十年高考理科数学真题专题四三角函数与解三角形九三角函数的概念、诱导公式与三角恒等变换及答案

合集下载

高考数学10年真题解析— 三角函数图象与性质

三角函数图象与性质年份题号考点考查内容2011课标理11三角函数性质三角函数的周期性、奇偶性、单调性课标文11三角函数性质三角公式、诱导公式、三角函数的性质及分析处理问题能力．2012课标理9三角函数性质三角函数的单调性课标文9三角函数性质三角函数的对称轴等性质2013卷2文16三角函数图像变换三角函数图像平移变换2014卷1文7三角函数图像本三角函数的周期性．2015卷1理8文8三角函数图像已知三角函数图像求解析式及三角函数的单调性．2016卷3理14三角函数图像变换两角和与差的三角公式及图像平移变换．卷1文6三角函数图像变换三角函数周期、三角函数的平移变换．卷2文3三角函数图像已知三角函数图像求解析式卷3文14三角函数图像辅助角公式及三角函数平移变换．2017卷1理9三角函数图像变换诱导公式、三角函数图像变换，化归与转化思想卷3理6三角函数性质三角函数周期、对称性、零点与单调性．卷2文3三角函数性质三角函数周期性2018卷2理10三角函数性质辅助角公式、三角函数的单调性，运算求解能力与化归与转化思想．卷3理15三角函数性质三角函数的零点、转化与化归思想与运算求解能力卷2文10三角函数性质辅助角公式、三角函数的单调性，运算求解能力与化归与转化思想．卷3文6同角三角函数基本关系三角函数性质同角三角函数基本关系与三角函数的周期，运算求解能力与化归与转化思想．2019卷2理9三角函数性质含绝对值的三角函数的周期性与单调性，转化与化归思想．卷3理12三角函数性质含绝对值的三角函数的周期性、单调性、极值与零点，转化与化归思想．卷1文15三角函数性质诱导公式、三角函数的最值，转化与化归思想．卷2文8三角函数性质三角函数的极值、周期等性质．2020卷1理7三角函数图象及其性质三角函数的图象，三角函数的周期性文7三角函数图象及其性质三角函数的图象，三角函数的周期性卷3理16三角函数图象及其性质三角函数最值，三角函数图象的对称性文12三角函数图象及其性质三角函数最值，三角函数图象的对称性考点39三角函数性质1．(2020全国Ⅲ文12理16)已知函数()1sin sin f x x x=+，则()A ．()f x 的最小值为2B ．()f x 的图像关于y 轴对称C ．()f x 的图像关于直线x =π对称D ．()f x 的图像关于直线2x π=对称【答案】D【思路导引】根据基本不等式使用条件可判断A ；根据奇偶性可判断B ；根据对称性判断C ，D ．【解析】sin x 可以为负，所以A 错；()()()1sin 0,,sin sin x x k k f x x f x xπ≠∴≠∈-=--=-Z Q Q ，()f x ∴关于原点对称；11(2)sin (),()sin (),sin sin f x x f x f x x f x x xππ-=--≠-=+=Q 故B 错；()f x ∴关于直线2x π=对称，故C 错，D 对，故选D ．2．(2019•新课标Ⅱ，理9)下列函数中，以2π为周期且在区间(4π，2π单调递增的是()A ．()|cos 2|f x x =B ．()|sin 2|f x x =C ．()cos ||f x x =D ．()sin ||f x x =【答案】A【解析】()sin ||f x x =不是周期函数，可排除D 选项；()cos ||f x x =的周期为2π，可排除C 选项；()|sin 2|f x x =在4π处取得最大值，不可能在区间(4π，)2π单调递增，可排除B ．故选A ．3．(2019•新课标Ⅲ，理12)设函数()sin(0)5f x x πωω=+>，已知()f x 在[0，2]π有且仅有5个零点．下述四个结论：①()f x 在(0,2)π有且仅有3个极大值点②()f x 在(0,2)π有且仅有2个极小值点③()f x 在(0,)10π单调递增④ω的取值范围是12[5，29)10其中所有正确结论的编号是()A ．①④B ．②③C ．①②③D ．①③④【答案】D【解析】当[0x ∈，2]π时，[55x ππω+∈，25ππω+，()f x 在[0，2]π有且仅有5个零点，5265πππωπ∴+< ，∴1229510ω<，故④正确，因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案，下面判断③是否正确，当(0,)10x π∈时，[55x ππω+∈，(2)]10ωπ+，若()f x 在(0,10π单调递增，则(2)102ωππ+<，即3ω<，1229510ω<，故③正确，故选D ．4．(2019•新课标Ⅱ，文8)若14x π=，234x π=是函数()sin (0)f x x ωω=>两个相邻的极值点，则(ω=)A ．2B ．32C ．1D ．12【答案】A 【解析】14x π= ，234x π=是函数()sin (0)f x x ωω=>两个相邻的极值点，322()44T ππππω∴=-==，2ω∴=，故选A ．5．(2018•新课标Ⅱ，理10)若()cos sin f x x x =-在[a -，]a 是减函数，则a 的最大值是()A ．4πB ．2πC ．34πD ．π【答案】A【解析】()cos sin (sin cos )2sin()4f x x x x x x π=-=--=--，由ππk 22+-≤πππk x 224+≤-，k Z ∈，得ππππk x k 24324+≤≤+-，k Z ∈，取0k =，得()f x 的一个减区间为[4π-，3]4π，由()f x 在[a -，]a 是减函数，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-≥-434ππa a ，∴4π≤a ，则a 的最大值是4π，故选A ．6．(2018•新课标Ⅱ，文10)若()cos sin f x x x =-在[0，]a 是减函数，则a 的最大值是()A ．4πB ．2πC ．34πD ．π【答案】C【解析】()cos sin (sin cos )2sin()4f x x x x x x π=-=--=--，由22422πππππ+≤-≤+-k x k ，k Z ∈，得43224ππππ+≤≤+-k x k ，k Z ∈，取0k =，得()f x 的一个减区间为[4π-，3]4π，由()f x 在[0，]a 是减函数，得43π≤a ，则a 的最大值是34π，故选C ．7．(2018•新课标Ⅲ，文6)函数2tan ()1xf x tan x=+的最小正周期为()A ．4πB ．2πC ．πD ．2π【答案】C【解析】函数222tan sin cos 1()sin 21cos sin 2x x x f x x tan x x x ===++的最小正周期为22ππ=，故选C ．8．(2017新课标卷3，理6)设函数π()cos()3f x x =+，则下列结论错误的是()A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()y f x =的图像关于直线8π3x =对称C ．()f x π+的一个零点为π6x =D ．()f x 在π(,π)2单调递减【答案】D【解析】函数()πcos 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象可由cos y x =向左平移π3个单位得到，如图可知，()f x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上先递减后递增，D 选项错误，故选D ．9．(2017新课标卷2，文3)函数()f x =πs i n （2x +）3的最小正周期为A ．4πB ．2πC ．πD ．2π【答案】C【解析】由题意22T ππ==，故选C ．10．(2014新课标I ，文7)在函数①|2|cos x y =，②|cos |x y =，③)62cos(π+=x y ，④42tan(π-=x y 中，最小正周期为π的所有函数为A ．②④B ．①③④C ．①②③D ．①③【答案】C【解析】∵|2|cos x y ==cos 2x ，∴T =22π=π；由|cos |x y =图像知其周期为π，由周期公式知，62cos(π+=x y 为π，)42tan(π-=x y 为2π，故选C ．11．(2012全国新课标，理9)已知ω＞0，函数()f x =sin()4x πω+在(2π，π)单调递减，则ω的取值范围是()A ．[12，54]B ．[12，34]C ．(0，12]D ．(0，2]【答案】A【解析】∵ω＞0，x ∈(2π，π)，∴4x πω+∈(24ωππ+，4πωπ+)，∵()f x =sin()4x πω+在(2π，π)单调递减，∴(24ωππ+，4πωπ+)⊂(2π，32π)，∴2π≤24ωππ+且4πωπ+≤32π，解得12≤ω≤54，故选A ．12．(2012全国新课标，文9)已知ω>0，0ϕπ<<，直线x =4π和x =54π是函数()sin()f x x ωϕ=+图像的两条相邻的对称轴，则ϕ=()(A)π4(B)π3(C)π2(D)3π4【答案】A【解析】由题设知，πω=544ππ-，∴ω=1，∴4πϕ+=2k ππ+(k Z ∈)，∴ϕ=4k ππ+(k Z ∈)，∵0ϕπ<<，∴ϕ=4π，故选A ．13．(2011全国课标，理11)设函数()f x =sin()cos()x x ωϕωϕ+++(ω＞0，||ϕ＜2π)的最小正周期为π，且()f x -=()f x ，则()f x (A)在(0，2π)单调递减(B)在(4π，34π)单调递减(C)在(0，2π)单调递增(D)在(4π，34π)单调递增【答案】A【解析】∵()f x +4x πωϕ+，由题意知2πω=π且+4πϕ=2k ππ+，解得ω=2，ϕ=4k ππ+，又∵||ϕ＜2π，∴ϕ=4π，∴()f x +)2x π2x ，当x ∈(0，2π)时，2x ∈(0，π)，故()f x 在(0，2π)单调递减，故选A ．14．设函数()f x =sin(2cos(244x x ππ+++，则y =()f x (A)在(0，2π)单调递增，其图像关于直线x =4π对称(B)在(0，2π)单调递增，其图像关于直线x =2π对称(C)在(0，2π)单调递减，其图像关于直线x =4π对称(D)在(0，2π)单调递减，其图像关于直线x =2π对称【答案】D【解析】()f x =sin(2cos(2)44x x ππ+++2x π+2x ，∵2u x =在(0，2π)上是增函数，值域为(0,)π，y u =在(0,)π是减函数，∴()f x 在(0，2π)是减函数，又∵(4f π)4π⨯=0，不是最值，()2f π2π⨯）=是最小值，∴()f x 图像关于直线x =2π对称，故选D ．15．(2017天津)设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π．若5()28f π=，()08f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则A ．23ω=，12ϕπ=B ．23ω=，12ϕ11π=-C ．13ω=，24ϕ11π=-D ．13ω=，24ϕ7π=【答案】A 【解析】由题意5π8x =取最大值，11π8x =与x 相交，设()f x 周期为T ，所以11538844T πππ-==或34T，所以3T π=或T π=，又()f x 的最小正周期大于2π，所以3T π=，所以223T πω==，排除C 、D ；由5π()28f =，即252sin()238πϕ⨯+=，102242k ππϕπ+=+，即212k πϕπ=+，令0k =，12πϕ=．选A ．16．(2015四川)下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是A ．cos(22y x π=+B ．sin(2)2y x π=+C ．sin 2cos 2y x x =+D ．sin cos y x x=+【答案】A【解析】由cos(2sin 22y x x π=+=-，可知该函数的最小正周期为π且为奇函数，故选A ．17．(2015安徽)已知函数()()sin f x Αx ωϕ=+(Α，ω，ϕ均为正的常数)的最小正周期为π，当23x π=时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是A ．()()()220f f f <-<B ．()()()022f f f <<-C ．()()()202f f f -<<D ．()()()202f f f <<-【答案】A【解析】∵()sin()f x A x ωϕ=+的最小正周期为π，且23x π=是经过函数()f x 最小值点的一条对称轴，∴2326x πππ=-=是经过函数()f x 最大值的一条对称轴．∵12|2|66ππ--=，512|(2)|66πππ---=，|0|66ππ-=，∴|2||(2)||0|666ππππ->-->-，且2233ππ-<<，2233πππ-<-<，2033ππ-<<，∴(2)(2)(0)f f f π<-<，即(2)(2)(0)f f f <-<，故选A ．18．(2011山东)若函数()sin f x x ω=(ω>0)在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω=A ．23B ．32C ．2D ．3【答案】B【解析】由于()sin f x x ω=的图象经过坐标原点，根据已知并结合函数图象可知，3π为函数()f x 的四分之一周期，故243ππω=，解得32ω=．19．(2011安徽)已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中ϕ为实数，若()()6f x f π≤对x R ∈恒成立，且(()2f f ππ>，则()f x 的单调递增区间是A ．