11数环和数域(答案)
近世代数第四章 环与域题解讲解
第四章环与域§1 环的定义一、主要内容1．环与子环的定义和例子。
在例子中，持别重要的是效域上的多项式环、n阶全阵环和线性变换环，以及集M的幂集环．2．环中元素的运算规则和环的非空子集S作成子环的充要条件：二、释疑解难1．设R是一个关于代数运算十，·作成的环．应注意两个代数运算的地位是不平等的，是要讲究次序的．所以有时把这个环记为(R，十，·)(或者就直接说“R对十，·作成一个环”)．但不能记为R，·，十)．因为这涉及对两个代数运算所要求满足条件的不同．我们知道，环的代数运算符号只是一种记号．如果集合只有二代数运算记为 ，⊕，又R对 作成一个交换群，对⊕满足结合律且⊕对 满足左、右分配律，即就是说，在环的定义里要留意两个代数运算的顺序．2．设R对二代数运算十，·作成一个环．那么，R对“十”作成一个加群，这个加群记为(R,十)；又R对“·”作成一个半群，这个乍群记为(R，·)．再用左、右分配律把二者联系起来就得环(R，十．·)．三、习题4．1解答1．2．3．4．5．6．7．8．证明：循环环必是交换环，并且其子环也是循环环．§4．2 环的零因子和特征一、主要内容１．环的左、右零因子和特征的定义与例子．2．若环R 无零因子且阶大于1，则R 中所有非零元素对加法有相同的阶．而且这个相同的阶不是无限就是一个素数．这就是说，阶大于l 且无零因子的环的特征不是无限就是一个素数． 有单位元的环的特征就是单位元在加群中的阶．3．整环(无零因子的交换环)的定义和例子． 二、释疑解难１．由教材关于零因子定义直接可知，如果环有左零因子，则R 也必然有右零因子．反之亦然．但是应注意，环中一个元素如果是一个左零因子，则它不一定是一个右零因子．例如，教材例l 中的元素⎪⎪⎭⎫⎝⎛0001就是一个例子．反之，一个右零因子也不一定是一个左零因子．例如，设置为由一切方阵),(00Q y x y x ∈∀⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛对方阵普通加法与乘法作成的环．则易知⎪⎪⎭⎫⎝⎛0001是R 的一个右零因子，但它却不是R 的左零因子．2.关于零因子的定义．关于零因子的定义，不同的书往往稍有差异，关键在于是否把环中的零元也算作零因子．本教材不把零元算作零因子，而有的书也把零元算作零因子．但把非牢的零因子称做真零因子．这种不算太大的差异，读者看参考书时请留意．3．关于整环的定义．整环的定义在不同的书中也常有差异．大致有以下4种定义方法： 定义1 无零因子的交换环称为整环(这是本教材的定义方法)． 定义2 阶大于l 且无零因子的交换环，称为整环． 定义3 有单位元且无零因子的交换环，称为整环．定义4 阶大于1、有单位元且无零因子的交换环，称为整环．以上4种定义中，要求整环无零因子、交换是共同的，区别就在于是否要求有单位元和阶大于1．不同的定义方法各有利弊，不宜绝对肯定哪种定义方法好或不好．这种情况也许到某个时期会得到统一．但无论如何现在看不同参考书时应留意这种差异．本教材采用定义1的方法也有很多原因，现举一例。
高考试题中与数域数环有关问题的归类
高考试题中与数环、域有关的问题的归类（一）问题提出的背景：数是抽象思维的产物。
在漫长的史前时代，人类已经认识了抽象的自然数。
随着人类文明的进步，数的概念先后经历了多次重大的变化。
首先，数的概念从实体的测量发展为抽象的存在，如从正方形对角线的测量得到脱离经验的“无理数”。
其次是代数运算的需要，因减法，开方运算的需要产生了负数、无理数和负数。
到了近代，“数”不再只是单个的量的表示，数系发展为一个完备化的运算系统。
人们为了追求运算的无矛盾性，接受了理想的“数”，包括复数、四元数、八元数等。
在20世纪，从希尔伯特到布尔巴基，结构主义的数系观占据了统治地位。
（二）数域数环的定义及性质 数环定义：设S 是复数集的非空子集．如果S 中的数对任意两个数的和、差、积仍属于S ，则称S 是一个数环．性质1 任何数环都包含数零（即零环是最小的数环）． 性质2 设S 是一个数环．若S a ∈，则)(Z n S na ∈∈． 性质3 若M,N 都是数环，则N M ⋂也是数环．常见的数环有：整数集Z ，有理数集Q 、实数集R 、复数集C 。
数域定义：设F 是一个数环，如果对任意的F b a ∈,而且0≠a , 则F ab ∈；则称F 是一个数域．数域性质：任何数域都包含有理数域Q 。
