九年级数学直线与圆、圆与圆的位置关系
九年级下数学圆知识点总结
九年级下数学圆知识点总结在九年级下学期的数学课程中，圆是一个重要的几何形状。
学习圆的相关知识对于理解几何学和进一步解决问题至关重要。
在本文中，将对九年级下数学课程的圆相关知识点进行总结。
一、圆的定义和基本性质1. 圆的定义：圆是由平面上离定点距离相等的所有点组成的集合。
2. 圆的要素：圆心、半径和直径是圆的基本要素。
- 圆心：圆的中心点，通常用字母O表示。
- 半径：圆心到圆上任意一点的距离，通常用字母r表示。
- 直径：通过圆心的一条线段，它的两个端点在圆上，通常用字母d表示。
3. 圆的性质：- 圆上任意两点的距离等于半径的长度。
- 圆的直径是半径的两倍。
- 圆的周长等于直径乘以π（圆周率），即C = πd。
- 圆的面积等于半径平方乘以π，即A = πr²。
二、圆的位置关系和判定方法1. 圆的位置关系：- 同心圆：具有相同圆心但半径不同的圆。
- 内切圆：两个圆相交，且较小的圆完全位于较大的圆内部，二者只有一个公共点。
- 外切圆：两个圆相交，且较小的圆完全位于较大的圆外部，二者只有一个公共点。
- 相交圆：两个圆有两个不重叠的公共点。
- 相离圆：两个圆没有公共点。
2. 判定圆的方法：- 已知圆心和半径：根据圆的定义，可以通过圆心和半径确定一个圆。
- 已知圆上的三个点：三点确定一个圆，可以根据圆的性质绘制出圆来。
- 已知直径两端的点：通过两点绘制直径，以直径中点为圆心，直径的一半为半径即可确定圆。
三、圆的相关角度1. 弧度制和角度制：- 弧度制：用圆的弧长与半径的比值表示，一周为2π弧度。
- 角度制：以直角为90度，一周为360度。
2. 弧度和角度之间的转换：- 角度制转弧度制公式：弧度= (π/180) × 角度- 弧度制转角度制公式：角度= (180/π) × 弧度3. 圆心角和弧度：- 圆心角：以圆心为顶点的角。
- 弧度的定义：弧度是圆心角所对应的弧长与半径的比值。
四、圆与直线的位置关系1. 相切关系：- 切线：与圆只有一个交点的直线。
初中数学直线和圆的位置关系知识点总结
初中数学直线和圆的位置关系知识点总结直线和圆的位置关系是初中数学中的一个重要知识点，它涉及到点、线、圆之间的相对位置关系。
我们可以通过以下几个方面来总结这一知识点：1.判定圆和直线的位置关系：a.直线包含于圆内：当直线上的所有点都在圆内时，称直线包含于圆内。
此时，直线与圆的交点为无穷个（无限多个）。
b.直线与圆相交：当直线和圆有一个或两个交点时，称直线与圆相交。
相交的情况还可以细分为相离相交、相切相交和截割相交。
-相离相交：直线和圆相切于两个点，相交与标准的两个正数圆相交；-相切相交：直线和圆相交于一个点，直线切圆；-截割相交：直线和圆相交于两个点，直线截割圆；c.直线与圆相离：当直线上的所有点都不在圆内时，称直线与圆相离。
此时，直线与圆的交点为零个。
d.直线与圆重合：当直线上的所有点都在圆上时，称直线与圆重合。
2.圆心与直线间的距离：a.圆心到直线的距离：圆心到直线的距离等于圆心到直线的垂直距离，垂直距离是圆心到直线的最短距离。
b.两圆心间的距离：两个圆心之间的直线距离等于两个圆相切时的直线距离。
3.判断点与直线的位置关系：a.点在直线上：当一个点恰好在直线上时，称这个点在直线上。
b.点在直线上方：当一个点位于直线的上方时，称这个点在直线上方。
c.点在直线下方：当一个点位于直线的下方时，称这个点在直线下方。
4.判断点与圆的位置关系：a.点在圆内：当一个点位于圆内时，称这个点在圆内。
b.点在圆上：当一个点正好位于圆上时，称这个点在圆上。
c.点在圆外：当一个点位于圆外时，称这个点在圆外。
5.判断直线与圆相交的条件：a.直线与圆有交点的条件：直线和圆有交点当且仅当直线的距离小于圆的半径。
b.直线与圆相切的条件：直线和圆相切当且仅当直线的距离等于圆的半径。
6.判断两圆的位置关系：a.内离：两圆的圆心之间的距离大于两个圆的半径之和，此时两个圆的内部没有共同点。
b.相离：两圆的圆心之间的距离等于两个圆的半径之和，此时两个圆相切于外公切点。
《直线与圆、圆与圆的位置关系》大单元教学设计方案【高中数学】
1.能够根据直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置系；
2.能用直线与圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题；
3.通过位置关系与方程的解、几何问题与代数方法的转化，用方程研究两个图形位置关系的方法的建立，体会数形结合和化归转化思想,初步感悟平面解析几何蕴含的数学思想.
大单元整体设计
直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系，虽然研究对象不同，但研究方法相同.可以利用直线的方程与圆的方程组成的方程组的实数解的个数进行判断，也可以根据直线与圆的几何特征，将问题转化为距离的比较问题，即利用方程求出圆心到直线的距离与圆的半径的大小进行比较、两圆连心线长度与两圆半径和、半径差的大小比较的问题. 解决直线与圆、圆与圆的位置关系问题的思想、方法，也为今后解决直线与圆锥曲线的位置关系问题提供思想、方法上的铺垫.在本单元，通过类比两直线位置关系的研究方法，利用两直线方程联立组成的方程组有没有实数解，进一步感受坐标法在研究图形性质方面的作用,初步体会解析几何的基本内涵和思想方法.用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直线、圆等，将几何问题转化为代数问题；然后通过代数运算解决代数问题；最后解释代数运算结果的几何含义，得到几何问题的结论.这就是用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”.