,()36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B ．,()2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦C ．2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D ．,()2k k k Z πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】因为当x R ∈时，()|(|6f x f π≤恒成立，所以()sin()163f ππϕ=+=±，可得26k πϕπ=+或526k πϕπ=-，k Z ∈，因为()sin()sin ()sin(2)sin 2f f ππϕϕππϕϕ=+=->=+=，故sin 0ϕ<，所以526k πϕπ=-，所以5()sin(26f x x π=-，由5222262k x k πππππ-+-+≤≤(k Z ∈)，得263k x k ππππ++≤≤(k Z ∈)，故选C ．20．(2019•新课标Ⅰ，文15)函数3()sin(23cos 2f x x x π=+-的最小值为．【答案】4-【解析】3()sin(23cos 2f x x x π=+- 2cos 23cos 2cos 3cos 1x x x x =--=--+，令cos t x =，则11≤≤-t ，2()231f t t t =--+ 的开口向上，对称轴34t =-，在[1-，1]上先增后减，故当1t =即cos 1x =时，函数有最小值4-．21．(2018•新课标Ⅲ，理15)函数()cos(36f x x π=+在[0，]π的零点个数为．【答案】3【解析】()cos(3)06f x x π=+= ，362x k πππ∴+=+，k Z ∈，193x k ππ∴=+，k Z ∈，当0k =时，9x π=，当1k =时，49x π=，当2k =时，79x π=，当3k =时，109x π=，[0x ∈ ，]π，9x π∴=，或49x π=，或79x π=，故零点的个数为3．22．(2018北京)设函数π()cos(0)6f x x ωω=->，若π()()4f x f ≤对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为___．【答案】23【解析】由于对任意的实数都有π()(4f x f ≤成立，故当4x π=时，函数()f x 有最大值，故(14f π=，246k πωππ-=(k ∈Z )，∴283k ω=+(k ∈Z )，又0ω>，∴min 23ω=．23．(2018江苏)已知函数sin(2)()22y x ϕϕππ=+-<<的图象关于直线3x π=对称，则ϕ的值是．【答案】π6-【解析】由函数sin(2)(22y x ϕϕππ=+-<<的图象关于直线3x π=对称，得2sin()13πϕ+=±，因为22ϕππ-<<，所以27636πππϕ<+<，则232ππϕ+=，6πϕ=-．24．(2011安徽)设()f x =sin 2cos 2a x b x +，其中,a b ∈R ，0ab ≠，若()()6f x f π≤对一切则x ∈R 恒成立，则①11()012f π=②7()10f π＜()5f π③()f x 既不是奇函数也不是偶函数④()f x 的单调递增区间是2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦⑤存在经过点(,)a b 的直线与函数()f x 的图像不相交以上结论正确的是(写出所有正确结论的编号)．【答案】①③【解析】()sin 2cos 2)f x a x b x x ϕ=+=+(其中tan baϕ=)，因此对一切x R ∈，()|()|6f x f π≤恒成立，所以sin()13πϕ+=±，可得()6k k Z πϕπ=+∈，故())6f x x π=+．而1111(012126f πππ=⨯+=，所以①正确；74717|()||||123030f πππ==，17|()||530f ππ=，所以7|()||()|105f f ππ=，故②错；③明显正确；④错误：由函数())6f x x π=+和()6f x x π=+的图象(图略)可知，不存在经过点(,)a b 的直线与函数()f x 的图象不相交，故⑤错误．25．(2017浙江)已知函数22()sin cos cos f x x x x x =--()x ∈R ．(Ⅰ)求2(3f π的值；(Ⅱ)求()f x 的最小正周期及单调递增区间．【解析】(Ⅰ)由2sin32π=，21cos 32π=-，2()3f π223131(()2222=---⨯-得2()23f π=．(Ⅱ)由22cos 2cos sin x x x =-与sin 22sin cos x x x =得()cos 222sin(26f x x x x π=-=-+所以()f x 的最小正周期是π由正弦函数的性质得3222262k x k πππππ+++≤≤，k ∈Z 解得263k x k ππππ++≤≤，k ∈Z 所以()f x 的单调递增区间是2[,]63k k ππππ++(k ∈Z )．26．(2013北京)已知函数21()(2cos 1)sin 2cos 42f x x x x =-+(1)求()f x 的最小正周期及最大值；(2)若(,)2παπ∈，且2()2f α=，求α的值．【解析】：(1)21()(2cos 1)sin 2cos 42f x x x x =-+1cos 2sin 2cos 42x x x =+11sin 4cos 422x x=+2sin(424x π=+所以，最小正周期242T ππ==当4242x k πππ+=+(k Z ∈)，即216k x ππ=+(k Z ∈)时，max 2()2f x =．(2)因为22()sin(4242f παα=+=，所以sin(4)14πα+=，因为2παπ<<，所以9174444πππα<+<，所以5442ππα+=，即916πα=．27．(2012广东)已知函数()2cos()6f x x πω=+，(其中0ω>，x R ∈)的最小正周期为10π．(1)求ω的值；(2)设,[0,2παβ∈，56(5)35f απ+=-，516(5)617f βπ-=，求cos()αβ+的值．【解析】(1)21105T ππωω==⇔=．(2)56334(5)cos(sin ,cos 352555f ππαααα+=-⇔+=-⇔==516815(5)cos ,sin 6171717f πβββ-=⇔==．4831513cos()cos cos sin sin 51751785αβαβαβ+=-=⨯-⨯=-．28．(2018上海)设常数a R ∈，函数2()sin 22cos f x a x x =+．(1)若()f x 为偶函数，求a 的值；(2)若(14f π=+，求方程()1f x =-ππ-［，］上的解．【解析】(1)若()f x 为偶函数，则对任意∈R x ，均有()()=-f x f x ；即22sin 22cos sin 2()2cos ()+=-+-a x x a x x ，化简得方程sin 20=a x 对任意∈R x 成立，故0=a ；(2)2()sin(22cos (11444πππ=⨯+=+=+f a a ，所以=a故2()22cos =+f x x x ．则方程()1=f x 222cos 1+=x x ，222cos 1+-=x x ，化简即为2sin(26π+=x ，即2sin(2)62π+=-x ，解得1124ππ=-+x k 或524ππ'=-+x k ，,'∈Zk k 若求该方程在[,]ππ-上有解，则1335[,2424∈-k ，1929[,]2424'∈-k ，即0=k 或1；0'=k 或1，对应的x 的值分别为：1124π-、1324π、524π-、1924π．考点40三角函数图像1．(2020全国Ⅰ文理7)设函数()cos π6f x x ω=+⎛⎫⎪⎝⎭在[],-ππ的图像大致如下图，则()f x 的最小正周期为()A ．10π9B ．7π6C ．4π3D ．3π2【答案】C【思路导引】由图可得：函数图像过点4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭，即可得到4cos 096ππω⎛⎫-⋅+= ⎪⎝⎭，结合4,09π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()f x 图像与x 轴负半轴的第一个交点即可得到4962πππω-⋅+=-，即可求得32ω=，再利用三角函数周期公式即可得解．【解析】由图可得：函数图像过点4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭，将它代入函数()f x 可得：4cos 096ππω⎛⎫-⋅+= ⎪⎝⎭，又4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 图像与x 轴负半轴的第一个交点，∴4962πππω-⋅+=-，解得：32ω=，∴函数()f x 的最小正周期为224332T πππω===，故选C ．2．(2020浙江4)函数cos sin y x x x =+在区间[],-ππ的图像大致为()A ．B ．C ．D．【答案】A【思路导引】首先确定函数的奇偶性，然后结合函数在x π=处的函数值排除错误选项即可确定函数的图像．【解析】()()()()()()cos sin cos sin f x x x x x x x f x -=--+-=-+=-，[],x ππ∈-，∴函数是奇函数，故排除C ，D ，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos sin 0x x x +>，∴排除B ，故选A ．3．(2020山东10)右图是函数sin()y x ωϕ=+的部分图像，则sin()=x ωϕ+()A ．πsin()3x +B ．πsin(2)3x -C ．πcos(2)6x +D ．5πcos(2)6x -【答案】BC【思路导引】首先利用周期确定ω的值，然后确定ϕ的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确结果．【解析】由函数图像可知：22362T πππ=-=，则222T ππωπ===，所以不选A ，当2536212x πππ+==时，1y =-∴()5322122k k Z ππϕπ⨯+=+∈，解得：()223k k ϕππ=+∈Z ，即函数的解析式为：2sin 22sin 2cos 2sin 236263y x k x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而5cos 2cos(2)66x x ππ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭，故选BC ．4．(2016全国新课标卷2，文3)函数=sin()y A x ωϕ+的部分图像如图所示，则(A)2sin(2)6y x π=-(B)2sin(2)3y x π=-(C)2sin(+)6y x π=(D)2sin(+)3y x π=【答案】A5．(2015新课标Ⅰ，理8)函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为()(A)(kπ−14，kπ+34，)，k ∈ (B)(2kπ−14，2kπ+34)，k ∈ (C)(k −14，k +34)，k ∈(D)(2k −14，2k +34)，k ∈【答案】D【解析】由五点作图知，1+4253+42πωϕπωϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得=ωπ，=4πϕ，所以()cos()4f x x ππ=+，令22,4k x k k Z πππππ<+<+∈，解得124k -＜x ＜324k +，k Z ∈，故单调减区间为(124k -，324k +)，k Z ∈，故选D ．6．(2011辽宁)已知函数)(x f =A tan(ωx +ϕ)(2||,0πϕω<>)，y =)(x f 的部分图像如下图，则=)24(πf A ．3B 3C ．33D ．23-【答案】B【解析】半周期为3884πππ-=，即最小正周期为2π，所以2ω=．由题意可知，图象过定点3(,0)8π，所以30tan(2)8A πϕ=⨯+，即34k πϕπ+=()k Z ∈，所以3()4k k Z πϕπ=-∈，又||2πϕ<，所以4πϕ=，又图象过定点(0,1)，所以1A =．综上可知()tan(2)4f x x π=+，故有(tan(2)tan242443f ππππ=⨯+==7．(2014江苏)已知函数x y cos =与)2sin(ϕ+=x y (0≤πϕ<)，它们的图象有一个横坐标为3π的交点，则ϕ的值是．【答案】6π【解析】由题意交点为1(,)32π，所以21sin()32πϕ+=，又0ϕπ<≤，解得6πϕ=．8．(2011江苏)函数()sin(),(,,f x A x A w ωϕϕ=+是常数，0,0)A ω>>的部分图象如图所示，则(0)f =．【答案】62【解析】由图可知：A =，741234T πππ=-=，所以T π=，22T πω==，又函数图象经过点(,0)3π，所以23πϕπ⨯+=，则3πϕ=，故())3f x x π=+，所以6(0)32f π==．9．(2012湖南)函数()sin()f x x ωϕ=+的导函数()y f x '=的部分图像如图4所示，其中，P 为图像与y轴的交点，A ，C 为图像与x 轴的两个交点，B 为图像的最低点．