设F是一个数域,F[x]是F上的一元多项式环.课件
高等代数第三版
显然仍不能整除 f x .
第一章 多项式
假定 g x 0，那么在Ｆ[x]里，以下等式成立： 并且 r x 0 ．但是F [x]的多项式 qx 和r ( x) 都是
F[ x] 的多项式，因而在 F[ x] 里，这一等式仍然成立．
f x g x qx r x
qx 0, r x f x （ii）若 f x 0 ,且 f x g x . 把f x 和g ( x)
按降幂书写: n n 1 f x an x an1 x a1x a0 g x bm x m bm1 x m1 b1x b0
于是由 r x 的唯一性得出，在 F[ x] 里 g x 也不能整除
f x .
总之，两个多项式之间的整除关系 不因为系数域的扩大而改变.
第一章 多项式
例1
确定m ，使 x 1 | x mx mx 1 .
1 n m 令q1 x a n bm x ，并记 f1 x f x q1 x g x,
这里an 0, bm 0,并且 n
m
第一章 多项式
则f1 x 有以下性质：
或者 f1 x 0或 f1 x f x
f k 1 x f k x qk 1 x g x
f x f1 x g x
由于多项式 f1 x, f 2 x,的次数是递降的, 故存在k使
f k x 0或 f k x g x ，于是
第一章 多项式
3、多项式的带余除法定理
定理 设f x, g x F[ x] ，且 g x 0 ，则存在
信息安全数学基础环和域基础知识
在通常的加法和乘法运算下，Q, R 和 C 都是域。
域的例子（2）
令p是一个素数，在模p加法和模p乘法 运算下，Zp是一个域. 也记为Fp或者GF (p).
注意： 整数环Z不是域； 当n是合数时，Zn不是域。 有限群、子群、商群和群的阶的概念可 以直接推广到环和域中。
域的特征
F是域，其特征char(F)定义为单位元1的加法阶, 即使得 的最小自然数n，如果不存在这样的自然数，则记char(F) =∞.
性质：如果char(F)有限，则一定是素数.
域的例子（3）
构造方法
域上的多项式环 不可约多项式
定理
令F为含有p个元素的域，f(x)是F上的n次不可约多项式，则域F[x]/f(x)中元素的个数是pn. F[x]/f(x)是F[x]中所有次数小于deg(f)=n、系数取遍F中所有p个元素的多项式全体构成的集合. 共有pn个这样的多项式.
注意：在此定理中，并没有假设p是素数，事实上，F可以是任意域，称F[x]/f(x)为由基域F通过域扩张得到的扩域.
1）置换密码 2）单表代换密码 3）多表代换密码 4）Vernam密码 5）Playfair密码 6）Hill密码 7）公钥密码 8）私钥密码
教学资料
资料仅供参考
定义: F[x]是域F上的多项式环, f,g,r∈F[x], g≠0, 满足f = gq + r, deg(r)<deg(g), 称r为f除以g的余式, 记为r≡f (mod g). 考虑F[x]中所有多项式模g(x)的余式, 将这些集合称为F[x]模g(x)的多项式, 记为F[x]/g(x).
类似的有环同态基本定理
概念的类比
群
环
正规子群
高等代数课件 第二章
三、 多项式的带余除法定理
定理 设f x, gx F[x] ，且 gx 0，则存在
qx, rxF[x], 使得
f x gxqx rx
这里 rx 0，或者 0 rx 0 gx. 并且满足上述条件的 qx和r(x) 只有一对。
注1： qx, rx分别称为 gx除f (x)所得的商式和
余式
注2： gx 0, gx| f x rx 0.
使以下等式成立:
f xux gxvx dx
三、多项式的互素
1. 互素的定义
定义 3 如果 Fx 的两个多项式除零次多项式外
不再有其它的公因式，我们就说，这两个多项式互素.