根据教学内容与目标
本单元分为2个课时：
第1课时，直线与圆的位置关系
第2课时，圆与圆的位置关系
直线与圆、与圆、圆与圆的位置关系
在平面几何中，我们研究过直线与圆这两类图形的位置关系.前面我们学习了直线的方程、圆的方程，用直线的方程研究了两条直线的位置关系.本单元，我们将类比直线与直线的位置关系的研究方法，继续探索判断直线与圆、圆与圆的位置关系的方程方法，并解决简单的问题..
人教版数学九年级上册24.2《点和圆、直线和圆的位置关系》知识点+例题+练习(精品)
点、直线、圆与圆的位置关系_知识点+例题+练习1.点和圆的位置关系2.（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：3.①点P在圆外⇔d＞r4.②点P在圆上⇔d=r5.①点P在圆内⇔d＜r6.（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．7.（3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．2.确定圆的条件不在同一直线上的三点确定一个圆．注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆．3.三角形的外接圆与外心（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．（2）（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．（3）（3）概念说明：（4）①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．（5）②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．（6）③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的两条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．4.反证法(了解)（1）对于一个命题，当使用直接证法比较困难时，可以采用间接证法，反证法就是一个间接证法．反证法主要适合的证明类型有：①命题的结论是否定型的．②命题的结论是无限型的．③命题的结论是“至多”或“至少”型的．（2）（2）反证法的一般步骤是：（3）①假设命题的结论不成立；（4）②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；（5）③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．5.直线和圆的位置关系（1）直线和圆的三种位置关系：①相离：一条直线和圆没有公共点．②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线．（2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．①直线l和⊙O相交⇔d＜r②直线l和⊙O相切⇔d=r③直线l和⊙O相离⇔d＞r．6.切线的性质（1）切线的性质（2）①圆的切线垂直于经过切点的半径．（3）②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．（4）③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（5）（2）切线的性质可总结如下：（6）如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．（7）（3）切线性质的运用（8）由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．7.切线的判定8.（1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．9.（2）在应用判定定理时注意：10.①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．11.②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的．12.③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”．8.切线的判定与性质（1）切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．（3）常见的辅助线的：①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．9.切线长定理（1）圆的切线定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．（2）（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．（3）（3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．（4）（4）切线长定理包含着一些隐含结论：（5）①垂直关系三处；（6）②全等关系三对；（7）③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到．10.三角形的内切圆与内心（1）内切圆的有关概念：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．（2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．（3）三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．11.圆与圆的五种位置关系（1）圆与圆的五种位置关系：①外离；②外切；③相交；④内切；⑤内含．如果两个圆没有公共点，叫两圆相离．当每个圆上的点在另一个圆的外部时，叫两个圆外离，当一个圆上的点都在另一圆的内部时，叫两个圆内含，两圆同心是内含的一个特例；如果两个圆有一个公共点，叫两个圆相切，相切分为内切、外切两种；如果两个圆有两个公共点叫两个圆相交．（2）圆和圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系：①两圆外离⇔d＞R+r；②两圆外切⇔d=R+r；③两圆相交⇔R-r＜d＜R+r（R≥r）；④两圆内切⇔d=R-r（R＞r）；⑤两圆内含⇔d＜R-r（R＞r）．12.相切两圆的性质相切两圆的性质：如果两圆相切，那么连心线必经过切点．这说明两圆的圆心和切点三点共线，为证明带来了很大方便．13.相交两圆的性质（1）相交两圆的性质：（2）相交两圆的连心线（经过两个圆心的直线），垂直平分两圆的公共弦．（3）注意：在习题中常常通过公共弦在两圆之间建立联系．（4）（2）两圆的公切线性质：（5）两圆的两条外公切线的长相等；两圆的两条内公切线的长也相等．（6）两个圆如果有两条（内）公切线，则它们的交点一定在连心线上．4. 