(1)若6πϕ=，点P 的坐标为(0，332)，则ω=；(2)若在曲线段ABC 与x 轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC 内的概率为．【答案】(1)3；(2)4π【解析】(1)()y f x '=cos()x ωωϕ=+，当6πϕ=，点P 的坐标为(0，332)时33cos ,362πωω=∴=；10．(2016江苏省)定义在区间[]0,3π上的函数sin 2y x =的图象与cos y x =的图象的交点个数是．【答案】7【解析】画出函数图象草图，共7个交点．11．(2012湖南)已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(,x R ∈0ω>，0)2πϕ<<的部分图像如图所示．(Ⅰ)求函数()f x 的解析式；(Ⅱ)求函数()(()1212g x f x f x ππ=--+的单调递增区间．【解析】(Ⅰ)由题设图像知，周期11522(),21212T Tππππω=-=∴==．因为点5(,0)12π在函数图像上，所以55sin(2)0,sin()0126A ππϕϕ⨯+=+=即．又55450,,=26636πππππϕϕϕπ<<∴<+<+ 从而，即=6πϕ．又点0,1（）在函数图像上，所以sin1,26A A π==，故函数()f x 的解析式为()2sin(26f x x π=+(Ⅱ)()2sin[2()2sin[2()]126126g x x x ππππ=-+-++2sin 22sin(23x x π=-+132sin 22(sin 2cos 2)22x x x =-+sin 232x x =-2sin(23x π=-由222,232k x k πππππ-≤-≤+得5,.1212k x k k z ππππ-≤≤+∈()g x ∴的单调递增区间是5,,.1212k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦考点41三角函数图像变换1．(2020天津8)已知函数()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．给出下列结论：①()f x 的最小正周期为2π；②2f π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的最大值；③把函数sin y x =的图象上所有点向左平移3π个单位长度，可得到函数()y f x =的图象．其中所有正确结论的序号是A ．①B ．①③C ．②③D ．①②③【答案】B【思路导引】对所给选项结合正弦型函数的性质逐一判断即可．【解析】因为()sin()3f x x π=+，所以周期22T ππω==，故①正确；51()sin()sin 122362f ππππ=+==≠，故②不正确；将函数sin y x =的图象上所有点向左平移3π个单位长度，得到sin(3y x π=+的图象，故③正确．故选B ．2．(2017课标卷1，理9)已知曲线1:cos C y x =，22π:sin 23C y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下面结论正确的是()A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2C B ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2C C ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2C D ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2C 【答案】D【解析】1:cos C y x =，22π:sin 23⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C y x ，首先曲线1C 、2C 统一为一三角函数名，可将1:cos C y x =用诱导公式处理，πππcos cos sin 222⎛⎫⎛⎫==+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x x ．横坐标变换需将1=ω变成2=ω，即112πππsin sin 2sin 2224⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+−−−−−−−−−→=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C 上各坐短它原y x y x x 点横标缩来2ππsin 2sin 233⎛⎫⎛⎫−−→=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x ，注意ω的系数，在右平移需将2=ω提到括号外面，这时π4+x 平移至π3+x ，根据“左加右减”原则，“π4+x ”到“π3+x ”需加上π12，即再向左平移π12．3．(2016•新课标Ⅰ，文6)将函数2sin(26y x π=+的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为()A ．2sin(2)4y x π=+B ．2sin(2)3y x π=+C ．2sin(2)4y x π=-D ．2sin(23y x π=-【答案】D【解析】函数2sin(26y x π=+的周期为22T ππ==，由题意即为函数2sin(2)6y x π=+的图象向右平移4π个单位，可得图象对应的函数为2sin[2()]46y x ππ=-+，即有2sin(2)3y x π=-，故选D ．4．(2016北京)将函数sin(23y x π=-图像上的点(,)4P t π向左平移s (0s >)个单位长度得到点P '．若P '位于函数sin 2y x =的图像上，则A ．12t =，s 的最小值为6πB ．32t =，s 的最小值为6πC ．12t =，s 的最小值为3πD ．32t =，s 的最小值为3π【答案】A 【解析】因为点(,)4P t π在函数sin(23y x π=-的图象上，所以sin(2)43t ππ=⨯-=1sin 62π=，又1(,42P s π'-在函数sin 2y x =的图象上，所以1sin 2()24s π=-，则2()246s k πππ-=+或52()246s k πππ-=+，k Z ∈，得6s k ππ=-+或6s k ππ=--，k Z ∈．又0s >，故s 的最小值为6π，故选A ．5．(2019天津理7)已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕπ=+>><是奇函数，将()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图像对应的函数为()g x ．若()g x 的最小正周期为2π，且π4g ⎛⎫=⎪⎝⎭，则3π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．2-B ．CD ．2【答案】C【解析】因为()f x 是奇函数，所以0ϕ=，()sin f x A x ω=．将()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图像对应的函数为()g x ，即()1sin 2g x A x ω⎛⎫=⎪⎝⎭，因为()g x 的最小正周期为2π，所以2212ωπ=π，得2ω=，所以()sin g x A x =，()sin 2f x A x =．若24g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，即2sin 2442g A A ππ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，即2A =，所以()2sin 2f x x =，3322sin 22sin 228842f ππ3π⎛⎫⎛⎫=⨯==⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．6．(2015山东)要得到函数4sin(4)3y x π=-的图像，只需要将函数sin 4y x =的图像A ．向左平移12π个单位B ．向右平移12π个单位C ．向左平移3π个单位D ．向右平移3π个单位【答案】B【解析】sin 4(12y x π=-，只需将函数sin 4y x =的图像向右平移12π个单位，故选B ．7．(2014浙江)为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图象，可以将函数2y x =的图像A ．向右平移12π个单位B ．向右平移4π个单位C ．向左平移12π个单位D ．向左平移4π个单位【答案】A 【解析】因为sin 3cos32)2)412y x x x x ππ=+=-=-，所以将函数2y x =的图象向右平移12π个单位后，可得到24y x π=-的图象，故选A ．8．(2013福建)将函数)22)(2sin()(πθπθ<<-+=x x f 的图象向右平移)0(>ϕϕ个单位长度后得到函数)(x g 的图象，若)(),(x g x f 的图象都经过点23,0(P ，则ϕ的值可以是A ．35πB ．65πC ．2πD ．6π【答案】B【解析】把23,0(P 代入22)(2sin()(πθπθ<<-+=x x f ，解得3πθ=，所以)232sin()(ϕπ-+=x x g ，把)23,0(P 代入得，πϕk =或6ππϕ-=k ，故选B 9．(2012安徽)要得到函数)12cos(+=x y 的图象，只要将函数x y 2cos =的图象A ．向左平移1个单位B ．向右平移1个单位C ．向左平移12个单位D ．向右平移12个单位【答案】C【解析】cos 2y x =向左平移12→1cos 2(cos(21)2y x x =+=+，故选C ．10．(2012浙江)把函数cos 21y x =+的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是【答案】A【解析】cos 21cos 1cos(1)1cos(1)y x y x y x y x =+⇒=+⇒=++⇒=+，故选A ．11．(2012天津)将函数()sin f x x ω=(其中ω>0)的图像向右平移4π个单位长度，所得图像经过点3(,0)4π，则ω的最小值是A ．13B ．1C ．53D ．2【答案】D 【解析】函数向右平移4π得到函数4sin(4(sin 4()(ωπωπωπ-=-=-=x x x f x g ，因为此时函数过点)0,43(π，所以0443(sin =-ππω，即,2)443(πωπππωk ==-所以Z k k ∈=,2ω，所以ω的最小值为2，选D ．12．(2020江苏10)将函数3sin(24y x π=+的图象向右平移6π个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是．【答案】524x π=-【解析】∵()3sin(24f x x π=+，将函数()3sin(2)4f x x π=+的图象向右平移6π个单位长度得()()3sin(2)3sin(263412g x f x x x ππππ=-=-+=-，则()y g x =的对称轴为2122x k πππ-=+，k Z ∈，即7242k x ππ=+，k Z ∈，0k =时，724x π=，1k =-时，524x π=-，∴平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是524x π=-．13．(2016新课标卷3，理14)函数sin y x x =的图像可由函数sin y x x =+的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．【答案】32π【解析】因为sin 2sin(3y x x x π=+=+，sin 2sin()3y x x x π=-=-＝2sin[(]33x π2π+-，所以函数sin y x x =-的图像可由函数sin y x x =+的图像至少向右平移32π个单位长度得到．14．(2016全国新课标卷3，文14)函数sin y x x =-的图像可由函数2sin y x =的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．【答案】3π【解析】因为sin 2sin()3y x x x π=-=-，所以函数sin y x x =-的的图像可由函数2sin y x =的图像至少向右平移3π个单位长度得到．15．(2013新课标Ⅱ，文16)函数cos(2)()y x ϕπϕπ=+-≤≤的图象向右单位后，与函数的图象重合，则ϕ=_________．【解析】因为cos(2)y x ϕ=+=cos(2)x ϕ--=16．(2014重庆)将函数()()⎪⎭⎫ ⎝⎛<≤->+=220sin πϕπωϕω，x x f 图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移6π个单位长度得到x y sin =的图像，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛6πf ______．【答案】22【解析】把函数sin y x =图象向左平移6π个单位长度得到sin()y x ωϕ=+的图象，再把函数sin()6y x π=+图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数1()sin(26f x x π=+的图象，所以=⎪⎭⎫ ⎝⎛6πf 1sin()sin 26642πππ⨯+==．。