即Q 是最小的数域。
常见的数域有：理数集Q 、实数集R 、复数集C. 著名的域还有：Klein 四元域。
（三）高考题型归类 高中与数环、域有关问题的学习，主要是体会数学思想，提高理性思维能力。
我将高考试题中与数环、域有关的问题归为两类： 第一类：与复数有关的问题对于复数的概念，高中课本中有专门的章节进行阐述，通过解方程的具体问题，感受引入复数概念的必要性，了解从实数系到复数系的的扩充过程，学习复数的一些基本知识，感受人类理性思维在数系扩充中的作用。
1、复数的概念 （1）（2007•重庆）复数322ii +的虚部为 。
分析：把复数整理变形，先变分母，再分子和分母同乘以分母的共轭复数，分子上要进行复数的乘法运算，最后写出代数形式，指出虚部。
高等代数第一章
定理1.3.2（第二数学归纳法） 设有一个与正整数n 有关的命题. 如果 ① 当n=1时命题成立； ② 假设命题对于一切小于k的自然数来说成立，则 命题对于k也成立； 那么命题对于一切自然数n来说都成立.
作业：P17
1，2，3.
1.4 整数的一些整除性质
一、内容分布 整除与带余除法 最大公因数 互素 素数的简单性质 二、教学目的 1.理解和掌握整除及其性质。 2.掌握最大公因数性质、求法。 3.理解互素、素数的简单性质。 三、重点、难点 整除、最大公因数性质、互素有关的证明 。
三、 映射的合成 g : B C 是B 到 设 f : A B 是A到B 的一个映射，
( f ( x )) 是C中 C 的一个映射. 那么对于每一个 x A g， 的一个元素. 因此，对于每一 x A ，就有C 中唯一的 确定的元素 g ( f ( x )) 与它对应，这样就得到A到C 的一个
| r r || a ( q q ) || a | 由此或者 r | a | r | a |，或者 r | a | r | a | 。不论是哪 一种情形，都将导致矛盾。这样必须 q q 0 ，从而 r -r 0 ，也就是说 q q , r r .
一、整除与带余除法
设a，b是两个整数，如果存在一个整数d，使得 b=ad，那么就说a整除b（或者说b被a整除）。用符号 a|b表示a整除b。这时a 叫作b 的一个因数，而b叫做a的 一个倍数。如果a不整除b，那么就记作 .
② a | b , a | c a | (b c ) ① a | b, b | c a | c ③ a | b, 而 c Z a | bc ④ a | bi , 而 c i Z , i 1,2, , t a | (b1 c1 bi c i ) ⑤ 每一个整数都可以被1和 - 1整除。 ⑥ 每一个整数a都可以被它自己和它的相反数 - a整除
第一节 数域
§1 数域（number field ）教学目的：掌握数域的概念及其性质，了解数环的概念.教学重点：数域概念及其证明.教学难点：数域概念.数的发展过程复数实数有理数整数自然数负数开方正数开方除法减法−−−→−−−−→−−−→−−−→−1.数域的概念关于数的加、减、乘、除等运算的性质通常称为数的代数性质.代数所研究的问题主要涉及数的代数性质，这方面的大部分性质是有理数、实数、复数的全体所共有的.定义1 设P 是由一些复数组成的集合，其中包括0与1.如果P 中任意两个数的和、差、积、商（除数不为零）仍然是P 中的数，那么P 就称为一个数域.如果数的集合P 中任意两个数作某一种运算的结果都仍在P 中，就说数集P 对这个运算是封闭的.因此数域的定义也可以说成，如果一个包含0，1在内的数集P 对于加法、减法、乘法与除法（除数不为零）是封闭的，那么P 就称为一个数域.显然全体有理数(rational number)组成的集合、全体实数(real number)组成的集合、全体复数(complex number)组成的集合都是数域.这三个数域分别用字母Q 、R 、C 来表示.全体整数(integral number)组成的集合就不是数域，整数集关于加减乘运算是封闭的，但除法运算不封闭.类似的自然数集也不是数域.例1 所有具有形式2b a +的数(其中b a ,是任意的有理数)，构成一个数域.通常用)2(Q 来表示这个数域.即},2{)2(Q b a b a Q ∈+=.