－12x 2＋300x －20 000 (0≤x ≤400)60 000－100x (x >400).(2)当0≤x ≤400时，f (x )＝－12(x －300)2＋25 000，∴当x ＝300时，有最大值25 000；当x >400时，f (x )＝60 000－100x 是减函数， f (x )<60 000－100×400<25 000. ∴当x ＝300时，f (x )取最大值．∴每月生产300台仪器时，利润最大， 最大利润为25 000元．变式迁移1 (1) y ＝⎩⎨⎧10t ， 0≤t ≤110，⎝⎛⎭⎫116t －110， t >110(2)0.6解析 (1)设y ＝kt (k ≠0)，由图象知y ＝kt 过点(0.1,1)，则1＝k ×0.1，k ＝10， ∴y ＝10t (0≤t ≤0.1)；由y ＝⎝⎛⎭⎫116t －a过点(0.1,1)得1＝⎝⎛⎭⎫1160.1－a ， a ＝0.1，∴y ＝⎝⎛⎭⎫116t －0.1(t >0.1)．∴y ＝⎩⎨⎧10t ， 0≤t ≤110，⎝⎛⎭⎫116t －110，t >110.(2)由⎝⎛⎭⎫116t －0.1≤0.25＝14，得t ≥0.6， 故至少需经过0.6小时．【例2】 解 设每年购买和贮存元件总费用为y 元，其中购买成本费为固定投入， 设为c 元，则y ＝500n ＋2×8 000n ×12＋c＝500n ＋8 000n ＋c ＝500(n ＋16n )＋c＝500(n －4n )2＋4 000＋c ，当且仅当n ＝4n，即n ＝4时，y 取得最小值且y min ＝4 000＋c .所以分4次进货可使得每年购买和贮存元件总费用最低．变式迁移2 解 (1)设污水处理池的长为x m ，则宽为200xm ，总造价为y .∴y ＝400(2x ＋2×200x )＋248×200x ×2＋80×200＝800(x ＋324x )＋16 000.∵⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤160<200x≤16，∴12.5≤x ≤16.故其定义域为[12.5,16]．(2)先讨论y ＝800(x ＋324x)＋16 000在[12.5,16]上的单调性．设x 1，x 2∈[12.5,16]且x 1<x 2，则y 1－y 2＝800[(x 1－x 2)＋324(1x 1－1x 2)]＝800(x 1－x 2)(1－324x 1x 2)．∵x 1，x 2∈[12.5,16]，x 1<x 2， ∴x 1·x 2<162<324.∴1－324x 1x 2<0，x 1－x 2<0.∴y 1－y 2>0.∴此函数在[12.5,16]上单调递减． ∴当x ＝16时，y min ＝45 000(元)，此时，宽为20016m ＝12.5 m.∴当池长为16 m ，宽为12.5 m 时， 总造价最低为45 000元．【例3】 解 设f (x )＝px 2＋qx ＋r (p ≠0)，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝p ＋q ＋r ＝1，f (2)＝4p ＋2q ＋r ＝1.2，f (3)＝9p ＋3q ＋r ＝1.3.解得p ＝－0.05，q ＝0.35，r ＝0.7. ∴f (x )＝－0.05x 2＋0.35x ＋0.7，∴f (4)＝－0.05×42＋0.35×4＋0.7＝1.3. 设g (x )＝ab x ＋c (a ≠0)，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧g (1)＝ab ＋c ＝1，g (2)＝ab 2＋c ＝1.2，g (3)＝ab 3＋c ＝1.3.解得a ＝－0.8，b ＝0.5，c ＝1.4. ∴g (x )＝－0.8×0.5x ＋1.4，∴g (4)＝－0.8×0.54＋1.4＝1.35.经比较可知，用g (x )＝－0.8×0.5x ＋1.4作为模拟函数较好． 变式迁移3 解 (1)由表中数据知，当时间t 变化时，种植成本并不是单调的， 故只能选取Q ＝at 2＋bt ＋c .即⎩⎪⎨⎪⎧150＝a ×502＋b ×50＋c 108＝a ×1102＋b ×110＋c 150＝a ×2502＋b ×250＋c， 解得Q ＝1200t 2－32t ＋4252. (2)Q ＝1200(t －150)2＋4252－2252＝1200(t －150)2＋100， ∴当t ＝150天时，西红柿的种植成本最低，为100元/102 kg. 课时作业 1．C 2.A3．D [考察相同的Δh 内ΔV 的大小比较．] 4．