2017高考十年高考数学(理科)分项版专题04 三角函数与三角形(北京专版)(解析版) 含解析

1. 【2005高考北京理第5题】对任意的锐角βα,，下列不等关系中正确的是（）A ．βαβαsin sin )sin(+>+B ．βαβαcos cos )sin(+>+C ．βαβαsin sin )cos(+<+D ．βαβαcos cos )cos(+<+【答案】D 【解析】试题分析：当30oαβ==时可排除A 、B 选项，当15oαβ==时代入C 选项中，即:0cos302sin15oo <<两边平方234sin 154o<1cos304230.2682o -=⨯=≈矛盾.故选D考点：特殊值法.2. 【2005高考北京理第8题】函数xxx f cos 2cos 1)(-=（）A ．在]2,23(),23,[,],2(),2,0[πππππππ在上递增上递减 B ．在]2,23(),,2[,]23,(),2,0[πππππππ在上递增上递减C ．在]23,(),2,0[,]2,23(],,2(πππππππ在上递增上递减D ．在]2,2(),2,0[,],23(),23,0[ππππππ在上递增上递减【答案】A考点:二倍角公式；余弦函数的单调区间。

3。

【2007高考北京理第1题】已知cos tan 0θθ<，那么角θ是（）Ａ．第一或第二象限角Ｂ．第二或第三象限角Ｃ．第三或第四象限角Ｄ．第一或第四象限角4。

【2009高考北京理第5题】“2()6k k Z παπ=+∈”是“1cos 22α=”的 ( ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A考点:三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断。

5. 【2013高考北京理第3题】“φ＝π”是“曲线y ＝sin （2x ＋φ）过坐标原点”的（ )． A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】试题分析：∵φ＝π，∴y ＝sin （2x ＋π)＝－sin 2x ， ∴曲线过坐标原点，故充分性成立; ∵y ＝sin （2x ＋φ)过原点， ∴sin φ＝0，∴φ＝k π，k ∈Z 。

十年高考真题汇编(答案)——三角函数和解三角形

于是 tan 2α = 2 tanα = − 3 ． 1− tan2 α 4
11．D【解析】由θ
∈
π 4
，π 2

可得
2θ
∈[π 2
,π ] ， cos 2θ
=
−
1 − sin 2 2θ
= −1 ， 8
sinθ = 1 − cos 2θ = 3 ，答案应选 D．
2
4
另解：由θ
∈
π 4
＝ 2 10
10 1 sin 2π
10
= 10
= cos π10 3 ，选 C．
25
10
6．C【解析】 tan α > 0 知α 的终边在第一象限或第三象限，此时 sin α 与 cosα 同号，
= 故 sin 2α 2sinα cosα > 0 ，选 C．
sin α
7．B【解析】由条件得
= 1+ sin β
+
π 5
∈

π 5
,
(ω
+ 2)π 10

，
若
f
(x)
在

0,
π 10
单调递增，
则
(ω
+
2)π
<
π
，即 ω
<
3
12
，因为

ω
<
29
，故③正确．
10 2
5
10
故选 D．
3.解析因为 f ( x) 是奇函数，所以ϕ = 0 ， f ( x) = Asin ωx .
将 y = f ( x) 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），所得图像对应的

全国卷历年高考三角函数真题归类分析(含答案)

全国卷历年高考三角函数真题归类分析
(含答案)
介绍
这份文档旨在对全国卷历年高考三角函数真题进行归类分析，
并提供相应的答案。

通过分析历年真题，可以帮助考生了解三角函
数的重要考点和解题技巧，为高考复提供指导。

归类分析
以下是对历年高考三角函数真题的归类分析：
三角函数的基本概念
- 考查正弦函数、余弦函数、正切函数等的定义和性质。

- 考查角度与弧度的转换。

- 考查三角函数的图像和性质。

三角函数的性质和公式
- 考查三角函数的周期性和对称性。

- 考查三角函数之间的关系和性质，如和差化积、倍角公式等。

三角函数的应用
- 考查三角函数在几何中的应用，如求直角三角形的边长和角度、解三角形等。

- 考查三角函数在物理和工程问题中的应用，如力的分解、振动问题等。

答案
以下是对每个归类的真题的答案：
三角函数的基本概念
三角函数的性质和公式
三角函数的应用
结论
通过分析历年高考三角函数真题并掌握相关的解题技巧，考生可以在高考中更好地应对三角函数相关的考题。

这份文档提供了归类分析和相应答案，希望能够对考生的复习有所帮助。

数学一轮复习第4章三角函数解三角形第1讲三角函数的基本概念同角三角函数的基本关系与诱导公式试题1理

第四章三角函数、解三角形第一讲三角函数的基本概念、同角三角函数的基本关系与诱导公式练好题·考点自测1.已知下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关;③若sin α=sin β，则α与β的终边相同；④若cos θ<0,则θ是第二或第三象限的角.其中正确的个数是（）A.1B.2 C。

3 D。

42。

sin 2·cos 3·tan 4的值（）A。

小于0 B。

大于0C。

等于0 D.不存在3.已知点P(cos 300°,sin 300°)是角α终边上一点,则sin α—cos α= （）A.√32+12B。

-√32+12C。

√32−12D。

-√32−124.[2019全国卷Ⅰ,7，5分]tan 255°= （）A.-2—√3B。

—2+√3C。

2—√3 D.2+√35.[2020全国卷Ⅱ，2,5分］［理]若α为第四象限角,则（ ) A 。

cos 2α>0 B 。

cos 2α〈0 C 。

sin 2α>0 D.sin 2α<06。

已知sin α+cos α=12，α∈(0,π),则1-tanα1+tanα= ( )A.—√7B.√7C.√3 D 。

-√3图4-1—17。

[2019北京,8,5分］如图4—1-1，A ，B 是半径为2的圆周上的定点,P 为圆周上的动点，∠APB 是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为（） A 。

4β+4cos β B.4β+4sin β C.2β+2cos β D.2β+2sin β8.[2018全国卷Ⅰ，11，5分］已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合,终边上有两点A （1，a ）,B （2,b )，且cos 2α=23，则｜a -b ｜=（）A.15B .√55C 。

2√55D.1拓展变式1.在一块顶角为120°、腰长为2的等腰三角形厚钢板废料OAB 中用电焊切割成扇形，现有如图4-1—3所示两种方案,既要充分利用废料,又要切割时间更短，则方案更优.2.（1）［2021洛阳市联考］已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴非负半轴重合，终边与直线y=3x重合,且sin α<0，P（m，n）是角α终边上一点，且｜OP｜=√10(O为坐标原点）,则m-n 等于（）A.2B.-2C.4 D。

十年高考理科数学真题专题四三角函数与解三角形十二解三角形及答案

专题四三角函数与解三角形第十二讲解三角形2019年1.(2019全国Ⅰ理17)ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-．（1）求A ；（2）若22a b c +=，求sin C ．2.（2019全国Ⅱ理15）ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b ac B ===，则ABC △的面积为__________.3.（2019全国Ⅲ理18）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知sin sin 2A Ca b A +=．（1）求B ；（2）若△ABC 为锐角三角形，且c =1，求△ABC 面积的取值范围．4.（2019江苏12）如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，则ABAC的值是 .5.（2019江苏15）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若a =3c ，b 2，cos B =23，求c 的值；（2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2B π+的值． 6.（2019浙江14）在ABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=︒，则BD =____，cos ABD ∠=________.7.（2019北京15）在ABC △中，a =3，b -c =2 ，1cos 2B =- ．（Ⅰ）求b ,c 的值；（Ⅱ）求sin(B -C ) 的值.8.（2019天津理15）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =.（Ⅰ）求cos B 的值；（Ⅱ）求sin 26B π⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 2010-2018年一、选择题1．(2018全国卷Ⅱ)在△ABC 中，cos2=C 1=BC ，5=AC ，则=ABA ．BCD ．2．(2018全国卷Ⅲ)ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若ABC ∆的面积为2224a b c +-，则C =A ．2πB ．3π C ．4π D ．6π 3．（2017山东）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC ∆为锐角三角形，且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是 A ．2a b = B ．2b a = C ．2A B = D ．2B A = 4．（2016年天津）在ABC ∆中，若AB BC =3，120C ∠=o ，则AC =A ．1B ．2C ．3D ．45．（2016年全国III ）在ABC △中，π4B =，BC 边上的高等于13BC ,则cos A =A B C ．- D ．-6．(2014新课标Ⅱ)钝角三角形ABC 的面积是12，1AB =，BC =AC =A ．5 BC ．2D ．17．(2014重庆)已知ABC ∆的内角A ，B ，C 满足sin 2sin()A A B C +-+=sin()C A B --12+，面积S 满足12S ≤≤，记a ，b ，c 分别为A ，B ，C 所对的边，则下列不等式一定成立的是A ．8)(>+c b bc B．()ab a b +> C ．126≤≤abc D ．1224abc ≤≤ 8．（2014江西）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，若22()6c a b =-+，3C π=，则ABC ∆的面积是A ．3B ．239 C ．233 D ．33 9．（2014四川）如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75o，30o，此时气球的高是60cm ，则河流的宽度BC 等于A．1)m B．1)mC ．1)mD ．1)m 10．（2013新课标Ⅰ）已知锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，223cos A +cos20A =，7a =，6c =，则b =A ．10B ．9C ．8D ．511．（2013辽宁）在ABC ∆，内角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ．若sin cos a B C +1sin cos 2c B A b =，且a b >，则B ∠=A ．6πB ．3πC ．23π D．56π12．（2013天津）在△ABC 中，,3,4AB BC ABC π∠===则sin BAC ∠=A B C D 13．（2013陕西）设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若cos cos sin b C c B a A +=,则△ABC 的形状为 A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定14．（2012广东）在ABC ∆中，若60,45,A B BC ︒︒∠=∠==AC =A ．B ．CD 15．（2011辽宁）△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2sin cos cos a A B b A +=，则=abA ．B ．C D16．（2011天津）如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且,2AB AD AB ==，2BC BD =，则sin C 的值为CA ．3 B ．6 C ．3 D ．616．（2010湖南）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ．若120C ∠=o，c =，则A ．a b >B ．a b <C ．a b =D ．a 与b 的大小关系不能确定二、填空题18．(2018江苏)在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为．19．(2018浙江)在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a =2b =，60A =o ，则sin B =___________，c =___________．20．（2017浙江）已知ABC ∆,4AB AC ==,2BC =．点D 为AB 延长线上一点,2BD =,连结CD ,则BDC ∆的面积是___________，cos BDC ∠=__________．21．（2017浙江）我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度。

