2018年全国各地高考数学一题多解：全国II卷(含答案)

全国II 卷
【理数10题】已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB 与1C B 所成角的余弦值为（ ）
A
B
C
D
【答案】C
【考点】 线面角
解法二：向量法：取空间向量的一组基底为{}
1,,BA BC BB ，则11AB BB BA =-， 111BC BC CC BC BB =+=+，易知15AB =，12BC = 21111111()()==2AB BC BB BA BC BB BB BC BB BA BC BA BB ⋅=-⋅+⋅+-⋅-
⋅，
所以异面直线1AB 与1C B 所成角的余弦值为111111cos ,2AB BC AB BC AB BC ⋅<>=
==
⋅，故本题答案为C.
解法三：建系法：如图所示，以垂直于BC 的方向为x 轴，BC 为y 轴，1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系，则111(0,0,1),1,0),(0,1,1),(3,1,1)
B A B
C AB -==-，所以异面直线1AB 与1C B
所成角的余弦值11
11cos 52AB BC AB BC θ⋅===⋅，故本题答案为C.
【理数12题】已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是（ ）
A.2-
B.32-
C. 43
- D.1- 【答案】B
【考点】 平面向量的坐标运算、函数的最值
【分析】平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路：①“形化”,即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题,然后根据平面图形的特征直接进行判断；②“数化”,即利用平面向量的坐标运算,把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题,然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．
【解析】
解法二：极化恒等式：取BC 的中点为M ，则2PB PC PM +=，于是()2PA PB PC PA PM ⋅+=⋅，根据极化恒等式可得
222221133=()()(2)()4444
PA PM PA PM PA PM PN MA PN ⎡⎤⎡⎤⋅+--=-=-≥-⎣⎦⎣⎦，故选B. 解法三：代数法：如图所示，若()PA PB PC ⋅+取最小值，则PA 与PB PC +反向共线，即点P 位于ABC
∆
PA x =，则=2(3)PB PC x +，因此
2())2PA PB PC PA PB PC x x x ⋅+=-⋅+=-⋅=-；
当x =()PA PB PC ⋅+取得最小值，此时，223()=222PA PB PC PA ⋅+-=-⨯=-.。