2. 互素的性质
(1)定理 2.3.3 Fx的两个多项式 f x与gx 互素
的充分且必要条件是：在 Fx中可以求得多项式 ux
二.教学目的 1.掌握最大公因式,互素概念. 2.熟练掌握辗转相除法 3.会应用互素的性质证明整除问题
三.重点,难点 辗转相除法求最大公因式. 证明整除问题
一、最大公因式的定义
定义 1 令 f x和 gx是F [x]的两个多项式，若 是F [x]的一个多项式hx 同时整除 f x和gx ，那么 hx 叫做 f x与gx的一个公因式.
f1x, f2 x,, fk x,及 q1x, q2 x,, qk x,
使得
fk1x fk x qk1xgx
而
0 f x 0 f1x 0 gx
由于多项式 f1x, f2x,的次数是递降的, 故存在k使
fk x 0或0 fk x 0gx ，于是
qx q1x qk x及rx fk x
系数所在范围对整除性的影响
二、教学目的
1．掌握一元多项式整除的概念及其性质。 2．熟练运用带余除法。
2.2多项式的整除性
2.基本性质
(a). 对f(x)∈F[x]和c∈F( c≠0),总有f(x)|0, c|f(x), c f(x)|f(x).
注：(1)任何多项式f(x)都有因式c和cf(x)(0 ≠c∈F），
它们称为f(x)的平凡因式.
2.综合除法
若 f ( x) an xn + an1xn-1 + L + a0, 则 x c 除 f ( x) 的商式 q( x) bn1xn1 b0 和余式 r(x)
可按下列计算格式求得：
c an an1 an2 L a1 a0
＋) cbn1 cbn2 L cb1 cb0
均不成立。
问题：
(1).零多项式能否整除零多项式？ (2).任意非零多项式能否整除零多项式？ (3).零多项式能否整除任意非零多项式？ (4).零次多项式能否整除任意多项式？ (5).零次多项式能否被任意多项式整除？
结论：
1.零多项式能整除且仅能整除零多项式。 2.零多项式能被任意多项式整除（即零多
此时称g(x)是f(x)的一个因式，f(x)是g(x) 的一个倍式。
否则，则称g(x)不整除f(x),记作g(x) † f(x).
注：
(1).g(x)|f(x)不能写作g(x)/f(x),以免与分式混淆; (2).整除性不是多项式的运算，它只是F[x]元素
间的一种关系; (3).若g(x) †f(x)，则对h(x)F[x], f(x)=g(x)h(x)
f ( x) c0 c1( x a) c2( x a)2 L 的形式．
例2.3 设 f ( x) x4 x2 4x 77 , g( x) x 3, 求g( x)除f ( x)所得商式q( x)和余式r,并指出 是否有 g( x) f ( x).
简单的抽象代数基本知识2
2，环的又一定义 代数系统[R;+,*],其中+和*为定义在R上的二元 运算,满足下述条件, (1) [R;+]为Abel群 (2) [R;*]为半群 (3) +，*满足分配律: a*(b+c)=(a*b)+(a*c), (b+c)*a=(b*a)+(c*a) 则称[R;+,*]为环。
域f上的所有多项式在多项式加法和乘法下作成一个有幺元的交换环记为fx称为域f多项式运算department这个域称为二元域应用在电话电报电视传真计算机中数据传输打印机vcd机cd机纠错码上以及卫星图片的传输等
编 码 理 论 基 础
哈尔滨工程大学理学院 信息与计算科学系 林 锰
Department of Mathematics, College of Sciences
第一章 简介抽象代数基本知识
1 2 3 授课预计 (6学时) 群的相关概念 环的相关概念 域及域上多项式
§2.2 环 的 相 关 概 念 一, 环的定义及相关内容 1，定义：设R是一个非空集合，其中有“+” “·” 两种二元代数运算，R叫做一个环，如果 1) a+b=b+a， 2) a+（b+c）=（a+b）+c， 3) G中有一个元素0，适合a+0=a， 4) 对于G中任意a,有-a,适合a+（-a）=0， 5) a·（b·c）=（a·b）·c， 6) a·（b+c）=a·b+a·c，（a+b) ·c=a·c+b·c。
则集合：
(a + I ) ⊗ (b + I ) = a ⋅ b + I