江苏十年高考试题汇编三角函数与解三角形

第二部分三角函数与解三角形一．填空题（共20小题）1．（2013?江苏）函数y=3sin（2x+）的最小正周期为．2．（2013?新课标Ⅰ）设当x=θ时，函数f（x）=sinx﹣2cosx取得最大值，则cosθ＝．3．（2011?江苏）函数f（x）=Asin（ωｘ+φ），（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f（0）=．4．（2016?江苏）定义在区间[0，3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是．5．（2010?江苏）定义在区间上的函数y=6cosx的图象与y=5tanx的图象的交点为P，过点P作PP1⊥x轴于点P1，直线PP1与y=sinx的图象交于点P2，则线段P1P2的长为．6．（2016?新课标Ⅲ）函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=sinx+cosx的图象至少向右平移个单位长度得到．7．（2008?北京）若角α的终边经过点P（1，﹣2），则tan2α的值为．8．（2012?江苏）设α为锐角，若cos（α+）=，则sin（2α+）的值为．﹣2，tan（α+β）=，则tanβ的值为．9．（2015?江苏）已知tanα＝10．（2017?江苏）若tan（α﹣）=．则tanα＝．11．（2013?上海）若cosxcosy+sinxsiny=，sin2x+sin2y=，则sin（x+y）=．12．（2016?江苏）在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是．13．（2014?江苏）若△ABC的内角满足sinA+sinB=2sinC，则cosC的最小值是．14．（2014?新课标Ⅰ）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为．15．（2014?天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b﹣c=a，2sinB=3sinC，则cosA的值为．16．（2011?新课标）在△ABC中，B=60°，AC=，则AB+2BC的最大值为．17．（2010?江苏）在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若+=6cosC，则+的值是．18．（2009?湖南）在锐角△ABC中，BC=1，B=2A，则的值等于，AC的取值范围为．19．（2008?江苏）满足条件AB=2，AC=BC的三角形ABC的面积的最大值是．20．（2017?新课标Ⅱ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosB=acosC+ccosA，则B=．二．解答题（共10小题）21．（2017?江苏）已知向量=（cosx，sinx），=（3，﹣），x∈[0，π]．（1）若，求x的值；（2）记f（x）=，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．22．（2012?江苏）在△ABC中，已知．（1）求证：tanB=3tanA；（2）若cosC=，求A的值．23．（2015?湖南）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角．（1）证明：B﹣A=；（2）求sinA+sinC的取值范围．24．（2015?江苏）在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°．（1）求BC的长；（2）求sin2C的值．25．（2016?江苏）在△ABC中，AC=6，cosB=，C=．（1）求AB的长；（2）求cos（A﹣）的值．26．（2014?江苏）已知α∈（，π），sinα＝．（1）求sin（+α）的值；（2）求cos（﹣2α）的值．27．（2016?四川）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+=．（1）证明：sinAsinB=sinC；（2）若b2+c2﹣a2=bc，求tanB．28．（2016?新课标Ⅰ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．（1）求C；（2）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．29．（2015?山东）设f（x）=sinxcosx﹣cos2（x+）．（1）求f（x）的单调区间；（2）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）=0，a=1，求△ABC面积的最大值．第二讲三角函数与解三角形参考答案与试题解析一．填空题（共20小题）1．（2013?江苏）函数y=3sin（2x+）的最小正周期为π．【解答】解：∵函数表达式为y=3sin（2x+），∴ω=2，可得最小正周期T=||=||=π故答案为：π2．（2013?新课标Ⅰ）设当x=θ时，函数f（x）=sinx﹣2cosx取得最大值，则cosθ＝﹣．【解答】解：f（x）=sinx﹣2cosx=（sinx﹣cosx）=sin（x﹣α）（其中cosα＝，sinα＝），∵x=θ时，函数f（x）取得最大值，∴sin（θ﹣α）=1，即sinθ﹣2cosθ＝，又sin2θ+cos2θ=1，联立得（2cosθ+）2+cos2θ=1，解得cosθ＝﹣．故答案为：﹣3．（2011?江苏）函数f（x）=Asin（ωｘ+φ），（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f（0）=．【解答】解：由的图象可得函数的周期T满足=解得T=π＝又∵ω＞0，故ω=2又∵函数图象的最低点为（，﹣）故A=且sin（2×+φ）=﹣即+φ＝故φ＝∴f（x）=sin（2x+）∴f（0）=sin=故答案为：4．（2016?江苏）定义在区间[0，3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是7．【解答】解：法1：画出函数y=sin2x与y=cosx在区间[0，3π]上的图象如下：由图可知，共7个交点．法2：依题意，sin2x=cosx，即cosx（2sinx﹣1）=0，故cosx=0或sinx=，因为x∈[0，3π]，故x=，，，，，，，共7个，故答案为：7．5．（2010?江苏）定义在区间上的函数y=6cosx的图象与y=5tanx的图象的交点为P，过点P作PP1⊥x轴于点P1，直线PP1与y=sinx的图象交于点P2，则线段P1P2的长为．【解答】解：线段P1P2的长即为sinx的值，且其中的x满足6cosx=5tanx，即6cosx=，化为6sin2x+5sinx﹣6=0，解得sinx=．线段P1P2的长为故答案为．6．（2016?新课标Ⅲ）函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=sinx+cosx的图象至少向右平移个单位长度得到．【解答】解：∵y=f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），y=sinx﹣cosx=2sin（x﹣），∴f（x﹣φ）=2sin（x+﹣φ）（φ＞0），令2sin（x+﹣φ）=2sin（x﹣），则﹣φ=2kπ﹣（k∈Z），即φ＝﹣2kπ（k∈Z），当k=0时，正数φmin=，故答案为：．7．（2008?北京）若角α的终边经过点P（1，﹣2），则tan2α的值为．【解答】解：∵角α的终边经过点P（1，﹣2），∴故答案为：．8．（2012?江苏）设α为锐角，若cos（α+）=，则sin（2α+）的值为．【解答】解：设β=α+，，cos2β=2cos2β﹣1=，∴sinβ＝，sin2β=2sinβcosβ＝∴sin（2α+）=sin（2α+﹣）=sin（2β﹣）=sin2βcos﹣cos2βsin=．故答案为：．﹣2，tan（α+β）=，则tanβ的值为3．9．（2015?江苏）已知tanα＝【解答】解：tanα＝﹣2，tan（α+β）=，可知tan（α+β）==，即=，解得tanβ=3．故答案为：3．10．（2017?江苏）若tan（α﹣）=．则tanα＝．【解答】解：∵tan（α﹣）===∴6tanα﹣6=tanα+1，解得tanα＝，故答案为：．11．（2013?上海）若cosxcosy+sinxsiny=，sin2x+sin2y=，则sin（x+y）=．【解答】解：∵cosxcosy+sinxsiny=，∴cos（x﹣y）=．∵sin2x+sin2y=，∴sin[（x+y）+（x﹣y）]+sin[（x+y）﹣（x﹣y）]=，∴2sin（x+y）cos（x﹣y）=，∴，∴sin（x+y）=．故答案为．12．（2016?江苏）在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是8．【解答】解：由sinA=sin（π﹣A）=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，sinA=2sinBsinC，可得sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，①由三角形ABC为锐角三角形，则cosB＞0，cosC＞0，在①式两侧同时除以cosBcosC可得tanB+tanC=2tanBtanC，又tanA=﹣tan（π﹣A）=﹣tan（B+C）=﹣②，则tanAtanBtanC=﹣?tanBtanC，由tanB+tanC=2tanBtanC可得tanAtanBtanC=﹣，令tanBtanC=t，由A，B，C为锐角可得tanA＞0，tanB＞0，tanC＞0，由②式得1﹣tanBtanC＜0，解得t＞1，tanAtanBtanC=﹣=﹣，=（）2﹣，由t＞1得，﹣≤＜0，因此tanAtanBtanC的最小值为8，另解：由已知条件sinA=2sinBsinc，sin（B十C）=2sinBsinC，sinBcosC十cosBsinC=2sinBcosC，两边同除以cosBcosC，tanB十tanC=2tanBtanC，∵﹣tanA=tan（B十C）=，∴tanAtanBtanC=tanA十tanB十tanC，∴tanAtanBtanC=tanA十2tanBtanC≥2，令tanAtanBtanC=x＞0，即x≥2，即x≥8，或x≤0（舍去），所以x的最小值为8．当且仅当t=2时取到等号，此时tanB+tanC=4，tanBtanC=2，解得tanB=2+，tanC=2﹣，tanA=4，（或tanB，tanC互换），此时A，B，C均为锐角．13．（2014?江苏）若△ABC的内角满足sinA+sinB=2sinC，则cosC的最小值是．【解答】解：由正弦定理得a+b=2c，得c=（a+b），由余弦定理得cosC====≥=，当且仅当时，取等号，故≤cosC＜1，故cosC的最小值是．故答案为：．14．（2014?新课标Ⅰ）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为．