证明:显然)2(2011),2(2000Q Q ∈+=∈+=.)2(,Q y x ∈∀,设Q d c b a d c y b a x ∈+=+=,,,,2,2,则Q c a ∈±， d b ±Q ∈，Q bc ad Q bd ac ∈+∈+,2.因此有)2(2)()(Q d b c a y x ∈±+±=±,)2(2)()2(Q bc ad bd ac y x ∈+++=⋅. 因此)2(Q 对加减乘运算是封闭的.设Q b a ∈,,02≠+=b a x ,则02≠-b a ,若02=-b a ,则0==b a ,因此02=+b a ,与02≠+=b a x 矛盾.而,2222)2)(2()2)(2(222222b a bc ad ba bd acb a b a b a dc b ad c --+--=-+-+=++ 因为Q d c b a ∈,,,,所以Q ba bc ad Qb a bd ac ∈--∈--22222,22.因此)2(Q 关于除法运算也是封闭的.因此)2(Q 是一个数域.把本例中2换成其他的质数p ，)(p Q 也是一个数域.由于质数有无穷多个,因此数域有无穷多个.例2 所有可以表成形式m m n n b b b a a a ππππ++++++ 1010 的数组成一数域，其中m n ,为任意非负整数，),,1,0;,,1,0(,m j n i b a j i ==是整数.例3 所有奇数(odd number)组成的数集，对于乘法是封闭的，但对于加、减法不是封闭的,因此不是数域.例4 设P 是至少含两个数的数集，证明：若P 中任意两个数的差与商（除数≠0）仍属于P ，则P 为一数域.证明 ,,P b a ∈∀有P ba Pb a P b b b P a a ∈∈-∈≠=∈-=,,)0(1,0.因此 P ab b P ba ab b P b a b a ∈==∈=≠∈--=+00/10,)0(时，当，时，当.所以P 为一数域.2.数域的性质性质1：所有的数域都包含有理数域作为它的一部分.若P 是数域,则有P Q ⊆.证明: 设P 是任意一个数域，则有P ∈1,0。
近世代数第四章-环与域题解讲解
第四章环与域§1 环的定义一、主要容1．环与子环的定义和例子。
在例子中，持别重要的是效域上的多项式环、n阶全阵环和线性变换环，以与集M的幂集环．2．环中元素的运算规那么和环的非空子集S作成子环的充要条件：二、释疑解难1．设R是一个关于代数运算十，·作成的环．应注意两个代数运算的地位是不平等的，是要讲究次序的．所以有时把这个环记为(R，十，·)(或者就直接说“R对十，·作成一个环〞)．但不能记为R，·，十)．因为这涉与对两个代数运算所要求满足条件的不同．我们知道，环的代数运算符号只是一种记号．如果集合只有二代数运算记为 ，⊕，又R对 作成一个交换群，对⊕满足结合律且⊕对 满足左、右分配律，即就是说，在环的定义里要留意两个代数运算的顺序．2．设R对二代数运算十，·作成一个环．那么，R对“十”作成一个加群，这个加群记为(R,十)；又R对“·〞作成一个半群，这个乍群记为(R，·)．再用左、右分配律把二者联系起来就得环(R，十．·)．三、习题4．1解答1．2．3．4．5．6．7．8．证明：循环环必是交换环，并且其子环也是循环环．§4．2 环的零因子和特征一、主要容１．环的左、右零因子和特征的定义与例子．2．假设环R 无零因子且阶大于1，那么R 中所有非零元素对加法有一样的阶．而且这个一样的阶不是无限就是一个素数．这就是说，阶大于l 且无零因子的环的特征不是无限就是一个素数． 有单位元的环的特征就是单位元在加群中的阶．3．整环(无零因子的交换环)的定义和例子． 二、释疑解难 １．由教材关于零因子定义直接可知，如果环有左零因子，那么R 也必然有右零因子．反之亦然．但是应注意，环中一个元素如果是一个左零因子，那么它不一定是一个右零因子．例如，教材例l 中的元素⎪⎪⎭⎫⎝⎛0001就是一个例子．反之，一个右零因子也不一定是一个左零因子．例如，设置为由一切方阵),(00Q y x y x ∈∀⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛对方阵普通加法与乘法作成的环．那么易知⎪⎪⎭⎫⎝⎛0001是R 的一个右零因子，但它却不是R 的左零因子．2.关于零因子的定义．关于零因子的定义，不同的书往往稍有差异，关键在于是否把环中的零元也算作零因子．本教材不把零元算作零因子，而有的书也把零元算作零因子．