B [设最多用t 分钟，则水箱内水量y ＝200＋2t 2－34t ，当t ＝172时，y 有最小值，此时共放水34×172＝289(升)，可供4人洗澡．]5．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.4x ，0<x ≤100，40＋0.3(x －100)，x >1006．①②解析 ③错，骑摩托车者出发1.5 h 时走了60 km ，而从图中可看出骑自行车者走的距离大于60 km.7．解 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3 000＋20x －0.1x 2≤25x 0<x <240解得150≤x <240，x ∈N *∴生产者不赔本时的最低产量是150台．8．解 (1)设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为x 0个，则x 0＝100＋60－510.02＝550(个)．∴当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元． (2)当0<x ≤100时，P ＝60； 当100<x <550时，P ＝60－0.02(x －100)＝62－0.02x ； 当x ≥550时，P ＝51.∴P ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60， 0<x ≤100，62－0.02x ， 100<x <550，51， x ≥550(x ∈N ＋)．(3)设销售商一次订购量为x 个时，工厂获得的利润为S 元，则 S ＝(P －40)x ＝⎩⎪⎨⎪⎧20x ， 0<x ≤100，22x －0.02x 2， 100<x <550，11x ， x ≥550(x ∈N ＋)当x ＝500时，S ＝22×500－0.02×5002＝6 000(元)；当x ＝1 000时，S ＝11×1 000＝11 000(元)．∴当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6 000元；如果一次订购1 000个零件时，利润是11 000元．。
新教材高中数学3.2函数的基本性质3.2.1单调性与最大(小)值第1课时函数的单调性课件新人教A版必修第一册
答案
题型四 复合函数的单调性 例 4 求函数 f(x)＝8－21x－x2的单调区间．
[证明] (1)根据题意，令 m＝0，可得 f(0＋n)＝f(0)·f(n)． ∵f(n)≠0，∴f(0)＝1. (2)由题意知 x>0 时，0<f(x)<1， 当 x＝0 时，f(0)＝1>0， 当 x<0 时，－x>0，∴0<f(－x)<1. ∵f[x＋(－x)]＝f(x)·f(－x)， ∴f(x)·f(－x)＝1， ∴f(x)＝f－1 x>0. ∴∀x∈R，恒有 f(x)>0.
数(decreasing function)．
知识点三
单调区间
如果函数 y＝f(x)在区间 D 上__□0_1_单__调__递__增___或_□_0_2_单__调__递__减___，那么就说
函数 y＝f(x)在这一区间具有(严格的)__□0_3__单__调_性_____，__□0_4__区__间__D____叫做 y
7．图象变换对单调性的影响 (1)上下平移不影响单调区间，即 y＝f(x)和 y＝f(x)＋b 的单调区间相同． (2)左右平移影响单调区间．如 y＝x2 的单调递减区间为(－∞，0]；y＝(x ＋1)2 的单调递减区间为(－∞，－1]． (3)y＝k·f(x)，当 k>0 时单调区间与 f(x)相同，当 k<0 时单调区间与 f(x)相 反．
3.2.2函数的奇偶性【新教材】人教A版高中数学必修第一册课件
y
f(x)
O
x
y
g(x)
O
x
3.2.2函数的奇偶性【新教材】人教A 版（） 高中数 学必修 第一册 课件
第16页，共22页。
3.2.2函数的奇偶性【新教材】人教A 版（） 高中数 学必修 第一册 课件
例6、判断下列函数的奇偶性：
(1) f ( x) x4
(2) f ( x) x5
1
1
(3) f ( x) x x
(4)
y f(x)=5
x
(5)
3.2.2函数的奇偶性【新教材】人教A 版（） 高中数 学必修 第一册 课件
(6)
(7)
(8)
第15页，共22页。
y f(x)=0 x
(9)
3.2.2函数的奇偶性【新教材】人教A 版（） 高中数 学必修 第一册 课件
P85 1.已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，试将下图补充完整.