近世代数基础课件
第3讲 特殊的唯一分解环 1 主理想环 2 欧氏环 3 唯一分解环上的一元多项式环 4 因子分解与多项式的根
38
第六章 群论补充
39
第1讲 共轭元与共轭子群 1 第2讲 群的直积 第3讲 群在集合上的作用 第4讲 西罗定理
40
第1讲 共轭元与共轭子群
研究群内一些特殊类型的元素和子群
1 中心和中心化子 2 共轭元和共轭子群 3 共轭子群与正规化子
53
四 代数学发展的四个阶段
代数学经历了漫长的发展过程,抽象代 数(近世代数)是19世纪最后20年直到20世 纪前30年才发展起来的现代数学分支. 1 最初的文字叙述阶段 2 代数的简化文字阶段 3 符号代数阶段 4 结构代数阶段
54
1 最初的文字叙述阶段
古希腊之前直到丢番图(Diophantine,公元250年)时 代,代数学处于最初的文字叙述阶段,这一阶段除古希腊 数学之外还包括古巴比伦、古埃及与古代中国的数学. 此时算术或代数尚未形成任何简化的符号表达法,代数 运算则都采用通常的语言叙述方式表达,因而代数推理 也都采用直观的方法.在中国古代则有著名的筹算法,而 在古希腊则借助于几何图形的变换方法.最典型的代表 是毕达哥拉斯(Pythagoras,公元前585-497)几何数论方 法.例如通过图形的组合可以得到
}
} }
映射相关概念及举例
映射的运算 映射及其相关概念的推广
}
特殊映射
6
第3讲 基本概念之代数运算适应的规则 ——运算律 运算律
1 与一种代数运算发生关系的运算律 （1）结合律 （2）交换律 （3）消去律 2 与两种代数运算发生关系的运算律 （1）第一分配律 （2）第二分配律
7
第4讲 基本概念之与代数运算发生关系的映射 ——同态映射 同态映射 1 同态映射 2 同态满射 3 同构映射 4 自同构映射 5 举例
一元多项式环的概念及其通用性质
03 一元多项式的加法与减法
加法规则
设两个一元多项式为$P(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + ldots + a_nx^n$和$Q(x) = b_0 + b_1x + b_2x^2 + ldots + b_mx^m$， 则它们的和$P(x) + Q(x)$定义为系数相加，即$(a_0 + a_1x + a_2x^2 + ldots + a_nx^n) + (b_0 + b_1x + b_2x^2 + ldots + b_mx^m) = (a_0+b_0) + (a_1+b_1)x + (a_2+b_2)x^2 + ldots + (a_n+b_n)x^n$。
一元多项式环的概念及其通用性质
目录
• 一元多项式环的定义 • 一元多项式环的基本性质 • 一元多项式的加法与减法 • 一元多项式的乘法 • 一元多项式的除法 • 一元多项式环的特殊性质
01 一元多项式环的定义
定义
一元多项式环是由所有一元多项式构 成的环，其中加法、减法和乘法运算 封闭。
一元多项式环中的元素称为一元多项 式。
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举例说明：$(x^2+3x+2) - (x+1) = (1-1)x^2 + (3-1)x + (2-1) = 0x^2 + 2x + 1$。
04 一元多项式的乘法
单项式与多项式相乘
定义
举例
单项式与多项式相乘是指将单项式的每一项 分别与多项式的每一项相乘，并合并同类项。
设F是一个数域Fx是F上的一元多项式环
5( x 1) 1.
2.2.5 多项式整除关系的一个重要性质
定理2.3 设f ( x), g( x) F[ x], 数域F F . 那么 在F[ x]中g( x) f ( x) 在F[ x]中g( x) f ( x).
定理2.3表明，多项式的整除关系不随数域 的扩大而改变.
推论2.2 设 f ( x), g( x) F[ x]. (i) g( x) 0时, g ( x) f ( x) f ( x) 0; (2) g( x) 0时, g( x) f ( x) g( x)除f ( x)所得的 余式为0.
例2.1 设f ( x) x3 px q, g( x) x2+mx 1. 当m, p,q满足什么条件时，有g( x) | f ( x)?