但把非牢的零因子称做真零因子．这种不算太大的差异，读者看参考书时请留意．3．关于整环的定义．整环的定义在不同的书中也常有差异．大致有以下4种定义方法： 定义1 无零因子的交换环称为整环(这是本教材的定义方法)． 定义2 阶大于l 且无零因子的交换环，称为整环． 定义3 有单位元且无零因子的交换环，称为整环．定义4 阶大于1、有单位元且无零因子的交换环，称为整环．以上4种定义中，要求整环无零因子、交换是共同的，区别就在于是否要求有单位元和阶大于1．不同的定义方法各有利弊，不宜绝对肯定哪种定义方法好或不好．这种情况也许到某个时期会得到统一．但无论如何现在看不同参考书时应留意这种差异．本教材采用定义1的方法也有很多原因，现举一例。
第六章-环与域
整环、除环、域
整环：有单位元无零因子的交换环是整环
例：对于剩余环<Z n
,
n
,
n
，若n为素数，则Zn必为整环
除环：设R是一个含1的环，R=R-{0} ,如果R是一个群，则
为除环，可交换的除环为域
例 设S为下列集合,+和.为普通加法和乘法. (1)S＝{x｜x＝2n∧n∈Z}. (2)S＝{x｜x＝2n+1∧n∈Z}. (3)S＝{x｜x∈Z∧x≥0}＝N, (4)S＝{x｜x＝a+b 2 ,a,b∈Q}. 问S和+,·能否构成整环？能否构成域？为
＝a·(－b)。同理可证－(a·b)＝(－a)·b。
(3) (－a)·(－b)＝－(a·(－b))＝－(－(a·b))＝a·b
（4)a·(b－c)＝a·(b＋(－c))＝a·b＋a·(－c)＝a·b－a·c。
(b－c)·a＝(b＋(－c))·a＝b·a ＋(－c)·a ＝b·a－c·a。
定义: 给定环<S，＋，·>，则 (1)若<S，·>是可交换半群，称<S，＋，·>是可交换环。 (2)若<S，·>是独异点，称<S，＋，·>是含幺环。 (3)若<S，·>满足幂等律，称<S，＋，·>是布尔环。
练习
1.证明在特征为p的有限域F中，映射：a a p , a F,是F的自同构
定理: 设<S，＋，·>是环，则对于任意的a、b、c∈S，有
1.a0 0a 1
2.(a)b a(b) (ab)
3.(a)(b) ab
4.a(b c) ab ac, (b c)a ba ca
《高等代数》复习思考题答案
（0158）《高等代数》复习思考题答案一、略 二、判断题1. 错。
含有n 个未知量的m 个方程的线性方程组有无穷解的充要条件是系数矩阵的秩<n 。
2. 错。
如：向量组s ααα,,,21Λ中的每个向量都不是齐次线性方程组的解向量，但0向量是齐次线性方程组的解向量，0向量也是s ααα,,,21Λ线性组合。
3. 错。
如：方程组25320253202532025320253243214321432143214321=-++=-++=-++=-++=-++x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x虽然方程的个数多余未知量的个数，但是它毕竟等价于第一个单独的方程因此有无穷多解。
4. 错。
如矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛0010的秩为1，但是它的1阶主子式为0。
5. 错。
所给出的条件是正交相似，不是一般意义的相似条件。
6. 错。
如：2224)1(12+=++x x x 在有理数域上可约，但是无根。
7. 对。
因为线性变换σ为数乘变换的充要条件是该变换在任意基下的矩阵A 为数量矩阵I λ，所以A 适合多项式λ-x ，即为极小多项式，从而是一次多项式。
反之，如果极小多项式次数为1，设为λ-x ，则0=-I A λ。
根据线性变换与矩阵的对应关系知λεσ=，其中ε为恒等变换，即得σ为数乘变换 8. 错。
如：5)4()(-=x x f ，)(|)4(2x f x -，但不是f(x)的2重根，它是4重根。
9. 错。
如：12++x x 无有理根，但是不可能存在任何素数整除除首项以外的项的系数。
10. 对。
11. 对。
12. 对。
13. 对。
14. 对。
15. 对。
三、计算题第1、2、3、4、5题略。
6、因为]5)10([)5)(3(58223b a x b x b x x a x x x -++-++++=+++，所以a x x xb x x +++++58|3232的充要条件是05)10(=-++-b a x b 。