4
3 2
g(x) 1 x
1
12 345
函数
g(x) 1 x
的定义域为{x|x≠0},
o
x
–1
–2
–3
它关于原点对称,
–4
–5
且 g(x) 1 1 g(x)
即
g
(
x)
1
xx
是奇函数.
x
3.2.2函数的奇偶性【新教材】人教A 版（） 高中数 学必修 第一册 课件
第12页，共22页。
3.2.2函数的奇偶性【新教材】人教A 版（） 高中数 学必修 第一册 课件
y
4
3
f (x) x
2
–3 –2 –1
1 123
o
人教A版必修一3.2.2函数模型的应用实例
类型一：难题，需要55的接受能力以及13 min时间，老师能否及时在学生一直达到 所需接受能力的状态下讲授完这个难题？. 思路点拨：利用所给函数关系式解决有关问题
规律方法：本题是常数函数、一次函数、二次函数混合在一起的分段函数，自变量的取值 不同函数解析式可能不一样，这一点要特别注意.另外，函数的最值也是通过先求每一段 的最值，然后再作比较而求得. 变式训练1－1：某工厂今年1月、2月、3月生产某产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件.为 了估测以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产 量y与月份数x的关系，模拟函数可以选用二次函数或指数型函数，已知4月份该产品的产 量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明理由.
思路点拨：解答本题可首先根据表中数据作出散点图，然后通过观 察图象判断问题所适用的函数模型.
这样，我们得到一个函数模型：y=2.2+1.8x.作出函数图象如图（乙），可以发现，这 个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映积雪深度与灌溉面积的关 系. （3）由y=2.2+1.8×25，求得y=47.2，即当积雪深度为25 cm时，可以灌溉土地47.2公顷. 规律方法：对于此类实际应用问题，关键是建立适当的函数关系式，再解决数学问题 ，最后验证并结合问题的实际意义作出回答，这个过程就是先拟合函数再利用函数解题. 函数拟合与预测的一般步骤是：
类型二：自建函数模型解应用题 【例2】 某市原来民用电价为0.52元/kW·h.换装分时电表后，峰时段（早上八点到晚上 九点）的电价为0.55元/kW·h，谷时段（晚上九点到次日早上八点）的电价为0.35元 /kW·h.对于一个平均每月用电量为200 kW·h的家庭，要使节省的电费不少于原来电费的 10%，则这个家庭每月在峰时段的平均用电量至多为多少kW·h？
2014年高中数学(入门答疑+思维启迪+状元随笔)3.2.2函数模型的应用实例同步课堂讲义课件 新人教A版必修1
解析： 若以 y＝ ax 为模拟函数， 将(10,4)， (40,18) a· 10n＝ 4 分别代入函数解析式，得 ，解得 n 40 ＝ 18 a·
n≈1.085 ，故 y＝0.329x1.085，由此函数解析式计 a≈0.329
n
算车速分别为 90 km/h,100 km/h 时，停车距离分 别约为 43.406 m,48.663 m， 与实际情况相差较大．
3．2.2 函数模型的应用实例
某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件， 每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减 少库存，商场决定采取适当降价措施．经调查发现， 如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天多售出2 件．于是商场经理决定每件衬衫降价15元． [问题] 经理的决定，正确吗？ [提示] 设降价x元，利润为y元，则由题意可知： y＝(20＋2x)(40－x)＝－2x2＋60x＋800. ∴当x＝15时，ymax＝1 250元， 即经理的决定是正确的．
若以 y＝ax2＋bx＋ c 为模拟函数，将(10,4)，(40,18)， (60,34)分别代入函数解析式，得 a · 102＋ b· 10＋ c＝4 a · 402＋ b· 40＋ c＝18 ， 602＋ b· 60＋ c＝34 a ·
a＝ 1 150 解得 2 b＝ 15
分段函数模型
通过研究学生的学习行为，专家发现，学生注意力 随着老师讲课时间的变化而变化， 设 f(t)表示学生注 意力随时间 t(分钟)的变化规律(f(t)越大，表明学生
注 意 力 越 集 中 ) ， 经 过 实 验 分 析 得 知 f ( t) ＝
－t2＋24t＋100， 0<t≤10， 240， 10<t<20， －7t＋380， 20≤t≤45.