判断圆的切线的方法及应用判断圆的切线的方法有三种：（1）与圆有惟一公共点的直线是圆的切线；（2）若圆心到一条直线的距离等于圆的半径，则该直线是圆的切线；（3）经过半径外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.【例4】如图，⊙O的直径AB=4，∠ABC=30°，BC=34，D是线段BC的中点.（1）试判断点D与⊙O的位置关系，并说明理由.（2）过点D作DE⊥AC，垂足为点E，求证：直线DE是⊙O的切线.【例5】如图，已知O为正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OA的长为半径的⊙O与BC相切于M，与AB、AD分别相交于E、F，求证CD与⊙O相切.【例6】如图，半圆O为△ABC的外接半圆，AC为直径，D为劣弧上一动点，P在CB 的延长线上，且有∠BAP=∠BDA.求证：AP 是半圆O 的切线.【知识梳理】1. 直线与圆的位置关系：2. 切线的定义和性质：3.三角形与圆的特殊位置关系：4. 圆与圆的位置关系：（两圆圆心距为d ，半径分别为21,r r ）相交⇔2121r r d r r +<<-； 外切⇔21r r d +=；内切⇔21r r d -=； 外离⇔21r r d +>； 内含⇔210r r d -<<【注意点】与圆的切线长有关的计算．【例题精讲】例1.⊙O 的半径是6，点O 到直线a 的距离为5，则直线a 与⊙O 的位置关系为（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．内含例 2. 如图1，⊙O 内切于ABC △，切点分别为D E F ，，．50B ∠=°，60C ∠=°，连结OE OF DE DF ，，，，则EDF ∠等于（ ）A ．40°B ．55°C ．65°D ．70°例3. 如图，已知直线L 和直线L 外两定点A 、B ，且A 、B 到直线L 的距离相等，则经过A 、B 两点且圆心在L 上的圆有（ ）A ．0个B ．1个C ．无数个D ．0个或1个或无数个例4．已知⊙O 1半径为3cm ，⊙O 2半径为4cm ，并且⊙O 1与⊙O 2相切，则这两个圆的圆心距为（ ） A.1cm B.7cm C.10cm D. 1cm 或7cm例5．两圆内切，圆心距为3，一个圆的半径为5，另一个圆的半径为 例6．两圆半径R=5，r=3，则当两圆的圆心距d 满足___ ___•时，•两圆相交；•当d•满足___ ___时，两圆不外离．例7．⊙O 半径为6.5cm ，点P 为直线L 上一点，且OP=6.5cm ，则直线与⊙O•的位置关系是____例8．如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB 于点E 、F ，切点C 在弧AB 上，若PA 长为2，则△PEF 的周长是 _．例9. 如图，⊙M 与x 轴相交于点(20)A ，，(80)B ，，与y 轴切于点C ，则圆心M 的坐标是例10. 如图，四边形ABCD 内接于⊙A ，AC 为⊙O 的直径，弦DB ⊥AC ，垂足为M ，过点D 作⊙O 的切线交BA 的延长线于点E ，若AC=10，tan ∠DAE=43，求DB 的长．【当堂检测】1.如果两圆半径分别为3和4，圆心距为7，那么两圆位置关系是（ ）A ．相离B ．外切C ．内切D ．相交2.⊙A 和⊙B 相切，半径分别为8cm 和2cm ，则圆心距AB 为（ ）A ．10cmB ．6cmC ．10cm 或6cmD ．以上答案均不对3.如图，P 是⊙O 的直径CB 延长线上一点，PA 切⊙O 于点A ，如果PA ＝3，PB ＝1，那么∠APC 等于（ ）A. 15B. 30C. 45D. 60O O2O14. 如图，⊙O 半径为5，PC 切⊙O 于点C ，PO 交⊙O 于点A ，PA ＝4，那么PC 的长等于（ ） A ）6 （B ）25 （C ）210 （D ）2145.如图，在10×6的网格图中(每个小正方形的边长均为1个单位长)．⊙A 半径为2，⊙B 半径为1，需使⊙A 与静止的⊙B 相切，那么⊙A 由图示的位置向左平移 个单位长.6. 如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，∠C ＝ 90，AO 的延长线交BC 于点D ，AC ＝4，DC ＝1，，则⊙O 的半径等于（ ）A. 45B. 54C. 43D. 657.⊙O 的半径为6，⊙O 的一条弦AB 长63，以3为半径⊙O 的同心圆与直线AB 的位置关系是( )A.相离B.相交C.相切D.不能确定8.如图，在ABC △中，12023AB AC A BC =∠==，°，，A ⊙与BC 相切于点D ，且交AB AC 、于M N 、两点，则图中阴影部分的面积是 （保留π）．9.如图，B 是线段AC 上的一点，且AB ：AC=2：5，分别以AB 、AC 为直径画圆，则小圆的面积与大圆的面积之比为_______．10. 如图，从一块直径为a+b 的圆形纸板上挖去直径分别为a 和b 的两个圆，则剩下的纸板面积是___．11. 如图，两等圆外切，并且都与一个大圆内切．若此三个圆的圆心围成的三角形的周长为18cm ．则大圆的半径是______cm ．12.如图，直线AB 切⊙O 于C 点，D 是⊙O 上一点，∠EDC=30º，弦EF ∥AB ，连结OC 交EF 于H 点，连结CF ，且CF=2，则HE 的长为_________．13. 如图，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，切点分别为A 、B ，若直径AC=12cm ，∠P=60°．求弦AB 的长． 【中考连接】 一、选择题 1. 正三角形的内切圆半径为1，那么三角形的边长为( )A.2B.32C.3D.3 2.⊙O 是等边ABC △的外接圆，⊙O 的半径为2，则ABC △的边长为（ ）A ．3B ．5C ．23D ．253. 已知⊙O 的直径AB 与弦AC 的夹角为 30，过C 点的切线PC 与AB 延长线交于P 点．PC ＝5，则⊙O 的半径为 （ ）A. 335 B. 635 C. 10 D. 54. AB 是⊙O 的直径，点P 在BA 的延长线上，PC 是⊙O 的切线，C 为切点，PC ＝26，PA ＝4，则⊙O 的半径等于（ ）A. 1B. 2C. 23D. 265.某同学制做了三个半径分别为1、2、3的圆，在某一平面内，让它们两两外O D C B ABPA OC 第3题图 第4题图 第5题图 第6题图 第8题图 第9题图 第11题图 第10题图 第12题图切，该同学把此时三个圆的圆心用线连接成三角形.你认为该三角形的形状为( )A.钝角三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰三角形6.关于下列四种说法中，你认为正确的有（ ）①圆心距小于两圆半径之和的两圆必相交 ②两个同心圆的圆心距为零③没有公共点的两圆必外离 ④两圆连心线的长必大于两圆半径之差A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题 6. 如图，AB 、AC 是⊙O 的两条切线，切点分别为B 、C ，D 是优弧BC 上的一点，已知∠BAC ＝80°，那么∠BDC ＝__________度．7. 