11数环和数域(答案)
1．5 数环和数域1． 证明，如果一个数环{}0≠S ,那么S 有无限多个元素。
证明：法一（正面证明）：{}0≠S0,≠∈∃∴a S aS 为数环∴加法具有封闭性∴S na a a ∈,,,,2, 且为两两不同的数（否则，可以推出0=a ）∴S 有无限多个元素法二（反证法）：假设S 有有限多个元素不妨设为k 个{}0≠S0,≠∈∃∴a S aS 为数环∴加法具有封闭性∴,,,,2, ka a a 为两两不同的数且为S 中元，矛盾∴假设不正确，即：S 有无限多个元素2． 证明：{}Q b a bi a F ∈+=,是数域。
证明： Q b a bi a ∈+,,令0==b a∴Q b i a ∈=+0∴F 为复数集C 的非空子集又对F di c bi a ∈++∀,有：F i d b c a di c bi a ∈±+±=+±+)()()()(F i ad bc bd ac di c bi a ∈++-=++)()())((∴F 为数环又对0,,≠+∈++∀di c F di c bi a 有：022≠+d c 及F i d c ad bc d c bd ac di c bi a ∈+-+++=++2222所以F 的除法封闭所以F 为数域。
3． 证明：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈=Z n m m S n ,2是一个数环。
S 不是一个数域。
证明：（1）S 为数环的证明： S ∈=0211 ∴S 为复数集的非空子集 又对任意的2,1,,,2,22121=∈∈i Z n m S m m i i n n 有： S m m m m n n n n n n ∈±=±+211221222222121S m m m m n n n n ∈=⋅+21212222121 ∴S 为数环（2）S 不是数域的证明：S ∈==220015,11但S ∉51 ∴S 对除法不具封闭性 ∴S 不是数域4． 证明：两个数环的交还是一个数环；两个数域的交还是一个数域。
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数环和数域
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1．5 数环和数域
1． 证明，如果一个数环{}0≠S ,那么S 有无限多个元素。
证明：法一（正面证明）： {}0≠S
0,≠∈∃∴a S a
S 为数环 ∴加法具有封闭性
∴S na a a ∈,,,,2, 且为两两不同的数 （否则，可以推出0=a ）
∴
S 有无限多个元素
法二（反证法）：
假设S 有有限多个元素 不妨设为k 个
{}0≠S
0,≠∈∃∴a S a
S 为数环 ∴加法具有封闭性
∴,,,,2, ka a a 为两两不同的数且为S 中元，矛盾
∴
假设不正确，即：
S 有无限多个元素
2． 证明：{}
Q b a bi a F ∈+=,是数域。
证明： Q b a bi a ∈+,, 令0==b a ∴
Q bi a ∈=+0
∴
F 为复数集C 的非空子集
又对F di c bi a ∈++∀,有：
F i d b c a di c bi a ∈±+±=+±+)()()()( F i ad bc bd ac di c bi a ∈++-=++)()())((
∴
F 为数环
又对0,,≠+∈++∀di c F di c bi a 有：
022≠+d c 及
F i d c ad
bc d c bd ac di c bi a ∈+-+++=++2
222
数环和数域
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所以F 的除法封闭 所以F 为数域。
3． 证明：⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧∈=Z n m m S n
,2是一个数环。
S 不是一个数域。
证明：（1）S 为数环的证明：
S ∈=
02
1
1 ∴
S 为复数集的非空子集
又对任意的
2,1,,,2,22
12
1=∈∈i Z n m S m m i i n n 有： S m m m m n n n n n n ∈±=