【解答】解：因为：（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC?（2+b）（a﹣b）=（c﹣b）c?2a﹣b2=c2﹣bc，又因为：a=2，所以：，△ABC面积，而b2+c2﹣a2=bc?b2+c2﹣bc=a2?b2+c2﹣bc=4?bc≤4所以：，即△ABC面积的最大值为．故答案为：．15．（2014?天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b﹣c=a，2sinB=3sinC，则cosA的值为﹣．【解答】解：在△ABC中，∵b﹣c= a ①，2sinB=3sinC，∴2b=3c ②，∴由①②可得a=2c，b=．再由余弦定理可得cosA===﹣，故答案为：﹣．16．（2011?新课标）在△ABC中，B=60°，AC=，则AB+2BC的最大值为2．【解答】解：设AB=c AC=b BC=a由余弦定理cosB=所以a2+c2﹣ac=b2=3设c+2a=m代入上式得7a2﹣5am+m2﹣3=0△=84﹣3m2≥0 故m≤2当m=2时，此时a=，c=符合题意因此最大值为2另解：因为B=60°，A+B+C=180°，所以A+C=120°，由正弦定理，有====2，所以AB=2sinC，BC=2sinA．所以AB+2BC=2sinC+4sinA=2sin（120°﹣A）+4sinAcosA﹣cos120°s inA）+4sinA=2（sin120°=cosA+5sinA=2sin（A+φ），（其中sinφ＝，cosφ＝）所以AB+2BC的最大值为2．故答案为：217．（2010?江苏）在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若+=6cosC，则+的值是4．【解答】解：∵+=6cosC，由余弦定理可得，∴则+=======故答案为：418．（2009?湖南）在锐角△ABC中，BC=1，B=2A，则的值等于2，AC的取值范围为（）．【解答】解：（1）根据正弦定理得：=，因为B=2A，化简得=即=2；（2）因为△ABC是锐角三角形，C为锐角，所以，由B=2A得到A+2A＞且2A=，从而解得：，于是，由（1）的结论得2cosA=AC，故．故答案为：2，（，）19．（2008?江苏）满足条件AB=2，AC=BC的三角形ABC的面积的最大值是2．【解答】解：设BC=x，则AC=x，根据面积公式得S△ABC=AB?BCsinB=×2x，根据余弦定理得cosB===，代入上式得S△ABC=x=，由三角形三边关系有，解得2﹣2＜x＜2+2．故当x=2时，S△ABC取得最大值2．20．（2017?新课标Ⅱ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosB=acosC+ccosA，则B=．【解答】解：∵2bcosB=acosC+ccosA，由正弦定理可得，2cosBsinB=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB，∵sinB≠0，∴cosB=，∵0＜B＜π，∴B=，故答案为：二．解答题（共10小题）21．（2017?江苏）已知向量=（cosx，sinx），=（3，﹣），x∈[0，π]．（1）若，求x的值；（2）记f（x）=，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．【解答】解：（1）∵=（cosx，sinx），=（3，﹣），∥，∴﹣cosx=3sinx，∴tanx=﹣，∵x∈[0，π]，∴x=，（2）f（x）==3cosx﹣sinx=2（cosx﹣sinx）=2cos（x+），∵x∈[0，π]，∴x+∈[，]，∴﹣1≤cos（x+）≤，当x=0时，f（x）有最大值，最大值3，当x=时，f（x）有最小值，最小值﹣2．22．（2012?江苏）在△ABC中，已知．（1）求证：tanB=3tanA；（2）若cosC=，求A的值．【解答】解：（1）∵?=3?，∴cbcosA=3cacosB，即bcosA=3acosB，由正弦定理=得：sinBcosA=3sinAcosB，又0＜A+B＜π，∴cosA＞0，cosB＞0，在等式两边同时除以cosAcosB，可得tanB=3tanA；（2）∵cosC=，0＜C＜π，sinC==，∴tanC=2，则tan[π﹣（A+B）]=2，即tan（A+B）=﹣2，∴=﹣2，将tanB=3tanA代入得：=﹣2，整理得：3tan2A﹣2tanA﹣1=0，即（tanA﹣1）（3tanA+1）=0，解得：tanA=1或tanA=﹣，又cosA＞0，∴tanA=1，又A为三角形的内角，则A=．23．（2015?湖南）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角．（Ⅰ）证明：B﹣A=；（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由a=btanA和正弦定理可得==，∴sinB=cosA，即sinB=sin（+A）又B为钝角，∴+A∈（，π），∴B=+A，∴B﹣A=；（Ⅱ）由（Ⅰ）知C=π﹣（A+B）=π﹣（A++A）=﹣2A＞0，∴A∈（0，），∴sinA+sinC=sinA+sin（﹣2A）=sinA+cos2A=sinA+1﹣2sin2A=﹣2（sinA﹣）2+，∵A∈（0，），∴0＜sinA＜，∴由二次函数可知＜﹣2（sinA﹣）2+≤∴sinA+sinC的取值范围为（，]24．（2015?江苏）在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°．（1）求BC的长；（2）求sin2C的值．【解答】解：（1）由余弦定理可得：BC2=AB2+AC2﹣2AB?ACcosA=4+9﹣2×2×3×=7，所以BC=．（2）由正弦定理可得：，则sinC===，∵AB＜BC，BC=，AB=2，角A=60°，在三角形ABC中，大角对大边，大边对大角，＞2，∴角C＜角A，角C为锐角．sinC＞0，cosC＞0则cosC===．因此sin2C=2sinCcosC=2×=．25．（2016?江苏）在△ABC中，AC=6，cosB=，C=．（1）求AB的长；（2）求cos（A﹣）的值．【解答】解：（1）∵△ABC中，cosB=，∴sinB=，∵，∴AB==5；（2）cosA=﹣cos（C+B）=sinBsinC﹣cosBcosC=﹣．∵A为三角形的内角，∴sinA=，∴cos（A﹣）=cosA+sinA=．26．（2014?江苏）已知α∈（，π），sinα＝．（1）求sin（+α）的值；（2）求cos（﹣2α）的值．【解答】解：α∈（，π），sinα＝．∴cosα＝﹣=（1）sin（+α）=sin cosα+cos sinα＝=﹣；∴sin（+α）的值为：﹣．（2）∵α∈（，π），sinα＝．∴cos2α=1﹣2sin2α＝，sin2α=2sinαcosα＝﹣∴cos（﹣2α）=cos cos2α+sin sin2α＝=﹣．cos（﹣2α）的值为：﹣．27．（2016?四川）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+=．（Ⅰ）证明：sinAsinB=sinC；（Ⅱ）若b2+c2﹣a2=bc，求tanB．【解答】（Ⅰ）证明：在△ABC中，∵+=，∴由正弦定理得：，∴=，∵sin（A+B）=sinC．∴整理可得：sinAsinB=sinC，（Ⅱ）解：b2+c2﹣a2=bc，由余弦定理可得cosA=．sinA=，=+==1，=，tanB=4．28．（2016?新课标Ⅰ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，0＜C＜π，∴sinC≠0已知等式利用正弦定理化简得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，整理得：2cosCsin（A+B）=sinC，即2cosCsin（π﹣（A+B））=sinC2cosCsinC=sinC∴cosC=，∴C=；（Ⅱ）由余弦定理得7=a2+b2﹣2ab?，∴（a+b）2﹣3ab=7，∵S=absinC=ab=，∴ab=6，∴（a+b）2﹣18=7，∴a+b=5，∴△ABC的周长为5+．29．（2015?山东）设f（x）=sinxcosx﹣cos2（x+）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）=0，a=1，求△ABC面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，f（x）=sin2x﹣=sin2x﹣=sin2x﹣由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得：k≤x≤k，k∈Z；由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得：k≤x≤k，k∈Z；所以f（x）的单调递增区间是[k，k]，（k∈Z）；单调递减区间是：[k，k]，（k∈Z）；（Ⅱ）由f（）=sinA﹣=0，可得sinA=，由题意知A为锐角，所以cosA=，由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：1+bc=b2+c2≥2bc，即bc，且当b=c时等号成立．因此S=bcsinA≤，所以△ABC面积的最大值为．30．（2013?江苏）如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min．在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C．假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA=，cosC=（1）求索道AB的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？【解答】解：（1）在△ABC中，因为cosA=，cosC=，所以sinA=，sinC=，从而sinB=sin[π﹣（A+C）]=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC==由正弦定理，得AB===1040m．所以索道AB的长为1040m．（2）假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了（100+50t）m，乙距离A处130t m，所以由余弦定理得d2=（100+50t）2+（130t）2﹣2×130t×（100+50t）×=200（37t2﹣70t+50）=200[37（t﹣）2+]，因0≤t≤，即0≤t≤8，故当t=min时，甲、乙两游客距离最短．（3）由正弦定理，得BC===500m，乙从B出发时，甲已经走了50×（2+8+1）=550m，还需走710m才能到达C．设乙步行的速度为v m/min，由题意得﹣3≤≤3，解得，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在[]范围内．。