例2.4 把 f ( x) x5 表成 x 1的方幂和．
解 ∵１ 1 ０ ０ ０ ０ ０ １１１１１
１１ １ １
１ 2
１ 3
１ 4
１= c0
１１ 2
3
4
5= c1
136
１１ 3 1
10= c2
4
１１ 4 1
10= c3
1
5= c4
x5 ( x 1)5 5( x 1)4 10( x 1)3 10( x 1)2
注记： (1)任何多项式f(x)都有因式c和cf(x)(这里 0 ≠c∈F), 它们称为f(x)的平凡因式. （2）g(x)|f(x) g(x)|cf(x) (c F)，
g(x)|f(x) cg(x)|f(x) (0 c F).
即：f(x)与cf(x) (0 c∈F)有相同的因式； f(x)与cf(x) (0 c∈F)有相同的倍式.
5.1 一元多项式和运算
第五章多项式5.1 一元多项式和运算定义 设F 为数域, x 为一个符号(也称不定元). 形如称为F 上关于x 的一元多项式, 一元多项式常简称多项式, 为第 i 次项,同时称 f (x ) 为n 次多项式, 记为deg f (x )=n . 当 时, 称 为 其中称 110(),nn n n f x a x a x a −−=+++ 1100[]{|,,0,1,...,}nn n n i F x a x a xa n a F i n −−≥=+++∈∈= 10,,,,n n a a a F −∈ ii a x i a 则称 f (x )为首一多项式.F 上一元多项式全体记为 0a 其中n 是非负整数,称为第i 次项系数, 称为常数项, 首项,为首项系数, 0n a ≠nn a x n a 若a n =1,注1 常数项多项式:零多项式: 零次多项式: 注200(),f x a a F =∈ ．()0f x =．00()0,f x a a F =≠∈．.−∞()0deg ()0.f x f x ≠≥0()0deg ()=0.f xa f x =≠定义零多项式次数为的充分必要条件是 的充分必要条件是例1ii x x x x x 23221(1)0;(2);(3);(4);(5)1π∞=+−∑定义 设是数域F 上的多项式, 如果则称f (x )与g (x )相等, 记为1110()n n n n f x a x a x a x a −−=++++ 1110()mm m m g x b x b xb x b −−=++++ i im n a b i n (0,1,2,,), ===且()().f xg x =定义 设 f (x ), g (x )是F 上多项式, 适当增加几个系数为零的项, 可设 定义加法:则 f (x ) + g (x )是 F 上多项式.1110()nn n n f x a x a x a x a −−=++++ 1110()n n n n g x b x b x b x b −−=++++ 1111100()()()()()()nn n n n n f x g x a b x a b xa b x a b −−−+=++++++++多项式的加法满足性质(1) 结合律: (f (x )+g (x ))+h (x )=f (x )+(g (x )+h (x )); (2) 交换律: f (x )+g (x )=g (x )+f (x ); (3) 存在零元: f (x )+0=f (x );对于定义 (4) 存在负元: f (x )+(–f (x ))=0.0(),nii i f x a x ==∑0()().nii i f x a x =−=−∑定义 设 定义数乘:则 cf (x ) 是 F 上多项式.1110()[],,nn n n f x a x a x a x a F x c F −−=++++∈∈ 1110()nn n n cf x ca x ca xca x ca −−=++++多项式的数乘满足性质:对任意的有 (5) c (f (x )+g (x ))=cf (x )+cg (x ); (6) (c +d )f (x )=cf (x )+df (x ); (7) (cd )f (x )=c (df (x )); (8) 1f (x )=f (x ).(),()[],,,f x g x F x c d F ∈∈定理 F [x ]关于多项式的加法与数乘构成 F 上的线性空间.注 F [x ]是无限维线性空间. 对任意正整数n ,线性无关.证明 若 由多项式相等定义, 即得 故线性无关. 