人教A版高中数学必修一
思考6:你能总结一下用拟合函数解决应用性 问题的基本过程吗？
收集数据
画散点图
选择函数模型
求函数模型
No 检 验
Yes 用函数模型解
释实际问题
思考3:用马尔萨斯人口增长模型，我国在 1950～1959年பைடு நூலகம்间的人口增长模型是什么？
思考4:怎样检验该模型与我国实际人口数据 是否相符？
思考5:据此人口增长模型，大约在哪一年我 国的人口达到13亿？
知识探究（一）：函数最值问题 问题：某桶装水经营部每天的房租、人
员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是 5元，销售单价与日均销售量的关系如表所示：
年份 1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959
人数 55196 56300 57482 58796 60266 61456 62828 64563 65994 67207
思考1:我国1951年的人口增长率约为多少？
思考2:如果以各年人口增长率的平均值作为 我国这一时期的人口增长率(精确到0.0001) 那么1951～1959年期间我国人口的年平均增 长率是多少？
身高 120 130 140 150 160 170 体重 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05
身高 60 70 80 90 100 110 体重 6.13 7.90 9.99 12.15 15.02 17.50
身高 120 130 140 150 160 170 体重 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05
2016-2017学年人教A版高一数学必修一书本讲解课件：第三章 3.2 3.2.2 函数模型的应用
将 c＝1.01×105 代入 0.90×105＝ce1 000k 中得 0.90×105＝1.01×105e1 000k， ∴k＝1 0100×ln01..9001.由计算器算得 k＝－1.15×10－4， ∴y＝1.01×105×e－1.15×10－4x. 将 x＝600 代入上述函数关系式得 y＝1.01×105×e－1.15×10－4×600， 由计算器算得 y＝0.943×105 Pa. 答：600 m 高空的大气压强约为 0.943×105 Pa.
的产量为________． 解析：∵y＝a·0.5x＋b，且当 x＝1 时，y＝1，当 x＝2 时 y＝1.5，则有：
1＝a×0.5＋b， 1.5＝a×0.52＋b，
解得ab＝ ＝－ 2，2，
∴y＝－2×0.5x＋2，
当 x＝3 时，
y＝－2×0.125＋2＝1.75(万件)． 答案：1.75 万件
[解析] (1)P(x)＝R(x)－C(x)＝(3 000x－20x2)－(500x＋4 000)＝－20x2＋2 500x
－4 000.(1≤x≤100，x∈N)．
M1(x)＝P(x＋1)－P(x)＝2 480－40x，(1≤x≤100，x∈N)
(2)∵P(x)＝－20(x－1225)2＋74 125
解析：设今年绿地面积为 a，则有 ay＝(1＋10%)x·a， ∴y＝1.1x，故选 D. 答案：D
第六页，编辑于星期五：十五点 三十六分。
3．已知某工厂生产某种产品的月产量 y 与月份 x 满足关系 y＝a·(0.5)x＋b，现已
知该厂今年 1 月、2 月生产该产品分别为 1 万件、1.5 万件．则此厂 3 月份该产品
第二十页，编辑于星期五：十五点 三十六分。
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)
1 (3)函数 y＝ ·2x－10 随着自变量 x 的增大，函数 100 值增大的速度越来越快．( )
【答案】
(1)×
(2)×
(3)√
• 2．某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分 裂成4个，„„现有1个这样的细胞，分裂x次后得到 细胞的个数y与x的函数关系是( ) • • A．y＝2x C．y＝2x B．y＝2x－1 D．y＝2x＋1
(12分)某企业常年生产一种出口产品，自2010年
以来，每年在正常情况下，该产品产量平稳增长．已知2010 年为第1年，前4年年产量f(x)(万件)如下表所示：
x f(x) 1 4.00 2 5.58 3 7.00 4 8.44
•
(1)画出2010～2013年该企业年产量的散点图；
•
•
(2) 建立一个能基本反映 ( 误差小于 0.1) 这一时期该企业
(2)由散点图知，可选用一次函数模型． 设
a＋b＝4， f(x) ＝ ax ＋ b(a≠0) ．由已知得 解得 3a＋b＝7，
a＝1.5， b＝2.5，
(2)由于 y＝f(x)在各段区间上均单调递增， 所以当
4 4 x∈0， 时，y≤f 5<26.40； 5
当 当
4 4 4 x∈ ， 时，y≤f 3 <26.40； 5 3 4 x∈ ，＋∞ 时，令 3
【解】 (1)当甲用户的用水量不超过 4 吨， 即 5x≤4 时，乙用户的用水量也不超过 4 吨，即： y＝ (5x＋3x)×1.80＝14.4x； 同理可得 4 4 当 <x≤ 时，y＝20.4x－4.8； 5 3
4 当 x> 时，y＝24x－9.6. 3
4 14.4x 0 ≤ x ≤ ， 5 4 4 ∴y＝20.4x－4.8 <x≤ ， 5 3 4 x > 24 x － 9.6 3.