±
+2
11
22
1
222222121
S m m m m n n n n ∈=⋅+21212222
121 ∴
S 为数环
（2）S 不是数域的证明： S ∈==
2
2
1
5,1
1
但S ∉5
1
∴S 对除法不具封闭性 ∴
S 不是数域
4． 证明：两个数环的交还是一个数环；两个数域的交还是一个数域。
两个
数环的并是不是数环？
证明：（1）两个数环的交还是数环： 任取两个数环21,S S
∴
10S ∈，20S ∈ 令21S S S ⋂=
数环和数域
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∴S ∈0
∴
S 为复数集C 的非空子集
对任意的S b a ∈,有： 1,S b a ∈2,S b a ∈ 1S 为数环
∴
1,S ab b a ∈±
同理：2,S ab b a ∈±
∴S ab b a ∈±, ∴S 为数环
（2）两个数域的交还是一个数域 任取两个数环21,F F
令21F F F ⋂=
根据（1）知F 是一个数环 对任意的0,,≠∈b F b a 有
1,F b a ∈2,F b a ∈
1F 是数域
∴1F b a ∈
同理2F b a
∈
∴F b
a
∈，即： F 为数域
（3）两个数环的并不一定是数环
取数环：{}Z n n Z ∈=33，{}
Z k k Z ∈=22 令⋃=Z S 3Z 2 Z 33∈，Z 22∈
∴
S ∈3,2
但S ∉+=325
即S 的加法不封闭 ∴
S 不是数环
5． 设n 是一整数，令：
{}
Z z nz nZ ∈=
由例1，nZ 是一个数环。
设Z n m ∈,，记：
数环和数域
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{}
Z y x ny mx nZ mZ ∈+=+, 证明：（i ）nZ mZ +是一个数环。
证明： nZ mZ n m +∈+
∴nZ mZ +是复数集的非空子集
∴对任意的nZ mZ nz mz nz mz +∈++2211, 有：
nZ mZ z z n z z m nz mz nz mz +∈±+±=+±+)()()()(21212211
nZ
mZ z nz n z z n m m nz mz nz mz +∈++=++)()2(()
)((21212211
∴nZ mZ +对加，乘，减运算具有封闭性
∴nZ mZ +为数环。
（ii ）m n nZ mZ ⇔⊆
证明：充分性： m n
∴st Z d ,∈∃ dn m =
对任意的mZ b ∈ （1） st Z f ,∈∃ )(fd n fm b == ∴nZ b ∈ （2） 由（1）、（2）知： nZ mZ ⊆ 必要性：
nZ mZ mZ m ⊆∈, ∴nZ m ∈
∴st Z d ,∈∃
dn m =
∴m n
（iii ）),(,n m d dZ nZ mZ ==+这里是n m ,的最大公因数
分析：本题实际上是证明集合相等，只要证明相互包含即可。
证明：先证dZ nZ mZ ⊆+
数环和数域
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),(n m d =
∴st b a Z b a ,1),(,,=∈∃ bd n ad m ==,
对任意的Z y x nZ mZ ny mx ∈+∈+,,有： dZ d by ax bdy adx ny mx ∈+=+=+)( ∴dZ nZ mZ ⊆+ 再证：dZ nZ mZ ⊇+ ),(n m d =
∴st Z b a ,,∈∃
d bn am =+ （1） 又对任意的dZ f ∈ （2）
dh f st Z h =∈∃:, （3）
由（1）、（3）知：
nZ mZ bh n ah m f +∈+=)()( （4）
由（2）、（4）知
dZ nZ mZ ⊇+
综合两个方面的证明，dZ nZ mZ =+
（iv ）),(1n m Z nZ mZ =⇔=+ 证明：由（iii ）知：
),(n m d dZ nZ mZ =⇔=+
),(1n m =
∴),(1n m Z nZ mZ =⇔=+
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广东陶粒，广东陶粒厂 Up3ICj4stBs1
数环和数域31。