如图，AB 是⊙O 的直径，四边形ABCD 内接于⊙O ，，，的度数比为3∶2∶4，MN 是⊙O 的切线，C 是切点，则∠BCM 的度数为________．8．如图，在△ABC 中，5cm AB AC ==，cos B 35=．如果⊙O 的半径为10cm ，且经过点B 、C ，那么线段AO = cm ．9．两个等圆⊙O 与⊙O ′外切，过点O 作⊙O ′的两条切线OA 、OB ，A 、B 是切点，则∠AOB = ．10．如图6，直线AB 与⊙O 相切于点B ，BC 是⊙O 的直径，AC 交⊙O 于点D ，连结BD ，则图中直角三角形有 个．11.如图，60ACB ∠=°，半径为1cm 的O ⊙切BC 于点C ，若将O ⊙在CB 上向右滚动，则当滚动到O ⊙与CA 也相切时，圆心O 移动的水平距离是__________cm ．12.如图， AB 与⊙O 相切于点B ，线段OA 与弦BC 垂直于点D ，∠AOB =60°，B C=4cm ，则切线AB = cm.13.如图，⊙A 和⊙B 与x 轴和y 轴相切，圆心A 和圆心B 都在反比例函数1y x =图象上，则阴影部分面积等于 ．14. Rt △ABC 中，9068C AC BC ∠===°，，．则△ABC的内切圆半径r =______．15.⊙O 的圆心到直线l 的距离为d ，⊙O 的半径为r ，当d 、r 是关于x 的方程x 2－4x+m=0的两根，且直线l 与⊙O 相切时，则m 的值为_____．16.已知：⊙A 、⊙B 、⊙C 的半径分别为2、3、5，且两两相切，则AB 、BC 、CA 分别为 ．17.⊙O 的圆心到直线l 的距离为d ，⊙O 的半径为r ，当d 、r 是关于x 的方程x 2－4x+m=0的两根，且直线l 与⊙O 相切时，则m 的值为_____．三、解答题18. 如图，AB 是⊙O 的弦，OA OC ⊥交AB 于点C ，过B 的直线交OC 的延长线于点E ，当BE CE =时，直线BE 与⊙O 有怎样的位置关系？请说明理由． 第3题图 第6题图 第7题图 第8题图 第10题图 第11题图 第12题图 第13题图19.如图1，在⊙O 中，AB 为⊙O 的直径，AC 是弦，4OC =，60OAC ∠=． （1）求∠AOC 的度数；（2）在图1中，P 为直径BA 延长线上的一点，当CP 与⊙O 相切时，求PO 的长；（3）如图2，一动点M 从A 点出发，在⊙O 上按A 照逆时针的方向运动，当MAO CAO S S =△△时，求动点M 所经过的弧长．第18题图。
九年级数学直线和圆的位置关系
高档题型解析及思路拓展
例题3
解析
思路拓展
已知直线$l_{1}$和圆$O_{1}$相切于点 $P$，直线$l_{2}$过点$P$且与圆 $O_{1}$相交于另一点$Q$，求直线 $l_{2}$的方程。
由于直线$l_{1}$和圆$O_{1}$相切于点 $P$，因此点$P$是切点，且直线 $l_{1}$在点$P$处的切线斜率与直线 $l_{2}$的斜率相等。我们可以通过求 出点$P$的坐标和切线斜率，再利用点 斜式求出直线$l_{2}$的方程。
若直线与圆相切，则直线到圆心的距 离等于半径，由此可求出切线方程。
直线与圆的交点坐标
联立直线方程和圆方程求解，可得交 点坐标。若有两个交点，则它们关于 圆心对称。
02
直线与圆的位置关系分类
相离关系
定义
直线与圆没有公共点，称为相离。
判定方法
通过比较圆心到直线的距离与圆的 半径大小来判断。若圆心到直线的 距离大于圆的半径，则直线与圆相 离。
直线与圆的交点个数
通过观察图形或计算，确定直线与圆的交点个数。若有两个交点，则直线与圆 相交；若有一个交点，则直线与圆相切；若没有交点，则直线与圆相离。
综合应用举例
解法一
联立直线l和圆C的方程，消去一 个未知数得到一个一元二次方程 。根据判别式的值判断位置关系 。
解法二
计算圆心(a,b)到直线l的距离d，根 据d与半径r的大小关系判断位置关 系。
圆的性质
圆上任意一点到圆心的距 离等于半径；圆的任意弦 所对的圆周角等于弦所对 圆心角的一半。
圆的切线
与圆有且仅有一个交点的 直线称为圆的切线，切线 与半径垂直。
直线与圆的交点问题
直线与圆的位置关系
直线与圆的切线问题
初三数学直线和圆的位置关系
初三数学直线和圆的位置关系一.直线和圆的位置关系：①相交：直线和圆有两个公共点，这时说这条直线和圆相交；这条直线叫做圆的割线；②相切：直线和圆有唯一公共点，这时说这条直线和圆相切；这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点.③相离：直线和圆没有公共点，这时说这条直线和圆相离．二.直线和圆的位置关系的判定：（1）定理：若⊙O的半径为R，圆心到直线l 的距离为d. 则直线l与⊙O相交d﹤R；直线l与⊙O相切 d =R；直线l与⊙O相离d﹥R；（2）“圆心到直线的距离d和半径R的数量关系”与“直线和圆的位置关系”之间的对应与等价关系列表如下：例1、1.在Rt△ABC中，∠C=，AC=3cm，AB=6cm，以点C为圆心，与AB边相切的圆的半径为_________cm.2.如图，⊙O的半径OD为5cm，直线l⊥OD，垂足为O，则直线l沿射线OD方向平移_________cm时与⊙O相切.3.已知⊙O的直径为6cm，如果直线l上的一点C到圆心的距离为3cm，则直线l与⊙O的位置关系是_________.4.⊙O的半径为R，圆心O到直线l的距离d与R是方程x2－6x＋9=0的两个实数根，则直线l和⊙O的位置关系是_________.三．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；2．切线的性质：①切线垂直于过切点的半径；②切线和圆心的距离等于半径；③经过圆心且垂直于切线的直线必过切点；④经过切点垂直于切线的直线必过圆心.综上所述，在解决有关圆的切线的问题，连接圆心和切点的线段是最常见的辅助线.四、切线长的定义及切线长定理过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长，如图所示，PA，PB 是⊙O的两条切线，A，B为切点，线段PA，PB的长即为点P到⊙O的切线长．切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等．例2、如图，AB是⊙O的直径，BC切⊙O于点B，AD∥CO.求证：CD是⊙O的切线.1、⊙O的半径为R，直线l和⊙O有公共点，若圆心到直线l的距离是d，则d与R的大小关系是（）A.d>RB.d<RC.d≤RD.d≥R2、点A为直线l上任一点，过A点与直线l相切的圆有（）个.A.1 B.2C.不存在 D.无数个3、在Rt△ABC中，∠A=，BA=12，CA=5，若以A为圆心，5为半径作圆，则斜边BC与⊙A的位置关系是（）A.相交 B.相离C.相切 D.不确定4、等边△ABC的边长为6，点O为△ABC的外心，以O为圆心，为半径的圆与△ABC的三边（）A.都相交B.都相离C.都相切D.不确定5、两个同心圆的半径分别为3cm和5cm，作大圆的弦MN=8cm，则MN与小圆的位置关系是（）A．相交 B．相切C．相离D．无法判断6、如图，在直角坐标系中，⊙O的半径为1，则直线与⊙O的位置关系是（）A．相离 B．相交C．相切 D．以上三种情形都有可能7、下列说法正确的是（）A．垂直于切线的直线必过切点B．