2010-2019历年高考数学《三角函数》真题汇总(含答案)

2010-2019历年高考数学《三角函数》真题汇总（含答案）专题四三角函数与解三角形第九讲三角函数的概念、诱导公式与三角恒等变换2019年1.（2019北京文8）如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，APB ∠ 是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为（A ）4β+4cos β （B ）4β+4sin β （C ）2β+2cos β （D ）2β+2sin β2.（全国Ⅱ文11）已知a ∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sinα= A ．15B 5C 3D 253.（2019江苏13）已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是 .2010-2018年一、选择题1．(2018全国卷Ⅰ)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点(1,)A a ，(2,)B b ，且2cos 23α=，则a b -= A ．15B 5C 25D ．12．(2018全国卷Ⅲ)若1sin 3α=，则cos2α= A ．89B ．79C ．79-D ．89-3．(2018北京)在平面坐标系中，AB ，CD ，EF ，GH 是圆221x y +=上的四段弧（如图），点P 在其中一段上，角α以Ox 为始边，OP 为终边，若tan cos sin ααα<<，则P 所在的圆弧是A ．AB B ．CDC ．EFD ．GH4．（2017新课标Ⅲ）已知4sin cos 3αα-=，则sin 2α= A ．79- B ．29- C ．29 D ．795．（2017山东）已知3cos 4x =，则cos2x =A ．14-B ．14C ．18-D ．186．（2016年全国III 卷）若1tan 3θ=-，则cos2θ=A ．45-B ．15-C ．15D ．457．（2015重庆）若1tan 3α=，1tan()2αβ+=，则tan β= A ．17 B ．16 C ．57 D ．568．（2015福建）若5sin 13α=-，且α为第四象限角，则tan α的值等于A ．125B ．125-C ．512D ．512-9．（2014新课标1）若0tan >α，则A ．0sin >αB ．0cos >αC ．02sin >αD ．02cos >α 10．（2014新课标1）设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=，则 A ．32παβ-=B ．22παβ-=C ．32παβ+=D ．22παβ+=11．（2014江西）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对应的边分别为,,,c b a 若32a b =，则2222sin sin sin B AA-的值为A ．19- B ．13 C ．1 D ．7212．(2013新课标2)已知2sin 23α=，则2cos ()4πα+=A ．16B ．13C ．12D ．2313．（2013浙江）已知210cos 2sin ,=+∈αααR ，则=α2tan A ．34 B ．43 C ．43- D ．34-14．（2012山东）若⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,4ππθ，8732sin =θ，则=θsin A ．53 B ．54 C ．47 D ．4315．(2012江西)若sin cos 1sin cos 2αααα+=-，则tan2α=A ．−34B ．34C ．−43D ．4316．（2011新课标）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos2θ=A ．45-B ．35-C ．35D ．4517．（2011浙江）若02πα＜＜，02πβ-＜＜，1cos()43πα+=，cos()423πβ-=，则 cos()2βα+=A．3 B．3- C．9 D．9- 18．（2010新课标）若4cos 5α=-，α是第三象限的角，则1tan21tan 2αα+=- A ．12-B ．12C ．2D ．-2二、填空题19．（2017新课标Ⅰ）已知(0,)2πα∈，tan 2α=，则cos()4πα- =__________．20．（2017北京）在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若sin α=13，则sin β=_________． 21．（2017江苏）若1tan()46πα-=，则tan α= ．22．（2016年全国Ⅰ卷）已知θ是第四象限角，且3sin()45πθ+=，则tan()4πθ-= . 23．（2015四川）已知sin 2cos 0αα+=，则22sin cos cos ααα-的值是________． 24．（2015江苏）已知tan 2α=-，()1tan 7αβ+=，则tan β的值为_______． 25．（2014新课标2）函数()()()sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为_______． 26．（2013新课标2）设θ为第二象限角，若1tan 42πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ，则sin cos θθ+=_____. 27．（2013四川）设sin 2sin αα=-，(,)2παπ∈，则tan2α的值是____________．28．（2012江苏）设α为锐角，若4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 212απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为．三、解答题29．（2018浙江）已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点34(,)55P --． (1)求sin()απ+的值； (2)若角β满足5sin()13αβ+=，求cos β的值．30．（2018江苏）已知,αβ为锐角，4tan 3α=，cos()5αβ+=-．(1)求cos2α的值； (2)求tan()αβ-的值． 31．（2015广东）已知tan 2α=．（Ⅰ）求tan()4πα+的值；（Ⅱ）求2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--的值．32．(2014江苏)已知),2(ππα∈，55sin =α．(1)求)4sin(απ+的值；(2)求)265cos(απ-的值． 33．（2014江西）已知函数()()()θ++=x x a x f 2cos cos 22为奇函数，且04=⎪⎭⎫⎝⎛πf ，其中()πθ，，0∈∈R a ．（1）求θ，a 的值；（2）若⎪⎭⎫ ⎝⎛∈-=⎪⎭⎫⎝⎛ππαα，，2524f ，求⎪⎭⎫ ⎝⎛+3sin πα的值．34．（2013广东）已知函数(),12f x x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭．(1) 求3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； (2) 若33cos ,,252πθθπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，求6f πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭．35．（2013北京）已知函数21()(2cos 1)sin 2cos 42f x x x x =-+（1）求()f x 的最小正周期及最大值．（2）若(,)2παπ∈，且()2f α=，求α的值． 36．（2012广东）已知函数()2cos()6f x x πω=+，（其中0ω>，x R ∈）的最小正周期为10π． (1)求ω的值； (2)设,[0,]2παβ∈，56(5)35f απ+=-，516(5)617f βπ-=，求cos()αβ+的值．2019年1.解析由题意和题图可知，当P 为优弧AB 的中点时，阴影部分的面积取最大值，如图所示，设圆心为O ，2AOB β∠=，()1222BOP AOP ββ∠=∠=π-=π-.此时阴影部分面积211222222AOP BOP AOB S S S S β=++=⨯⨯+⨯⨯⨯△△扇形()sin 44sin βββπ-=+.故选B.2.解析由2sin 2cos21αα=+，得24sin cos 2cosααα=.因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos 2sin αα=.由22cos 2sin sin cos 1αααα=⎧⎨+=⎩，得sin 5α=.故选B. 3.解析由tan 23tan()4αα=-π+，得tan 23tan tan 41tan tan 4ααα=-π+π-，所以tan (1tan )21tan 3ααα-=-+，解得tan 2α=或1tan 3α=-．当tan 2α=时，22tan 4sin21tan 5ααα==+，221tan 3cos21tan 5ααα-==-+，43sin(2)sin2cos cos2sin 444525210αααπππ+=+=⨯-⨯=.当1tan 3α=-时，22tan 3sin21tan 5ααα==-+，221tan 4cos21tan 5ααα-==+，所以34sin(2)sin2cos cos2sin 444525210αααπππ+=+=-⨯+⨯=. 综上，sin(2)4απ+的值是10． 2010-2018年1．B 【解析】由题意知cos 0α>，因为22cos 22cos 13αα=-=，所以cos α=，sin α=|tan |α=，由题意知|||tan |12a b α-=-，所以||a b -=．故选B ．2．B 【解析】2217cos 212cos 12()39αα=-=-⨯=．故选B ． 3．C 【解析】设点P 的坐标为(,)x y ，利用三角函数可得yx yx <<，所以0x <，0y >．所以P 所在的圆弧是EF ，故选C ．4．A 【解析】由4sin cos 3αα-=，两边平方得161sin 29α-=，所以7sin 29α=-，选A ．5．D 【解析】由3cos 4x =得2231cos22cos 12()148x x =-=⨯-=，故选D ． 6．D 【解析】由1tan 3θ=-，得sin θ=，cos θ=或sin θ=，cos 10θ=-，所以224cos2cos sin 5θθθ=-=，故选D ．7．A 【解析】71312113121tan )tan(1tan )tan(])tan[(tan =⨯+-=++-+=-+=ab a a b a a b a b ．8．D 【解析】由5sin 13α=-，且α为第四象限角，则12cos 13α==，则sin tan cos ααα=512=-，故选D ．9．C 【解析】tan 0α>知α的终边在第一象限或第三象限，此时sin α与cos α同号，故sin 22sin cos 0ααα=>，选C ．10．B 【解析】由条件得sin 1sin cos cos αβαβ+=，即sin cos cos (1sin )αβαβ=+，得sin()cos sin()2παβαα-==-，又因为22ππαβ-<-<，022ππα<-<，所以2παβα-=-，所以22παβ-=．11．D 【解析】2222sin sin sin B A A -=22sin 2()12()1sin B b A a -=-，∵32a b =，∴上式=72．12．A 【解析】因为21cos 2()1cos(2)1sin 242cos ()4222ππααπαα++++-+===，所以2211sin 213cos ()4226παα--+===，选A. 13．C【解析】由22(sin 2cos )αα+=，可得2222sin 4cos 4sin cos 10sin cos 4αααααα++=+，进一步整理可得23tan 8tan 30αα--=，解得tan 3α=或1tan 3α=-，于是22tan 3tan 21tan 4ααα==--．14．D 【解析】由42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得],2[2ππθ∈，812sin 12cos 2-=--=θθ，4322cos 1sin =-=θθ，答案应选D 。

理科数学历年高考真题分类训练附答案解析之09三角函数的概念、诱导公式与三角恒等变换

理科数学历年高考真题分类训练附答案解析之09三角函数的概念、诱导公式与三角恒等变换专题四三角函数与解三角形第九讲三角函数的概念､诱导公式与三角恒等变换2021年1.(2021北京9)函数的最小正周期是________.2.(2021全国Ⅲ理12)设函数=sin()(>0),已知在有且仅有5个零点,下述四个结论:①在()有且仅有3个极大值点②在()有且仅有2个极小值点③在()单调递增④的取值范围是[)其中所有正确结论的编号是A.①④B.②③C.①②③D.①③④3.(2021天津理7)已知函数是奇函数,将的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图像对应的函数为.若的最小正周期为,且,则A.B.C.D.4.(2021全国Ⅱ理10)已知α∈(0,),2sin2α=cos2α+1,则sinα=A.B.C.D.5.(2021江苏13)已知,则的值是_________.6.(2021浙江18)设函数.(1)已知函数是偶函数,求的值;(2)求函数的值域.2021-2021年一､选择题 1.(2021全国卷Ⅲ)若,则A.B.C.D.2.(2021年全国III)若,则 A.B.C.1D.3.(2021年全国II)若,则()A.B.C.D.4.(2021新课标Ⅰ)A.B.C.D.5.(2021重庆)若,则=A.1B.2C.3D.46.(2021新课标Ⅰ)若,则A.B.C.D.7.(2021新课标Ⅰ)设,,且,则A.B.C.D.8.(2021江西)在中,内角A,B,C所对应的边分别为,若,则的值为()A.B.C.D.9.(2021新课标Ⅱ)已知,则()A.B.C.D.10.(2021浙江)已知,则A.B.C.D.11.(2021山东)若,,则 A.B.C.D.12.(2021江西)若,则tan2α=A.−B.C.−D.13.(2021新课标)已知角的顶点与原点重合,始边与轴的正半轴重合,终边在直线上,则=A.B.C.D.14.(2021浙江)若,,,,则A.B.C.D.15.(2021新课标)若,是第三象限的角,则A.B.C.2D.-2二､填空题16.(2021全国卷Ⅰ)已知函数,则的最小值是_____.17.(2021全国卷Ⅱ)已知,,则___.18.(2021新课标Ⅱ)函数的最大值是.19.(2021北京)在平面直角坐标系中,角与角均以为始边,它们的终边关于轴对称.若,则=___________.20.(2021江苏)若,则=.21.(2021四川).22.(2021江苏)已知,,则的值为_______.23.(2021新课标Ⅱ)函数的最大值为____.24.(2021新课标Ⅱ)设为第二象限角,若,则=___.25.(2021四川)设,,则的值是_____.26.(2021江苏)设为锐角,若,则的值为.三､解答题27.(2021江苏)已知为锐角,,.(1)求的值;(2)求的值.28.(2021浙江)已知角的顶点与原点重合,始边与轴的非负半轴重合,它的终边过点.(1)求的值;(2)若角满足,求的值.29.(2021浙江)已知函数.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)求的最小正周期及单调递增区间.30.(2021江苏)已知,.(1)求的值;(2)求的值.31.(2021江西)已知函数为奇函数,且,其中.(1)求的值;(2)若,求的值.32.(2021广东)已知函数.(1)求的值;(2)若,求.33.(2021北京)已知函数(1)求的最小正周期及最大值;(2)若,且,求的值.34.(2021广东)已知函数,(其中,)的最小正周期为10.(1)求的值;(2)设,,,求的值.专题四三角函数与解三角形第九讲三角函数的概念､诱导公式与三角恒等变换答案部分2021年1.解析:因为,所以的最小正周期.2.解析当时,,因为在有且仅有5个零点,所以,所以,故④正确,因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案,下面判断③是否正确,当时,,若在单调递增,则,即,因为,故③正确.故选 D.3.解析因为是奇函数,所以,.将的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图像对应的函数为,即,因为的最小正周期为,所以,得,所以,.若,即,即,所以,.故选 C.4.解析:由,得.因为,所以.由,得.故选B.5.解析由,得,所以,解得或.当时,,,.当时,,,所以.综上,的值是.6.解析(1)因为是偶函数,所以,对任意实数x都有,即,故,所以.又,因此或.(2).因此,函数的值域是.2021-2021年1.B【解析】.故选B.2.A【解析】由,,得,或,,所以,则,故选A.3.D【解析】因为,所以,所以,所以,故选D.4.D【解析】原式=.5.C【解析】=,选 C.6.C【解析】知的终边在第一象限或第三象限,此时与同号,故,选 C.7.B 【解析】由条件得,即,得,又因为,,所以,所以.8.D【解析】=,∵,∴上式=.9.A【解析】因为,所以,选 A.10.C【解析】由可得,进一步整理可得,解得或,于是.11.D 【解析】由可得,,,答案应选 D.另解:由及,可得,而当时,结合选项即可得.12.B 【解析】分子分母同除得:∴,∴13.B【解析】由角的终边在直线上可得,,.14.C 【解析】,而,,因此,,则.15.A【解析】∵,且是第三象限,∴,∴.16.【解析】解法一因为,所以,由得,即,,由得,即或,,所以当()时,取得最小值,且.解法二因为,所以,当且仅当,即时取等号,所以,所以的最小值为.17.【解析】∵,,∴①,②,①②两式相加可得,∴.18.1【解析】化简三角函数的解析式,则,由可得,当时,函数取得最大值1.19.【解析】∵角与角的终边关于轴对称,所以,所以,;.20.【解析】.21.【解析】.22.3【解析】.23.1【解析】.∵,所以的最大值为1.24.【解析】∵,可得,∴,=.25.【解析】,则,又,则,.26.【解析】因为为锐角,cos(=,∴sin(=,∴sin2(cos2(,所以sin(.27.【解析】(1)因为,,所以.因为,所以,因此,.(2)因为为锐角,所以.又因为,所以,因此.因为,所以,因此,.28.【解析】(1)由角的终边过点得,所以.(2)由角的终边过点得,由得.由得,所以或.29.【解析】(Ⅰ)由,,得.(Ⅱ)由与得所以的最小正周期是由正弦函数的性质得,解得,所以的单调递增区间是().30.【解析】(1)∵,∴;(2)∵∴.31.【解析】(1)因为是奇函数,而为偶函数,所以为奇函数,又得.所以=由,得,即(2)由(1)得:因为,得又,所以因此32.【解析】(1)(2)<θ<2π,所以,因此=33.【解析】:(1)所以,最小正周期当(),即()时,.(2)因为,所以,因为,所以,所以,即.34.【解析】(1).(2)..。

