第一节 数域

§1 数域（number field ）
教学目的：掌握数域的概念及其性质，了解数环的概念.
教学重点：数域概念及其证明.
教学难点：数域概念.
数的发展过程
复数实数有理数整数自然数负数开方正数开方除法减法−−−→−−−−→−−−→−−−→−
1.数域的概念
关于数的加、减、乘、除等运算的性质通常称为数的代数性质.代数所研究的问题主要涉及数的代数性质，这方面的大部分性质是有理数、实数、复数的全体所共有的.
定义1 设P 是由一些复数组成的集合，其中包括0与1.如果P 中任意两个数的和、差、积、商（除数不为零）仍然是P 中的数，那么P 就称为一个数域.
如果数的集合P 中任意两个数作某一种运算的结果都仍在P 中，就说数集P 对这个运算是封闭的.因此数域的定义也可以说成，如果一个包含0，1在内的数集P 对于加法、减法、乘法与除法（除数不为零）是封闭的，那么P 就称为一个数域.
显然全体有理数(rational number)组成的集合、全体实数(real number)组成的集合、全体复数(complex number)组成的集合都是数域.这三个数域分别用字母Q 、R 、C 来表示.全体整数(integral number)组成的集合就不是数域，整数集关于加减乘运算是封闭的，但除法运算不封闭.类似的自然数集也不是数域.
例1 所有具有形式
2b a +
的数(其中b a ,是任意的有理数)，构成一个数域.通常用)2(Q 来表示这个数域.即
},2{)2(Q b a b a Q ∈+=.
证明:显然)2(2011),2(2000Q Q ∈+=∈+=.
)2(,Q y x ∈∀,设Q d c b a d c y b a x ∈+=+=,,,,2,2,则Q c a ∈±， d b ±Q ∈，Q bc ad Q bd ac ∈+∈+,2.因此有
)2(2)()(Q d b c a y x ∈±+±=±,
)2(2)()2(Q bc ad bd ac y x ∈+++=⋅. 因此)2(Q 对加减乘运算是封闭的.
设Q b a ∈,,02≠+=b a x ,则02≠-b a ,若02=-b a ,则0==b a ,因此02=+b a ,与02≠+=b a x 矛盾.而
,2222)2)(2()2)(2(222222b a bc ad b
a bd ac
b a b a b a d
c b a
d c --+--=-+-+=++ 因为Q d c b a ∈,,,,所以Q b
a bc ad Q
b a bd a
c ∈--∈--22222,22.因此)2(Q 关于除法运算也是封闭的.因此)2(Q 是一个数域.
把本例中2换成其他的质数p ，)(p Q 也是一个数域.由于质数有无穷多个,因此数域有无穷多个.
例2 所有可以表成形式
m m n n b b b a a a π
πππ++++++ 1010 的数组成一数域，其中m n ,为任意非负整数，),,1,0;,,1,0(,m j n i b a j i ==是整数.
例3 所有奇数(odd number)组成的数集，对于乘法是封闭的，但对于加、减法不是封闭的,因此不是数域.
例4 设P 是至少含两个数的数集，证明：若P 中任意两个数的差与商（除数≠0）仍属于P ，则P 为一数域.
证明 ,,P b a ∈∀有P b
a P
b a P b b b P a a ∈∈-∈≠=∈-=,,)0(1,0.因此 P ab b P b
a a
b b P b a b a ∈==∈=≠∈--=+00/10,)0(时，当，时，当.
所以P 为一数域.
2.数域的性质
性质1：所有的数域都包含有理数域作为它的一部分.若P 是数域,则有P Q ⊆.
证明: 设P 是任意一个数域，则有P ∈1,0。

由加法的封闭性，
,111n
n Z n P +∀∈=+++∈
由减法的封闭性,
,0n Z n n P +∀∈-=-∈.
而任意一个有理数可以表示成两个整数的商，由除法的封闭性有P Q ⊆. 性质2. 若21,P P 是数域，则21P P 也是数域.
3.数环
设P 是一个非空的数集，若P 关于数的加减乘运算是封闭的，则称P 是一个数环.
例如整数集是一个数环,偶数集也是数环.但奇数集不是数环.
作业：
1.证明},,{)(为虚数单位i Q b a bi a i Q ∈+=是一个数域.
2.若21,P P 是数域，则21P P 也是数域.。