垂直于半径的直线是圆的切线C．圆的切线垂直于经过切点的半径D．垂直于切线的直线必经过圆心8、已知Rt△ABC的直角边AC=BC=4cm，若以C为圆心，以3cm的长为半径作圆，则这个圆与斜边所在的直线的位置关系是（）A．相交 B．相切C．相离 D．不能确定9、如右上图，在△ABC中，AB=2，AC=1，以AB为直径的圆与AC相切，与边BC交于点D，则AD的长为（）10、如下图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，过点D作⊙O的切线，切点为C，若∠A=25°，∠D=__________．11、如图，⊙O的半径为1，圆心O在正三角形的边AB上沿图示方向移动，当⊙O移动到与AC相切时，OA=__________．12、设⊙O的半径为R，⊙O的圆心到直线的距离为d，若d、R是方程x2－6x＋m=0的两根，则直线l 与⊙O相切时，m的值为__________．13、已知∠ABC=60°，点O在∠ABC的平分线上，OB=5cm，以O为圆心，2cm为半径作⊙O，则⊙O与BC的位置关系是__________．14、如图，Rt△ABC中，∠B=90°，∠A的平分线交BC于D，E为AB上一点，DE=DC，以D为圆心，DB的长为半径作⊙D．求证：（1）AC是⊙D的切线；（2）AB＋EB=AC．15、如图，以边长为4的正△ABC的BC边为直径作⊙O与AB相交于点D，⊙O的切线DE交AC于E，EF⊥BC，点F是垂足，求EF的长．16、如图，PA是⊙O的切线，切点是A，过点A作AH⊥OP于点H，交⊙O于点B．求证：PB是⊙O的切线．17、如图，已知AB是⊙O的直径，AB=2，∠BAC=30°，点C在⊙O上，过点C与⊙O相切的直线交AB 的延长线于点D，求线段BD的长．1．弧长公式：n°的圆心角所对的弧长l公式不要死记硬背，可依比例关系很快地随手推得：2．扇形面积公式：（1）和含n°圆心角的扇形的面积公式同样不要死记硬背，可依比例关系很快地随手推得：．（2）将弧长公式代入扇形面积公式中，立即得到用弧长和半径表示的扇形面积公式：。
九年级上册数学《圆》点、线和圆的位置关系-知识点整理
圆知识要点圆的定义：（1）在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点叫圆心，线段OA叫做半径；（2）圆是到定点的距离等于定长的点的集合。
1、点和圆的位置关系设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：d＜r ＜====＞点P在⊙O内；d＝r ＜====＞点P在⊙O上；d＞r ＜====＞点P在⊙O外。
2、直线与圆的位置关系（1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点；（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。
如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d,那么：直线l与⊙O相交＜====＞d<r；直线l与⊙O相切＜====＞d=r；直线l与⊙O相离＜====＞d>r；3、切线的判定和性质（1）、切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
（2）、切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径。
如右图中，OD垂直于切线。
4、切线长定理（1）、切线长在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。
（2）、切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
如右图中：圆外一点P与圆O相切与D，E两点，所以有PD=PE，可以通过连接OP来证明。
5、过三点的圆（1）、不在同一直线上的三个点确定一个圆。
（2）、三角形的外接圆经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。
如图圆O是△ABC的外接圆（3）、三角形的外心三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。
（4）、圆内接四边形性质（四点共圆的判定条件）圆内接四边形对角互补。
(5)、三角形的内切圆与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。
如图圆O是△A＇B＇C＇的内切圆。
人教版九年级上册数学精品教学课件 第24章圆 点和圆、直线和圆的位置关系 第2课时 切线的判定与性质
B
A
O P
练一练 1. 如图①，在⊙O 中，OA、OB 为半径，直线
MN 与⊙O 相切于点 B. 若∠ABN = 30°，则∠AOB = 60 °.
N A
C
B O
A O BD
2.
图①
如图②，AB
M 为⊙O
图②
的直径，D 为
（ C）A．40° B源自35° C．30° D．45°4. 如图，PB 切☉O 于点 B，PB = 4，PA = 2，则 ☉O
的半径是多少？
解：连接 OB，如图. 则∠OBP = 90°.
设⊙O 的半径为 r，则
OA = OB = r，OP = OA + PA = r + 2.
B
在 Rt△OBP 中，OB2 + PB2 = PO2，
∴∠BAC = 180° -∠ABC -∠ACB = 90°， O
即 AB⊥AC.
∵ AB 是☉O 的直径，∴ AC 是☉O 的切线. A
C
例2 已知直线 AB 经过 ⊙O 上的点 C，并且 OA = OB，
CA = CB. 求证：直线 AB 是 ⊙O 的切线.
证分明析：连由接于 AOBC.过⊙O 上的点 C，所以连接 OC，只要
切线的性质 圆的切线垂直于经过切点的半径．
应用格式
O
∵直线 l 是⊙O 的切线，A 是切点，
∴直线 l⊥OA.
A
l
性质定理的证明 证法：反证法 理由是：直径 AB 与直线 CD 要么垂直，要么不垂直. （1）假设 AB 与 CD 不垂直，过点 O 作
OM⊥CD，垂足为 M；
人教版初中数学九年级上册第24章圆知识复习第二部分点和圆、直线和圆的位置关系
*有兴趣的同学可以尝试证明： (1)如图，正五角星中AC=a， 求该五角星外接圆的直径.(用三角函数表示) (2)圆内接四边形两组对边乘积之和等于两条对角线 的乘积。（提示：构造相似形）
(3)若圆内接四边形的对角线互相垂直，则过对角线 的交点所作任一边的垂线将对边平分. A
B
E
•
O
C
D
中考试题精选
O• 5 A 4P B
【及时巩固】
7、如图,AB是ʘO的直径,AC是弦,∠CAB=30º, 过C点作ʘO的切线交AB的延长线于D，如果 OD=12cm，那么ʘO的半径为 6 .
C
30º • 60º 30º
AO
BD
【及时巩固】
8、如图，PB、PC分别切ʘO于B、C两点，A 是ʘO上一点，∠CAB=50º，则∠P等于 80º .
6、如图，△ABC内接于⊙O，AB的延长线 与过C点的切线GC相交于点D，BE与AC相 交于点F，且CB=CE.求证：(1)BE∥DG； (2)CB2-CF2=BF·FE.