高考数学三角函数知识点及典型例题讲解

――概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结三角函数1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。

按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。

射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。

2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。

如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。

3. 终边相同的角的表示：（1）α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)⇔2()k k αθπ=+∈Z ，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.如与角 1825-的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。

（答：25-；536π-）（2）α终边与θ终边共线(α的终边在θ终边所在直线上) ⇔()k k αθπ=+∈Z . （3）α终边与θ终边关于x 轴对称⇔2()k k αθπ=-+∈Z . （4）α终边与θ终边关于y 轴对称⇔2()k k απθπ=-+∈Z . （5）α终边与θ终边关于原点对称⇔2()k k απθπ=++∈Z .（6）α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈；α终边在y 轴上的角可表示为：,2k k Z παπ=+∈；α终边在坐标轴上的角可表示为：,2k k Z πα=∈.如α的终边与6π的终边关于直线x y =对称，则α＝____________。

（答：Z k k ∈+,32ππ）4、α与2α的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定.如若α是第二象限角，则2α是第_____象限角（答：一、三）5.弧长公式：||l R α=，扇形面积公式：211||22S lR R α==，1弧度(1rad)57.3≈. 如已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

17． (2018 全国卷Ⅱ )已知 sin α cos β 1 ， cosα sin β 0 ，则 sin( α β) ___．
18．（ 2017 新课标Ⅱ）函数 f (x) sin2 x
3 3 cosx ( x [0, ]) 的最大值是
．
4
பைடு நூலகம்
2
19．（ 2017 北京）在平面直角坐标系 xOy 中，角与角均以 Ox 为始边，它们的终边关
(1) 求 sin(
) 的值；
(2) 若角满足 sin(
29．（ 2017 浙江）已知函数
5
)
，求 cos 的值．
13
f (x) sin2 x cos2 x 2 3 sin x cos x ( x
) ， cos(
)
，则
3
42 3
cos(
)
2
3
A．
3
3
B．
3
53
C．
9
6
D．
9
15．（ 2010 新课标）若 cos
1
A．
2
1
B．
2
1 tan
4
，是第三象限的角，则
2
5
1 tan
2
C．2
D ． -2
二、填空题
16． (2018 全国卷Ⅰ )已知函数 f ( x) 2sin x sin 2 x ，则 f ( x) 的最小值是 _____．
1 ，则 tan 的值为 _______． 7 2sin cos x 的最大值为 ____．
24．（ 2013 新课标Ⅱ）设为第二象限角，若 tan
1 ，则 sin cos =___ ． 42
25．（ 2013 四川）设 sin 2
sin ，
( , ) ，则 tan 2 的值是 _____． 2
26．（ 2012 江苏）设为锐角，若 cos
（ 2）求函数 y [ f ( x
)]2 [ f ( x )] 2 的值域 .
12
4
2010-2018 年
一、选择题
1． (2018 全国卷Ⅲ )若 sin
1 ，则 cos2
3
8
A．
9
7
B．
C．
9
2．（ 2016 年全国 III ）若 tan
3 ，则 cos2 4
7 9
2sin 2
64
A．
25
48
B．
cos(
2 tan ，则
5
sin(
A．1
B．2
C．3
3 )
10 ＝ )
5
D．4
6．（ 2014 新课标Ⅰ）若 tan 0 ，则
A ． sin 0
B ． cos 0
C． sin 2 0 D． cos2 0
7．（ 2014 新课标Ⅰ）设
(0, ) ， 2
(0, ) ，且 tan 2
1 sin
，则
cos
A． 3
专题四三角函数与解三角形第九讲三角函数的概念、诱导公式与三角恒等变换
2019 年
1.（ 2019 北京 9）函数 f (x) = sin2 2x的最小正周期是 ________. 2.（ 2019 全国Ⅲ理 12）设函数 f x =sin（ x ） ( ＞ 0)，已知 f x 在 0,2 有且仅
1 A．
5
B． 5 5
C． 3 3
tan
5.（ 2019 江苏 13）已知 tan
π
4
D． 2 5 5
2 3 ，则 sin 2
π
的值是 _________.
4
6.（ 2019 浙江 18）设函数 f ( x) sinx, x R .
（ 1）已知 [0,2 ), 函数 f ( x ) 是偶函数，求的值；
25
C． 1
3．（ 2016 年全国 II ）若 cos( 4
7
A．
25
1
B．
5
3 ) ，则 sin 2 （
5 1
C．
5
4．（ 2015 新课标Ⅰ） sin 20o cos10o cos160o sin10 o
8
D．
9
16
D．
25
）
7
D．
25
3
A．
2
3
B．
2
1
C．
2
1
D．
2
5．（ 2015 重庆）若 tan
y f x 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的
2 倍（纵坐标不变），所得图像对应的函
数为 g x .若 g x 的最小正周期为 2π，且 g π 4
2 ，则 f 3π 8
A. 2
B. 2
C. 2
D. 2
4.（ 2019 全国Ⅱ理 10）已知 α∈ (0， )， 2sin 2 α =cos 2 ，α则+1sin α＝ 2
4 ，则 sin 2
的值为
．
65
12
三、解答题
27．（ 2018 江苏）已知 , 为锐角， tan (1)求 cos2 的值；
4 ， cos(
3
5
)
．
5
(2)求 tan(
) 的值．
28．（ 2018 浙江）已知角
点 P(
3 ,
4 )．
55
的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，它的终边过
于 y 轴对称．若 sin 20．（ 2017 江苏）若 tan(
1 ，则 cos( 3
) =___________ ．
1
) ，则 tan =
．
46
21．（ 2015 四川） sin 15 sin 75
．
22．（ 2015 江苏）已知 tan
2 ， tan
23．（ 2014 新课标Ⅱ）函数 f x sin x 2
B． 2
C． 3
D． 2
2
2
2
2
8．（ 2014 江西）在 ABC 中，内角 A ，B ， C 所对应的边分别为 a, b, c, ，若 3a 2b ，则
2sin 2 B sin 2
sin 2 A
A
的值为（
）
1
A．
9
1
B．
3
C．1
7
D．
2
9． (2013 新课标Ⅱ )已知 sin 2
2 ，则 cos2 (
)（
）
3
4
1
A．
6
1
B．
3
1
C．
2
2
D．
3
10．（ 2013 浙江）已知
4
A．
3
R, sin 3
B．
4
2 cos
10 ，则 tan 2 2
3
C．
4
4
D．
3
11．（2012 山东）若
, ， sin 2 42
37 ，则 sin
8
A． 3 5
B． 4 5
7
C．
4
D． 3 4
12． (2012 江西 )若 sin cos sin cos
5
有 5 个零点，下述四个结论：
① f x 在（ 0,2 ）有且仅有 3 个极大值点
② f x 在（ 0,2 ）有且仅有 2 个极小值点
③ f x 在（ 0, ）单调递增 10
④ 的取值范围是 [ 12，29 ) 5 10
其中所有正确结论的编号是
A ． ①④ B ． ②③
C． ①②③
D ． ①③④
3.（ 2019 天津理 7）已知函数 f ( x) Asin( x )( A 0, 0,| | ) 是奇函数，将
3
A．-
4
3
B．
4
1 ，则 tan2 α＝ 2
4
C．-
3
4
D．
3
13．（ 2011 新课标）已知角的顶点与原点重合，始边与 x 轴的正半轴重合，终边在直线
y 2x 上，则 cos2 =
4
A．
5
3
B．
5
3
C．
5
4
D．
5
14．（ 2011 浙江）若 0＜＜， - ＜＜ 0 ， cos(
22
4
1
3