24x－9.6＝26.40，
得 x＝1.5.∴甲用户用水量为 5x＝7.5(吨 )， 付费 y1＝4×1.80＋3.5×3.00＝17.70(元 )． 乙用户用水量为 3x＝4.5(吨)， 付费 y2＝4×1.80＋0.5×3.00＝8.70(元 )．
• •
1．建立分段函数模型的关键是确定分段 2．分段函数主要是每一段自变量变化所
•
②求鱼群年增长量的最大值．
•
【解析】
(1)由题意知，变速车存车数为(2 000－x)辆
次 ， 则 总 收 入 y ＝ 0.5x ＋ (2 000 － x)×0.8 ＝ － 0.3x ＋ 1
600(0≤x≤2 000)．
【答案】
D
m－x (2)①根据题意知，空闲率是 ，故 y 关于 x 的函 m m－x 数关系式是 y＝kx· ，0＜x＜m. m m－x k 2 ②由①知，y＝kx· ＝－ x ＋kx m m
分段函数 f(x)＝ 模型
f1（x），x∈D1 f2（x），x∈D2 „„ fn（x），x∈Dn
•
二、应用函数模型解决问题的基本过程
1．判断：(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数 y＝kx＋8(k≠0)在 R 上是增函数．( )
(2) 二次函数 f(x) ＝ ax2 ＋ bx ＋ c(a≠0) 的顶点坐标为
②建：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识建立相应的数 ③解：求解数学模型，得到数学结论，既要充分注意数学模型中
关系，这一步是基础；
学模型，熟悉基本数学模型，正确进行建“模”是关键；
字母的实际意义，也要注意巧思妙解，优化过程；
•
④答：将数学结论还原为实际问题的结论．
• •
拟合函数模型的建立与应用
强I的取值范围是什么？
•
1．解应用题要弄清题意，从实际出发，引进数学符号，
建立数学模型，列出函数关系，分析函数的性质，从而解决 问题．解决问题时要注意自变量的取值范围． • 2．(1)解应用题的一般思路可表示如下：
•
(2)解应用题的一般步骤：
•
• •
①读：阅读并理解文字表达的题意，分清条件和结论，理顺数量
对数函数模型 幂函数模型
函数解析式 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1， b≠0) f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a ＞0且a≠1) y＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠1，α≠1)
(2014· 邯郸高一检测)声强级 Y(单位：分贝)由公式 Y I ＝10lg －12给出，其中 I 为声强(单位：W/m2)． 10 (1)平时常人交谈时的声强约为 10－6W/m2，求其声强 级． (2)一般常人能听到的最低声强级是 0 分贝，求能听 到的最低声强为多少？
•
(3) 比较理想的睡眠环境要求声强级 Y≤50
(2)把车速v(km/h)表示为时间t(h)的函数，并画出函数的
发时开始)，并画出函数的图象； 图象．
• • •
【解】
(1)①汽车由 A 地到 B 地行驶 t h 所走的距离 s ＝
60t(0≤t≤2.5)．
②汽车在B地停留1小时，则汽车到A地的距离s＝ ③由B地返回A地，则汽车到A地的距离s ＝150－50(t－ 150(2.5＜t≤3.5)． 3.5)＝325－50t(3.5＜x≤6.5)．
60t（0≤t≤2.5）， 综上，s＝150（2.5＜t≤3.5）， 325－50t（3.5＜t≤6.5），
•
它的图象如图(1)所示．
(2) 速度 v(km/h) 与 时间 t(h) 的函数关系式是 v ＝ 60（0≤t≤2.5）， 0（2.5＜t≤3.5）， 它的图象如图(2)所示． －50（3.5＜t≤6.5），
• 【解析】 将 x＝ 1， y＝ 100代入 y＝ alog2(x＋1) 得， 100 ＝ alog2(1 ＋ 1) ，解得 a ＝ 100.所以 x＝ 7 时， y ＝100log2(7＋1)＝300. • 【答案】 A
