信息安全数学基础环和域基础知识

正数，若f(x)=g(x)h(x)，其中f(x) ,h(x)∈ F[x],
则g(x)和h(x)中必有一个为常数多项式, 那么称
f(x)是不可约的.
注意： 多项式的可约性依赖于该多项式定义在什么样的
代数结构上. 一个多项式在一种代数结构上不可约，
但可能在另一种代数结构上就是可约的.
例
• 对于二次多项式f(x)=x2 - 2x+2：
环的定义
环(Ring) : 一个非空集合S上有两种运算：加法“+”和乘法 “∘”，如果这两种运算满足以下性质，就称为环：
1. (R, +)是一个交换群，加法单位元记为0（称为零元）； 2. R关于乘法“∘”满足结合律: (a∘b) ∘c=a∘ (b∘c), 并有单位元, 记为1； 3. 分配律成立: (a+b) ∘c=a∘c+b∘c, c∘ (a+b)=c∘a+c∘b. 注： 0是抽象的写法，不同于整数中的0. “+”和“∘”是抽象的运算
子环、理想和商环
子环(subring)
• 设R是一个环, S是R的非空子集, 如果S关于R的运 算也构成环, 则称S是R的子环.
理想(Ideal)
• 设R是一个环, I是R的一个子环, 如果∀a∈ I , r∈R, 有ra ∈R, ar ∈R, 则称I是R的一个理想.
理想的例子
• F[x]为数域F上的一元多项式环, I={a1x+a2x2+…+anxn|ai∈F, n ∈ N}, 即I是由所有常数项为0的多项式构成的集合, 则I是F[x]的理想.
环的例子（1）
• 在通常的加法和乘法运算下，Z, Q, R 和 C都是环， 加法单位元为0，乘法单位元为1。
环的例子（2）
• 对任意n>0，在模n加法和模n乘法下，Zn是一个 环。加法单位元为0，乘法单位元为1。
环的例子 (3)
• 多项式环 Z[x]
环中的零元
• 对于环中的任意元素a, 都有0a=a0=0
概念的类比
群 正规子群 循环群 商群 环 理想 主理想 商环
域的定义
• 域(Field)

▫ 非空集合F，若F中定义了加和乘两种运算，且满足：
1) F关于加法构成阿贝尔群，加法恒等元记为0 2) F中所有非零元素对乘法构成阿贝尔群，乘法恒等元记为1 3) 加法和乘法之间满足分配律
▫ 则F与这两种运算构成域 ▫ 每一个非零元都是可逆元的有单位元的交换环 ▫ 如实数域\复数域\有理数域
• 一般地，0与1不相等，否则1a=a, 而0a=0，这表 明环中只有一个元素，平凡情形，一般不考虑 • 所以0关于乘法没有可逆元
环的几个性质
设R是一个环, ∀a,b ∈ R, 有: • a(-b)=(-a)b=-(ab) • (-a)(-b)=ab
交换环
• 类似于交换群的定义，如果一个环关于乘 法运算具有可交换性，就称它为交换环。
主理想
• 由R中一个元素a生成的理想称为主理想.
商环
• 设I是环R的理想, 在加法商群R/I上定义如下乘法 (x+I)(y+I) = (x+y) +I 则R/I关于加法和乘法构成一个环.
环同态
• 设R和R’是两个环, f是R到R’的一个映射, 如果 ∀a,b∈R, 均有 f(a+b)=f(a)+f(b), f(ab)=f(a)f(b), 那么称f是R到R’的环同态映射. 如果f是满射, 那么称R和R’同态; 如果f是双射,那么称R和R’同构. • 类似的有环同态基本定理
构造方法
• 域上的多项式环 F [ x]
• 不可约多项式 f ( x)
利用不可约多项式构造有限域
Z Zp p为素数 F[x] F[x]/f(x)
F为p阶有限域 f 为n次不可约多项式
Fp=Zp
F[x]/f(x)为pn阶有限域
域上的多项式的带余除法
• 设F是一个域，f, g是F[x]中的两个多项式，且g不为0，类似
于整数的除法： f=gq+r，
其中，q, r是F[x]中的两个多项式，且deg(r)<deg(g).
带余除法的例子
• f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1∈F2[x]
g(x)=x3+x+1∈F2[x]
q=x2+x, r=x2+1
不可约多项式
• 定义:设F是一个域，f(x) ∈ F[x], f(x)的次数为
域的特征
• F是域，其特征char(F)定义为单位元1的加法阶,
即使得
n1 1 1
n个1
1＝0
的最小自然数n，如果不
存在这样的自然数，那么记char(F) =∞. 性质：如果char(F)有限，那么一定是素数.
域的例子（3）
Fq [ x] / f ( x)
Fq m
GF (q )
m
.
（1）在复数域上可约； （2）在实数域上不可约； （3）在F3上不可约.
利用不可约多项式构造域
• 定义: F[x]是域F上的多项式环, f,g,r∈F[x], g≠0,
满足f = gq + r, deg(r)<deg(g), 称r为f除以g的
余式, 记为r≡f (mod g).
• 考虑F[x]中所有多项式模g(x)的余式, 将环, 如果存在a,b∈R, a≠0, b≠0, 但 ab=0, 那么称R是有零因子环, 否则称R是无零因 子环. • ab=0 ⇒ a=0或b=0.
无零因子环的性质
性质1. 设R是无零因子环, 那么 1. 若a≠0, ab=ac, 则b=c; 2. 若a≠0, ba=ca, 则b=c. 性质2. 设R是无零因子环, 那么 R中非零元的加法阶相等, 或者为∞, 或者为素数.
称为F[x]模g(x)的多项式, 记为F[x]/g(x).
利用不可约多项式构造域
• 令F是一个域，f(x)是F[x]中的一个非零多项式，
那么F[x]/f(x)是一个环，当且仅当 f(x)在F上不
可约时， F[x]/f(x)是一个域.
• f(x)是F[x]中的一个不可约多项式， 当F是域时，
域的例子（1）
• 在通常的加法和乘法运算下，Q, R 和 C 都是域。
域的例子（2）
• 令p是一个素数，在模p加法和模p乘法 运算下，Zp是一个域. • 也记为Fp或者GF (p).
• 注意： 整数环Z不是域； 当n是合数时，Zn不是域。
• 有限群、子群、商群和群的阶的概念可 以直接推广到环和域中。