A
O•
E
FB
G CD
中考试题精选
7、如图，PC为⊙O的切线，C为切点, PAB是过O点的割线，CD⊥AB于点D，
若 tan B 1，PC=10cm,求△BCD的面积. 2
A
对应的一个基本图
E O• C D
P
形，其中有很多关
系，你能找出多少？
B
弦切角：圆的切线和过切点的弦所夹的角。 P
O•
O•
B
A
M
(5)弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对 的圆周角.
推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么 这两个弦切角也相等.
(6)和三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆。 内切圆的圆心是三角形的内心(即三角形三内角 平分线的交点)。各边都和圆相切的三角形叫圆 的外切三角形。
九年级秋季班-第10讲直线与圆圆与圆的位置关系(1)
直线与圆、圆与圆的位置关系内容分析直线与圆、圆与圆的位置关系是九年级下学期第一章第二节的内容．重点是理解直线与圆的三种位置关系和圆与圆之间的五种位置关系，掌握它们数量表达，并学会判断直线与圆、圆与圆的位置关系．难点是直线与圆、圆与圆位置关系在实际中的应用，及分类讨论的思想．知识结构模块一：直线与圆的位置关系知识精讲1、直线与圆的位置关系：相离、相切、相交当直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离；当直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切；这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点；当直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交；这时直线叫做圆的割线．2、数量关系描述直线与圆的位置关系如果O 的半径长为R，圆心O 到直线l 的距离为d，那么：直线l 与O 相交⇔ 0 ≤d <R ；直线l 与O 相切⇔d =R ；直线l 与O 相离⇔d >R ．3、切线的判定定理经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．BOA【例1】 在 ∆ABC 中， ∠C = 90︒ ，AC = 3 cm ，BC = 4 cm ，以 C 为圆心，r 为半径的圆与 AB 有怎样的位置关系？为什么？（1）r = 2 cm ；（2）r = 2.4 cm ；（3）r = 3 cm ．【例2】 经过 O 上一点 P 作 O 的切线．【例3】 已知， O 的圆心 O 的坐标是（4，6），半径为 5，则 x 轴与 O 的位置关系是．【例4】 直线 l 与半径为 r 的 O 相交，且点 O 到直线 l 的距离为 5，则 r 的取值范围是．【例5】 如图，在射线 OA 上取一点 A ，使 OA = 4 cm ，以 A 为圆心，作一个直径为 4 cm的圆．问射线 OB 与 OA 所夹锐角α 取怎样的值时，OB 与 O 相离、相切、相交？【例6】 等腰∆ABC ，AB = AC = 5，CB = 6，以 BC 中点为圆心作圆，两腰所在直线与圆相离，则半径 r 的取值范围为．【例7】 在 ∆ABC 中， ∠C = 90︒ ，AC = 5，BC = 12，若以 C 为圆心，R 为半径，所作的圆与斜边 AB 没有公共点，则 R 的取值范围是．例题解析OP2 yAO P BxO 2 2 【例8】 如图，已知 是以平面直角坐标系的原点 O 为圆心，半径为 1 的圆，∠AOB = 45︒ ，点 P 在 x 轴上运动，若过点 P 且与 OA 平行的直线与有公共点， 设 P 的横坐标为 x ，则 x 的取值范围是（ ）A ． 0 ≤ x ≤B ． - ≤ x ≤C ． -1 ≤ x ≤ 1D ． x >【例9】 在 ∆ABC 中， AB = 4 ， AC = 2 ，若以 A 为圆心，2 为半径的圆与直线 BC相切，则∠BAC 的度数为 ．【例10】 如图，AB 是 O 的弦，C 是 O 外一点，OC 交 AB 于点 D ，若OA ⊥ OC ，CD = CB ．求证：CB 是 O 的切线．【例11】 已知：如图， O 的半径为 6 cm ， OD ⊥ AB ，垂足为点 D ， ∠AOD = ∠B ，AD = 12 cm ，BD = 3 cm ． 求证：AB 是 O 的切线．AODCBOADB22CDAOB【例12】 如图，在∆ABC 中， ∠C = 90︒ ，AC = 5，BC = 12， O 的半径为 3．（1）当圆心 O 与 C 重合时， O 与 AB 的位置关系怎样？ （2）若点 O 沿 CA 移动时，当 OC 为多少时， O 与 AB 相切； （3）若点 O 沿 CA 移动时，当 OC 为多少时， O 与 AB 有公共点．BAC (O )【例13】 如图，AB 是 O 的直径，BC 是 O 的切线，切点为 B ，OC 平行于弦AD ． 求证：DC 是 O 的切线．【例14】 已知，如图，在梯形 ABCD 中，AD // CB ， ∠D = 90︒ ，且 AD + BC = AB ，AB为 O 的直径．求证： O 与 CD 相切．A DOB CBC OA1、 圆与圆的位置关系外离：图 1 中，两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部，叫做这两个圆外离．外切：图 2 中，两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部，叫做这两个圆外切．这个唯一的公共点叫做切点．相交：图 3 中，两个圆有两个公共点，叫做这两个圆相交．内切：图 4 中，两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部，叫做这两个圆内切．这个唯一的公共点叫做切点．内含：图 5 中，两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部，叫做这两个圆内含．当两个圆心重合时，称它们为同心圆．