4．已知大气压 p(百帕)与海拔高度 h(米)的关系式为 p＝1
7 000· 100 3
•
(2)渔场中鱼群的最大养殖量为m(m＞0)，为了保证鱼群
的生长空间，实际养殖量 x 小于 m ，以便留出适当的空闲
量．已知鱼群的年增长量y和实际养殖量与空闲率(空闲率是 空闲量与最大养殖量的比值 ) 的乘积成正比，比例系数为k(k ＞0)． • ①写出y关于x的函数关系式，并指出该函数的定义域；
• 【解析】 分裂一次后由1个变成 2个，分裂两 次后2×2＝22个，„„，分裂x次后y＝2x个． • 【答案】 C
• 3．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了 一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁 殖数量y(只)与引入时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)， 若该动物在引入一年后的数量为100只，则第7年它 们发展到( ) • • A．300只 C．600只 B．400只 D．700只
(3) 当 声 强 I ＝ 5×10 － 7W/m2 时 ， 声 强 级 Y ＝ 5×10－7 5 10lg 所以这两位 －12 ＝10lg(5×10 )＝50＋10lg 5＞50， 10 同学会影响其他同学休息．
• •
1．有关对数函数的应用题一般是先给出 2．在实际问题中，有关人口增长、银行
对数函数模型，利用对数运算性质求解． 利率、细胞分裂等问题常可以用指数函数模 型表示，通常可以表示为 y ＝ N(1 ＋ p)x( 其中 N 为基数，p为增长率，x为时间)的形式．
自主学习·基础知识
3．2.2 函数模型的应用实例
[学习目标] 1.会利用给定的函数模型解决实际问题．(重点)2.能够建立确定性
函数模型解决问题及建立拟合函数模型解决实际问题(重点、难点)．
合作探究·重难疑点
课时作业
解题模板·规范示例
•
一、几类函数模型
函数模型 一次函数模型 二次函数模型 指数函数模型
h ，则海拔 6 000 米处的大气压为 000
________百帕．
【解析】 当 h＝6 000
【答案】 4.9
7 6 时，p＝1000· 1003
000 ＝4.9. 000
• 预习完成后，请把你认为难以解决的问 题记录在下面的表格中
问题1 问题2 问题3 问题4
• (1) 据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为 2 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.8元，普通车存车 费是每辆一次0.5元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收 入为y元，则y关于x的函数关系式是( ) • A．y＝0.3x＋800(0≤x≤2 000) • B．y＝0.3x＋1 600(0≤x≤2 000) • C．y＝－0.3x＋800(0≤x≤2 000) • D．y＝－0.3x＋1 600(0≤x≤2 000)
m k 2 mk ＝－ x－ 2 ＋ ，0＜x＜m. m 4 m mk 则当 x＝ 时，ymax＝ . 2 4 mk 所以，鱼群年增长量的最大值为 . 4
•
1．在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系是
一次函数模型，其增长特点是直线上升(自变量的系数大于0) 或直线下降(自变量的系数小于0)，构建一次函数模型，利用
一次函数的图象与单调性求解．
• 2．在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位，根 据实际问题建立二次函数模型后，可以利用配方法、判别式 法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解 决实际问题中的利润最大、用料最省等问题．
•
某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4