21,,,,nx x x 20120,nna a x a x a x ++++= 0120.na a a a ===== 21,,,,nx x x定义 设定义乘法:其中则 f (x )g (x ) 是 F 上多项式.11101110()[],()[],n n n n m m m m f x a x a x a x a F x g x b x b x b x b F x −−−−=++++∈=++++∈ 1110()()m nm n m n m n f x g x c xc xc x c ++−++−=++++ 0110(0,1,,)k i j k k k i j kc a b a b a b a b k m n −+===+++=+∑多项式的乘法满足性质:对任意的 有 (9) (f (x )g (x )) h (x )=f (x )(g (x ) h (x )); (10) f (x )g (x )=g (x )f (x );(11) (f (x )+g (x ))h (x )=f (x ) h (x )+g (x ) h (x ); (12) c (f (x )g (x ))=(cf (x ))g (x )= f (x )(cg (x )). 定理 F [x ]关于多项式的加法,数乘和乘法构成 F 上带单位元1的交换代数.(),(),()[],f x g x h x F x c F ∈∈引理设f(x), g(x)是F上多项式, c是F上非零数, 则(1) deg (f(x) + g(x)) ≤ max{deg f(x), deg g(x)};(2)deg (cf(x))= deg f(x);(3) deg(f(x)g(x)) = deg f(x) + deg g(x).证明 (3) 若f(x), g(x)有一个为零多项式, 则命题成立.若f(x), g(x)均为非零多项式, 首项分别为a n x n, b m x m, 则f(x) g(x)首项为a n b m x n+m , a n b m ≠0,因此deg f(x) g(x) = n+m.命题若f(x), g(x)是F上非零多项式, 则f(x)g(x)也是F 上非零多项式.证明因为f(x), g(x)是F上非零多项式, 因此它们的次数均大于等于0,又 deg (f(x)g(x)) = deg f(x) +deg g(x) ≥ 0,故 f(x)g(x) 是非零多项式.推论若f(x)是非零多项式, 且f(x) g(x) = f(x) h(x), 则g(x) = h(x).证明因为f(x) g(x) = f(x) h(x),所以f(x)(g(x) - h(x))=0.又因为f(x)≠0,则由命题有g(x) - h(x)=0，所以g(x) = h(x).例2 设 且f 2(x )+ g 2(x )=0, 则f (x )=g (x )=0.证明 反证法 假设f (x )≠0 或者g (x )≠0, 记 不妨设n ≥m , 则f 2(x )+ g 2(x )首项系数为, 故f 2(x )+ g 2(x )的首项系数不为0, 矛盾. 注 例2结论对复数域不成立. 如 110110(),0,(),0,nn n n n i m m m m m i f x a x a xa a a g xb x b xb b b −−−−=+++≠∈=+++≠∈222+,n nna b a 或221+=0,10,0.i i ≠≠但(),()[]，f x g x x ∈ n na b ,∈小结(1) 一元多项式的定义、运算(2) 次数、首项(3) 主要证明方法: 次数, 首项。
一元多项式环-PPT文档资料
1. 这里x不再局限为实数而是任意的文字或符号。 2. 系数可以是任意数域。
例1
2 3 是Q上多项式； f x 12 x 3 x 9 x
2 f x 3 2 x x 是R上多项式；
2 f x 3 i x 5 x 是C上多项式。
3 1 x 3 x 2 2 3 x , a x, x x 1
第七章 多项式环
§7.1 一元多项式环
高等代数课件--天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组
一、多项式的概念 中学多项式的定义：n个单项式（不含加法或减 法运算的整式）的代数和叫多项式。 例： 4a+3b，3x2 2x 1, 3 y 1 .
2 5
在多项式中，每个单项式叫做多项式的项。这是 形式表达式。
都不是多项式。
高等代数课件--天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组
定义2： f x, gx 是两个多项式， f x gx
最高次项， 亦称为首项。 除系数为0的项之外，同次项的系数都相等。 多项式的表法唯一。 n 方程 a 是一个条件等式而不是 a x a x 0 0 1 n 两个多项式相等。
下面证明多项式乘法满足结合律。
k f x a xg , x b xh , x c x 证：设 i j k i 3 i 0 j 0 k 0 n m l
n m fx g xc c x c x 01 n m
高等代数课件--天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组
b a b a b a b a b , k 0 k 1 k 1 k 1 1 k 0 i j 其中 ca
k 0 , 1 , ,n m .