综上，一般地，两圆的位置关系有五种情况：外离、外切、相交、内切、内含．两个圆外离或内含时，也可以叫做两圆相离；两个圆外切或者内切时，也可以叫做两圆相切． 2、 相关概念圆心距：两个圆的圆心之间的距离叫做圆心距． 连心线：经过两个圆圆心的直线叫做连心线．图 5 图4模块二：圆与圆的位置关系知识精讲图 1图 2 图 33、 两圆位置关系的数量表达如果两圆的半径长分别为 R 1 和 R 2 ，圆心距为 d ，那么两圆的位置关系可用 R 1 、R 2 和 d 之间的数量关系表达，具体表达如下：两圆外离⇔ d > R 1 + R 2 ； 两圆外切⇔ d = R 1 + R 2 ； 两圆相交⇔ R 1 - R 2 < d < R 1 + R 2 ；两圆内切⇔ 0 < d = R 1 - R 2 ；两圆内含⇔ 0 ≤ d < R 1 - R 2 ．4、 相关定理（1）如果两圆相交，那么它们的两个交点关于连心线对称，于是，可推出以下定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦．（2）如果两圆相切，可归纳出以下定理：相切两圆的连心线经过切点．【例15】 （1）一个圆的半径为 9 厘米，另一圆的半径为 4 厘米，圆心距为 3 厘米，判断两个圆的位置关系（2）相切两圆的圆心距为 5，其中一个圆的半径为 3，那么另一个圆的半径是多少？【例16】 两圆的半径比为 2 : 3，圆心距等于小圆半径的 2 倍，则这两个圆的位置关系是（）A ．相离B ．外切C ．相交D ．内切或内含【例17】 两圆的圆心坐标分别为（ 3 ，0）和（0，1）它们的半径分别是 3 和 5，则这两个圆的位置关系是．【例18】 设 R 、r 是两圆的半径，d 为圆心距，如果它们满足 R 2 - r 2 - 2Rd + d 2 = 0 ，那么这两个圆的位置关系是（ ）A ．外离B ．相切C ．相交D ．内含例题解析A CB【例19】 若三圆两两相交得到三条公共弦，则这三条弦所在直线的位置关系是（）A ．平行B ．相交于一点C ．平行或交于一点D ．有两条弦平行，第三条与它们相交【例20】 如图，已知 A 、 B 和 C 两两外切，AB = 5 厘米，BC = 6 厘米，AC = 7 厘米，求这三个圆的半径．【例21】 已知 O 1 与 O 2 相交于 A 、B 两点， O 1 与 O 2 的半径分别为 2 和 ，公共弦长为 2，则∠O 1 AO 2 = ．【例22】 如图，两圆轮叠靠在墙边，已知两轮半径分别为 4 和 1，则它们与墙的切点 A 、B 间的距离为．【例23】 如图，以O 2 为圆心的两个同心圆和求证：四边形 ABCD 为等腰梯形．O 1 分别交于 A 、B 、C 、D 四点．ABA DC B2【例24】 如图， O 1 、 O 2 外切与点 A ，过点 A 的直线分别交 O 1 和 O 2 于点 P 、C ．求证： PA : PC O 1 A : O 1O 2 ．【例25】 已知相交两圆的半径分别为 5 和 4，公共弦长为 6，求两圆的圆心距长．【例26】 如图，矩形 ABCD ，AB = 5，BC = 12．分别以 A 、C 为圆心的两圆相切，点 D在圆 C 内，点 B 在圆 C 外，求圆 A 的半径 r 的取值范围．【例27】 如图，PQ = 10，以 PQ 为直径的圆与一个半径为 20 的圆内切于点 P ．正方形ABCD 的顶点 A 、B 在大圆上，小圆在正方形外部，且与 CD 相切与点 Q ，求 AB 的长．ADBCC APQ ODB PAC3【例28】 （1）计算：如图 1，直径为 a 的三等圆 O 1 、 O 2 、 O 3 两两外切，切点分别为 A 、B 、C ，求O 1 A 的长（用含 a 的代数式表示）；（2）探索：若干个直径为 a 的圆圈分别按如图 2 所示的方案一和如图 3 所示的方案 2 的方式排放，探索并求出这两种方案中 n 层圆圈的高度h n 和 h’n （用含 n 和 a 的代数式表示）；（3）应用：现有长方体集装箱，其内空长为 5 米，宽为 3.1 米，高为 3.1 米．用 这样的集装箱装运长为 5 米，底面直径（横截面的外圆直径）为 0.1 米的圆柱形钢管，你认为采用（2）中的哪种方案在该集装箱中装运钢管最多？并求出这样的集装箱最多能装运多少根钢管？（ 1.73 ）B C A图 1n 层 n 层…………3 层 3 层 h’n2 层1 层2 层 1 层图 2图 3h’1h’2h’3……【例29】 如图，正方形 ABCD 中，E 为 BC 边上一点，以 E 为圆心、EC 为半径的半圆与以 A 为圆心、AB 为半径的圆弧外切，求sin ∠EAB 的值．【例30】 如图， O ' 经过 O 的圆心，E 、F 是两圆的交点，直线OO ' 交于点 Q 、D ，交 O ' 于点 P ，交 EF 于点 C ，且 EF = 2 15 ， sin ∠P = 1．4 （1）求证：PE 是 O 的切线； （2）求 O 和 O ' 的半径的长．DC EFABE QO C D PF【习题1】 已知 O 的直径为 10 厘米，如果一条直线和圆心 O 的距离为 10 厘米，则这条直线和这个圆的位置关系为（ ） A ．相离B ．相切C ．相交D ．相交或相离【习题2】已知在∆ABC 中，∠ABC = 90︒ ，AB = 4，BC = 3，以 A 为圆心，以 r 为半径的圆与 BC 有公共点，则 r 的取值范围是．【习题3】已知 O 1 和 O 2 的半径分别是 5 厘米和 7 厘米，圆心距O 1O 2 是 2 厘米，则这两个圆的位置关系是（ ）A ．外离B ．外切C ．相交D ．内切【习题4】已知两圆的半径之比为 3 : 5，两圆内切时，圆心距为 6，则两圆的半径分别是，这两圆外切是，圆心距为．【习题5】已知点 A 和点 B 都在 x 轴上，分别以点 A 和点 B 为圆心的两圆相交于点M （ 3a - b ，5）、N （9， 2a + 3b ），则a b 的值为．【习题6】 如图， O 的半径为 3 厘米，B 为 O 外一点，OB 交 O 于点 A ，AB = OA ，动点 P 从点 A 出发，以π 厘米/秒的速度在 O 上按逆时针方向运动一周回到点 A 立即停止．当点 P 运动的时间为秒时，BP 与 O 相切．POAB【习题7】在直角坐标系中， A 与 B 只有一个公共点， A 和 B 的半径分别为 2和 6，点 A 的坐标为（2，1），点 B 为 x 轴上一点，求点 B 的坐标．随堂检测O 1【习题8】如图，等边∆ABC 的边长为 10，以 AB 为直径作 O 1 ，点O 2 在 BC 边上，且CO 2 = 2 ，以O 2 为圆心，O 2C 为半径作并证明你的结论．O 2 ，请判断 O 1 与 O 2 的位置关系，【习题9】如图， O 和相交于 A 、B 两点，O A = 3 5 ，O A = 5 ，cos ∠AO B =3．11215求： sin ∠BAO 2 的值．【习题10】 如图，三个半圆的半径均为 R ，它们的圆心C 1 、C 2 、C 3 在同一条直线上，且每一圆心都在另一半圆的圆周上． 半径，求 R : r ．C 4 与这三个半圆均相切，用 r 表示 C 4 的ABCAB【作业1】 O 的半径为 R ，直线 l 和 O 有公共点，若圆心到直线 l 的距离是 d ，则 d 与 R 大小关系是（ ）A ． d > RB ． d < RC ． d ≥ RD ． d ≤ R【作业2】已知圆的直径是 13 厘米，圆心到直线 l 的距离为 6 厘米，则直线和这个圆的公共点的个数是个．【作业3】（1）有两个圆，一个圆的半径 R = 4，两圆的圆心距是 5，另一个圆的半径 r 满足什么条件时这两个圆外离？（2）两个圆的圆心距为 2 厘米，一个圆的半径为 10 厘米，要使这两个圆内含， 另一个圆的半径应满足什么条件？（3）已知两个圆内切，圆心距是 2 厘米，如果一个圆的半径是 3 厘米，那么另一圆的半径是多少？【作业4】O 的半径为 6， O 的一条弦 AB 长6 AB 的关系是．，以 3 为半径的同心圆与直线【作业5】 若线段 PQ 与 O 只有一个公共点，那么这条线段的两个端点 P 、Q 只能是 （ ）A ．至少有一点在圆外B ．至多有一点在圆内C ．P 、Q 两点中一定有一点在 O 外D ．一点在 O 的内部，另一点在 O 的外部；或 PQ 是 O 的切线，P 、Q 之一为切点【作业6】 在直角梯形 ABCD 中，AD // BC ， AB ⊥ AD ， AB = 10 3 ，AD 、BC 的长是方程 x 2 - 20x + 75 = 0 的两根，那么以点 D 为圆心、AD 为半径的圆与以点 C 为圆心、BC 为半径的圆的位置关系是．【作业7】已知 O 1 和 O 2 相交于 A 、B 两点，AB = 24， O 1O 2 = 25 ，O 1 的半径为20，求 O 2 的半径．课后作业3BCOA PD2【作业8】 如图，在矩形 ABCD 中，AB = 3，BC = 4，P 是边 AD 上一点（除端点外），过三点 A 、B 、P 作 O ． （1）指出圆心 O 的位置；（2）当 AP = 3 时，判断 CD 与 O 的位置关系； （3）当 CD 与 O 相切时，求 BC 被 O 截得的弦长．【作业9】 如图，在直角梯形 ABCD 中，AD // BC ，AB ⊥ BC ，AB = AD = 2，DC = 2 ，点 P 在边 BC 上运动，若以点 D 为圆心、1 为半径作 D ，以 P 为圆心、PC 长为半径作 P ，当 D 与 P 相切时，求 CP 的长．【作业10】 如图，扇形 OAB 的弦 AB = 18，半径为 6 的 C 恰与 OA 、OB 和 AB 相切，D 又与 C 、OA 、OB 相切，求 D 的半径．ADB P CABCM DN。
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第三章直线与圆、圆与圆的位置关系复习
教学目标：
1、通过复习理解直线和圆、圆与圆的位置关系
2、掌握直线与圆相切的判定与性质定理；
3、理解三角形的内切圆、三角形内心的性质，并会利用内心性质解题。
4、通过解题思路的探索，提高学生观察、分析和解决问题的能力。
5、培养正确的学习方法和良好的学习习惯。
教学重点：掌握切线的判定和性质，并能灵活运用。
教学难点：切线的判定和性质的综合运用。
教学过程： 一、梳理知识点
学生完成课本第64页的小结部分 二、例题讲解
例1、在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3cm,BC=4cm,以C 为圆心，r 为半径的圆与AB 有何位置关系？为什么？
分析：求圆心C 到AB 的距离，再与半径r 比较。
A
B
E
A
例2、如图，△ADC内接圆O，AB是⊙O的直径，且∠EAC=∠D，
求证：AE是⊙O的切线。
分析：要证AE是⊙O的切线，只要证 OA⊥AE，即证∠OAE=90
°。
学生自己完成证明过程。
提问：上题中若去掉“AB是⊙O的直径”这个题设条件，原题
为“如图，△ADC内接圆O，且∠EAC=∠D”，AE仍是⊙O的切线吗？
小结：判定切线时，往往需要添加辅助线，其规律是：
①如果已知直线经过圆上的一点，那么连接这点和圆心得到辅
助线半径，再证明所作半径与这条直线垂直即可；
②如果已知条件即没有给出圆上一点，也没有指出直径上的点，
那么过圆心作直线的垂线段为辅助线，再证明垂线段的长度等于半径
的长即可。
练习：1、在△ABC中，BC=6cm, Array∠B=30°, ∠C=45°,以点A为圆心，
当半径多长时所作的⊙A与BC所在的
直线相切？相交？相离？
2、已知O为∠BAC的平分线上一
点，OD⊥AB，D为垂足，以O为圆心，OD为半径作⊙O，如图。
求证：⊙O与AC相切。
例3、某数学学习小组为了测量仪公园里放置于平台上的一个巨型球体石料的半径，采用了如下的方法：在球体石料的一侧紧挨一个已知直径的钢球，其截面如图所示，设⊙C 与大圆外切的切点为D ，⊙C 与大圆都与平台相切，切点为A 、B 且⊙C 的直径为10cm,测得AB=50cm, 求球体石料的半径R 。
分析：设大圆的圆心为O ，连接OC ，CA ，OB ，作CE ⊥OB 于E ，
则OC=R+5，OE=R-EB=R-CA=R-5，
CE=AB=50cm,在Rt △COE 中用勾股定理可求出R 。
小结：根据两圆相切，构造直角三角形，用勾股定理求解是一种常用的方法。
例4、某公园有一块由三条马路围成的三角形绿地（如图）现准备在其中建一个尽可能大的圆亭供人们休息，试作出这个圆。
A
B
四、布置作业：见课本目标与评定。